PROBLEMAS RESUELTOS DE ANALISIS DE ESTRUCTURAS POR EL METODO DE LOS NUDOS

Problema resuelto Pág. 246 Estática BEDFORD Problema 6.1 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.2 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.4 Estática BEDFORD edic 5 Problema 6.13 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.14 Estática BEDFORD edic 4 Problema 6.1 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.2 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.3 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.4 BEER– Johnston edic 6 Problema 6.1 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.2 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.3 Estática Hibbeler edic 10 Problema 6.4 Estática Hibbeler edic 10 Problema c-34 estática Hibbeler edic 10 Problema C-35 estática Hibbeler edic 10 Problema 6.8 estática Hibbeler edic 10 Problema resuelto Pag. 145 Estática Meriam Problema 4.1 Estática Meriam edición tres Problema 4.1 Estática Meriam edición cinco Problema 4.3 Estática Meriam edición tres Problema 4.3 Estática Meriam edición cinco Problema 4.4 Estática Meriam edición tres Problema 4.4 Estática Meriam edición cinco Problema 4.5 Estática Meriam edición tres Problema 4.7 Estática Meriam edición tres Erving Quintero Gil Tecnólogo electromecánico - UTS Ing. Electromecánico - UAN Especialista en Ingeniería del gas - UIS Bucaramanga – Colombia 2011

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1

Método de las juntas o nudos (PROBLEMA RESUELTO PAG. 246 ESTATICA BEDFORD) El método de las juntas implica dibujar diagramas de cuerpo libre de las juntas de una armadura, una por una, y usar las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas axiales en las barras. Por lo general, antes debemos dibujar un diagrama de toda la armadura (es decir, tratar la armadura como un solo cuerpo) y calcular las reacciones en sus soportes. Por ejemplo, la armadura WARREN de la figura 6.6(a) tiene barras de 2 metros de longitud y soporta cargas en B y D. En la figura 6.6(b) dibujamos su diagrama de cuerpo libre. De las ecuaciones de equilibrio. 400 N

D

B

C

E

A 2m

2m

Fig. 6. 6(a) Armadura WARREN soportando dos cargas 400 N

800 N

D

B

3m

C

A AX 1m AY

1m 2m

400 N

E 1m

1m 2m

B

EY

TAB

800 N

TBD

TBD

TBC

TDC

D TDE

TAB TBC

A

TAC

TAC

TDE

C

TEC

TEC

E

AY

Fig. 6. 6(b) Diagrama de cuerpo libre de la armadura

2

Σ MA = 0 - 400 (1) - 800 (1 +1+1) + EY (1+1+1+1) = 0

+

∑ FX = 0

AX = 0

- 400 - 800 (3) + EY (4) = 0

∑ FY = 0

- 400 - 2400 + 4 EY = 0

AY + EY – 400 - 800 = 0

- 2800 + 4 EY = 0 4 EY = 2800

EY =

2800 = 700 N 4

EY = 700 N Σ ME = 0 - AY (1+1+1+1) + 400 (1+1+1) + 800 (1) = 0

+

- AY (4) + 400 (3) + 800 = 0 - 4 AY + 1200 + 800 = 0 4 AY = 2000

AY =

2000 = 500 N 4

AY = 500 N NUDO A El siguiente paso es elegir una junta y dibujar su diagrama de cuerpo libre. En la figura 6.7(a) aislamos la junta A cortando las barras AB y AC. Los términos TAB y TAC son las fuerzas axiales en las barras AB y AC respectivamente. Aunque las direcciones de las flechas que representan las fuerzas axiales desconocidas se pueden escoger arbitrariamente, observe que las hemos elegido de manera que una barra estará a tensión, si obtenemos un valor positivo para la fuerza axial. Pensamos que escoger consistentemente las direcciones de esta manera ayudara a evitar errores. 400 N

B

TAB 2

A

TAB

TAB

3 1

AY

TAC AY

TAB

TAC

A

C TAC

TAC

AY

Figura 6.7(a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta A.

3

Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son:

TAB TAC A Y = = 2 1 3

Hallar TAC

Hallar TAB

TAB TAC = 2 1

TAB A Y = 2 3

T TAC = AB 2

AY = 500 N

TAB = 577,35 Newton

TAB 500 = = 288,67 2 3 TAB = 2 (288,67 ) = 577,35 N

TAC =

577,35 = 288,67 N 2

TAC = 288,67 Newton (Tension)

TAB = 577,35 Newton(compresión) NUDO B Luego obtenemos un diagrama de la junta B cortando las barras AB, BC y BD (Fig. 6.8 a). De las ecuaciones de equilibrio para la junta B. 400 N

400 N

TBD

B

B

400 N

TBD

TBD

TAB TAB

800 N

TBD

D 0

60

TBC TAB (Y)

TBC TAB

TAC

TAC

TBC TBC (Y) TAB

TBC (X)

TAB (X)

TBC

A

600

C

AY

Figura 6.8(a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de la junta B.

sen 60 =

TAB(Y ) TAB

TAB (Y) = TAB sen 60

⎛ 3⎞ ⎟ TAB(Y ) = TAB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

Para abreviar los cálculos

sen 60 =

3 2

cos 60 =

1 2

4

⎛ 3⎞ ⎟ TAB TAB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝

cos 60 =

TAB = 577,35 Newton

⎛ 3⎞ ⎟ (577,35) = 500 N TAB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝

TAB (X) = TAB cos 60

TAB (Y) = 500 N

sen 60 =

TBC(Y ) TBC

cos 60 =

TBC (Y) = TBC sen 60

TBC(X ) TBC

TBC (X) = TBC cos 60

⎛ 3⎞ ⎟ TBC(Y ) = TBC ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ TBC TBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝

TAB(X ) TAB

⎛1⎞ TBC(X ) = TBC ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ TBC ⎝ 2⎠

⎛1⎞ TAB(X ) = TAB ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ TAB(X ) = ⎜ ⎟ TAB ⎝2⎠ TAB = 577,35 Newton

TAB(X ) =

1 (577,35) = 288,67 N 2

TAB (X) = 288,67 N

⎛ 3⎞ ⎟ TBC TBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ∑ FY = 0

100 = TBC (Y)

- 400 + TAB (Y) - TBC (Y) = 0

⎛ 3⎞ ⎟ TBC 100 = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 200 ⎛ 2 ⎞ TBC = ⎜ = 115,47 N ⎟ 100 = 3 ⎝ 3⎠

TAB (Y) = 500 N - 400 + 500 - TBC (Y) = 0 100 - TBC (Y) = 0

TBC = 115,47 N

100 = TBC (Y)

(compresión)

Se halla TBC (X)

∑ FX = 0 - TBD + TAB (X) + TBC (X) = 0

⎛1⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ TBC ⎝ 2⎠

TAB (X) = 288,67 N

TBC = 115,47 N

⎛1⎞ TBC(X ) = ⎜ ⎟ (115,47 ) = 57,73 N ⎝2⎠

TBC (X) = 57,73 Newton - TBD + 288,67 + 57,73 = 0

TBC (X) = 57,73 Newton

- TBD + 346,4 = 0 TBD = 346,4 Newton

(compresión)

5

NUDO D Luego obtenemos un diagrama de la junta D cortando las barras BD, DC y DE . De las ecuaciones de equilibrio para la junta D. 800 N 800 N

800 N

D

TBD

TBD

TBD

D

600

TDE

TDC

TDC (Y)

TDE

TDE

C

TEC

E

TEC EY

TDC(Y ) TDC

cos 60 =

TDC (Y) = TDC sen 60

⎛ 3⎞ ⎟ TDC(Y ) = TDC ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ TDC TDC (Y ) = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

sen 60 =

TDE

TDE (Y)

TDC TDE (X)

TDC (X)

TDC

sen 60 =

600

Para abreviar los cálculos

sen 60 =

3 2

cos 60 =

1 2

TDC(X ) TDC

TDC (X) = TDC cos 60

⎛1⎞ TDC(X ) = TDC ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ TDC TDC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

TDE(Y ) TDE

cos 60 =

TDE (Y) = TDE sen 60

TDE(X ) TDE

TDE (X) = TDE cos 60

⎛ 3⎞ ⎟ TDE (Y ) = TDE ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ TDE TDE(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

⎛1⎞ TDE (X ) = TDE ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ TDE (X ) = ⎜ ⎟ TDE ⎝ 2⎠

∑ FX = 0 TBD - TDE (X) + TDC (X) = 0 TBD = 346,4 Newton

(compresión)

6

346,4

- TDE (X) + TDC (X) = 0

TDE (X) - TDC (X) = 346,4 ecuación 1 Pero:

∑ FY = 0

⎛1⎞ TDE (X ) = ⎜ ⎟ TDE ⎝ 2⎠ ⎛1⎞ TDC(X ) = TDC ⎜ ⎟ ⎝2⎠

- 800 + TDE (Y) + TDC (Y) = 0 TDE (Y) + TDC (Y) = 800 ecuación 2 Pero:

Reemplazando en la ecuación 1

⎛1⎞ ⎜ ⎟ TDE ⎝ 2⎠

⎛1⎞ - ⎜ ⎟ TDC = 346,4 ecuación 3 ⎝2⎠

⎛ TDE(Y ) = ⎜⎜ ⎝ ⎛ TDC(Y ) = ⎜⎜ ⎝

3⎞ ⎟ TDE 2 ⎟⎠ 3⎞ ⎟ TDC 2 ⎟⎠

Reemplazando en la ecuación 2

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ TDE + ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ecuación 4 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

resolver ecuación 3 y ecuación 4

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ TDE - ⎜ ⎟ TDC = 346,4 multiplicar por ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ TDE + ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ 3⎞ ⎟ TDC = 346,4 - ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ ⎟ TDE + ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 2 ⎟⎠ ⎠ ⎝ 3⎞ ⎟ TDE 2 ⎟⎠

[ 3]

[ 3 ]= 600

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ TDE + ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDE = 600 + 800 = 1400 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ TDE = 1400 2 ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝

3 TDE = 1400 TDE =

1400 = 808,29 N 3

7

TDE = 808,29 Newton (compresión) Reemplazando en la ecuación 4, se halla TDC

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ TDE + ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ecuación 4 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟ (808,29 ) + ⎜ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 ⎜ 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ TDC = 800 700 + ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎟ TDC = 800 - 700 = 100 ⎠ ⎝ ⎛ 2 ⎞ 200 TDC = 100 ⎜ = 115,47 N ⎟= 3 ⎝ 3⎠ TDC = 115,47 Newton (Tensión) Problema 6.1 ESTATICA BEDFORD edic 4 Determine the axial forces in the members of the truss and indicate whether they are in tension (T) or compression (C) A

A

A

10 KN

10 KN

2m

2m

C

B

BX

Σ MC = 0 BY (1) – 10 (2) = 0

BY (1) = 10 (2) BY = 20 KN

2m

B

1m

B

BX

C BY

1m

+

10 KN

C BY

CY

∑ FX = 0

∑ FY = 0

10 – BX = 0

CY – BY = 0

BX = 10 KN

CY = BY

1m

CY

Pero: BY = 20 KN

CY = 20 KN

8

NUDO B FBA

BX

B

∑FY = 0

∑FX = 0

FBC

BY

FBC – BX = 0

FBA – BY = 0 FBA = BY

FBC = BX

pero: BY = 20 KN

pero: BX = 10 KN

FBA = 20 KN (tensión)

FBC = 10 KN (tensión) NUDO A A 10 KN FBA FBA

5

2 1

FAC

FAC

FBA 10 FAC = = 2 1 5

10 KN

Hallamos FAC

10 FAC = 1 5

( )

FAC = 10 5 = 22,36 KN FAC = 22,36 KN (compresión)

9

Problema 6.2 ESTATICA BEDFORD edic 4 La armadura mostrada soporta una carga de 10 kN en C. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura y determine las reacciones en sus soportes b) Determine las fuerzas axiales en las barras. Indique si se encuentran a tensión (T) o a compresión (C) .

BY BX

B

FCB

FAB

=0

FAB

=0

3m

Σ MB = 0

+

AX

AX (3) - 10 (4) = 0

AX =

40 = 13,33KN 3

AX = 13,33 KN

A FCA

FCA

AX (3) = 10 (4) 3 AX = 40

FCB

4m

C 10 KN

∑ FY = 0 BY - 10 = 0 BY = 10 KN

Σ MA = 0

+

BX (3) - 10 (4) = 0

BX (3) = 10 (4) 3 BX = 40

BX =

40 = 13,33KN 3

BX = 13,33 KN

10

NUDO C FCB

3 10 KN

FCA

C 10 KN

5 4

FCB

FCA

FCB FCA 10 = = 5 4 3

Hallar FCA

Hallar FCB

FCA 10 = 4 3

FCB 10 = 5 3 (5)10 = 16,66 KN FCB = 3

FCA =

(4)10 = 13,33 KN 3

FCA = 13,33 kN (compresión)

FCB = 16,66 kN (Tensión) NUDO A ∑ FY = 0

AX = 13,33 KN FAB = 0

∑ FX = 0 AX - FCA = 0 AX = FCA Pero: FCA = 13,33 kN AX = FCA =13,33 kN

FAB AX

=0

A FCA

BY = 10 KN BX = 13,33 KN

FCB = 16,66 kN (Tensión) FCA = 13,33 kN (compresión) FAB = 0

11

Problema 6.4 ESTATICA BEDFORD edic 5 The members of the truss are all of lenght L. Determine the axial forces in the members and indicate whether they are in tension (T) or compression (C) F D

B

F FBD

B

D

FBA

C

FBC

FBA

FBC

A

A AX = 0 L

FBD

FCD

C

FCD

FAC

FAC

CY

AY L

NUDO D

F

F F

D

FBD

FBD

B

FBD

FBD

D FDC

600

FCD

FDC (Y)

FDC

Σ MC = 0

+

AX = 0

AY (L) – F (L/2) = 0

C

A

FDC (X)

L AY

CY

FDC

L/2

AY (L) = F (L/2) AY = ½ F Σ MA = 0

+

CY (L) – F ( L + L/2) = 0

CY (L) - F ( 3/2 L) = 0 CY (L) = F ( 3/2 L) CY = F ( 3/2) CY = 3/2 F

sen 60 =

cos 60 =

FDC(X ) FDC

FDC (X) = FDC cos 60

⎛1⎞ FDC(X ) = FDC ⎜ ⎟ ⎝2⎠

Para abreviar los cálculos

sen 60 =

3 2

cos 60 =

1 2

FDC(Y ) FDC 12

FDC (Y) = FDC sen 60

⎛ 3⎞ ⎟ FDC(Y ) = FDC ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ FDC FDC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ∑ FY = 0 - F + FDC (Y) = 0 F = FDC (Y) Pero: FDC (Y) = FDC sen 60 F = FDC sen 60 DESPEJANDO FDC

FDC =

1 (F) = 1,154 F sen 60

FDC = 1,154 F (Compresion)

∑ FX = 0

AX = 0

∑ FX = 0

∑ FY = 0

- FBD + FDC (X) = 0

AY + EY – 400 - 800 = 0

FBD = FDC (X) Pero: FDC (X) = FDC cos 60 FBD = FDC cos 60 Pero: FDC = 1,154 F F

FBD = (1,154 F) cos 60 FBD = 0,577 F (tensión) NUDO B

FBA

FBC

FBC

FBC

FBA

FBA

FBD

FBC

A AX = 0

FBD

D

FBA

FBD

B

FBD

B

C

L AY

CY

13

sen 60 =

FBA(Y ) TAB

FBA (Y) = TBA sen 60

⎛ 3⎞ ⎟ FBA(Y ) = FBA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ 3⎞ ⎟ FBA FBA(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝

sen 60 =

FBC(Y ) FBC

cos 60 =

FBA(X ) FBA

FBD 0

60

FBA (X) = FBA cos 60

⎛1⎞ FBA(X ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ FBA(X ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 2⎠

FBA (Y)

600

FBC FBA

FBC (Y)

FBC (X)

FBA (X)

FBC (Y) = TBC sen 60

⎛ 3⎞ ⎟ FBC(Y ) = FBC ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ∑ FX = 0

cos 60 =

FBC(x ) FBC

FBC (X) = FBC cos 60

⎛1⎞ FBC (X ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝2⎠

FBD - FBC (X) - FBA (X) = 0

FBD - FBC(X ) - FBA (X ) = 0 FBC(X ) + FBA (X ) = FBD

Para abreviar los cálculos

sen 60 =

3 2

cos 60 =

1 2

PERO: FBD = 0,577 F

FBC(X ) + FBA (X ) = 0,577 F ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBC + ⎜ ⎟FBA = 0,577 F (ECUACIÓN 1) ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ ∑ FY = 0 FBC (Y) - FBA (Y) = 0

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ FBC − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟FBA = 0 (ECUACIÓN 2) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ resolver ecuación 1 y ecuación 2

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBC + ⎜ ⎟ FBA = 0,577 F multiplicar por ⎝ 2⎠ ⎝2⎠

[ 3] 14

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ FBC - ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ FBC + ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 3 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ FBC - ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠

( ) (0,577 F)

⎛ 3⎞ ⎟ FBC = F 2 ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 3 FBC = F

⎛ 1 ⎞ FBC = ⎜ ⎟F ⎝ 3⎠ FBC = 0,577 F (compresión) Reemplazando en la ecuación 2

⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ FBC − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟FBA = 0 (ECUACIÓN 2) 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ (0,577 F ) − ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA = 0 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 3⎞ ⎟ (0,577 F ) = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA 2 ⎠ ⎝ ⎠

Cancelando terminos semejantes

F

(0,577 F) = FBA

FBD

B

FBA = 0,577 F (tensión)

L

FBD

D

FBA

FBC

FCD

NUDO A FBA

FBA L

A

FBA

L/2

AY

L/2

C

FCD

FAC

FAC AY

FAC AY

FBC

A

L

CY

FAC

15

FBA FAC = L L2 FBA 2 FAC = L L

AY = ½ F CY = 3/2 F

Cancelando términos semejantes FBA = 2 FAC

FDC = 1,154 F (Compresion)

Pero: FBA = 0,577 F

FBD = 0,577 F (tensión)

0,577 F = 2 FAC

FAC =

0,577 F 2

FBC = 0,577 F (compresión)

FAC = 0,288 F (Compresión)

FBA = 0,577 F (tensión)

Problema 6.13 bedford edic 4 La armadura recibe cargas en C y E. Si F = 3 KN, cuales son las fuerzas axiales BC y BE?

AX=0

AY

1m

A FAB FCA

B

FAB

1m

FEB

D FDB

FGD

FDE

FCB

1m FCA

1m

FDB

FCB FEC

C 3 kN

FEB

FGD FDE

G

FEC

E

FGE

FGE

GY

6 kN

Σ MG = 0

+

6 (1) + 3 (1 +1) - AY (1+1+1) = 0

16

6 (1) + 3 (2) - AY (3) = 0 6 + 6 – 3 AY = 0 6 + 6 = 3 AY

∑ FX = 0

AX = 0

12 = 3 AY

AY =

12 = 4 KN 3

AY = 4 KN Σ MA = 0 - 3 (1) - 6 (1 +1) + GY (1+1+1) = 0

+

- 3 - 6 (2) + GY (3) = 0 - 3 - 12 + 3 GY = 0 - 15 + 3 GY = 0 3 GY = 15

GY =

15 = 5 KN 3

AX

AY

1m

A

B

1m

1m

D

GY = 5 KN

FGD

NUDO G 1m

FGD

FGD

G G FGE

GY

E

C

FGE

3 kN

1

FGE

FGE

GY

6 kN

FGD

2

1

GY = 5 KN

Las ecuaciones de equilibrio para la junta G son:

FGD FGE 5 = = 1 1 2 Hallar FGD

Hallar FGE

FGE 5 = 1 1 FGE = 5 KN (Tensión)

FGD =5 2

17

FGD = 2 (5) FGD = 7,071 KN (compresión)

NUDO D D FDB

AX

AY

1m

A

1m

B

1m

D FDB

FDB

FDE

FGD

FDE

FGD 1m

FDB

FGD FDE

1

FGD

2

G 1

FGE

E

C

FDE

3 kN

FGE

GY

6 kN

Las ecuaciones de equilibrio para la junta D son: Hallar FDB

FGD FDE FDB = = 1 1 2

5 = FDB

PERO: FGD = 7,071 KN

FDB = 5 KN (compresion)

F F = DE = DB 1 1 2 5 = FDE = FDB 7,071

Hallar FDE

5 = FDE

AX

AY

1m

A

B

FDE = 5 KN (TENSION)

1m

1m

FDB FEB

D FDB

FGD

FDE FDE

NUDO E

1m

FEB

FEB

FGD FDE

FEC FEC

C E

FGE

3 kN

G

FEC

E

FGE

FGE

GY

6 kN

6 kN

18

sen 45 =

FEB(Y ) FEB

FEB (Y) = FEB sen 45

⎛ 2⎞ ⎟ FEB(Y ) = FEB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ FEB FEB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

cos 45 =

FEB(X ) FEB

FEB (X) = FEB cos 45

⎛ 2⎞ ⎟ FEB(X ) = FEB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ FEB FEB(X ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

∑ FY = 0

FEB(X) FEB(Y)

FDE = 5 KN

FEB 450

FEC

FGE = 5 KN 6 kN

FDE - 6 + FEB(Y) = 0 PERO: FDE = 5 kN 5 - 6 + FEB(Y) = 0 - 1 + FEB(Y) = 0 FEB(Y) = 1 KN

FEB =

FEB(Y ) 1 = = 1,414 kN sen45 sen 45

FEB = 1,414 KN (tension) FEB (X) = FEB cos 45 FEB (X) = (1,414) cos 45 FEB (X) = 1 KN ∑ FX = 0 FGE - FEC - FEB (X) = 0 PERO: FGE = 5 kN FEB (X) = 1 KN FGE - FEC - FEB (X) = 0 5 - FEC - 1 = 0 4 - FEC = 0 FEC = 4 KN (tension)

19

NUDO C FCB

AX=0

FCA

AY

1m

A FCA

FEC

1m

B

FEB

FCA

D FDB

FCB FEC

3 kN

FEB

FGD FDE

G

FEC FGE

E

C

FCA(Y ) sen 45 = FCA

FGD

FDE

FCB

1m

C

1m

FDB

3 kN

FGE

GY

6 kN

FCA (Y) = FCA sen 45

⎛ 2⎞ ⎟ FCA (Y ) = FCA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ FCA FCA (Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ∑ FX = 0

cos 45 =

FCA(X ) FCA

FCA(X)

FCA (X) = FCA cos 45

FEC - FAC (X) = 0 FEC = FAC (X) PERO: FEC = 4 kN

⎛ 2⎞ ⎟ FCA (X ) = FCA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ FCA FCA (X ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

FCA(Y)

FCB

FCA 450 FEC = 4 KN 3 kN

FAC (X) = 4 kN FCA (X) = FCA cos 45

∑ FY = 0

FCA =

- FCB - 3 + FCA(Y) = 0

FCA (X ) 4 = = 5,656kN cos 45 0,7071

FCA = 5,656 KN (tension)

⎛ FCA (Y ) = ⎜⎜ ⎝ ⎛ FCA (Y ) = ⎜⎜ ⎝

2⎞ ⎟ FCA 2 ⎟⎠ 2⎞ ⎟ 5,656 = 4 KN 2 ⎟⎠

PERO: FCA (Y) = 4 kN - FCB - 3 + 4 = 0 - FCB + 1 = 0 FCB = 1 KN (compresión)

FCA (Y) = 4 kN

20

NUDO A AX=0

AY

1m

A

AY = 4 KN AX=0

A

1m

D FDB

FGD

FDE

FCB

1m FCA

1m

FDB FEB

FCA FAB

B

FAB

FAB

FEB

FCB

G

FEC

FEC

FCA

FGD FDE

E

C Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son: 3 kN

FCA FAB A Y = = 1 1 2

FGE

FGE

GY

6 kN

FAB 1

FCA

PERO: AY = 4 KN

2

FAB A Y = 1 1

1

AY = 4 KN

FAB = 4 KN (compresión) Problema 6.14 bedford edic 4 If you don't want the members of the truss to be subjected to an axial load (tension or compression) greater than 20 kn, what is the largest acceptable magnitude of the downward force F?

A

β

12 m

δ

12 m

F

Ө

B

α 4m

β C

D

13 m

3m

tg θ =

5 = 0,4166 12

5m 4m

β

Ө = arc tg (0,4166) Ө = 22,610

3m

21

tg β =

4 = 1,3333 3

β + δ = 900

β = arc tg (1,3333)

δ + Ө + α = 900

0

δ = 90 - β

β = 53,120

0

δ = 90 - 53,12

pero: δ = 36,870 Ө = 22,610

0

δ = 36,870

δ + Ө + α = 900

NUDO A

36,87 + 22,61 + α = 900

FAB(X) δ = 36,870

α = 900 - 36,87 - 22,61 F

FAB(Y) FAB

α

α = 30,520

FAC(Y)

FAC FAC(X)

sen 36,87 =

FAB(Y ) FAB

FAB (Y) = FAB sen 36,87

FAB(Y ) = (0,6 ) FAB

FAC(X ) FAC FAC(X ) sen 30,52 = FAC

sen α =

FAC (X) = FAC sen 30,52

cos 36,87 =

FAB(X ) FAB

FAB (X) = FAB cos 36,87

FAB(X ) = (0,8) FAB

cos 30,52 =

FAC(Y ) FAC

FAC (Y) = FAC cos 30,52

FAC(Y ) = (0,8614 ) FAC

FAC(X ) = (0,507 ) FAC ∑ FX = 0 FAC(X) - FAB (X) = 0 0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 ECUACION 1 ∑ FY = 0 FAC (Y) - F - FAB (Y) = 0

22

0,8614 FAC - F - 0,6 FAB = 0 ECUACION 2 NUDO C FCB

FAC(X)

FCB(X)

FAC

FAC(Y) FCD

C

FCB (Y)

FCB

α FAC

β β = 53,120

sen 53,12 =

FCD

FCB(Y ) FCB

cos 53,12 =

FCB (Y) = FCB sen 53,12

FCB(X ) FCB

FAC(X ) = (0,507 ) FAC FAC(Y ) = (0,8614 ) FAC

FCB (X) = FCB cos 53,12

FCB(Y ) = (0,7998 ) FCB

FCB(X ) = (0,6 ) FCB

∑ FX = 0 FCD - FAC(X) - FCB (X) = 0 FCD – 0,507FAC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 ∑ FY = 0 FCB (Y) - FAC (Y) = 0 0,7998 FCB - 0,8614 FAC = 0 ECUACION 4 NUDO D DX

A FCD

12 m

∑ FX = 0 DX - FCD = 0 ECUACION 5 0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 ECUACION 1 0,8614 FAC - F - 0,6 FAB = 0 ECUACION 2 FCD – 0,507FAC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 0,7998 FCB - 0,8614 FAC = 0 ECUACION 4 DX - FCD = 0 ECUACION 5 DESPEJAMOS F en la ecuación 2 0,8614 FAC - F - 0,6 FAB = 0 ECUACION 2

F

BY

FAC

B BX

FCB

FDB 4m FDB

DX

FAC

FCB

D FCD FCD

C

3m

0,8614 FAC - 0,6 FAB = F ECUACION 6

23

Resolver la ecuación 1 0,507 FAC - 0,8 FAB = 0 0,507 FAC = 0,8 FAB Despejando

FAC

0,8 FAC = FAB = 1,577 FAB 0,507 FAC = 1,577 FAB Reemplazar FAC en la ecuación 6 0,8614 FAC - 0,6 FAB = F ECUACION 6 0,8614 (1,577 FAB ) - 0,6 FAB = F 1,3592 FAB - 0,6 FAB = F 0,7592 FAB = F Despejando

FAB

1 F = 1,317 F 0,7592 FAB = 1,317 F FAB =

Reemplazar FAB en la ecuación 6 0,8614 FAC - 0,6 FAB = F ECUACION 6 0,8614 FAC - 0,6 (1,317 F) = F 0,8614 FAC - 0,79 F = F 0,8614 FAC = F + 0,79 F 0,8614 FAC = 1,79 F

1,79 F = 2,078 F 0,8614 FAC = 2,078 F FAC =

Reemplazar FAC en la ecuación 4 0,7998 FCB - 0,8614 FAC = 0 ECUACION 4 0,7998 FCB - 0,8614 (2,078 F) = 0 0,7998 FCB - 1,79 F = 0 0,7998 FCB = 1,79 F

FCB =

1,79 F = 2,238 F 0,7998

FCB = 2,238 F

FAB = 1,317 F FAC = 2,078 F FCB = 2,238 F FCD = 2,395 F FDB = 0

Reemplazar FAC y FCB en la ecuación 3

24

FCD – 0,507FAC - 0,6 FCB = 0 ECUACION 3 FCD – 0,507 (2,078 F ) - 0,6 (2,238 F) = 0 FCD – 1,053 F

- 1,342 F = 0

FCD = 1,053 F

+ 1,342 F

FCD = 2,395 F LA ESTRUCTURA MAS CRITICA ES FCD 2,395 F = 20

F=

20 = 8,35 KN 2,395

F = 8,35 KN Problema 6.1 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. A

A

4m

1,92 N

1,92 N

B

C

B

BY 3m

A

la reacción en B?   Σ FY = 0

1,92 N

BY – 1,92 - CY = 0

1,92 ( 3) - CY (4,5) = 0

5,76 - CY (4,5 ) = 0 CY (4,5 ) = 5,76 5,76 CY = = 1,28 N 4,5 CY = 1,28 N

CY

4,5 m

Σ MB = 0

+

C

4m

C

B BY 3m

CY

BY – 1,92 – 1,28 = 0 BY = 3,2 Newton

4,5 m

25

Nudo B FAB FAB B

FBC

BY

5

B

3

BY

FBC

B

FAB FBC 3,2 = = 5 3 4

Hallar FBC FBC 3,2 = 3 4 (3) 3,2 = 9,6 = 2,4 N FBC = 4 4

Hallar FAB FAB 3,2 = 4 5

FAB =

4

BY = 3,2 N

(5) 3,2 = 16 = 4 N

FBc = 2,4 Newton (compresión)

4 4 FAB = 4 Newton(compresión) FCA (Y)

Nudo C

FCA

C 8,5

α

CY

4

8,5

4

7,5

7,5

C

FCA (X)

x

FCA

FBC

C CY

7,5 cos α = 8,5 FCA (X) = cos α (FCA)

FCA (X ) =

7,5 FCA 8,5

sen α =

∑ FX = 0

4 8,5

FBC – FCA (X) = 0

FCA (Y) = sen α (FCA)

FCA (Y ) =

4 FCA 8,5

FBC -

7,5 FCA = 0 8,5

7,5 FCA 8,5 7,5 2,4 = FCA 8,5 (2,4) 8,5 = 20,4 = 2,72 Newton FCA = 7,5 7,5 FCA = 2,72 Newton (tracción) FBC =

26

Problema 6.2 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. A

0,75 m

0,75 m

AY AX 0,4 m

FAC

FAB tensión

A

FAB

B

B

FCB

1,4 m

0,4 m

tensión

1,4 m 2,8 KN

2,8 KN

compresión FAC C

∑FY= 0

FCB C

CX

AY – 2,8 = 0

Σ MA = 0

+

AY = 2,8 KNewton

CX ( 1,4) - 2,8 (0,75) = 0

CX ( 1,4) = 2,8 (0,75) 1,4 CX = 2,1 2,1 CX = = 1,5 N 1,4 CX = 1,5 KNewton Σ MC = 0

+

- AX ( 1,4) - 2,8 (0,75) = 0

-1,4 AX = 2,1 2,1 AX = = - 1,5 N 1,4 AX = - 1,5 KNewton (significa que la fuerza AX esta direccionada hacia la izquierda)

0,75 m

AY

- AX ( 1,4) = 2,8 (0,75)

AX

A B

1,4 m 2,8 N

Σ MC = 0

+

0,4 m

AX ( 1,4) - 2,8 (0,75) = 0

AX ( 1,4) = 2,8 (0,75) CX

C

1,4 AX = 2,1 2,1 AX = = 1,5 N 1,4

27

AX = 1,5 KNewton Nudo A AY AY A

AX AX

A

A

FAB

0,4

0,85

FAB (Y)

0,75

0,75

FAC

FAB

FAB α

FAB (X)

FAC

0,75 cos α = 0,85 FAB (X) = cos α (FAB) FAB (X ) =

0,85

0,4

AY

A

sen α =

FAB

AX

FAC

0,75 FAB 0,85

0,4 0,85

FAB (Y) = sen α (FAB)

FAB (Y ) =

∑ FX = 0 - AX + FAB (X) = 0 0,75 - AX + FAB = 0 0,85 0,75 AX = FAB 0,85

∑FY= 0

AX

0,85 FAC AX 0,75 0,85 (1,5) FAB = FAB 0,75 FAB = 1,7 KNewton (tracción) FAB =

0,4 FAB 0,85

AY

AY – FAC – FAB (Y) = 0 0,4 A Y - FAC − FAB = 0 0,85 0,4 (1,7 ) = 0 2,8 - FAC − 0,85 2,8 − 0,8 = FAC FAC = 2 KNewton (Tracción)

Nudo C FAC

sen α =

FCB

CX CX

C

FAC

FCB

1 1,25

cos α =

0,75 1,25

FCB (Y) = sen α (FCB)

FCB (X) = sen α (FCB)

⎛ 1 ⎞ FCB (Y ) = ⎜ ⎟ FCB ⎝ 1,25 ⎠

F ⎛ 0,75 ⎞ CB(X ) = ⎜⎜ ⎟⎟ FCB ⎝ 1,25 ⎠

1,25

FCB

0,75

1

FCB (Y)

α

FCB (X)

C

28

∑ FX = 0

0,75 m

AY

CX - FCB (X) = 0

AX

A

0,4 m

CX = FCB (X) B

0,75 FCB 1,25 FAC 1,25 FCB FCB = CX 0,75 C CX CX = 1,5 KNewton 1,25 (1,5) = 2,5 KN FCB = 0,75 FCB = 2,5 KNewton (compresión) CX =

1,4 m

0,75

1m

2,8 N

1

FAC

FCB CX

C

Problema 6.3 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. 945 lb

∑ FX = 0 BX = 0 Σ MB = 0

+

A

CY ( 12 + 3,75) - 945 (12) = 0 9 pies

CY (15,75) - 945 (12) = 0 CY (15,75) = 945 (12)

B

C

15,75 CY = 11340

FBA

Σ MC = 0

+

3,75 pies

A

FCA

945 lb

945 (3,75) - BY ( 12+ 3,75) = 0

945 (3,75) = BY ( 15,75) 3543,75 = 15,75 BY

3543,75 = 225 lb 15,75 BY = 225 lb. BY =

12 pies

945 lb

11340 CY = = 720 lb 15,75 CY = 720 lb

B

BX

FBC

A

FCA

FBA

C

FBC

CY

BY

9 pies

B

BX BY

C

12 pies

CY 3,75 pies

29

NUDO B sen α =

9 15

cos α =

12 15

FBA

FBA (X) = sen α (FBA)

FBA (Y) = sen α (FBA)

F ⎛9⎞ BA(X ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 15 ⎠

F ⎛ 12 ⎞ BA(Y ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝ 15 ⎠

FBA FBC B Y = = 15 12 9 FBA FBC 225 = = 15 12 9

BY

FBA BX

B

FBC FBC

BX

BY

Hallar FBC FBC 225 = 12 9

Hallar FBA FBA 225 = 15 9 ( 15) 225 FBA = = 375 lb. 9 FBA = 375 lb. (compresión)

FBC =

(12) 225 = 300 lb. 9

FBC = 300 lb. (tracción)

Nudo C FCA

FCA (X)

FBC

3,75 9,75

C FCA

FBC CY

CY

9

FCA (Y)

FCA

FCA FBC

C CY

FCA FBC C Y = = 9,75 3,75 9 FCA FBC = 9,75 3,75

CY = 720 lb

Hallar FCA (9,75)300 = 780 lb FCA = 3,75

FBC = 300 lb. (tracción)

BY = 225 lb. FBA = 375 lb. (compresión)

FCA = 780 lb. (compresión)

FCA = 780 lb. (compresión)

30

Problema 6.4 beer edic 6 Por el método de los nudos, halla la fuerza en todas las barras de la armadura representada indicar en cada caso si es tracción o compresión. 10,8 Kips

10,8 Kips 35 pies

22,5 pies

A

C

B 12 pies

D ∑ FX = 0 AX = 0 Σ MA = 0 D (22,5) - 10,8 (22,5) -10,8 (22,5 + 35) = 0

+

D (22,5) - 10,8 (22,5) -10,8 (57,5) = 0

10,8 Kips

B

A FAB

22,5 D - 243 - 621 = 0

FAB

FAD

FBC

FBC

C

FBD

AY

22,5 D = 864

864 = 38,4 Kips 22,5 D = 38,4 Kips D=

D D

Σ MC = 0

10,8 Kips

AY (22,5 + 35) + 10,8 (35) – D (35) = 0

+

10,8 Kips

AY (57,5) + 10,8 (35) – (38,4) (35) = 0

C

B

AX

12 pies

AY

57,5 AY + 378 – 1344 = 0

35 pies

22,5 pies

A

10,8 Kips

D

57,5 AY = 966 966 AY = = 16,8 Kips 57,5

D

AY = 16,8 Kips

Nudo A A

A FAB

FAB AY

FAD

AY

12

25,5 22,5

FAB

FAD

FAD AY

FAD(Y)

12

25,5 22,5

FAD

FAD(X)

31

FAD FAB A Y = = 25,5 22,5 12

Hallar FAD FAD 16,8 = 25,5 12 ( 25,5)16,8 FAD = = 35,7 Kips 12

AY = 16,8 Kips FAD FAB 16,8 = = 25,5 22,5 12 Hallar FAB FAB 16,8 = 22,5 12 (22,5)16,8 = 31,5 Kips FAB = 12

FAD = 35,7 Kips (compresión)

FAB = 35,7 Kips (tensión) Nudo B FAB

10,8 Kips

FAB

10,8 Kips

FBC

B

B

FBD

10,8 Kips

FAB

FBC FBD

FBC FBD

∑ FX = 0

∑ FY = 0

FBC – FAB = 0

FBD – 10,8 = 0

FAB = 35,7 Kips

FBD = 10,8 Kips (compresión)

FBC = FAB FBC = 35,7 Kips (tensión)

Nudo C 10,8 Kips

10,8 Kips

FBC

C

FCD

37 35

FCD

FBC

12

10,8 Kips

FBC

C

FCD

FCD FBC 10,8 = = 37 35 12

32

AX = 0 D = 38,4 Kips AY = 16,8 Kips Hallar FCD FCD 10,8 = 37 12 ( 37 )10,8 FCD = = 33,3 Kips 12 FCD = 33,3 Kips (compresión)

FAB = 35,7 Kips (tensión) FAD = 35,7 Kips (compresión) FBC = 35,7 Kips (tensión) FBD = 10,8 Kips (compresión) FCD = 33,3 Kips (compresión)

Problema 6.1 Estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P1 = 800 lb. y P2 = 400 lb. AY

6 pies

8 pies

A

TCA

AX

TCA

TBC

TBA

tensión

tensión

TBA P2 = 400 lb

CY 8 pies

TBC

B

P1 = 800 lb

Σ MA = 0

+

C

- 400 (8) - 800 (6) + CY (6 + 8) = 0

- 400 (8) - 800 (6) + CY (14) = 0 - 3200 - 4800 + CY (14) = 0

∑ FX = 0

- 8000 + CY (14) = 0

AX – 400 = 0

CY (14) = 8000

AX = 400 lb.

CY =

8000 = 571,42 lb 14

CY = 571,42 lb

33

Σ MC = 0 - AY (6 + 8) - 400 (8) + 800 (8) = 0

+

- AY (14) - 400 (8) + 800 (8) = 0 - 14 AY - 3200 = 0 14 AY = 3200

AY =

3200 = 228,57 lb 14

AY = 228,57 lb NUDO B TBC

TBA (X)

TBC

TBA

TBA

P2 = 400 lb

TBA (Y)

β

B P2 = 400 lb

8

10 T 6 BA α

TBC

8 2

β

P2 = 400 lb

8

8

TBC (Y)

TBC (X)

P1 = 800 lb P1 = 800 lb

sen α =

8 4 = 10 5

sen β =

cos α =

6 3 = 10 5

cos β =

sen α =

8 8 2

8 8 2

=

2 2

=

2 2

TBA(Y ) ⇒ TBA(Y )= senα (TBA ) TBA

⎛4⎞ TBA(Y )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝5⎠ cos α =

TBA(X ) ⇒ TBA(X )= cosα (TBA ) TBA

⎛3⎞ TBA(X )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝5⎠

P1 = 800 lb

sen β =

TBC(Y ) ⇒ TBC(Y )= senβ (TBC ) TBC

⎛ 2⎞ ⎟ (TBC ) TBC(Y )= ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ TBC(X ) ⇒ TBC(X )= cosβ (TBC ) cos β = TBC ⎛ 2⎞ ⎟ (TBC ) TBC(X )= ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

34

∑ FX = 0 - 400 + TBC (X) - TBA (X) = 0 TBC (X) - TBA (X) = 400

2 (TBC ) - 3 TBA = 400 (Ecuación 1) 2 5 ∑ FY = 0 - 800 + TBC (Y) + TBA (Y) = 0 TBC (Y) + TBA (Y) = 800

2 (TBC ) + 4 TBA = 800 (Ecuación 2) 2 5 resolver ecuación 1 y ecuación 2 Reemplazando en la ecuación 1

2 (TBC ) - 3 TBA = 400 ( -1) 2 5 2 (TBC ) + 4 TBA = 800 2 5 -

2 (TBC ) - 3 TBA = 400 (Ecuación 1) 2 5 2 (TBC ) - 3 (285,71) = 400 2 5

2 (TBC ) + 3 TBA = - 400 2 5 2 (TBC ) + 4 TBA = 800 2 5

2 (TBC ) - 171,42 = 400 2 2 (TBC ) = 571,42 2

7 TBA = 400 5 (400)5 TBA = 7

⎛ 2 ⎞ TBC = ⎜ ⎟571,42 ⎝ 2⎠ TBC = 808,12 lb. (Tensión)

TBA = 285,71 lb. (Tensión) NUDO C TCA

C

TBC

8 2 TBC

CY

β

8

8

CY

TCA

35

Las ecuaciones de equilibrio para el nudo C son:

TCA TBC C Y = = 8 8 8 2 Hallar TCA

TCA TBC = 8 8 2 Pero: TBC = 808,12 lb.

TCA 808,12 = 8 8 2 808,12 = 571,42 lb 2

TCA =

TCA = 571,42 lb (Compresión) Problema 6.2 Estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P1 = 500 lb. y P2 = 100 lb. AY

6 pies

8 pies

A

TCA

AX

TCA

TBC

TBA

tensión

tensión

TBA P2 = 100 lb

Σ MA = 0

+

- 100 (8) - 500 (6) + CY (6 + 8) = 0

- 100 (8) - 500 (6) + CY (14) = 0 - 800 - 3000 + CY (14) = 0

C

CY 8 pies

TBC

B

P1 = 500 lb

∑ FX = 0 AX – 400 = 0 AX = 400 lb.

- 3800 + CY (14) = 0 CY (14) = 3800

36

CY =

3800 = 271,42 lb 14

CY = 271,42 lb Σ MC = 0 - AY (6 + 8) - 100 (8) + 500 (8) = 0

+

- AY (14) - 100 (8) + 500 (8) = 0 - AY (14) - 800 + 4000 = 0 - 14 AY + 3200 = 0 14 AY = 3200

AY =

3200 = 228,57 lb 14

AY = 228,57 lb NUDO B TBC

TBA (X)

TBC

TBA

TBA

P2 = 100 lb

TBA (Y)

β

B P2 = 100 lb

8

10 T 6 BA α

P2 = 400 100 lb

TBC

8 2

8

8

β

TBC (Y)

TBC (X)

P1 = 500 lb P1 = 500 lb

sen α = cos α =

8 4 = 10 5 6 3 = 10 5

TBA(Y ) ⇒ TBA(Y )= senα (TBA ) sen α = TBA

P1 = 800 500 lb

sen β =

cos β =

8 8 2 8 8 2

=

2 2

=

2 2

⎛4⎞ TBA(Y )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝5⎠ cos α =

TBA(X ) ⇒ TBA(X )= cosα (TBA ) TBA

37

⎛ 3⎞ TBA(X )= ⎜ ⎟ (TBA ) ⎝5⎠ ∑ FX = 0

sen β =

- 100 + TBC (X) - TBA (X) = 0 TBC (X) - TBA (X) = 100

2 (TBC ) - 3 TBA = 100 (Ecuación 1) 2 5 ∑ FY = 0 - 500 + TBC (Y) + TBA (Y) = 0 TBC (Y) + TBA (Y) = 500

TBC(Y ) ⇒ TBC(Y )= senβ (TBC ) TBC

⎛ 2⎞ ⎟ (TBC ) TBC(Y )= ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ cos β =

TBC(X ) ⇒ TBC(X )= cosβ (TBC ) TBC

⎛ 2⎞ ⎟ (TBC ) TBC(X )= ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

2 (TBC ) + 4 TBA = 500 (Ecuación 2) 5 2 resolver ecuación 1 y ecuación 2

2 (TBC ) - 3 TBA = 100 ( -1) 5 2 2 (TBC ) + 4 TBA = 500 5 2 -

2 (TBC ) + 3 TBA = - 100 2 5 2 (TBC ) + 4 TBA = 500 2 5

7 TBA = 400 5 (400)5 TBA = 7 TBA = 285,71 lb. (Tensión)

Reemplazando en la ecuación 1

2 (TBC ) - 3 TBA = 100 (Ecuación 1) 5 2 2 (TBC ) - 3 (285,71) = 100 5 2 2 (TBC ) - 171,42 = 100 2 2 (TBC ) = 271,42 2 ⎛ 2 ⎞ TBC = ⎜ ⎟271,42 ⎝ 2⎠ TBC = 383,84 lb. (Tensión)

38

NUDO C TBC

C

TCA

CY

TBC

8 2

β

8

8

CY

TCA

Las ecuaciones de equilibrio para el nudo C son:

TCA TBC C Y = = 8 8 8 2 Hallar TCA

TBA = 285,71 lb. (Tensión)

TCA TBC = 8 8 2

TBC = 383,84 lb. (Tensión)

Pero: TBC = 383,84 lb.

TCA = 271,42 lb (Compresión)

TCA 383,84 = 8 8 2 TCA =

383,84 = 271,42 lb 2

TCA = 271,42 lb (Compresión) Problema 6.3 Estática Hibbeler edic 10 La armadura, usada para soportar un balcón, esta sometida a la carga mostrada. Aproxime cada nudo como un pasador y determine la fuerza en cada miembro. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P1 = 600 lb P2 = 400 lb. P2 = 400 lb

P1 = 600 lb

A

B FBC

FAB FAD

FBC

C CY CX

FAB FDC

FBD

4 pies FBD FAD

FDC

D FED 4 pies

E FED

EX EY = 0

4 pies

Σ MC = 0

+

P1 (4 + 4) + P2 (4) – EX (4) = 0

39

600 (4 + 4) + 400 (4) – EX (4) = 0

4800 + 1600 – 4 EX = 0

B FBC

FAB

A

6400 – 4 EX = 0

FBC

C CY CX

FAB

FAD

4 EX = 6400

EX =

P2 = 400 lb

P1 = 600 lb

600 (8) + 400 (4) – 4 EX = 0

FDC

FBD

4 pies FBD

6400 = 1600 lb 4

EX = 1600 lb

E

FDC

FAD

D FED 4 pies

FED

EX EY = 0

4 pies

NUDO A Las ecuaciones de equilibrio para el nudo A son:

P1 = 600 lb

FAB FAD 600 = = 4 4 4 2

FAB 4

FAB

A

4 2

FAD

Hallar FAB

FAB = 600 lb

FAB = 600 lb (Tension) NUDO E E FED

Hallar FAD

FAD = 600 2 FAD =

( 2 ) 600 = 848,52 lb

FAD = 848,52 lb (compresión)

P2 = 400 lb

P1 = 600 lb EX

EY = 0

A

B FBC

FAB FAD

Σ FX = 0 FED - EX = 0

FBC

C CY CX

FAB FDC

FBD

4 pies FBD

FED = EX

FAD

PERO: EX = 1600 lb FED = 1600 lb (compresión)

P1 = 600 lb

FAD

Cancelar términos semejantes

F FAB = AD = 600 2

4

FDC

D FED 4 pies

E FED

EX EY = 0

4 pies

Σ FY = 0

40

EY = 0 NUDO B

P2 = 400 lb

P1 = 600 lb

P2 = 400 lb FAB

A

B FBC P2 = 400 lb

FAB

FAD

FBD

FBD

FBC

B FBC

FAB

FBC

C CY CX

FAB FDC

FBD

4 pies FBD

Σ FX = 0 FBC - FAB = 0

E

FDC

FAD

D FED

FBC = FAB 4 pies

FED

EX EY = 0

4 pies

PERO: FAB = 600 lb (Tensión) FBC = 600 lb (Tensión) Σ FY = 0 FBD - 400 = 0 FBD = 400 lb (compresión) Σ FY = 0 CY - 600 - 400 = 0

Σ FX = 0 CX - EX = 0

CY - 1000 = 0

CX = EX

CY = 1000 lb.

PERO: EX = 1600 lb CX = 1600 lb

A

B FBC

FAB FAD

NUDO C FBC

P2 = 400 lb

P1 = 600 lb

C CY CX

FAB FDC

FBD

FBC

C

FBC

4 pies

CY

FDC CX

FDC (Y)

FBD

CY FAD

FDC

FDC

D FED

CX 4 pies

E FED

EX EY = 0

4 pies

Σ FY = 0 CY – FDC(Y) = 0

41

CY = FDC(Y)

PERO: CY = 1000 lb. FDC(Y) = 1000 lb

4

1 sen α = = = 0,7071 4 2 2 sen α =

FDC(Y ) FDC

FDC =

FDC(Y ) senα

FDC =

1000 = 1414,22 lb 0,7071

FDC = 1414,22 lb (tensión)

FDC

4 2

4

4

FDC (Y)

FDC (X)

FBD = 400 lb (compresión) FBC = 600 lb (Tensión)

EX = 1600 lb EY = 0 CX = 1600 lb CY = 1000 lb.

FAB = 600 lb (Tensión) FED = 1600 lb (compresión) FAD = 848,52 lb (compresión) FDC = 1414,22 lb (tensión)

42

Problema 6.4 Estática Hibbeler edic 10 La armadura, usada para soportar un balcón, esta sometida a la carga mostrada. Aproxime cada nudo como un pasador y determine la fuerza en cada miembro. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. Considere P1 = 800 lb P2 = 0 lb. FUERZA CERO

P1 = 800 lb

B FBC

FAB

A

FAD

C CY

FBC

CX

FAB FDC

FBD = 0

4 pies

FBD = 0

FAD

E

FDC

D FED 4 pies

FED

EX EY = 0

4 pies

Σ MC = 0 P1 (4 + 4) – EX (4) = 0

+

800 (4 + 4) – EX (4) = 0 800 (8) – 4 EX = 0 6400 – 4 EX = 0 4 EX = 6400

EX =

6400 = 1600 lb 4

P1 = 800 lb

EX = 1600 lb

A

NUDO A

FAD

FAB P1 = 800 lb

A

4 FAB

4 2

B FBC

FAB

CX FBD = 0

FDC

FBD = 0

P1 = 800 lb

FAD

FAD

FAD

Las ecuaciones de equilibrio para el nudo A son:

C CY

FAB

4 pies 4

FBC

FDC

D FED 4 pies

E FED

EX EY = 0

4 pies

FAB FAD 800 = = 4 4 4 2 Cancelar términos semejantes

43

F FAB = AD = 800 2

Hallar FAD

FAD = 800 2 FAD = 2 800 = 1131,37 lb

Hallar FAB

( )

FAB = 800 lb

FAB = 800 lb (Tensión)

FAD = 1131,37 lb (compresión)

NUDO E Σ FX = 0 FED - EX = 0 FED = EX

P1 = 800 lb

E FED

A

EX

C CY

FBC

CX

FAB

FAD

EY = 0

PERO: EX = 1600 lb

B FBC

FAB

FBD = 0

4 pies

FDC

FBD = 0

FED = 1600 lb (compresión) Σ FY = 0 EY = 0

E

FDC

FAD

D FED 4 pies

FED

EX EY = 0

4 pies

NUDO B FUERZA CERO Si tres miembros forman un nudo de armadura en el cual dos de los miembros son colineales, el tercer miembro es un miembro de fuerza cero siempre que ninguna fuerza exterior o reacción de soporte este aplicada al nudo. Σ FX = 0 FBC - FAB = 0

B FBC FAB

FBC = FAB

Pero: FAB = 800 lb (Tensión)

FBD

FUERZA CERO

P1 = 800 lb

A

B FBC

FAB FAD

C CY CX

FAB FBD = 0

4 pies

FDC

FBD = 0

FBC = 800 lb (Tensión) FAD

Σ FY = 0 FBD = 0

FBC

FDC

D FED 4 pies

E FED

EX EY = 0

4 pies

44

Σ FY = 0

Σ FX = 0

CY - 800 = 0

CX - EX = 0

CX = EX

CY = 800 lb.

PERO: EX = 1600 lb

FDC

CX = 1600 lb NUDO C

FDC

Σ FY = 0 CY – FDC(Y) = 0

CX FDC

PERO: CY = 800 lb.

4

=

A

B FBC

FAB

1 = 0,7071 2

FDC

FBD = 0 FDC

4 pies

800 = 1131,38 lb 0,7071

E FED

EX EY = 0

4 pies

FBD = 0 lb

FDC = 1131,38 lb (tensión)

CX = 1600 lb

FBD = 0

D FED

FDC =

C CY CX

FAD

FDC(Y ) senα

FBC

FAB

4 pies

4 2 FDC(Y ) sen α = FDC

EX = 1600 lb

FDC (X)

CY

P1 = 800 lb

FAD

FDC =

FDC (Y)

4

CX

FDC(Y) = 800 lb

sen α =

FDC (Y)

4

C CY

FBC

CY = FDC(Y)

4 2

FBC

EY = 0

FBC = 800 lb (Tensión) FAB = 800 lb (Tensión) FED = 1600 lb (compresión) FAD = 1131,37 lb (compresión) FDC = 1131,38 lb (tensión)

CY = 800 lb.

45

Problema c-34 estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. BY FUERZA CERO

FCB

B

BX

FAB

FCB

3 pies

C FDC

FCA FCA

FDC

D

FAB

FDA A AX

FDA 2 pies

2 pies 300 lb

FDC

NUDO D

FDC 5

FDC 300 FDA = = 5 3 4 FDC F = 100 = DA 5 4

D

FDA

300 lb

3 4

FDA

300 lb

Hallar FDA

FDA = 100 4

Hallar FCD

FDA = (4) 100 = 400 lb (compresión)

FDC = (5) 100 = 500 lb (Tensión)

FDC = 100 5

FUERZA CERO Si tres miembros forman un nudo de armadura en el cual dos de los miembros son colineales, el tercer miembro es un miembro de fuerza cero siempre que ninguna fuerza exterior o reacción de soporte este aplicada al nudo. FUERZA CERO

FCA = 0

FCB

FDC = FCB Pero: FDC = 500 lb

C FDC

FCA = 0

FCB = 500 lb (Tensión)

46

NUDO A FCA = 0

BY

FAB = 0

FCA = 0

FDA A AX

∑ FX = 0

FAB = 0

FCB

BX

FCB

AX

FDA

B

3 pies

C FDC

FCA = 0

FDA - AX = 0

FAB = 0

∑ FY = 0

FCB = 500 lb (Tensión)

FAB = 0

FDA = (4) 100 = 400 lb

FDC

D

FDA A AX

FDA 2 pies

2 pies 300 lb

(compresión)

FDC = (5) 100 = 500 lb (Tensión) Problema C-35 estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en los miembros AE y DC. Establezca si los miembros están en tensión o en E compresión. D F FAB

=0

FAE

FCD

3 pies FAF = 0

A AX = 0 AY

FAE

FCB = 0

FAB

FAB

B FCB = 0

4 pies

4 pies

FCD

C CY

800 lb

∑ FY = 0 AY – 800 + CY = 0 Pero: CY = 400 lb AY – 800 + 400 = 0 AY – 400 = 0 Σ MA = 0

+

AY = 400 lb

- 800 (4 ) + CY (4 + 4) = 0

47

- 3200 + CY (8) = 0 CY (8) = 3200

CY =

3200 = 400 lb 8

CY = 400 lb FCB = 0

∑ FX = 0 AX = 0

FCD

C CY

E

NUDO C ∑ FY = 0

D

F FAB

CY – FCD = 0 Pero: CY = 400 lb

=0

FAE

FCD

3 pies FAF = 0

CY = FCD

FAE

A

FCD = 400 lb (compresión) A = 0 X ∑ FX = 0

FAB

CY

800 lb

FAE

NUDO A FAF = 0

AX = 0

C

FCB = 0 4 pies

FCB = 0

A

B

FAB 4 pies

AY

FCD

FCB = 0

5

AY

3

4

FAE

FAB FAB

FAB

=0

FAE

FCD

3 pies FAF = 0

Pero: AY = 400 lb A

FAE 400 FAB = = 5 3 4

D

F

AY

FAE A Y FAB = = 5 3 4

E

AX = 0 AY

FAE

FCB = 0

FAB

FAB

B FCB = 0

4 pies

4 pies

FCD

C CY

800 lb

48

Hallar FAE

FAE 400 = 5 3

F AE =

Hallar FCD

FAB 400 = 4 3

400(5) 3

FAB = 533,33 lb (Tensión)

FAE = 666,66 lb (compresión) Problema 6.8 estática Hibbeler edic 10 Determine la fuerza en cada miembro de la armadura y establezca si los miembros están a tensión o en compresión. Considere P1 = 2 KN y P2 = 1,5 kN. AY

A AX

FBA FBA

Y = 3,464

B FCB

FBE FDB

FBE EX

Σ ME = 0

+

- 2 (3) – 1,5 (3 + 3) + AX (3,464) = 0

FDB

E CY

FDE

FDE

YF1DB= 1,732 D

3m

FCD

FCB 300

C

FCD 3m

2 KN

- 6 – 1,5 (6) + 3,464 AX = 0

1,5 KN

- 6 – 9 + 3,464 AX = 0 - 15 + 3,464 AX = 0 3,464 AX = 15

AX =

15 = 4,33 kN 3,464

AX = 500 N

tg 30 =

Y 6

Y = 6 tg 30 = 6 (0,5773) = 3,464 m

Y tg 30 = 1 3 Y1 = 3 tg 30 = 3 (0,5773) = 1,732 m

49

NUDO C AY

FCB 300

A

C

AX

FCD 1,5 KN

B FCB

FCB FDB

1,5 KN

3,464

Y1 = 1,732

EX

3m

FCD

FCB

FDB

E FDE

CY

D

FDE

300

FCD

C

FCD

2 KN

1,5 KN

Las ecuaciones de equilibrio para la junta C son:

FCB F 1,5 = = CD 3 3,464 1,732

Hallar FCD

F 1,5 = CD 3 1,732

Hallar FCB

FCB 1,5 = 3,464 1,732 FCB =

FCD =

1,5 (3,464 ) = 3 kN 1,732

FCD = 2,598 kN (compresión)

AY

A AX

FCB = 3 kN (tensión) NUDO D

1,5 (3) = 2,598 kN 1,732

FDB

B

FDE

FCB

FDB FDE

2 KN

D

FCD

2 KN

∑ FY = 0 ∑ FX = 0 FDE - FCD = 0

FDB

FCD

FDB - 2 = 0

EX

CY

FCB

FDB

E FDE

FDE

D 2 KN

0

30

FCD

C

FCD 1,5 KN

FDB = 2 kN (tensión)

FDE = FCD

50

Pero: FCD = 2,598 kN (compresión) FDE = 2,598 kN (compresión) NUDO B AY FBA

A

B

FBA

AX FCB

FBE

FBA

B

FDB

FCB

FBE FDB FBE

FBA(X) EX

E

FBA

FBA(Y)

CY

300 300

FBE(Y)

⎛1⎞ FBA(Y ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝2⎠

FBE(Y ) sen 30 = FBE

30

FCB

FCB(Y)

FCB(X)

FCD

FCD 1,5 KN

3 2

sen 60 =

1 2

FDB

cos 30 =

FBA(X ) FBA

FBA (X) = FBA cos 30

⎛ 3⎞ ⎟ FBA(X ) = FBA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

FBE(X ) FBE

cos 30 =

⎛1⎞ FBE(Y ) = FBE ⎜ ⎟ ⎝2⎠

FBE (X) = FBE cos 30

FCB(Y ) FCB

D

C

Para abreviar los cálculos

sen 30 =

FBE (Y) = FBE sen 30

sen 30 =

FDE

30

2 KN

FBE(X)

FBA (Y) = FBA sen 30

FDE

0

0

FBE

FBA(Y ) sen 30 = FBA

FCB

FDB

cos 30 =

FCB(X ) FCB

FCB (X) = FCB cos 30

⎛ 3⎞ ⎟ FCB(X ) = FCB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

⎛ 3⎞ ⎟ FBE(X ) = FBE ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠

FCB (Y) = FCB sen 30

⎛1⎞ FCB(Y ) = FCB ⎜ ⎟ ⎝2⎠ 51

∑ FY = 0 FBA (Y) + FBE (Y) - FCB (Y) - FDB = 0

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBA + ⎜ ⎟ FBE - ⎜ ⎟ FCB - FDB = 0 ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ Pero: FDB = 2 kN (tensión) FCB = 3 kN (tensión)

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟FBA + ⎜ ⎟ FBE ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBA + ⎜ ⎟ FBE ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟FBA + ⎜ ⎟FBE ⎝2⎠ ⎝2⎠

⎛1⎞ - ⎜ ⎟ (3) - 2 = 0 ⎝2⎠ ⎛1⎞ = ⎜ ⎟ (3) + 2 ⎝2⎠ = 1,5 + 2 = 3,5

0,5 FBA + 0,5 FBE = 3,5 dividiendo por 0,5 (para simplificar) FBA + FBE = 7 (Ecuación 1) ∑ FX = 0 - FBA (X) + FBE (X) + FCB (X) = 0

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎟ ⎟FBE + ⎜ ⎟ FBA + ⎜ - ⎜⎜ ⎜ 2 ⎟ FCB = 0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ - FBA + FBE + FCB = 0 Pero: FCB = 3 kN (tensión) - FBA + FBE + 3 = 0 - FBA + FBE = - 3 (- 1) FBA - FBE = 3

(Ecuación 2)

Resolver la ecuación 1 y 2 FBA + FBE = 7 (Ecuación 1) FBA - FBE = 3

(Ecuación 2)

52

2 FBA = 10

FBA =

10 = 5 kN 2

FBA = 5 kN (tensión) AX = 500 N

Reemplazando en la ecuación 1

FCB = 3 kN (tensión)

FCD = 2,598 kN (compresión)

FBA + FBE = 7 (Ecuación 1)

FDE = 2,598 kN (compresión)

Pero: FBA = 5 kN (tensión)

FDB = 2 kN (tensión)

5 + FBE = 7

FBA = 5 kN (tensión)

FBE = 7 - 5

FBE = 2 kN (compresión)

FBE = 2 kN (compresión)

PROBLEMA RESUELTO ESTATICA MERIAM Edic 3. Calcular, por el método de los nudos, la fuerza en los miembros del entramado en voladizo B

5m

FBD

FBD 5m

FAB

FBC

FAB

A

5m

FCD

FBC

FAC

FAC

C

5m 30 kN

D

FCE

E

5m 20 kN

B

TX

D

5m 600

600

T

TY

300

5m

600

EX

A C 5m 30 kN

E 5m

EY

20 kN

53

Σ ME = 0 - T (5) + 30 (5 + 5) + 20 (5) = 0

+

- 5 T + 30 (10) + 20 (5) = 0 - 5 T + 300 + 100 = 0 - 5 T + 400 = 0 5 T = 400

T=

400 = 80 N 5

T = 80 N

T cos 30 = X T

T sen 30 = Y T

TX = T cos 30

TY = T sen 30

Pero: T = 80 N

Pero: T = 80 N

TX = 80 (0,866)

TY = 80 (0,5)

TX = 69,28 N

TY = 40 N

∑FY = 0

∑FX = 0

TY + EY - 30 - 20 = 0

TX - EX = 0

TY + EY - 50 = 0

Pero: TX = 69,28 N

Pero: TY = 40 N

TX = EX

40 + EY - 50 = 0

EX = 69,28 N

EY - 10 = 0 EY = 10 KN

54

A continuación, dibujamos los diagramas de sólido libre que muestren las fuerzas actuantes en cada nudo. La exactitud de los sentidos asignados a las fuerzas se comprueba al considerar cada nudo en el orden asignado. No debe haber dudas acerca de la exactitud del sentido asignado a las fuerzas actuantes en el nudo A. El equilibrio exige NUDO A FAB

FAB 30 FAC = = 5 4,33 2,5

FAB

A

Hallar FAB

5

FAC

30 kN

Se halla FAC

4,33

30 FAC = 4,33 2,5 (30) 2,5 = 17,32 KN FAC = 4,33

2,5

FAB 30 = 4,33 5 FAB =

FAC

30 kN

(30) 5 = 34,64 KN

FAC = 17,32 kN (compresion)

4,33 FAB = 34,64 kN (tensión)

FBD

NUDO B B FBC

FBD FBC (Y) FAB

FAB (Y)

FBC

FAB 600 FBC (X)

sen 60 =

FBC(Y ) FBC

FBC(Y) = FBC sen 60

⎛ 3⎞ ⎟ FBC(Y ) = FBC ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ sen 60 =

FAB(Y ) FAB

FAB(Y) = FAB sen 60

600 FAB (X)

Para abreviar los cálculos

sen 60 =

cos 60 =

3 1 cos 60 = 2 2

FAB(X ) FAB

FAB(X) = FAB cos 60

⎛1⎞ FAB(x ) = FAB ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ FAB(x ) = ⎜ ⎟ FAB ⎝ 2⎠

cos 60 =

FBC(X ) FBC

FBC(X) = FBC cos 60

⎛1⎞ FBC(x ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ FBC(x ) = ⎜ ⎟ FBC ⎝2⎠

55

⎛ 3⎞ ⎟ FAB(Y ) = FAB ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FAB FAB(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎠ ⎝ ∑FY = 0 FBC(Y) - FAB(Y) = 0 FBC(Y) = FAB(Y)

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ FBC = ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ FAB ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ FBC = FAB

PERO: FAB = 34,64 kN FBC = 34,64 kN (compresión)

⎛1⎞ FAB(x ) = ⎜ ⎟ FAB ⎝2⎠ PERO: FAB = 34,64 kN ⎛1⎞ FAB(x ) = ⎜ ⎟ (34,64) = 17,32 KN ⎝2⎠ FAB(x) = 17,32 KN ∑FX = 0 - FAB(x) - FBC(x) + FBD = 0

⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(x ) = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ PERO: FBC = 34,64 kN ⎛1⎞ FBC(x ) = ⎜ ⎟ (34,64) = 17,32 KN ⎝2⎠ FBC(x) = 17,32 KN

PERO: FAB(x) = 17,32 KN FBC(x) = 17,32 KN - FAB(x) - FBC(x) + FBD = 0 -17,32 – 17,32 + FBD = 0 - 34,64 + FBD = 0

FBD = 34,64 KN (tensión)

56

NUDO C B

FCD

FBC

5m

C

FCE 5m

FAB

FBC

FAB

20 kN

T

FED

5m

FBD

FBD FAC

D

FCD

FCD

FBC

FED EX

A

FAC

FAC

C

5m

PERO: FAC = 17,32 kN (compresion) FBC = 34,64 kN (compresión) FBC(x) = 17,32 KN

FCE

FCE 5m

EY

20 kN

30 kN

FCD (X)

FBC (X)

⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ (34,64) = 30 KN FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ FBC(Y) = 30 KN

FCD(X ) cos 60 = FCD FCD(X) = FCD cos 60

⎛1⎞ FCD(x ) = ⎜ ⎟ FCD ⎝2⎠ ∑FX = 0 FCD(x) + FBC(x) + FAC – FCE = 0

E

FBC

FCD

FBC (Y)

FCD(Y)

600

600

FAC

sen 60 =

FCE

FCD(Y ) FCD

FCD(Y) = FCD sen 60

20 kN

⎛ 3⎞ ⎟ FCD(Y ) = FCD ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FCD FCD(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

PERO: FAC = 17,32 kN (compresión) FBC(x) = 17,32 KN FCD(x) + 17,32 + 17,32 – FCE = 0

57

FCD(x) + 34,64 – FCE = 0

⎛1⎞ ⎜ ⎟ FCD - FCE = - 34,64 (Ecuación 1) ⎝2⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FCD FCD(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 2 ⎞ FCD = ⎜⎜ ⎟⎟ FCD(Y ) ⎝ 3⎠ PERO: FCD(Y) = 50 KN ⎛ 2 ⎞ FCD = ⎜⎜ ⎟⎟ 50 = 57,73 KN ⎝ 3⎠ FCD = 57,73 kN (Tensión)

∑FY = 0 - FBC(Y) + FCD(Y) – 20 = 0

PERO: FBC(Y) = 30 KN - 30 + FCD(Y) – 20 = 0 - 50 + FCD(Y) = 0 FCD(Y) = 50 KN

Reemplazar en la ecuación 1

⎛1⎞ ⎜ ⎟ FCD - FCE = - 34,64 (Ecuación 1) ⎝2⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 57,73 - FCE = - 34,64 ⎝2⎠ 28,86 – FCE = - 34,64 – FCE = - 34,64 - 28,86 – FCE = - 63,5 (-1) FCE = 63,5 KN (compresión) NUDO E B

FED

E 5m

FAB

D

T

FED

5m

FBD

FBD

EX

FCE

5m

FBC

FCD

EY

FAB

FCD

FBC

FED

∑FY = 0 EY - FED (Y) = 0

EX

A

C

5m

FED (Y) = EY

PERO:

FAC

FAC

30 kN

FCE

FCE 5m

E EY

20 kN

EY = 10 KN

58

FED (Y) = 10 KN FED (X)

FED(Y ) sen 60 = FED

FED

FED (Y) = FED sen 60

FED (Y)

FED(Y ) 10 = = 11,54 kN sen 60 0,866

FED =

600

T = 80 N

EX

FCE

FED = 11,54 KN (compresión) EX = 69,28 N

EY

EY = 10 KN

FAB = 34,64 kN (tensión)

FAC = 17,32 kN (compresión)

FBC = 34,64 kN (compresión)

FBD = 34,64 KN (tensión)

FCD = 57,73 kN (Tensión)

FCE = 63,5 KN (compresión)

FED = 11,54 KN (compresión)

Problema 4.1 Estática Meriam edición tres Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada B

B

600N

600N 1,25 m

1,25 m

A A

AX

C

AY

B 3m

CY

FBC

CY (3) – 600 (1,25) = 0

3 CY – 750 = 0 3 CY = 750

CY =

3m

600N

FBA

Σ MA = 0

+

C

FBA

A

AX

FCA

AY

FBC FCA

C CY

750 = 250 N 3

CY = 250 N

59

Σ MC = 0 AY (3) – 600 (1,25) = 0

+

Σ FX = 0

3 AY – 750 = 0

600 – AX = 0

3 AY = 750

AY =

600 = AX

750 = 250 N 3

AX = 600 Newton

AY = 250 N B

Nudo B B

600N

FBA

FBC

B

600N

FBC FBC 1,25

FBA

FBA

3,25 3

FBC

FBA

A

AX

FCA

C

FCA

CY

AY 600N

FBC FBA 600 = = 3 3,25 1,25 FBC FBA = = 200 3,25 1,25

Hallar FBC

Hallar FAB

FBC = 200 3,25

FBA = 200 1,25

FBC = 200 (3,25)

FAB = 200 (1,25)

FBC = 650 Newton (compresión)

FAB = 250 Newton (tracción) Nudo C FBC

B C

FCA

FBC

CY = 250 N

CY

1,25

FBC

3,25 3

FBC C Y FCA = = 3 3,25 1,25

600N

FBA

FCA

C

FBA

A

AX

FCA

AY

FBC FCA

C CY

FBC = 650 Newton (compresión)

60

650 C Y FCA = = 3 3,25 1,25

CY = 250 N AX = 600 Newton

Hallar FCA

AY = 250 N

650 FCA = 3 3,25 (650) 3 FCA = 3,25

FAB = 250 Newton (tracción) FBC = 650 Newton (compresión) FCA = 600 Newton (tracción)

FCA = 600 Newton (tracción)

Problema 4.1 Estática Meriam edición cinco; Problema 4.2 Estática Meriam edición tres Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura simple equilátera AY AX A

1,732 m

2m

2m

B

C

CX (2) - 735,75 ( 1,732) = 0

W=mxg ⎛ m ⎞⎟ w = 75 kg ⎜ 9,81 = 735,75 Newton ⎜ 2⎟ seg ⎝ ⎠ W = 735,75 Newton

CX (2) = 1274,31

CX =

735,75 N

CX

Σ MA = 0

+

2m

1274,31 = 637,15 N 2

CX = 637,15 Newton ∑FX = 0

∑FY = 0

CX - AX = 0

AY – 735,75 = 0

CX = AX

AY = 735,75 Newton

AX = 637,15 Newton

61

Nudo B FBA

B

D

1

300

367,87 N

FBC 735,75 N

FBA 367,87 = 2 1

2

FBA

1,732

FBA = 2 X 367,87

735,75 N 1,732 1

367,87 N

2

FBA = 735,75 Newton

FBC

FBC 367,87 = 2 1

Nudo C

FBC FCA C X = = 1 1,732 2

FBC = 2 X 367,87 FBC = 735,75 Newton

FBC = 735,75 Newton (compresión)

735,75 FCA = 2 1 735,75 FCA = 2

CX

FBC

FCA

300

CX

FCA FBC

1,732

C

1

FCA = 367,87 Newton (tensión)

2

Problema 4.3 Estática Meriam edición tres Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada. Explicar por que no hace falta saber las longitudes de los miembros.

A

300

2,4 kN

2,4 kN

B

B

600

A

C

300

600

C

AX AY

CY

62

Nudo B 2,4 kN

2,4 kN

FBA

B

300 2,4 kN

FBA

FBC

FBA (Y)

600

FBA

FBC

FBC (Y)

FBA (X)

FBA(Y ) sen 30 = FBA

FBC

FBA(Y) = FBA sen 30

⎛1⎞ FBA(Y ) = FBA ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛1⎞ FBA(Y ) = ⎜ ⎟ FBA ⎝2⎠

sen 60 =

FBC (X)

Para abreviar los cálculos

sen 30 =

1 2

sen 60 =

FBC(Y ) FBC

FBC(Y) = FBC sen 60

⎛ 3⎞ ⎟ FBC(Y ) = FBC ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBC FBC(Y ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ∑ FX = 0

3 2

cos 60 =

1 2

cos 30 =

cos 30 = cos 60 =

FBC(X ) FBC

FBC(X) = FBC cos 60

⎛1⎞ FBc(x ) = FBC ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛1⎞ FBc(x ) = ⎜ ⎟ FBC ⎝ 2⎠

3 2

FBA(X ) FBA

FBA(X) = FBA cos 30

⎛ 3⎞ ⎟ FBA(x ) = FBA ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎟ FBA FBA(x ) = ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

FBA(X) - FBC(X) = 0

⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA - ⎜⎝ 2 ⎟⎠ FBC = 0 (ECUACIÓN 1) ⎝ ⎠

∑ FY = 0 FBA(Y) + FBC(Y) - 2,4 = 0

Resolver las ecuaciones

( )

⎛ 3⎞ 1 ⎜ ⎟ FBA - ⎛⎜ ⎞⎟ FBC = 0 3 ⎜ 2 ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎟ FBC = 2,4 ⎜ ⎟ FBA + ⎜⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠

⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎟ FBC = 2,4 (ECUACIÓN 2) ⎜ ⎟ FBA + ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ ⎝ ⎠

63

⎛ 3⎞ ⎟ FBC = 0 - ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎟ FBC = 2,4 ⎜ ⎟ FBA + ⎜⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ ⎝ ⎠

⎛3⎞ ⎜ ⎟ FBA ⎝2⎠

⎛3⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ FBA + ⎜ ⎟ FBA = 2,4 ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ 2 FBA = 2,4

FBA =

2,4 = 1,2 kN 2

FBA = 1,2 kN (compresión)

⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ FBA - ⎜⎝ 2 ⎟⎠ FBC = 0 (ECUACIÓN 1) ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 1 ⎜ ⎟ FBA = ⎛⎜ ⎞⎟ FBC ⎜ 2 ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ 3 FBA = FBC FBA = 1,2 kN

3 (1,2 ) = FBC FBC = 2,078 kN (compresión) FBC

Nudo C

cos 60 =

FCA(X ) FCA

FCA (X) = (cos 60) FCA ∑ FX = 0

FBC 0

60

C

600

FCA CY

FCA

FCA (X) CY

600

FCA

FCA (Y)

FCA (X) - FBC = 0 (cos 60) FCA - FBC = 0

64

(cos 60) FCA = FBC

FBC 2,078 = = 1,039 kN cos 60 0,5

FCA =

FBA = 1,039 kN (tracción) Problema 4.3 Estática Meriam edición cinco Determine the force in each member of the truss. Note the presence of any zero-force members.

5 kN

AY Ax

FAB

A

Σ MA = 0

+

3m

FAB

FBC

DX (1) - 5 (3) = 0

1m

DX - 15 = 0

FCA

FBC

FBC

FCA

FCD

DX = 15 KN

Dx

B

FCD

D

FBC C

2m

Σ FX = 0 DX – AX = 0

5 kN

AY

DX = AX Ax

b=3m

A FBC Ө

1m

δ = 26,560

B β

c= 5

FBC

a=2 2 D

Dx

2m

C

PERO: DX = 15 KN AX = 15 KN Σ FY = 0 AY – 5 = 0

65

ley de cosenos

AY = 5 KN

a2 = b2 + c2 – 2 b c sen δ   

2 tg θ = 1

a 2 = (3)2 +

Ө = arc tg (2) Ө = 63,430

( 5 )2 - 2 (3) ( 5 )sen 26,56  

a2 = 9 + 5- 6

Ө + δ = 900

( 5 )(0,4471)  

 

0

δ = 90 - Ө

a 2 = 14 - 2,68

δ = 900 – 63,43   δ = 26,560

 

( 5)  

a 2 = 14 - 6         a 2 = 8  

a= 8 =2 2

FAB

NUDO B

FBC(X)

5 kN

FBC FAB

B

5 kN

β = 450

FBC(Y)

FBC

FBC

ley de cosenos c2 = a2 + b2 – 2 a b sen β   

( 5 )2 = (2 2 )2 + (3)2 - 2 (2 2 )(3) sen β   5 = 8 + 9 - 12 ( 2 ) sen β  

β = arc tg 0,7071 β = 450 cos β = cos 45 = 0,7071 sen β = sen 45 = 0,7071

 

5 = 8 + 9 - 16,97 sen β  

 

5 = 17 - 16,97 sen β         

16,97 sen β = 17 - 5 = 12   12 sen β = = 0,7071 16,97

FBC(X) = FBC cos 45 Pero:

FBC = 7,071 KN FBC(X) = FBC cos 45

66

FBC(X) = FBC cos 45

FBC(X ) cos 45 = FBC FBC(X) = FBC cos 45

Pero:

FBC = 7,071 KN FBC(X) = FBC cos 45

Σ FY = 0 FBC(Y) – 5 = 0

FBC(X) = (7,071) (0,7071)

FBC(Y) = 5 kN

FBC(X) = 5 kN

FBC(Y ) 5 = = 7,071 kN sen 45 0,7071 FBC = 7,071 KN

Σ FX = 0 FBC(X) – FAB = 0

FBC =

FAB = FBC(X) FAB = 5 kN

NUDO C 5 kN

FCA FCD

AY

FBC C

Ax

3m

FAB

A FBC

1m

FCA(X ) cos 26,56 = FCA FCA(X) = FCA cos 26,56

FAB β = 450

FCA

FBC

FBC

FCA

FCD Dx

B

FCD

D

FBC C

2m

FCA(X) = 0,8944 FCA

FBC(X) Σ FY = 0 FCA(Y) – FBC(Y) = 0 FCA(Y) = FBC(Y)

FBC(Y)

FBC β = 450

FCD 0

Pero: FBC (Y) = 5 kN

δ = 26,56

FCA

FCA(Y) = 5 kN

sen 26,56 = FCA =

FCA(Y ) FCA

FCA(Y)

FCA(X)

FCA(Y ) 5 = = 11,18 kN sen 26,56 0,4471 67

FCA = 11,18 kN (tensión) Σ FX = 0 - FBC(X) + FCD – FCA(X) = 0

Reemplazando la ecuación 1 FCD – 0,8944 FCA = 5 (Ecuación 1)

Pero: FBC(X) = 5 kN

Pero: FCA = 11,18 kN

- 5 + FCD – FCA(X) = 0

FCD – 0,8944 (11,18) = 5

FCD – FCA(X) = 5

FCD – 10 = 5

FCA(X) = 0,8944 FCA

FCD = 5 + 10 = 15 kN

FCD – 0,8944 FCA = 5 (Ecuación 1)

FCD = 15 Kn (compresión)

5 kN

AY

NUDO D Ax

FAB

A

Σ FX = 0 DX - FCD = 0 DX = FCD

3m

FBC 1m

Σ Fy = 0

FBC

FBC

FCA

FCD Dx

B

β = 450

FCA

Pero:

FCD = 15 Kn

FAB

FCD

D

FBC C

2m

FBC = 0

68

Problema 4.4 Estática Meriam edición tres; Problema 4.6 Estática Meriam edición cinco; Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada E

3m

FED

FAE

D FED

2 kN

FBD

FEB

FCD FCD

FEB

Σ MC = 0

FAE

- AY (6) + 2 (3) = 0

+

A

6 AY = 2 (3) AY = 1 kN

FAB

AY

FAB

FBC

C FBC

6m

CX CY

Σ FX = 0

Σ MA = 0

CX – 2 = 0

2 (3) - CY (6) = 0

+

FBD

B

CX = 2 kN

2 (3) = CY (6) CY = 1 kN Nudo A FAE

4,24 FAE

A

3

CY

3

FAB

AY

FAB

C Y FAB FAE = = 4,24 3 3

Se halla FAB

CY = 1 kN

1 FAB = 3 3

1 FAB FAE = = 4,24 3 3

FAB = 1 kN (tension)

Se halla FAE

1 FAE = 3 4,24

FAE =

4,24 = 1,41kN 3

FAE = 1,413 Kn (compresión)

69

Nudo E E

4,24 FED

FAE

3

FEB

3

FAE

FED

FEB

FEB FED FAE = = 4,24 3 3 FAE = 1,413 kN

FEB FED 1,413 = = 3 3 4,24

Se halla FEB

Se halla FED

FEB = 0,3332 3

FED = 0,3332 3

FEB = 3 (0,3332) = 1 kN (tensión)

FED = 3 (0,3332) = 1 kN (compresión)

FEB FED = = 0,3332 3 3 Nudo B FEB

FBC

FBD 4,24

B FAB

FBD FBC

α 3

3 FBD (Y)

FEB = 1 kn

α

FBD α FAB = 1 kN

FBD (X)

3 tg α = = 1 3

α = arc tg (1) α = 450

∑FY = 0 FEB - FBD(Y) = 0

FBD(Y ) sen α = FBD FBD(Y ) sen 45 = FBD

1 = FBD(Y)

FBD (sen 45) = FBD(Y)

1 = FBD (sen 45)

FBD(X ) cos α = FBD FBD(X ) cos 45 = FBD

FBD =

FEB = FBD(Y) FEB = 3 (0,3332) = 1 kN

1 1 = = 1,414 kN sen 45 0,7071

FBD = 1,414 kN

70

FBD (X) = FBD (cos 45)

∑FX = 0

FBD = 1,414 kN

FBC - FBD (X) – FAB = 0

FBD (X) = 1,414 (cos 45)

FBC = FBD (X) + FAB

Pero: FAB = 1 kN Pero: FBD (X) = 1 kN

FBC = 1 + 1 FBD (X) = 1,414 (0,7071)

FBC = 2 kN

FBD (X) = 1 kN Nudo C FCD CX FCD

C

FCD - CY = 0

CX - FBC = 0

CX

FBC CY

∑FY = 0

∑FX = 0

CY FBC

FCD = CY

CX = FBC

CY = 1 kN

FBC = 2 kN (tracción)

FCD = CY = 1 kN (tracción)

CX = FBC = 2 kN Problema 4.4 Estática Meriam edición cinco Calculate the forces in members BE and BD of the loaded truss.

8 pulg.

8 pulg.

B

FBC

FBC

Cx

FEB

FEB FAB

A Σ MC = 0

+

FAE

FAE

2

C

FBD

FAB

E

FED

2

CY

8 pulg.

FBD FED

D

Dx

DY 1000 lb

1000 (8 + 8) - DX (8) = 0

1000 (16) - 8 DX = 0 16000 - 8 DX = 0

71

8 DX = 16000

DX =

16000 = 2000 lb. 8

∑ FX = 0 CX - DX = 0

DX = 2000 lb. C

C

2

2

CY

CX = DX CY

PERO: DX = 2000 lb.

2

2

CX = 2000 lb.

Cx

Cx

Las ecuaciones de equilibrio para la fuerza C son:

CY CX = 2 2 Cancelando términos semejantes CY = CX PERO: CX = 2000 lb. CY = 2000 lb. 8 pulg.

NUDO A

8 pulg.

B

2

CY 2

C Cx

FAB

FAB FAB

A

FAE

8 2

8

8 pulg. 1000 lb FAB

8 1000 lb

A

FAE

FAE

E

FAE

Las ecuaciones de equilibrio son:

FAB 1000 FAE = = 8 8 8 2 Cancelando términos semejantes

FAB = 1000 = FAE 2

D

Dx

DY 1000 lb

Hallar FAE

1000 = FAE FAE = 1000 lb. (Compresión)

72

Hallar FAB

FAB = 1000 2

FAB = 1000

( 2)

FAB = 1414,21libras (tensión) 8 pulg.

NUDO E

8 pulg.

B

FBC

2

CY

FBC

2

C

FEB

Cx

FBD

FAB FEB FED FAE

8 pulg.

FEB

FBD

FAB

E

Σ FY = 0 FEB = 0

A

FAE

FAE

FED

FED

E

Dx

D DY

1000 lb

∑ FX = 0 FAE - FED = 0 FAE = FED

FBD(X)

PERO: FAE = 1000 lb. FBD(Y)

FED = 1000 lb. (Compresión) NUDO B

B

8

FAB(X)

8 2

8 2 FBD

8

FAB 8

8

FAB(Y) FBC

FBC FBC

FAB

FBD FBD FEB

=0

Las ecuaciones de equilibrio para la junta B son:

FAB FAB(Y ) FAB(X ) = = 8 8 8 2

FAB

Hallar FAB(X)

FAB = FAB(X ) 2 1414,2 2

= FAB(X )

FAB(X) = 1000 lb.

Cancelando términos semejantes

FAB = FAB(Y ) = FAB(X ) 2 73

PERO: FAB = 1414,21libras Hallar FAB(Y)

FAB = FAB(Y ) 2 1414,2 2

= FAB(Y )

FAB(Y) = 1000 lb. Σ FY = 0 FBD (Y) – FAB (Y) = 0

∑ FX = 0 FBC - FBD(X) - FAB(X) = 0 PERO: FAB(X) = 1000 lb. FBC - FBD(X) = FAB(X) FBC - FBD(X) = 1000 ECUACION 1

FBD (Y) = FAB (Y)

Pero: FAB (Y) = 1000 lb. FBD (Y) = 1000 lb. Las ecuaciones de equilibrio para la junta B son:

FBD FBD(Y ) FBD(X ) = = 8 8 8 2 Cancelando términos semejantes

FBD = FBD(Y ) = FBD(X ) 2 Pero: FBD (Y) = 1000 lb. FBD(Y ) = FBD(X ) FBD (X) = 1000 lb.

FBD = FBD(Y ) 2 Pero: FBD (Y) = 1000 lb.

( 2 ) FBD(Y ) FBD = ( 2 )1000

FBD =

Hallar FBC FBC - FBD(X) = 1000 ECUACION 1 PERO: FBD (X) = 1000 lb. FBC - 1000 = 1000 FBC = 1000 + 1000 FBC = 2000 lb. (tracción) DX = 2000 lb. FAB = 1414,21libras (tensión) FAE = 1000 lb. (Compresión) FED = 1000 lb. (Compresión) FEB = 0 FBC = 2000 lb. (tracción)

FBD = 1414,2 libras (compresión)

74

Problema 4.5 Estática Meriam edición tres; Hallar la fuerza en cada miembro de la armadura cargada. Influye la carga de 6 kN en los resultados. 3 4

A

10 kN

B

4m

BX = 6 kN

6 kN

C

4m

3 5 Ө 10 kN

4 BY =8 kN Ө

4m

D

4m

E

BX = 6 kN

AY

10 kN

A

BY =8 kN

B

4m

AX

FAB FAE 4m F AE

+

C

FCB

FCD

CY

FBE

E

BX = 6 KN FED

Hallar BY

D

4m

BY =2 4

- 8 (4) + CY (8) - 6 (8) = 0

ΣFX = 0

- 4 + CY - 6 = 0

BX - AX = 0 = 6 KN

CY = 10 KN

BX = 3 (2) = 6 KN

FCD

- BY (4) + CY (4 + 4) - 6 (4 + 4) = 0

CY - 10 = 0

Hallar BX

BX =2 3

FCB

FBD

FED

Σ MA = 0

6 kN 4m

FAB FBE

B X 10 B Y = = 5 4 3

BY = 4 (2) = 6 KN PERO: BX

BY = 8 KN

BX = AX AX = 6 KN

75

Σ MC = 0

+

- AY (4 + 4) + BY (4) = 0

PERO: BY = 8 KN

- AY (8) + 8 (4) = 0 - AY + 4 = 0 AY = 4 kN

AY

NUDO A

sen θ =

FAE(Y ) FAE

sen θ =

2 3 3 = 4 2

FAE(Y) = sen Ө FAE

Ө

AX

AY

2 4

2m

A

FAE(X)

FAB FAE

A

2 3 FAE(Y)

AX

FAB

1 FAE(X ) = FAE 2

B

FAB FBE

4m F AE

FAE

FAE

E

3 FAE(Y ) = FAE 2 FAE(X ) cos θ = FAE 2 1 cos θ = = 4 2 FAE(X) = cos Ө FAE

2m

ΣFX = 0 FAE(X) – AX + FAB = 0 PERO: AX = 6 KN

FAE(Y) = sen Ө FAE

FAE(Y ) =

3 FAE 2

2

FAE(Y )

ΣFY = 0 AY – FAE (Y) = 0

FAE(X) + FAB = AX

FAE =

FAE(X) + FAB = 6

PERO: AY = 4 kN

1 FAE + FAB = 6 (ECUACION 1) 2

PERO: FAE (Y) = 4 Kn

FAE (Y) = AY

FAE =

3

2 3

(4) = 4,618

kN

FAE = 4,618 KN (tensión)

FAE (Y) = 4 kN

1 FAE + FAB = 6 (ECUACION 1) 2 PERO: FAE = 4,618 KN

76

1 FAE 2 1 FAB = 6 - (4,618) = 6 - 2,309 = 3,691 kN 2 FAB = 3,691 KN (tensión) FAB = 6 -

BX = 6 kN

NUDO C AY 6 kN

A

FCB FCD

B

4m

AX

C

BY =8 kN

10 kN

FAB FAE

FAB

FCB FBD

FBE

4m F AE

FCD

FED 4m

E

FCB CY

FBD

FBE FED

PERO: CY = 10 kN

C

4m

CY

ΣFY = 0 CY – 6 - FCD (Y) = 0

6 kN

FCD

D

10 – 6 - FCD (Y) = 0

FCD(Y ) FCD FCD (Y) = FCD sen 60 FCD(Y ) 4 FCD = = = 4,618 kN sen 60 0,866 sen 60 =

4 - FCD (Y) = 0 FCD (Y) = 4 KN

6 kN

FCB

ΣFX = 0

FCB - FCD(X) = 0

600

FCD (Y)

FCB = FCD(X) FCB = 2,309 kN (compresión)

FCD FCD (X)

FCD = 4,618 KN (tensión) CY = 10 KN

cos 60 =

FCD(x ) FCD

FCD (X) = FCD cos 60 PERO: FCD = 4,618 KN (tensión) FCD (X) = 4,618 (0,5) = 2,309 kN

77

NUDO B ΣFX = 0

6 - FAB - FCB + FBE(X) – FBD(X) = 0 PERO: FAB = 3,691 KN FCB = 2,309 kN

BX = 6 kN

B

6 - 3,691 - 2,309 + FBE(X) – FBD(X) = 0

BY = 8 kN

FAB

FBE(X) – FBD(X) = 0

FBE cos 60 - FBD cos 60 = 0

BX = 6 kN

BY =8 kN

10 kN

FAB

FCB

600

600

FBD

FBE

FCB

FBE (Y)

FBE

FBD FBD (Y)

0,5 FBE – 0,5 FBD = 0 (ECUACION 1) FBE (X)

FBE(Y ) sen 60 = FBE FBE(Y) = FBE sen 60

ΣFY = 0 FBE (Y) + FBD (Y) - 8 = 0 FBE (Y) + FBD (Y) = 8

FBE sen 60 + FBD sen 60 = 8

FBD(Y ) FBD FBD(Y) = FBD sen 60 sen 60 =

FBE(x ) FBE FBE(X) = FBE cos 60 cos 60 =

0,866 FBE + 0,866 FBD = 8 (ECUACION 2)

FBD (X)

FBD(x ) FBD FBD(X) = FBD cos 60 cos 60 =

Resolver las ecuaciones 1 y 2

0,5 FBE – 0,5 FBD = 0 (0,866) 0,866 FBE + 0,866 FBD = 8 (0,5)

BX = 6 kN

0,433 FBE – 0,433 FBD = 0 0,433 FBE + 0,433 FBD = 4 0,866 FBE = 4 4 FBE = 4,618 KN 0,866 FBE = 4,618 kN (compresion) NUDO E

AY

10 kN

A AX

E

FAB FAE

FAB

C

4m

FBD

FCB FCD

CY

FBD

FBE FED

E

6 kN

FCB

FBE

4m F AE

FED

B

4m

FBE

FAE

BY =8 kN

FED 4m

FCD

D

78

FED

FAE

FAE (Y)

600

FAE (X)

FAE(Y ) FAE FAE(Y) = FAE sen 60

FBE(Y ) FBE FBE(Y) = FBE sen 60

FAE(x ) FAE FAE(X) = FAE cos 60

FBE(x ) FBE FBE(X) = FBE cos 60

sen 60 =

FBE

FBE (Y)

600

FBE (X)

ΣFX = 0

cos 60 =

sen 60 =

cos 60 =

FED - FAE (X) – FBE (X) = 0 FED - FAE cos 60 – FBE cos 60 = 0 PERO: FBE = 4,618 kN FAE = 4,618 KN FED = FAE cos 60 + FBE cos 60 FED = 4,618 (0,5) + 4,618 (0,5) FED = 2,309 + 2,309 = 4,618 KN (Tension) FED = 4,618 KN (Tension)

CY = 10 KN AY = 4 kN AX = 6 KN FAE = 4,618 KN (tensión) FAB = 3,691 KN (tensión) FCD = 4,618 KN (tensión)

FCB = 2,309 kN (compresion) FBE = 4,618 kN (compresion) FED = 4,618 KN (Tension)

Problema 4.7 Estática Meriam edición tres; Problema 4.12 Estática Meriam edición cinco Calcular las fuerzas en los miembros CG y CF de la armadura representada

Σ ME = 0

+

4 (2 + 2 + 2) + 2 (2 + 2) – DX (3) = 0

4 (6) + 2 (4) – DX (3) = 0

Σ FX = 0 DX – EX = 0 EX = DX EX =10,666 KN

24 + 8 – 3 DX = 0

79

32 – 3 DX = 0 3 DX = 32

DX =

32 = 10,666 KN 3

NUDO A FAB

A

A

FAB

FAG

2 KN 2m

2m

DX = 10,666 KN

FAG

B FBC FBC C FCD FBG

FAG

6 6,7

FAB

FAB

3

FAG

4 KN

4 KN

4 KN

FGF

Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son:

FAB FAG 4 = = 6 6,7 3

FGC

FGF

FCD D Dx

FCF FCF

FGC G

DY

2m

3m

F

Hallar FAB

CY

FAB FAG 4 = = 6 6,7 3 FAG 4 = 6,7 3 (6,7 ) 4 = 8,94 KN FAG = 3

FAB 4 = 3 6 ( 4) 6 FAB = = 8 KN 3 FAB = 8 KN (tensión)

Ex

E

Hallar FAG

FAG = 8,94 KN (compresion)

NUDO B 2 KN

FAB

B

2 KN 2m

2m

FBC A

FAB

FAB

B FBC FBC C

FBG

DY D Dx

FBG

FAG 4 KN

2m

FAG

3m

G F

∑ FX = 0 FBC - FAB = 0 FBC = FAB PERO: FAB = 8 KN (tensión)

∑ FY = 0

E

FBG - 2 = 0

CY

Ex

FBG = 2 KN (compresión)

FBC = 8 KN (tensión)

80

NUDO G 2 KN 2m

2m

FBG FGC A

FAG

FAB

FAB

B FBC FBC C

4 KN

FGF

FAG

FGF

3 tg θ = = 0,5 6

Ө = 26,56

FAG(X)

0

FAG(Y)

FGF(Y ) sen 26,56 = FGF FGF(Y) = FGF sen 26,56

sen 26,56 =

FGC(Y ) FGC

FGC

FAG

F E

FGC(Y)

Ex

CY

0

26.560

26.56 26.560

FGF FBG

FGF(Y)

FGF(X)

FGC(Y) = FGC sen 26,56

sen 26,56 =

FGF

3m

FGC(X)

Ө = arc tg (0,5)

D

FGC

FGC G

DY Dx

FBG

FAG G

2m

FAG(Y ) FAG

FAG(Y) = FAG sen 26,56 ∑ FX = 0

FGF(X ) FGF = FGF cos 26,56

cos 26,56 = FGF (X)

FGC(X ) FGC = FGC cos 26,56

cos 26,56 = FGC (X)

FGC (X) + FAG (X) - FGF (X) = 0 PERO: FGC (X) = FGC cos 26,56 FGF (X) = FGF cos 26,56

FAG(X ) FAG = FAG cos 26,56

cos 26,56 = FAG (X)

FAG (X) = FAG cos 26,56 FAG = 8,94 KN (compresion) FAG (X) = FAG cos 26,56 FAG (X) = (8,94) cos 26,56 FGC (X) + FAG (X) - FGF (X) = 0 FGC cos 26,56 + (8,94) cos 26,56 - FGF cos 26,56 = 0

81

FGC + 8,94 - FGF = 0 FGC - FGF = - 8,94 (Ecuación 1) Resolver las ecuaciones

∑ FY = 0

FGC - FGF = - 8,94 (-0,4471) 0,4471 FGC + 0,4471 FGF = 6

FGC (Y) + FGF (Y) - FAG (Y) - FBG = 0

-0,4471 FGC + 0,4471 FGF = 4 0,4471 FGC + 0,4471 FGF = 6

PERO: FGC(Y) = FGC sen 26,56 FGF(Y) = FGF sen 26,56 FBG = 2 KN (compresión)

0,4471 FGF + 0,4471 FGF = 4 + 6

FAG(Y) = FAG sen 26,56 FAG = 8,94 KN (compresion) FAG (Y) = (8,94) sen 26,56 FAG (Y) = (8,94) (0,4471) FAG (Y) = 4 KN

0,8942 FGF = 10

FGF =

10 = 11,18 KN 0,8942

FGF = 11,18 KN (compresion)

FGC (Y) + FGF (Y) FGC (Y) + FGF (Y) FGC (Y) + FGF (Y) FGC (Y) + FGF (Y)

Reemplazar la ecuación 1 FGC - FGF = - 8,94 (Ecuación 1)

0,4471 FGC + 0,4471 FGF = 6 (Ecuación 2)

Pero: FGF = 11,18 KN FGC – 11,18 = - 8,94 FGC = 11,18 - 8,94 FGC(Y)

26.560

FGC FGC(X)

NUDO C FBC

FCD

FBC

FGC = 2,24 KN (tensión)

C

FCD

FCF PERO: FBC = 8 KN FGC = 2,24 KN

FGC(X ) FGC = FGC cos 26,56 = (2,24) cos 26,56

FCF 2 KN 2m

2m

A

FGC

- FAG (Y) - FBG = 0 -4 -2=0 -6=0 =6

FAB

FAB

B FBC FBC C FCD FBG

FAG 4 KN

2m

FAG

FGC

G

FGF

FGF

FCD D Dx

FCF FCF

FGC

DY

3m

F

cos 26,56 =

E

FGC (X) FGC (X)

CY

Ex

82

FGC (X) = (2,24) 0,8944 FGC (X) = 2 KN ∑ FX = 0 FCD - FBC - FGC (X) = 0 PERO: FBC = 8 KN FGC (X) = 2 KN FCD - FBC - FGC (X) = 0 FCD - 8 - 2 = 0 FCD - 10 = 0 FCD = 10 kN (tensión)

sen 26,56 = FGC (Y) FGC (Y) FGC (Y) FGC (Y)

FGC(Y ) FGC

= FGC sen 26,56 = (2,24) sen 26,56 = (2,24) 0,4471 = 1 KN

∑ FY = 0 FCF - FGC (Y) = 0 FCF = FGC (Y) PERO: FGC (Y) = 1 KN FCF = 1 KN (compresión)

83