TRATAMIENTO Y CONCENTRACIÓN

Pulpas, mezclas sólido-líquido Por J.L. Bouso*

Los técnicos involucrados en el proceso de minerales, bien proyectando nuevas instalaciones, operando plantas de tratamiento, o bien evaluando procesos, se ven obligados continuamente a considerar en los cálculos la característica más importante, sin duda, de una mezcla sólido-líquido: la concentración de sólidos. En este artículo se indican las cuatro formas más usuales de expresar la proporción de los sólidos frente

al líquido (concentración de sólidos en peso, en volumen, peso de sólido seco por volumen de pulpa y peso específico de la pulpa), así como las ecuaciones que permiten relacionar cada una de ellas con las tres restantes. Por último, se exponen dos listados de un programa de ordenador, el cual permite de fama rápida obtener la concentración de sólidos en cualquiera de las formas expuestas.

a falta de un criterio único en el modo de expresar la concentración de sólidos en una mezcla sólidolíquido ha conducido, actualmente, a una diversidad de expresiones para referirse a este importante valor. No sólo cada país, sino cada individuo incluso dentro de la misma empresa emplea medios distintos para expresar dicho concepto. Se podría citar numerosas formas de expresar la concentración de sólidos, si bien consideramos que tan solo cuatro son de conocimiento y uso general hoy día: concentración de Sólidos en peso, concentración de sólidos en volumen, peso de sólido seco por volumen de pulpa (gr/l) y peso específico de pulpa. Por supuesto, que se da por entendido que la mayoría de los técnicos conocen estos términos, pero en cambio no son tantos los que entienden sus diferencias y conocen las ecuaciones que permiten correlacionar unos con otros. Tengo por cierto que muchos consideran este pequeño trabajo demasiado elemental, y no entenderán el interés en su publicación. Mis varios años de trabajo intercambiando ideas con técnicos de nuestro país y otros de Iberoamérica, me han probado lo contrario. De cualquier modo, por un lado nunca viene mal aclarar y recordar conceptos básicos; y por otro lado este artículo servirá para recopilar unas valiosas ecuaciones. Finalmente, entiendo que no es posible seguir un criterio único, empleando siempre un mismo valor para expresar la concentración de sólidos, pues dependiendo del tipo de proceso unas unidades son mejor medio de expresión que otras. Sería conveniente en cambio fijar una de éstas, ¿Por qué no gramos de sólido por litro de pulpa?, como de imprescindible y necesaria cita en todos los trabajos, algo así como intenta hacerse en nuestro país, antes llamado España, con el idioma: el castellano o español obligatorio y el de la región... además. A lo mejor tenemos más suerte.

PESO ESPECIFICO

L

* Director General de ERAL EQUIPOS Y PROCESOS, S.A.

CANTERAS Y EXPLOTACIONES/MARZO 1987 - nº 241

Es obvio que cuando se manejan pulpas es imprescindible conocer los pesos específicos reales del sólido S, y del líquido I, que forman la pulpa. A menudo en los procesos vía seca se emplean los valores de peso específico aparente (bulk density). En nuestro caso en los procesos vía húmeda este valor no es aplicable, pues los espacios entre partículas existentes ocupados por el aire, son en este caso reemplazados por el líquido portante. La tabla I muestra los pesos específicos de las especies minerales más conocidas, así como los de las rocas más comunes. Puede resultar de sumo interés tenerla siempre a mano. CONCENTRACION DE SOLIDOS Como se indicaba en la introducción, cuatro son las formas más comunes de expresar la proporción de los sólidos frente al líquido. A continuación vamos a definir cada una de ellas y a indicar las ecuaciones que permiten relacionarlas con las tres restantes. Porcentaje en peso Por definición es la relación del peso de sólido seco contenido en la pulpa frente al peso total de la misma, expresado en porcentaje. Lo indicamos como CW y no tiene unidades. Porcentaje en volumen Por definición es la relación del volumen que ocupa el sólido seco contenido en la pulpa frente al volumen total de la misma, expresado en porcentaje. Lo indicamos como CV y no tiene unidades.

TRATAMIENTO Y CONCENTRACIÓN Peso por volumen

Tabla I: Pesos específicos medios de especies minerales y rocas comunes

Por definición es el peso de sólido seco contenido en la unidad de volumen de pulpa. Lo indicamos como J y generalmente se expresa en gr/l. Peso específico de pulpa Por definición es el peso de una unidad de volumen de pulpa. Lo indicamos como P y generalmente se expresa en gr/cm3 o kg/dm3. El hecho de expresarlo en gr/dm3, lo que es equivalente a gr/l, da lugar a numerosos errores por confundirlo con el concepto anteriormente citado. Debe prestarse especial atención a este punto. ECUACIONES DE RELACION En primer lugar, antes de pasar a desarrollar todas las ecuaciones identificaremos los diferentes términos a emplear en las mismas. Llamaremos PP, PS y PI a los pesos de pulpa, sólido y líquido respectivamente, VP, VS y VI a los volúmenes de pulpa, sólido y líquido respectivamente, y P, S y I a los pesos específicos de pulpa, sólido y líquido respectivamente. Deben considerarse dos igualdades básicas. PP = PS + PI VP = VS + VI

(1) (2)

de las cuales partiremos para todos los cálculos sucesivos. Por otro lado siempre se cumple que Pi = Vi i (3) PS Por definición CW = ——— PP

(4)

VS Por definición CV = ——— VP

(5)

PS = ——— VP

(6)

PP = ——— VP

(7)

Por definición J

Por definición

P

NOTA: Las ecuaciones (4) y (5) para las concentraciones de sólidos en peso y en volumen se han expresado en valor decimal, por simplificar. En el desarrollo de las ecuaciones, expuestas a continuación se ha considerado esto, por lo cual al momento de hacer uso de las mismas deberá tenerse en cuenta que es preciso introducir los valores decimales de las concentraciones expresadas en porcentaje en peso o volumen.

Porcentaje en peso (CW) En función de CV Partiendo de la ecuación (4): PS PS VS S Cw = —— = ———— = ——————— PP PS + PI VS S + VI I VS S Cw = —————————— VS S + (VP - VS) I

TRATAMIENTO Y CONCENTRACIÓN dividiendo por VP y considerando la ecuación (5) Cw

CV S CV S = —————————— = ———————— CV S + (1 - CV) I CV ( S - I) + I

Por tanto: Cw

CV S Cw = —————————— CV ( S - I) + I

J 10—3

= ——————————————— S - I —3 (————) I + J 10 I

Multiplicando por 103 J Cw

En función de J Partiendo de la ecuación (6) PS = J VP

ó

= ——————————————— S - I 3 I 10 + J (————) I

PS = J (VS + VI) En función de

Sustituyendo en la ecuación (4):

P

Partimos de la igualdad (2) VP = VS + VI Teniendo en cuenta la (3)

PS J (VS + VI) Cw = —— = ——————— PP PP

Pi = Vi pero Vi = Pi /

VP = VS

PS PI J ( —— + —— ) S

Vi = Pi /

i

PP PS PI —— = —— + ——

VI;

+

P

S

I

I

PI = PP - PS, luego

Cw = —————————, dividiendo por PP PP

Cw

ó

i

i

PP PS PP - PS —— = —— + —————

PS 1 PI 1 = J (—— —— + —— ——) PP PP S I

P

S

I

Agrupando variables teniendo en cuenta que P S /P P = C w y P I /P P = 1 - C w y sustituyendo.

1 1 1 1 (—— - ——) = PS (—— - ——)

PP Cw (1 - Cw) Cw = J (—— + ————) S

I

P

I

S

I

PP (

P

-

I)

/

I

P

= PS (

S

-

I)

/

I

S

agrupando variables

Cw

PS ( P - I) S —— = ————— —— PP ( S - I) P

( S - I) J (J ———— + 1) = —— S

I

I

pero PS / PP = Cw despejando Cw J Cw

J

= ——————————— = ————————— ( S - I) ( S - I) (1 + J ————) I I + J (————) S I S

Debemos tener en cuenta la uniformidad de unidades, por lo cual deberíamos introducir J en las mismas unidades que los pesos específicos.

Cw

( P - I) S = ——————— ( S - I) P

(A3)

Porcentaje en volumen (CV) En función de CW Partiendo de la ecuación (A1) y despejando CV, llegaríamos a:

Estos normalmente se expresan en gr/cm3 o en kg/dm3 por lo cual J (gr/l) = J 10—3 (gr/cm3)

CV

Cw I = ——————— S - Cw ( S - I)

(B1)

TRATAMIENTO Y CONCENTRACIÓN En función de J

En función de

Por definición J = PS/VP Sustituyendo PS = VS S VS S ————— = CV VP

J =

Partimos de la igualdad (2) VP = VS + VI, y teniendo en cuenta que J de donde CV

S

J = PS/VP

= —— S

J ————— 103 S

En función de

P

pero PI = PP - PS

S

pero PP = VP

P

pero VP = PS/J

PS PS PS P PS —— = —— + ———— — —— J J I S I

Agrupando variables - I) = VS (

PS PS PI —— = —— + —— J S I

PS PS VP P PS —— = —— + ———— — —— J S S I

PP = PS + PI, como Pi = Pi i VP P = VS S + VI I como VI = (VP -VS) VP P = VS S + (VP -VS) I

P

VP = PS/J

PS PS PI - PS —— = —— + ———— J S I

Partiendo de la igualdad (1)

VP (

ó

y que Vi = Pi/ i reemplazando en la igualdad (2):

teniendo en cuenta la uniformidad de unidades y considerando lo dicho en el apartado de Cw en función de J.

CV =

P

dividiendo por PS

- I)

1 1 1 P —— = —— + ———— — —— J J I S I

VS ( P - I) —— = ————— pero CV = VS/VP VP ( S - I) P- I CV = ————— S- I

Agrupando variables (B3)

Peso de sólido por volumen de pulpa, gr/l (J)

1 1 1 P —— (—— — 1) = (—— — ——) J I I S

En función de CW

1 P- I S- I —— (————) = ———— J I I S

Partiendo de la ecuación (A2), desarrollada anteriormente y despejando J llegaríamos a:

J

3 I 10 Cw = —————————————— S - I 1 + Cw (————) I

P— I = ————— S— I

despejando J

S

Cw

teniendo en cuenta las unidades, para pasar de gr/cm3 a gr/l, hay que multiplicar por 103 de donde

dividiendo por Cw

3 I · 10 Cw = —————————————— 1 S - I

P- I = ————— S- I

J

S

103

(C3)

(C1) Peso específico de pulpa,

—— — (————) Cw I

P

En función de CW

En función de CV

Partiendo de la ecuación (A3) y despejando la ecuación:

Partiendo de la ecuación (82) y despejando J llegamos a: J = CV

S

103

S P

(C2)

I

= ——————— S - Cw ( S - I)

dividiendo por

S

P,

llegamos a

TRATAMIENTO Y CONCENTRACIÓN I P = —————————————— S - I 1 - Cw (————) S

(D1)

En función de CV Partiendo de la ecuación (B3) y despejando la ecuación: P

=

I

+ CV (

S

-

P,

I)

llegamos a

(D2)

En función de J

Lenguaje Basic

Partiendo de la ecuación (C3) y despejando la ecuación:

P

=

I

J P- I + —— (————) 103 S

ayuda de los ordenadores, ya sean de bolsillo, de los llamados personales (PC) o de los micro o macro ordenadores (Main trame). Por esta razón hemos creído conveniente cerrar este artículo incluyendo dos listados de un pequeño programa, que gestione todas las ecuaciones expuestas y nos permita obtener la información deseada, en breves segundos. En líneas generales el programa "pide" los pesos específicos de sólido y líquido ya continuación pregunta qué unidades deseamos convertir, es decir qué valor de la concentración de sólidos conocemos para realizar su conversión a los otros tres sistemas.

P,

llegamos a

(D3)

Recopilación de ecuación La tabla II, recoge todas las ecuaciones desarrolladas anteriormente, así como otras, alternativas, que en algún momento pueden también resultar de interés.

PROGRAMAS ORDENADOR La vida que tan precipitadamente como hoy se desarrolla no podría concebirse, al menos para los técnicos; sin la inestimable

Como quiera que la mayoría de las personas posee un PC en la oficina o en casa, o bien un ordenador familiar, hemos decidido en primer lugar publicar el listado de un programa realizado en lenguaje GWBASIC (figura 3), que puede "correr" sin problemas sobre cualquier PC compatible, o no, con IBM, siempre que posea lenguaje Basic Microsoft o similar como los cargados en la R.O.M. de los ordenadores Amstrad, Msx, etc., o bien el propio lenguaje GWBASIC de Microsoft. Debemos hacer notar que en las sentencias Locate, en el caso de ordenadores familiares, deberán invertirse las coordenadas. Por ejemplo línea 110 Locate 1,28, deberá cambiarse por Locate 28,1 y así para todas las sentencias Locate. La subrutina que empieza en la línea 820 puede omitirse si se quiere, pues contiene códigos de la impresora LA 50 que pueden no operar correctamente en otra. En cualquier caso podrían omitirse las líneas 920 y 940. En caso de omitir la subrutina citada, no olvidarse de eliminar también la línea 100.

Tabla II: Concentraciones de sólidos. Ecuaciones de relación

TRATAMIENTO Y CONCENTRACIÓN

Figura 4.- Ejemplo 1

Lenguaje Hewlett Packard HP 41 CX

Figura 3.- Listado del programa -concentración- escrito en lenguaje GWBASIC (digital Rainbow-LA50).

La figura 4 recoge un ejemplo (Ejemplo 1) realizado con el programa citado que puede servir como comprobación pues en las cuatro variantes A, B, C y D del mismo se introduce el mismo valor de la concentración de sólidos pero expresado en distintas unidades. La figura 5 muestra otros ejemplos (Ejemplo 2). En caso de no desear los resultados por impresora bastará con desconectar esta última. De no disponer de impresora el programa opera sin ningún problema.

Desde el año 1972 en que tuve mi primera Hewlett Packard HP 25, soy fiel a la marca ya su notación polaca inversa. Continué con los modelos siguientes HP 45, HP 65, HP 67 y hace ya varios años que trabajo a plena satisfacción con el modelo HP 41 CX. Esta pequeña calculadora con sus módulos de expansión de memoria y funciones tiene una potencia de cálculo increíble y permite soportar programas complejos y en gran número, sobre todo si va provista del lector de tarjetas magnéticas. Por este cariño personal, y porque conozco un gran número de usuarios de estas calculadoras trabajando en nuestro campo, es por lo que he decidido publicar un pequeño programa (figura 6), que realiza exactamente las mismas funciones que el anteriormente descrito en lenguaje Basic. Este programa aprovecha la capacidad alfanumérica aunque limitada por su pequeño visor, de la HP 41 CX, permitiendo establecer un diálogo con el operador preguntando los datos requeridos, lo cual facilita enormemente la operación, especialmente cuando no se opera con el programa frecuentemente y uno se olvida del procedimiento.

TRATAMIENTO Y CONCENTRACIÓN

Figura 6.- Listado del programa “concentraciones” HP 41 CX.

Figura 7.- Ejemplo del programa “Concentraciones” para HP41CX.

TRATAMIENTO Y CONCENTRACIÓN Muestra los resultados igualmente en modo alfanumérico y si se es feliz poseedor de una impresora térmica HP, pueden obtenerse los mismos tal y como se muestran en la figura 7; la cual recoge el mismo ejemplo mostrado en la figura 5. COMENTARIO FINAL

Figura 5.- Ejemplo 2.

Es poco usual en nuestro país que los artículos publicados en revistas técnicas vayan acompañados de listados de programas para ordenador, mientras que en el extranjero y muy especialmente en EE UU esto se ha convertido en habitual. Muchos opinan que esto viene como consecuencia del carácter individualista del español, otros en cambio piensan que todavía los técnicos quieren guardar su conocimiento en privado para no dar acceso a los escalones inferiores, es lo que diríamos "cuidar la silla". Creo que el mundo ha evolucionado terriblemente; que es conveniente y necesario realizar un intercambio de conocimientos; que el que sabe sabe y lo demás son tonterías. Quiero aprovechar esta oportunidad para invitar a tantos técnicos excelentes, diseminados por la geografía española y por nuestros países hermanos de Iberoamérica con los que tenemos un idioma común, amén de otras muchas cosas, a publicar artículos, y si es posible acompañados del correspondiente programa para ordenador. Este nuevo y poderosísimo medio de comunicación puede servir de nexo de unión permitiéndonos crear una preciosa biblioteca, en español, que potenciará, que duda cabe, nuestro futuro común. • CyE, 1987