POTENCIACION – POTENCIA Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la multiplicación, y los griegos sentían especial predilección por los cuadrados y los cubos. Diofanto (III d.C.) ideó la yuxtaposición adhesiva para la notación de las potencias. Así x, xx¸ xxx, etc. para expresar la primera, segunda, tercera potencias de x. Renato Descartes (1596-1650) introdujo la notación x, x2, x3, x4, etc. Aunque la palabra raíz proviene del latín radix, la radicación fue conocida por los hindúes y por los árabes mucho antes que por los romanos. Las reglas para extraer raíces cuadradas y cúbicas aparecieron por primera vez en textos hindúes.

POTENCIACIÓN Es la operación aritmética que tiene por objeto multiplicar por sí mismo un número llamado base tantas veces como indica otro número llamado exponente. Si escribimos 53, 5 será la base y 3 será el exponente, con lo cual tendremos que: Cuando el exponente es 2, o sea, cuando estamos hallando la segunda potencia de la base, se acostumbra decir que estamos hallando el cuadrado de la base. Por ejemplo . El término cuadrado viene de la nomenclatura geométrica, puesto que el cuadrado de un número equivale en las unidades correspondientes de superficie al área de un cuadrado. El área de un cuadrado con un lado de 5m. Será

m2.

Cuando el exponente es 3, es cuando estamos hallando la tercera potencia de la base se acostumbra decir que estamos hallando el cubo de la base. , es el resultado de hallar el cubo de 5. El término cubo también viene de la nomenclatura geométrica, ya que el cubo de un número equivale en unidades correspondientes de volumen al volumen del cubo cuya arista es dicho número. Cuando los exponentes son 4, 5, 6, 7, 8, etc. se dice que estamos elevando la base a la cuarta, quinta, sexta, séptima u octava potencia, respectivamente:

La potencia enésima de un número a equivaldrá a multiplicar n veces a por sí mismo:

veces.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACION

a

n n = Exponente, a = base de la potencia

n

a = a • a• a• a• • • a (n veces) 3

(-2) = (-2) • (-2) • (-2) = -8 4

3 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81

1

1) A

1

=a

10 = 10 ;

-1

-1

2) a = 1/a

3 =3 -1

5 = 1/5 ; (1/2) = 2

n

m

n+m

n

m

n-m

3) a • a = a

1

4) a : a = a

 1  1  1  1  1   1                  2  2  2  2  2   2 

5

x 6 : x 2  x 6 2  x 4 (a  b) 3 3 2  ( a  b )  (a  b) 2 (a  b)

0

5) A = 1 ;

0

0

0

0 = no existe 5 = 1 ; - 4 = -1

Ley de uniformidad Cualquier potencia de un número tiene un valor único o siempre igual. EJEMPLO

22=4

Siempre

53=125

Siempre

Potencia de un producto Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha potencia y se multiplican esas potencias. Si tenemos el producto abc, Vamos a probar que

(abc)n= an·bn·cn

Elevar el producto abc a la enésima potencia equivale a tomar este producto como factor n veces; luego:

Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de la multiplicación. EJEMPLO

Resolver SOLUCIÓN:

(3×4×5)2 (3×4×5)2 = 32·42·52 = 9×16×25 = 3600

Potencia de un número fraccionario Para elevar un cociente exacto o una fracción a una potencia cualquiera se elevan su numerador y denominador a dicha potencia.

Si tenemos la fracción ; Según la definición de potencia elevar la potencia n será tomarlo como factor n veces; luego:

a

Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de la división exacta. EJEMPLO

Elevar

SOLUCIÓN:

EJEMPLO

Elevar

SOLUCIÓN: EJEMPLO

Desarrollar SOLUCIÓN:

EJEMPLO

Desarrollar SOLUCIÓN:

EJEMPLO

Desarrollar SOLUCIÓN:

RADICACIÓN – RAÍZ La radicación es la operación inversa de la potenciación y consiste en hallar la base conocidos el exponente y la potencia. Si tenemos que , podemos escribir que , donde el signo recibe el nombre de signo radical, 49 es la cantidad sub radical, 7 es la raíz cuadrada y el número 2 es el índice de la raíz. En este caso como el índice de la raíz es 2 se trata de una raíz cuadrada. Cuando el índice es 3 diremos que la raíz es cúbica, cuando es 4 se trata de una raíz cuarta, cuando es 5 se trata de una raíz quinta, cuando es 6 se trata de una raíz sexta, y así sucesivamente. Cuando la raíz es cuadrada, cuando el índice es 2, generalmente se omite dicho índice: Una raíz es exacta cuando al elevarla a la potencia que indica el índice coincide con la cantidad sub radical. 5 es la raíz cúbica exacta de 125 puesto que Una raíz es inexacta cuando no existe ningún número entero que al elevarlo a la potencia que indica el índice coincida con la cantidad sub radical. La raíz

cuadrada de 63 es inexacta, puesto que no existe ningún número entero que elevado al cuadrado dé 63. Los únicos números naturales que tienen raíz cuadrada exacta son los cuadrados perfectos: 1, 4, 9, 16, 25… etc. Análogamente, los únicos número que tienen raíz cúbica exacta son los cubos perfectos: 1, 8, 27, 64, 125… etc.

PROPIEDADES DE LA RADICACION

n

a

N = Índice de la Raíz; a = Cantidad Sub Radical o Radicando

Ley de uniformidad La raíz de un grado dado de un número tiene un valor único o siempre es igual. Así da 49.

únicamente, porque 7 es el único número que elevado al cuadrado

Ley distributiva La radicación no es distributiva con relación a la suma. Así a

porque

Igualmente

no es igual

y no es igual a

porque

y

La radicación no es distributiva con relación a la multiplicación y a la división. Raíz de un producto indicado La raíz de cualquier grado de un producto indicado de varios factores es igual al producto de las raíces del mismo grado de cada uno de los factores. Tenemos el producto

. Vamos a demostrar que:

Según la definición de raíz,

será la raíz enésima de

elevada a la potencia n reproduce el producto

si

.

Elevando la raíz a la enésima potencia, tendremos:

, luego queda demostrado lo

que nos proponíamos.

Esta propiedad es la ley distributiva de la radicación con relación a la multiplicación. EJEMPLO

Efectuar SOLUCIÓN:

EJEMPLO

Efectuar SOLUCIÓN: Raíz de un número fraccionario La raíz de cualquier grado de un cociente exacto o un número fraccionario es igual a la raíz de dicho grado del numerador partida por la raíz del mismo grado del denominador.

Sea la fracción

. Vamos a demostrar que

Según la definición de raíz,

potencia n reproduce el quebrado

será la raíz enésima de

, si elevada a la

Esta propiedad es la ley distributiva de la radicación con relación a la división exacta. EJEMPLO

Efectuar

SOLUCIÓN:

EJEMPLO

Efectuar

SOLUCIÓN: Raíz de una potencia La raíz de cualquier grado de una potencia se obtiene dividiendo el exponente de la potencia por el índice de la raíz.

Sea la potencia

. Vamos a demostrar que

Según la definición de raíz,

será la raíz enésima de

potencia n reproduce la cantidad subradical

Elevando a la potencia n, tendremos. demostrado lo que nos proponíamos.

si elevada a la

.

, luego queda

EJEMPLO

Efectuar:

SOLUCIÓN: EJEMPLO

Efectuar:

SOLUCIÓN: EJEMPLO

Efectuar:

SOLUCIÓN: Exponente fraccionario Hemos visto en el punto anterior que para extraer una raíz a una potencia, se divide el exponente de la potencia por el índice de la raíz. Si el exponente no es divisible por el índice, hay que dejar indicada la división, originándose de este modo el modo el exponente fraccionario. EJEMPLO

Efectuar:

SOLUCIÓN: EJEMPLO

Efectuar:

SOLUCIÓN:

EJEMPLO

Efectuar:

SOLUCIÓN: Raíz de una raíz La raíz de cualquier grado de una raíz se obtiene multiplicando los índices de ambas raíces. Se trata de extraer la raíz cúbica de Según la definición de raíz, reproduce la cantidad sub radical

Vamos a demostrar que

será la raíz cúbica de

si elevada al cubo

, y en efecto:

Esta propiedad a la inversa, nos permite extraer la raíz cuarta extrayendo dos veces la raíz cuadrada; la raíz sexta extrayendo la raíz cuadrada y la cúbica, etc. EJEMPLO

Efectuar: SOLUCIÓN: EJEMPLO

Efectuar: SOLUCIÓN:

RACIONALIZACION: El objetivo de la racionalización es el eliminar la raíz del denominador, para tal efecto se presentan tres casos que se tomaran a continuación. La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones. Podemos distinguir tres casos:

1) Racionalización del tipo Se multiplica el numerador y el denominador por

.

Ejemplos:

1

2

2) Racionalización del tipo Se multiplica numerador y denominador por

.

Ejemplos:

3) Racionalización del tipo  Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.  Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.  El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

Ejemplos:

1

2

3

Ejemplos: