˜ ´ PROPUESTA DE ENSENANZA DEL METODO DE LOS ´ ´ ARBOLES DE VERDAD EN LA CORRECCION DE ARGUMENTOS

´ NICOLAS ´ PITALUA ´ POLO JOSE

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS MEDELL´IN, COLOMBIA 2013

˜ ´ PROPUESTA DE ENSENANZA DEL METODO DE ´ LOS ARBOLES DE VERDAD EN LA ´ CORRECCION DE ARGUMENTOS

´ NICOLAS ´ PITALUA ´ POLO JOSE

TRABAJO FINAL PRESENTADO COMO REQUISITO PARA OPTAR AL T´ITULO DE: ˜ MAGISTER EN LA ENSENANZA DE LAS CIENCIAS EXCATAS Y NATURALES

Directora: ˜ JULIA VICTORIA ESCOBAR LONDONO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS MEDELL´IN, COLOMBIA 2013

Dedicado a mi mama

I

Agradecimientos Quiero agradecer a mi maestra y directora de este proyecto Julia Victoria Escobar Londo˜ no, por darme la oportunidad de llevar a cabo un trabajo que desde hace mucho quer´ıa hacer y por compartir conmigo ese don raro y que ella posee que no es otro que el de con muy pocas palabras decir muchas cosas. Agradezco a mi mama Elsa Ester Polo Sanchez por ayudarme de muy diversas maneras a lograr las metas que me he propuesto y hasta ahora he alcanzado. Doy gracias a mi gran amiga Kety Ester Galeano Anaya por animarme a proseguir a´ un cuando las cosas no pintaban bien, ya sea por uno o por otro problema y tambi´en por se˜ nalarme varios errores que fu´ı cometiendo a lo largo de toda la maestr´ıa. Quiero darles las gracias a los maestros de la Universidad Nacional, en especial al profesor Juan Gonzalo Moreno. Su erudicci´on aunada a su amor por ense˜ nar reafirmaron en mi, el deseo de ayudar a la formaci´on de otros, mediante la educaci´on. Por u ´ltimo desde ya pido disculpas, en caso de que suceda, que haya dejado de mencionar a alguien importante en el proceso de realizaci´on de este trabajo.

II

Resumen En este trabajo busqu´e realizar una propuesta de ense˜ nanza del m´etodo de los ´arboles de verdad para la l´ogica proposicional bivalente, como alternativa al m´etodo de las tablas de verdad, y obtener con dicho m´etodo las propiedades sem´anticas de una f´ormula dada en el lenguaje proposicional de la l´ogica bivalente, determinar si un conjunto de f´ormulas es consistente y finalmente para corregir argumentos ya sea que est´en dados en el lenguaje proposicional de la l´ogica bivalente o traducidos al lenguaje proposicional desde el lenguaje natural que en este trabajo es el espa˜ nol. Dicha propuesta puede ser aplicada en la b´asica media de Colombia por docentes de filosof´ıa o matem´aticas. Puesto que los los a´rboles de verdad se aplican espec´ıficamente para la determinaci´on de la consistencia de un conjunto de f´ormulas, defin´ı todas las dem´as propiedades sem´anticas, en terminos de consistencia. Para la correcci´on de argumentos, divid´ı la propuesta en dos etapas: traducci´on y aplicaci´on propiamente dicha del m´etodo de los a´rboles de verdad en la correcci´on de argumentos. Primero de los que est´an dados en el lenguaje proposicional y segundo, de los argumentos traducidos al lenguaje proposicional, desde el lenguaje natural (espa˜ nol). As´ı los docentes que deseen aplicar la propuesta, encontrar´an una organizaci´on de contenido que desde lo m´as sencillo a lo m´as complejo. Dado que no laboro en un colegio, propuse a varios profesores de grado d´ecimo y und´ecimo tanto en Medell´ın, como en Monter´ıa, la aplicaci´on de la propuesta, encontr´andome en todos los casos con una respuesta negativa, ya que por una parte, muchos de ellos me comentaron que en sus colegios la materia de l´ogica no se imparte y por otra parte los que s´ı la imparten s´olo manejan el m´etodo de las tablas de verdad, pues es el u ´nico que conocen. As´ı que en u ´ltima instancia la propuesta est´a encaminada a que el docente de matem´aticas o filosof´ıa de la b´asica media en Colombia se apropie del m´etodo a medida que se decida a implementarlo. III

Plabras clave: L´ogica, a´rboles de verdad, sem´antica, educaci´on.

IV

Abstract In this paper I sought to make a proposal of teaching the method of truth trees bivalent propositional logic, as an alternative to the method of truth tables, and get with the method the semantic properties of a given formula in the propositional language bivalent logic to determine if a set of formulas is consistent and finally to correct arguments whether they are given in the language of logic propositional bivalent or translated into propositional language from the natural language in this work is the Spanish. This proposal can be applied in the middle of Colombia by basic philosophy or mathematics teachers. Since real trees apply specifically to consistency determining a set of formulas I defined all other semantic properties, in terms of consistency. For the correctness of arguments, the proposal I divided into two stages: translation and proper application of the method of truth trees to correct arguments. First of which are given in the propositional language and second, arguments translated into propositional language, from natural language (Spanish). So teachers who wish to implement the proposal, find an organization of content from the simplest to the most complex. Given that I work in a school, several teachers suggested to tenth and eleventh grade both in Medellin, as in Monteria, the implementation of the proposal, finding in all cases with a negative response, since on the one hand, many of them told me that in their schools the subject is not taught logic and moreover teach those who did only handle the method of truth tables, it is all they know. So ultimately the proposal is aimed at the teaching of mathematics or philosophy of average basic method appropriates Colombia as he decides to implement. Key Words: Logic, truth trees, semantic, education.

V

´Indice general ´ INTRODUCCION

1

1. GENERALIDADES 1.1. Problema . . . . . . . . . . 1.2. Justificaci´on . . . . . . . . . 1.3. Objetivos . . . . . . . . . . 1.3.1. Objetivo General . . 1.3.2. Objetivos Espec´ıficos

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´ 2. REFERENTES TEORICOS 2.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Marco te´orico . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Breve historia de la l´ogica . . . . . 2.2.1.1. La l´ogica de Arist´oteles . 2.2.1.2. La l´ogica megarico-estoica 2.2.1.3. La novedad de Frege . . . 2.3. Funci´on argumentativa del lenguaje . . . . 2.4. L´ogica formal . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Divisiones de la l´ogica . . . . . . . 2.5. Lenguaje formal de primer orden . . . . . 2.6. Cuadro de s´ımbolos formales . . . . . . . . 2.7. Lenguaje y metalenguaje . . . . . . . . . . 2.8. Definici´on de t´ermino . . . . . . . . . . . . 2.8.1. Definiciones recursivas o inductivas 2.9. F´ormulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1. F´ormula at´omica o predicaci´on . . 2.9.2. Definici´on de f´ormula . . . . . . . . 2.10. Clases de f´ormulas . . . . . . . . . . . . . 2.10.0.1. Negaci´on . . . . . . . . . 2.10.0.2. Conjunci´on . . . . . . . . 2.10.0.3. Disyunci´on . . . . . . . .

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6 6 7 7 7 8 8 8 9 10 10 12 13 14 14 15 15 16 17 17 17 18

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VI

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2.10.0.4. Implicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.0.5. Coimplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.0.6. Generalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.0.7. Particularizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.0.8. Definiciones adicionales . . . . . . . . . . . 2.11. Sem´antica de la l´ogica proposicional . . . . . . . . . . . . . . 2.11.1. Reglas para la asignaci´on de los valores de verdad . . 2.11.2. Tautolog´ıas, contradicci´on e indeterminaci´on . . . . . 2.11.3. Equivalencia sem´antica . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.4. Consistencia sem´antica . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11.5. Validez e implicaci´on sem´antica . . . . . . . . . . . . 2.12. Definici´on de las propiedades sem´anticas en funci´on de la consistencia de un conjunto de f´ormulas . . . . . . . . . . . . .

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18 18 18 18 18 21 21 24 25 25 26

. 27

˜ DE LA PROPUESTA 3. DISENO 3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Sensibilizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 3.3. Arboles de verdad en LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Reglas para conjunci´on, la disyunci´on y la negaci´on . . 3.3.2. Reglas para el condiconal y el bicondicional . . . . . . 3.3.3. Tautolog´ıas, contradicciones y f´ormulas indeterminadas 3.3.4. Equivalencia sem´antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Aplicaci´on por etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Etapa 1: Traducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1.1. F´ormulas at´omicas . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1.2. F´ormulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1.3. Negaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1.4. Conjunci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1.5. Disyunci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1.6. Implicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1.7. Coimplicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1.8. Argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Etapa 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2.1. Aplicaci´on del m´etodo de los a´rboles de verdad para argumentos en LP . . . . . . . . . . 3.4.2.2. Aplicaci´on del m´etodo de los a´rboles de verdad para argumentos en espa˜ nol . . . . . . .

29 29 30 32 33 42 47 50 52 53 54 55 55 56 56 57 58 58 61 61 63

4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 70 4.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 VII

´Indice de cuadros 2.1. S´ımbolos, l´ogicos, no l´ogicos y auxiliares . . . . . . . . . . . . 12 3.1. Dise˜ no de la propuesta por pasos . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2. Ense˜ nanza por etapas del m´etodo de los ´arboles de verdad . . 53

VIII

´ INTRODUCCION La l´ogica matem´atica tiene su origen en la obra conceptograf´ıa de Gottlob Frege (1848-1925). En un principio Frege construy´o dicha l´ogica con el prop´osito de fundamentar a la matem´atica, lo que se conoce como logicismo. Y aunque dicho prop´osito se vino abajo, por la llamada paradoja de Russell, el trabajo de Frege leg´o a la posteridad la teor´ıa ingenua de conjuntos y las bases de la l´ogica moderna. Ahora bien desde 1879, a˜ no de aparici´on de la conceptograf´ıa, hasta ahora, se ha aplicado el formalismo de la l´ogica matem´atica para entender la historia de la l´ogica, para axiomatizar la l´ogica aristot´elica, para buscar l´ogicas diferentes a las bivalentes, para estudiar diversas teor´ıas filos´oficas y para formalizar el lenguaje com´ un y as´ı evitar la vaguedad del mismo. En la media vocacional se ense˜ na (cuando se hace) propiamente la parte de la l´ogica matem´atica conocida como l´ogica proposicional bivalente, usando el m´etodo sem´antico de las tablas de verdad. Pero dicho m´etodo no es u ´nico ya que los ´arboles de verdad permiten obtener los mismo resultados con la ventaja que trae consigo usar los diagramas de ´arbol. En esta tesis me propongo usar primeramente el m´etodo de los ´arboles de verdad para obtener todas las propiedades sem´anticas de la l´ogica proposicional bivalente. Despu´es y ayud´andome de los resultados obtenidos mostrar´e como corrregir argumentos dados en el lenguaje natural (espa˜ nol). Lo anterior para ofrecer a los profesores de educaci´on media en Colombia una propuesta de ense˜ nanza de la l´ogica proposicional bivalente que puede ser usada como alternativa a la tradicional. Tambi´en busco ayudar a que los estudiantes de educaci´on media estructuren su pensamiento.

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1 GENERALIDADES 1.1.

Problema

Al trabajar la competencia argumentativa, estamos dando un paso fundamental para superar las limitaciones propias de la escuela nueva y tradicional1 . Esta competencia se expresa en desempe˜ nos que van en dos direcciones: en primer lugar, en la capacidad de comprender la racionalidad de un argumento expuesto para tomar partido ante el mismo y, por el otro, la capacidad de producir un argumento razonable y convincente y sustentar esa posici´on, gracias a la solidez de las premisas y a la ilaci´on l´ogica entre premisas y conclusiones. Tradicionalmente en la b´asica media de Colombia, para ((ver)) dicha ilaci´on se ense˜ na el m´etodo de las tablas de verdad de la l´ogica bivalente. Una de las causas de esto, es que muchos de los docentes de filosof´ıa o licenciados en matem´atica que imparten l´ogica en el nivel de educai´on b´asica y media de Colombia, mientras cursaron sus estudios en la universidad, vieron en la mayor´ıa de los casos un u ´nico curso de l´ogica moderna, en donde se centro la atenci´on en la parte sem´antica correspondiente a las tablas de verdad de la l´ogica proposicional bivalente.2 Sin embargo el uso de este m´etodo se vuelve engorroso si se usan f´ormulas de la l´ogica proposicional que tengan tres o m´as f´ormulas at´omicas, llevando a que en ocasiones por tratar de ((llenar la tabla)) se olvide que lo que se quiere no es tan s´olo llenarla sino dar cuenta de la relaci´on l´ogica entre premisas y conclusi´on3 . 1 Zurib´ıa,J., Las competencias argumentativas e interpretativas en la educaci´ on b´ asica y media, [En l´ınea]. Junio 2009. P.35. Disponible en la web: http://www.slideshare.net/maurelis/las-competencias-412550 2 Cabanzo,A., La ense˜ nanza estudios de la l´ ogica y el an´ alisis del texto argumentativo, revista actualidades, n´ umero 54, julio-diciembre 2009.190 p. 3 Cabanzo, Op.cit., p.172

2

La l´ogica matem´atica ha avanzado mucho, hasta el punto de existir muchas l´ogicas y donde la l´ogica proposicional bivalente es s´olo una de las opciones, sin embargo y por ser la que nos ayuda a reproducir m´as aspectos de la realidad es que la que m´as se ense˜ na4 . Sin embargo la misma l´ogica bivalente ha progresado bastante, hasta establecerse las l´ogicas modales donde el uso de las tablas de verdad es insuficiente para lograr una mayor comprensi´on. As´ı pues el uso exclusivo de las tablas de verdad estar´ıa bien si los estudiantes de la b´asica media trataran con la l´ogica bivalente s´olo en esta etapa de su educaci´on, cosa que no es cierta ya que incluso las discusiones sobre la existencia de Dios se entienden mejor usando el aparato de la moderna l´ogica bivalente5 . As´ı pues los estudiantes se ver´an desarmados al verse enfrentados con argumentos donde el s´olo uso de las tablas de verdad no baste para la correcci´on de un argumento y este problema se agrava si como dije antes los docentes encargados de ense˜ nar l´ogica en la media b´asica no sepan usar un m´etodo distinto al de las tablas de verdad para establecer propiedades sem´anticas tales como: si una f´ormula es una tautolog´ıa o una contradicci´on o si es sem´anticamente indeterminada, la consistencia de un conjunto finito de f´ormulas y si un argumento es sem´anticamente v´alido.

1.2.

Justificaci´ on

El procedimiento de la b´ usqueda de contraejemplos, ha sido utilizado en l´ogica desde antiguo para la invalidaci´on de argumentos cuya correcci´on se pone en tela de juicio. Pero el hallazgo del contraejemplo era algo que hasta el presente depend´ıa pr´acticamente del azar. Sin embargo, desde 1955 se ha impuesto entre los l´ogicos, gracias a las investigaciones, llevadas a cabo separadamente, de E. W. Beth y J. Hintikka6 , un m´etodo que permite la b´ usqueda sistem´atica de la interpretaci´on invalidadora del argumento. Ello ha dado lugar a una nueva t´ecnica de c´alculo que recibe el nombre de ´arboles de verdad. La caracteristica principal de ´esta t´ecnica es operar con un conjunto muy reducido de reglas. Las tablas de verdad son otra t´ecnica para encontrar contraejemplos cuando se quiere invalidar un argumento dado en el lenguaje usado por la l´ogica proposicional. Su mayor virtud es que permite ver f´acilmente c´omo el valor 4

˜ a, L., Introducci´ Pen on a las l´ ogicas no cl´ asicas, segunda edici´on, UNAM, M´exico, 1993. P´ ag. 7 julio-diciembre 2009.190 p. 5 ´ Paez M., Introducci´ on a la l´ ogica moderna, segunda edici´on, uniandes, Bogot´a, D.C., 2010. P´ ag.336 6 Garrido,M., L´ ogica simb´ olica, cuarta edici´on, tecnos, Madrid, 2001. P´ag. 172

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de verdad de una f´ormula se genera a partir del valor de verdad de las f´ormulas at´omicas que la componen. Sin embargo, las tablas de verdad tienen el defecto de ser inmanejables cuando la f´ormula tiene 4 o´ 5 f´ormulas at´omicas, y entre m´as filas de valores haya, mayor ser´a el riesgo de cometer un error. Este defecto de alargarse causa en el estudiante, por una parte la sensaci´on de que la l´ogica se trata de s´olo llenar una tabla de valores de verdad perdi´endose el objetivo que no es otro que el ver la ilaci´on l´ogica de premisas y conclusi´on y por otra parte causa frustraci´on al ver el estudiante que ha llenado una larga tabla y ver con todo que se ha equivocado7 . En raz´on a lo anterior la ense˜ nanza de los ´arboles de verdad se presenta como una alternativa a la ense˜ nanza tradicional que precisamente por usar a´rboles permiten seguir ((gr´aficamente)) la ilaci´on l´ogica entre premisas y conclusi´on y que por lo tanto no har´ıan, ni aunque se de el caso de que los ´arboles sean ((largos)) que quien los realice se olvide que lo construye lo hace no tan s´olo para llevar a cabo una tarea (por ejemplo llenar una tabla de valores de verdad) sino tambi´en para saber c´omo es que la conclusi´on se sigue l´ogicamente de las premisas8 . Pero para ense˜ nar un tema es condici´on necesaria (pero no suficiente) saber del mismo, de ah´ı que en esta monograf´ıa se presente una propuesta del uso del m´etodo de los ´arboles de verdad de la l´ogica proposicional bivalente, en la correcci´on de argumentos, que se puede ense˜ nar a estudiantes de media b´asica en Colombia, compuesta por pasos. As´ı los docentes que no est´an familiarizados con este m´etodo al verlo como opcional y secuencial lo pueden ir ense˜ nando a media que se vayan apropiando mejor del mismo.

1.3. 1.3.1.

Objetivos Objetivo General

Dise˜ nar una propuesta de ense˜ nanza compuesta por pasos, del m´etodo de los ´arboles de verdad, en la correcci´on de argumentos, que puede ser puesta en pr´actica por docentes de filosof´ıa o matem´aticas en los niveles educaci´on b´asica y media de Colombia. 7 8

Cabanzo, Op.cit., p.172 Garrido, Op.cit., p.175

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1.3.2.

Objetivos Espec´ıficos

1. Usar el m´etodo de los a´rboles de verdad de la l´ogica proposicional bivalente para determinar cuando una f´ormula es una tautolog´ıa, cuando una f´ormula es una contradicci´on y finalmente cuando una f´ormula es una f´ormula sem´anticamente indeterminada. 2. Mostrar c´omo se formalizan enunciados del lenguaje cotidiano y su relaci´on con expresiones del lenguaje de la l´ogica formal proposicional bivalente. 3. Corregir argumentos dados en lenguaje natural (espa˜ nol) a partir del uso del m´etodo de los ´arboles de verdad para el lenguaje de la l´ogica proposicional bivalente.

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2 ´ REFERENTES TEORICOS 2.1.

Antecedentes

Para dise˜ nar una propuesta de ense˜ nanza compuesta por pasos, del m´etodo de los a´rboles de verdad, en la correcci´on de argumentos, que puede ser puesta en pr´actica por docentes de filosof´ıa o matem´aticas en los niveles educaci´on b´asica y media de Colombia, es conveniente referir la consulta documental de trabajos realizados que guardan relaci´on con los objetivos propuestos en este estudio, en funci´on a ello se menciona a: Cabanzo A1 . Que efectu´o un trabajo donde expresa que los m´etodos visuales sirven para la apropiaci´on de los distintos conceptos en las diferentes ramas de la ciencia. Recomend´o la necesidad de estudiar los distintos m´etodos visuales para entender la l´ogica bivalente elemental que servir´an para comprender las partes m´as avanzadas de la misma, como la l´ogica modal. Lo antes se˜ nalado, tiene estrecha vinculaci´on con los objetivos de esta monograf´ıa, en cuanto a que el m´etodo de los ´arboles de verdad es un m´etodo visual, para estudiar la correcci´on de un argumento. De igual manera Sep´ ulveda D2 . analiz´o la Importancia de la competencia argumentativa en matem´aticas, estableciendo que los distintos m´etodos gr´aficos resaltan el caracter constructivo en los estudiantes, mejorando su 1

Cabanzo,A., M´etodos visuales para la verificaci´ on de argumentos y el an´ alisis sem´ antico, [En l´ınea]. Marzo 2011. 28 p. Disponible en la web: http://revistas.lasalle.edu.co/index.php/lo/article/download/496/416 2 ´ lveda,D., Sepu Evaluaci´ on de la competencia argumentativa en matem´ aticas, [En l´ınea]. Mayo 2013. 80 p. Disponible en la web: http://www.bdigital.unal.edu.co/8241/sthash.FjAyrdnh.dpuf

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capacidad para realizar argumentos deductivamente fuertes. La referencia anterior, se relaciona con el prop´osito de buscar una forma gr´afica apropiada para establecer la relaci´on l´ogica entre premisas y conclusi´on. Por otra parte Martinez C3 . desarroll´o una investigaci´on, donde propone un modelo normativo de evaluaci´on de argumentos y explicaciones en contextos dial´ogicos, en funci´on de 1) la disponibilidad o no de evidencias y 2) el acuerdo o desacuerdo entre los interlocutores con respecto a la verdad de la afirmaci´on que es objeto del di´alogo. El estudio mencionado se emparienta con el reconocimiento de que el simple uso de las tablas de verdad no capacita al estudiante para la defensa de sus argumentos ni para la elaboraci´on efectiva de los mismos.

2.2.

Marco te´ orico

2.2.1.

Breve historia de la l´ ogica

2.2.1.1.

La l´ ogica de Arist´ oteles

Nadie antes de Arist´oteles (384/83-322 a.C.) investig´o tem´aticamente la l´ogica como tal, es decir, como la teor´ıa de la inferencia. Sin embargo, el asunto abordado en las primeras obras l´ogicas de Arist´oteles, como son el tratado de los T´opicos y Sobre la refutaci´on de los sofismas, no es la l´ogica de la ciencia sino la dial´ectica o l´ogica de la opini´on,4 la teor´ıa de la argumentaci´on no necesaria, sino solamente probable, que es el que ejercitamos en la vida diaria y de la que disponemos cuando a´ un no se ha generado la ciencia. S´olo bastante m´as tarde, ya en fase de plena madurez, escribi´o Arist´oteles, en la obra transmitida con el t´ıtulo Segundos Anal´ıticos, su teor´ıa de la demostraci´on o razonamiento cient´ıfico. Y m´as tarde a´ un llevar´ıa a cabo el an´alisis puramente formal del razonamiento o silogismo en los Primeros Anal´ıticos. 3

Martinez,C., Coordinaci´ on pragm´ atica de teor´ıas y evidencias en la argumentaci´ on, [En l´ınea]. Junio 2010. 60 p. Disponible en la web: http://www.bdigital.unal.edu.co/1481/sthash.k4cREZ2J.dpuf 4 M´ as adelante veremos que en la l´ogica como ciencia se considera que un argumento es v´ alido cuando la conclusi´ on se sigue necesariamente de las premisas, pero en la l´ogica que usamos para expresar opiniones, la conclusi´on se sigue probablemente de las premisas.

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2.2.1.2.

La l´ ogica megarico-estoica

. A diferencia de lo que sucede con Arist´oteles, cuyos escritos l´ogicos se han conservado con bastante integridad , s´olo conocemos textos fragmentarios de los l´ogicos meg´aricos y estoicos a trav´es del testimonio de sus contempor´aneos, lo cual permite sin embargo, advertir que con ellos se desarrolla por primera vez la l´ogica proposicional y la teor´ıa de los conectores. Los l´ogicos de la escuela estoica, el m´as brillante de los cuales fue Crisipo (siglo III a.C.), no s´olo dominan el lenguaje de los conectores. Cuentan con un sistema deductivo basado en cinco reglas de inferencia o ((improbables)) que formulan as´ı: Si lo primero, entonces lo segundo; pero lo primero; por tanto lo segundo. Si lo primero, entonces lo segundo; pero no lo segundo; por tanto no lo primero. No a la vez lo primero y lo segundo; pero lo primero; por tanto, no lo segundo. O lo primero o lo segundo; pero lo primero; por tanto, no lo segundo. O lo primero o lo segundo; pero no lo segundo; por tanto, lo primero. 2.2.1.3.

La novedad de Frege

El a˜ no de 1879 es decisivo en la historia de la l´ogica, ya que en ´el aparece un libro que define el paradigma no aristot´elicos, hoy dominante, de una l´ogica concebida como ciencia exacta, al modo matem´atico. Dicho libro libro se titul´o Conceptograf´ıa, obra del l´ogico y matem´atico alem´an Gottlob Frege. Gottlob Frege (1848-1925) fue profesor de matem´aticas en la Universidad de Jena, donde transcurri´o su vida. Abrigaba la convicci´on de que la ciencia matem´atica, dejando aparte a la geometr´ıa, pod´ıa deducirse de la l´ogica. Y al encontrar dificultades en el intento de probar su tesis en el lenguaje ordinario decidi´o elaborar el instrumental l´ogico adecuado, incluyendo el dise˜ no de un lenguaje artifical.

2.3.

Funci´ on argumentativa del lenguaje

El lenguje tiene variados usos, por ejemplo cuando le decimos (o le escribimos) a un amigo que el equipo de de f´ utbol de Colombia, le marc´o tres

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goles al equipo de f´ utbol de Bolivia, estamos usando el lenguaje para informar pero tambi´en podemos usar el lenguaje de otra forma, podr´ıamos usar el lenguaje para estudiar al lenguaje mismo, sobre todo cuando nos sirve para estudiar las unidades comunicativas b´asicas: los enunciados5 . As´ı pues algunas manifestaciones del uso del lenguaje del que estamos hablando son aceptar, rechazar, contradecir, suponer etc. Al lenguaje usado de esta forma lo llamaremos argumentativo. Ejemplos de argumentos son los siguientes: 1. Toda persona miente; pero todos los que van a fiestas son personas. Por tanto todo el que va a fiestas es un mentiroso. 2. Si llueve, entonces no salgo; es cierto que no sal´ı. Por tanto no llovi´o 3. Podemos afirmar con certeza que ning´ un le´on ha tenido el gusto de conocer a un marciano; pero todo el que conoce a un marciano es digno de ser invitado por el presidente a bailar en el palacio presidencial. Por tanto ning´ un le´on es digno de ser invitado por el presidente a bailar en el palacio presidencial. 4. Si Juan viene a mi casa, entonces no voy a la de ´el; pero Juan viene a mi casa. Por tanto no voy a la de ´el. 5. O leo esta monograf´ıa o juego f´ utbol. Pero no juego f´ utbol. Por tanto leo esta monograf´ıa. 6. Si salgo, entonces si voy donde Ana, entonces comprar´e caramelos. Pero saldr´e e ir´e donde Ana. Por tanto comprar´e caramelos.

2.4.

L´ ogica formal

En la secci´on anterior vimos ejemplos de argumentos, pero si los vemos con m´as atenci´o notar´emos que tienen ciertas sumulitudes tanto en el uso de ciertas palabras (entonces, todo, ninguno), como en la forma (si tal, entonces cual, pero tal. Por tanto cual, etc.) Pues bien del estudio de estas simulitudes y de las relaciones de dichas premisas es el objeto de estudio de la l´ogica6 formal, usando un lenguaje t´ecnico, la l´ogica formal es una ciencia que tiene por objeto el an´alisis formal de los argumentos. 5

un enunciado es una frase con sentido completo y que puede ser afirmada con verdad o falsedad 6 de ahora en adelante y por econom´ıa usaremos la solamente la palabra l´ogica en el sentido de la l´ ogica formal

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Como mencionamos antes (ver la nota al pie n´ umero 6) m´as adelante estudiaremos una definici´on m´as t´ecnica de lo que es un argumento pero por ahora basta saber que lo que nos quiere decir la definici´on t´ecnica de la l´ogica es que ella se encarga de estudiar las relaciones de necesidad que hay entre las premisas y la conclusi´on, es decir, la l´ogica nos dice si en el caso de que aceptemos las premisas, tenemos que necesariamente aceptar o no la conclusi´on.

2.4.1.

Divisiones de la l´ ogica

La l´ogica tiene un doble criterio de clasificaci´on: sint´actico y sem´antico. Seg´ un el criterio sint´actico la l´ogica se clasifica seg´ un las f´ormulas que se usen, es decir, sin importar cu´antos valores de verdad se les asigne a dichas f´ormulas, en: 1. L´ ogica de proposiciones o enunciados o juntores: Solo se usan las siguientes f´ormulas: negaci´on, conjunci´on, disyunci´on, implicaci´on y coimplicaci´on. 2. L´ ogica de predicados o cuantificadores: Se usan las f´ormulas anteriores, adem´as de la particularizaci´on y la generalizaci´on A la uni´on de la l´ogica de enunciados y la l´ogica de predicados se le llama l´ogica de primer orden. Si las letras predicativas se consideran como variables cuantificacables, entonces estaremos tratando con la l´ogica superior o de n-´esimo orden. Seg´ un el criterio sem´antico la l´ogica se clasifica seg´ un el n´ umero de valores de verdad de una f´ormula, en: 1. L´ ogica cl´ asica: Sus f´ormulas son bivalentes, es decir, las f´ormulas son o verdaderas o falsas y no puede ocurrir que lo sean a la vez. 2. L´ ogica no-cl´ asica Sus f´ormulas pueden tener m´as de dos valores de 7 verdad .

2.5.

Lenguaje formal de primer orden

Si se quieren analizar l´ogicamente ciertos elementos cient´ıficos (conceptos, teor´ıas, derivaciones y cosas de ese estilo) a menudo el mejor procedimiento 7

aqu´ı estudiaremos s´ olo la l´ ogica de juntores bivalente

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es traducir dichos elementos a un lenguaje simb´olico. En este lenguaje, en contraste al lenguaje ordinario, tenemos signos libres de toda ambiguedades y podemos hacer formulaciones exactas. Por tanto, en este lenguaje tanto la pureza como la correcci´on de una derivaci´on se pueden evaluar con una mayor facilidad y precisi´on. Ahora bien, un lenguaje formal debe componerse de tres elementos: 1. Una tabla de s´ımbolos formales, que viene a ser las veces de lo que en los lenguajes naturales se llama diccionario ya que aqu´ı constaran los signos, t´erminos y variables del lenguaje formal. 2. Unas reglas de formaci´on de f´ormulas. Las f´ormulas son al lenguaje formal lo que las oraciones a los lenguajes naturales, pero las reglas de formaci´on de f´ormulas (oraciones) en los lenguajes naturales son flexibles mientras que no es as´ı en el lenguaje formal, por ejemplo podemos decir, (( Kety no ha venido)), que significa lo mismo que ((no ha venido Kety)) mientras que para negar una expresi´on en el lenguaje formal, el negador debe ir irremediablemente siempre, como prefijo de la expresi´on negada. 3. Unas reglas de transformaci´on de f´ormulas que, permiten pasar de unas expresiones a otras

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2.6.

Cuadro de s´ımbolos formales

Los s´ımbolos del lenguage formal son de dos tipos, l´ogicos y no l´ogicos8 , en el cuadro 2.1 se presentan adem´as de los signos l´ogicos y no l´ogicos, los s´ımbolos auxiliares.

S´ımbolos l´ogicos

S´ımbolos no l´ogicos

S´ımbolos auxiliares

nombre conectores cuantificadores identidad letras enunciativas letras predicativas letras individuales: variables constantes letras funtoriales par´entesis y comas

s´ımbolo ¬, ∧,V ∨, W →, ↔. , =. p, q, r, ...p1 , q1 , r1 , .... n P, Q, R, ...P1 , Q1 , R1 , ..., Pmn , Qnm , Rm .... x1 , y1 , z1 , .... a1 , b1 , c1 , .... f, g, h, f1 , g1 , h1 , ... (,)

Cuadro 2.1: S´ımbolos, l´ogicos, no l´ogicos y auxiliares (tomado de Garrido, M., L´ ogica simb´ olica, cuarta edici´on, tecnos, Madrid, 2001. P´ag. 53-54)

Notas: 1. Las comas y puntos en la tabla solo sirven para separar los signos, es decir, no son s´ımbolos del lenguaje formal. 2. Los sub´ındices (en todos los s´ımbolos l´ogicos) sirven para diferenciar las letras. 3. A los s´ımbolos ‘∧’, W ‘∨’, V ‘→’, ‘↔’, los denominaremos como conectores y a los s´ımbolos ‘ ’, ‘ ’, los llamaremos cuantificadores 4. Las variables son de dos tipos: 8

De acuerdo a los signos auxiliares escogidos, la presentaci´on del lenguaje formal puede variar

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a) Las variables que pueden cuantificarse9 y b) Los par´ametros. Que son las variables que no se pueden cuantificar: con excepci´on de las letras individuales correspondientes a las variables, los s´ımbolos dados en el cuadro 2.1, son todos par´ametros10 . 5. Los super´ındices (en las letras predicativas y funtoriales) indican el n´ umero de t´erminos o el n´ umero de variables que se pueden cuantificar (solo en el caso de las letras predicativas), que se yuxtaponen a la derecha de la letra y la llamaremos n-´adica, as´ı por ejemplo a la letra ‘P 2 ’ se le colocar´an dos t´erminos o variables que puedan cuantificarse (‘P 2 ab’ o ‘P 2 (f a)b’ o ‘P 2 xy’, etc.) y la llamaremos di´adica.

2.7.

Lenguaje y metalenguaje

Como hemos visto, la l´ogica es una ciencia que trata sobre un lenguaje (el lenguaje formal) y por esa raz´on, hemos de distinguir entre el lenguaje que se estudia y el lenguaje en el que se hace el estudio, al primero lo llamaremos lenguaje objeto y al segundo, metalenguaje, en nuestro caso el metalenguaje (ya que por lo anterior, podemos concluir que el lenguaje objeto son los s´ımbolos y expresiones formales del lenguaje de la l´ogica) es el castellano usual, acompa˜ nado en su momento de signos auxiliares (par´entesis) y abreviaturas. La mejor forma de entender lo anterior es usando varios ejemplos: la expresi´on ((p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))) es una f´ormula del lenguaje objeto. Ahora bien si convenimos en en denominarla ‘℘’, este s´ımbolo (que no aparece en el cuadro 2.1) pertenece ya, al metalenguaje, es decir el s´ımbolo ‘℘’ es el nombre metaling¨ u´ıstico de la f´ormula. Ejemplo: Se podr´ıa usar la expresi´on metaling´ u´ıstica ℘ ∨ < como el resumen de las espresiones: p∨q p∨r q∨r 9

En la secci´ on de definiciones adicionales, precisamente en lo que es una variable ligada, se explica bien lo de la cuantificaci´ on de una variable. 10 En la l´ ogica superior, las letras predicativas se consideran variables cuantificables.

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as´ı la expresi´on ℘ ∨ < no ser´ıa una f´ormula, sino un esquema de f´ormula. Junto con lo anterior ahora estudiaremos el principio de uso y menci´on. Una expresi´on es usada cuando se emplea teniendo en cuenta lo que significa. Por ejemplo, en el enunciado: Kety es hermosa. la expresi´on ‘Kety’ es usada porque designa a una persona (una mujer). Pero si la expresi´on se considera como en su materialidad de yuxtapisic´on de signos, se dice que es mencionada. Por ejemplo en el enunciado: ‘Kety’ es una palabra de cuatro letras La misma expresi´on es mencionada. Cuando se menciona una expresi´on debe ir entre comillas.

2.8.

Definici´ on de t´ ermino

Definici´ on 2.1.

1. Una constante individual es un t´ermino.

2. Una letra funtorial n-´adica seguida de n t´erminos, siendo n ≥ 1. 3. Unicamente son t´erminos las expresiones que satisfagan 1. y 2. De lo que es un par´ametro y de la definici´on de t´ermino podemos deducir que todo t´ermino es un par´ametro aunque no todo par´ametro es un t´ermino. Ejemplos: son t´erminos las siguientes expresiones: a, b, c, f a, f b, f c, f 2 ab, f 3 g 3 abch2 bcf1 a .

2.8.1.

Definiciones recursivas o inductivas

La anterior definici´on es del tipo recursiva o inductiva, es decir a un objeto se le define en t´erminos de objetos del mismo tipo11 . Las definiciones inductivas constan de tres clausulas: 11

Cuando la definici´ on recursiva se aplica al lenguaje de la l´ogica, entonces se llama definici´ on por inducci´ on semi´ otica.

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Regla base: Un conjunto inicial de elementos que pertenecen al conjunto especificado. En el dafenici´on de t´ermino, la regla base est´a dada en 1.(Una constante individual...). Regla inductiva:Regla que define c´omo agregar nuevos elementos al conjunto desde aquellos que ya est´an en el conjunto. En la definici´on de t´ermino, la regla inductiva est´a dada en 2.(una letra funtorial...) Regla de exclusi´ on:12 El conjunto no contiene nada m´as que aquello especificado por la regla base o que se obtiene recursivamente por aplicaci´on de la regla recursiva. En la definici´on de t´ermino esta regla est´a dada en el punto 3. (Unicamente los t´erminos...)

2.9.

F´ ormulas

Como vimos las definiciones recursivas o inductivas, son muy u ´tiles, tanto as´ı que definiremos lo que es una f´ormula en forma recursiva, donde la regla base ser´a la definici´on de f´ormula at´omica (que tambi´en es recursiva).

2.9.1.

F´ ormula at´ omica o predicaci´ on

Definici´ on 2.2.

1. Una letra enunciativa es una f´ormula at´omica.

2. Una letra predicativa n-´adica seguida de n t´erminos (siendo n ≥ 1) es una f´ormula at´omica13 . 3. Unicamente son f´ormulas at´omicas las expresiones que satisfagan 1. y 2. Veamos a continuaci´on algunos ejemplos: Por 1., las siguientes expresiones son f´ormulas at´omicas: p, q, r, p1 . 12

Por lo general ´esta regla se da impl´ıcitamente, es decir, por ejemplo, si en la definici´ on de t´ermino no se hubiese puesto el punto 3. se deber´ıa entender que u ´nicamente las expresiones que cumplieran los puntos 1. y 2. ser´an consideradas como t´erminos. Sin embargo para mayor comodidad del lector, en esta monograf´ıa la regla de exclusi´on se pondr´ a explicitamente. 13 Si s´ olo usamos el lenguaje proposicional ´esta clausula es innecesaria

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Por 2., las siguientes expresiones son f´ormulas at´omicas: P 2 bc, Q1 f 2 ab, R5 aaaaa, P 4 g 3 h2 abf 1 ca1 b2 abc1 . Por 3., las siguientesWexpresiones no son f´ormulas: (p → q), (P 2 ab → x(P 2 ax ∧ P 2 xb)), R2 xa.

2.9.2.

Definici´ on de f´ ormula

Una f´ormula o expresi´on bien formada en en el lenguaje formal que estamos estudiando es un s´ımbolo o una secuencia de s´ımbolos del cuadro 2.1 que se ci˜ ne estrictamenete a las siguientes reglas de formaci´on: Definici´ on 2.3.

1. Una f´ormula at´omica es una f´ormula.

2. si ℘ es una f´ormula, entonces ¬℘ es una f´ormula. 3. si ℘ y < son f´ormulas, entonces (℘ ∧