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Cálculo multivariado

REPASO DE SECCIONES CONICAS

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Cálculo multivariado

SUPERFICIES CUADRICAS Y SUS TRAZAS

Elipsoide Ecuación canónica:

x2 y2 z2   1 a 2 b 2 c2

Secciones paralelas al plano xy: Elipses; Secciones paralelas al plano xz: Elipses; Secciones paralelas al plano yz: elipses.

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Hiperboloide de una hoja x2 y2 z2 Ecuación canónica: 2  2  2  1 a b c Secciones paralelas al plano xy: Elipses; Secciones paralelas al plano xz: Hipérbolas Secciones paralelas al plano yz: Hipérbolas.

Hiperboloide de dos hojas.

Ecuación canónica:

x2 y2 z 2    1 a2 b2 c2

Secciones paralelas al plano xy: Elipses; Secciones paralelas al plano xz: Hipérbolas Secciones paralelas al plano yz: Hipérbolas

Cono elíptico. Ecuación canónica:

x2 y2 z 2   0 a2 b2 c2

Secciones paralelas al plano xy: Elipses; Secciones paralelas al plano xz: Hipérbolas Secciones paralelas al plano yz: Hipérbolas

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Paraboloide elíptico Ecuación canónica:

x2 y2 z   a2 b2 c

Secciones paralelas al plano xy: Elipses; Secciones paralelas al plano xz: Parábolas Secciones paralelas al plano yz: Parábolas

Paraboloide Hiperbólico x2 y2 z Ecuación canónica: 2  2  c a b Secciones paralelas al plano xy: Hipérbolas; Secciones paralelas al plano xz: Parábolas Secciones paralelas al plano yz: Parábolas

CILINDROS Un cilindro es la superficie formada por todas las rectas paralelas a una recta dada y que cortan a una curva dada C Ejemplo:

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Ecuación de un cilindro Una ecuación en la que intervengan solo dos de las tres variables x, y, y z representa en el espacio un cilindro cuyas generatrices son paralelas al eje correspondiente a la variable que falta.

EJERCICIO 1. Encuentre las trazas de la superficie dada en los planos x= k, y= k, z = k. Luego identifique la superficie y dibújela.

1. x 2  y 2  z 2  1 4. 2x 2  z 2  4 7. z  y 2

2. x  y 2  z 2 5. 4z 2  x 2  y 2  1 8. 25y 2  z 2  100  4 x 2

3. 4 x 2  9 y 2  36z 2  36 6. z  x 2  y 2 9. y 2  x 2  z 2

FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN EL ESPACIO. Funciones vectoriales de una variable. Una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo recorrido es un subconjunto del espacio n-dimensional Vn se denomina función vectorial de una variable real.

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Cálculo multivariado Definición de curva en el espacio. Una curva C en el espacio es el con junto de puntos (f(t), g(t), h(t)) que verifican las ecuaciones paramétricas x= f(t), y = g(t), z = h(t) siendo f, g, h funciones continuas de t en un intervalo I. Ejemplo. Representar la curva C dada por x  sen 2t, y  3 cos t, z  t. Solución: A fin de eliminar el parámetro entre las dos primeras

x  sen t , y 2

y x2 y2  cos t , y tras elevar al cuadrado y sumar, obtenemos:   1 por 3 4 9

consiguiente, la curva en el cilindro elíptico

C yace enteramente de ecuación

x2 y2  1 4 9

LIMITE

r( t )  f ( t ), g( t ), h(t) , entonces

Si

lim r(t)  lim f(t), lim g(t), lim h(t) siempre que los t a

ta

ecuaciones, escribimos:

t a

t a

límites de las funciones componentes existan.

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DERIVADA El vector r( t ) se llama vector tangente a la curva definida por r en el punto P siempre que

r( t ) exista y r ( t )  0

dr r(t  h) - r(t)  r  (t)  lim Por tanto r ( t )  f ( t ), g (t), h (t)  f  (t)i  g  (t) j  h (t) k h 0 dt h r ( t ) vector unitario T ( t )  r ( t )

VECTORES VELOCIDAD Y ACELERACIÓN Si el vector R( t )  x( t )i  y( t ) j  z( t )k representa la posición de un objeto en el instante t,

V ( t )  R( t )  x ( t )i  y  ( t ) j  z ( t )k A( t )  R( t )  x ( t )i  y  ( t ) j  z ( t )k representan la velocidad y

entonces

los

vectores

y aceleración,

respectivamente en dicho instante t EJEMPLO 3 Un objeto se mueve a lo largo de una curva C de ecuaciones paramétricas x= t, y =t y z= 3t. Hallar los vectores velocidad y aceleración, así como el módulo de la velocidad del objeto en t =1. Representar la curva, señalando los vectores velocidad y aceleración. 3

Solución: puesto que el vector de posición correspondiente a la curva es R( t )  ti  t j  3tk

V ( t )  i  3t 2 j  3k tendremos A( t )  6tj 4

V(t)  10  9t Así pues, en t= 1 será V  i  3 j  3k y A  6 j ; y la velocidad será

ds  V ( 1 )  19 dt

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Bibliografía:    

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APOSTOL, Tom M. Análisis Matemático (Mathematical Analysis), trad., ed. Reverté S. A. 1976. APOSTOL, Tom M. Cálculus Volumen 1 y 2(Calculus), trad., ed. Reverté S.A. 1984. BARTLE, Robert G. Introducción al Análisis Matemático (The Elements of Real Analysis), trad.,ed. Limusa S.A. 1982. BARTLE et al. Introducción al Análisis Matemático de una Variable (Introduction to Real Analysis), trad., ed. Limusa S.A. 2009. SPIVAK, Michael. Cálculo Infinitesimal (Calculus), trad., ed. Reverté S.A. 1992