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Breve historia de los N´ umeros Complejos

Breve historia de los N´umeros Complejos Teniendo conocimiento de c´ omo la raza humana ha adquirido su sabidur´ıa sobre ciertos hechos y conceptos, estaremos en mejor disposici´ on de juzgar c´ omo los ni˜ nos adquieren tal conocimiento. George P´olya (1887-1985)

Primeras referencias: SI-SXII La primera referencia escrita de la ra´ız cuadrada de un n´ umero negativo la encontramos en la obra Stereometr´ıa de Her´ on de Alejandr´ıa (Greciaaprox. 10-75) alrededor de la mitad del siglo I. √ √ Es este trabajo comparece la operaci´on 81 − 144 aunque es tomada como 144 − 81, no sabi´endose si este error es debido al propio Her´on o al personal encargado de transcribirlo. La siguiente referencia sobre esta cuesti´on se data en el a˜ no 275 en la obra de Diophantus (aprox. 200-284) Arithmetica. En su intento de c´alculo de los lados de un tri´angulo rect´angulo de per´ımetro 12 y a´rea 7, Diophantus plante´o resolver la ecuaci´on 336x2 + 24 = 172x, ecuaci´on de ra´ıces complejas como puede ser comprobado f´acilmente. Son los matem´aticos hind´ ues los que dan las primeras explicaciones a este tipo de problemas. Mahavira, alrededor del a˜ no 850, comenta en su tratado de los n´ umeros negativos que ”como en la naturaleza de las cosas una catidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener ra´ız cuadrada”. Alrededor de 1150 es Bhaskara quien lo describe de la siguiente forma: El cuadrado de un n´ umero, positivo o negativo, es positivo; la ra´ız cuadrada de un n´ umero positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe ra´ız cuadrada de un n´ umero negativo ya que un n´ umero negativo no es un cuadrado.

Primeros estudios: SXVI

J. Cardan (1501 - 1576) En 1545, Jerome Cardan (Italia, 1501-1576), un matem´atico, f´ısico y fil´osofo italiano, publica ”Ars Magna” (El Gran Arte) en el cual describe un m´etodo para resolver ecuaciones algebraicas de grado tres y cuatro. Esta obra se convert´ıa as´ı en el mayor tratado de a´lgebra desde los Babil´onicos, 3000 a˜ nos antes, que dedujeron c´omo resolver la ecuaci´on cuadr´atica. Un problema planteado por Cardan en su trabajo es el siguiente: An´alisis Matem´atico VI - Curso 2006/2007

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Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos producto sea... 40, es evidente que esta cuesti´on es imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la siguiente forma. Cardan aplicaba entonces su algoritmo al sistema de ecuaciones x + y = 10, xy = 40 dando como √ √ soluciones 5 + −15 y 5 − −15. Por multiplicaci´on probaba Cardan que el producto era 40. Esta es la primera constancia escrita de la ra´ız de un n´ umero negativo y de su manejo algebraico. Cardan tambi´en tropieza con estas ra´ıces en las soluciones que presenta de la ecuaci´on c´ ubica x3 = ax + b. Tales soluciones vienen dadas por:

      2 2      a 3 3 b b a 3 b 3 b   + − x= − + − . 2 2 3 2 2 3 √ √ Para la ecuaci´on x3 = 15x + 4 esta f´ormula da como soluci´on x = 3 2 + −121 + 3 2 − −121, √ √ la cual Cardan di´o por v´alida. Como esta ecuaci´on tiene las ra´ıces 4, −2+ 3 y −2− 3, interesaba la relaci´on con las propuestas por la f´ormula de Cardan. Fu´e el ingeniero hidra´ ulico Rafael Bombelli (Italia, 1526 - 1572), unos treinta a˜ nos despu´es de la publicaci´on de la obra de Cardan, quien introdujo √ un razonamiento que el mismo catalog´o de un tanto ”salvaje”. Plante´o que como −2 + −121 y √ −2− −121 s´olo se diferencian en un signo, lo mismo deb´ıa suceder con sus ra´ıces c´ ubicas. As´ı escrib´ıa

√ √ √ √ 3 3 −2 + −121 = a + −b y −2 − −121 = a − −b, donde por c´alculo directo obten´ıa que a = 2 y b = 1, luego

√ √ √ √ 3 3 −2 + −121 + −2 − −121 = (2 + −1) + (2 + −1) = 4. As´ı Bombelli ”daba sentido” a las expresiones ”sin sentido” de Cardan. Este razonamiento se convierte por tanto como el nacimiento de la variable compleja. Bombelli desarroll´o un c´alculo de operaciones con n´ umeros complejos que se ajusta a los que conocemos en la actualidad. Comentar en este punto que comunmente se dice que fu´e la ecuaci´on cuadr´atica la que forz´o la definici´on de los n´ umeros complejos. Con lo expuesto anteriormente debemos asignar a la ecuaci´on de orden tres tal papel. A pesar de lo aportado por Bombelli, su trabajo sobre esta materia (L’Algebra) fu´e ampliamente ignorado y considerado como misterioso e incierto. Sim´on Stevin apunt´o en 1585 lo siguiente en esta direcci´on: Tiene toda la legitimidad el que uno se ejercite en otras tareas y no pierda el tiempo en inexactitudes. Dos siglos y medio cubrieron las dudas sobre el significado y la autenticidad de los n´ umeros complejos. No obstante, fueron estudiados por un gran n´ umero de matem´aticos.

Consolidaci´ on del ´ area: SXVII-SXVII-SXIX An´alisis Matem´atico VI - Curso 2006/2007

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A principios de 1620, Albert Girard sugiere que las ecuaciones de grado n tienen n ra´ıces. Esta premonici´on del teorema fundamental del a´lgebra estaba en este caso planteada de forma vaga y sin rigor. Ren´ e Descartes (Francia, 1596-1650), que bautiz´o con el nombre de imaginarios a los nuevos n´ umeros, apunt´o tambi´en que toda ecuaci´on deb´ıa tener tantas ra´ıces como indica su grado, aunque n´ umeros no reales pod´ıan ser alguna de ellas.

R. Descartes (1596-1650)

G. W. Leibniz (1646-1716)

La siguiente referencia destacable data de 1673 con una carta de Christian Huygens (Holanda, 1629-1695) a Gottfried 1646-1716). En ella expresa la impresi´on del (Alemania, von √Leibniz √ √ primero sobre la identidad 1 + −3 + 1 + −3 = 6, que le hab´ıa mencionado Leibniz en una carta anterior. Huygens se expresa en los siguientes t´erminos: Lo que me escribes sobre cantidades imaginarias que, no obstante, cuando son sumadas da una cantidad real, me es sorprendente y totalmente nuevo. Uno nunca creer´ıa que ´esto es cierto y debe haber algo escondido en ello que es incomprensible para m´ı. Los n´ umeros complejos fueron ampliamente utilizados en el siglo XVIII. Leibniz y Johan Bernoulli (Suiza, 1667-1748) usaron n´ umeros imaginarios en la resoluci´on de integrales. Por ejemplo,      1 1 1 1 1 1 dx = − − dx = − (log(x+ai)−log(x−ai)). dx = 2 2 x +a (x + ai)(x − ai) 2ai x + ai x − ai 2ai Este tipo de razonamientos generaron la pol´emica sobre la existencia del logaritmo de n´ umeros negativos y complejos. Un acalorado debate tuvieron Bernoulli y Leibniz donde este u´ltimo postul´o que log i = 0 argumentando que como 2 log(−1) = log(−1)2 = log 1 = 0 entonces 2 log i = log i2 = log(−1) = 0. Bernoulli propon´ıa por contra, log i = iπ/2. La controversia fue resuelta por Leonhard Euler (Suiza 1707-1783) con su identidad eπi = −1.

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L. Euler (1707-1783) Los n´ umeros complejos fueron usados por Johann Lambert en proyecciones, por Jean D’Alembert en hidrodin´amica y por Euler, D’Alembert y Joseph-Louis Lagrange en pruebas err´oneas del teorema √ fundamental del ´algebra. Euler fu´e el primero en usar la notaci´on i = −1, haciendo adem´as un uso fundamental de los n´ umeros complejos al relacionar la exponencial con las funciones trigonom´etricas ix por la expresi´on e = cos x + i sen x. Euler se expresaba en los siguiente t´erminos: Como todos los n´ umeros imaginables son mayores, menores o iguales a cero, entonces es claro que la ra´ız cuadrada de un n´ umero negativo no puede ser uno de estos n´ umeros,[...] y esta circunstancia nos lleva al concepto de tales n´ umeros, que por su naturaleza son imposibles y ordinariamente son llamados imaginarios o n´ umeros falsos, porque s´ olo existen en la imaginaci´on. Incluso en gran Carl Friedrich Gauss (Alemania, 1777-1856), en cuya tesis doctoral (1797) se daba la primera prueba correcta del teorema fundamental del a´lgebra, apunt´o a finales de 1825 que √ ”la verdad metaf´ısica de −1 es elusiva”.

C. F. Gauss (1777-1856) Esto ilustra en parte que la satisfacci´on l´ogica sobre los n´ umeros complejos entraba a finales del siglo XVIII m´as en el terreno de la filosof´ıa que en el de las matem´aticas. Todo lo bueno que tuvo la Era de la Raz´on para todas las a´reas, fue en parte perturbador para esta materia. Pedag´ogicamente tambi´en se planteaban dudas. La Universidad de Cambridge como ejemplo, a principios del siglo XIX, se preguntaba qu´e l´ogica reg´ıa sobre las operaciones con n´ umeros complejos √ √ √ que permitiese su ense˜ nanza. As´ı surg´ıan preguntas como ¿i × 2 = 2 × i?, ¿es ab = a b para cualquier a y b negativos?, no obten´ıan respuestas satisfactorias. An´alisis Matem´atico VI - Curso 2006/2007

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En el siglo XIX ya proponen algunos matem´aticos, de Cambridge principalmente, que deb´ıa haber unas reglas que gobernasen esta herramienta que ya demostraba a todas luces su utilidad para muchos. La representaci´on geom´etrica de los complejos como puntos del plano tiene sus primeras citas en los trabajos de 1797 del noruego Caspar Wessel y en 1806 en los del suizo Jean-Robert Argand. No obstante ser´ıa la referencia de Gauss de 1831 la que tendr´ıa el impacto suficiente. En 1833, William Rowan Hamilton (Inglaterra 1805-1865) da la primera definici´on algebraica rigurosa de los complejos como pares de n´ umeros reales.

A.-L. Cauchy (1789-1857) El 1847 es Agoustin-Louis Cauchy (Francia, 1789-1857) quien da una definici´on abstracta de los n´ umeros complejos como clases de congruencias de polinomios reales, bas´andose en las clases de congruencias de enteros dada por Gauss. Ya comenzada la segunda mitad del siglo XIX, las dudas y misterios sobre los n´ umeros complejos ya han desaparecido, aunque haya textos del siglo XX que a´ un hu´ıan de utilizarlos. La presencia de los n´ umeros complejos en diversas ´areas de las matem´aticas en este siglo puede ser clasificadas de manera muy gen´erica de la siguiente forma: a) ALGEBRA. La soluci´on de ecuaciones algebraicas motiv´o la introducci´on de los n´ umeros complejos. Estos complejos constituyen por su parte un cuerpo cerrado donde muchos problemas de ´algebra lineal y otras a´reas del a´lgebra abstracta encontraron soluci´on. b) ANALISIS. El siglo XIX fu´e testigo del desarrollo de una poderos´ısima y bell´ısima rama de las matem´aticas, la teor´ıa de funciones complejas. Uno de los elementos m´as sorprendentes es que la condici´on de diferenciable implica la de infinitamente diferenciable, hecho sin an´alogo en las funciones reales. c) GEOMETRIA. Los n´ umeros complejos introdujeron generalidad y propiedades de simetr´ıa en varias ramas de la geometr´ıa, tanto en la eucl´ıdea como la no eucl´ıdea. d) TEORIA DE NUMEROS. Ciertas ecuaciones diof´anticas pueden ser resueltas con el uso de complejos. Hadamard dec´ıa que ”el camino m´as corto entre dos verdades en el campo real pasa a trav´es del campo complejo”. Un ejemplo de este autor es altamente ilustrativo: el producto de la suma An´alisis Matem´atico VI - Curso 2006/2007

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de cuadrados es de nuevo suma de cuadrados, y lo probaba de la siguiente forma: (a2 + b2)(c2 + d2 ) = (a + bi)(a − bi)(c + di)(c − di) = [(a + bi)(c + di)][(a − bi)(c − di)] = (u + iv)(u − iv) = u2 + v 2

Bibliograf´ıa: I. Kleiner, ”Thinking the Unthinkable: The Story of Complex Numbers (with a Moral)”, The Mathematics Teacher, 81:7 (1988), 583-592. D. E. Smith, History of Mathematics (Vol I-II). Dover. 1958. New York.

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