PRÁCTICA 5 

1.- La función de demanda de un bien viene dada por
    · . Se pide:  a) Demuestre matemáticamente para que cantidad se obtiene el máximo de los ingresos totales. El ingreso total es la cantidad de producto por el precio del mismo. Por tanto, hay que maximizar la siguiente función: 2  2  R = p ⋅ x = p ⋅ 6 − ⋅ p = 6 ⋅ p − ⋅ p2 5  5  Para ver donde se maximiza esta función hay que ver donde se anula la primera derivada respecto al precio. ∂R 4 = 6 − ⋅ p = 0 ⇒ p = 15 2 ∂p 5 Para saber cuál es la cantidad que maximiza los ingresos hay que sustituir el valor del precio en la función de demanda: 2 15   x = 6 − ⋅  = 3 5 2  Al mismo resultado se llega poniendo los ingresos en función de la cantidad y derivando los ingresos respecto a la cantidad e igualando a cero: 2 5 x = 6 − ⋅ p ⇒ p = 15 − ⋅ x 5 2 5  5  R = p ⋅ x = 15 − ⋅ x  ⋅ x = 15 ⋅ x − ⋅ x 2 2  2  ∂R = 15 − 5 ⋅ x = 0 ⇒ x = 3 ∂x ∂2R ∂x 2

= −5 ⇒ máximo

b) ¿Qué valor tiene la elasticidad de la demanda en ese punto? El valor de la elasticidad en ese punto se calcula mediante la fórmula:

ε=

∂x p − 2 15 2 ⋅ = ⋅ = −1 ∂p x 5 3

c) Realice un gráfico en Excel en el que se encuentren la curva de demanda, la curva de ingreso marginal, los ingresos totales y el valor de la elasticidad. 30 20

P, Img, R

10

D

0

R

-10

0

2

4

6

8

ε Img

-20 -30 X

Microeconomía Intermedia. Curso 2011/2012 Facultad de Derecho y Ciencias Sociales de Ciudad Real (UCLM) Profesor: Julio del Corral Cuervo

PRÁCTICA 5 2. La demanda de entradas para visionar una película es:
     · . En el local donde se proyecta dispone de 120 localidades. a) ¿Qué precio debería cobrarse para llenar el local? ¿Cuál es el ingreso total que se obtiene a ese precio? Para llenar el local hay que poner el precio para que la cantidad demandada sea 120. Es decir, 120 = 200 − 20 P ⇒ p = 4 El ingreso total es de 4 · 120  480 b) ¿Se maximizan los ingresos a ese precio? Para saber si es el ingreso máximo que se puede obtener hay que ver si la elasticidad en el punto de equilibrio es -1.

ε=

) ∂x p 4 ⋅ = −20 ⋅ = −0,66 ∂p x 120

En el punto de equilibrio la demanda está en el tramo inelástico, por tanto, el ingreso podrá aumentarse si se incrementa el precio. Para saber el punto donde la elasticidad es -1 hay que hacer lo siguiente:

ε=

∂x p p ⋅ = −20 ⋅ = −1 ⇒ −20 ⋅ p = −200 + 20 ⋅ p ⇒ 200 = 40 p ⇒ p = 5 ∂p x 200 − 20 ⋅ p

Si el precio es 5 el número de espectadores es 100, por tanto el ingreso es 500. Otra forma de ver cuál es el ingreso máximo con 120 localidades es resolver este programa: max R = p ⋅ x s.a. x ≤ 120 −x  x = 200 − 20 ⋅ p ⇒ p =  + 10   20  2 x −x  R= + 10  ⋅ x = 10 ⋅ x − 20  20  ∂R x = 10 − = 0 ⇒ x = 100 ∂x 10  − 100  ⇒ p= + 10  = 5  20  c) ¿Cómo cambiarían las conclusiones si la capacidad de la sala fuese de 80 localidades? En este caso sabemos que el punto donde la elasticidad es -1 se sitúa en la cantidad 100, que no es alcanzable, por tanto la cantidad 80 se sitúa a la izquierda del punto donde la elasticidad es unitaria. En este caso lo que hay que hacer es poner el precio que hace que se complete el aforo dado que está en el tramo elástico de la demanda por lo que aumentar el precio va a tener un efecto negativo sobre el ingreso. Microeconomía Intermedia. Curso 2011/2012 Facultad de Derecho y Ciencias Sociales de Ciudad Real (UCLM) Profesor: Julio del Corral Cuervo

PRÁCTICA 5 Es decir, x = −200 + 20 ⋅ p ⇒ 80 = −200 + 20 ⋅ p ⇒ p = 6

Como conclusión de este ejercicio se obtiene que si el precio que llena el local (estadio, cine…) se sitúa en el tramo elástico de la curva de demanda es el precio que maximiza ingresos. Sin embargo, si el precio que llena el local se sitúa en el tramo inelástico podrán aumentarse los ingresos vía un aumento del precio. En consecuencia no siempre llenar la capacidad es lo más rentable. d) Realice un archivo de Excel que calcule el precio que hay que poner para maximizar los ingresos ante una demanda lineal y un límite de espectadores. 

3.- La función de demanda de un bien viene dada por la expresión:
  . a) Calcule el valor de la elasticidad de demanda para dos puntos cualquiera de esta curva de demanda. El valor de la elasticidad para cualquier punto de esta función es de -1. Por ejemplo para los puntos (1,100) y (2,50). 100 ∂x p ·  1 · 100 · 100 ·  1 ε 1 ∂p x 50 ∂x p ·  1 · 100 · 50 ·  1 ε ∂p x 2 b) Calcule los ingresos obtenidos en los dos puntos anteriores. ¿Es el mismo el ingreso en ambos puntos? Explique este resultado. Los ingresos obtenidos en los dos puntos son de 100 u.m. c) Realice un gráfico en Excel en el que se encuentren la curva de demanda, la curva de ingreso marginal, los ingresos totales y el valor de la elasticidad. 100 90 80 70 60

D

P 50 R

40

ε

30

Img

20 10 0 0

20

40

60

80

X

Microeconomía Intermedia. Curso 2011/2012 Facultad de Derecho y Ciencias Sociales de Ciudad Real (UCLM) Profesor: Julio del Corral Cuervo

100

PRÁCTICA 5 4.- Suponga que la función de producción a corto plazo de una empresa viene dada por la siguiente expresión:   ,  ·     ,  ·  , se pide: a) Analice la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de esta función de producción en el rango de L (0; 0,9). Realice el gráfico de dicha función en dicho rango de L en Excel. Para analizar la concavidad de una función hay que estudiar el signo de la segunda derivada de esa función. Si toma valor positivo es un tramo convexo, si toma valor negativo es cóncavo mientras que si es cero es un punto de inflexión. Vamos a calcular si tiene algún punto de inflexión en el rango relevante (0; 0,9).   ,    ·    · ,  ·         ·  · ,  ·     ! , "    #, $     ·  · ,  · ,   ,  %     #, $     ·  · ,  · ,   , " &   Por tanto, la función de producción tiene un punto de inflexión cuando L es aproximadamente 0,42. Si L es menor que 0,42 el valor de la segunda derivada es positivo por tanto en ese tramo la función de producción es convexa mientras que en el tramo 0,42-0,9 el valor de la segunda derivada es negativa por tanto en ese tramo la función es cóncava. b) Obtenga la función producto marginal del trabajo. Analice el crecimiento de esta función en el rango de L (0; 0,9). La función producto marginal del trabajo es la derivada de la función de producción. Para analizar el crecimiento de esta función hay que analizar su primera derivada, que es la segunda derivada de la función de producción. Hemos visto que desde cero hasta 0,42 el valor es positivo, por tanto la función es creciente. En 0,42 toma el valor cero por tanto tiene un óptimo que en este caso es un máximo y a partir de 0,42 toma valor negativo por tanto la función es decreciente. '(  ,    ·    · ,  ·   '(     ·  · ,  ·    

 ! , "

c) Obtenga la función producto medio del trabajo. Analice el crecimiento de esta función en el rango de L (0; 0,9). ')  ,     ,  ·   ') 

    · ,  ·   

  , 

La función producto medio del trabajo es el cociente entre la función de producción y el factor trabajo. Para analizar el crecimiento de esta función hay que analizar su primera derivada. Esta derivada se iguala a cero en 0,625 por tanto en este punto la función producto medio tiene un óptimo. Si el valor de L es menor que 0,625 el valor de la Microeconomía Intermedia. Curso 2011/2012 Facultad de Derecho y Ciencias Sociales de Ciudad Real (UCLM) Profesor: Julio del Corral Cuervo

PRÁCTICA 5 primera derivada del producto medio del trabajo es positiva por tanto la función es creciente y a partir de 0,625 toma valor negativo por tanto la función es decreciente. d) Realice un gráfico que contenga el producto medio del trabajo, el producto marginal del trabajo y la función de producción. 0.70 0.60 0.50 0.40 y 0.30

Pme

0.20

PMg

0.10 0.00 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

L 1

1

5.- Sea la función de producción: y = L 2 K 4 . a) Calcule qué tipo de rendimientos a escala presenta dicha función. y=K

1

4

⋅L

1

2

y* = (t ⋅ K ) 4 ⋅ (t ⋅ L ) 1

1

2

= t 0 ,75 ⋅ K

1

4

⋅L

1

2

Por tanto, tiene rendimientos decrecientes.

b) Calcule la función de la familia de isocuantas. Analice el crecimiento y concavidad de éstas. Haga el gráfico del mapa de isocuantas en Excel, para ello haga el gráfico de cuatro isocuantas. y=K

1 4

⋅L 1

K

1

4

1

2

 y L2 = ⇒ K =  1 y L 2

4

4   = y 2 = y 4 ⋅ L− 2  L 

dK = −2 ⋅ L−3 ⋅ y 4 < 0 ⇒ decreciente dL d 2K = −2 ⋅ −3 ⋅ L−4 ⋅ y 4 > 0 ⇒ convexa 2 dL

Microeconomía Intermedia. Curso 2011/2012 Facultad de Derecho y Ciencias Sociales de Ciudad Real (UCLM) Profesor: Julio del Corral Cuervo

PRÁCTICA 5 5000 4000 3000

y0

2000

y1

1000

y2

K

y3

0 0

0.005

0.01

L

c) Calcule la función de la RMST. Determine si dicha función es creciente o decreciente. 1

−1

PMg L K 4 ⋅1 2 ⋅ L 2 RMST = − =− 3 = − K ⋅ 2 ⋅ L−1 1 − PMg K 4 2 K ⋅1 4 ⋅ L dRMST = K ⋅ 2 ⋅ L− 2 > 0 ⇒ creciente dL

Microeconomía Intermedia. Curso 2011/2012 Facultad de Derecho y Ciencias Sociales de Ciudad Real (UCLM) Profesor: Julio del Corral Cuervo