PRIORIDAD DE OPERACIONES: 1º Hay que resolver o “quitar” los paréntesis. 2º Se hacen las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparezcan de izquierda a derecha 3º Se hacen las sumas y las restas en el orden que aparezcan de izquierda a derecha Ejemplo: 10 · (63 – 21) : 2 + (15 + 34) : 7 = =10 · 42 : 2 + 49 : 7 = = 420 : 2 + 7 = =210 + 7 = 217.

Realiza las operaciones propuestas: * 6 · 7 – 3 · 2 + 5=

* 12 + 5 · 4 – 2 · 7=

* 8 – 3 · 2 + 6 · 5=

* 8 · 5 – 3 · 4 + 7 · 2=

*7·3+4·5–2·6 * 8 · 7 – 2 · 8 – 3 · 6=

=

* 6 · 5 - 3 · 8 + 7 · 2= * 5 · 3 + 5 · 9 – 4 7=

Realiza las operaciones propuestas: * 18 : 3 + 40 : 8 – 32 : 4=

* 6 : 3 + 15 : 5 + 63 : 7=

* 81 : 3 – 21 : 3 – 4 : 2=

* 100 : 50 + 300 : 30 - 8 : 4=

*90 : 5 + 35 :7 – 24 :2=

* 25 : 5 + 80 : 20 – 15 : 3=

Realiza las operaciones propuestas: * 19 – 3 · ( 7 – 4)=

* 2 + 5 · (10 – 2)=

* 4 · (6 – 3) + 7=

* 10 + 5 · (7 – 3 ) – 8=

* (6 – 2) · 3 - 5 ·2 + 9=

*3·(7·4–5)+8=

Refuerzo de Matemáticas 1ª Evaluación. 1º ESO.

Calcula: * 29 · 9 – 85 : 5=

* 6 · 7 – 3 · 4 + 4 · 9=

* 70 : (4 · 6 – 14)=

* [(56 + 4) : 3] + [(32 – 6) · 8] + 18=

* 47 ·3 – 90 : 5=

* 7 · 4 – 2 · 8 + 6 · 9=

* 60 : (3 · 9 – 7)=

* [(55 + 22) : 7] + [(63 – 6) · 8] + 29=

* 31 · 5 – 80 : 4=

* 5 · 3 – 2 · 7 + 5 · 8=

* 90 : (7 · 8 – 26)=

* [(40 + 25) : 5 ] + [(47 – 6) · 4] + 24=

* 25 · 7 – 60 : 6=

* 11 · 4 – 3 · 9 + 2 · 12=

* 80 : (6 · 4 – 4)=

* [(42 + 3) : 5] + [(49 – 2) · 3] + 12=

FACTOR COMÚN: Es un factor que se repite en todos los términos de una suma. A esta forma rápida de resolver operaciones se llama “sacar factor común”. (Recuerda que tienes detallado el proceso en los apuntes de clase) Ejemplo:5 ·4 + 7 · 4 – 6 · 4. El factor que se repite es el 4,luego 4 · (5 +7 – 6) = 4 · 6 = 24 Saca factor común y resuelve: *8·5–8·3+8·7+8·2

* 27 – 3 · 2 + 15 + 21

*5·8–5·2+5 +5·9

* 30 – 18 + 42

* 10 · 8 – 10 · 3 + 10 · 6 + 10 · 2

* 25 – 5 · 3 + 20 + 45

*7·6–7·2+7+7·4

* 45 – 27 + 18

* 11 · 4 – 11 · 3 + 11 · 5 + 11 · 2

* 28 – 7 · 2 + 35 + 42

*3·4–3·2+3+3·8

* 28 – 20 + 24

*5·9–5·8+5·6+5·4

* 35 – 7 · 3 + 56 + 14

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: Es el proceso inverso a sacar factor común, se reparte el factor entre una serie de sumandos. Ejemplo: 3 · (4 + 7 – 2) = =3 · 4 + 3 · 7 – 3 · 2 = =12 + 21 – 6 = 27

Resuelve aplicando la propiedad distributiva: * 3 · (8 – 3 + 1 + 5)=

* 10 · (6 – 2 + 7)=

* 11 · (4 – 1 + 2 + 3)=

* 9 · (4 – 1 + 2 +5)=

* 7 · (4 – 3 + 2)=

* 11 · (6 – 2 + 8)=

* 2 · (7 – 5 + 1 + 4)=

* 8 · (4 – 1 + 5 + 3)=

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS:  Suma de números enteros de igual signo: Se suman sus valores absolutos y se pone el signo que tienen los sumandos.  Suma de números enteros de distinto signo: Se restan sus valores absolutos (el menor del mayor) y se pone el signo que tiene el sumando de mayor valor absoluto. Cuándo tenemos unos cuantos números sumándose con distintos signos, lo más práctico es AGRUPAR positivos y negativos.  Simplificación de signos (eliminación de paréntesis). Signo + delante de un paréntesis: todo lo que hay dentro del paréntesis se queda IGUAL. Signo – delante de un paréntesis: cambia los signos de TODO lo que hay dentro del paréntesis. La misma regla para quitar corchetes.  Multiplicación de números enteros: Se multiplican los valores absolutos y se antepone el signo que viene dado por de regla de los signos: +·+=+ -·-=+ +·-=-·+= División de números enteros: Se dividen los valores absolutos y se antepone el signo que viene dado por el siguiente esquema: +:+=+ -:-=+ +:-=-:+=Cuando se multiplican o se divide dos números con igual signo da resultado positivo. Y cuando tienen signo diferente da resultado negativo  Operaciones combinadas de números enteros: Tendremos en cuenta la siguiente jerarquía de operaciones: Primero resolvemos los paréntesis incluidos en cada corchete Después resolvemos los corchetes. En tercer lugar efectuamos las multiplicaciones y divisiones Por último realizamos las sumas y las restas. (RECUERDA que una vez que sólo tengas sumas y restas, primero debes simplificar signos, después agrupar positivos y negativos y por último resolver.)

Calcula: * (+2) + (+5)

* (+5) + (-2)

* (-5) + (+2)

* (-5) + (-2)

* (+7) + (-2)

* (-7) + (-1)

* (+6) + (-5)

* (+8) + (+2)

* (+9) + (+4)

* (-9) + (-5)

* (+6) + (+10)

* (+7) + (+5)

Calcula: * (+7) + (+9 +) + (-5) + (-17)

* (+6) + (-4) + (-9) + (+10)

* (-5) + (-6) + (+13) + (+8)

* (+17) + (-10) + (+14) + (-16)

* (+24) + (-18) + (- 33)

* (-12) + (+19) + (-8)

Calcula: * (+5) – (+39)

* (-8) – (+4)

* (-5) – (+3)

* (-5) – (-3)

* (+20) – (+12)

* ((+7) – (-2)

* (-9) – (-3)

* (+9) – (+4)

Calcula: * (+6) + (- 4) – (+9)

* (+10) – (-7) – (+3)

* (-8) – (+10) + (+5)

* (-13) + (+7) – (+8)

* (+28) – (+16) + (-9) – (-8)

* (-21) + (-7) – (-14)

* (+8) – ( -2) + (-6) – (+3)

* (-12) + (+2) – (+6) – (-1)

* (-22) – (+2) – (-5) + (+9)

* (+13) – (-6) + (+4) – (-5) + (+8)

* [(+3) + (-7)] – [(+7) – (+8)]

* [(-5) – (-3)] + [(+7) + (-2)]

* [(+8) – (+5)] – [(-3) + (-7)]

* [(+3) + (-8)] + [(+6) – (+5)]

Calcula: * 22 – (7 – 5 + 8 – 10)

* (10 – 4 – 1 ) – (- 4 + 3 – 7)=

* (4 + 9) – (7 – 5 ) + (8 + 3)

* 22+(9 – 6) – (1 – 2 – 3) – (9 + 1 –10)=

* 15 – (2 + 4) + (1 +8) - (9 + 1)

* 35 – [14 – (9 – 1)] – (9 + 2)=

* 11 – [- 6 – (2 – 3 – 2)] – (7 + 9)

* [13 – (8 – 5)] + (- 2 -3 ) + (7 + 9)=

* - ( - 17 + 5 – 1) – (8 – 3 + 5)

* 8 + 5 – 4 – 6=

* 14 + 3 – 6 – 2

* 16 – 10 + 12 + 8=

* 16 – 10 + 12 + 8

* - 15 – 5 – 8 + 5=

Calcula: * (+8) · (+5)

* (+32) : (+4)

* (-8) · (+5)

* (-32) : (+4)

* (+9) · (-3)

* (-27) : (-3)

* (-9) · (-3)

* (+27) : (-3)

* (-3) · (-5) · (-8)

* (+3) · (-5) · (-8)

* (-4) · (-2) · (+5)

* (-5) · (-3) · (-2)

* (+4) · (+3) · (-5)

* (-1) · (+1) · (-1) (+1) · (-1)

* (-1) · (+5) · (-1) · (+2)

* (+3) · (-1) · (+2) · ( -5)

Calcula las operaciones siguientes: * (12 – 9) · (5 – 3)

* (12 – 10) · (9 – 2)

* ( - 4 – 5 ) · (2 + 3)

* (4 + 8) · (2 – 3)

* 55 – 8 · 5 – 4 · 2

* 70 – 8 · 2 + 4 · 5

* 100 + 4 · 5 - 5 · 20

* 80 + 8 · 3 – 30 · 12

* 6 · (1 – 5) + 12 · (4 : 2) – (8 – 11) * 2 · [5 · 4 : (5 – 3 · 1)] * [6 · 3 + 5 · (6 – 4 )] – 12 : 4

* [12 – (8 : 4 + 1)] – 12 · [5 – (8 – 6)]

* (3 +7) · (9 – 11) + 7 · (12 – 9)

* (-5) · (-7) + (-3) · (+1)

* (- 6 + 12 – 8) · (9 – 11)

* (- 3 + 4 + 5) · (-7)

* (+4) · (-8) + (-1) · (-9) – (-7) · (-1)

* 6 · [(-2) · 5]

*

 18 15 · (-7) + · (-4) 3 5

  20  *   · (-8)  4 

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO:  El máximo común divisor (M.C.D) de dos o más números, es el mayor de los divisores comunes. Para calcularlo se descomponen los números en sus factores primos y el M.C.D. será el producto de los factores primos comunes, elevados al menor exponente.  Para calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, se expresan en factores primos. El m.c.m. será el producto de los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Ejemplo: Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de 120, 180 y 210. 120 = 23 · 3 · 5 180 = 22 · 32 · 5 210 = 2 · 3 · 5 · 7 M.C.D. = 2 · 3 · 5 = 30 m.c.m. = 23 · 32 · 5 · 7 = 8 · 9 · 5 · 7 = 2520

Calcula el M.C.D. y el m.c.m. de :

* 315 y 140 360

* 300, 126 y 108

* 720 y 600

* 60, 90 y

* 315 y 180

* 72, 135 y 216

* 450 y 360

* 50, 60y216.

Realiza los siguientes ejercicios: 1.- En cierta paradas de autobús coinciden en este momento los vehículos, de dos líneas diferentes, A y B. La línea A tiene un servicio cada 18 minutos y la línea B, cada 24 minutos. ¿Cuánto tardarán en volver a coincidir ambos autobuses en la parada?

2.- Dos motocicletas toman simultáneamente la salida en un circuito de carreras. El corredor A tarda 3 minutos y 10 segundos en dar una vuelta completa. El corredor B tarda 38 segundos más. ¿Cuánto tardarán ambas motocicletas en pasar juntas por la línea de salida? 3.- tenemos dos cintas, una de 160 cm. y otra de 180 cm. de longitud, queremos cortarlas lo más largo posible, sin desperdiciar ninguna porción de cinta. a).¿Cuánto debe medir cada trozo? b) ¿Cuántos trozos se sacaran? 4.- Se desean transportar 30 perros y 24 gatos en jaulas iguales, de forma que todas lleven el mismo número de animales(perros y gatos, siempre separados) y que ese número sea el mayor posible. a) ¿Cuántos animales irán en cada jaula? b). ¿Cuántas jaulas emplearemos? 5.- Por un pueblo pasa el cartero cada 4 días, el basurero cada 3 días y e l vendedor de frutas cada 5 días. Si hoy han coincidido los tres: a) ¿Cuánto días deberán pasar hasta que vuelvan a encontrarse los tres? b). Durante este tiempo, ¿cuántas veces habrá visitado el pueblo cada una de estas tres personas? 6). Los alumnos de una clase han comprobado que pueden formar grupos de 3, 5 y 6 personas. ¿Cuál es el número mínimo de alumnos que puede tener esta clase? 7.- Hemos de embalar 12 botellas de refrescos de naranjas y 18 botellas de refrescos de limón en cajas con igual número de botellas, lo más grande que sea posible y sin mezclar en una misma caja ambos sabores. a). ¿Cuántas botellas pondremos en cada caja? b). ¿Cuántas cajas emplearemos? 8.- Una bodega dispone de tres tipos de vino: blanco, rosado y tinto, en cantidades respectivas de 126 l, 700 l, y 294 l. Si se les quiere envasar los tres tipos de vinos en garrafas iguales de máxima capacidad a) ¿De cuántos litros deberán ser los envases. b) ¿Cuántos envases de cada tipo de vino se podrán llenar?

Colegio Portocarrero. Curso 2013-2014. Departamento de matemáticas TIPOS DE FRACCIONES:  Fracciones propias: -Numerador < Denominador. -Representan una cantidad menor que la unidad (en valor absoluto).  Fracciones impropias: -Numerador > Denominador. -Representan una cantidad mayor que la unidad (en valor absoluto).  Fracciones impropias:

FRACCIONES EQUIVALENTES: ¿Qué son? Son fracciones que representan la misma cantidad. ¿Cómo se obtienen?  Por AMPLIFICACIÓN: multiplicando numerador y denominador por el mismo número.  Por SIMPLIFICACIÓN: dividiendo numerador y denominador por el mismo número. ¿Cómo se comprueba que dos fracciones son equivalentes? Multiplicando en cruz el resultado debe ser el mismo

Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones y demuéstralo numéricamente: 1 4 y 3 12 3 9 * y 6 18 7 5 * y 3 4

*

6 15 y 14 36 12 7 * y 28 15 27 168 * y 18 102

*

Colegio Portocarrero. Curso 2013-2014. Departamento de matemáticas REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA: 

Fracciones propias: -Si son POSITIVAS: están entre 0 y 1. -Si son POSITIVAS: están entre 0 y -1. -Para representarlas dividimos el segmento en tantas partes (espacios, no líneas) como indique el denominador y avanzamos tantas veces como indique el numerador. |

|

|

-1

|

1 3

|

0

| 2 3

| 1



Fracciones impropias: -Para representarlas debemos realizar el número mixto (número con parte entera y parte fraccionaria): *La parte entera indicará el segmento de la recta en el que se sitúa. *La parte fraccionaria indicará el lugar exacto en el segmento, de la misma forma que situamos las fracciones propias. 13 1 = 2 6 6

| 2

| 2

|

|

|

1 6

|

| 3

Representa las siguientes fracciones: *

4 3 21 , , 5 4 2

*

6 7 8 , , 3 6 5

*

 7  17  3 , , 3 5 3

ORDENACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES: Para ordenar números racionales debes tener en cuenta si son positivos o negativos, y si tienen el mismo denominador o no. Si el denominador es el mismo, debes ordenarlos por el numerador. Si los denominadores son distintos, debes reducirlos primero a común denominador (realizando el m.c.m.). Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones: 3 2 6 a) , , 4 3 10

b)

8 2 1 , , 21 7 3

3 2 12 , , 7 5 35

d)

4 2 3 , , 21 6 14

c)

Colegio Portocarrero. Curso 2013-2014. Departamento de matemáticas LA FRACCIÓN COMO OPERADOR: Recuerda que “de” debes transformarlo en una multiplicación. Halla el valor de: a)

d)

5 de 20 m. 12 2 4 de de30litros 3 5

b)

1 de 6 horas 3

c)

3 11 de 8 7

e)

5 de 100 8

f)

1 3 de de 24 kg. 2 4

OPERACIONES CON FRACCIONES:  SUMAS Y RESTAS: Si son fracciones de igual denominador, se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Para sumar o restar fracciones con distinto denominador debes: - Reducir las fracciones a común denominador (m.c.m.) - Sumar o restar las fracciones como en el caso anterior.  MULTIPLICACIÓN: La multiplicación de fracciones se hace en “horizontal”, es decir, se multiplica “numerador por numerador” y “denominador por denominador”.  DIVISIÓN: La división de fracciones se realiza multiplicando en “cruz”. El nuevo numerador será el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador será el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.  OPERACIONES COMBINADAS: Recuerda que para resolver correctamente este tipo de ejercicios debes tener en cuenta la prioridad de operaciones.

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES: Hay tres métodos para simplificar fracciones: por tanteo (aplicando los criterios de divisibilidad), calculando el M.C.D. de los denominadores, y dividiendo numerador y denominador por el M.C.D., y por descomposición factorial (descomponiendo el numerador y el denominador en factores primos, y eliminando los “factores repetidos”. Éste último será el que utilizaremos.

REGLA DE ORO: Recuerda “antes de operar simplificar”. Recuerda también que siempre que operes con fracciones debes simplificar el resultado.

Colegio Portocarrero. Curso 2013-2014. Departamento de matemáticas

Realiza las siguientes sumas y restas de fracciones: a).

7 12 3   5 5 5

b).

5 17 7   8 8 8

c).

d).

10 5 13   16 16 16

e).

9 3 16   11 11 11

f).

9 8 12   7 7 7

15 9 12   4 4 4

Calcula las siguientes sumas y restas: 2 1 1   3 5 6

a).

d). 7 -

2 8 6   7 14 35

3 7 2   12 20 15

g).

b).

3 6 1   4 5 9 3

c).

e).

11 7  2 12 6

f).

h).

13 1 3 1    21 7 14 6

7  1  i).  3     2   16   3 

3   j).  5     2  10   

 4 3   17 7  k).         5 10   15 10 

5   11 5   l).  8       12   18 36  

2 3 1   5 4 3 3 1  2 4 9

7  6

Realiza los siguientes productos de fracciones, simplifica y haz el número mixto si se puede: 5 ·6 12 2 d). 10 · 15 7 5 g). · 9 14

a).

j).

21 11 · 59 14

m).

3 49 13 8 · · · 36 12 14 5

5 11 · 8 15 4 e). 5 · 15 2 11 h). · 11 35

b).

2 ·3 15 4 10 f). · 5 13 4 7 i). · 7 11

c).

k).

4352 · · · 5263

7234 l). · · · 4589

n).

9 5 11 32 · · · 22 16 27 35

o).

23 · ·2 34

Colegio Portocarrero. Curso 2013-2014. Departamento de matemáticas 3 2 11 26 · · · 13 9 6 33

p).

q).

12 30 18 · · 25 8 27

r). 4 ·

6 5 · 15 12

Calcula los siguientes ejercicios de fracciones, simplifica y realiza el número mixto si se puede: 2 2 3 a). :5 b). :4 c). 3 : 3 11 8 8 17

e).

2 2 : 3 5

f).

1 9 : 2 4

g).

18 16 : 5 20

h).

14 21 : 20 15

i).

35 15 : 16 28

j).

45 63 : 36 44

k).

40 15 : 42 60

l).

77 88 : 45 27

d). 4 :

m).

28 16 : 130 117

n).

2 3 3  ·   3  5 10 

ñ).

3 7 5  :   4  8 12 

1 1   o).   5)  :  3   4 7  

 2 1 p). 4 :     5 3

3  1  r). 1   :  2   2  2 

2  2  6 10   2 1   3   s).        t). 17  5  5 3   5 3

u).

52 3  ·   6  5 15 

 3 3  3 1 v).    :     2 4  2 3

 3 2 5 q).    : 7 3 6