2

Potències i radicals

Objectius En esta quincena aprenderás a:

•

Calcular i operar amb potències d'exponent enter.

•

Reconèixer les parts d'un radical i el seu significat.

•

Obtenir radicals equivalents a un de donat.

•

Expressar un radical com a potència d'exponent fraccionari i viceversa.

•

Operar amb radicals.

•

Racionalitzar expressions amb radicals al denominador.

•

Emprar la calculadora per operar amb potències i radicals.

1. Radicals ……………………………………… pàg. 22 Potencias de exponente fraccionario Radicals equivalents Introduir i extreure factors Càlcul d'arrels Reduir a índex comú Radicals semblants 2. Propietats ………………………………… pàg. 25 Arrel d'un producte Arrel d'un quocient Arrel d'una potència Arrel d'una arrel 3. Simplificació ……………………………… pàg. 26 Racionalització Simplificar un radical 4. Operacions amb radicals …………… pàg. 28 Suma i resta Multiplicació de radicals Divisió de radicals RESUM Exercicis per practicar Per saber-ne més Resum Autoevaluación Activitats per enviar al tutor

MATEMÀTIQUES B „

19

20

„ MATEMÀTIQUES B

Potències i radicals Abans de començar Propietats de les potències d'exponent enter

Convé que recordeu les propietats de les potències que ja coneixeu de cursos anteriors

9 El producte de potències de la mateixa base és x2·x7 = x2 +7 = x9

una altra potència de la mateixa base, l’exponent del qual és la suma dels exponents.

an·am = an+m

9 El quocient de potències de la mateixa base és una 8

2 = 28 −5 = 23 25

altra potència de la mateixa base, l’exponent del qual és la resta dels exponents. an = an−m m a

9 La potència d&squot;una potència és una altra

(x ) 7

3

= x7·3 = x21

potència de la mateixa base, l’exponent del qual és el producte dels exponents.

(a ) n

70 = 1

m

= an·m

9 Una potència amb exponent zero unitat.

és igual a la

a0 = 1

9 El producte de potències del mateix exponent és 25·35 = (2·3) = 65 5

una altra potència amb el mateix exponent, la base de la qual és el producte de les bases. an·bn = ( a·b )

n

6

86 ⎛ 8 ⎞ = ⎜ ⎟ = 26 46 ⎝ 4 ⎠

9 El quocient de potències amb el mateix exponent

és una altra potència amb el mateix exponent, la base de la qual és el producte de les bases. n

an ⎛ a ⎞ =⎜ ⎟ bn ⎝ b ⎠

MATEMÀTIQUES B „

21

Potències i radicals 1. Radicals Definició Anomenem arrel n-èsima d'un nombre donat a el nombre b que elevat a n ens dóna a. n

3

8 = 2 per ser 23 = 8 1

a = b ⇔ bn = a

3

Un radical és equivalent a una potència d'exponent fraccionari en la qual el denominador de la fracció és l'índex del radical i el numerador de la fracció és l'exponent del radicand. n

5 = 53

5

x

2

=

2 x5

p

ap = an

Radicals equivalents Dos o més radicals s'anomenen equivalents si les fraccions dels exponents de les potències associades són equivalents. Donat un radical es poden obtenir radicals equivalents infinits, multiplicant o dividint l'exponent del radicand i l'índex de l'arrel pel mateix nombre. Si es multiplica s'anomena amplificar i si es divideix s'anomena simplificar el radical. Un radical és irreductible quan la fracció de la potència associada és irreductible.

Introducció i extracció de factors Per introduir un factor dins d'un radical s'eleva el factor a la potència que indica l'índex i s'escriu a dins. Si algun factor del radicand té per exponent un nombre més gran que l'índex, es pot extreure fora del radical dividint l'exponent del radicand entre l'índex. El quocient és l'exponent del factor que surt a fora i la resta és l'exponent del factor que queda a dins.

22

„ MATEMÀTIQUES B

3

6

x2 = x 4

són equivalents per ser:

2 4 = 3 6

Amplificar:

3

x2 =

3·2

x2·2 = x 4

Simplificar:

6

x4 =

6:2

x 4:2 = x 2

3

6

3

x2

Irreductible per ser MCD.(3,2)=1

Introduir 3

3

x3 x = x 3 ·x = x 4 3

23 3 = 23 ·3 = 3 8·3 = 3 24 Extreure: 5

5

x13 = x 2 x 3

13

5

3

2

Potències i radicals Càlcul d'arrels

1728 2 864 2 432 2 216 2 108 2

3

1728 = 3 26 ·33 = = 22·3 = 12

54 2 27 3 9 3

Per calcular l'arrel n-èsima d'un nombre primer es factoritza i s'escriu el nombre en forma de potència i després s'extreuen tots els factors que sigui possible. Si tots els exponents del radicand són múltiples de l'índex, l'arrel és exacta.

3 3

1

Reducció a índex comú Reduir a índex comú 6

10

2 ;

3

Un índex comú és qualsevol múltiple del mcm dels índexs.

m.c.m(6,10)=30 6

2 =

10

3 =

30

25 =

30

33 =

30

32

30

Reduir a índex comú dos o més radicals és trobar radicals equivalents als donats que tinguin el mateix índex.

El mínim índex comú és el mcm dels índexs; habitualment es tria aquest.

27

Radicals semblants Els següents radicals són semblants: 3

3

3

2 4 ; 7 4 ; 5 4

Els radicals semblants són aquells que tenen el mateix índex i el mateix radicand. Poden diferir únicament en el coeficient que els multiplica.

Els següents radicals no són semblants:

23 4 ; 25 4 L'índex és diferent

MATEMÀTIQUES B „

23

Potències i radicals EXERCICIS resolts 1.

Escriviu els següents radicals com a potència d'exponent fraccionari: 1

2.

a)

5

3

5

3 = 35

b)

5

X3

5

X3

Escriviu les següents potències com a radicals: 1

1

a) 72

72 = 7

2

2

53 = 3 52 = 3 25

b) 53 3.

4.

5.

Escriviu un radical equivalent, amplificant el que s'ha proporcionat: 3

5

3

5 =

b)

5

x4

5

x4 =

a)

6

b)

35

49

x 28

7

b)

6

49 = 72 =

6

35

x 28 =

35:7

6:2

72:2 = 3 7

x 28:7 =

5

x4

2·4 3 = 4 2 4·3 = 4 16·3 = 7

x 2 x3 = 7 (x 2 )7 ·x 3 =

7

4

48

x14·x 3 =

7

x17

128

4

128 = 4 27 = 2 4 23 = 2 4 8

7

x30

7

x30 =

7

x28 +2 =

7

x28 ·x2 = x 4 7 x2

Calculeu les següents arrels: a)

5

1024

5

1024 = 5 210 = 22 = 4

b)

7

x84

7

x84 =

7

x12·7 = 7 (x12 )7 = x7

Reduïu a índex comú

b)

24

x12

4

2 = 6 23 = 6 8 ;

3; 3 5

a)

9.

15

x 4·3 =

Extraieu els factors del radical: a)

8.

5·3

Introduïu els factors dins del radical:

b) x 2 x3

7.

6

51·2 = 52 = 6 25

Escriviu un radical equivalent, simplificant el que s'ha proporcionat.

a) 2·4 3

6.

3·2

a)

4

x3 ; 6 x5

4

x3 =

12

x9 ;

6

x5 =

3

5 = 6 52 = 6 25

12

x10

Indiqueu quins radicals són semblants a)

4

3;54 3

4

3 i 54 3 Són semblants

b)

4

x; 3 x

4

x i3x

„ MATEMÀTIQUES B

No són semblants, l’index és diferent.

Potències i radicals 2. Propietats Arrel d'un producte 3

L'arrel n-èsima d'un producte és igual al producte de les arrels n-èsimes dels factors.

2·5 = 3 2·3 5

n

7

2

4

7

2 7

a ·b = a · b

4

a·b =

n

a·n b 1

Demostración:

n

1

1

a·b = (a·b)n = an ·bn = n a·n b

Arrel d'un quocient 5

2 = 3

5

2

5

3

4

a 5 = b3

L'arrel n-èsima d'un quocient és igual al quocient de les arrels n-èsimes del dividend i del divisor.

5

a

5

b3

n

4

a = b

n

a

n

b 1

1

a ⎛ a ⎞ n an Demostración: n = = 1 = b ⎜⎝ b ⎟⎠ bn

n

a

n

b

Arrel d'una potència 5

3

5

3

8= 2 =

7

x =

( 2) 5

3

Per trobar l'arrel d'una potència, es calcula l'arrel de la base i després s'eleva el resultat a la potència donada. n

( x) 3

7

ap =

( a) n

p

p

Demostración:

n

p ⎛ 1⎞ ap = an = ⎜⎜ an ⎟⎟ = ⎝ ⎠

( a) n

p

Arrel d'una arrel 5 3

2 = 15 2

L'arrel n-èsima de l'arrel m-èsima d'un nombre és igual a l'arrel n·m-èsima del nombre esmentat. n m

a =

n·m

a

1

1 ⎛ 1 ⎞n nm Demostración: a = ⎜⎜ am ⎟⎟ = an·m = ⎝ ⎠

n·m

a

MATEMÀTIQUES B „

25

Potències i radicals 3. Simplificació Racionalització Racionalitzar una expressió amb un radical en el denominador consisteix a trobar una expressió equivalent que no tingui arrels en el denominador.

Per això es multiplica el numerador i el denominador per l'expressió adequada perquè, en operar, l'arrel desaparegui. Si el denominador és un binomi es multiplica el numerador i el denominador pel conjugat del denominador

Quan el denominador és un radical

1 3

5 1

7

x4

=

1·3 52 3

=

3

2

5· 5

=

3

52

3

3

1·7 x3 7

x 4 ·7 x3

∗ El conjugat de a + b és a − b

=

26

L'índex i l'exponent siguin primers entre ells.

•

No es pugui extreure cap factor del radicand.

•

El radicand no tingui cap fracció.

„ MATEMÀTIQUES B

7

=

7

x3 x7

)(

5+ 3 = 5−3

Simplificar un radical

•

5

3

25 5 7

=

x3 x

Quan el denominador és un binomi 1 5+ 3 = = 5− 3 5− 3 5+ 3

(

Simplificar un radical és escriure'l en la forma més senzilla, de manera que:

=

6

8 = 6 23 = 2

7

a30 = a4 7 a2

)

5+ 3 2

Potències i radicals EXERCICIS resolts 10.

11.

12.

Escriviu amb una sola arrel: a)

5

b)

7

7

X4 x =

7

x8·x = 14 x9

4

3·4 27

4

3·4 27 = 4 81 = 4 34 = 3

b)

5

x·5 x2

5

x·5 x2 =

5

x3

Escriviu amb una sola arrel: 3

16

3

5 5

2

3

16

3

x4

5

x3

5

=

3

16 3 = 8 =2 2

=

5

x4 = x3

2

x4 x3

5

x

Racionalitzeu. a)

b)

1 5

1 5

9

9

2

2

3

3

5· 4

1

=

5· 4

5

=

=

2

3

1·5 32 5

2

2 5

3

3 · 3

=

5·3 22

=

5

32

5

5

=

3

2·3 2

=

5·3 22 ·3 2

5

9 3

2·3 2 5·3 23

=

2·3 2 3 2 = 5·2 5

Racionalitzeu a) b)

15.

3 = 10 3

a)

b)

14.

X4 x

5

Escriviu amb una sola arrel:

a)

13.

3

1 7

1

x4

7

x4

=

1

1

x2 7 x3

x2 7 x3

1·7 x3 7

=

x4 ·7 x3

=

7

x3

7

x7

1·7 x 4 x2 7 x3 ·7 x 4

=

7

7

=

x3 x

x4

=

x2 7 x7

7

7 4 x4 x = x2·x x3

Racionalitzeu a)

b)

c)

1 3− 2

1 3− 2

2

2

5 +2

5 +2

1

1

3− x

3− x

=

=

=

(

1· 3 + 2

(

)(

)

3− 2· 3+ 2

(

2· 5 − 2

)

)

=

(3 − x )(· 3 + x )

=

(

)(

5 +2 · 5 −2

(

1· 3 + x

)

)

=

(

3+ 2 3−2

)=

(

3+ 2

)

10 − 2 2 = 10 − 2 2 5−4

3+ x 9−x

MATEMÀTIQUES B „

27

Potències i radicals 4. Operacions amb radicals Suma i resta de radicals Per sumar o restar radicals cal que siguin semblants (que tinguin el mateix índex i el mateix radicand). Quan això passa se sumen o es resten els coeficients de fora i es deixa el mateix radical.

8 + 2 = 23 + 2 = =2 2+ 2 =3 2

x + 6 x3 =

x+ x =2 x

Producte de radicals Per multiplicar radicals cal que tinguin el mateix índex. Quan això passa el resultat és un radical del mateix índex i que té com a radicand el producte dels radicands. En cas de tenir un índex diferent, en primer lloc es redueixen a índex comú.

3

3· 2 = 6 32 ·6 23 = 6 9·8 = 6 72

5

x· x = 10 x2 ·10 x5 = 10 x7

Quocient de radicals Per dividir radicals cal que tinguin el mateix índex. Quan això passa el resultat és un radical amb el mateix índex i que té com a radicand el quocient dels radicands. Si tenen un índex diferent, primer es redueixen a índex comú.

28

„ MATEMÀTIQUES B

2 3

2

4

x

8

x

=

=

6

23

6

22

8

x2

8

x

= 62

=

8

x

Potències i radicals EXERCICIS resolts 16.

Calculeu la suma: a)

40 + 90

b) 2 32 − 8 c)

3

4 + 6 16 1 +5 8 2

d) 2

17.

18.

4·10 + 9·10 = 2 10 + 3 10 = 5 10

2 32 − 8 = 2 25 − 23 = 2·22 2 − 2 2 = 8 2 − 2 2 = 6 2 3

4 + 6 42 =

3

4 + 6 16 =

1 +5 8 = 2

2

3

4 + 3 4 = 23 4

4·1 + 5 23 = 2 + 10 2 = 12 2 2

Calcular i simplificar: a)

4

3·5 27

4

3·4 27 = 4 81 = 4 34 = 3

b)

3

x·9 x2

5

x·5 x2 =

c)

5

x3 x· x

5

x3 x· x =

d)

3

2· 2·4 8

3

2· 2·4 8 = 3 2· 2·4 23 = 12 24 ·12 26 ·12 29 = 12 219 = 212 27

3

16

5

x3 5

x·x3 · x = 10 x 4 · x = 10 x4 ·10 x5 = 10 x9

Calcular i simplificar: a)

b)

a)

b)

19.

40 + 90 =

3

16

5

2

7

x4

7

x4

14

x3

14

x3

5

2

6

84

6

84

8

3

4

8

3

3

X4 x 4

3

=

3

24

5

14

x8

14

x3

= 8

x4 x x

15

=

2

6

4

4

x

=

15

2

4

3

=

3

2

6

212

8

6

x·x8

=

= 15 217 = 215 22 = 215 4

3

= 14 x5

(2 ) (2 ) 3

220

4

=

2

=

x

24

(2 ) (2 ) 12

6

x9

4

=

x

12 12

=

3

6

24

4

x18 x

24

248

24

18

2

=

24

230 = 4 25 = 2 4 2

= 12 x15 = x12 x3

3

Calcular i simplificar: 2·3 4

a)

4

2·3 4

8

4

5

b)

5

2 2·3 4

8

=

2 2·3 4 8

2·3 22 4

3

2 5

=

12

26 ·12 28 12

2·22 ·3 22 23

8 =

=

1 30

216

=

9

2

= 30

30

=

10

12

224

12

2

23 ·3 22 23

214

216 ·30 214

= 12 215 = 4 25 = 2 4 2

9

=

=

30

30

214

30

230

29 ·30 220 30

=

245 30

=

214 = 2

30

229

30

245

=

15

27 2

MATEMÀTIQUES B „

29

Potències i radicals Per practicar

1. Escriviu

com fraccionari:

a

potència

a)

5

b)

3

c)

a3

d)

5

d'exponent

8. Multipliqueu els radicals següents

a)

x2

c)

a3

3

e)

3· 6

b) 5· 2·3· 5

12·3 9

d)

2ab·4 8a3

f) 4 2x2y3 ·6 5x2

x·3 2x2

2. Escriviu com un radical: 1

3

a) 32

b) 52

1

5

c) x 5

d) x 3

9. Multipliqueu els radicals següents

a)

4

c)

14

25 x6

b)

8

d)

30

c) (2 3 + 5 − 5 2 ) ⋅ 4 2

82

d) ( 5 + 3 ) ⋅ ( 5 − 3 )

16·x8

10. Dividiu els radicals següents

4. Extraieu tots els factors possibles dels

radicals següents

a)

b)

18

9a3

c)

5. Introduïu dins del radical tots els factors

possibles que s'hi trobin fora. b) 2· a 2

c) 3a· 2a

23

d) ab

6. Reduïu

a l'índex següents radicals. 5; 4 3

a) c)

4

b)

8

3; 7; 2

b)

comú

4; 4 3; 2 6

els

a)

d)

20 +

1 45 + 2 125 3

a) c)

„ MATEMÀTIQUES B

3

6

x5

8

x3

5

24 2

4

x3 3 x2 x

b)

5

x2 4 x3

d)

6

23 2 2

2

b)

7 2a 2ax

d)

1 3 1 5

x3

13. Racionalitzeu.

a) c)

30

9

f)

4a2

12. Racionalitzeu.

75 − 147 + 675 − 12 175 + 63 − 2 28

9

4

3

3; 32 ; 5

45 − 125 − 20

c)

3

8a3b

ab

c)

d)

3x

3

11. Calculeu:

7. Sumeu els següents radicals indicats.

a)

e)

3

d)

5 3xy

2

mínim 3

9x

c)

75x2y3

b)

3x

16

98a3b5c7

d)

a) 3· 5

6x

a) 3

)

2− 3· 2

b) (7 5 + 5 3 ) ⋅ 2 3

3. Simplifiqueu els següents radicals:

a)

(

2 3 −1

5 4-

11

b) d)

3+ 5 3− 5 2 2 +1

Potències i radicals

Per saber-ne més 1

n = a1 +

Aproximació d'una mitjançant fraccions

1

a2 +

a3 +

1 a4 +

1 ...

arrel

quadrada

Qualsevol nombre irracional es pot aproximar mitjançant una fracció, que s'obté a partir del seu desenvolupament en fracció contínua. Mitjançant les fraccions contínues es pot aproximar qualsevol arrel a una fracció.

Desenvolupament de: 1+ 1+

2 = 1' 4142

1

=

2

3 2

1 2+

1

La primera xifra a1 és la part sencera de l'arrel

= 1'5 7

=

5

x1 = 2 a1 = ⎡⎣x1 ⎤⎦ = ⎡ 2 ⎤ = 1 ⎣ ⎦

= 1' 4

2

La segona xifra a2 és la part sencera de x2

1

1+

Algorisme

2+

2+

17

=

1

12

2

2 =1+ =

1

2+

2+

29

= 1' 4167

1

=

99 70

= 1' 4142

1 2+

1

5 = ⎡⎣2, 4⎤⎦ 6 = ⎡⎣2,24⎤⎦

1 2 −1

= 2 +1

1 x3 1 1 ⇒ 2 −1 = ⇒ x3 = x3 x3

1 2 −1

= 2 +1

a3 = ⎡⎣x3 ⎤⎦ = ⎡ 2 + 1⎤ = 2 ⎣ ⎦

2

Altres desenvolupaments

3 = ⎡⎣1,12⎤⎦

x2 = 1 +

2 +1 = 2 +

1 2+

1 1 ⇒ 2 −1 = ⇒ x2 = x2 x2

a2 = ⎡⎣x2 ⎤⎦ = ⎡ 2 + 1⎤ = 2 ⎣ ⎦

2

1 2+

1 x2

La tercera xifra a3 és la part sencera de x3

1 2+

41

1

2+

1+

x1 = 1 +

1

1

1+

= 1' 4166

7 = ⎡⎣2,1114⎤⎦ 8 = ⎡⎣2,14⎤⎦ 10 = ⎡⎣3,6 ⎤⎦

No és necessari fer més càlculs perquè es repeteixin periòdicament els quocients.

2 = ⎡⎣1,2⎤⎦ = 1 +

1 1

2+ 2+

1 2 + ...

MATEMÀTIQUES B „

31

Potències i radicals Recordeu el més important Potència d’exponent fraccionari

Radicals

Anomenem arrel n-èsima d’un nombre donat el nombre que elevat a n ens dóna el primer.

Un radical és equivalent a una potència d’ exponent fraccionari, en què el numerador de la fracció és l’exponent del radicand i el denominador de la fracción és l’índex de l’arrel.

L’expressió n a és un radical d’ n, i el radicand a. n

a = b ⇔ a = bn n

Propietat fonamental

m

am = a n

El valor d’un radical no varia si es multipliquen o es divideixen per un mateix nombre l’índex i l’exponent del radicand. n

am =

n·p

am·p

Reduir a índex comú

Operacions amb radicals

Reduir a índex comú dos radicals donats és trobar dos radicals equivalents a aquests radicals que tinguin el mateix índex.

Per multiplicar (o dividir) radicals del mateix índex es deixa l’índex i es multipliquen (o divideixen) els radicands. Per trobar l’arrel d’un altre radical es deixa el radicand i es multipliquen els índexs.

Els radicals semblants

Són aquells que tenen el mateix índex i el mateix radicand. Poden diferir únicament en el coeficiente que els multiplica.

Per sumar (o restar) radicals semblants es deixa el radical i se sumen (o resten) els coeficients.

Racionalitzar

Racionalitzar una expressió amb radicals en el denominador és trobar una expressió equivalent que no tingui arrels en el denominador.

32

„ MATEMÀTIQUES B

Potències i radicals Autoavaluació 1. Calculeu l’arrel següent:

7

78125

2. Escriviu en forma d’exponent fraccionari:

3. Calcular:

10

x3

18 − 98

4. Introduïu el factor en el radical: 6 4 5

5. Calculeu, simplifiqueu i escriviu com un únic radical: 7

73 3

6. Extraieu factors del radical:

7. Racionalitzeu:

4

243

45 3

25

8. Calcular i simplificar:

9. Calcular i simplificar:

4

2·5 4

7

125 3

5

10. Quant fa l’aresta d’un cub si el seu volum és 1331m3

MATEMÀTIQUES B „

33

Potències i radicals Solucions dels exercicis per practicar 1

2

1. a) 52

b) x 3

3 2

3 5

c) a

2. a) c)

3 5

3. a) c)

7

e)

3

5

x

d)

3

5

b)

4

x3

d)

15

4. a) 3 2

c)

d) a b)

x5

8

6. a)

4

d)

4

32a5b f)

6

12

4x7

200x10y9

c) 8 6 + 4 10 − 20 d) 2

4x2

b) 2 3 2

10. a)

45

b)

18a4

d)

2abc

4a 3

25; 4 3

b)

12

256;12 27;12 4

c)

18

9; 8 7; 8 216

d)

6

27; 6 32; 6 25

7. a) −4 5 b) 11 3 c) 4 7

108

b) 14 5 + 30

c) 3a a d) 7ab c

c)

b) 15 10

9. a) 2 − 6

2 33

5. a)

18 3

8. a)

d) 15 5

a5b7

2

b) y x 6

c)

6

81x

d)

e)

6

243

f)

11. a)

4

2

b)

20

d)

3

c)

12. a) c)

13. a)

24

x23

2 7 7

b)

24

8a3b2

x11 x11

x2

3 3 5

x2 x

2ax x

d)

3 +1

b) −7 − 3 5

c) 4 +

11 d) 2 -

2

solucions de L'AUTOAVALUACIÓ 1. 5 3

2. x10 3. −4 2

6480

4.

4

5.

21

1029

6. 3 4 3 7. 93 5 8.

20

8192

9.

21

25

No us oblideu d'enviar les activitats al tutor o tutoraf

10. 11 cm

MATEMÁTICAS B „

34