PROBABILIDAD Juan José Noguera Matusiak 11 de mayo de 2009

1.

Ejercicios Resueltos

1. Se lanzan dos dados regulares simultáneamente. Determinar la probabilidad de obtener en un solo lanzamiento: ) Dos números pares. b ) Un número múltiplo de dos y otro primo (en ese orden). c ) Suma siete.

a

El espacio muestral del lanzamiento de los dos dados es el conjunto de posibles resultados y lo denotaremos con la letra Ω (emplearemos en general esta letra griega para todos los espacios muestrales). Así tendremos entonces que ]Ω = 36 donde Solución.

    Ω=    a

11 21 31 41 51 61

12 22 32 42 52 62

13 23 33 43 53 63

14 24 34 44 54 64

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66

       

) El conjunto de los casos favorables para la obtención de dos números pares viene dado por E1 = {22, 24, 26, 42, 44, 46, 62, 64, 66} y ]E1 = 9. Luego p(E1 ) =

9 = 0, 25 36

Así, la probabilidad de obtener un par de pares en el lanzamiento de dos dados regulares simultáneamente es del 25 %. b ) El conjunto de los casos favorables para la obtención de un número múltiplo de dos y otro primo (en ese orden) viene dado por E2 = {22, 23, 25, 42, 43, 45, 62, 63, 65} y ]E2 = 9. Luego p(E2 ) =

9 = 0, 25 36

Así, la probabilidad de obtener un número múltiplo de dos y otro primo (en ese orden) en el lanzamiento de dos dados regulares simultáneamente es del 25 %.

1

c

) El conjunto de los casos favorables para la obtención de un par de números cuya suma sea siete viene dado por E3 = {16, 25, 34, 43, 52, 61} y ]E3 = 6. Luego p(E3 ) =

6 ≈ 0, 17 36

Así, la probabilidad de obter suma siete en el lanzamiento de dos dados regulares simultáneamente es del 17 % aproximadamente.

2. Un cuestionario posee 100(cien) ítems de los cuales 15(quince) están mal formulados. Suponga que un experto en validación desea tomar al azar 2(dos) de los ítems sin reemplazo. ¾Cuál es la probabilidad que tiene el experto para escoger 2(dos) de los 15(quince) ítems mal formulados? Solución. Nótese que los casos favorables son 15(quince) ya que son estos el número de ítems mal formulados. Por ser la escogencia sin reemplazo, al escoger uno de 15(quince), podrá escogerse el otro al azar pero de un grupo de 14(cartoce). Sea E el evento continuo de escoger 2(dos) de los 15(quince) ítems mal formulados. Luego p(E) =

210 15 14 · = ≈ 0, 021 100 99 9900

Así, la probabilidad de que tiene el experto para escoger 2(dos) de los 15(quince) ítems mal formulados es del 2, 10 % aproximadamente. 3. La probabilidad de que un hombre viva dentro de 10 años es 32 y la probabilidad de que su esposa viva dentro de los mismos 10 años es de 54 . Determinar la probabilidad de que al cabo de 10 años: ) Ambos vivan. b ) Viva al menos uno.

a

Sea A el evento o suceso de que viva en hombre dentro de 10 años y B el evento de que la esposa viva dentro de 10 años. Solución.

a

) Emplearemos la expresión p(A ∩ B) = p(A) · p(B) ya que estamos en presencia de eventos independientes. Luego 2 4 · ≈ 0, 53 3 5 Así, la probabilidad de que ambos vivan luego de 10 años es del 53 %. p(A ∩ B) =

b

) En este caso tendemos las siguientes posibilidades: 1) Viva el hombre y no la esposa, denotado por A ∩ B c . 2) Viva la esposa y no el hombre, denotado por Ac ∩ B . 3) Vivan los dos, denotado por A ∩ B . Del estudio de las probabilidades tenemos un axioma que establece que p(A) + p(Ac ) = 1

Luego, si 2

1) A el evento o suceso de que viva en hombre dentro de 10 años con p(A) = 23 y, 2) B el evento de que la esposa viva dentro de 10 años con p(B) = 54 entonces, si Ac es el evento tal que p(Ac ) = 1 − p(A) = 13 y B c es el evento tal que p(B c ) = 1 − p(B) = 15 tenemos que p = p(A ∩ B c ) + p(Ac ∩ B) + p(A ∩ B) 2 1 1 4 2 4 = · + · + · 3 5 3 5 3 5 2+4+8 = 15 14 = 15 ≈ 0, 93

Así concluimos que, existe una probabilidad del 93 % de que al menos uno de ellos, hombre ó esposa, vivan luego de 10 años.

4. Determinar la probabilidad de cada reparto en varones y hembras en familias con 3(tres) hijos, supuesta igual probabilidad para ambos. Solución. Sea V el suceso hijo varón y H el suceso hijo hembra. Por ser supuesta igualdad para ambos tenemos que p(V ) = p(H) =

1 2

Luego, a

) Si los hijos son sólo

varones

entonces p(V V V ) =

1 1 1 1 · · = 2 2 2 8

esto es, existe una probabilidad del 12, 5 % de que los hijos sean sólo varones. b ) Si los hijos son sólo hembras entonces p(HHH) =

1 1 1 1 · · = 2 2 2 8

esto es, existe una probabilidad del 12, 5 % de que los hijos sean sólo hembras. c ) Si los hijos son 2(dos) varones y 1(una) hembra entonces p(V V H ∪ V HV ∪ HV V ) =

1 1 1 3 + + = 8 8 8 8

esto es, existe una probabilidad del 37, 5 % de que los hijos sean 2(dos) 1(una) hembra. d ) Si los hijos son 2(dos) hembras y 1(un) varón entonces p(HHV ∪ HV H ∪ V HH) =

y

hembras

y

1 1 1 3 + + = 8 8 8 8

esto es, existe una probabilidad del 37, 5 % de que los hijos sean 2(dos) 1(un) varón. 3

varones

5. Un boleto de una rifa ofrece dos premios, uno de 500 bolívares fuertes y el otro de 750 bolívares fuertes con probabilidades de 0, 01 y 0, 005 respectivamente. ¾Cuál sería el precio justo que se debe pagar por el boleto? Solución. Sea X la variable que indica el boleto. Empleando la expresión de ESPERANZA tenemos que E(X) =

n X

pk · Xk = (0, 01) · (500) + (0, 005) · (750) = 8, 75

k=1

Así, el precio justo del boleto es de 8, 75 bolívares fuertes. 6. Se tiene la siguiente distribución de probabilidad X 08 12 16 20 24 1 3 1 1 p(X) 18 6 8 4 12

Determinar ) E(X). 2 b ) E(X ). 2 c ) E[(X − X) ].

a

Solución. a

) E(X) =

n X

X · p(X) =

5 X

X · p(X) = 16

k=1

k=1

Este valor representa la media de la distribución de probabilidad. b

) 2

E(X ) =

n X

2

X · p(X) =

k=1

5 X

X 2 · p(X) = 276

k=1

Este valor representa el segundo momento respecto al origen de la distribución de probabilidad. c

) 2

E[(X − X) ] =

n X

2

(X − X) · p(X) =

k=1

5 X

(X − X)2 · p(X) = 20

k=1

Este valor representa la varianza de la distribución de probabilidad.

7. Se dispone de 10(diez) millones de bolívares fuertes para realizar inversiones en los sectores económicos Industrial, Servicios y Construcción, con probabilidades respectivas de 0, 50; 0, 30 y 0, 10. Determinar la probabilidad de 4

) Efectuar inversiones en cualquiera de estos sectores. b ) Efectuar inversiones en otros sectores fuera de los mencionados.

a

Solución.

Sean SI ≡ Sector Industrial con p(SI ) = 0, 50 SS ≡ Sector Servicios con p(SS ) = 0, 30 SC ≡ Sector Construcción con p(SC ) = 0, 10 S ≡ Otros Sectores con p(S) =?

los sucesos o eventos involucrados en el estudio con sus respectivas probabilidades. a

) Como los eventos son incompatibles o mutuamente excluyentes entonces p(SI ∪ SS ∪ SC ) = p(SI ) + p(SS ) + p(SC ) = 0, 90

Así, la probabilidad de efectuar inversiones en cualquiera de los sectores es del 90 %. b ) Empleando (a) tenemos que p(S) = 1 − p(SI ∪ SS ∪ SC ) = 1 − 0, 90 = 0, 10

Así, la probabilidad de efectuar inversiones en sectores distintos a los mencionados es del 10 %.

8. Un analista industrial logra conocer mediante observaciones sucesivas, que en un alto horno de una empresa siderúrgica 4(cuatro) de cada 10(diez) piezas salen defectuosas. Si se toman 5(cinco) piezas al azar, determinar la probabilidad de que resulten ) Al menos 2(dos) piezas defectuosas. b ) Cuando más 3(tres) piezas defectuosas. c ) Exactamente el valor promedio de las piezas defectuosas.

a

Sabemos del enunciado del problema que la probabilidad de que las piezas salgan defectuosas es del 40 %, a esta probabilidad la tomaremos como la probabilidad favorable o de éxito y la denotamos con la letra p. Por las características de probabilidad tenemos entonces que la probabilidad de fracaso, denotada por q , es del 60 % (esto es, q = 1 − p). Estamos en presencia de un problema binomial, entonces construiremos la siguiente distribución para simplicar el proceso. Solución.

Tabla de Distribución Binomial x 0 1 2 3 4 5

px q n−x Cxn 1 0, 07776 1 0, 4 0, 1296 5 0, 16 0, 216 10 0, 064 0, 36 10 0, 0256 0, 6 5 0, 01024 1 1

5

px · q n−x · Cxn 0, 07776 0, 2592 0, 3456 0, 2304 0, 0768 0, 01024

a

) p(x ≥ 2) =

5 X

px · q 5−x · Cx5 = 0, 66304

x=2

Así, la probabilidad de tomar al menos 2(dos) piezas defectuosas es del 66 % aprox. b

) p(x ≤ 3) =

3 X

px · q 3−x · Cx3 = 0, 91296

x=0

Así, la probabilidad de tomar cuanto más 3(tres) piezas defectuosas es del 91 % aprox. c ) El valor promedio de las piezas defectuosas lo determinamos por la expresión x = n·p. Luego, p(x = x) = p(x = 2) = 0, 3456

Así, la probabilidad de tomar exactamente el valor promedio de las piezas defectuosas es del 35 % aprox.

9. En cierta ciudad, 40 % de los votantes son del partido A y 60 % son del partido B . 70 % de los votantes del partido A y 80 % del partido B están a favor de una emisión particular de bonos. Al seleccionar al azar un votante de la ciudad, ¾cuál es la probabilidad de que esté a favor de la emisión de los bonos? Solución. Sea F el evento en favor de la emisión de los bonos, G el evento sea elegido del partido A y H el evento sea elegido del partido B. Del enunciado del problema tenemos que p(G) = 0, 40, p(H) = 0, 60, p(F |G) = 0, 70 y p(F |H) = 0, 80. Ahora, p(F ) = p(E1 ∪ E2 )

donde E1 = F ∩ G y E2 = F ∩ H . Ya que E1 y E2 son eventos mutuamente excluyentes entonces p(F ) = p(E1 ) + p(E2 ). Luego, p(E1 ) = p(F ∩ G) = p(G) · p(F |G) = (0, 70) · (0, 40) = 0, 28

y de forma similar se tiene que p(E2 ) = 0, 48. De acá concluimos que p(F ) = 0, 76, es decir, existe una probabilidad del 76 % de que el votante seleccionado esté a favor de la emisión de los bonos. 2.

Ejercicios Propuestos

1. Un sistema para detectar humo emplea dos dispositivos, A y B . Si hay humo, la probabilidad de que sea detectado por el dispositivo A es del 95 %, por el dispositivo B es de 98 % y, por ambos, es del 96 %. Si hay humo, determine las siguientes probabilidades: 6

) Sea detectado por cualquiera de los dos dispositivos. b ) No sea detectado.

a

2. Sean A y B dos eventos tales que p(A) = 0, 20, p(B) = 0, 30 y p(A ∪ B) = 0, 40. Determinar: ) b) c) d) a

p(A ∩ B). p(A ∪ B). p(A B). p(A|B).

3. Una compañia compra refacciones a M distribuidores diferentes y desea ordenar n pedidos (n < M ). Suponga que la compañia realiza los pedidos de tal manera que cada distribuidor tiene las mismas posibilidades de surtir cualquiera de los pedidos y que no existe ninguna restrición con respecto al número de pedidos que se pueden ordenar con cualquier vendedor. Determine la probabilidad de que un distribuidor en particular, por ejemplo, el distribuidor I , tenga exactamente k pedidos (k ≤ n). 4. Se enseña a un mono a reconocer los colores al introducir una pelota roja, una negra y una blanca en una caja de los mismos colores, una pelota para cada caja. Si el mono no ha aprendido los colores y simplemente coloca una pelota en cada caja al azar, determine las siguientes probabilidades: ) No hay correspondencia en los colores. b ) Hay exactamente una correspondencia en color.

a

5. Una red de comunicaciones tiene un sistema incorporado de seguridad contra fallas. Si en este sistema falla la línea I , se emplea la línea II como emergencia; si también falla esta, se emplea la línea III como una desviación. La probabilidad de que falle cualquiera de estas tres líenas es del 10 % y las fallas de estas líneas son independientes. ¾Cuál es la probabilidad de que este sistema de tres líneas no falle totalmente? 6. Sean Ay B dos eventos. Demostrar que p(A ∩ B) ≥ 1 − p(A) − p(B)

Esta expresión es una versión simplicada de la

.

desigualdad de Bonferroni

7. Supóngase que S = B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn con p(Bk ) > 0 (k = 1, 2, 3..., n) y Bi ≤ Bj = φ, para i 6= j . Entonces para cualquier evento A se tiene que p(A) =

n X

p(Bk ) · p(A|Bk )

k=1

La entrega de los ejercicios propuestos 3, 6 y 7 poseen una calicación adicional sobre las evaluaciones.

Nota:

7