Profesor: Rafa González Jiménez

Instituto “Santa Eulalia”

TEMA 5: DERIVADAS. APLICACIONES.

ÍNDICE 5.1.- Derivada de una función en un punto. 5.1.1.- Tasa de variación media. Interpretación geométrica. 5.1.2.- Tasa de variación instantánea. Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica. Derivadas laterales. o Ecuación de la recta tangente. 5.1.3.- Función derivada. o Derivabilidad y continuidad. o Derivadas de orden superior. o Reglas de derivación. o Derivada de algunas funciones elementales. o Tabla de derivadas. 5.2.- Aplicaciones de la derivada. 5.2.1.- Máximos y Mínimos. 5.2.2.- Monotonía: Crecimiento y decrecimiento. 5.2.3.- El criterio de la derivada segunda. 5.2.4.- Problemas de optimización. 5.2.5.- Aplicaciones en la economía. o Coste, ingreso y beneficio marginal. o Punto de equilibrio. o Máximo beneficio. 5.2.6.- Regla de L´Hôpital.

5.1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. 5.1.1.- TASA DE VARIACIÓN MEDIA. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. La pendiente de una recta es un número que mide la inclinación de la recta con respecto al eje OX. Como paso previo a la determinación de este valor existe el concepto de Tasa de variación media de una función f(x) en un determinado intervalo [a,b]. Llamaremos tasa de variación media de la función f(x) entre a y b (a < b), y lo representaremos por TVM[a , b], al cociente entre la variación de f(x) y x en el intervalo [a , b], es decir: TVM [a, b] :=

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f (b) − f (a ) b− a Tema 4, 1

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5.1.2.- TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. DERIVADAS LATERALES. Llamaremos derivada de la función f(x) en el punto de abcisa x = a, que denotaremos por f ´(a), al siguiente límite, si existe: f ´(a) := lim x→ a

f ( x) − f (a ) x− a

De existir se dirá que f(x) es derivable en x = a. Otra formulación análoga del límite anterior es el siguiente: f ´(a) := lim h→ 0

f ( a + h) − f ( a ) h

Interpretación geométrica: La derivada de la función f(x) en el punto de abcisa x = a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a , f(a)). CONSECUENCIA: Ecuación de la recta tangente. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto (a , f(a)) es: y − f (a ) = f ´(a ) ⋅ ( x − a ) A partir del concepto de límites laterales aparece un nuevo concepto: las derivadas laterales. Se define la derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto de abcisa a como: f ( a + h) − f ( a ) f − ´(a ) := limh→ 0 h Se define la derivada por la derecha de la función f(x) en el punto de abcisa a como:

f + ´(a) := lim+ h→ 0

f ( a + h) − f ( a ) h

PROPOSICIÓN: Una función f(x) es derivable en un punto si y solo si existen las 2 derivadas laterales y además coinciden. 5.2.- FUNCIÓN DERIVADA. Al igual que se podía hablar de continuidad en un único punto o continuidad a nivel general, podría plantearse la idea de la derivada en sentido global. Dada una función f(x), tiene sentido definir a partir de ella una nueva función de la siguiente manera: f´ :ℜ → ℜ x → f´(x) := lim h→ 0

f ( x + h) − f ( x ) h

La función así definida recibe el nombre de función derivada de f (x),o simplemente, derivada. Se denota f´(x). Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Tema 4, 2

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DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. Para que una función f(x) sea derivable en el punto de abcisa x = a es necesario que la función sea continua en ese punto. Es decir: DERIVABILIDAD ⇒ CONTINUIDAD Sin embargo el recíproco no es cierto; basta considerar la función f ( x) = x en el punto de abcisa x = 0. Es decir, no toda función continua es derivable. A nivel de gráfica, que una función sea continua significa que su gráfica “no está rota” y que la fnción sea derivable se asocia a la idea de que su gráfica “no tenga picos”. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR: f´(x), definida anteriormente, es una función y en aquellos puntos del dominio de f(x) donde f´(x) sea derivable podemos definir una nueva función, f´´(x), que asigna a cada punto de abcisa x el valor de la derivada de f´(x) en ese punto: f ´´ : ℜ → ℜ x → f´´(x):= lim h→ 0

f ´(x + h) − f ´(x) h

La función así definida recibe el nombre de función derivada segunda o, simplemente, segunda derivada. De manera análoga podríamos definir f´´´(x), fIV)(x), … REGLAS DE DERIVACIÓN. Para abreviar la escritura escribiremos f en vez de f(x), g en vez de g(x) y h en vez de h(x): Si f, g y h son 3 funciones derivables en un punto dado, se verifican las siguientes reglas referentes a las operaciones con funciones:

( f + g )′ f ′ +

g′ .

-

Derivada de la suma:

-

Derivada del producto por escalares: ( k ⋅ f ) ′ = k ⋅ f ′ Derivada del producto: ( f ⋅ g ) ′ = f ′ ⋅ g + f ⋅ g ′ ′ ′ ′   Derivada del cociente:  f  = f ⋅ g -2f ⋅ g g  g

-

∀ k∈ ℜ

Derivada de la función compuesta (REGLA DE LA CADENA): ( g  f ) ′ = ( g  f ′ ) ⋅ f ′

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA: Sea f una función continua y g su función inversa. Esto significa: ( g  f )( x ) = x ⇔ ( g  f ) ′ = 1 Aplicando entonces la regla de la cadena se tiene que: g ′ ( x) =

1 f ′ ( g( x ) )

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN FORMA DE POTENCIA. Vamos a utilizar la regla de la cadena para derivar funciones de la forma y = f ( x) g ( x ) . Veámoslo con un ejemplo: Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Tema 4, 3

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EJEMPLO: Calculemos la derivada de la función f ( x) = x x : SOLUCIÓN: Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros: Propiedades de los logaritmos

Lnf ( x) = Lnx x = x ⋅ Lnx … y derivando también en los dos miembros (el de la izquierda mediante la regla de la cadena y el de la derecha como la derivada de un producto): 1 1 ⋅ f ´(x) = 1 ⋅ Lnx + x ⋅ f ( x) x 1 ⋅ f ´(x) = Lnx + 1 f ( x) Por último, se despeja f´(x) y se sustituye finalmente f(x) por su valor inicial. Asi: f ´(x ) = f ( x )[ Lnx + 1] f ´(x ) = x x ( Lnx + 1) DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES. Aplicando directamente la definición de derivada se obtiene fácilmente una primera lista de derivadas de funciones elementales: Función

Derivada

Ejemplos

Constante y=k

y'=0

y=8

y'=0

y'=1

y=x

y'=1

Identidad y=x

Funciones potenciales

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Tema 4, 4

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Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Funciones trigonométricas

5.2.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. 5.2.1.- MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Máximos y mínimos, tanto relativos como absolutos, fueron ya estudiados en el curso de 1º de Bachillerato de Ciencias Sociales. No obstante, repasemos los aspectos básicos: Una función f(x) tiene un máximo relativo en x = a si ocurre que f ( x) ≤ f (a ) para todos los valores “x” de un entorno de “a”. Al mayor de los máximos relativos se le denomina máximo absoluto. Una función f(x) tiene un mínimo relativo en x = a si ocurre que f ( x) ≥ f (a ) para todos los valores “x” de un entorno de “a”. Al menor de los mínimos relativos se le denomina mínimo absoluto. La relación que guardan estos 2 conceptos con la derivada de una función es la siguiente: o Si a es un máximo o mínimo relativo de una función f(x), y dicha función es derivable en a, entonces se verifica que f´(a) = 0. Así pues, los máximos y mínimos de una función pueden encontrarse en los valores que anulan la derivada o en los que la derivada no existe. o Si una función f(x) está definida en x = a, se dirá que dicho valr es un punto crítico de f(x) si f´(a) = 0 ó f´(a) no existe.

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Tema 4, 5

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5.2.2.- MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO: Si f(x) es derivable en a entonces podemos utilizar este hecho para estudiar el crecimiento o decrecimiento de la función en dicho punto. Se cumple: f ′ (a ) > 0 ⇒ f es estrictamente creciente en x = a f ′ (a ) < 0 ⇒ f es estrictamente decreciente en x = a INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO: Se veifica: f ′ ( x) > 0 ∀ x ∈ ( a , b ) ⇒ f ′ (a ) < 0 ∀ x ∈ ( a , b ) ⇒

f es estrictamente creciente en ( a , b ) f es estrictamente decreciente en ( a , b )

5.2.3.- CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA. Las derivadas de orden superior también juegan un papel destacado en la determinación de los máximos o mínimos de una función. Se cumple: f ′ (a ) = 0 y f ´´(a ) > 0 ⇒ f tiene un mínimo relativo en x = a. o f ′ (a ) = 0 y f ´´(a ) < 0 ⇒ f tiene un máximo relativo en x = a. CONSEJO PRÁCTICO: Puede ser mas útil en la práctica estudiar mediante una tabla los intervalos de crecimiento y decrecimiento para deducir a partir de ellos los posibles máximos o mínimos relativos de la función. Este procedimiento es aconsejable si la primera derivada tiene aspecto complicado para volver a ser derivada. 5.2.4.- OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. A continuación se indican qué pasos se han de seguir para resolver un problema de optimización: o Identificar la función a optimizar y escribir su expresión analítica. Ha de ser una función de 2 variables. o Utilizar los datos del problema para relacionar mediante una ecuación auxiliar las dos variables que aparecerán en la función a optimizar. o Despejar de esa función auxiliar una de las dos variables en función de la otra para luego sustituirla en la función a optimizar. Habremos conseguido así pasar una función a optimizar de 2 variables a una función de 1 variable. o Aplicar los conocimientos de derivación para realizar la optimización efectiva de esa función (ya más sencilla). 5.2.5.- APLICACIÓN EN LA ECONOMÍA. Hay veces que en Economía interesa conocer cómo afectan los cambios en variables como la producción, oferta o precios a otras variables como pueden ser costes, ingresos o beneficios. Estas variables se podrían relacionar mediante funciones. Si f es una función que relaciona dos de esas variables, se usa el término marginal para referirse a la derivada de f (en el contexto de la Economía). COSTE, INGRESO Y BENEFICIO MARGINAL. Suponiendo que C(x) es el coste de producir x unidades de un determinado articulo, entonces su derivada C´(x) se denomina coste marginal.

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De la misma manera que se ha definido coste y coste marginal, si I(x) son los ingresos producidos por la venta de x artículos, I´(x) denotará el ingreso marginal. A la función que da la diferencia entre los ingresos y los costes se le denomina función beneficio, B(x). B ( x ) = I(x) - C(x) A la derivada de esta función se le denomina beneficio marginal. PUNTO DE EQUILIBRIO. Suponiendo que una empresa fabricante de ordenadores ha determinado que el coste de producir x ordenadores es C(x), y que los ingresos que obtiene por la venta de estos ordenadores viene dada por la función I(x), es posible que exista un cierto número de ordenadores, a, para el cual los ingresos sean exactamente igual al coste, a este número, si existe se le denominan punto de equilibrio. Es decir, un punto de equilibrio es aquel en el cual no hay beneficio. MÁXIMO BENEFICIO. No profundizaremos, pero el máximo beneficio se produce cuando el ingreso marginal coincide con el coste marginal (de fácil demostración a partir de la función beneficio). 5.2.6.- REGLA DE L´HÔPITAL. Esta sencilla regla permite calcular límites de cocientes que resulten ser indeterminaciones. Utiliza para ello las derivadas. REGLA DE L´HÔPITAL: Sea f y g son funciones derivables en algún intervalo abierto que f ´(x) contiene al punto a. Si f(a) = g(a) = 0 y existe el límite lim entonces: x→ a g´(x ) lim x→ a

f ( x) f ´(x ) = lim x→ a g´( x ) g ( x)

f ( x) , donde g ( x) a puede ser un número (incluso en el caso de límites laterales) y es posible que aparezca una 0 ∞ indeterminación del tipo ó . 0 ∞ Para poder aplicar la regla de L´Hôpital es necesario tener un límite de la forma lim x→ a

FIN TEMA

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Tema 4, 7