PRACTICA 2. ERRORES 1. ERRORES EN LAS MEDIDAS. ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO. Siempre que se hace alguna medida, es inherente la comisión de errores, debido a distintas causas. Por ello, al expresar una medida, debemos acompañar siempre el valor medido o calculado, de una cota que nos informe de cual es la incertidumbre de esa medida. Por ejemplo, si medimos una longitud, la forma correcta de dar el resultado sería: L = 23,45 ± 0,02 m (de forma general, se utiliza la simbología X ± ∆X). Ello no significa que, con toda seguridad, la medición que hemos hecho esté en el intervalo comprendido entre 23,43 y 23,47 m, sino que estará en dicho intervalo con una cierta probabilidad. Este margen de validez se conoce como error absoluto de una medida, y depende de varios factores, como la calidad del instrumento utilizado, el observador, el método de medición, la probabilidad deseada, etc… Existen dos reglas fundamentales para escribir correctamente el resultado de una medida: 1. El número de cifras significativas del error absoluto debe ser de una, y en casos excepcionales, hasta dos (siempre y cuando ambas cifras significativas formen un número < 25). Por tanto, el error absoluto deberemos redondearlo para que cumpla esta regla. Nota: Son cifras significativas: i. Cualquier dígito diferente de cero. ii. Los ceros situados entre números distintos de cero. iii. En cualquier número >1, los ceros situados a la derecha de la coma, son significativos. 2. La última cifra significativa de la medida y del error deben tener el mismo orden decimal. Es decir, no tiene sentido que la medida tenga mayor precisión que el error. Ejemplos: Medidas incorrectas 48,721 ± 0,32 V 4,6 ± 0,018 V 563 ± 10 cm 872·10-6 ± 0,86·10-4 N 4,678·10-8 ± 1,2·10-10 A 0,23±3 ºC

Medidas correctas 48,7 ± 0,3 V 4,60 ± 0,02 V 560 ± 10 cm 8,7·10-4 ± 0,9·10-4 N (4,68 ± 0,01) ·10-8 A 0±3 ºC

El error absoluto no es un parámetro que sirva de comparación entre dos medidas, pero sí que lo es el error relativo, cociente entre el error absoluto y la medida. Además, el error relativo es importante porque en el código de colores de resistencias y condensadores, el color de una de las bandas nos indica el error relativo (en %) del valor nominal dado por el resto de bandas de colores. El modo de calcular el error absoluto en una medida depende de si se trata de una medida directa o indirecta.

2. MEDIDAS DIRECTAS E INDIRECTAS • Una medida directa es aquella que se obtiene de manera directa de un aparato de medida. Por ejemplo, le medida de una longitud mediante un metro, o la medida de una resistencia eléctrica mediante un óhmetro son medidas directas. • Una medida indirecta es aquella que se obtiene mediante procesos de cálculo a partir de otras medidas. Es decir, no se obtiene directamente de un aparato de medida. Por ejemplo, si medimos la tensión entre los bornes de una resistencia y la corriente que circula por ella, el cociente entre tensión e intensidad V/I (ley de Ohm) nos permite conocer el valor de la resistencia, pero en este caso de forma indirecta. Otro ejemplo de medida indirecta sería el cálculo de la superficie de un cuadrado a partir de la medida de su lado. 3. CALCULO DEL ERROR ABSOLUTO EN MEDIDAS DIRECTAS En las medidas directas, lo habitual es que el fabricante del instrumento de medida nos facilite la hoja de características, donde se encuentra la información necesaria para conocer el error absoluto de una medida, además de otras informaciones para poder aprovechar al máximo el instrumento. 3.1 Cálculo del error absoluto en medidas directas sin hoja de características del instrumento de medida: En los casos en los que no existan características técnicas del aparato (o se quieran obtener estas), es necesario acudir a cálculos estadísticos para determinar la medida y su error absoluto: •

deberemos efectuar varias medidas (x1, x2,….. xn) n

∑ xi •

deberemos calcular su valor medio

x=

i =0

n n

∑ (x − x )

2

i

•

y estimar el error absoluto como la desviación típica: ∆x =

i =0

n −1

3.2 Cálculo del error absoluto en medidas directas a partir de la hoja de características técnicas: El error absoluto de una medida directa siempre se compone de dos partes diferenciadas: • •

El error cometido por el aparato durante la medición. El error de lectura cometido al transmitir la información desde el aparato de medida al observador.

Ambos errores se calculan de forma diferente según el instrumento de medida sea digital o analógico, y el error absoluto es siempre la suma de ambos.

Nota: Instrumento analógico es aquel que muestra la medida mediante una aguja en una escala graduada. Instrumento digital es aquel que muestra el valor de la medida en una pantalla con varios dígitos.

mA

Figura 1. Aparatos digital y analógico 3.2.1 Error absoluto en aparatos digitales. En los aparatos digitales, el error cometido por el aparato se llama error de precisión (accuracy), y se calcula como un porcentaje de la medida. La precisión aparece en la hoja de características, y a menudo depende de la escala y/o velocidad de medida utilizada, así como de otros factores. El error de lectura es causado por el redondeo del aparato al mostrar el resultado en pantalla, y corresponde a un determinado número de unidades de la última cifra que aparece en la pantalla del instrumento. El número de unidades de esta cifra que nos dan el error de lectura viene indicado en la hoja de características. Por ejemplo, supongamos que consultamos la hoja de características del multímetro digital Fluke 45 mostrado en la figura 1. La figura muestra la medida de una corriente (1,436 mA) en corriente continua, y con esta información, la hoja de características nos dice que la precisión es de 0,3% + 2 d (2 d significa que el error de lectura es de dos unidades de la última cifra en pantalla. La última cifra en pantalla corresponde a milésimas de miliamperio, 0,001 mA). Según ello, el error absoluto de esta medida es: Error de precisión: 1,436 Error de lectura:

0,3 = 0 ,004308 mA 100

2*0,001=0,002 mA

Error absoluto: 0,004308+0,002=0,006308, que se redondea a 0,006 Por tanto, la expresión correcta de esta medida sería: 1,436±0,006 mA 3.2.2. Error absoluto en aparatos analógicos. En los aparatos analógicos, el error cometido por el aparato se llama error de clase, y se calcula como un porcentaje del fondo de escala (el máximo valor que puede medir el aparato en la escala en la que se encuentra). Dicho porcentaje (clase) suele aparecer en la escala graduada del instrumento de medida. El error de lectura es causado por la dificultad del observador de interpretar exactamente la posición de la aguja. Depende de la vista del observador y también de

la amplitud de las divisiones que aparecen en la escala de medida. No obstante, lo habitual es que el error de lectura se tome igual a media división de las más pequeñas que aparecen en la escala de medida; esto es equivalente a admitir que el observador es capaz de discernir cual es la raya de la escala más próxima a la aguja del aparato. Supongamos que hacemos la medida de la figura. El voltímetro analógico es de clase 2,5; el fondo de escala es de 15 V, y Figura 2: Ejemplo de medida con cada división de la escala corresponde a 0,5 un voltímetro analógico. V, por lo que el error de lectura (media división) será de 0,25 V. Por tanto, el error absoluto de esta medida sería: 2,5 = 0,375 V 100 1 Error de lectura: 0 ,5 = 0,25 V 2 Error absoluto: 0,375+0,25=0,625, que se redondea a 0,6 Por tanto, la expresión correcta de esta medida sería: 2,9±0,6 V.

Error de clase: 15

4. CALCULO DEL ERROR ABSOLUTO EN MEDIDAS INDIRECTAS Para calcular el error absoluto cometido en una medida indirecta, previamente es necesario conocer los errores absolutos de las medidas a partir de las cuales obtenemos la medida indirecta. En función de estos errores y de la función que nos permite calcular la medida indirecta, se puede conocer cómo se propagan los errores. a) Medidas indirectas dependientes de una única variable. Si la medida que estamos calculando sólo depende una variable, el cálculo del error es inmediato: Supongamos que queremos medir de forma indirecta una magnitud “y”, a partir de otra magnitud “x”, conociendo esta última con su error absoluto x ± ∆x, y también la función que relaciona y con x, y=f(x). Si representamos dicha función, una variación ∆x en torno a x (un error) se convierte en una variación ∆y en torno a y: Y

∆y = ∆x ⋅ tgϕ

Y+∆Y Y Y-∆Y

∆y

ϕ

tgϕ =

∆x

X-∆x X X+∆x

∆y =

X

dy dx

dy ∆x dx

Como la derivada de una función puede ser tanto positiva como negativa, para evitar errores absolutos negativos, la derivada se toma en valor absoluto: ∆y =

dy ∆x dx

[1]

EJEMPLO: Supongamos que medimos el lado de un cuadrado resultando un valor de a=24,2±0,4 m y a partir de este valor, queremos calcular la superficie del cuadrado con su error absoluto. La superficie de un cuadrado (S) viene dada por la ecuación S=a2 siendo a el lado del cuadrado. La superficie del cuadrado es S=24,22=585,64 m2. En cuanto a su error absoluto, aplicando la ecuación [1], donde a es la variable independiente (x) y S la dS variable dependiente (y), y teniendo en cuenta que = 2a y que ∆a = 0,4 m: da dS ∆S = ∆a ⇒ ∆S = 2a∆a = 2 ⋅ 24 ,2 ⋅ 0,4 = 19 ,36 m 2 da Siguiendo las reglas para la correcta escritura de errores, primero escribimos correctamente el error calculado; el error es redondeado de forma que tenga una única cifra significativa, a 20 (última cifra significativa en las decenas), y como el orden decimal de la última cifra significativa de medida y error deben coincidir, la medida debe ser redondeada hasta las decenas, quedando en 590. Por tanto, la expresión correcta de la superficie calculada sería: S=590±20 m2 b) Medidas indirectas dependientes de varias variables. Si la medida indirecta que queremos calcular depende de más de una variable, entonces el error absoluto de la medida indirecta se calcula como en la ecuación [1] pero con la suma de todas las derivadas parciales de las variables. Supongamos que tenemos una magnitud y que depende otras tres, x, z y t. Entonces:

∆y =

∂y ∂y ∂y ∆x + ∆z + ∆t dx dz dt

[2]

EJEMPLO: Supongamos que medimos la d.d.p. en bornes de una resistencia con su error absoluto (V±ΔV), obteniendo 3,2±0,5 V y la corriente que circula por ella (I±ΔI), obteniendo 1,212±0,003 mA, y aplicando la ley de Ohm queremos calcular el valor de V 3,2 la resistencia R = = = 2,64026.... KΩ . En este caso, la resistencia depende de I 1,212 dos variables, V e I. Mediante la ecuación [2] podemos conocer el error absoluto de la resistencia calculada (recordar que hacer una derivada parcial significa derivar respecto de la variable indicada, tratando el resto de variables como constantes): ∆R =

∂R ∂R 1 V 1 3,2 ∆V + ∆I = ∆V + 2 ∆I = 0,5 + 0,003 = 0,41907... KΩ [3] dV dI I I 1,212 1,2122

Así pues, redondeando el error a 0,4 y consecuentemente la medida a 2,6 la resistencia medida valdría: R=2,6±0,4 KΩ

5. ERRORES SISTEMATICOS Y ACCIDENTALES Todo error de una medida se puede clasificar en uno de los dos grupos siguientes: a) Errores sistemáticos: Son aquellos errores que se producen de manera sistemática al hacer una medida. La desviación siempre se produce o por exceso o por defecto, por lo que la realización de muchas medidas y su tratamiento estadístico no sirve para corregirlo. Normalmente proceden de una mala calibración del aparato de medida (por ejemplo si la posición del cero está mal ajustada), o porque el proceso de medición afecta a la propia medida (por ejemplo, al medir la temperatura con un termómetro, el propio termómetro altera la temperatura que queremos medir). Los errores sistemáticos deben ser eliminados al máximo (siempre que sea posible), calibrando previamente los aparatos, o estimando el error introducido al efectuar la medida. Cuando ello no sea posible, será necesario utilizar una curva de calibración. b) Errores accidentales: Son aquellos que se producen de manera aleatoria en las medidas, unas veces por exceso y otras por defecto. La realización de varias medidas y su posterior tratamiento estadístico minimiza estos errores.

PRACTICA 2. ERRORES EN LAS MEDIDAS. REALIZACION DE LA PRACTICA a) OBJETIVOS El objetivo de esta práctica es aprender a tratar y, en la media de lo posible corregir, los errores en las medidas. Para ello se medirá una misma resistencia de cuatro maneras distintas, calculando en cada caso los errores asociados a las medidas: b) MATERIAL • Fuente de c.c. Gold Source • 2 Multímetros digitales Fluke 45

• •

Voltímetro analógico Demestres 1 Resistencia de 15 KΩ

c) REALIZACION a) Toma la resistencia de 15 KΩ, verificando su valor nominal mediante el código de colores (si los colores no son perfectamente visibles, puedes utilizar el óhmetro para verificarlo). A partir de la cuarta banda, que nos da el error relativo, calcular el error absoluto de la resistencia. b) Utilizando el multímetro Fluke 45 como óhmetro, medir la resistencia junto con su error absoluto. Los datos necesarios para calcular el error absoluto deben ser consultados en las hojas de características del multímetro, teniendo en cuenta que el aparato está siendo utilizado como óhmetro en el rango que corresponda. c) Con la resistencia que queremos medir, montar el circuito de la figura, utilizando el generador de c.c. Gold Source como generador proporcionando 5 V, el voltímetro analógico Demestres como voltímetro, y como amperímetro el multímetro Fluke 45.

R

1 A

2

V 5V

Medir la tensión en bornes de la resistencia y la corriente que la atraviesa, con sus respectivos errores absolutos. Utilizando la ley de Ohm (R=V/I), calcular el valor experimental de la resistencia, y mediante la ecuación [3] de esta guía, calcular su error absoluto. Con el óhmetro, medir la resistencia interna del voltímetro Demestres. d) Repetir el apartado c) sustituyendo el voltímetro analógico Demestres por el segundo multímetro Fluke 45 configurado como voltímetro. Calcular el valor experimental de la resistencia y los errores absolutos asociados. En la hoja de características, buscar la resistencia interna ó impedancia de entrada del Fluke 45 como voltímetro (es la resistencia que presenta el voltímetro cuando se monta en un circuito).

e) MEMORIA Una vez efectuadas todas las medidas, cada grupo deberá elaborar una memoria de tres páginas como máximo (mecanografiadas en Arial 12 a simple espacio) en documento electrónico (formato .doc .docx ó .pdf). Formato PDF preferido. En dicha memoria deberán aparecer: • El número y título de la práctica • Los nombres de los autores (los asistentes a la sesión de Prácticas), el número de mesa, y la fecha. • Los apartados que se detallan a continuación, escribiendo todos los errores y medidas en forma correcta: o 1. Medidas y resultados correspondientes al apartado a). o 2. Medidas y resultados correspondientes al apartado b). o 3. Medidas y resultados correspondientes al apartado c). o 4. Medidas y resultados correspondientes al apartado d). o 5. Comparar las medidas obtenidas con los distintos métodos. En particular, comparar y valorar las medidas obtenidas con los métodos c) y d). ¿Porqué se obtienen resultados tan diferentes? ¿Qué voltímetro es “mejor” y porqué? Para responder a esta pregunta es conveniente comparar las resistencias internas de cada uno de los voltímetros y compararla con la de la resistencia medida. La memoria debe ser enviada mediante Poliformat (Tareas) (en uno de los formatos indicados) antes de las 12 pm del lunes siguiente a la sesión de Laboratorio en la que se tomaron las medidas. Pasado este tiempo, sólo en casos absolutamente excepcionales y con la adecuada justificación, será aceptada la memoria.