Procesamiento Digital de Señales

Octubre 2012

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES Transformada Z

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(Parte II)

Métodos de Antitransformación Hay tres métodos de antitransformación, o “Transformación Z Inversa” para obtener la función f(kT) a partir de F(z), basados en: a) el desarrollo de una serie infinita de potencias, b) el desarrollo de fracciones parciales, y c) la integral curvilínea. a) Obtención de la Transfotmada Z inversa desarrollando F(z) en una serie infinita de potencias. f(0) = 0 Si se desarrolla F(z) en una serie de potencias convergente , es decir: f(T) = 10 f (kT ). z k f (0) f (T ). z 1 f (2T ). z 2 .... f(2T) = 30 i 0 se pueden determinar los valores de f(kT) por simple inspección. f(3T) = 70 Si F(z) tiene la forma de una función racional, se puede lograr el desarrollo f(4T) = 150 en una serie infinita de potencias, simplemente dividiendo el numerador en el denominador. Si la serie resultante es convergente, los coeficientes de z -k en la serie son los valores de f(kT) de la secuencia temporal. Nota: Para obtener los coeficientes de la división se debe escribir tanto el numerador como el denominador, en orden creciente de la variable z-k. Desventajas del método: Aunque este método da los valores de f(0), f(T), f(2T), ... etc., en forma secuencial, habitualmente es difícil obtener a partir de estos coeficientes la expresión del término general de la sucesión. Ejemplo 1: Hallar f(kT) para k=1, 2, 3, 4, , cuando F(z) está dado por F ( z)

10 z ( z 1)( z

10 z 1 1 3z 1 2 z

2)

2

Efectuando la división: 10z-1

1-3z-1+2z-2

-10 z-1+30 z-2-20 z-3 10 z-1+30 z-2+70 z-3 +150 z-4 -2 -3 -4 -30 z +90 z -60 z 70z-3 - 60 z-4 -70z-3+210z-4- 140 z-5 150z-4- 140 z-5 -150z-4+ 450 z-5- 300 z-6 310z-5- 300 z-6

1

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Ejemplo 2: Hallar f(kT) para k=1, 2, 3, 4, , cuando F(z) está dado por 7 z 2 19 z ( z 2 5 z 6)

F ( z)

7 19 z 1 1 5z 1 6 z

2

Efectuando la división: F(z) = 7 + 16 z-1 + 38 z-2+94 z-3 +242 z-4+ ... f(kT) = 7δ(k) +16 δ(k-1) + 38 δ(k-2)+94 δ(k-3)+242 δ(k-4) Esta serie infinita no converge. Por simple inspección se obtiene: f(0) = 7 ; f(T) = 16 ; f(2T) = 38 ; f(3T) = 94 ; f(4T) = 242 b) Método de obtención de la Transformada Z inversa desarrollando F(z) en fracciones parciales F ( z) en z fracciones parciales y la identificación de cada uno de los términos en la tabla de transformadas. b z m b z m 1 b z m 2 ... bm 1z bm ; con m ≤ n F ( z) 0 n 1 n 1 2 n 2 a0 z a1z a2 z ... an 1z an Primero se debe descomponer el denominador de F(z) encontrando las raíces o “polos”. F ( z) Luego se desarrolla en fracciones parciales de manera de poder reconocer cada z término en una tabla de transformadas Z. La transformada Z inversa de F(z) es la suma de todas las transformadas Z inversas de las fracciones parciales.

Este método se basa en obtener el desarrollo en fracciones parciales de

Ejemplo 1: Hallar la f(kT) si F(z) está dada por: F ( z )

10 z ( z 1)( z 2)

F ( z) en fracciones parciales: z F ( z) 10 10 z 10 z z ( z 1)( z 2) z 1 z 2 De la Tabla de Transformadas (se muestra más adelante) se obtiene:

Primero se desarrolla

Z

z

1

z 1

1 ; Z

1

z z 2

2k ,

por lo tanto: f(kT) = 10 (-1 + 2k) , con k = 0, 1, 2, 3, ...

O bien:

f(0) = 0 ; f(T) = 10 ; f(2T) = 30 ; f(3T) = 70 ; f(4T) = 150

Estos resultados coinciden con los obtenidos por el método de la división de polinomios.

2

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c) Método de obtención de la Transformada Z inversa por la Integral curvilínea Este método se utiliza aplicando la integral curvilínea sobre el círculo unitario (en el plano z-1) en el sentido antihorario, a ambos miembros de la ecuación (α): F ( z 1)

f (kT ) z

k

f (0)

f (T ) z

1

f (2T ) z

2

...

f (kT ) z

k

(α)

...

k 0

Multiplicando ambos miembros de (α) por z k-1, esto es:

F ( z 1 ) z k 1dz

f (0)z k 1dz

f (T ) z k 2dz

f (2T ) z k 3dz ...

f (kT) z 1dz ...

Por el Teorema de Cauchy, todos los términos del segundo miembro de la ecuación son iguales a cero, excepto el término f (kT) z 1dz , por lo tanto:

F ( z 1 ) z k 1dz f (kT )

f (kT) z 1dz , de donde obtenemos:

1 F ( z 1 ) z k 1dz Esta ecuación se puede calcular como: 2 j

f (kT)

Residuos de F ( z) z k 1en los polos de F ( z)

Ejemplo: 10 z ( z 1)( z 2)

Obtener f(kT) utilizando el método de la integral curvilínea, siendo: F ( z ) Resolución: 1 10 z f (kT ) z k 1dz 2 j ( z 1)(z 2)

Res

(*)

10 z k ( z 1)

Res z 1

10 z k ( z 2)

1 2 j

10 z k ( z 1)

10 10.2k

10 z k dz = ( z 2) (*)

; con k = 0, 1, 2, 3, ...

z 2

Para el caso de un polo simple se tenía: Res f ( z ) z

a

Res

p( z ) q( z )

z a

p(a) q' (a)

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EXPANSIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

P( s ) Q( s )

H ( s)

Sea

an s n ..... a1s ao , con n