Provincia del Chaco Ministerio de Educación, Cultura, Ciencia y Tecnología INSTITUTO DE NIVEL SUPERIOR “SAN FERNANDO REY”

Profesorado en Matemáticas CUADERNILLO PARA EL TALLER DE INGRESO

AÑO 2016

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INDICE

Módulo I Conjuntos Numéricos-Operaciones…………………………. Pág. 3

Módulo II Función, Función Lineal y Cuadrática………………………..Pág. 8

Módulo III Ecuación Lineal, Cuadrática y Sistema de Ecuaciones …………………………………….Pág. 18

Módulo IV Expresiones Algebraicas…………………….………………..Pág. 22

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MODULO I - CONJUNTOS NUMÉRICOS, OPERACIONES Y PROPIEDADES1 UN POCO DE HISTORIA NATURALES: Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el hombre usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Luego aparecen los símbolos gráficos como por ejemplo marcas en una vara. En la Mesopotamia alrededor del año 4.000 a. C. aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados, que después precisó Peano, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. El conjunto de los números naturales es

.

ENTEROS: Los números negativos antiguamente conocidos como “números deudos” o “números absurdos”, datan de una época donde el interés central era el de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza. Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en Oriente, y no llega hasta Occidente hasta el siglo XVI. En Oriente se manipulaban números positivos y negativos, utilizando los ábacos, con tablillas o bolas de diferentes colores. Sin embargo, los chinos no aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser solución de una ecuación. Corresponde a los Indios la diferenciación entre números positivos y negativos, que interpretaban como créditos y débitos, respectivamente, distinguiéndolos simbólicamente. La difusión de los símbolos germánicos (+) y (-), se popularizó con el matemático alemán Stifel (1487 – 1567) en el siglo XV, antes de ello se utilizaba la abreviatura de p para los positivos y m para los negativos. El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, la operación de resta, por ejemplo 5 – 9 que resulta un número que no es natural, crea otro conjunto, que es el conjunto de los números negativos. Los números naturales junto con los negativos y el cero, formarán luego el conjunto de los números enteros, definido como:

RACIONALES: Los babilónicos utilizaban fracciones cuyo denominador era una potencia de 60, mientras que los egipcios usaron, sobre todo, las fracciones con numerador igual a 1. En la escritura, la fracción la expresaban con un óvalo, que significaba parte o partido, y debajo, o al lado, ponían el denominador; el numerador no se ponía por ser siempre 1. En el siglo XIII, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, famoso, entre otras cosas por la serie de Fibonacci, introdujo en Europa la barra horizontal para separar numerador y denominador en las fracciones.

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Elaborado por: Lic.Lelia Plaquin, Mg. Laura Ochoa

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A principios del siglo XV, el árabe Al Kashi fue el que generalizó el uso de los números decimales tal y como los conocemos hoy. A finales del siglo XVI, Simon Stevin desarrolló y divulgó las fracciones decimales que se expresaban por medio de números decimales: décimas, centésimas, milésimas, etc., pero los escribía de una forma complicada; así para 456, 765 escribía 456 (0) 7(1) 6(2) 5(3). A principios del siglo XVII, los números decimales ya aparecieron tal y como los escribimos hoy, separando con un punto o una coma la parte entera de la parte decimal. Los números decimales se impusieron, en casi todos los países, al adoptarse el Sistema Métrico Decimal, en el siglo XVIII, concretamente en 1792. Las divisiones del tipo 4 : 5 carece de sentido en los enteros. Surge, por tanto, la necesidad de extender el sistema de los números enteros, a uno nuevo en el que tengan sentido tales operaciones, creándose así el sistema de los números racionales, que se simboliza con la letra Q y se define como:

REALES: Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear en la matemática, una base rigurosa del concepto de número real. Aparecen números de creación académica de la Matemáticas que no tienen nada que ver con la realidad. El ejemplo, el número π , , llamados números irracionales. La unión de los dos tipos de números, racionales e irracionales, constituyen los números reales y se simboliza con la letra ℝ.

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NATURALES: 1.- Algunas características de los números naturales son: I. Todo número mayor que 1 va después de otro número natural. II. Entre dos números naturales no consecutivos siempre hay un número finito de naturales. III. Dado un número natural cualquiera, siempre existe otro natural mayor que este. IV. Entre el número natural y su sucesor no existe ningún número natural. V. Es un conjunto discreto 2.- Las operaciones que se verifican son: I.Adición: dados dos números naturales cualesquiera considerados sumandos, la suma de ambos también es un natural. Por ej.: 12 + 35 = 47 II.Multiplicación: dados dos números naturales cualesquiera considerados factores, el producto de ambos también es un natural. Por ej.: 12 . 30 = 360 Para resolver operaciones del tipo 35 – 50 = -15 ó 10 : 4 = 2,5 se deben recurrir a otros campos numéricos. 3.- Las propiedades que se cumplen son: Adición: I. Ley de cierre: 2 es un natural y 4 es un natural luego 2 + 4 = 6 es un natural II. Ley conmutativa: 15 + 13 = 13 + 15 III. Ley asociativa: 10 + ( 15 + 13) = (10 + 15) + 13

I. II. III. IV.

Multiplicación: Ley de cierre : 2 es un natural y 4 es un natural, luego 2.4 = 8 es un natural Ley conmutativa: 8.3 = 3.8 Ley asociativa: (8.3). 5 = 3.(8.5) Elemento neutro: el 1 es el neutro ya que 3 .1 = 1 . 3 = 3

Ley distributiva del producto respecto de la adición: 3 . (2 + 5) = 3.2 + 3.5 ENTEROS: Las siguientes notaciones indican: • Z+ como los enteros positivos • Z-, como los enteros negativos • El cero no tiene signo, es neutro, vale decir no es positivo ni negativo; más aún es el nexo entre estos dos. Las reglas de los signos - Operaciones con números enteros Para operar con números enteros generalmente es necesario memorizar las reglas de los signos: • Más por más, es más: (+) x (+) = (+) Por ejemplo: (+ 2) x (+ 6) = + 12 • Más por menos, es menos: (+) x (-) = (-) Por ejemplo (- 2) x ( + 6) = - 12 • Menos por menos, es más: (-) x (-) = (+) Por ejemplo (- 2) x (- 6) = + 12 ¿Razonamos juntos, para encontrar el significado de estas reglas? El resultado del cálculo pues dado que se trata de una suma de opuestos y que la multiplicación por cero da por resultado 0.

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Pero como al ampliar los conjuntos numéricos pasando de los naturales a los enteros se mantienen las propiedades de los naturales, entre ellas, la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma.

En el siguiente el cálculo y aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, se tiene: . ¡Hemos probado entonces la conocida regla más por menos es menos! ¿Seguimos redescubriendo la regla de signos? Dado el siguiente cálculo: , ya que se trata de una suma de opuestos y que la multiplicación por cero da por resultado 0. Pero

¡Hemos probado entonces la conocida regla menos por menos es más! RACIONALES I. Fracciones de las formas: II. Decimales: a. Decimales con un número

2,17809 =

finito

de

cifras

decimales.

Por

ejemplo:

217.809 100.00

b. Decimales con infinitas cifras decimales periódicas. Por ejemplo: 4, 0777 … = 4, 07

⌢

Operaciones: I. Aditivas: procedimientos no convencionales – expresiones equivalentes – y algorítmicos. ;

II. Multiplicación: asociada a la noción de superficie. El siguiente. problema permitirá encontrar el significado a la noción de multiplicación entre números fraccionarios. “La Municipalidad de Villa Ángela donó un sector de un terreno para la construcción de una escuela. El sector construido ocupará 2/3 del ancho ¾ del largo del terreno. ¿Qué superficie ocupará la escuela, si se toma como unidad de medida el área de todo el terreno? “

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III. División: asociado al concepto del inverso multiplicativo y la división por la unidad. La regla dice: “Para dividir un número fraccionario por otro, se multiplica el primer número por la fracción inversa del segundo”. Por ejemplo: Esto es cierto porque cualquier división si se multiplica el dividendo y el divisor por un mismo número, el cociente de la división no cambia. Por ejemplo: 12 : 4 = 3, luego 12 x 2 = 24 y 4 x 2 = 8, entonces 24 : 8 = 3. Esta propiedad se cumple también al dividir números fraccionarios. En la división

Pero la división de cualquier

número por 1 da por resultado ese mismo número, entonces

Pode-

mos usar este procedimiento para dividir cualquier par de números fraccionarios. ¡Hemos encontrado el sentido de las técnicas de resolución de las operaciones con fracciones!

Observaciones: El conjunto de los racionales es denso, porque entre dos números racionales cualesquiera, se pueden encontrar infinitos racionales.

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MODULO II – FUNCIÓN, FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN CUADRÁTICA2 UN POCO DE HISTORIA: LA EVOLUCIÓN DE LA NOCIÓN DE FUNCIÓN EDAD ANTIGUA: La función como variación: Los matemáticos y astrónomos babilónicos, en su intento por aritmetizar las observaciones que eran difícilmente medibles, tales como: compilación de las efemérides del sol, de la luna y de los planetas, problemas de variaciones continuas de la luminosidad de la luna en intervalos de tiempo iguales, o los períodos de visibilidad de un planeta en relación con el ángulo que éste forma con el sol, y es por ello que profundizaron métodos cuantitativos tabulando datos, interpolando y extrapolando, en busca de regularidades. Establecieron relaciones sistemáticas entre las variaciones de las causas y los efectos: los fenómenos sujetos al cambio, tales como el calor, la luz, la distancia, la velocidad, etc. Estas magnitudes variables encierran la presencia potencial de medidas, que las plasmaban en tablas dispuestas en dos columnas, de forma análoga a las tablas de valores actuales. La función como proporción: Si bien las ideas de cambio y de cantidad variable estaban presentes en el pensamiento griego, los problemas del movimiento, de la continuidad, del infinito habían sido examinados desde la época de Heráclito y de Zenón, y, además una gran parte de la filosofía natural aristotélica estaba consagrada al estudio de estas cuestiones. Es por ello que en el pensamiento griego existía una idea primitiva de función contenida en las nociones de cambio y relación entre magnitudes variables y situaban al cambio y al movimiento como algo externo a la Matemática. EDAD MEDIA: La función como gráfica: El cambio más significativo ocurrido durante la Edad Media estuvo dado por el acercamiento entre la Matemática y las Ciencias de la Naturaleza, y los principales núcleos de desarrollo fueron las escuelas de Oxford y París. El principal representante de la escuela francesa es Nicolás Oresme, quien ya en el siglo XIV utiliza el grafismo para representar los cambios y así describirlos y compararlos. Se vale de segmentos para representar las intensidades de una cualidad de una determinada magnitud continua que depende de otra magnitud continua. Estas gráficas representaban las relaciones desde lo cualitativo más que desde lo cuantitativo, pues los gráficos se consideraban como modelos geométricos de las relaciones y no necesitaban representar fielmente dichas relaciones. Introducción de la representación analítica A principios del siglo XVII, Fermat y Descartes descubren el mundo de la representación analítica al conectar los problemas de dos ramas de la matemática: la Geometría y el Algebra. Comienza a formarse la geometría Analítica como un método de expresión de la relación numérica establecida entre determinadas propiedades de objetos geométricos, utili2

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zando esencialmente el método de las coordenadas. Se sostiene por primera vez la idea de que una ecuación en x e y es un medio para introducir la dependencia entre dos cantidades variables. EDAD MODERNA: Nace en el siglo XVII y continúa con Euler y Lagrange en el siglo XVIII. Se pensaba que las únicas funciones dignas de estudio eran las que podían ser descriptas por medio de expresiones algebraicas. Se intentaron resolver problemas de la Física. Permanece aún la idea de asignar la variación a las “cantidades”. Aparece la idea de función no continua. Leibniz habla de “función f(x)”, donde expresa la idea general de dependencia funcional, introduciendo el término función, donde aparece en sus manuscritos en el año 1673. EDAD CONTEMPORÁNEA: La función como correspondencia arbitraria de aplicación Esta idea de función como aplicación aparece con los últimos trabajos de Euler sobre “funciones arbitrarias”, (siglo XVIII), continuando en el siglo XIX con los de Fourier sobre series trigonométricas y los de Cauchy, Dedenkind y otros sobre números reales. A partir del problema de la cuerda vibrante de Euler, surge la noción de correspondencia general: se dice que “una cantidad es función de otra u otras”, aunque no se conozca porque operaciones atravesar para llegar de una a la otra. El término función se corresponde con la expresión f(x), y más tarde se representará como: f(x). Continúa el uso de los ejes cartesianos y aparece una nueva representación: los diagramas de Venn. FUNCIONES CONCEPTO DE FUNCIÓN: Es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de forma que a determinados elementos del primer conjunto se asocian elementos del segundo conjunto de manera unívoca, es decir que a un elemento del primer conjunto no le podemos asociar más de un elemento del segundo conjunto. A un elemento cualquiera del primer conjunto lo representamos con la letra x, que denominamos variable independiente y al único elemento que le corresponde en el segundo conjunto lo representamos por la letra y, a la que denominamos variable dependiente. A la relación la representamos por la letra f y escribimos y = f(x) f es una función o aplicación de R en R si y sólo si f es un subconjunto de R x R que satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad a) Existencia: b) Unicidad: Dominio de una función f: Es el conjunto de valores de x para los que la función f(x) existe. Lo representamos por Dom(f).

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Recorrido o imagen de una función f: Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Lo representamos por Img(f).

La siguiente expresión es la definición de función en el lenguaje simbólico

Función real de variable real: Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los números reales. Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de referencia denominado sistema de ejes cartesianos. Se define como Codominio de una función cualquier intervalo real que contuviera a la Img(f) o bien todo el conjunto de números reales Un sistema de referencia y localización de un punto en el plano es el siguiente:

En la figura que sigue, la primera gráfica, no es la gráfica de una función; la segunda, es la gráfica de una función: Y

Y

X1

X

X

X1

Si es función No es función En el primer caso, hay valores de x que no están únicamente determinados. En el segundo caso a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

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Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una fórmula o expresión analítica y su gráfica. Según la expresión analítica clasificaremos las funciones (que se trabajarán en 1er. año) de la siguiente forma:

LINEAL CUADRÁTICA CÚBICA

LOGARITMICA EXPONENCIAL TRIGONOMÉTRICA

PROPORCIONALIDAD INVERSA RACIONAL FRACCIONARIA

Tienen POR TRAMOS O TROZOS

VERTICAL ASÍNTOTAS HORIZONTAL OBLICUA

ASÍNTOTAS

FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE Una función f es creciente (A) ,en un intervalo, si para cualquier par de números x1, x2 del intervalo.

.

(A)

(B)

Una función f es decreciente (B), en un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo,

.

Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a, b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo [a, b].

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En la gráfica anterior puede observarse que la función f es: • •

Creciente en los intervalos (a, x3), (x5, x6) Decreciente en los intervalos(x3, x5), (x6, b)

FUNCION LINEAL- FUNCION AFIN O POLINOMICA DE PRIMER GRADO Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. La función lineal se define por la ecuación f(x) = ax + b ó y = ax + b en donde a es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y. Observación: • •

Algunos textos y/o autores denominan función afín a la expresión f(x) = ax + b ó y = ax + b siendo la función lineal un caso particular de la función afín cuando b = 0 De acuerdo a los textos y/o autores la expresión f(x) = ax + b ó y = ax + b puede presentarse con otras letras, como por ejemplo f(x) = mx + n ó y = mx + b

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 ; g(x) = - x + 7 ; h(x) = 4 ; t(x) = 2x

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2. Vemos que a = 3 y b = 2 (De la forma y = ax + b) Este número a se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo

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que la pendiente es a = 3. b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y) Volvamos al ejemplo de las funciones lineales f(x) = 3x+2

Si x es 3, entonces f (3) = 3.3+2 = 11 Si x es 4, entonces f (4) = 3.4+2 = 14 Si x es 5, entonces f (5) = 3.5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. g(x) = -3x+7

Si x= 0, entonces g (0) = -3.0 +7 = 0+7 = 7 Si x= 1, entonces g (1) = -3.1 +7 = -3+7 = 4 Si x= 2, entonces g (2) = -3.2 +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente. h(x) = 4

Si x= 0 , entonces h(0) = 4 Si x= 1 entonces h(1) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X. Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descriptas, donde a = m.

FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0. La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es una curva simétrica y se llama parábola: x f(x) = x2

-3 9

-2 4

-1 1

-0,5 0,25

0 0

0,5 0,25

1 1

2 4

3 9

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.

Otra función no tan sencilla, cuya representación Gráfica es la siguiente:

f(x) = x2 -2 x - 3.

Obtención general del vértice: Sea la parábola y = ax2 + bx + c. Localizado el corte con el

eje Y, (0, c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema

.

Igualando: a x2 + b x + c = c → a x2 + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a. La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, p = –b/2.a Observación: otro modo de presentar la función cuadrática es a través de la expresión: f(x) = (x-h)2 + k, donde h y k son números reales que representan las coordenadas del vértice V (h,k) de la parábola. Por ejemplo: . En el gráfico se observa que h = 2 y k = 1

En la expresión la siguiente expresión general

, desarrollando el cuadrado del binomio se obtiene , que tiene la misma gráfica que

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Cortes con los ejes: a) Ordenada al origen: es la intercepción de la gráfica con el eje Y. En la expresión general, el termino independiente c es el que brinda esa información. b) Raíces: son los puntos de intercepción de la gráfica con el eje X, y en dichos puntos la función se anula. La función puede tener 2 (dos) raíces, 1 (una) o ninguna. Se puede calcular por medio de la fórmula

Ejemplos:y = - x2 + 2x + 3

.

b) y = x2 - 4x + 4

c) y = x2 - 2x + 3

Parábolas del tipo y = ax2 (b = 0, c = 0) Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V (0,0). (A)

Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola. (A’)

Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0.

En el gráfico se observa que: • Cuando a > 0 La parábola más abierta corresponde a la función ción

y la más cerrada es la función

• Cuando a < 0 La parábola más abierta corresponde a la función función

(A), le sigue la fun-

(A’), le sigue la

y la más cerrada es la función

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Un resultado importante: La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir, cualquier parábola del tipo y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2. Parábolas del tipo y = ax2 + c (b = 0)La gráfica de g(x) = 2x2 + 3, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 2x2, desplazándola 3 unidades hacia arriba. El vértice se halla en V (0,3). La gráfica de h(x) = x2 - 4, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = x2 , desplazándola 4 unidades hacia abajo. El nuevo vértice es V (0,-4).

Las parábolas del tipo y = ax2 + c, tienen exactamente la misma gráfica que y = ax2 , c unidades hacia arriba o hacia abajo – desplazamiento vertical - , según el signo de c y, por lo tanto, su vértice es el punto V(0,c).

Parábolas del tipo y = ax2 + bx (c = 0)

La gráfica de las funciones f(x) = 2x2 - 4x ; g(x) = 2x2 + 4x pasa por el punto (0,0). La 1ª coordenada del vértice es -b/2a = 1. Sustituyendo, obtenemos que la 2ª coordenada del vértice es -2. Luego el vértice es V (1,-2). Utilizando la simetría de la parábola podemos obtener el punto (2,0).

Si la parábola es del tipo y = ax2 + bx. entonces pasa por el origen de coordenadas y corta también al eje x en el punto (- b/a, 0)

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MODULO III - ECUACION LINEAL, CUADRÁTICA Y SISTEMA DE ECUACIONES3 UN POCO DE HISTORIA ANTIGÜEDAD: Ya en el siglo XVI a. C., los egipcios resolvían problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales que eran equivalentes a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado; como la notación algebraica no existía, usaban un método iterativo aproximado, llamado el «método de la falsa posición». El matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Arithmetica en el siglo III tratando las ecuaciones de primer y segundo grado; fue uno de los primeros en utilizar símbolos para representar las ecuaciones. También planteó las ecuaciones con soluciones enteras, llamadas en su honor ecuaciones diofánticas. Siglos XV – XVI : Pasada la “edad oscura” medieval, el estudio de las ecuaciones algebraicas experimenta un gran impulso. En el siglo XV estaban a la orden del día los desafíos matemáticos públicos, con premios al vencedor; así, un desafío famoso enfrentó a dos matemáticos a resolver ecuaciones de tercer grado, el vencedor fue Niccolò Fontana Tartaglia, experto algebrista. En el XVI, el matemático francés René Descartes popularizó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas, x, y, z. Siglos XVII-XVIII: En el siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Leibniz publicaron los primeros métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales que aparecen en los problemas de la dinámica. ÉPOCA MODERNA: A pesar de todos los esfuerzos de las épocas anteriores, las ecuaciones algebraicas de quinto grado y superiores se resistieron a ser resueltas; solo se consiguió en casos particulares, pero no se encontraba una solución general. A principios del siglo XIX, Niels Henrik Abel demostró que hay ecuaciones no resolubles; en particular, mostró que no existe una fórmula general para resolver la ecuación de quinto grado Durante el siglo XIX, las ciencias físicas utilizaron en su formulación ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y/o ecuaciones integrales. El uso habitual de estas ecuaciones y de los métodos de solución llevó a la creación de una nueva especialidad, la física matemática. Ya en el siglo XX, Albert Einstein utilizó ecuaciones tensoriales para su Relatividad General. Las ecuaciones diferenciales tienen también un amplio campo de aplicación en teoría económica. Debido a que la mayoría de ecuaciones que se presentan en la práctica son muy difíciles o incluso imposibles de resolver analíticamente, es habitual utilizar métodos numéricos para encontrar raíces aproximadas. El desarrollo de la informática posibilita actualmente resolver en tiempos razonables ecuaciones de miles e incluso millones de variables usando algoritmos numéricos.

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Elaborado por: Lic Alicial Bernal, Prof. María Alejandra Mansilla y la colaboración de Mg. Laura Ochoa

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CONCEPTO: Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. En cada uno de los miembros hay uno o más términos. Los valores numéricos que acompañan a la incógnita, de la/s expresión/es algebraica/s, se denominan coeficientes, son llamados términos independientes cuando son solamente valores numéricos. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

La letra x representa la incógnita, mientras que los números 3 y 1 son los coeficientes que acompañan a la incógnita, los números 1 y 9 son los términos independientes. Resolver una ecuación es encontrar los valores de la incógnita que la satisfacen la igualdad. Resolvamos juntos aplicando propiedades para mantener la igualdad:

Esta ecuación que hemos resuelto forma parte de las denominadas de primer grado con una incógnita. • Se dice que una ecuación es de primer grado o ecuación lineal cuando la variable (x) tiene como exponente a la unidad. Es de la forma canónica: • Cuando se tienen ecuaciones de primer grado con dos incógnitas de la forma: y se puede conformar un sistema de ecuaciones. En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico Un ejemplo de un sistema de ecuaciones es el siguiente:

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Para encontrar los valores de x e y que verifiquen el sistema se pueden utilizar distintos métodos (sustitución, reducción, determinantes) pero en este caso se utilizará como método de resolución el Método de igualación: para aplicar este método debemos despejar, en ambas ecuaciones, una de las variables y luego igualar las ecuaciones obtenidasEjemplo: Resolvamos, aplicando este método de igualación, el sistema Despejando la variable y de la primera ecuación tendremos Despejando la variable y de la segunda ecuación tendremos Como

y=y

=

quedándonos así una ecuación de una única varia-

ble: x. Resolviendo esta ecuación obtenemos el valor de la variable x: Reemplazando este valor de x en ble y:

x=2

, por ejemplo, obtenemos el valor de la variay=3

Por lo tanto, el conjunto solución de este sistema S = {(2 ; 3)} Otro método de resolución de un sistema de ecuaciones es el gráfico. Para resolver un sistema de ecuaciones gráficamente se deben representar las rectas obtenidas al despejar la variable y de cada ecuación en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.Ejemplo: Resolveremos gráficamente el sistema Despejando la variable y de la primera ecuación tendremos Despejando la variable y de la segunda ecuación tendremos Y graficando ambas rectas en un mismo sistema de coordenadas cartesianas, obtenemos:

El conjunto solución de este sistema será S = {(4 ; 2)} En los ejemplos resueltos presentados obtuvimos que la solución del sistema era única, pero pueden también presentarse sistemas de ecuaciones que no posean solución, o bien que

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admitan infinitas soluciones. Los sistemas de ecuaciones se clasifican, según la existencia o no de soluciones, y en el primer caso, el número de ellas, de la siguiente manera: Sistema compatible: es el que tiene solución. Dependiendo del número de soluciones puede ser: Sistema compatible determinado si tiene una única solución. Sistema compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones. Sistema incompatible: es el que no tiene solución.

• Se dice que una ecuación es de segundo grado o ecuación cuadrática cuando es de la forma canónica donde: a es el coeficiente principal que acompaña a la variable con exponente 2 o variable cuadrática. b es el coeficiente que acompaña a la variable con exponente 1 o variable lineal. c es el término independiente. Para su resolución se emplea la siguiente fórmula:

donde x1 y

x2 son las soluciones que verifican la ecuación. Ejemplo:

4x2 – 5x + 1 = 0

Resolver la ecuación

a=4

b = -5

c=1

reemplazando en la fórmula los coeficientes tendremos:

=

=

=

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MODULO IV – EXPRESIONES ALGEBRAICAS4 UN POCO DE HISTORIA EL ÁLGEBRA EN LA ANTIGÜEDAD: Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la antigua matemática babilónica, que había desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica. Con el uso de este sistema lograron encontrar fórmulas y soluciones para resolver problemas que hoy en día suelen resolverse mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indeterminadas. Diofanto (siglo III d.C.), algunas veces llamado «el padre del álgebra», fue un matemático alejandrino, autor de una serie de libros intitulados Arithmetica. Estos textos tratan de las soluciones a las ecuaciones algebraicas. Los babilonios y Diofanto utilizaron sobre todo métodos especiales "ad hoc" para resolver ecuaciones, la contribución de Al-Khwarizmi fue fundamental; resuelve ecuaciones lineales y cuadráticas sin el simbolismo algebraico, números negativos o el cero. El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometría algebraica y encontró la solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Din al-Tusi, encontró la solución numérica y algebraica a diversos casos de ecuaciones cúbicas; también desarrolló el concepto de función. Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de ecuaciones de grado tres, cuatro y cinco, así como ecuaciones polinómicas de orden superior mediante métodos numéricos. EDAD MODERNA: Durante la Edad Moderna europea tienen lugar numerosas innovaciones, y se alcanzan resultados que claramente superan los resultados obtenidos por los matemáticos árabes, persas, indios o griegos. Parte de este estímulo viene del estudio de las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado. Las soluciones para ecuaciones polinómicas de segundo grado ya era conocida por los matemáticos babilónicos cuyos resultados se difundieron por todo el mundo antiguo. El descubrimiento del procedimiento para encontrar soluciones algebraicas de tercer y cuarto orden se dieron en la Italia del siglo XVI. Entre los siglos XVI y XVII se consolidó la noción de número complejo, con lo cual la noción de álgebra empezaba a apartarse de cantidades medibles. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. También Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange, Adrien-Marie Legendre y numerosos matemáticos del siglo XVIII hicieron avances notables en álgebra. Durante el Siglo XIX se desarrolló el álgebra abstracta, inicialmente centrada en lo que hoy se conoce como teoría de Galois y en temas de la constructibilidad. Los trabajos de Gauss generalizaron numerosas estructuras algebraicas. La búsqueda de una fundamentación matemática rigurosa y una clasificación de los diferentes tipos de construcciones matemáticas llevó a crear áreas del álgebra abstracta durante el siglo XIX absolutamente independientes de nociones aritméticas o geométricas (algo que no había sucedido con el álgebra de los siglos anteriores).

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Elaborado por: Prof. Ethel Vechietti; Prof. María Teresa Carrara; Esp. Damián Toledo; Prof. Rubén Rotela; Prof. Beatriz Sánchez Parra; Prof: Marcela Grella y la colaboración de la Lic. Alicia Bernal; Lic. Lelia Plaquín y Mg. Laura Ochoa.

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POLINOMIO Un monomio es una expresión de la forma , donde a es un número real y k es un entero no negativo. Un binomio es una suma de dos monomios y un trinomio es una suma de tres monomios. En general, una suma de monomios se llama polinomio (por poli= muchos). La notación general de un polinomio es: P(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 x n-2 + ……….+ a2x2 + a1 x + a0 Algunos ejemplos son: P(x) = 8x Q(x) = 7x + 4 D(x) = 8x 2 + 2x + 5 A(x) = 23 E(x) = 0

monomio binomio trinomio polinomio constante polinomio nulo

Grado de un Polinomio: El grado del polinomio es el mayor exponente entero no negativo que acompaña a la variable, siempre que su coeficiente sea distinto de cero Polinomio completo: Es aquel que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.Polinomio ordenado: Un polinomio puede ordenarse de forma creciente o decreciente, siendo los de orden creciente aquellos que tienen a los exponentes de la variable de sus monomios ordenados de menor a mayor, y los de orden decreciente los que se ordenan de mayor a menor. Por ejemplo, el polinomio P(x) = 3x5 – 2x4 + 2x2 + 5x + 2 esta ordenado en forma decreciente, y el polinomio Q(x) = 9 - 2x +2x2+7x3 - 6x5 esta ordenado de forma creciente. Un polinomio se llama irreducible o pri mo cuando no puede descomponerse en f actores. Por ejemplo: P( x) = x 2 + x + 1 OPERACIONES CON POLINOMIOS 1. Adición: Los términos son semejantes si poseen el mismo grado y la suma de polinomios resulta de la adición de términos semejantes. Sean P(x) = 3x2 + 2x + 1 y

Q(x) = 4x + 3 y se procede del sgte. modo P (x) = 3x2 + 2x + 1 +

Q(x) = 0x2 + 4x + 3

P (x) + Q(x) = 3x2 + 6x + 4 Para la resta de polinomios se opera con el opuesto aditivo. P (x) + [-Q(x)] 2. Producto: Para multiplicar dos polinomios se aplica la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, es decir, se multiplica cada término del primero por cada término del segundo y luego se sumar los términos semejantes. Dados P(x) = -x2 +2x +1 y Q(X) = 8x3 + 12x + 9 su producto es:

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P(x).Q(x) = (-x2 + 2x+1). (8x3 + 12x+ 9) = -8x5 – 12x3 –9x2 + 16x4 + 24x2 +18x + 8x3 + 12x + 9 = - 8x5 + 16x4 - 4x3 + 15x2 + 30x + 9

3. División: Para facilitar la operación de división entre polinomios se adopta una disposición similar a la utilizada para la división de números de varias cifras. Los polinomios deben estar ordenados de decreciente y el polinomio dividendo debe estar completo. Dados dos polinomios D(x) y d(x), donde el grado de D(x) es mayor que el grado de d(x), se trata de determinar otros dos polinomios C(x) y R(x) tales que : D(x) = C(x).d(x) + R(x) con la condición grado de R(X) < grado de d(X) Regla de Ruffini El cociente de dividir un polinomio P(x) por otro polinomio de la forma Q(x) = x – a, dado por potencias decrecientes (y completadas si es necesario, con términos de coeficientes nulos), es otro polinomio igualmente ordenado. Para realizar este cociente se adopta una disposición práctica conocida como la Regla de Ruffini: Ejemplo: Dividir D(x)= x3 – 8x + 5 por d(x)= x – 3 • •

El dividendo ordenado y completo es: D(x) = x3 + 0x2 - 8x + 5 El divisor d(x) = x – 3 donde a = 3 1

0

3 1

-8

5

(3.1)

(3.3)

3

1

Coeficientes del polinomio dividendo (3.1) 8

Resto

Coeficiente del polinomio cociente El cociente y resto obtenido son: C(x) = x2 + 3x + 1 y el resto R(x) = 8 Teorema del resto: El resto de la división de un polinomio P(x), por un binomio de la forma . mérico de dicho polinomio para

es el valor nu-

FACTORIZACION DE POLINOMIOS (solamente se trabajarán los sgtes. casos) Factorizar un polinomio P(x) significa transformarlo en el producto de una constante por uno o más polinomios primos de coeficiente principal igual a uno.

1. FACTOR COMÚN

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Sacar f actor común a un polinom io consiste en aplicar la propiedad distributi va. Por ejemplo 5· x 4 -3· x 2 + 8· x = x ( 5x 3 -3x + 8) Una raíz del polinomio será x = 0 2. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO El cuadrado de un binomio de la forma , es decir de un polinomio de dos términos, se calcula de la siguiente manera . La expresión de la derecha recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo: 25x2 + 10xy2 + y4 = (5x + y2)2 De acuerdo con la definición de cuadrado de un binomio resulta que en el trinomio cuadrado perfecto: • Dos de sus términos son cuadrados perfectos. • El término restante es el doble producto de las bases de los cuadrados. 3. DIFERENCIA DE CUADRADOS El producto de la suma por la diferencia de dos términos, nos determina una expresión algebraica denominada diferencia de cuadrados . En símbolos, es posible expresarla como Por ejemplo: x2 - 25 = (x - 5).(x + 5) deducimos que (x – 5) y (x + 5) son factores de x2 – 25

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