Problemario de la asignatura de Ecuaciones Diferenciales Alejandro Hern´andez Madrigal Maxvell Jim´enez Escamilla Academia de Matem´aticas y F´ısica Unidad Profesional Interdisciplinaria de Biotecnolog´ıa, IPN. M´exico 2009

´Indice general 1. Ecuaciones de primer orden 1.1. Clasificaci´ on y soluciones . . . . . 1.2. M´etodo de separaci´on de variables 1.3. Ecuaciones exactas . . . . . . . . . 1.4. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . 1.5. Cambios de variable . . . . . . . . 1.6. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . .

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3 3 3 4 4 4 5

2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden 2.1. Reducci´ on de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ecuaci´ on homog´enea con coeficientes constantes . . . . . 2.3. Ecuaci´ on no homog´enea con coeficientes constantes . . . 2.3.1. M´etodo de coeficientes indeterminados . . . . . . 2.3.2. M´etodo de variaci´on de par´ametros . . . . . . . .

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7 7 7 8 8 8

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3. Transformada de Laplace 3.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Propiedades de la transformada de Laplace y su inversa . . . . . 3.3.1. Transformada de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Primer y segundo teoremas de traslaci´on . . . . . . . . . . 3.3.3. Transformada de tn f (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Transformada de la convoluci´on de funciones . . . . . . . 3.3.5. Transformada de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6. Transformada de funciones peri´odicas . . . . . . . . . . . 3.4. Soluci´ on de ecuaciones integrodiferenciales usando transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Movimiento arm´ onico simple, amortiguado y forzado, circuito LRC

9 9 9 10 10 10 11 11 11 12

4. Series de Fourier y ecuaciones diferenciales 4.1. Funciones ortogonales . . . . . . . . . . . . 4.2. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Series de Fourier de cosenos y senos . . . . 4.4. Ecuaciones diferenciales parciales . . . . . .

16 16 16 17 18

1

parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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12 12

4.5. Ecuaci´ on unidimensional del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Ecuaci´ on de onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Ecuaci´ on de Laplace en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . .

2

18 19 19

Cap´ıtulo 1

Ecuaciones de primer orden 1.1.

Clasificaci´ on y soluciones

Clasifique las ecuaciones diferenciales 1. (1 − x) y 00 − 4xy 0 + 5y = cos x 2. t5 y (4) − t3 y 00 + 6y = 0 3. (sin θ) y 000 − (cos θ) y 0 = 2 Compruebe que la funci´ on o la relaci´on indicada es una soluci´on expl´ıcita o imp´ıcita de la ecuaci´ on diferencial 1. 2y 0 + y = 0;

y = e−x/2

2. y 00 − 6y + 13y = 0; 3.

dX dt

y = e3x cos(2x)   = (X − 1) (1 − 2X) ; ln 2X−1 =t X−1


4. 2xydx + x2 − y dy = 0;

1.2.

−2x2 y + y 2 = 1

M´ etodo de separaci´ on de variables

Resuelva la ecuaci´ on diferencial por medio de separaci´on de variables dy 1. x dx = 4y dy 2. y ln x dx =

Sol.
y+1 2

y = cx4 Sol.

x

3. csc ydx + sec2 xdy = 0 4.

dP dt

= P − P2

5.

dy dx

=

xy+3x−y−3 xy−2x+4y−8

Sol.

1 3 3x

Sol. P =

Sol.

ln x − 19 x3 = 21 y 2 + 2y + ln y + c 4 cos y = 2x + sin(2x) + c

t

ce 1+cet 5

5

(y + 3) ex = c (x + 4) ey

3

1.3.

Ecuaciones exactas

Ecuaciones Exactas Determine si la ecuaci´ on diferencial es exacta, en caso afirmativo resu´elvala   1. (y ln y − e−xy ) dx + y1 + x ln y dy = 0 2.



x2 y 3 −

1 1+9x2



dx dy

+ x3 y 2 = 0



3. 4t3 y − 15t2 − y dt + t4 + 3y 2 − t dy = 0 4. (4y + 2t − 5) dt + (6y + 4t − 1) dy = 0,

y(−1) = 2

Factores integrantes dependientes de una variable Resuelva la ecuaci´ on diferencial mediante la determinaci´on de un factor integrante adecuado
1. 6xydx + 4y + 9x2 dy = 0 Sol. 3x2 y 3 + y 4 = c
3x +x=c 2. 10 − 6y + e−3x dx − 2dy = 0 Sol. − 2ye3x + 10 3 e

2 3. xdx + x2 y + 4y dy = 0, y(4) = 0 Sol. ey x2 + 4 = 20

1.4.

Ecuaciones lineales

Encuentre la soluci´ on general de la la ecuaci´on diferencial dy 1. x dx + 4y = x3 − x

Sol.

y = 17 x3 − 51 x + cx−4

2. x2 y 0 + x (x + 2) y = ex
3. ydx − 4 x + y 6 dy = 0

Sol.

dy 4. cos x dx + (sin x) y = 1

Sol.

Sol.

y = 12 x−2 ex + cx−2 e−x x = 2y 6 + cy 4 y = sin x + c cos x

dy 5. (x + 1) dx + (x + 2) y = 2xe−x

1.5.

Sol.

(x + 1) ex y = x2 + c

Cambios de variable

Resuelve la ecuaci´ on diferencial usando una sustituci´on adecuada
dy y−x Sol. ln x2 + y 2 + 2 arctan y/x = c 1. dx = y+x 2. −ydx + x +

√


xy dy

Sol.

3. x + yey/x )dx − xey/x dy = 0,

4x = y (ln |y| − c) y(1) = 0

4

Sol.

2

ln |x| = ey/x − 1

Resuelve la ecuaci´ on de Bernoulli 1.

dy dx

= y xy 3 − 1)

2 2. t2 dy dt + y = ty dy 3. x2 dx − 2xy = 3y 4 ,

1.6.

y −3 = x +

Sol. Sol.

1 3

+ ce3x

et/y = ct

y(1) =

1 2

Sol.

y −3 = − 59 x−1 +

49 −6 5 x

Aplicaciones.

Crecimiento poblacional 1. La poblaci´ on de una comunidad se incrementa a una tasa proporcional al n´ umero de personas presente en el tiempo t. Si en cinco a˜ nos se duplica una poblaci´ on inicial P0 , ¿c´ uanto tarde en triplicarse? ¿En cuadruplicarse? 2. La poblaci´ on de un pueblo crece a una tasa proporcional a la poblaci´on presente en el tiempo t. La poblaci´on inicial de 500 se incrementa 15 % en diez a˜ nos. ¿Cu´ al ser´ a la poblaci´on en 30 a˜ nos? ¿Qu´e tan r´apido est´a creciendo la poblaci´ on en t = 30?

Decaimiento radioactivo 1. El is´ otopo radiactivo del plomo, Pb-209, decae a una rapidez proporcional a una cantidad presente en el tiempo t y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al inicio est´ a presente un gramo de ´este is´otopo, ¿cu´anto tarda en decaer 90 % del plomo? 2. Al inicio hab´ıa 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Despu´es de 6 horas la masa hab´ıa disminuido en 3 %. Si la rapidez de decaimiento es proporcional a la cantidad de sustancia presente en el tiempo t determine la vida media de la sustancia.

Ley de enfriamiento de Newton 1. Una peque˜ na barra met´alica, cuya temperatura inicial fue de 20◦ C, se sumerje en un gran recipiente de agua hirviente. ¿Cu´anto tarda la barra en alcanzar 90◦ C si se sabe que su temperatura aumenta 2◦ C en un segundo? ¿Cu´ anto le toma a la brra llegar a 98◦ C? 2. Un term´ ometro que marca 70◦ F se coloca en horno precalentado a una temperatura constante. Por una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que depu´es de medio minuto el term´ometro marca 110◦ F y luego de un minuto la lectura es de 145◦ F. ¿Cu´al es la temperatura del horno?

5

Mezcla de soluciones 1. Un dep´ osito grande se llena al m´aximo con 500 galones de agua pura. Se bombea al dep´ osito salmuera que contiene dos libras de sal por gal´on a raz´ on de 5 gal/min. La soluci´on bien mezclada se bombea a la misma rapidez. Calcule el n´ umero de A(t) de libras de sal en el dep´osito en el tiempo t. 2. Resuelva el problema 1 bajo la suposici´on de que la soluci´on se bombea hacia afuera del dep´ osito a una rapidez de 10 gal/min. ¿Cu´ando se vac´ıa el dep´ osito?

Ecuaci´ on log´ıstica 1. El n´ umero N (t) de supermercados del pa´ıs que est´an usando sistemas de revisi´ on computarizados se describe mediante el problema de valor inicial dN = N (1 − 0,0005N ) , dt

N (0) = 1.

¿Cu´ antas compa˜ n´ıas se espera que adopten la nueva tecnolog´ıa cuando t = 10 ? 2. Un modelo para la poblaci´on P (t) en un suburbio de una gran ciudad es el problema de valor inicial
dP = P 10−1 − 10−7 P , dt

P (0) = 5000.

donde t se mide en meses. ¿Cu´al es el valor l´ımite de la poblaci´on? ¿En qu´e momento la poblaci´on es igual a un medio de este valor l´ımite?

Movimiento de un objeto en un medio resistivo 1. Una ecuaci´ on diferencial que describe la velocidad v de una masa en ca´ıda sujeta a la resistencia del aire que es proporcional a la velocidad instantanes es dv m = mg − kv, dt donde k > 0 es una constante de proporcionalidad a) Resuelva la ecuaci´on sujeta a la condici´on inicial v(0) = v0 . b) Si la distancia s, medida desde el punto donde se liber´o la masa desde el suelo, se relaciona con la velocidad v mediante ds/dt = v(t), encuentre una expresi´on expl´ıcita para s(t) si s(0) = 0.

6

Cap´ıtulo 2

Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden 2.1.

Reducci´ on de orden

Use reducci´ on de orden para hallar una segunda soluci´on y2 (x) 1. 9y 00 − 12y 0 + 4y = 0;

y1 = e2x/3

Sol.

y2 = xe2x/3

y1 = x4

Sol.

y2 = x4 ln |x|

Sol.

y2 = 1

2. x2 y 00 − 7xy 0 + 16y = 0; 3. xy 00 + y 0 = 0;

y1 = ln x

4. x2 y 00 − xy 0 + 2y = 0; y1 = x sin (ln x)
5. 1 − 2x − x2 y 00 + 2 (1 + x) y 0 − 2y = 0;

2.2.

Sol.

y2 = x cos (ln x)

y1 = x + 1

Sol. y2 = x2 + x + 2

Ecuaci´ on homog´ enea con coeficientes constantes

Determina la soluci´ on general de la ecuaci´on de segundo orden 1. y 00 + 4y 0 + 5y = 0

y = e−2x (c1 cos x + c2 sin x) √ √
Sol. y = e−x/3 c1 cos 2x/3 + c2 sin 2x/3

Sol.

2. 3y 00 + 2y 0 + 2y = 0 3. y 00 + 16y = 0,

y(0) = 2, y 0 (0) = −2

4. y 00 + y 0 + 2y = 0,

y(0) = 0, y 0 (0) = 0

5. y 00 − 10y 0 + 25y = 0,

y(0) = 1, y(1) = 0

7

y = 2 cos 4x −

Sol. Sol.

1 2

sin 4x

y=0

Sol.

y = e5x − xe5x




2.3. 2.3.1.

Ecuaci´ on no homog´ enea con coeficientes constantes M´ etodo de coeficientes indeterminados

Resuelva la ecuaci´ on diferencial mediante el m´etodo de superposici´ on 1. y 00 − 10y 0 + 25y = 30x + 3 2. y 00 +3y = −48x2 e3x

y = c1 e5x + c2 xe5x + 65 x + 35 √ √
y = c1 cos 3x+c2 sin 3x+ −4x2 + 4x − 34 e3x Sol.

Sol.

3. y 00 − y 0 + 14 y = 3 + ex/2

Sol.

4. y 00 + y = 2x sin x

y = c1 cos x + c2 sin x − 21 x2 cos x + 21 x sin x

Sol.

y = c1 ex/2 + c2 xex/2 + 12 + 21 x2 ex/2

Resuelva la ecuaci´ on diferencial mediante el m´etodo del anulador 1. y 00 + 4y 0 + 4y = 2x + 6

Sol.

2. y 00 − y 0 − 12y = e4x

y = c1 e−2x + c2 xe−2x + 21 x + 1

y = c1 e−3x + c2 e4x + 17 xe4x

Sol.

3. y 00 + 25y = 6 sin x

Sol.

y = c1 cos 5x + c2 sin 5x +

4. y 00 − y = x2 ex + 5

Sol.

y = c1 e−x + c2 ex + 16 x3 ex − 14 x2 ex + 14 xex − 5

2.3.2.

1 4

sin x

M´ etodo de variaci´ on de par´ ametros

Resuelva la ecuaci´ on diferencial por variaci´on de parametros 1. y 00 + y = sec x 2. y 00 + y = cos2 x 3. y 00 −4y = 0

e2x x

y = c1 cos x + c2 sin x + x sin x + cos x ln | cos x|

Sol.

y = c1 cos x + c2 sin x + 21 − 61 cos 2x  Rx y = c1 e2x +c2 e−2x + 41 e2x ln |x| − e−2x x0

Sol. Sol.



e4t t dt

, x0 >

4. y 00 + 3y 0 + 2y = sin ex

Sol.

y = c1 e−2x + c2 e−x − e−2x sin ex

5. y 00 + 2y 0 + y = e−t ln t

Sol.

y = c1 e−t + c2 te−t + 12 t2 e−t ln t − 34 t2 e−t

Ecuaci´ on de Cauchy-Euler Resuelva la ecuaci´ on diferencial 1. 3x2 y 00 +6xy 0 +y = 0 2. xy 00 − 4y 0 = x4

Sol. Sol.

3. x2 y 00 − xy 0 + y = 2x 4. x2 y 00 + xy 0 − y = ln x

 y = x−1/2 c1 cos

1 6

√


3 ln x + c2 sin

y = c1 + c2 x5 + 51 x5 ln x Sol. Sol.

2

y = c1 x + c2 x ln x + x (ln x) y = c1 x−1 + c2 x − ln x

5. x2 y 00 + 3xy 0 = 0, y(1) = 0, y 0 (1) = 4

8

Sol.

y = 2 − 2x−2

1 6

√

3 ln x




Cap´ıtulo 3

Transformada de Laplace 3.1.

Transformada de Laplace

Use la definici´ on para encontrar la transformada de Laplace L {f (t)}  t, 0 ≤ t < 2 1. f (t) = Sol. s12 − s12 e−s 2, t≥2  −πs sin t, 0 ≤ t < π 2. f (t) = Sol. 1+e s2 +1 0, t≥π 3. f (t) = te4t

Sol.

4. f (t) = e−t sin t

1 (s−4)2 1 s2 +2s+2

Sol.

Use tablas para encontrar la transformada de Laplace L {f (t)} 1. f (t) = t2 + 6t − 3
2 2. f (t) = 1 + e2t 3. f (t) = et sinh t

3.2.

Sol.

2 s3

Sol.

1 s

+

1 2(s−2)

Sol.

6 s2

−

3 s

2 s−2

+

1 s−4

+

−

1 2s

Transformada inversa de Laplace

Use el ´ algebra apropiada y tabla de transformadas inversas b´asicas para determinar la transformada de Laplace inversa L−1 {F (s)} de F (s) n o 3 1. L−1 (s+1) Sol. 1 + 3t + 32 t2 + 61 t3 4 s 2. L−1

n

3. L−1

n

5

o

Sol.

5 7

sin 7t

o

Sol.

1 3

− 13 e−3t

s2 +49 1 s2 +3s

9

4. L−1

n

s (s−2)(s−3)(s−6)

5. L−1

n

1 (s2 +1)(s2 +4)

3.3.

o

1 2t 2e

Sol.

o

1 3

Sol.

− e3t + 12 e6t

sin t −

1 6

sin 2t

Propiedades de la transformada de Laplace y su inversa

3.3.1.

Transformada de la derivada

Mediante la transformada de Laplace resuelva el problema de valores iniciales. 1.

dy dt

− y = 1,

y(0) = 0

2. y 0 + 6y = e4t ,

y = −1 + et

Sol.

y(0) = 2

Sol.

y=

1 4t 10 e

+

19 −6t 10 e

3. y 00 + 5y 0 + 4y = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 0 Sol. y = 43 e−t − 13 e−4t √ √ 0 Sol. y = 10 cos t + 4. y 00 + y = √ 2 sin √ 2t y(0) = 10, y (0) = 0 2 sin t − 2 sin 2t

3.3.2.

Primer y segundo teoremas de traslaci´ on

Encuentre F (s) ´ o f (t) n o
2 1. L t et + e2t Sol.

1 (s−2)2

+

2 (s−3)2

+

1 (s−4)2


s s−1 s+4 1 − et + 3e−4t cos 5t Sol. s2 +25 − (s−1) + 3 (s+4) 2 2 +25 +25 n o s 3. L−1 s2 +4s+5 Sol. e−2t cos t − 2e−2t sin t

2. L



4. L−1

n

o

2s−1

Sol.

s2 (s+1)3

5 − t − 5e−t − 4te−t − 32 t2 e−t

Resuelve con transformada de Laplace las ecuaciones diferenciales 1. y 00 − 6y 0 + 13y = 0, 2. y 00 −y 0 = et cos t,

y(0) = 0, y 0 (0) = −3

y(0) = 0, y 0 (0) = 0

Sol.

Sol.

y = 12 − 12 et cos t+ 21 et sin t

Encuentre F (s) ´ o f (t) 1. L {tU (t − 2)}

Sol.

2. L {cos 2tU (t − π)} n −πs o 3. L−1 se2 +1 Sol. 4. L−1

n

e−s s(s+1)

o

Sol.

e−2s s2

Sol.

−2s

+ 2e s

s −πs s2 +4 e

− sin tU (t − π) U (t − 1) − e−(t−1) U (t − 1) 10

y = − 23 e3t sin 2t

Escriba cada ecuaci´ on en t´erminos de funciones escalon unitarias y despu´es obtenga su transformada de Laplace  2 0≤t