´ gico de Costa Rica Instituto Tecnolo ´tica Escuela de Matema ´tica General Matema

Pr´actica 06 Geometr´ıa

I. Plantee y resuelva los siguientes problemas: 1) Un a´rbol proyecta una sombra de 5 m en el mismo instante en el que un poste de 6 m de altura, pr´oximo al a´rbol, proyecta una sombra de 2 m. Halle la altura del a´rbol, si tanto este como el poste forman un a´ngulo recto con el suelo. 2) Se sirve una bola de tenis desde una altura de 7 pies, pasando ajustadamente sobre una red de 3 pies de altura; si el servicio se hace a una distancia de 40 pies de la red, ¿a qu´e distancia de la red dar´a la bola en el piso? 3) En un tri´angulo equil´atero de lado 8 cm, ¿cu´al es la longitud de la altura correspondiente a cualquiera de sus lados? Si el lado es de longitud l, exprese la longitud de la altura en t´erminos de l. 4) ¿Cu´al es el ´area de un rect´angulo si su per´ımetro es 50 cm y la diferencia entre su base y su altura es 5 cm? 5) En un rombo, cada lado mide 10 cm de longitud y una de sus diagonales mide 12 cm. Determine el ´area del rombo y calcule la distancia que hay desde el punto de intersecci´on de sus diagonales con cualquiera de sus lados. √ 6) Calcule el a´rea de un cuadrado cuya diagonal mide 5 2 cm. 7) Dos tri´angulos ABC y DEF son tales que: m∠A = m∠D, m∠B = m∠E. Si los lados de estos tri´angulos miden, respectivamente: a = 24 cm, b = 16 cm, c = 36 cm, d = 18 cm, e = 12 cm y f = 27 cm, justifique por qu´e los tri´angulos son semejantes y halle la raz´on de semejanza del primero respecto del segundo. 8) Los lados de un tri´angulo miden 48 m, 56 m y 32 m, respectivamente. Si el per´ımetro de un tri´angulo semejante a ´el es 51 m, determine las longitudes de sus lados. 9) Los lados de un tri´angulo rect´angulo miden 6 m, 8 m y 10 m, respectivamente. ¿Cu´anto miden los catetos de un tri´angulo semejante al primero, si su hipotenusa es igual a 15 m? 10) En un tri´angulo rect´angulo, los segmentos determinados en la hipotenusa por la altura correspondiente miden 9 cm y 4 cm, respectivamente. Halle la longitud de la altura sobre la hipotenusa y la medida de los catetos de dicho tri´angulo. 11) La base de un tri´angulo is´osceles mide 24 cm y los lados congruentes miden 20 cm, halle la medida de la altura sobre la base del tri´angulo. 12) Uno de los catetos de un tri´angulo rect´angulo mide 24 cm y la proyecci´on del otro sobre la hipotenusa mide 10,8 cm. Determine la medida de la hipotenusa del tri´angulo.

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13) La base y la altura de un rect´angulo miden 12 cm y 5 cm, respectivamente. Halle la altura 4 del ´area del de otro rect´angulo, si se sabe que tiene 20 cm de base y que su ´area es 3 primero. √ 14) El a´rea de un tri´angulo equil´atero es 200 3 dm2 ; determine la distancia del ortocentro a cualquiera de los v´ertices de dicho tri´angulo. 15) Halle el a´rea de un tri´angulo rect´angulo is´osceles cuya hipotenusa mide 12 cm. 16) Determine el a´rea de un c´ırculo cuya circunferencia tiene 24 cm de longitud. 17) Calcule el a´rea de un c´ırculo, sabiendo que el cuadrado inscrito en ´el tiene 100 cm2 de ´area. 18) Halle el a´rea de la porci´on del plano limitada por una circunferencia de radio igual a 6 cm y por el contorno de un hex´agono regular inscrito en ella. 19) Determine el a´rea de un segmento circular, de un c´ırculo de 6 cm de radio, cuya medida del arco subtendido es 60◦ . 20) Calcule el a´ngulo central de un sector circular, de un c´ırculo de 15 cm de radio, cuya a´rea es 95 π cm2 . 2π . 21) Halle el a´rea de un sector circular de radio 10 cm cuyo arco subtendido mide 5 22) Determine el a´rea y el volumen de un prisma recto, cuyas bases son tri´angulos equil´ateros de 4 cm de lado y cuya altura mide 7 cm. 23) Halle la longitud de la arista de un cubo sabiendo que su diagonal mide 15 cm. 24) Halle el a´rea de la base de un cilindro, sabiendo que su ´area total es 480 π cm2 y que su altura mide 40 cm. 25) Determine el a´rea lateral de un cono, sabiendo que el radio de su base mide 6 cm y que su altura mide 8 cm. 26) Halle el a´rea lateral de un cilindro de radio r, cuya altura es igual a la medida del lado del tri´angulo equil´atero inscrito en su base. 27) Al contenido de un cubo de 5 cm de arista se le quita la capacidad de un cilindro de 3 cm de di´ametro que posee la misma altura. Calcule el volumen restante en el cubo. 28) Dos esferas de metal de radios 2r y 3r, respectivamente, se funden juntas para hacer una esfera mayor. Calcule el radio de la nueva esfera. 29) Al introducirse un s´olido de superficie irregular en un recipiente con forma de paralelep´ıpedo, con dimensiones 2 dm × 3 dm en su base, el nivel del agua subi´o 4 dm. ¿Cu´al es el volumen del s´olido irregular? 30) La altura de un cono es 5 cm y un plano a 2 cm del v´ertice del cono es paralelo a su base. Si el volumen del cono m´as peque˜ no es 16 π cm3 , ¿cu´al es el volumen del cono m´as grande? 31) Un tronco de cono tiene 8 dm de altura; si los radios de sus bases son 4 dm y 6 dm, respectivamente, ¿cu´al es el volumen del tronco de cono? NOTA: Un tronco de cono se obtiene cortando un cono con un plano paralelo a la base a una distancia menor que su altura. 2

32) Dentro de una caja c´ ubica, cuyo volumen es 64 cm3 , se coloca una bola que toca a cada una de las caras en su punto medio. Calcule el volumen de la bola. 33) Encuentre el volumen de un cono circular recto, si se sabe que su generatriz mide 25 cm y que su altura mide 24 cm. 34) Determine el volumen de un un cilindro circular recto de 12 cm de altura, si se sabe que el ´area lateral de dicho cilindro es 168 π cm2 . 9 35) Si el volumen de un cono es 384 π cm3 y su altura es partes del radio, halle el ´area de 4 su base. II. En cada caso, utilice el dibujo que se proporciona para resolver los siguientes problemas (las figuras no est´an hechas, necesariamente, a escala) 1) En la siguiente figura, AE = 12, EB = 28, CE = 15 y AC = 18; halle ED y BD, si se sabe que AC  BD.

2) En la siguiente figura se tiene que AB  CD  EF . Determine el valor de x.

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3) Halle el valor de x para la siguiente figura.

4) El a´rea de un cuadrado es 144 cm2, determine el ´area del c´ırculo circunscrito a dicho cuadrado.

5) El cuadrado ABCD tiene 4 m de lado. Si M, N, P y Q son los puntos medios de sus lados, halle el ´area de la regi´on sombreada.

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6) En el hex´agono regular ABCDEF de 2 cm de lado, se trazan las diagonales AE y BD. Halle el ´area de la regi´on sombreada.

7) Las tangentes AB y AC, trazadas desde un punto A a una circunferencia de centro O y de 3 cm de radio, forman un a´ngulo de 60◦ . Halle el ´area de la regi´on sombreada.

8) Las circunferencias congruentes de centros O1 y O2 tienen 6 cm de radio. Halle el ´area de la regi´on sombreada.

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9) En la figura adjunta, el tri´angulo equil´atero ABC est´a inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio. Halle el ´area de la regi´on sombreada.

10) Determine el volumen del espacio limitado entre el cono y el prisma, de acuerdo con las medidas indicadas en la siguiente figura.

11) Considere el tri´angulo de la figura y determine la longitud de AD y CD, si se tiene que AC = 20 cm, BC = 15 cm y, adem´as, el a´ngulo en C es recto (mide 90◦ ).

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12) En la siguiente figura se tiene un c´ırculo, de centro E y de 8 cm de radio, inscrito en el ABC; si y = EB y x = DC: (a) muestre que DBC ∼ F BE (b) determine el ´area del ABC en t´erminos de y

13) Determine el a´rea sobreada en cada uno de los siguientes casos (a)

(b)

(c)

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Respuestas I. 1) La altura del a´rbol es 15 m 2) La bola dar´a en el piso a 30 pies de la red

√ 3) Para el tri´a√ngulo de lado 8 cm su altura es 4 3 cm. Para el tri´angulo cuyo lado mide l su l 3 altura es 2 4) El a´rea del rect´angulo es 150 cm2 5) El a´rea del rombo es 96 cm2 y la distancia del punto de intersecci´on de sus diagonales con cualquier lado es 4,8 cm 6) El a´rea del cuadrado es 25 cm2 7) Los tri´angulos son semejantes porque dos pares de a´ngulos correspondientes, respectivamente, son congruentes; o bien, porque sus tres pares de lados correspondientes son 4 proporcionales. La raz´on de semejanza es 3 8) Las longitudes de los lados son 18 m, 21 m y 12 m 9) Los catetos miden 12 m y 9 m, respectivamente

√ 13 cm y 10) La altura sobre la hipotenusa del tri´ a ngulo mide 6 cm; sus catetos miden 2 √ 3 13 cm, respectivamente 11) La altura del tri´angulo es 16 cm 12) La medida de la hipotenusa del tri´angulo es 30 cm 13) La altura del tri´angulo es 4 cm 14) 15) 16) 17) 18) 19)

√ 20 6 La distancia del ortocentro del tri´angulo a cualquiera de sus v´ertices es dm 3 El a´rea del tri´angulo es 36 cm2 144 cm El a´rea del c´ırculo es π El a´rea del c´ırculo es 50 π cm2 √ 
El a´rea de la porci´on del plano es 18 2 π − 3 3 cm2 √ 
El a´rea del segmento circular es 3 2 π − 3 3 cm2

20) El a´ngulo central del sector circular es 152◦ 21) El a´rea del sector circular es 2 π cm2 √  √
22) El a´rea del prisma es 4 21 + 2 3 cm2 y su volumen es 28 3 cm3 √ 23) La arista del cubo mide 5 3 cm 24) El a´rea de la base del cilindro es 36 π cm2 25) El a´rea lateral del cono es 60 π cm2

√ 26) El a´rea lateral del cilindro est´a dada por 2π 3 r 2 8

500 − 45 π cm3 27) El volumen restante del cubo es 4 √ 28) El radio de la nueva esfera es 3 35 r 29) El volumen del s´olido regular es 24 dm3 30) El volumen del cono m´as grande es 250 π cm3 31) El volumen del tronco de cono es 288 π dm3 32 π 32) El volumen de la bola es cm3 3 33) El volumen del cono es 392 π cm3 34) El volumen del cilindro es 588 π cm3 35) El a´rea de la base del cono es 64 π cm2 II. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

ED = 35 (ul) y BD = 42 (ul) x = 4,5 (ul) x = 12 (ul) El a´rea del c´ırculo es 72 π cm2 El a´rea de la regi´on sombreada es 8 m2 √ El a´rea de la regi´on sombreada es 2 3 cm2 √ 12 π − 9 3 7) El a´rea de la regi´on sombreada es cm2 4  √  2 8) El a´rea de la regi´on sombreada es 36 π − 3 cm  √  9) El a´rea de la regi´on sombreada es 4 4 π − 3 3 cm2

10) El volumen del espacio libre entre las figuras es 64 (12 − π) cm3 11) AD = 16 cm y CD = 12 cm 12) (a) SUGERENCIA: Observe que se trata de dos tri´angulos rect´angulos con un a´ngulo agudo en com´ un  8 (y + 8) y 2 − 64 (b) El a´rea del tri´angulo, en t´erminos de y, est´a dada por A = y−8 √ π (ul)2 3− 13) (a) El a´rea de la regi´on sombreada es 25 2 (b) El a´rea de la regi´on sombreada es 100 (ul)2 (c) El a´rea de la regi´on sombreada es 40 π (ul)2 Cr´editos: Isabel Aguilar D´ıaz Randall Brenes G´omez Cristhian P´aez P´aez Sandra Schmidt Quesada Marieth Villalobos J im´enez

(Asistente de la Revista Virtual; colabor´ o en parte de la edici´ on)

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