PROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL

Tema 2. Espacios Vectoriales

TEMA: MATRIZ DE TRANSICIÓN Y VECTOR DE COORDENADAS Problema 1: Sean las bases A y B de un espacio vectorial definido sobre los números complejos: A = {(1, 0, i ) , (1 − i,1,1)}

B = {(1, i,1 + i ) , (1,1, 0 )}

Obtener la matriz de transición de la base A a la base B. SOLUCIÓN: • Combinación lineal de A = {a1 , a2 } respecto a B = {b1 , b2 } :

(a ) (a )

a1 = α1 b1 + α 2 b2

1

a2 = β 1 b1 + β 2 b 2

A

2

= ( α1 , α 2 )

T

B

⎛α M BA = ⎜ 1 ⎝ α2

= ( β1 , β2 )

T

B

β1 ⎞ ⎟ β2 ⎠

B

• Sustituyendo los valores conocidos: *Para la 1er combinación lineal:

*Para la 2ª combinación lineal:

(1, 0, i ) = α1 (1, i,1 + i ) + α 2 (1,1, 0 ) (1, 0, i ) = ( α1 + α 2 , α1i + α 2 , α1 (1 + i) )

(1 − i,1,1) = β1 (1, i,1 + i ) + β2 (1,1, 0 ) (1 − i,1,1) = (β1 + β2 , β1i + β2 , β1 (1 + i) )

Igualando Términos: α1 + α 2 = 1 α1i + α 2 = 0 α1 (1 + i ) = i

Igualando Términos: β1 + β2 = 1 − i

c d e

β1 (1 + i ) = 1

*de e:

*de e:

i +1 1− i2 i (1 − i ) = α1 = ⋅ = 2 2 1 + i (1 − i ) 1 + i − i − i

∴α1 =

β1 =

1 1 + i 2 2

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c d e

β1i + β2 = 1

1− i 1 (1 − i ) 1− i = ⋅ = 2 2 1 + i (1 − i ) 1 + i − i − i

∴β1 =

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1 1 − i 2 2 COORDINACIÓN: MATEMÁTICAS

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Tema 2. Espacios Vectoriales *de d:

*de d:

⎛ 1 1 ⎞ α 2 = −α1i = ⎜ − − i ⎟ i ⎝ 2 2 ⎠ 1 1 1 1 α2 = − i − i2 = − i + 2 2 2 2 1 1 ∴α 2 = − i 2 2

1 1 ⎛1 1 ⎞ β2 = 1 − β1i = 1 − ⎜ − i ⎟ i = 1 − i + i 2 2 2 ⎝2 2 ⎠ 1 1 1 1 β2 = 1 − − i = − i 2 2 2 2 1 1 ∴β2 = − i 2 2

• NOTA: Los escalares obtenidos arriba deben satisfacer las ecuaciones c correspondientes. • Finalmente: ⎛1 1 ⎜2 + 2i A MB = ⎜ ⎜1 −1i ⎜ ⎝2 2

1 1 ⎞ − i 2 2 ⎟ ⎟ 1 1 ⎟ − i⎟ 2 2 ⎠

Matriz de transición de “A” a “B”

Problema 2: Sea V un espacio vectorial sobre el campo de los reales, y sean A = {v1 , v 2 , v3 } y B = {w1 , w2 , w3 } dos bases de V donde: w1 = v1 − 2v 2 + v 3 w2 = 2v1 + v 2 − v3 w3 = v1 − v 2

(a) Determinar la matriz de transición de la base A a la base B. (b) Expresar al vector x = v1 + v 2 + v3 como combinación lineal de los vectores de la base B. SOLUCIÓN: (a) • De acuerdo con los datos del problema se conoce la matriz M AB . −1

• Para obtener entonces M BA , sólo se calcula la inversa de ⎡⎣ M AB ⎤⎦ = M BA :

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⎡⎣ M ⎤⎦ B A

−1

⎛1 0 ⎜ ⎜0 1 ⎜0 0 ⎝

⎛ 1 2 1 1 0 0⎞ ⎛1 2 1 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ = ⎜ −2 1 −1 0 1 0 ⎟ → ⎜ 0 5 1 2 1 ⎜ 1 −1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 −3 −1 −1 0 ⎝ ⎠ ⎝ 3 5 1 5 −2 5 0 ⎞ ⎛ 1 0 3 5 1 5 −2 5 ⎟ ⎜ 1 5 2 5 1 5 0⎟ → ⎜0 1 1 5 2 5 1 5 −1 5 1 5 3 5 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 1 −1 2 −3 2

0⎞ ⎛1 2 ⎟ ⎜ 0⎟ → ⎜0 1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 −3 0 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ → ⎜0 − 5 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

12 32⎞ ⎛12 ⎛1 1 3⎞ 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ∴ M BA = ⎜ 1 2 1 2 1 2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎜ 1 1 1 ⎟⎟ ⎜ −1 2 −3 2 −5 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎜ −1 −3 −5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0⎞ ⎟ 1 5 2 5 1 5 0⎟ −1 −1 0 1 ⎟⎠ 0 0 1/ 2 1/ 2 3 / 2 ⎞ ⎟ 1 0 1 2 1/ 2 1/ 2 ⎟ 0 1 −1 2 −3 2 − 5 2 ⎟⎠ 1

1

0

Matriz de transición de “A” a “B”

(b) • Se busca ahora escribir al vector “ x = v1 + v 2 + v3 ” como combinación lineal de “B”.

( x)

• Para ello, se puede hacer x = αv1 + βv2 + γ v3 A

A

⎡α ⎤ = ⎢⎢ β ⎥⎥ ⎢⎣ γ ⎥⎦

Vector de coordenadas de x en la base A

• Es decir, del vector x = v1 + v 2 + v 3 dado, se sabe que ( x )

A

⎡1⎤ = ⎢⎢1⎥⎥ . ⎢⎣1⎥⎦

• Por tanto, realizando la multiplicación ( x ) = M BA ⋅ ( x ) con los datos ya conocidos, B

A

se obtiene:

( x)

∴

B

⎛ 1 1 3 ⎞⎛ 1⎞ 1⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ 1 1 1 ⎟⎜ 1⎟ = 2⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ −1 −3 −5 ⎠⎝ 1⎠

( x)

B

⎛ 52⎞ ⎜ ⎟ =⎜ 3 2 ⎟ ⎜ −9 2 ⎟ ⎝ ⎠

⎛1 1 3⎞ 1⎜ ⎟ 1 1 1 ⎟= ⎜ 2⎜ ⎟ ⎝ − 1 − 3 −5 ⎠

⎛ 5⎞ 1⎜ ⎟ 3 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −9 ⎠

Vector de coordenadas de x en la base B

• Finalmente, la combinación lineal pedida se escribe como: DIVISIÓN: CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM

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x=

5 3 9 w1 + w2 − w3 2 2 2

x como combinación lineal de la base B

Problema 3: Sean P≤3 el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a

tres con coeficientes reales y B = {t 3 + 2t 2 , 2t 2 + t , t + 1,1} una base de P≤3 . Determinar el vector de coordenadas del vector p(t) = a + bt + ct2 + dt2 en la base B. SOLUCIÓN: • “p(t)” como combinación lineal de la base “B”: p (t ) = αb1 + βb2 + γb3 + δb4

• Sustituyendo valores: a + bt + ct 2 + dt 3 = α (t 3 + 2t 2 ) + β(2t 2 + t ) + γ (t + 1) + δ a + bt + ct 2 + dt 3 = αt 3 + 2αt 2 + 2β t 2 + β t + γt + γ + δ a + bt + ct 2 + dt 3 = αt 3 + ( 2α + 2β ) t 2 + (β + γ ) t + ( γ + δ )

• Igualando los términos correspondientes, se tiene:

αt = dt 3

α =d

3

( 2α + 2β ) t 2 = ct 2

(β + γ ) t = bt

γ+δ = a

2α + 2β = c 2β = c − 2α

β+ γ = b γ = b −β

c δ = a−γ = a−b+ −d 2

β=

c − 2d 2

c γ =b− +d 2

δ = a −b+

c −d 2

• Finalmente:

[ p ( t ) ]B

d ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ c d 2 − ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎥ = ⎢ c ⎢ b− d ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ c ⎢a − b + − d ⎥ 2 ⎣ ⎦

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Vector de coordenadas de p(t) en la base “B”

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Tema 2. Espacios Vectoriales Problema 4: Sean A = {v1 , v2 , v3 } y B = {w1 , w2 , w3 } dos bases de un espacio vectorial “V”. ⎛1 2 0⎞ Si la matriz de transición de la base “B” a la base “A” es M = ⎜⎜ 0 1 2 ⎟⎟ ⎜2 0 1⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 A = { x , x + 1, x − x} , obtener la base “B”. B A

y

SOLUCIÓN: • De “B” como combinación lineal de “A” se sabe: w1 = α1 v1 + α 2 v2 + α 3 v3 w2 = β1 v1 + β2 v2 + β3 v3 w3 = γ1 v1 + γ 2 v2 + γ 3 v3

B

⎛ α1 β1 ⎜ M AB = ⎜ α 2 β2 ⎜α β 3 ⎝ 3

γ1 ⎞ ⎛ 1 2 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ γ2 ⎟ = ⎜ 0 1 2⎟ γ 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 0 1 ⎟⎠

A

• Sustituyendo valores en las combinaciones lineales correspondientes: w1 = (1)( x 2 ) + (0)( x 2 + 1 ) + (2)( x 2 − x) = x2 + 2 x2 − 2 x

w2 = (2)( x 2 ) + (1)( x 2 + 1) + 0 = 2 x 2 + x 2 +1 w3 = 0 + (2)( x 2 + 1)) + (1)( x 2 − x) = 2x + 2 + x − x 2

2

→

w1 = 3x 2 − 2 x

→

w2 = 3x 2 + 1

→

w3 = 3 x 2 − x + 2

• Finalmente: B = {3 x 2 − 2 x,3x 2 + 1, 3x 2 − x + 2}

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es la base “B” pedida

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Tema 2. Espacios Vectoriales Problema 5: En el espacio vectorial de las matrices diagonales de orden dos con ⎧ ⎡1 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎫ ⎥ , ⎢0 −1⎥ ⎬ y 0 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎭ ⎩

elementos reales sobre el campo de los reales, se tienen las bases A = ⎨ ⎢

⎧ ⎡ 2 0 ⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎫ B = ⎨⎢ ⎥,⎢ ⎥ ⎬ . Si la matriz de transición de la base B a la base A es ⎩ ⎣ 0 α ⎦ ⎣ 0 −2 ⎦ ⎭ ⎡ 2 −1 2⎤ M AB = ⎢ , determinar los valores de m y α. m ⎥⎦ ⎣0

SOLUCIÓN: • Escribiendo a “B” como combinación lineal de “A” se sabe: b1 = α1 a1 + α 2 a2

⎡ α = 2 β1 = −1/ 2 ⎤ M AB = ⎢ 1 β2 = m ⎥⎦ ⎣α 2 = 0

b2 = β1 a1 + β2 a2

B

A

• Sustituyendo valores (con isomorfismo) en las combinaciones lineales anteriores, se tiene:

( 2, 0, 0,α )

= (2) (1, 0, 0,1) + (0) (1, 0, 0, −1) = ( 2, 0, 0, 2 )

Ec. c

Ec. d

(1, 0, 0, −2 )

= (−1 2) (1, 0, 0,1) + (m) (1, 0, 0, −1) = ( −1 2, 0, 0, −1 2 ) + ( m, 0, 0, − m ) = ( −1 2 + m, 0, 0, −1 2 − m )

• Por igualación de vectores en cada expresión anterior, se obtienen los valores de m y α pedidos: *De la ec. c:

α=2

*De la ec. d:

1 1 3 1 = − + m ⇒ m = 1+ = 2 2 2 1 1 3 o bien : − 2 = − − m ⇒ m = 2 − = 2 2 2

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m = 3/2

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Tema 2. Espacios Vectoriales Problema 6: . Sea F el espacio vectorial de las funciones reales variable real sobre el campo de los reales y W el subespacio generado por la funciones ƒ:R→R y g: R→R definidas por ƒ(x)=sen2x y g(x)=cos2x. Para las bases A = {sen 2 x, cos 2 x} y B = {1, cos 2 x} de W determinar: (a) La matriz de transición de la base A a la base B. (b) El vector de coordenadas respecto a la base B del vector cuyas coordenadas respecto a ⎛ −2 ⎞

la base A son ⎜ ⎟ . ⎝ 2⎠ SOLUCIÓN: (a) • Combinación lineal de “B” en “A”: b1 = α1 a1 + α 2 a2

⎡α M AB = ⎢ 1 ⎣α 2

b2 = β1 a1 + β2 a2

B

β1 ⎤ β2 ⎥⎦

A

• Sustituyendo valores: *Con identidades trigonométricas: 1 = α1sen x + α 2 cos x

1 = sen 2 x + cos 2 x

cos 2 x = β1sen 2 x + β2 cos 2 x

cos 2 x = − sen 2 x + cos 2 x

2

2

⇒

⎡1 −1⎤ M AB = ⎢ ⎥ ⎣1 1 ⎦

• Calculando la inversa de la matriz anterior M AB : ⎛ 1 −1 1 0 ⎞ ⎛ 1 −1 1 0 ⎞ ⎛ 1 −1 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 1 2 1 2⎞ =⎜ ⎟→⎜ ⎟→⎜ ⎟→⎜ ⎟ 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 1 2 1 2 − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 0 1 −1 2 1 2 ⎠ ⎡ 1 2 1 2⎤ ∴ M BA = ⎢ Matriz de transición de “A” a “B” ⎥ ⎣ −1 2 1 2 ⎦

(M )

B −1 A

(b) • El vector de coordenadas respecto a la base B se obtiene multiplicando:

(v)

B

()

()

= M BA ⋅ v , donde v A

A

⎡ −2 ⎤ =⎢ ⎥ ⎣2⎦

proporcionado como dato del problema

• Sustituyendo valores:

(v)

B

=

1 ⎡ 1 1⎤ ⎡ −2 ⎤ 1 ⎡ −2 + 2 ⎤ ⎡ 0 ⎤ = = →∴ v 2 ⎢⎣ −1 1⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 2 ⎢⎣ 2 + 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 ⎥⎦

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()

7 de 7

B

⎡0⎤ =⎢ ⎥ ⎣ 2⎦

Vector de Coordenadas

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