PROBLEMAS DE ´ INGENIER´IA ELECTROMAGNETICA

Carlos Dehesa Mart´ınez ˜al y Comunicaciones Departamento de Teor´ıa de la Sen ´tica e Ingenier´ıa Telema Universidad de Valladolid Curso 2004-2005

1 8. Mediante el uso del teorema de Gauss, muestre que el volumen V de un recinto limitado por la superficie A puede representarse como 1. Un volumen esf´erico de radio R se halla cargaZZ 1 do con una densidad de carga ρ = ρ0 r/R. ¿Cu´anta V = ~r · d~a, carga hay en la capa esf´erica comprendida entre r y 3 A r + dr? Calcule la carga total de la esfera. donde ~r es el vector de posici´on. 2. Un cubo cuyo centro est´a en el origen de coordenadas y cuyas aristas, de longitud 2a, son pa- 9. Compruebe la identidad ralelas a los ejes coordenados, est´a cargado en vo~ ) = φ∇ × V ~ + (∇φ) × V ~, ∇ × (φV lumen con una densidad de carga dada por ρ = ρ0 (x2 + y 2 + z 2 )/a2 . Halle la carga total del cubo. ~ son unos campos escalar y vectorial, donde φ y V respectivamente. (Sugerencia: desarrolle en coorde3. Calcule la divergencia de los campos vectoriales nadas cartesianas la componente x de los dos miemsiguientes (expresados en coordenadas cartesianas) bros de la identidad.) y dibuje un esquema de l´ıneas de campo: 10. Sea el campo vectorial ~ = A0 (xˆ a) A x − y yˆ); I. ENUNCIADOS

d

~= b) A

A0 (x2 x ˆ d2

− y 2 yˆ);

~ = A0 (y 2 x A ˆ − x2 yˆ). d2

~ = (1/2)B ~ × ~r, donde B ~ es un vector constante c) A dado (note que se puede elegir los ejes m´as adecua- Halle su circulaci´on a lo largo del camino de la figura. Compare el resultado obtenido con el del flujo de ∇× dos) y ~r es el vector de posici´on del punto. ~ a trav´es de la superficie del plano XY delimitada A Haga un breve an´alisis de los resultados. por dicho camino. 4. Calcule la divergencia de los campos vectoriales siguientes, expresados en coordenadas esf´ericas, siendo A0 > 0 y a > 0, y dibuje un esquema de l´ıneas de campo: ~ = (a/r2 )ˆ a) A r; ~ = A0 (r/a)ˆ b) A r; ~ = A0 (ˆ c) A r cos θ − θˆ sen θ).

~ = 0 aplicando 11. Demuestre la identidad ∇·(∇× A) el teorema de Stokes a una superficie S arbitraria 5. Calcule los rotacionales de los campos dados en cuyo contorno C se contraiga hasta que S se convierta en una superficie cerrada y, seguidamente, utilizando los ejercicios 3 y 4. el teorema de Gauss. 6. a) Compruebe que ∇ · ~r = 3, donde ~r es el vector 12. Una distribuci´on cil´ındrica de carga tiene una de posici´on. Realice el c´alculo en coordenadas cartedensidad en volumen ρ = ρ0 r/R, para r < R, y sianas, cil´ındricas y esf´ericas. ρ = 0, para r > R. Si las cargas se mueven con b) Calcule el flujo saliente del campo ~r a trav´es de una velocidad ~v dirigida seg´ un el eje del cilindro, la superficie de una esfera de radio R con centro en halle la intensidad de la corriente el´ectrica total que el origen de coordenadas mediante c´alculo directo y transporta esa distribuci´on y la carga por unidad de como aplicaci´on del teorema de Gauss. longitud de la misma. Haga un breve an´alisis de los resultados.

~ = rˆ sen θ, expresado 7. Calcule el flujo del campo A en coordenadas esf´ericas, a trav´es de una esfera de radio R con centro en el origen. Repetir el ejercicio para el campo A = rˆ cos θ. Halle la divergencia de dichos campos y analice los resultados.

13. Aproximadamente, el campo el´ectrico en el interior de un condensador plano cargado es uniforme, decreciendo bruscamente a cero fuera del espacio entre sus placas. Demu´estrese que este campo no puede ser conservativo.

2 14. Sea un elemento de corriente, es decir, un hilo de la derecha se cortocircuita, los campos responden fino de longitud ∆l recorrido por una corriente de ahora a las expresiones: ~ en r  intensidad I constante. Para calcular el campo H µ0 sen β(z − l) ~  E=x ˆH0 sen ωt,  un punto de la mediatriz al elemento de corriente y a  0 cos βl una distancia r del mismo, parece aplicable la ley de   ~ = yˆH0 cos β(z − l) cos ωt. Amp`ere (en forma integral.) Comp´arese el resultado  H cos βl con el que da la ley de Biot y Savart, supuesto que r >> ∆l. ¿Por qu´e la ley de Amp`ere no es aplicable a) Compruebe mediante sustituci´on que las exprea este caso? siones anteriores de los campos satisfacen a las ecuaciones de Maxwell en el espacio vac´ıo entre placas. 15. La figura representa una l´ınea de transmisi´on formada por dos placas conductoras ideales parale- b) Aceptando que las placas son perfectas conductolas. Cuando el extremo z = 0 se conecta a un gene- ras, determine las densidades de carga y de corriente rador de f. e. m. sinusoidal y el extremo z = l se deja superficiales en ellas. abierto, los campos en el espacio entre placas, salvo c) Obtenga las expresiones de los campos en el l´ımite cerca de los bordes, est´an dado por las expresiones: cuando βl > d. Entre los centros de √ las placas se ha aplicado un voltaje v = V0 sen(ωt), donde β = ω ε0 µ0 . donde V0 y ω son constantes dadas. a) Obtenga en la aproximaci´on cuasiest´atica la intensidad del campo el´ectrico que aparece entre las placas. Desprecie la existencia del borde de las placas y, dada la simetr´ıa del problema, utilice coordenadas cil´ındricas. b) Utilice la ley de Amp`ere-Maxwell en forma integral con un camino de integraci´on apropiado pa~ creado por el ra deducir la expresi´on del campo H a) Compruebe mediante sustituci´on que las exprecampo el´ectrico variable entre las placas del condensiones anteriores de los campos satisfacen a las ecuasador. Por simetr´ıa, el campo magn´etico s´olo tiene ciones de Maxwell en el espacio vac´ıo entre placas. componente Hϕ . b) Aceptando que las placas son perfectas conductoc) Calcule la correcci´on al campo el´ectrico obteniras, determine las densidades de carga y de corriente do en (a) como consecuencia de haber un campo superficiales en ellas. (Sugerencia: uso de las leyes de magn´etico variable. Para ello, parta de la ley de FaraGauss y de Amp`ere en forma integral.) day en forma integral con un camino de integraci´ on ~ sigue siendo normal a c) Obtenga las expresiones de los campos en el l´ımite adecuado, asumiendo que E cuando βl > R. El bobinado se conecta a una fuente de corriente que proporciona una intensidad dada por i = I0 sen(ωt), donde I0 y ω son constantes dadas.

b) Utilice la ley de Faraday en forma integral con un camino de integraci´on apropiado para deducir la ex~ creado por el campo magn´etico presi´on del campo E variable dentro de la bobina. Por simetr´ıa, el campo el´ectrico s´olo tiene componente Eϕ .

no XY, centrada a lo largo del eje OY, por ejemplo.)

23. Halle el potencial en un punto arbitrario para el sistema formado por dos esferas conductoras conc´entricas de radios R1 y R2 (condensador esf´erico, R1 < R2 ) resolviendo la ecuaci´on de Laplace, con c) Calcule la correcci´on al campo magn´etico obte- las condiciones en los l´ımites: nido en (a) como consecuencia de haber un cam- a) Φ(r = R ) = V , Φ(r = R ) = 0; 1 2 po el´ectrico variable. Para ello, parta de la ley de Amp`ere-Maxwell en forma integral con un camino b) Φ(r = R1 ) = V1 , Φ(r = R2 ) = V2 , V1 > V2 > 0. ~ sigue di- En ambos casos, el potencial del infinito puede tode integraci´on adecuado, asumiendo que H rigido a lo largo del eje del solenoide e independiente marse como cero. Suponga que el espesor de la esfera hueca es despreciablemente peque˜ no. Halle las cargas de la coordenada z. d) La aproximaci´on cuasiest´atica es adecuada si el de las esferas e interprete los resultados. cociente entre los valores absolutos de la correcci´on 24. Entre las placas conductoras de un condensador m´ axima hallada en (c) y el campo aproximado halla- plano, separadas una distancia d, se ha distribuido do en (a) es mucho menor que la unidad. Demuestre una carga con una densidad en volumen  que ese enunciado es cierto si el radio de la bobina es 3ρ0 , si 0 < x < d/3, mucho menor que la longitud de onda de una onda ρ(x) = −(3/2)ρ0 , si d/3 < x < d. electromagn´etica de pulsaci´on ω. Se sobreentiende que el eje OX es perpendicular a las 19. Sea una distribuci´on est´atica de carga en un vo- placas, las cuales corresponden a los planos x = 0 y lumen esf´erico dada por: x = d, respectivamente, y que se suponen placas de  extensi´on ilimitada. Se pide resolver la ecuaci´ on de (ρ0 /R2 )r2 , si r < R, ρ(r) = Poisson para el potencial el´ectrico en coordenadas 0, si r > R. cartesianas en los dos casos siguientes: a) Utilizando la ecuaci´on de Poisson en coordenadas a) Φ(x = 0) = Φ(x = d) = 0; esf´ericas, obtenga el potencial creado por la distri- b) Φ(x = 0) = 0, Φ(x = d) = V . buci´on de carga. c) Obt´engase tambi´en la intensidad del campo b) Calcule la intensidad del campo el´ectrico. el´ectrico y las densidades de carga en las placas del condensador en ambos casos. 20. Un segmento de recta de longitud l cargado uniformemente con λl C/m se encuentra colocado en 25. En el sistema descrito en el problema 21, conel eje OY entre los puntos (0, −l/2, 0) y (0, l/2, 0). sid´erese la superficie equipotencial que pasa por el Utilizando coordenadas cartesianas, obtenga el po- punto del eje OZ situado a tal distancia, d, del centencial en un punto arbitrario. Estudie el l´ımite de tro del disco que encierra completamente al disco. Se la expresi´on anterior cuando l → ∞ y deduzca de sustituye esta superficie equipotencial por un conno. Calcule la caah´ı la expresi´on del potencial de una recta cargada ductor de la misma forma y tama˜ pacidad de este conductor respecto al infinito. uniformemente.

4 26. Calcule la capacidad de un condensador plano formado por dos placas conductoras planas de ´area A sepaaradas por una distancia d, situadas en el vac´ıo. Adm´ıtase la aproximaci´on de campo el´ectrico homog´eneo en la regi´on situada entre las placas.

que tal superficie equipotencial coincida con la esfera conductora. Por tanto, el potencial creado por el sistema q y q 0 es equivalente al de la carga frente a la esfera conductora, fuera de ´esta. Calcule la distribuci´on del potencial del sistema de la figura.

27. Determine la capacidad de un condensador esf´erico, constitu´ıdo por dos conductores esf´ericos conc´entricos, de radios a y b, con a < b, situados en el vac´ıo.

b) Obtenga la densidad superficial de carga en la esfera conductora, en funci´on del ´angulo ϕ, y la carga total en ella. c) Calcule la fuerza ejercida sobre q por la esfera.

d) Si la esfera, en lugar de colocarse a potencial nulo, recibe una carga q 00 conocida, ¿qu´e conjunto de cargas y en qu´e posiciones permite resolver el problema de potencial fuera de la esfera? Sugerencia: las superficies equipotenciales de una carga puntual son 29. Una carga puntual q est´a colocada a una distan- superficies esf´ericas con centro en la carga. Responda a la pregunta (c) para este caso. cia d de un conductor plano ilimitado. 28. Halle la capacidad por unidad de longitud de un condensador cil´ındrico, formado por dos conductores cil´ındricos coaxiales, de radios a y b, con a < b, situados en el vac´ıo.

a) Determine la expresi´on del potencial en un punto 31. C´alculo de la capacidad por unidad de longitud arbitrario. D´e el resultado en coordenadas cartesia- de una l´ınea de transmisi´on de hilos paralelos cuya nas, suponiendo el plano conductor en el plano XY secci´on aparece en la figura.. y la carga en el eje OZ. b) Calcule la densidad superficial de carga en un punto cualquiera del plano conductor y la carga total del mismo. c) ¿Cu´anto vale la fuerza que ejerce el plano conductor sobre la carga? d) Consid´erese la superficie equipotencial que pasa por el punto (0, 0, a), donde 0 < a < d, la cual rodea a la carga q. Si se sustituye dicha superficie por un conductor de la misma forma y dimensiones que aqu´ella, ¿cu´anto vale la capacidad del condensador formado por este conductor y el plano?

a) A partir de la expresi´on del potencial creado por una recta uniformemente cargada, calcule el potencial creado por dos rectas paralelas con cargas iguales y opuestas separadas una distancia 2a. D´e el resultado en coordenadas cartesianas, con los ejes sugeridos 30. Se coloca una carga puntual q a una distancia en la figura. d del centro de una esfera conductora de radio R b) Muestre que las superficies equipotenciales son cilindros de secci´on circular. Identifique dos de estas puesta a potencial cero. superficies equipotenciales para que coincidan con las superficies de los conductores de radio R que se ven en la figura. c) Calcule la capacidad por unidad de longitud del sistema y su expresi´on aproximada para el caso en que d/R >> 1.

a) Demuestre que un sistema de dos cargas, q y q 0 , esta u ´ltima de signo opuesto y diferente en valor absoluto a q, tienen una superficie equipotencial esf´erica con potencial cero. Eligiendo adecuadamente los valores de q 0 y de su distancia a q puede lograrse

32. Entre dos l´aminas conductoras cuadradas de lado a y de espesor despreciable se ha colocado una tercera l´amina conductora rectangular de lados a y 2a/3, con una separaci´on entre l´aminas sucesivas igual a d/2, como indica la figura. Despreciando el efecto de los bordes, calcule los coeficientes de capacidad del sistema.

5 Compruebe que la carga de polarizaci´on total del diel´ectrico es nula. Calcule la capacidad del sistema. 38. Cable coaxial con dos diel´ectricos. Un cilindro conductor muy largo de radio a se rodea de dos capas diel´ectricas cil´ındricas de radios b y c y constantes diel´ectricas ε1 y ε2 , respectivamente. Todo ello se recubre con un cilindro conductor de radio interior c. Halle la capacidad por unidad de longitud de este 33. Una esfera conductora de radio R1 se ha- sistema. lla rodeada por dos esferas conductoras huecas y 39. Determine la relaci´on que existe entre los ´ anguconc´entricas de espesor despreciable y radios respec- los que forma el campo el´ectrico con la normal a amtivos R2 y R3 , siendo R1 < R2 < R3 . Halle los coe- bos lados de la superficie de separaci´on de dos medios ficientes de capacidad del sistema. diel´ectricos cuyas permitividades son ε1 y ε2 . 34. Demuestre que la carga de polarizaci´on total (suma de la carga en superficie y en volumen) de un diel´ectrico situado en un campo el´ectrico arbitrario es nula. 35. Un cilindro diel´ectrico, de altura H y con secci´ on circular de radio R, posee una polarizaci´on permanente, P~ , uniforme y dirigida a lo largo del eje de simetr´ıa. Halle las cargas de polarizaci´on. Calcule ~ yD ~ para puntos situados en el eje del los campos E cilindro. Dibuje un gr´afico cualitativo con la distri~ y D. ~ (Obbuci´on de las l´ıneas de campo para P~ , E tenga antes la expresi´on de la intensidad del campo el´ectrico creado por un disco cargado uniformemente, a partir del resultado del problema 21, y aplique superposici´on.)

40. Un condensador plano formado por dos placas conductoras de ´area A separadas una distancia d se rellena con un diel´ectrico no uniforme. Su permitividad var´ıa a lo largo del eje OX normal a las placas seg´ un la expresi´on ε(x) = ε1 +

(d − x) ε2 . d

36. Sea un condensador plano formado por dos placas conductoras de ´area A separadas una distancia d, entre las que se ha colocado una l´amina diel´ectrica con una polarizaci´on permanente, tambi´en de ´area A y de espesor d/2, equidistante de aqu´ellas. Sean Q y −Q las cargas de las placas y sea P~ el vector polarizaci´on en el diel´ectrico, supuesto uniforme, normal a las placas y dirigido de la placa positiva a la negati~ yD ~ dentro del condensador va. Halle los campos E y la diferencia de potencial entre las placas. Obtenga las cargas de polarizaci´on. Si el diel´ectrico, en vez de tener una polarizaci´on permanente, es lineal, con una constante diel´ectrica ε, calcule P~ y la capacidad del condensador.

Si los potenciales de las placas en x = 0 y en x = d son, respectivamente, V1 y V2 , halle el potencial y los ~ D ~ y P~ dentro del condensador, las cargas campos E, de polarizaci´on y la capacidad del condensador.

37. Una esfera conductora de radio a y carga el´ectrica Q se rodea de una capa esf´erica diel´ectrica cuyo radio exterior es b y cuya permitividad es ε. El sis~ E ~ y tema se halla en el vac´ıo. Calcule los campos D, ~ P en puntos arbitrarios y las cargas de polarizaci´on en el volumen del diel´ectrico y en sus superficies.

42. Determine la expresi´on de la energ´ıa el´ectrica almacenada en un condensador plano cuyas placas, de ´area A y separadas una distancia d por un diel´ectrico de permitividad ε, est´an cargadas con Q y −Q. Del resultado anterior, obtenga la expresi´ on de la capacidad de este condensador.

41. Calcule la energ´ıa el´ectrica que adquiere un conductor esf´erico de radio R, rodeado por un diel´ectrico lineal y uniforme de constante diel´ectrica ε al ser cargado con una carga Q. Deduzca de ese resultado la expresi´on de la capacidad del conductor. Repita los c´alculos si la esfera conductora est´a rodeada de una capa diel´ectrica esf´erica de constante ε que se extiende desde r = a hasta r = b, todo ello situado en el vac´ıo, como en el problema 37.

6 43. Dos condensadores cuyas capacidades son C1 y 47. Una barra conductora de longitud l y secci´ on C2 est´an cargados, respectivamente, con diferencias transversal A est´a realizada con un material de conductividad σ uniforme. Sus extremos se encuentran de potencial V1 y V2 . sometidos a potenciales 0 y V , respectivamente. Oba) Calcule sus cargas y energ´ıas el´ectricas respectitenga la distribuci´on de potencial, intensidad de vas. campo y densidad de corriente en la barra y la resisSi ahora se conectan en paralelo, uniendo entre s´ı las tencia entre los extremos de la misma. placas positivas y haciendo otro tanto con las placas 48. Con una l´amina conductora de conductividad negativas: uniforme σ y espesor H se construye un tubo cil´ındrib) ¿Cu´anto vale la d. d. p. entre las placas? Comprueco circular, con radio exterior R y longitud L. Calbe que la energ´ıa el´ectrica del sistema ha disminuido cule la resistencia entre las superficies cil´ındricas exy d´e una explicaci´on de ello. terna e interna. 44. Calcule la fuerza de atracci´on entre las placas de un condensador plano cargado. Si bien el resultado no depende de si continua conectado o no el generador el´ectrico que se utiliz´o para cargar el condensador, los argumentos detallados para llegar al resultado dependen de dicha circunstancia. Resuelva primeramente el problema suponiendo que, una vez que se ha cargado el condensador, se desconecta el generador. A continuaci´on, repita el problema si no se desconecta el generador. (Advi´ertase que, en este caso, el generador intercambia energ´ıa el´ectrica con el condensador.)

49. Una l´amina de conductividad uniforme σ y espesor H se recorta con la forma que muestra la figura, en la que los arcos son de 90o . Obtenga la distribuci´on de potencial, intensidad de campo y densidad de corriente en el conductor y la resistencia del mismo en los dos casos siguientes:

45. Un condensador plano consta de dos placas conductoras cuadradas de lado l separadas una distancia d entre las que se puede desplazar una l´amina diel´ectrica tambi´en cuadrada de lado l y espesor d, como se indica en la figura. Si el condensador se cara) las superficies A-B y C-D se conectan, respectivaga con Q culombios, determine la fuerza que se ejerce mente, a potenciales 0 y V ; sobre esa l´amina en funci´on de su posici´on x. b) las superficies B-C y A-D se conectan, respectivamente, a potenciales 0 y V . 50. Utilice la informaci´on de la figura del problema 31 y la distribuci´on del potencial obtenida en ´el para calcular la resistencia por unidad de longitud entre dos conductores cil´ındricos paralelos ideales insertos en un medio conductor ilimitado de conductividad finita σ. 51. Una barra conductora de longitud l y secci´ on transversal uniforme A presenta una conductividad 46. Determine la relaci´on que existe entre los ´anguque var´ıa a lo largo de ella seg´ un la ley los que forma el vector densidad de corriente con la normal a ambos lados de la superficie de separaσ(z) = σ0 + σ1 z/l, ci´ on de dos medios conductores cuyas conductividades son σ1 y σ2 . Refi´erase a la figura del problema donde σ0 y σ1 son constantes. En los extremos de 39 en la que los vectores de intensidad de campo se la barra se han colocado dos contactos conductores han de sustituir por los correspondientes vectores de perfectos. Por el contacto situado en z = 0 se inyecta densidad de corriente. una intensidad de corriente continua I.

7 a) Teniendo en cuenta que la intensidad de corriente ha de tomar el mismo valor a lo largo de la barra y que se distribuye uniformemente en cualquier secci´on ~ ~ transversal de la misma, halle J(z), E(z), Φ(z) y la resistencia R de la barra. b) Resuelva de nuevo el problema obteniendo en primer lugar el potencial el´ectrico a partir de la ecuaci´ on ∇·(σ∇Φ) = 0 con las condiciones Φ(0) = 0, Φ(l) = −V y que la densidad de corriente debe ir a lo largo de la barra, por lo que Φ s´olo depende de la coordenada z.

56. Un conductor rectil´ıneo muy largo que transporta una intensidad I tiene la secci´on transversal que muestra la figura. La corriente se reparte uniformemente en la secci´on del conductor. El objeto del pro~ en el hueco. Para blema es determinar el campo H ello:

c) Halle la densidad de carga en un punto arbitrario de la barra, admitiendo que ε es independiente de la posici´on. 52. La densidad de potencia el´ectrica disipada en ~ Decalor por efecto Joule en un conductor es J~ · E. muestre a partir de ello que la potencia disipada en un hilo conductor de resistencia R recorrido por una intensidad de corriente I est´a dada por PJ = RI 2 . Conv´enzase de que el resultado es independiente de que su secci´on transversal o su conductividad var´ıen a lo largo del hilo.

~ en el interior a) Determine la expresi´on del campo H de un hilo conductor muy largo con secci´on cil´ındrica de radio a que transporta una densidad de corriente uniforme dada, J.

53. Demuestre que el potencial vector

c) Combine las dos distribuciones de corriente para construir la distribuci´on de corriente dada, y aplique el principio de superposici´on para determinar el ~ en el hueco. campo H

~ = (1/2)B ~ 0 × ~r A

b) Repetir la parte anterior para un segundo conductor cil´ındrico de radio b, transportando la misma densidad de corriente que en el caso (a), pero en sentido opuesto.

~ 0 . Comcorresponde al campo magn´etico uniforme B ~ ~ pruebe que ∇ · A = 0. Obtenga otro potencial vector 57. Sea una densidad de corriente superficial Js = para el mismo campo magn´etico tal que su divergen- Jsy yˆ, donde Jsy es constante, en todo el plano XY. Mediante superposici´on de los campos creados por cia no sea nula. tiras rectil´ıneas infinitamente largas de anchura dx, ~ on de 54. Obtenga una expresi´on para el potencial vector calcule el campo H creado por esta distribuci´ de una corriente rectil´ınea por analog´ıa con el resul- corriente. Repita el problema mediante la ley de tado obtenido para el potencial el´ectrico de una recta Amp`ere en forma integral y consideraciones de sicargada. De ah´ı, determine la expresi´on del campo metr´ıa que el c´alculo anterior habr´a puesto de manimagn´etico creado por dicha corriente rectil´ınea. Es- fiesto. Compruebe que el resultado satisface la contudie seguidamente el potencial vector creado por dici´on de frontera para la componente tangencial del ~ una corriente que circula por un conductor cil´ındri- campo H en la superficie. co de secci´on circular de radio R infinitamente largo, 58. Dos espiras circulares de radio R situadas en plasuponiendo que se reparte uniformemente por ella, nos paralelos con sus centros separados por una disesto es, que J~ es constante. tancia 2a est´an recorridas por una corriente de intensidad I en el mismo sentido. Sea OX el eje que 55. Una cinta de longitud infinita, espesor despreune los centros de las espiras, con O situado en el ciable y anchura 2a, est´a recorrida por una corriente punto medio de ellos. de intensidad I uniformemente repartida en el an~ cho de la cinta. Halle el potencial vector creado en a) Calcule el campo H creado por las espiras en un un punto arbitrario. Como en el ejercicio 22, utili- punto cualquiera del eje OX. ce coordenadas cartesianas y coloque la cinta en el b) Compruebe que la derivada de Hx respecto a x es plano XY, centrada a lo largo del eje OY. cero en x = 0.

8 c) Determine el valor del cociente a/R para que se anule la derivada segunda de Hx respecto a x en el punto x = 0. Se tiene as´ı unas bobinas de Helmholtz, que producen un campo magn´etico casi uniforme en una zona moderadamente amplia.

uniformemente espaciadas. Se hace pasar una intensidad de corriente, i, por el bobinado y se admite que el campo magn´etico, cuyas l´ıneas son circulares, est´a confinado en el volumen del toroide.

59. Consid´erese un campo magn´etico espacialmente ~ 0 = H0 yˆ . uniforme y variable con el tiempo, H a) Muestre que, en coordenadas cil´ındricas, el potencial escalar magn´etico correspondiente a este campo es Φm0 = −H0 r sen ϕ. b) En este campo se coloca un cilindro conductor perfecto muy largo de radio R cuyo eje coincide con el eje OZ Compruebe que la condici´on ∂Φm /∂n = 0 en la superficie del conductor puede satisfacerse a˜ nadiendo al potencial anterior un t´ermino de la forma (a sen ϕ)/r, y determine el valor adecuado de la constante a. (N´otese que el potencial magn´etico satisface la ecuaci´on de Laplace.) ~ fuera del cilindro c) Calcule el campo magn´etico H conductor y la densidad de corriente superficial J~s inducida en ´este. 60. Una esfera conductora perfecta de radio R se introduce en un campo magn´etico uniforme dirigi~ 0 = H0 zˆ, variable con el tiempo. El do seg´ un OZ, H centro de la esfera coincide con el origen de coordenadas.

a) Utilizando la ley de Amp`ere en forma integral, ~ en el toroide. obtenga la expresi´on del campo H b) Calcule la inductancia del bobinado. 63. Un cable se utiliza para conectar un generador a una carga, por lo cual, la corriente es la misma en los dos conductores, pero fluye en sentidos opuestos. Calcule la inductancia por unidad de longitud de un cable coaxial, si los radios de los conductores interior y exterior son, respectivamente, a y b, y el conductor exterior tiene un espesor despreciable. Asuma que la frecuencia es tan elevada que la corriente fluye por las superficies de los conductores. ¿Por cu´al de las dos superficies del cilindro exterior circula la corriente? O, bien, ¿c´omo se reparte entre dichas superficies?

a) Muestre que, en coordenadas esf´ericas, el poten64. C´alculo de la inductancia por unidad de longitud cial escalar magn´etico correspondiente a este campo de un cable de hilos conductores perfectos paralelos es (v´ease la figura del problema 31.) Φm0 = −H0 r cos θ. a) Sup´ongase que R > R. ellos. Compru´ebese la validez del c´alculo aproximado de la parte anterior. 62. Sea el toroide de la figura, con secci´on rectangular de lados a y b, y cuyo radio exterior es c. So- 65. Un conductor rectil´ıneo de gran longitud se colobre esta forma se realiza un bobinado de N espiras ca a lo largo del eje del toroide del problema 62.

9 Halle la inductancia mutua entre los dos circuitos. expresi´on del vector de Poynting en los puntos del Para el c´alculo, utilice como circuito primario el hilo borde del condensador, r = R. rectil´ıneo. b) Determine la expresi´on de la potencia que entra en 66. Calcule la inductancia mutua entre dos espiras el condensador. Demuestre que es igual al crecimiende radios R1 y R2 , con R1 > a y l1 >> l2 .

c) Compare las energ´ıas almacenadas en el campo el´ectrico y en el campo magn´etico del condensador. Compruebe que la aproximaci´on el´ectrica cuasiest´atica equivale a despreciar la energ´ıa magn´etica frente a la el´ectrica. 70. Sea una porci´on de longitul l de un hilo conductor rectil´ıneo largo de radio a y conductividad uniforme σ. El hilo est´a recorrido por una intensidad I constante distribuida uniformemente por la secci´ on del conductor. ~ yH ~ en a) Determine la expresi´on de los campos E los puntos de la superficie del hilo. ~ × H) ~ b) Calcule el vector de Poynting (en la forma E en la superficie del hilo y deduzca de ah´ı la energ´ıa que entra en el trozo considerado en la unidad de tiempo. Compare el resultado con la potencia de efecto Joule disipada en el hilo.

b) Estos dos bobinados pueden conectarse en serie c) Repita el apartado anterior con la expresi´ on alde dos maneras distintas, dependiendo de qu´e dos ternativa del vector de Poynting, v´alida en la apro~ = Φ(J~ + ∂ D/∂t). ~ terminales se unan. Calcule el coeficiente de autoin- ximaci´on el´ectrica cuasiest´atica, S ducci´on de la bobina resultante en ambos casos. 71. Halle la energ´ıa almacenada en el campo 68. Un cilindro ferromagn´etico con secci´on circular magn´etico de un solenoide cil´ındrico de longitud l, de radio R y altura L posee una imanaci´on perma- radio R, n´ umero de espiras N , con l >> R, reco~ uniforme y dirigida a lo largo del eje del rrido por una intensidad de corriente i. Deduzca de nente M cilindro. ah´ı la inductancia del solenoide. a) Halle las corrientes equivalentes de imanaci´on. ~ yH ~ a lo largo del eje de la b) Calcule los campos B barra. El problema es an´alogo al del c´alculo del cam~ en un solenoide cil´ındrico con espiras juntas en po H el vac´ıo.

72. Halle la energ´ıa almacenada en el campo magn´etico del bobinado toroidal del problema 62 recorrido por una intensidad de corriente i. Deduzca de ah´ı la inductancia del bobinado.

73. Sea un conductor rectil´ıneo largo con secci´ on c) Calcule las densidades de polo magn´etico equiva- circular de radio a. A frecuencias suficientemente lente. bajas puede admitirse que la corriente se distribud) Halle el potencial escalar magn´etico y el campo ye uniformemente en su secci´on transversal. ~ a lo largo del eje. El problema es an´alogo al del H ~ a) Mediante la ley de Amp`ere, calcule el campo H ~ en una barra uniformemente polarizada c´ alculo de E en el interior del conductor. (Problema 35.) b) Obtenga la expresi´on de la energ´ıa magn´etica al69. Consid´erese el condensador plano de placas cir- macenada por unidad de longitud en el interior del conductor. culares del problema 17.

~ yH ~ c) De ah´ı, calcule la inductancia interna por unidad a) A partir de las expresiones de los campos E halladas en (a) y (b) de dicho problema, calcule la de longitud de un hilo cil´ındrico.

10 II. PROBLEMAS ´ PROPUESTOS EN EXAMENES

r > a y explique el resultado. Indique brevemente qu´e resultado se habr´ıa obtenido si la carga −q se hubiera colocado ligeramente desplazada del origen 74. La intensidad del campo el´ectrico en un punto de coordenadas, a una distancia b del mismo, siendo situado a distancia r del centro en el interior de una b a la densidad tiene con su eje vertical sobre un plano, tambi´en conductor. Tanto el cono como el plano se supode carga es nula. nen de extensi´on infinita. El cono recibe un potencial a) Calcule la carga total. V1 > 0, mientras que el plano est´a a potencial nulo. b) Integre las ecuaciones de Poisson o de Laplace, (El potencial est´a mal definido en el punto O, por seg´ un corresponda, y halle el potencial el´ectrico crea- lo que dicho punto queda fuera del dominio en el do en cualquier punto del espacio, utilizando la si- que se obtendr´an las soluciones al ejercicio.) H´ agase metr´ıa esf´erica de la distribuci´on de carga para sim- uso de coordenadas esf´ericas; el eje OZ es perpenplificar el problema. Calcule las constantes arbitra- dicular al plano conductor y coincide con el eje del rias para que el potencial sea nulo en el infinito. cono. N´otese que la ecuaci´on de la superficie del coc) Se coloca una carga puntual −q en r = 0. Calcule no es θ = α, mientras que la del plano conductor es on el potencial en cualquier punto del espacio. En par- θ = π/2. Adm´ıtase que el potencial Φ s´olo es funci´ ticular, examine el potencial obtenido en la regi´on de la coordenada θ.

11 ~ a trav´es de b) ¿Cu´anto vale el flujo saliente de E una superficie que encierre al sistema de la carga y la esfera? c) Si la esfera conductora est´a hueca y su espesor es muy peque˜ no, ¿cu´anto vale el potencial de los puntos del hueco? d) Si la esfera se conecta a tierra, calcule cu´ anta carga habr´a pasado de la esfera a tierra desde la situaci´on precedente. a) Resuelva la ecuaci´on de Laplace con las condiciones de contorno adecuadas para obtener el potencial Φ en la regi´on α ≤ θ ≤ π/2. Describa las superficies equipotenciales. Nota: Puede utilizarse la expresi´on Z h  x i dx = ln tan sen x 2

79. Los radios interior y exterior de un conductor esf´erico hueco son a y b, respectivamente. Se coloca una carga puntual Q en el interior de la cavidad, a una distancia c de su centro, siendo c < a. Es sabido que todo sistema de dos cargas de signo opuesto posee una superficie equipotencial esf´erica con potencial nulo. Justificando las respuestas:

a) Si el conductor se conecta a tierra, obtenga los b) Determine la expresi´on de la intensidad del campo valores de las cargas existentes en las dos superfi~ en la regi´on α < θ < π/2. Considere un cies del conductor. ¿Cu´anto vale el potencial en los el´ectrico, E, corte vertical a trav´es del eje OZ y dibuje en ´el algu- puntos situados fuera del conductor? nas lineas de campo el´ectrico y algunas superficies b) Determine las expresiones de la carga imagen y de equipotenciales (en secci´on). Comente los aspectos su distancia al centro de la cavidad que permitir´ an m´ as destacables de estos gr´aficos. Explique en pa- calcular la distribuci´on del potencial el´ectrico en el labras por qu´e el valor absoluto de la intensidad de interior de la cavidad para la situaci´on citada en (a). campo es inversamente proporcional a la coordenada Escriba la expresi´on de dicho potencial en funci´ on radial. de la posici´on. c) Obtenga razonadamente los valores de las densi- c) Si la esfera se conecta a un potencial V respecto dades de carga en puntos del plano y de la superficie al infinito, obtenga la nueva expresi´on del potencial del cono situados a distancia d del origen O, como dentro de la cavidad. Para este c´alculo, ¿hay que los puntos P1 y P2 de la figura. Estudie los signos de modificar la carga imagen o a˜ nadir otra? ¿Cu´ anto estas densidades de carga y su relaci´on con el gr´afico valen ahora las cargas totales en cada una de las dos de superficies equipotenciales y l´ıneas de campo de superficies del conductor? la cuesti´on anterior. 80. Un cilindro cuya base circular tiene un radio a 78. Adm´ıtase el siguiente enunciado: la carga ima- y su altura es b (a >> b) est´a constituido por un gen correspondiente a una carga puntual Q colocada material diel´ectrico que posee una polarizaci´ on pera distancia a del centro de un conductor esf´erico de manente y uniforme, P~ , dirigida perpendicularmente radio b (b < a) conectado a tierra es Q0 = −Q(b/a) a las bases del cilindro. Llamemos OZ al eje que pasa y se halla colocada a una distancia c = b2 /a del cen- por los centros de las bases del cilindro. tro de la esfera, en el segmento de recta que une el a) Determine las densidades de carga de polarizaci´ on centro de la esfera y la carga Q. en el diel´ectrico. Obtenga expresiones aproximadas ~ yD ~ dentro del cilindro, en puntos Sea ahora una esfera conductora aislada de radio b, de los campo E a la que se suministra una carga Q. En el exterior, y con r > b. ¿Cu´anto vale la d. d. p. entre los centros de valor igual a Q que se puede considerar puntual. de las bases del cilindro? Todo ello se encuentra en el vac´ıo. Justificando las b) Se recubren las bases del cilindro mediante l´ amirespuestas: nas conductoras que se unen mediante un hilo cona) Calcule la diferencia de potencial entre la esfera ductor. Se admite que el vector P~ es id´entico al del apartado anterior. ¿Qu´e d. d. p. existe ahora entre conductora y tierra.

12 ~ yD ~ en c) Obtenga las expresiones de los campos E el exterior de la esfera. Escriba las ecuaciones correspondientes a las condiciones de salto en r = a para estos campos. Razone c´omo las ecuaciones obtenidas en (b) y (c) pueden cumplirse en todo punto de la ~ = E0 zˆ, 81. En un campo el´ectrico uniforme dado, E superficie de la esfera. E0 > 0, situado en el vac´ıo, se introduce una esfera de diel´ectrico lineal y uniforme, de constante ε y ra- d) Determine las expresiones de E2 y de pz . Comente dio a. Una vez resuelto el problema se averigua que los resultados: ¿cu´al es mayor, E0 o E2 ? ¿Qu´e ocuel campo el´ectrico dentro de la esfera es uniforme y rre si ε → ε0 ? ¿Y si ε → ∞? ¿C´omo es el vector de polarizaci´on dentro de la esfera? En consecuencia, va dirigido seg´ un el eje OZ: indique en un gr´afico cualitativo cu´al es la distribu~ ci´on de cargas de polarizaci´on en la superficie de la E = E2 zˆ. esfera. ¿Es razonable este resultado en relaci´on con El campo fuera de la esfera es el obtenido por la el signo obtenido para pz ? superposici´on del campo uniforme dado m´as el que produce un dipolo el´ectrico cuyo momento sea p~ = 82. Un condensador esf´erico consta de un conductor pz zˆ, dirigido seg´ un OZ y colocado en el punto O. Se esf´erico de radio a conc´entrico con otro conductor sabe que el potencial creado por tal dipolo est´a dado, esf´erico hueco cuyo radio interior es b. La regi´on existente entre los conductores se rellena de un diel´ectrien coordenadas esf´ericas, por la expresi´on co lineal no uniforme cuya constante diel´ectrica depz cos θ pende del radio, ε = ε(r) de un modo tal que, una vez Φ= . 4π0 r2 cargado el condensador, el m´odulo de la intensidad A partir de esta informaci´on, el prop´osito del proble- del campo el´ectrico dentro del condensador tenga un ma es obtener las expresiones de E2 y de pz y, al mis- valor constante dado E. El diel´ectrico no recibe carmo tiempo, convencerse de que la soluci´on cumple gas libres, y el valor de ε en r = b ha de ser igual a con todas las condiciones pertinentes. Utilice coor- ε0 . ~ A la vista de ese resultado, ¿qu´e ocudenadas esf´ericas, como muestra la figura. a) Calcule ∇·E. rre en el diel´ectrico? esas l´aminas? Por tanto, ¿qu´e valor tiene el campo ~ dentro del cilindro? Calcule el vector D. ~ el´ectrico E Obtenga las densidades de carga (libre) en las superficies de las l´aminas conductoras.

b) Obtenga la expresi´on de ε(r). ~ en cada punto si se conociese c) Calcule el vector D la carga Q en el conductor interior. Seguidamente, deduzca el valor que debe tener Q para obtener el campo el´ectrico de m´odulo dado, E. ¿Qu´e carga Q0 aparece en la superficie interior del conductor hueco? Razone la respuesta.

a) Indique claramente cu´ales son las condiciones de ~ y D ~ y para el potencial salto para los campos E el´ectrico Φ en la superficie de discontinuidad entre la esfera y el vac´ıo. b) Obtenga la expresi´on del potencial correspondiente al campo el´ectrico uniforme dentro de la esfera (r < a). (Nota: puede realizar el c´alculo en coordenadas cartesianas y convertir el resultado a esf´ericas.) Escriba la expresi´on del potencial el´ectrico en un punto cualquiera del exterior de la esfera (r > a). Escriba la ecuaci´on que representa la condici´on del potencial en la superficie r = a.

83. La figura representa la secci´on transversal de un cable coaxial. Consiste en dos conductores cil´ındricos cuyo eje es com´ un, el interior macizo de radio R1 y el exterior tubular de radios R3 y R4 . Los conductores se hallan separados por dos capas de diel´ectrico lineal, tambi´en cil´ındricas: la primera se extiende entre los radios R1 y R2 y la segunda entre R2 y R3 , y sus constantes diel´ectricas son ε1 y ε2 , respectivamente. Se considerar´a un tramo de longitud l de un cable mucho m´as largo para poder despreciar el efecto de sus extremos. Se admitir´a, por tanto, que, en coordenadas cil´ındricas, el potencial en cualquier punto depende s´olo de la coordenada radial. Los conductores reciben cargas iguales y opuestas y se conoce la diferencia de potencial aplicada entre

13 ellos, V . (Puede ser u ´til empezar llamando V1 y V2 a los potenciales de los conductores interno y externo, respectivamente, y poner V = V2 − V1 ). Sup´ongase que el conductor exterior es positivo con respecto al interior.

esferas. Se carga el condensador proporcionando cargas iguales y opuestas a ambos conductores, siendo Q > 0 la suministrada al conductor exterior. Aunque no conocemos la forma en que la carga se distribuye en la superficie de los conductores, admitamos que la densidad superficial de carga en los puntos de la semiesfera de radio b en contacto con el diel´ectrico I toma el valor σs1 , mientras que en los puntos de dicha esfera en contacto con el diel´ectrico II es σs2 . N´otese que dichos valores no son conocidos, sino que habr´an de ser determinados al resolver el problema. ~ es radial. Tambi´en admitiremos que el campo D

a) Resuelva la ecuaci´on de Laplace para obtener la expresi´on general del potencial el´ectrico en cada una de las regiones diel´ectricas en funci´on de la coordenada radial. b) Indique razonadamente qu´e condiciones ha de im~ y D ~ en la ponerse al potencial y a los campos E superficie de separaci´on de los diel´ectricos. Obtenga las expresiones del potencial en cada una de las dos regiones diel´ectricas. ~ en las dos c) Obtenga las expresiones del campo D regiones diel´ectricas y en el exterior (aire) del cable. ~ en la superficie Indique la condici´on de salto para D de los conductores. Calcule las densidades de carga libre en cada una de las tres superficies conductoras y las cargas totales en el tramo de longitud l de los dos conductores. ~ en d) Dibuje un diagrama de l´ıneas del campo D las regiones no conductoras y razone su consistencia con los signos de las densidades de carga. Obtenga la expresi´on del vector polarizaci´on, P~ , en un punto cualquiera de las regiones diel´ectricas, el valor de la densidad de carga de polarizaci´on en volumen y los signos de las densidades superficiales de carga de polarizaci´on. 84. Sea un condensador esf´erico constru´ıdo con dos conductores esf´ericos conc´entricos, el interior de radio a, rodeado por otro cuyo radio interior es b. El espacio comprendido entre los conductores est´a ocupado por dos diel´ectricos lineales, denominados I y II, de constantes diel´ectricas ε1 y ε2 , cada uno de los cuales ocupa la mitad del hueco de manera que la superficie que los separa es plana, en la forma que indica la figura, que representa un corte del condensador por un plano que pasa por el centro de las

a) En funci´on de las densidades de carga indicadas, obtenga razonadamente el valor de la componente ~ en los puntos de la superficie radial del vector D r = b, siendo r la coordenada esf´erica radial. Plan~ en forma diferencial en tee la ley de Gauss para D cada uno de los diel´ectricos, admitiendo que Dr s´ olo depende de r, int´egrela aplicando los valores particulares obtenidos y determine las expresiones del ~ en cada una de las dos regiones diel´ectricampo D cas. b) Obtenga la d.d.p. entre los conductores, vba a trav´es de dos caminos que atraviesen, respectivamente, el diel´ectrico I y el diel´ectrico II. Teniendo en cuenta que el dato era la carga total del conductor de radio b, determine las expresiones de σs1 y de σs2 en funci´on de Q, las constantes diel´ectricas y las dimensiones geom´etricas del condensador. c) Determine la capacidad de este condensador. ~ d) Analice las condiciones de salto de los campos D ~ en la superficie de separaci´on entre los diel´ectriyE cos I y II. Argumente acerca de lo correcto de las suposiciones que se han ido realizando para resolver el problema: las expresiones obtenidas para el vector ~ ¿son exactas o no? D 85. El plano z = 0 separa dos diel´ectricos ideales, lineales, homog´eneos e is´otropos, cuyas constantes

14 diel´ectricas son ε1 y ε2 . A cierta distancia d de dicho plano, en el primer diel´ectrico, se sit´ ua una carga puntual q. El prop´osito del problema es averiguar las expresiones del potencial el´ectrico en un punto cualquiera de las regiones diel´ectricas. Este fin puede lograrse mediante im´agenes el´ectricas apropiadas: el potencial en la regi´on 1 es el creado por la carga dada, q, junto con cierta carga q 0 colocada sim´etricamente, en el punto A de la figura, como si todo el espacio estuviera ocupado por el diel´ectrico 1; el potencial en la regi´on 2 viene determinado por cierta carga q 00 colocada en la posici´on de q, ahora situada en una regi´on ilimitada de constante ε2 .

conecta a una d. d. p. V1 , (V1 > 0) como indica la figura, mediante electrodos de conductividad infinita, marcados con trazo grueso. Utilice coordenadas cil´ındricas, con origen en O, eje OZ perpendicular al plano del dibujo y eje polar en la direcci´on OD.

Considerando que, por simetr´ıa, el potencial s´ olo puede depender de la coordenada radial, responda razonadamente a lo que sigue: a) ¿Qu´e ecuaci´on diferencial cumple el potencial el´ectrico en este caso? Resuelva dicha ecuaci´on con las condiciones del problema. b) Obtenga la intensidad del campo el´ectrico y la densidad de corriente en cada punto de la l´ amina ~ conductora. Analice el resultado obtenido para J, indicando si es o no razonable su direcci´on y sentido a) Indique claramente las condiciones de contorno y su dependencia con las coordenadas. ~ yD ~ y el potencial que han de verificar los campos E c) Verifique por c´alculo directo que la intensidad φ en la superficie de separaci´on de los diel´ectricos. de corriente que atraviesa una secci´on con r = on b) Aplique las condiciones a un punto particular del constante de la l´amina es independiente de la secci´ plano de separaci´on, como P (d, 0, 0), y obtenga los elegida. Calcule la resistencia el´ectrica de la l´amina. valores de las cargas imagen, q 0 y q 00 . 87. Una l´amina conductora homog´enea de conducc) Escriba las expresiones del potencial en un punto tividad σ tiene espesor d, longitud l y ancho a. Si arbitrario de cualquiera de las dos regiones. Com- se aplica un voltaje V constante entre sus extremos pruebe que se cumple la condici´on para el potencial (las caras de la l´amina separadas por l) circular´ a una en cualquier punto del plano z = 0. (Nota: se pue- corriente el´ectrica. de ver que tambi´en los campos satisfacen sus condiciones respectivas, pero ello no es objeto de este ejercicio.) d) Dibuje un diagrama cualitativo que represente las ~ en el plano de la figura l´ıneas de campo del vector D suponiendo que q > 0 y que ε1 0), halle razonadamente el valor de la d. d. p. entre los puntos A y B e indique, justificando la respuesta, cu´al de ellos est´a a mayor potencial. ¿Qu´e ocurrir´ıa si no se hubiera cortado el trozo de hilo entre A y B? 94. Dos espiras conductoras circulares, conc´entricas, de radios a y b, siendo a R. creado por la espira a una distancia r >> a viene d) Para este caso, desarrolle separadamente las ex~= dado, coordenadas esf´ericas, por la expresi´on A  en  presiones de los dos miembros de la ley de Faraday en 2 2 ϕˆ µ0 a i1 /4r sen θ. (El eje OZ, origen del ´angulo θ, forma diferencial para comprobar que los supuestos es perpendicular al plano del papel por el centro de y el resultado de (c) son correctos. la espira con sentido saliente.) Sabiendo esto, on a c) Utilice adecuadamente la ley de Faraday en for- 96. La figura muestra, en planta y en secci´ trav´ e s de un plano diametral, un nucleo magn´ etico ~ ma integral, la definici´on de A y el teorema de Stokes para determinar una expresi´on general de la circu- toroidal con secci´on rectangular del que se ha corlaci´ on del campo el´ectrico a lo largo de una curva tado un entrehierro de amplitud α > µ0 , tro caso concreto, calcule esa circulaci´on a lo largo ε y σ = 0, La figura incluye la definici´on de las coorde la circunferencia que ocupaba la espira (2). (Note denadas cil´ındricas de un punto arbitrario. Sobre la que, en esf´ericas, la espira est´a en el plano θ = π/2.) superficie del toroide se hace un bobinado de N espiras por el que se hace pasar una corriente conocida d) Por u ´ltimo, a partir de la circulaci´on del campo variable con el tiempo cuyo sentido positivo se inel´ectrico de la cuesti´on anterior, trate de obtener radica. Dada la estrechez del entrehierro y el elevado zonadamente el coeficiente de inducci´on mutua de la valor de la permeabilidad del nucleo, puede suponerespira 1 sobre la 2. ~ son circunferencias se que las l´ıneas del campo de B 95. Sobre un cilindro de secci´on circular de radio R situadas en planos perpendiculares al eje OZ y con se dispone un bobinado de N espiras juntas colo- centro en este eje. cadas a lo largo de una longitud l siendo l >> R. Adm´ıtase que el hilo del bobinado es conductor perfecto. El solenoide as´ı construido se conecta a un generador el´ectrico que le suministra una intensidad de corriente dada i(t), variable con el tiempo de manera tal que se pueda admitir para este sistema la aproximaci´ on magn´etica cuasiest´atica. Dada la simetr´ıa del problema, se utilizar´an coordenadas cil´ındricas, con el eje OZ coincidente con el eje del cilindro. Con precisi´ on suficiente, se admitir´a que el campo magn´etico est´ a dado por: ( Ni zˆ, en r < R, − l/2 < z < l/2; ~ = H l 0, en otros puntos. a) Deduzca brevemente la condici´on de salto para la ~ en la superficomponente tangencial del campo H cie de separaci´on entre un conductor perfecto y el vac´ıo. Preste especial atenci´on a las definiciones de a) Argumente, utilizando la ley de Gauss del mag~ y H, ~ los vectores unitarios utilizados. netismo y las condiciones de contorno para B

19 ~ que atraviesa una secci´on por qu´e φB (el flujo de B rectangular ϕ = constante del nucleo) no depende del valor de la coordenada ϕ. En particular, analice el valor de φB en el entrehierro. De esos an´alisis, ¿qu´e cabe esperar de la variaci´on de Bϕ a lo largo de una l´ınea de campo? Como consecuencia, deduzca la expresi´on que relaciona los valores de Hϕ en los puntos P y P 0 situados muy pr´oximos entre s´ı, en el medio magn´etico y en el entrehierro, respectivamente. b) Utilizando razonadamente la ley de Amp`ere en forma integral, determine los valores de Hϕ en funci´ on de la coordenada radial tanto en el interior del nucleo, Hϕ,nuc como en los puntos del entrehierro, Hϕ,eh . c) Determine, justificando las etapas de c´alculo (no olvide definir sentidos de recorrido y los vectores implicados; se recomienda utilizar gr´aficos claros) las ~ abrazado por cada espiexpresiones del flujo de B ra, el abrazado por el bobinado y el coeficiente de autoinducci´on del bobinado. Establezca la expresi´on resultante de L en el l´ımite cuando µ → ∞ y analice el resultado. d) Explique por qu´e aparecen polos magn´eticos en las superficies que delimitan el entrehierro. Aclare la ~ explicaci´on con un gr´afico de l´ıneas del campo H. Determine las densidades de polo correspondientes en el l´ımite cuando µ → ∞.

20

´ ´ ALGUNAS FORMULAS DE CALCULO VECTORIAL T. de Gauss:

H

~ a= A V · d~

R V

~ dV ∇·V

T. de Stokes:

   ~ ×C ~ ~×B ~ ·C ~ =A ~· B A       ~·B ~ ~·C ~ −C ~ A ~ ×C ~ =B ~ A ~× B A   ~ =A ~ · ∇U + U ∇ · A ~ ∇ · UA   ~+B ~ =∇·A ~+∇·B ~ ∇· A   ~×B ~ =B ~ ·∇×A ~−A ~·∇×B ~ ∇· A   ~ =0 ∇· ∇×A 

H

~ ~ C V · dl =

R  A

~ ∇×V



· d~a

∇ (U V ) = V (∇U ) + U (∇V ) ∇ (U + V ) = ∇U + ∇V   ~+B ~ =∇×A ~+∇×B ~ ∇× A   ~ = U∇ × A ~ + (∇U ) × A ~ ∇ × UA     ~ =∇ ∇·A ~ − ∇2 A ~ ∇× ∇×A ∇ × (∇U ) = 0

          ~·B ~ = A ~·∇ B ~+ B ~ ·∇ A ~+A ~× ∇×B ~ +B ~ × ∇×A ~ ∇ A Coordenadas cartesianas x, y, z ∂U ∂U ∂U ∂2U ∂2U ∂2U ∇U = x ˆ+ yˆ + zˆ ∇2 U = + + ∂x ∂y ∂z ∂x2 ∂y 2 ∂z 2       ∂Ay ∂Ay ∂Az ∂Az ∂Ax ∂Az ∂Ax ∂Ax ∂Ay ~ ~ + + ∇×A= − x ˆ+ − yˆ + − zˆ ∇·A= ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Coordenadas cil´ındricas r. ϕ, z 1 ∂U ∂U ∂U rˆ + ϕˆ + zˆ ∇U = ∂r r ∂ϕ ∂z

∇2 U

1 ∂ = r ∂r



∂U r ∂r

 +

1 ∂2U ∂2U + r2 ∂ϕ2 ∂z 2

~ = 1 ∂ (rAr ) + 1 ∂Aϕ + ∂Az ∇·A r ∂r r ∂ϕ ∂z       ~ = 1 ∂Az − ∂Aϕ rˆ + ∂Ar − ∂Az ϕˆ + 1 ∂ (rAϕ ) − ∂Ar zˆ ∇×A r ∂ϕ ∂z ∂z ∂r r ∂r ∂ϕ Coordenadas esf´ericas r, θ, ϕ ∂U 1 ∂U ˆ 1 ∂U ∇U = rˆ + θ+ ϕˆ ∂r r ∂θ r sen θ ∂ϕ     ∂U 1 ∂ ∂U 1 ∂2U 1 ∂ 2 2 ∇ U= 2 r + 2 sen θ + 2 r ∂r ∂r r sen θ ∂θ ∂θ r sen2 θ ∂ϕ2
2 ~ = 1 ∂ r Ar + 1 ∂ (Aθ sen θ) + 1 ∂Aϕ ∇·A r2 ∂r r sen θ ∂θ r sen θ ∂ϕ       ∂ (Aϕ sen θ) ∂Aθ 1 1 ∂Ar 1 ∂ (rAϕ ) ˆ 1 ∂ (rAθ ) ∂Ar ~ ∇×A= − rˆ + − θ+ − ϕˆ r sen θ ∂θ ∂ϕ r sen θ ∂ϕ r ∂r r ∂r ∂θ

21 15. (a) C´alculo directo.

III. SOLUCIONES

(b) La densidad de carga superficial es: ρ0 r 1. dQ = 4πr2 dr; Q = πρ0 R3 . R

σs = ±ε0 E0

2. Q = 8ρ0 a3 . 3. La divergencia de los campos es: a) 0; b) A0 (2x − 2y); c) 0. d2

cos β(z − l) cos ωt. cos βl

La densidad de corriente superficial es: r ε0 sen β(z − l) ~ Js = ±ˆ z E0 sen ωt. µ0 cos βl

4. (a) La divergencia es nula en todos los puntos sal- (c) El campo el´ectrico es casi uniforme: vo en r = 0, donde tiene que ser infinita. En realidad, ~ = 4πb2 δ 3 (~r) . ~ =x ∇·A E ˆE0 cos ωt. ~ = 3A0 . (b) ∇ · A El campo magn´etico depende linealmente de z y se b anula cuando ω → 0: ~ = 0. El campo es constante. Expresado en (c) ∇ · A ~ = A0 zˆ. ~ ' yˆE0 (z − l)ωε0 sen ωt. coordenadas cartesianas es A H 5. Para los campos del ejercicio 3, los rotacionales 16. (a) C´alculo directo. ~ son los siguientes: (a) 0 (b) 0; (c) B. (b) La densidad de carga superficial es: Y para los del ejercicio 4: (a) 0; (b) 0; (c) 0. sen β(z − l) √ sen ωt. σs = ±H0 ε0 µ0 6. (b) 4πR3 . cos βl 7. Los flujos son, respectivamente, π 2 R2 y 0. Las divergencias de los campos son: (2/r) sen θ, siempre positiva o nula; (2/r) cos θ, que cambia de signo. 8. Obvio, ya que ∇ · ~r = 3.

La densidad de corriente superficial es: cos β(z − l) cos ωt. J~s = ±ˆ z H0 cos βl (c) El campo magn´etico es casi uniforme:

9. C´alculo directo.

~ ' yˆH0 cos ωt. H

10. La circulaci´on es: ΓA = − A0 /d


2

bc(2a + b + c).

11. C´alculo directo. 12. I = (2π/3) ρ0 vR2 ; Q = (2π/3) ρ0 R2 .

El campo el´ectrico depende linealmente de z y se anula cuando ω → 0: ~ 'x E ˆH0 µ0 ω(z − l) sen ωt.

13. Util´ıcese un camino de integraci´on rectangular 17. (a) En la aproximaci´on cuasiest´atica el´ectrica, dos de cuyos lados sean perpendiculares a las placas V0 sen ωt del condensador, situado parcialmente en la regi´on ~ 0 = −ˆ E z . ~ es diferente de cero. La circulaci´on de E ~ a d donde E lo largo de este camino es no nula. (b) El campo magn´etico es 14. Seg´ un la ley de Amp`ere (inaplicable aqu´ı): ~ = H

i ϕ. ˆ 2πr

Y seg´ un la ley de Biot y Savart: ~ = i∆l ϕ, H ˆ 4πr2 muy diferente a la anterior.

~ = −ϕˆ ε0 ωV0 r cos ωt. H 2d (c) El campo de correcci´on es Ez0 =

1 ω 2 V0 2 r sen ωt. 4 c2 d

0 z ω 2 R2 (d) E E0 ≤ 4c2 , es mucho menor que la unidad si R  cT /π o R  λ.

22 18. (a) En la aproximaci´on cuasiest´atica magn´etica, 23. Para el caso (a), el potencial es: ~ 0 = zˆnI0 sen ωt. H Φ(r) =

(b) El campo el´ectrico es

  V, 

~ = ϕˆ 1 µ0 nωI0 r cos ωt. E 2

0 ≤ r ≤ R
1 ; R2 r −1 , r ≥ R2 .

V R1 R2 −R1

0,

R 1 ≤ r ≤ R2 ;

La carga de la superficie de la esfera interior es

(c) El campo de correcci´on es

Q1 = 4πε0

1 Hz0 = µ0 ε0 nω 2 I0 r2 sen ωt. 4

R1 R2 V, R2 − R1

y las cargas de las superficies interior y exterior de 0 2 2 la esfera hueca: z ω R (d) H alisis hecho en el H0 ≤ 4c2 , con el mismo an´ R1 R2 problema anterior. V y Q3 = 0. Q2 = −4πε0 R2 − R1 19. (a)  Para el caso (b), el potencial es: ρ0 R 3     ,r≥R 5ε0 r     V 1 , 0 ≤ r ≤ R1 ; φ= , 4
r ρ  0 R2 2 )R1 2  Φ(r) = V2 + (VR1 −V − 1 , R 1 ≤ r ≤ R2 ; −R , r ≤R  − −R r 2 2 1  4ε0 5R  R2 V2 , r ≥ R , 2 r (b)  ρ R3    rˆ 0 2 , r ≥ R; 5ε0 r ~ = E ρ0 r 3    rˆ , r ≤ R. 5ε0 R2

y las cargas: Q1 = −Q2 = 4πε0

Q3 = 4πε0 R2 V2 .

20. El potencial creado por el segmento cargado es Φ(x, y, z) =

λl 4πε0

× ln

R1 R2 (V1 − V2 ) ; R2 − R1

24. (a) 

 √ l−2y+ 4(x2 +z 2 )+(l−2y)2 √ 2 2 . 2

−l−2y+

4(x +z )+(l−2y)

√

( Φ(x) =


d 0 − 3ρ 0 < x < d/3, 2ε0 x −
3 x, 3ρ0 d x − (x − d) , d/3 < x < d. 4ε0 3

Si R = x2 + z 2 designa la distancia del punto de observaci´on a la recta, el potencial puede aproximar- (b) Basta sumar (V /d)x al potencial de las expresiose por nes anteriores.  λl  2 λl (c) Para el caso (a), Φ≈ ln l − 2lnR = − ln R + K, 4πε0 2πε0 (
3ρ0 2x − d3 , 0 < x < d/3 2ε 0
que coincide con la soluci´on obtenida para una recta Ex = 4d 0 − 3ρ d/3 < x < d. 4ε0 2x − 3 , indefinida cargada uniformemente. 21. El potencial es Φ(z) =

i σ s hp 2 z + R2 − |z| . 2ε0

22. El potencial creado en el punto P (x, y, z) es: p σs n Φ(z) = 2a + (x − a) ln (x − a)2 + z 2 2πε0 p − (x + a) ln (x + a)2 + z 2   x+a x−a +z − arctan + arctan z z

Para el caso (b) hay que a˜ nadir −V /d a la componente de campo de las expresiones anteriores. 25. La capacidad del conductor es: C=√

2πε0 R2 R 2 + d2 − d

26. La capacidad del condensador es: C = ε0

A . d

23 27. La capacidad es: C = 4πε0

ab . b−a

28. La capacidad es:

31. (a) El potencial creado en P (x, y, z) es   (x + a)2 + y 2 λl ln Φ(x, y, z) = 4πε0 (x − a)2 + y 2 (b) La ecuaci´on de las superficies equipotenciales es

2πε0 . C= ln ab 29. (a) El potencial creado es:   q 1 1 Φ= − , 4πε0 r1 r2

x2 + y 2 +

1 + K2 2ax + a2 = 0, 1 − K2

donde K est´a relacionado con el potencial mediante Φ = (λl /4πε0 ) ln K 2 .

(c) La capacidad del cable por unidad de longitud es πε0 donde aparecen las distancias desde la carga q y su . q Cl =  q d2 d imagen al punto, r1 = x2 + y 2 + (z − d)2 y r2 = ln R + R2 − 1 q 2 x2 + y 2 + (z + d) , respectivamente. 32. Denominando 1, 2 y 3 a los tres conductores de (b) La densidad de carga de un punto del plano siarriba abajo: tuado a una distancia r del origen es 5ε0 a2 8ε0 a2 qd C11 = C33 = , C22 = , σs = − . 3d 3d 3/2 2 2 2π (d + r ) 4ε0 a2 ε0 a2 , C = − . C = C = − 13 12 23 La carga total del plano es −q. 3d 3d (c) La fuerza sobre la carga es: 33. Los coeficientes de capacidad son: 2 q R1 R2 f~ = − zˆ. C12 = C21 = −4πε0 ; 4πε0 (2d)2 R2 − R1 (d) La capacidad es  C = 2πε0

 d2 − a2 . a

30. (a) El potencial en un punto situado a las distancias r1 de q y r2 de la carga imagen es   q 1 R 1 Φ= − . 4πε0 r1 d r2 (b) La densidad de carga es: q(d2 − R2 ) 1 . 2 4πR (R − 2Rd cos θ + d2 )3/2

C11 = 4πε0

R 1 R2 ; R2 − R1

C13 = C31 = 0;

R22 (R3 − R1 ) ; (R2 − R1 )(R3 − R2 ) R2 R3 = C32 = −4πε0 ; R3 − R2

C22 = 4πε0 C23

C33 = 4πε0

R32 . R3 − R 2

34. C´alculo directo.

35. S´olo existen cargas de polarizaci´on en las bases del cilindro con una densidad superficial σpol = ±Pz . Tomando un eje OZ a lo largo del eje del cilindro en La carga total de la esfera es −qR/d. el sentido del vector P~ y con el origen en el centro (c) La fuerza sobre la esfera es: del cilindro, la componente Dz del desplazamiento el´ectrico es: 2 q Rd  f~ = −ˆ x . 4πε0 (d2 − R2 )2 Pz √ z−H/2 Dz = − 2 R2 +(z−H/2)2  00 (d) Hay que agregar una carga Q = q +qR/d colocaz+H/2 −√ 2 . da en el centro de la esfera. La fuerza es la calculada R +(z+H/2)2 en (c) m´as el t´ermino La intensidad del campo el´ectrico se deduce de las q(q 00 + qR/d) expresiones Dz = ε0 Ez fuera del cilindro, y Dz = x ˆ . 4πε0 d2 ε0 Ez + Pz dentro del mismo. σs = −

24 36. En cualquier punto del espacio entre las placas, 40. El potencial es ~ = −(Q/A)ˆ D x.

  x V1 − V 2 1 . Φ(x) = V1 + ln 1 − ln (1 + ε2 /ε1 ) 1 + ε1 /ε2 d

La intensidad de campo dentro del diel´ectrico y fuera ~ yE ~ son: de ´el est´a dada, respectivamente, por Los campos D   Q 1 V1 − V2 ε2 ~ =− Q x ~ − +P x ˆ, E ˆ. E= ~ =x ; D ˆ ε0 A ε0 A d ln (1 + ε2 /ε1 ) La d.d.p. entre las placas es V =

Q Pd . d− ε0 A 2ε0

Si el diel´ectrico fuera lineal, su polarizaci´on ser´ıa ε0  P~ = − 1− x ˆ, A ε

~ ~ = D . E ε(x)

Luego, la polarizaci´on es   ε 0 ~ 1− P~ = D . ε(x) La densidad de carga de polarizaci´on es

Q

ρpol =

V1 − V2 ε0 ε22 , ln (1 + ε2 /ε1 ) [ε1 d + ε2 (d − x)]2

y la capacidad del condensador, 2ε A C = ε0 . ε + ε0 d

que es positiva si V1 > V2 . La capacidad resulta ser ε2 A 1 . d ln (1 + ε2 /ε1 )

C=

~ =E ~ = P~ = 0. 37. Dentro de la esfera conductora, D 41. Para diel´ectrico uniforme, En cualquier punto exterior a ella, ~ = D

Q rˆ. 4πr2

Uelec =

Q2 , 8πεR

C = 4πεR.

En el segundo caso,

~ = D/ε ~ y Luego, E Q  ε0  P~ = 1 − rˆ, 4πr2 ε ~ = D/ε ~ 0 y P~ = 0, si r > b. si a < r < b; E

Uelec

    Q2 1 1 1 1 1 = − + . 8π ε a b ε0 b

La capacidad el´ectrica es la calculada en el P. 37.

La densidad de carga de polarizaci´on en volumen es 42. La energ´ıa el´ectrica almacenada es: nula. Las cargas de polarizaci´on en las superficies del  2 1 Q diel´ectrico son iguales y opuestas; en r = a es Ad, Ue = ε 2 εA  ε0  Qpol = Q 1 − . ε y la capacidad, C = εA/d. La capacidad del sistema es C=

4πε0 εab . (b − a)ε0 + aε

43. (a) Las cargas en ambos condensadores son Q1 = C1 V1 y Q2 = C2 V2 . Las energ´ıas almacenadasresultan Ue1 = C1 V12 /2 y Ue2 = C2 V22 /2. (b) El nuevo voltaje es

38. La capacidad por unidad de longitud es: 2π Cl = . (1/ε1 ) ln(b/a) + (1/ε2 ) ln(c/b)

V =

Q1 + Q2 . C1 + C2

44. La fuerza es atractiva con un valor absoluto 39.

tan θ1 ε1 = . tan θ2 ε2

f=

1 Q2 . 2 εA

25 45. La fuerza s´olo tiene componente x y est´a dada 50. De sus expresiones generales, puede deducirse la por siguiente relaci´on entre la capacidad y la resistencia ε − ε0 1 Q2 d por unidad de longitud . fx = − 2 2 l [ε0 x + ε(l − x)] 1 Cl = , ε0 σRl 46. En t´erminos de las tangentes de los ´angulos, la relaci´on pedida es: luego la resistencia por unidad de longitud entre los tan θ1 tan θ2 cables es = .   q σ1 σ2 ln d/R + (d/R)2 − 1 47. Tomando un eje OZ a lo largo de la barra, con Rl = πσ el origen a potencial cero y z = l a potencial V , Φ=

V z, l

~ = − V zˆ, E l

σV J~ = − zˆ. l

51. (a) La densidad de corriente es J~ = (I/A) zˆ;

La resistencia de la barra es R=

1 l . σA

la intensidad de campo, ~ = E

48. La resistencia es R=

1 ln [R/ (R − H)] σ 2πL

49. (a) El potencial es 2V (π/2 − ϕ) . π

Φ=

La intensidad del campo, ~ = ϕˆ 2V . E πr La densidad de corriente, 2σV J~ = ϕˆ . πr Y la resistencia el´ectrica del conductor, R=

π . 2σH ln (b/a)

(b) En el segundo caso, Φ=

~ = −ˆ E r J~ = −ˆ r

R=

el potencial el´ectrico, Il ln φ=− σ1 A

V ; r ln (b/a)

σV ; r ln (b/a)

2 ln (b/a) . πσH



σ0 + σ1 z/l σ0

 ;

y la resistencia el´ectrica de la barra,   σ1 l ln 1 + . R= σ1 A σ0 (b) El potencial tiene la forma Φ = −V

ln [1 + (σ1 /σ0 ) (z/l)] , ln (1 + σ1 /σ0 )

de donde es inmediato obtener los resultados anteriores. (c) Como la conductividad no es uniforme, aparece una densidad de carga no nula, ρl = −

r V ln ; ln (b/a) a

I ; [σ0 + σ1 z/l]

εσ1 I . Al [σ0 + σ1 z/l]2

52. An´alisis directo. 53. C´alculo directo. 54. El potencial vector s´olo tiene componente z, Az = −

µ0 i ln r, 2π

Ax = Ay = 0.

~ es El campo H ~ = H

i ϕ. ˆ 2πr

26 Dentro del cilindro conductor, Az = −

µ0 i r2 , 4π R2

Ax = Ay = 0,

al que corresponde el campo ~ = H

ir ϕ. ˆ 2πR2

(c) La intensidad de campo es:     2 R2 ~ = rˆH0 1 − R sen ϕ + ϕH 1 + H ˆ cos ϕ. 0 r2 r2 La densidad de corriente superficial en el conductor es: J~s = zˆ2H0 cos ϕ.

55. El potencial vector s´olo tiene componente Ay da- 60. (a) En coordenadas cartesianas, Φm0 = −H0 z. (La constante arbitraria no tiene inter´es alguno.) da por (b) El momento magn´etico de la espira debe ser p µ0 i n 2 2 Ay = 2a + (x − a) ln (x − a) + z 4πa m ~ = −ˆ z 2πH0 R3 . p − (x + a) ln (x + a)2 + z 2   x+a x−a (c) La intensidad de campo es: . +z − arctan + arctan z z     R3 R3 ˆ ~ H = rˆH0 1 − 3 cos θ − θH0 1 + 3 sen θ; r 2r 56. (a)-(b) En funci´on de la componente Jz de la densidad de corriente, la intensidad de campo tiene y la densidad de corriente superficial en la esfera, la misma expresi´on gen´erica 3 J~s = −ϕˆ H0 sen θ. ~ = Jz r ϕ. H ˆ 2 2 2 2 (c) La intensidad de campo en la cavidad es unifor- 61. La inductancia es L = µ0 (N /l)πR . me, 62. (a) La intensidad de campo dentro del toroide −−→0 ic ~ = z ˆ × OO , H es: 2π (b2 − a2 ) ~ = ϕˆ N i . H 0 2πr donde O y O son los centros de las circunferencias que delimitan la secci´on del conductor. (b) La inductancia del bobinado es:

57. La intensidad de campo es ( K x ˆ 2y , si z > 0; ~ = H K −ˆ x 2y , si z < 0. 58. (a) La intensidad de campo en el eje OX es  i−3/2 2 h iR ~ =x H ˆ R2 + (x + a)2 + 2 h i−3/2  2 2 + R + (x − a) . (b) C´alculo directo. (c) a/R = 1/2.

µ0 bN 2 L= ln 2π



c c−a

 .

63. La inductancia por unidad de longitud de cable es   b µ0 ln . Ll = 2π a La corriente superficial va por la superficie interior del conductor. 64. (a) Si R