PROPAGACIÓN DE ONDAS POR MODIFICACIÓN DE CONTORNOS FÍSICOS

FRANCISCO VICENTE LAGUNA PEÑUELAS, ALFREDO GRANADOS GRANADOS ETS Ingenieros de Caminos UPM

RESUMEN La propagación de ondas en medios unidimensionales como canales o colas de embalse, puede estudiarse por las conocidas ecuaciones de Saint-Vennant. Sus métodos de resolución parten de un contorno fijo, adoptando esquemas implícitos o transformando en ecuaciones en diferenciales totales (método de las características). Este trabajo trata el problema de modificación prefijada de contornos como consecuencia de acciones externas a la propia circulación del agua. Se resuelven las nuevas ecuaciones ante dichos cambios en el fondo o ancho del cauce correspondiente. Algunos ejemplos donde puede aplicarse esta metodología, corresponden al análisis de avenidas en procesos erosivos intensos, que modifican el ancho o perfil del lecho la generada por un deslizamiento de ladera en la cola de un embalse con arrastre de material y/o taponamiento parcial de la sección, o la formación de un tsunami como consecuencia de la modificación del fondo marino ante un sismo. En estas aplicaciones, se simplifica el problema ante un esquema unidimensional, pero se pueden introducir efectos bidimensionales afectando la variable ancho de la perturbación.

INTRODUCCIÓN El estudio del régimen variable en lámina libre unidimensional con contornos móviles puede aplicarse tanto a fondos móviles como a deslizamientos de laderas. Con las nuevas ecuaciones de la continuidad y de la dinámica, convenientemente modificadas para alterar el fondo y los cajeros, se transforman a diferenciales totales por el conocido método de las características. Su resolución se efectúa en un esquema implícito con paso fijo de tiempo y variable en x. Se plantean dos escenarios bien distintos: •

plataforma marina cuyo fondo sufre una modificación brusca debido a un sismo, originando un tsunami.

•

deslizamiento de una ladera en un embalse, provocando una avenida como consecuencia de la aportación súbita de materiales al vaso.

En el primer caso, el dato relevante lo constituye la alteración del fondo marino, mientras el segundo caso, será la alteración del contorno lateral, seguido mas adelante, por la cota del fondo.

1

Se desarrolla el caso particular de sección trapecial, aunque dicha metodología es fácilmente ampliable a cualquier tipo de secciones. Esta herramienta simplifica y sustituye modelos bidimensionales que incorporan el caudal sólido de manera puntual. En el ejemplo del tsunami no se intenta aplicarlo y generalizarlo indiscriminadamente por la complejidad mucho mas que bidimensional del fenómeno y sus escalas. Solo suministra una primera magnitud de la propagación de las ondas. La alteración de la misma por los contornos precisa cuanto menos un modelo bidimensional, además de incorporar la aceleración de Coriolis. MODELO MATEMÁTICO El modelo de régimen variable unidimensional de contornos móviles contiene los siguientes elementos: El modelo del régimen variable contempla las siguientes hipótesis: • Aceleración de Coriolis despreciable. • Las fuerzas de rozamiento del fondo utilizan la fórmula de Manning con un radio hidráulico igual al calado del mar en ese tramo. • Los desplazamiento del fondo marino son verticales y corresponden a la hipótesis de movimiento variable que se considera debido al efecto de un sísmo. • Para el deslizamiento de laderas, se considera el vaso de embalse asimilable a perfiles con forma trapecial, donde la aportación sólida modifica uno de los cajeros manteniendo el talud del mismo y disminuyendo el ancho en el fondo. Condición frontera de fondo variable en el tiempo debido al sísmo o variación de ancho en el tiempo debida a un deslizamiento de ladera con su aportación sólida. Las uniones entre los distintos tramos pueden venir motivadas por: • Consideraciones geométricas (cambio de profundidad marina, escalones, cambio de sección trapecial). • Consideraciones hidráulicas (cambio de rugosidad). El régimen variable producido consiste en la propagación de ondas “tsunami” que pueden amplificarse, así como ondas generadas en un embalse debido al aporte súbito de sólidos que acontece en determinadas secciones por deslizamiento de laderas. Se utilizan los siguientes elementos y nomenclatura, aplicados a una sección trapecial: Q V T b h z

caudal para el tramo considerado velocidad de desplazamiento de la masa de agua en el tramo considerado ancho en la superficie de la lámina en el tramo considerado ancho en el fondo en el tramo considerado cota de lámina en el tramo considerado cota de fondo en el tramo considerado 2

La ecuación de continuidad, para una sección asimilada a un trapecio con posible desplazamiento en el fondo y cajeros, es:

∂S (h ( x, t ), b( x, t ), z ( x, t ), x ) ∂[V .S (h( x, t ), b( x, t ), z ( x, t ), x )] + =0 ∂t ∂x ∂h ∂z ∂b ∂z ∂S ⎞ ∂V ⎛ ∂h T −T + (h − z )· + V ⎜ T −T + =0 ⎟+S ∂t ∂t ∂t ∂x ∂x ⎠ ∂x ⎝ ∂x La ecuación de la dinámica, admitiendo que la aportación es perpendicular al flujo: 2 1 ∂V ∂h V ∂V n .V V + =0 + . + 4/3 g ∂t ∂x g ∂x Rh

∂V ∂V λ .T ⎛ ∂h ⎛ + (V + λ ) + ⎜ + ⎜V ∂t ∂x S ⎝ ∂t ⎝ dx gS Haciendo =V +λ =V + dt λ.T

λ

y la segunda por g S ∂z ∂z ∂b ∂S ⎞ gS ⎞ ∂h ⎞ λ⎛ + +T − (h − z ) − V ⎟ ⎟ = − I . g + ⎜V ·T ⎟ ∂x ∂t ∂t ∂x ⎠ S⎝ λ .T ⎠ ∂x ⎠

Combinándolas linealmente multiplicando la primera por

gS = c2 T Luego quedan las siguientes ecuaciones ∂z ∂b ∂S ⎞ dV g dh g ⎛ ∂z dx ± = − I .g ± + VT − (h − z ) − V =V ± c .⎜ T ⎟ ∂x ∂t ∂x ⎠ dt c dt c.T ⎝ ∂t dt Para tramos de modelo unidimensional en lámina libre se utiliza el método implícito de las características con intervalo de tiempo de cálculo que asegure la convergencia. La longitud parcial mínima viene condicionada por la estabilidad del algoritmo. de acuerdo con la expresión: ∆x ≥ ∆t.(a + V )

El valor de λ que satisface es λ2 =

La condición frontera izquierda viene dada por una ley de reflexión de ondas tipo playa , cola de embalse o reflexión total. La condición frontera derecha también se puede simular con tipo playa, reflexión total o ley prefijada de cotas-caudales (caso particular la sección crítica de un aliviadero) Las ecuaciones resultantes se simplifican e integran aplicando el método de las características. Se produce una malla en x y t.

3

P

t+dt

t

i-1 M

i

N

i+1

El algoritmo de cálculo para el punto P (situado en i para el tiempo t+dt), es el siguiente: •

Se parte de un tiempo t, donde se conoce la velocidad y altura de lámina en los puntos donde se ha discretizado el tramo y en particular del i y sus limítrofes i-1 e i+1.

•

Se presupone una pendiente a las curvas características C+ y C- formada en una primera aproximación con el valor de V+C y V-C donde C es la celeridad de la onda y V la velocidad media del recorrido de la correspondiente curva característica entre los puntos P y M o N respectivamente.

•

La curva característica C+ arranca del punto M y termina en el P. Su pendiente va cambiando desde M a P en función del cambio de V. Si se supone la curva característica una parábola la intersección en M corresponde a la pendiente media (C+V)MP donde MP representa la media entre los puntos M y P. Análogamente el punto N se obtiene desde la característica CX − XM dx = VMP + C MP = P (+) dt dt X − XN dx = V NP − C NP = P ( −) dt dt

(h − z) ∂b − VMP ∂S ⎞ VP −VM g hP − hM g ⎛ ∂z b + = −IMP.g + .⎜ − VMP·I0i − ⎟ c ∆t cMP ⎝ ∂t T ∆t T ∂t T ∂x ⎠

VP − V N g hP − h N (h − z ) ∂b − VNP ∂S ⎞ g ⎛ ∂z .⎜ − VNP · I 0 d − = − I NP . g − − ⎟ ∆t T ∂t T ∂x ⎠ c NP ⎝ ∂t c ∆t Despejando en P VP = C1 + C 2 .hP

•

•

VP = C3 − C 4 .hP Las pérdidas unitarias en cada tramo, se consideran proporcionales a la velocidad al cuadrado n 2V 2 que circula por el tramo y en particular la fórmula de Manning I = 4 ( S / P) 3 Los valores de las velocidades y alturas de lámina en M y N se obtienen por interpolación lineal para el tiempo t de los valores del punto i y sus colindantes i-1 e i+1. VM = Vi −1 .α1 + Vi .(1 − α1 ) hM = hi −1 .α1 + hi .(1 − α1 )

VN = Vi +1 .α 2 + Vi .(1 − α 2 )

4

hN = hi +1 .α 2 + hi .(1 − α 2 )

•

Se obtiene los coeficientes C1, C2 correspondientes a la característica (-), y C3 y C4 de la (+)

(h − z ) ∂b − VNP ∂S ⎞ − I P + I N . g ⎞ − C .h ⎛ ⎛ ∂z C1 = VN + ∆t.⎜ − C 2 ⎜ − I 0 d ·VNP − ⎟ ⎟ 2 N T ∂t T ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂t ⎝ ⎠

(h − z ) ∂b − VMP ∂S ⎞ − I P + I M . g ⎞ + C .h ⎛ ⎛ ∂z C3 = VM + ∆t.⎜ + C 4 ⎜ − I 0i ·VMP − ⎟ ⎟ 4 M T ∂t T ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂t ⎝ ⎠ 2g 2g C2 = C4 = CN + CP CM + CP VP = C1 + C 2 .hP VP = C3 − C 4 .hP

•

Se resuelve el sistema, calculando la velocidad V y alturas piezométricas h, en P

C1 + C3 C − C1 hP = 3 2 (C 2 + C 4 ) También se puede analizar el desplazamiento del fondo como la aportación de un caudal unitario ∂z mientras dura el desplazamiento, pero dicho planteamiento se debe utilizar de valor la qu = ∂t si hay transporte sólido. VP =

APLICACIÓN A LA AVENIDA PROVOCADA POR APORTACIÓN SÚBITA DE MATERIALES A UN EMBALSE

Un posible ejemplo consiste en la onda producida por el deslizamiento de una ladera que se puede aplicar a un hipotético embalse cuyos perfiles transversales se simplifican a secciones trapeciales. El aliviadero permite conocer la condición frontera aguas abajo mediante la oportuna curva de calados- cotas. Los perfiles transversales de forma trapecial se muestran en la figura 1 y 2.

5

Supongamos un amplio y brusco deslizamiento de ladera que afecta a casi 300m y se materializa con un estrechamiento muy rápido en 2 minutos de duración. El deslizamiento de ladera ocurre en el pk 3900 y pk 4050 pasando el ancho en dicha zona desde 70m a 40m en 120s. La evolución en el tiempo del fondo y ancho sigue la siguiente tabla:

6

Tabla 1 Variación cotas y anchos en pk3900 tiempo cota fondo ancho fondo (s) (m) (m) -100 600 70 0 600 70 20 600 60 40 600 55 60 600 50 120 600 40 200 600 40 4000 600 40

La masa movilizada afecta a todo el tramo y origina un caudal que se va laminando conforme se aproxima al aliviadero. Los caudales y láminas para distintos tiempos aparecen en la figura 3 y 4 respectivamente

7

Se observa el reparto de la masa que se incorpora al vaso, como una elevación que se extiende a lo largo del mismo para cada tiempo considerado. En la figura 5 aparece el hidrograma en determinados pk del embalse.

8

APLICACIÓN A UN TSUNAMI

El segundo ejemplo propuesto modeliza una franja de fondo marino de 800 km con un ancho medio de 1km y profundidad media de 5 km. La tabla de fondo marino para dicho PK queda de la siguiente forma

La placa del fondo donde se produce el sismo esta en el pk 510km En dicho punto se produce una elevación del fondo de 10m abarcando toda la anchura del modelo (1km), con la ley de tiempos dada en la tabla 2 Tabla 2. Variación fondo marino y anchos tiempo pk510 km ancho cotas -100 -5000 1000 0 -5000 1000 30 -4995 1000 60 -4990 1000 90 -4990 1000 120 -4990 1000 200 -4990 1000 4000 -4990 1000

Los resultados de las alturas de lámina generadas y caudales se muestran en la figura 7 y 8

9

10

Por último, la variación de niveles en distintos puntos, se muestran en la figura 9

Es fácil tener en cuenta la variación de ancho para incorporar la reflexión de ondas laterales y el efecto del incremento de elevación al aproximarse a la costa 4. CONCLUSIÓN

El método propuesto, de fácil aplicación, es una herramienta práctica que permite resolver problemas complejos de propagación de ondas generadas por la modificación del contorno físico, como es el análisis de los deslizamientos de ladera en el interior de un embalse, problema delicado que afecta a la seguridad de la presa y que es hoy en día un tema en discusión en algunos de los nuevos embalses incluidos en el PHN.

BIBLIOGRAFÍA J.C. Mosquera, L. Garrote, F.J. Martin-Carrasco (2003) A methodology to assess the impact of natural hazards on dam safety. Geophysical Research Abstracts, Vol. 5, 11431, 2003 Laguna, F. (2005) Apuntes de clase Hidráulica Computacional (Doctorado Conjunto UPM – México)

11