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Profesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 Prof. María Elena Ruiz

Función Cuadrática Apunte Teórico

FUNCIÓN CUADRÁTICA Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R → R de la forma f(x)=ax+b con a∊R y b∊R, que se representa en el plano mediante una recta que tiene pendiente a y ordenada al origen b. Vamos a presentar ahora las funciones cuadráticas. Se trata de las funciones cuya ecuación es un polinomio de segundo grado, es decir, f ( x) = ax 2 + bx + c , donde a ≠ 0, y su dominio es el conjunto de los números reales. La función cuadrática más sencilla es y = x 2 , cuando a=1, b=0 y c=0. La representación gráfica de esta función es la siguiente: y

4

3

2

1

x -2

-1

1

2

Observemos en el gráfico, que el menor valor que toma y es 0 cuando x = 0, y que y no puede tomar valores negativos puesto que es de la forma y = x 2 . En consecuencia, la imagen de esta

función es Im( f ) = [ 0, +∞ ) . El gráfico que representa a las funciones cuadráticas se llama parábola, en la que distinguimos vértice y eje de simetría.El vértice es el punto donde la función alcanza su máximo o su mínimo valor. En el ejemplo dado, el vértice es el punto (0, 0) y es el mínimo valor que alcanza la función.El eje de simetría es una recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola. Éste divide a la parábola en dos ramas simétricas. En el ejemplo anterior el eje de simetría es la recta vertical x=0 o el eje y. Las ramas de la parábola están orientadas hacia las y positivas (hacia arriba). Podemos ver gráficamente que la función y = x2 es decreciente en (-∞, 0) y creciente en (0, +∞).

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2 Función Cuadrática Apunte Teórico

FORMAS POLINÓMICA Y CANÓNICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Cuando la expresión algebraica de la función cuadrática es f ( x) = ax 2 + bx + c recibe el nombre de forma polinómica de la función.Otra manera de expresar la función cuadrática es la que se 2 conoce como forma canónica de la función cuadrática, y es f ( x ) = a ( x − h ) + k . A partir de la forma polinómica de la función cuadrática se puede llegar a la forma canónica de varias maneras, veamos una de ellas a partir de un ejemplo: Ejemplo: Sea f ( x) = 2 x 2 + 8x − 5 la forma polinómica de una función cuadrática. Se quiere expresarla como f ( x ) = a ( x − h ) + k , donde el valor de a es el mismo que el a de la forma polinómica, en este caso a=2, entonces se debe buscar el valor de h y de k. 2 Partiendo de f ( x ) = 2 ( x − h ) + k , desarrollando el cuadrado del binomio se tiene: 2

. Luego aplicando propiedad distributiva: (x) , donde . En la expresión polinómica dada, , luego:

Con los valores de a, h y k, podemos escribir la función cuadrática en su forma 2 canónica: f ( x ) = 2 [ x − ( −2) ] − 13 = 2( x + 2) 2 − 13 . Si queremos pasar de una expresión canónica a una polinómica, procedemos de la siguiente manera: 2 Ejemplo: Sea la función cuadrática g ( x ) = 3 ( x − 2 ) − 5 , escribirla en su forma polinómica. Para ello, desarrollamos el binomio y luego aplicamos propiedad distributiva: g ( x) = 3 ( x 2 − 4 x + 4 ) − 5 = 3 x 2 − 12 x + 12 − 5 g ( x) = 3 x 2 − 12 x + 7 GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Analicemos el gráfico de una función cuadrática a partir de su expresión canónica 2 f ( x ) = a ( x − h ) + k y veamos qué sucede al variar los parámetros a, h y k. Dijimos anteriormente, que la función cuadrática más sencilla es y = x2, o sea donde a= 1 y h=k=0. Vimos también que en este caso el vértice es el (0, 0) y que la recta x=0 es el eje de simetría. Consideremos ahora funciones cuadráticas de la forma f ( x) = ax 2 , donde a toma distintos valores, no solamente el 1, como lo vemos en el siguiente gráfico donde están

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3 Función Cuadrática Apunte Teórico

representadas, además de y=x2, las funciones: y=2x2 (a=2); y=(1/2)x2 (a=1/2); y=-x2

(a=-1); y=-2x2 (a=-2); y=-(1/2)x2 (a=-(1/2) Observemos en el gráfico que: • Vértice: (0, 0) • Eje de simetría: la recta x=0, es decir el eje y. • Si a >0: • las ramas de la parábola se orientan hacia las y positivas (hacia arriba). • la función decrece en el intervalo (-∞.0) y crece en (0, +∞). • Si a 0 la parábola se desplaza sobre el eje x, hacia las x positivas (a la derecha). • Si h < 0 la parábola se desplaza sobre el eje x, hacia las x negativas (a la izquierda).

Veamos los intervalos de crecimiento y decrecimiento para la función : Crece en (-2, +∞) y decrece en (-∞, -2). Para la función , los intervalos de crecimiento y decrecimiento son: Crece en (2, +∞) y decrece en (-∞, 2). Supongamos ahora que a = 1 y h = 0, entonces la función tiene la forma f ( x) = x 2 + k .

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4 Función Cuadrática Apunte Teórico

En el siguiente gráfico se pueden observar la parábolas que resultan de hacer k=0, k=3, k=5, k =–3 y k =-5.

Observemos en el gráfico que: • Si k > 0 la parábola se desplaza sobre el eje y, hacia las y positivas (hacia arriba). • Si k < 0 la parábola se desplaza sobre el eje y, hacia las y negativas (hacia abajo).

Observando los gráficos de estas funciones vemos que en todos los casos los intervalos de crecimiento son (0, +∞) y de decrecimiento (-∞, 0). Tomando como referencia a la parábola y = x 2 podemos obtener el gráfico de cualquier función cuadrática teniendo en cuenta la siguiente conclusión: 2 Dada la forma canónica de una función cuadrática f ( x) = a ( x − h ) + k , se tiene que: • El valor de a indica la amplitud y el sentido de las ramas de la parábola. • El valor de h indica el desplazamiento horizontal (izquierda-derecha) de la parábola. • El valor de k indica el desplazamiento vertical (arriba-abajo) de la parábola.

Vimos que el vértice de la parábola y = x 2 es el punto (0, 0). Ahora, teniendo en cuenta los desplazamientos analizados podemos inferir que el vértice de una función cuadrática de la forma f ( x) = a(x − h )2 + k es el punto (h, k), ya que todos los puntos de su gráfica están desplazados h unidades en la dirección del eje de las x y k unidades en la dirección del eje de las y. El eje de simetría es la recta vertical de ecuación: x = h. Por lo visto, es claro que para graficar una función cuadrática es útil que su expresión analítica esté en la forma canónica, así ubicamos el vértice, el eje de simetría, y según a sea positivo o negativo, las ramas están orientadas hacia arriba o hacia abajo. Como lo muestra el siguiente gráfico que representa a la función f(x)= (x - 1)2 -2, donde a=1, h=1 y k= -2:

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5 Función Cuadrática Apunte Teórico

Eje de simetría y 3

x=1 y = ( x − 1) 2 − 2

2

1

x -1

1

2

3

-1

-2

RAÍCES DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Al igual que las raíces (o ceros) de una función lineal, las raíces de una función cuadrática son los valores de x que anulan la función, es decir verifican la ecuación f ( x) = ax 2 + bx + c = 0 . Gráficamente los puntos (x, 0) , con x raíz de la función, son los puntos de intersección entre la gráfica de la función y el eje x. Para encontrar los valores de x que hacen cero a la función (los puntos de intersección con el eje x), debemos resolver una ecuación polinómica de grado 2, es decir una ecuación de la forma: a x2 + b x + c= 0, y para resolverla se utiliza la fórmula conocida como “fórmula de Bascara”:

−b ± b 2 − 4ac 2a Esta fórmula resuelve la ecuación completa de 2do grado, donde las dos raíces se obtienen considerando respectivamente, el signo + o el signo - que afecta al radical, es decir: x=

x1 =

− b + b 2 − 4ac 2a

x2 =

− b − b 2 − 4ac 2a

En general se tiene que: • Si el radicando b2 - 4ac, llamado también discriminante, es positivo las dos raíces son reales y distintas. • Si b2 - 4ac es igual a cero, las raíces son iguales. • Si b2 - 4ac es negativo, no tiene raíces reales. Ejemplo: Consideremos la función g ( x) = x 2 + 2 x − 3 y busquemos cuáles son sus raíces. Para ello debemos resolver la ecuación x 2 + 2 x − 3 = 0 y para ello resolvamos aplicando la fórmula de Bascara:

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x1,2 =

− 2 ± 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−3) 2 ⋅1

=

Función Cuadrática Apunte Teórico

−2±4 2

Luego, las raíces son: x1 = 1 y x 2 = −3 Por lo tanto, como se puede observar en el siguiente gráfico, los puntos de intersección de la función g (x) con el eje x están dados por (1, 0) y (−3, 0) . y 3

y = x 2 + 2x − 3

2 1

(–3, 0) -4

(1, 0) -2

x

2 -1 -2 -3 -4

Hemos visto que una ecuación de segundo grado puede tener 2 raíces reales distintas, 1 sola raíz real o no poseer raíces reales, es decir puede intersecar al eje x en dos puntos, en uno sólo o en ningún punto. De acuerdo a esta conclusión resuelva los siguientes ítems: 1) Escriba la ecuación de una función cuadrática con una sola raíz real y realice su gráfico. 2) Escriba la ecuación de una función cuadrática con dos raíces y realice su gráfico. 3) Escriba la ecuación de una función cuadrática que no posea raíces reales y realice su gráfico.