2 - TEORIA DE ERRORES : Calibraciones CONTENIDOS Errores sistemáticos.. Modelo de Student. Curvas de Calibración. Métodos de los Mínimos Cuadrados. Recta de Regresión. Calibración de Instrumentos OBJETIVOS






II.1

Explicar el concepto de error sistemático y la corrección de los mismos. Aplicar el Modelo Student y el método de los mínimos cuadrados. Operar con conceptos básicos de regresión. Realizar curvas de calibración para diferentes instrumentos. Utilizar la curva de calibración para corregir valores medidos.

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Los errores sistemáticos provienen de un defecto de construcción o calibración de un instrumento de medida. Pueden deberse también a métodos de medida erróneos o a la acción constante de agentes externos. La característica principal de este tipo de errores es que son constantes y periódicos y tienen por lo general igual sentido y magnitud (por exceso o por defecto). Los errores sistemáticos afectan a la exactitud de las medidas no así a la precisión. COMPENSACION DE ERRORES

II.1.1

* Método de los Mínimos Cuadrados

Sí se tiene una serie de medidas de dos magnitudes x e y que están relacionadas mediante alguna función y = f(x), cada una de las medidas es afectada por un cierto error y se tendrán tantos errores como tantas mediciones se efectúen. Sean n pares de medidas de x e y, relacionadas mediante una función lineal, es decir: Y = f ( x) = m.X + b Sí tenemos n pares de medidas de X e Y, de la siguiente manera: Nº de Mediciones

1

2

3

i

n

Xi

X1

X2

X3

Xi

Xn

Yi

X1

Y2

Y3

Yi

Yn

8

El propósito es ajustar la recta que mejor se aproxime a los n puntos, determinando los parámetros m y b de la recta de tal forma que la diferencia entre los puntos y la recta se mantengan en un valor mínimo. La recta que satisface esta condición es aquella que verifica que la sumatoria de las desviaciones elevadas al cuadrado es mínima. Dicho de otra manera la recta buscada es aquella que pasa por el centro geométrico de la nube de puntos y para la cual se observa una menor dispersión. Y

Y = f(x) = m.x+b m = tg α

α

ρ yi ∆ yi

yi

ρ yi

yi b xi

X

RECTA DE REGRESION

La siguiente deducción se realizó suponiendo que en el eje de las abscisas (X) se representa a la variable que tiene menor error, o sea los patrones. Además este error debe ser muy pequeño. Así, las desviaciones ei de la variable Yi respecto de la recta de ajuste pueden ser expresadas por :

e i = Yi − Yi Ahora bien, la suma de estas desviaciones elevadas al cuadrado debe ser mínima, lo que significa que: n

n

i =1

i =1

(

)

S = ∑ (ei )2 = ∑ Yi − Yi 2 = Mínimo o bien, n

S = ∑ (Y i − (b + m . X i ))2 = Mínimo i =1

Para que dicha suma sea mínima, la primera derivada debe ser cero, entonces, derivando la expresión anterior respecto de ¨m¨ y de ¨b¨ e igualando a cero las derivadas, se determinan los parámetros ¨m¨ y ¨b¨ que definen la mejor recta de ajuste de los puntos, estos son:

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n ∑ ( x i . Yi ) − n

m =

n

n

∑ x .∑ Y

i =1

i =1 n

i

i =1

i

  n . ∑ ( x i )2 − ∑ x i  2  i =1  i =1 n

∑( x ) .∑Y − ∑x . ∑( x Y ) n

n

n

n

2

b=

i =1

i

i

i =1 n

n. ∑( xi )

i =1

2

i =1

i

i =1

i. i

 n 2 − ∑ xi   i =1 

Donde: m = pendiente de la recta de ajuste b = ordenada al origen. La ordena al origen “b” determina un error fijo de magnitud constante cualquiera sea el valor de la medición. En el caso particular de que la ordenada al origen sea cero, la recta de ajuste pasa por el origen de coordenadas y las expresiones anteriores se simplifican a:

∑ ( x .Y ) n

m=

i =1 n

i

i

∑ (x ) i =1

2

i

Cuando la pendiente “m” es distinta a 1 (uno) indica que existe un error proporcional que depende del valor de la medición.

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II.1.2

CALIBRACION DE INSTRUMENTOS

Todo instrumento de medición tiene una cierta exactitud y precisión que depende del tipo de equipo y que afecta a la precisión y exactitud de las mediciones que se efectúan con él. Las características del instrumento son proporcionadas por el fabricante e incluyen por lo general los valores de exactitud, precisión, alcance, rango, entre otras. Todo instrumento de medición ni es perfecto, ni está exento de sufrir desgastes por la acción del tiempo, desajustes accidentales, etc. Lo cual trae aparejado una disminución en la calidad de sus mediciones, ya que cada lectura que se realice se verá influenciada por un error de tipo sistemático; por tal motivo deben efectuarse revisiones y controles periódicos del instrumento para asegurar una calidad constante en las mediciones. Un error sistemático, básicamente puede corregirse de dos formas: 1. Eliminando la causa que lo produce (calibración propiamente dicha). 2. Adicionando el valor del error sistemático a la medición sin corregir el instrumento (corrección de las mediciones). De ser posible, es recomendable eliminar las causas que producen el error sistemático y que pueden deberse principalmente a las siguientes causas, a saber: A. Hábitos de lectura incorrectos por parte del observador. B. Defectos de construcción del instrumento. C. Desca libración del instrumento. D. Acción constante de agentes externos. E. Métodos de medida inapropiados. En el caso de no poder eliminar el error sistemático se debe cuantificar el valor del mismo ya que este afectará al resultado de cada medición. A continuación se enuncian dos métodos usuales para su determinación y que se basan en la calibración mediante una o más magnitudes que se adoptan como referencia y control.

II.1.2.1

CALIBRACION MEDIANTE UNA MAGNITUD PATRON * Modelo de Student

Cuando se cuenta con una única magnitud patrón, puede aplicarse el modelo de Student que se enuncia brevemente a continuación: • • • •

Se debe medir ¨N¨ veces el valor patrón P (magnitud de referencia). Se evalúa el promedio de las mediciones Zi. Se calcula el desvío estandar muestral σ n-1 . Zi − P τ = Se determina el parámetro τ mediante la siguiente expresión. σ n −1

n

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•

• • •

II.1.2.2

Finalmente, se compara el valor de t con el de los coeficientes t de Student. Ahora bien, si τ < t entonces no hay evidencia de error sistemático, en cambio si τ > t entonces hay evidencia de error sistemático. En el caso de existir dicho error, este puede calcularse de la siguiente manera: δ = Zi − P Sí el valor promedio es mayor que el valor patrón, Z 〉 P , el error sistemático será por exceso, y para corregir la medición se deberá restar a cada medición Zi el valor de d . Sí el valor promedio es menor que el valor patrón, Z 〈 P , el error sistemático será por defecto, y para corregir la medición se deberá sumar a cada medición Zi el valor de d .

CALIBRACION MEDIANTE VARIAS MAGNITUDES PATRONES

Curvas de Calibración Muchas veces el instrumento trae medios para efectuar calibraciones sencillas, de manera tal, de cuantificar la falta de exactitud en forma analítica y poder corregir las lecturas que se hagan con tal instrumento; para ello es que se efectúan, las curvas de calibración. Para realizar una curva de calibración se procede de la siguiente manera: • • •

Se eligen una serie de magnitudes patrones P1, P2 ,P3, ....... Pn Se mide cada uno de los valores patrones con el instrumento que se desea calibrar, obteniéndose una serie de mediciones Z1, Z2 ,Z3, ....... Zn Con los valores obtenidos se tiene una serie de magnitudes que pueden ser representadas mediante una función, es decir: Z = f (P)

La cuál se representa en un sistema de ejes coordenados cartesianos obteniéndose un conjunto de puntos que pueden ajustarse, mediante el método de los mínimos cuadrados. Es conveniente notar que dicha función puede ser lineal o no, en cuyo caso el ajuste de los puntos puede ser una función diferente a la de una recta. Sí la relación es lineal, es decir, la curva es un polinomio de primer orden, el ajuste se denomina recta de regresión o regresión lineal y la función tendrá la forma: Z = f(P) = m.P + b donde los valores de m y b se calculan mediante las ecuaciones deducidas en el punto II.1.1. Así, de la recta de regresión obtenida se puede concluir lo siguiente: a) Sí el instrumento está bien calibrado, las mediciones efectuadas coincidirán con los valores patrones, la recta pasa por el origen del sistema de coordenadas cartesianas

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y su pendiente es igual a la unidad, es decir que su inclinación con el eje de abscisas es de 45º. (Figura 1)

Z

Z

Pendiente = π 4

O

Pendiente ≠ π radianes 4 P

Figura 1

O

Figura 2

P

b) Sí el instrumento no está bien calibrado, entonces cada medición estará afectada por un error sistemático que se determina de la ecuación de la recta de regresión.(Figura 2) Dicho error sistemático está conformado por dos tipos de errores: 1. El error fijo, que está determinada por b y que agrega un valor constante a cada medición. 2. El error proporcional, que está expresado por la diferencia m – 1 y que agrega un valor proporcional a cada una de las mediciones. Una vez determinada la curva de calibración del instrumento, esta se utilizará, cada vez que se efectúe una medición con dicho instrumento, para así poder corregir el valor medido.

Ejemplo: Supongamos que hallamos los siguientes valores de la curva de calibración: m = 1.001 y b = 0.05

Entonces: Z = 1.001 P + 0.05

Si pesamos un cuerpo desconocido en la balanza y nos da una lectura de 97 gr. (este es el valor de la lectura, o sea Z) para hallar el valor corregido ( o sea P) se debe proceder así: 97 gr. = 1.001 P + 0.05 Despejando P: P = 97 – 0.05

gr. = 96.85 gr.

1.001 Siendo finalmente P = 96.85 gr. el valor corregido por la curva de calibración.

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II. 2

PROCEDIMIENTOS

A) Determinación de la Curva de Calibración de una Balanza 1. Determinar las características de la balanza eléctrica (rango, alcance , exactitud, precisión, error de apreciación, etc.) 2. Seleccionar diez juegos de pesas patrones, tratando de cubrir el rango de la balanza. 3. Efectuar la medición de cada pesa patrón o juego de pesas, determinando los valores medidos. 4. Confeccionar una tabla de valores medidos, en función a sus correspondientes valores patrones. 5. Determinar la recta de regresión utilizando el método de los mínimos cuadrados, calculando los valores de su pendiente m y ordenada al origen b. MEDICION

VALORES PATRONES (Pi)

VALORES MEDIDOS (Zi)

∑ Pi=

∑ Zi=

(Pi . Zi )

Pi

2

1 2 . . . . 10 ∑ Pi . Zi=

∑ Pi = 2

( ∑ Pi ) = 2

6. Determinar la expresión de la curva de calibración para dicha balanza, esto es: Z= mP+b 7. Graficar en papel milimetrado la curva de calibración de la balanza. 8. Pesar un cuerpo cualquiera y corregir el valor medido mediante la curva de calibración. 9. Expresar todos los resultados con su correspondiente error. 10. Elaborar las correspondientes conclusiones de la experiencia.

B) Determinación de la Curva de Calibración de Urodensímetros Existen aparatos preparados para la lectura directa de la densidad de líquidos llamados densímetros. Se basan en la medición del volumen sumergido del cuerpo mientras flota 14

libremente en el líquido a medir. El densímetro se sumerge en el líquido y recibe un empuje de abajo hacia arriba, igual al peso del volumen del líquido desalojado. Cuando se equilibran el peso del aparato y el empuje el cuerpo flotará, dejándo sumergido un cierto volumen calibrado para leer directamente la densidad del líquido. Como el volumen del aparato siempre es el mismo, los diferentes empujes que reciba, dependerán directamente de la densidad del líquido analizado. Para efectuar la calibración del urodensímetro se deben preparar soluciones patrones de densidad conocida ( d1, d2, d3,......dn ), y efectuar las lecturas de estas soluciones con el aparato para obtener los valores (z1, z2, z3.....zn). Sí el aparato está bien calibrado, se deberá obtener una equivalencia total entre los valores leídos y entre los patrones ( Standard ). Esto es que si se representa graficamente se obtendría una recta de 45º que pasa por el origen. Sin embargo es de esperar que haya fluctuaciones que habrá de evaluar. Por lo tanto si denominamos d a la densidad de las soluciones standard, y z a las densidades correspondientes leídas con el densímetro, habrá una relación: z=md+b Siendo (m) el factor de corrección; sí m = 1, quiere decir que el urodensímetro es correctamente calibrado. Mientras que (b) es un factor de valor constante que cuantificará el error sistemático del urodensímetro si es que este error existe. Las condiciones totales de correcta calibración son: m = 1 y b = 0. 1. Preparación de la solución standard: Para ello se empleará como material el SO4K2 puro que se diluye en cantidades apropiadas de agua pura tridestilada y desmineralizada. De acuerdo a la tabla siguiente se preparan cinco concentraciones: Standard

Agua pura (cm3)

SO4K2 (g)

Densidad (g/l)

1 2 3 4 5

100

0

1,000

100

0,850

1,006

100

2,029

1,015

100

5,000

1,035

100

8,116

1,060

2. Se llena el vaso hasta tres cuartos de su capacidad con la solución standard y se coloca dentro el urodensímetro, pero suministrándole un movimiento de rotación, para estar seguros que flota libremente. 3. Se debe evitar la formación de burbujas y que el aparato toque las paredes del recipiente. 4. Se debe leer el fondo del menisco que se forma y la temperatura del líquido. 5. Se deben efectuar las correcciones por temperatura si corresponden.

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6. Determinar la recta de regresión utilizando el método de los mínimos cuadrados, calculando los valores de su pendiente m y ordenada al origen b. MEDICION

VALORES PATRONES (di)

VALORES MEDIDOS (zi)

(di. zi )

di

2

1 2 3 4 5 ∑ di=

∑ zi=

∑ di . zi=

∑ di = 2

( ∑ di ) = 2

7. Determinar la expresión de la curva de calibración para dicha balanza, esto es: z = md+b 8. Graficar en papel milimetrado la curva de calibración. 9. Determinar la densidad de una muestra cualquiera y corregir el valor obtenido mediante la curva de calibración realizada anteriormente.

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