PROBLEMAS DE MECÁNICA 1. La energía potencial de interacción entre dos átomos neutros puede expresarse mediante un potencial de LennardJones U(r) = 4ε[(a/r)12 - (a/r)6] siendo r la distancia entre ellos. - Hallar la expresión de la fuerza de interacción F(r) - Para el sistema Cs – Xe, el mínimo de U(r) se halla en rm = 5.45 10-10 m con un valor Um = -2.19 10-21 J. Deducir los valores numéricos de ε y a. Esquematizar la representación gráfica de U(r). - Calcular la fuerza de interacción F(rm) y F(a) ¿cuál es la distancia interatómica de equilibrio? 2. El potencial de interacción entre dos átomos neutros puede expresarse mediante un potencial de Lennard-Jones U(r) = 4 ε [(a/r)12 - (a/r)6] siendo r la distancia entre ellos. Para el sistema Rb - Kr dicho potencial toma la forma U(r) = 5.75 10-21 [(4.43 10-10/r)12 - (4.43 10-10/r)6]. - Hallar la expresión de la fuerza de interacción F(r) y el valor de U(rm) , mínimo de energía potencial - Dibujar F(r) - Calcular la fuerza de interacción F(rm) y F(a) ¿cuál es la distancia interatómica de equilibrio? 3.

El potencial de interacción entre dos átomos puede expresarse mediante un potencial de Morse: U(r) = ε [1 - exp{- a(r - rm)}]2 siendo r la distancia entre ellos. - Hallar la expresión de la fuerza de interacción F(r) - Dibujar U(r) para el sistema C - O hallándose el mínimo de U(r) en rm = 1.138 10-10 m, y siendo ε = 1.22 10-17 J; tomar U(0) = 3.6 10-17 J - Calcular la fuerza de interacción F(rm) ¿cuál es la distancia interatómica de equilibrio?

4.

La energía potencial de interacción en un sistema de dos partículas viene dada en función de la distancia entre ambas, r, por U(r) = (U0 / r) exp(-ar2), donde a y U0 son constantes positivas. - Hallar la expresión de la fuerza derivada de este potencial. - ¿Es atractiva o repulsiva? ¿Por qué? - ¿Existe una posición de equilibrio estable para este sistema? Si es así, encuéntrala.

5. Dos átomos de hidrógeno que llevan una velocidad de 2 km/s colisionan formando una molécula de H2. - Hallar la velocidad de la molécula cuando la colisión es frontal ¿cuánta es y a dónde va la energía excedente? - Calcular la velocidad de la molécula cuando colisionan bajo un ángulo de 90° ¿cuánta es y adónde va la energía excedente? 6. Sea una molécula halógeno-gas noble en estado excitado; tras emitir radiación UV pasa al estado fundamental y el exceso de energía, 1.60 10-19 J, se manifiesta como energía cinética de los átomos que se separan. - Hallar la velocidad de los átomos al disociarse las moléculas KrF y XeCl suponiendo la molécula inicialmente en reposo; especificar direcciones y sentidos relativos mediante un esquema. -Calcular el cociente entre los módulos de las velocidades. 7. Un átomo de argón (peso atómico 40 u.m.a) que viaja a 450 m/s choca con una molécula de nitrógeno (peso molecular 28 u.m.a) que se halla en reposo: ni se traslada ni gira (1 u.m.a = 1.66 10-27 kg). Considerando que la energía mecánica del sistema se conserva y que las energías de rotación y traslación de la molécula de nitrógeno son iguales entre sí después del choque, calcular la energía cinética final del argón admitiendo que su trayectoria no se desvía. Discutir el resultado. 8. En la molécula CO la distancia interatómica de equilibrio es r0 = 1.138 10-10 m; considerando despreciable el tamaño de los átomos - Hallar la distancia del centro de masas a los átomos. - Calcular el momento de inercia de la molécula respecto a un eje que pase por el centro de masas y sea normal a ella. 9. La molécula de CO2 es lineal y simétrica, valiendo su momento de inercia respecto al eje que pasa por su centro de masas 6.78 10-46 kg m2; considerando despreciable el tamaño de los átomos - Hallar el centro de masa y la longitud de la molécula (distancia O - O). - Calcular los momentos de inercia si se substituye: el 12C por 14C; el 16O por 17O.

10. En la molécula de agua, los átomos de hidrógeno se hallan en direcciones que forman un ángulo de 105° entre sí y están distanciados 0.091 nm del de oxígeno; considerando despreciable el tamaño de los átomos - Hallar la posición del centro de masa. - Hallar el momento de inercia respecto al eje de simetría de la molécula, I - Hallar el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masas y es normal al plano de la molécula, I’. - Resolver el problema para la molécula de agua pesada en la que el hidrógeno es substituído por deuterio. 11. Una molécula de CO (problema 8) rota con un momento angular igual a 6 h/2π (h es la constante de Planck) - Hallar la velocidad angular de rotación. - Calcular la energía cinética de rotación. - Resolver el problema si el 12C es substituido por el isótopo 14C. (Considerar como distancia interatómica aproximada la de la molécula en reposo) 12. Considerando la rotación respecto a un eje de la molécula de CO2 (ver problema 9) y admitiendo que la energía cinética de rotación que corresponde a ese grado de libertad es 2.02 10-21 J - Hallar la velocidad angular de rotación - Calcular el momento angular, expresándolo en unidades del S.I. y en unidades h/(2π) (Considerar como distancia interatómica aproximada la de la molécula en reposo) 13. Una molécula de cloruro de hidrógeno consta de un átomo de cloro y un átomo de hidrógeno pesado (peso atómico 2 u.m.a). La distancia entre los núcleos es 0,127 nm. - Calcular el momento de inercia de la molécula respecto a su centro de masas - Hallar la velocidad angular de rotación cuando rota con un momento angular igual a 2 h/2π (Considerar como distancia interatómica aproximada la de la molécula en reposo) 14. Para la molécula Cs-Xe considerada en el problema 1, sujeta a rotación con un momento angular L = 1.09 10-32 J s, - Calcular los valores del potencial efectivo para r = rm, r = 1.5 rm , r = 2 rm y r = ∞, siendo rm la posición de equilibrio de la molécula en ausencia de rotación. - Calcular los valores de la fuerza derivada del potencial efectivo para los mismos valores de r. - A la vista de los resultados, decir si el potencial efectivo presenta mínimos y máximos (pozos y barreras de potencial). 15.

El potencial de interacción de la molécula de oxígeno puede describirse mediante la expresión U(r)=U0 [0.5 exp {-2b(r – r0)} - exp {-b(r – r0)} ], siendo U0 = 1.67 10-18 J, b = 2.7 10 10 m-1 y r0 = 1.12 10 –10 m. - Hallar la distancia interatómica de equilibrio para la molécula en reposo, rm. - Cuando gira con un momento angular L = 2.12 10-32 J s, hallar la energía cinética de rotación y la fuerza derivada del potencial efectivo para r = rm, r = 1.5 rm, r =2 rm y r = ∞. - Deducir la forma del potencial efectivo y razonar si hay pozo de potencial.

16. Para la molécula CO considerada en el problema 3, cuando la distancia interatómica de equilibrio en rotación es 1.18 10 –10 m. - Hallar la energía cinética de rotación y el momento angular - Calcular la velocidad angular de rotación y la fuerza centrípeta. 17. La aproximación parabólica del potencial de interacción considerado anteriormente para el sistema C - O (problema 3) se expresa U2(r) = a2 ε (r - rm)2 en el entorno de la posición de equilibrio rm - Comprobar que U2(r) es el término de 2º orden del desarrollo en serie de Taylor del potencial de Morse U(r) = ε [1 - exp{- a(r - rm)}]2 - Hallar la constante de fuerza del oscilador. - Evaluar la frecuencia propia de oscilación f. - Si la energía del oscilador es 6.45 10-20 J, ¿cuál es la amplitud del oscilador?

18. La frecuencia propia de oscilación f de la molécula Na2 es 7.16 1011 Hz y de la molécula de H2 es 2.06 1013 Hz - Hallar la aproximación parabólica de los potenciales de interacción - Estimar la amplitud de la oscilación cuando la energía de oscilación es igual a 1.18 10-21 J (Na2) y 3.41 10-20 J (H2). - Calcular la frecuencia propia de oscilación de la molécula de deuterio 19. Para la molécula HCl cuya distancia intermolecular de equilibrio es 0.127 nm y la frecuencia propia de oscilación 1.40 1013 Hz - Hallar la aproximación parabólica de los potenciales de interacción - Estimar la amplitud de la oscilación cuando la energía de oscilación es igual a 2,32 10-20 J 20. La molécula de CO2 puede oscilar en dos modos normales, simétrico y asimétrico en la dirección longitudinal (1 dimensión); la frecuencia angular correspondiente al modo simétrico es ωsim= 2.529 ×1014 rad s-1. - Hallar la constante de fuerza interatómica. ¿Cuál es la frecuencia propia del modo asimétrico? 21. Siendo la energía cinética media de las moléculas de un gas a temperatura T igual a (3/2) kB T, para las moléculas de 4He, N2, CO2, e I2 - Hallar la velocidad cuadrática media a 20 °C y a 20 K 22. A cierta temperatura, la velocidad cuadrática media de las moléculas de O2 es 300 m/s - Hallar la temperatura -Repetir el problema para moléculas de H2 y de Kr 23. La velocidad cuadrática media de las moléculas de 3He a una temperatura T es 2,45 km/s - Hallar la velocidad cuadrática media de las moléculas 4He y H2O a esa temperatura. 24. Para la molécula de Cl H (problema 19) en estado gas a 120ºC - Calcular la energía cinética de traslación - Hallar el momento angular promedio en unidades SI a dicha temperatura - ¿Oscilará siendo la energía mínima necesaria igual a (3/2)h f? 25. Una molécula de CO rota con un momento angular igual a ( 6 / 2π) h . - Hallar la temperatura T del gas del que forma parte admitiendo que dicha energía, por el principio de equipartición, corresponde a la cantidad kB T/2 26. La frecuencia propia de oscilación f de la molécula Na2 es 7.16 1011 Hz y de la molécula de H2 es 2.06 1013 Hz - Calcular la temperatura T a la que las moléculas oscilarán con una energía 3/2 h f, siendo h la constante de Planck y admitiendo que dicha energía es igual a kB T

PROBLEMAS DE MECÁNICA. SOLUCIONES

4.

r r r F (r) = 24 ε a6/r7 [2 (a/r)6 - 1] r$ , donde a=4.85 10-10 m, ε = 2.19×10-21 J; F (rm)= 0; F (a) = 1.08 10-10 r$ N. r r F (rm)= 0; F (a) = 7.79 10-11 r$ N; rm = 4.97 10-10 m r r F = 2 a ε exp[-a{r-rm}] ( exp[-a{r-rm}] - 1 ) r$ , con a= 8.79 109 m-1 ; F (rm)= 0; rm. r F =U0 exp(-ar2) (r-2+2a) r$ ; repulsiva; no.

5.

Colisión frontal: la molécula queda en reposo; ∆Ec= -6.64 10-21 J

1. 2. 3.

r

Colisión de 90º: v = (1,1) km s-1 (|v|= 2 km s-1) ∆Ec= -3.32 10-21 J La energía sobrante: rotación, vibración, excitación electrónica. 6.

vKr= 652 ms-1

vF= 2876 ms-1 -21

vKr /vF= 0.23; vXe= 559 ms-1

vCl= 2069 ms-1

7.

Ec(Ar) = 1.56 10

8.

dC-CM= 4/7 d = 6.5 10-11 m; dO-CM= 3/7 d = 4.88 10-11 m; I = 1.47 10-46 kg m2

9.

dO-O = 2.26 10-10 m ;

vXe /vCl= 0.27

J 12

C -> 14 C: queda igual;

16

O->17O: I = 7.21 10-46 kg m2.

10. Si el origen de coordenadas -(0,0)- es el átomo de O: xCM=0, yCM= -6.15 10-12 m. I = 1.73 10-47 kg m2; I’ = 2.61 10-47 kg m2 Deuterio: I= 3.46 10-47 kg m2 ; I= 5.09 10-47 kg m2 11.

ω= 1.75 1012 rad s-1; Ec = 2.246 10-22 J;

12.

ω= 2.44 1012 rad s-1; L = 15.7 h

12

C -> 14 C: ω = 1.611012 rad s-1; Ec = 2.08 10-22 J.

13. I = 5.15 10-47 kg m2; ω = 2.90 1012 rad s-1 14. r

Uef (J)

rm 1.5 rm 2 rm ∞

-3.6 10-22 4.5 10-22 3.9 10-22 0

-

∂U ef (N) ∂r 6.4 10-12 -5.7 10-13 4.7 10-13 0

15. rm=1,12 10-10 m

r

Ec,r (J)

rm 1.5 rm 2 rm ∞

1.3 10-18 6.0 10-19 3.4 10-19 0

-

∂U ef (N) ∂r 2.4 10-8 -6.1 10-10 9.3 10-10 0

L= 1.18 10-32 Js. Ec = 4,39 10-19 J; ω= 7.44 1013 rad s-1 Fc = 7.49 10-9 N.

16.

17. k= 1885 N m-1; f = 6.48 1013 s-1; A=8.27 10-12 m. 18.

k(Na2)= 0.38 N m-1; k(H2)= 13.90 N m-1; A(Na2)= 7.81 10-11 m; A(H2)= 7 10-11 m; f = 1.46 1013 Hz.

19.

k= 12.46 N m-1; la aproximación parabólica del potencial es 6.23 (r-1.27 10-10)2 J.; A = 6.10 10-11 m.

20.

k = 1699 N m-1. ωasim= 4.843×1014 rad s-1

21.

4

He :

v 2 =1352 ms-1,

v 2 = 353.25 ms-1; N2: 511 ms-1, 133.52 ms-1; CO2: 407.67 ms-1, 106.51 ms1

I2: 169.67 ms-1, 44.33 m s-1 22. O2: 115.39 K; H2: 7.21 K; Kr : 302.19 K 23.

4

He: 2.12 km s-1 ; H2O : 1 km s-1

24. 8.13 10-21 J; 5.31 10-34 kg m2/s; no 25. T = 32.86 K. 26. Na2 : 51.6 K ; H2 : 1483.6 K.

PROBLEMAS DE TERMODINÁMICA 1. En las cataratas del Niágara, el agua cae desde una altura de 50 m. Si toda la variación de energía potencial se convirtiese en energía interna del agua, - Calcular el incremento de temperatura (cp (agua) = 1 cal/g °C) - Repetir el cálculo para las cataratas de Yosemite donde el agua cae desde una altura de 740 m. 2. ¿Cuál debe ser la velocidad de una bala de plomo a 25 ºC para que el calor disipado cuando alcanza el reposo sea exactamente el necesario para fundirla? cp(plomo) = 26.9 J/mol °C, l(plomo)= 24.4 J/g, Tfusion = 327.3 ºC 3. Un calorímetro de aluminio de 200 g contiene 500 g de agua a 20 °C. Dentro del recipiente se introduce un trozo de hielo de 100 g enfriado a -20 °C. cp (aluminio) = 0,214 cal/g °C; cp (agua) = 1 cal/g °C; l (hielo) = 80 cal/g. Determinar la temperatura final del sistema suponiendo que no hay pérdidas caloríficas (para el calor específico del hielo tómese el valor 2.0 kJ/kg.K) - Se añade un segundo trozo de hielo de 300 g a -20 °C ¿cuánto hielo queda en el sistema una vez alcanzado el equilibrio? - Sería distinto el resultado si ambos trozos se agregasen simultáneamente? 4. En una taza de peso 80 g y calor específico 0.20 cal/(g °C) que se encuentra inicialmente a 20 °C, vertemos 250 g de café a 100 °C. -Si esperamos hasta que se evaporan 5g de café (calor latente de vaporización, 540 cal g-1)¿cuál es la temperatura final del café? (calor específico del café igual al del agua, 1 cal/(g°C)). - Añadimos 100 g de hielo a 0 °C (calor de fusión del hielo, 79.7 cal g-1 ) ¿cuál es la temperatura final del café con hielo? 5. Dentro de un calorímetro que contiene 1,75 kg de agua a 18 °C, introducimos un recipiente de aluminio (cuyo calor específico es 0,900 kJ / (kg K) y vacío pesa 20 g), que contiene 100 g de triclorometano en equilibrio térmico con el recipiente a 35 °C. Transcurrido un cierto tiempo, el conjunto está a una misma temperatura de 18,22 °C. - ¿Cuál es el calor específico del triclorometano? 6. A temperaturas muy bajas el calor específico de un metal viene dado por la fórmula c = α T + ß T3. Para el cobre α = 0.0108 J/kg.K2; ß = 0.000762 J/kg.K4 - ¿Cuál es el calor específico a 4 K? - ¿Qué calor es necesario suministrar para calentar el cobre desde 1 hasta 3 K? 7. El motor de un turborreactor sigue el ciclo termodinámico de Joule, que consta de cuatro procesos: A-B compresión adiabática. B-C calentamiento isobárico (combustión). C-D expansión adiabática. D-A enfriamiento isobárico. A la entrada la presión del aire es 0.8 atm y la temperatura -10 °C. En la turbina (C) la presión es 16 atm y la temperatura 800 °C. Entran 60 m3/s de aire (A) (suponer gas perfecto, γ = 1,4 , Cv = 4,975 cal/mol K).

- Hallar el calor producido en 1 s en la combustión (B-C). - ¿Cuál es la temperatura de salida del gas (D)? - ¿Cuál es su rendimiento termodinámico? 8. Un motor de explosión (ciclo de Otto) de 1000 c.c. trabaja con una relación de compresión igual a 8. Se toma aire de la atmósfera (P = 1 atm., T = 20º C) y se expulsa a 450 °C. Considerar el aire como un gas perfecto diatómico. - Calcular su rendimiento. - Calcular la cantidad de calor intercambiada en un ciclo. - Si el motor realiza 3000 ciclos/minuto hallar la potencia entregada. 9. Replantear el problema para el ciclo Diesel y una relación de compresión igual a 15, realizando 1800 ciclos por minuto.

10. Un frigorífico (consideraremos que el sistema sigue un ciclo de Carnot) extrae calor de una masa de agua a 0º C y lo cede al aire, a 27 ºC, convirtiendo 50 kg de agua en hielo a 0ºC. - ¿Cuánto calor se cede a la habitación? - ¿Qué cantidad de energía ha de suministrarse al frigorífico? 11. Un acondicionador de aire portátil extrae calor de una habitación, foco frío a 15ºC, y lo cede a un depósito de agua, foco caliente a 45ºC. Suponiendo que trabaja según el ciclo de Carnot: - Calcular el consumo eléctrico y el calor cedido al agua por cada kilocaloría extraída de la habitación. - Calcular la masa de agua inicialmente a 45ºC que podríamos convertir en vapor al extraer una kilocaloría del ambiente (lvaporización = 540 kcal/kg, cp (agua) = 1 kcal/kg) 12. Hallar la variación de energía interna y de entropía que se producen al congelar 1 kg de agua a presión normal. l (agua) = 80 cal/g, ρ(hielo) = 0.9 g/cm3 13. Comunico entre sí 2 botellas de 10 l, una de N2 y otra de O2 ambas a 1 atm y 27°C - Hallar el cambio de entropía cuando ambos gases se mezclan hasta alcanzar el equilibrio a 27ºC suponiendo que se comportan como gases perfectos 14. El calor de fusión del agua es 1435 cal/mol y el de vaporización 9712 cal/mol; la capacidad calorífica molar del hielo es 9,0 cal/K.mol y la del vapor de agua a presión constante 8,6 cal/K.mol - Hallar el cambio de entropía de 1 kg de agua que se calienta desde -20 °C hasta 150 °C 15. Se introduce un bloque de 1 kg de cobre (cp= 0.093 cal/g K) a 100 oC en el interior de un calorímetro de capacidad calorífica despreciable que contiene 4 l de agua a 0 oC. Calcular la variación de entropía - del bloque de cobre - del agua - del universo.

PROBLEMAS DE TERMODINÁMICA. SOLUCIONES 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

0.12 ºC; 1.73 ºC. 357 m/s 2.95 ºC; 212 g; no Tf = 84.7 ºC; 39.2 ºC cp = 0.186 cal/g ºK 92 mJ/kg K; 58.44 mJ/kg 7.03 Mcal; 183 º C; 57 % 56 %; 115.36 cal; 24.11 kW 61%; 138 cal; 17.33 kW 18.37 MJ; 1.65 MJ. –435 J; 1104 cal; 1.86 g -334.40 kJ; -1225 J/K 4.68 J/K 8985 J/K -118 J/K; 139 cal/K; 21 J/K.

PROBLEMAS DE ELECTROMAGNETISMO 1. Dos cargas puntuales, de valores q1= 5 µC y q2= -10 µC, están separadas a una distancia d=1 m en el vacío. - Determinar el vector campo electrostático en un punto situado a 0.6 m de q1 y 0.8 m de q2. - ¿En qué punto del espacio se anula el campo creado por estas dos cargas? 2. Dos bolitas idénticas de masa 100 g y carga 10 µC se suspenden de un punto mediante hilos iguales, de longitud l= 50 cm. Ambas bolas están sometidas a la acción de la gravedad. -Determinar el ángulo que forma cada una de las cuerdas con la vertical en situación de equilibrio. 3. Una gota de niebla de aceite tiene una masa de 4 10-14 kg y una carga neta igual a 3 electrones. La fuerza debida a un campo eléctrico homogéneo equilibra justamente la fuerza de la gravedad, permaneciendo la gota suspendida en reposo. - Calcular la magnitud del campo electrostático e indicar su dirección y sentido. ¿Cómo serán las superficies equipotenciales? (la carga del electrón es –1.6 10-19 C). 4. Se dispone de forma alternada un número infinito de cargas puntuales, positivas y negativas de igual magnitud (q y -q), sobre una línea recta. La separación entre dos cargas adyacentes es d. -¿Cuál es la energía potencial de cada carga? -Calcular dicha energía en el caso de iones Na+ y Cl-, si d = 10-10 m. (Ayuda: ln(2) = 1 - ½ + 1/3 - ¼ .....)

r r r 5. Un dipolo eléctrico de momento dipolar p = ql se sitúa a una distancia d de una carga puntual q’. p es paralelo al campo electrostático debido a la carga puntual en la posición del dipolo. - Calcular la fuerza del dipolo sobre la carga cuando l