NOMBRE DEL EXPERIMENTO: “Descubriendo a Phi”. AUTOR: Equipo de Profesores de primer ciclo de ESO del I.E.S. “Arcipreste de Hita”. C/Poeta Manuel Martínez, 4. CP 19200. Azuqueca, Guadalajara. e-mail: [email protected] CATEGORÍA: Laboratorio de Matemáticas. PALABRAS CLAVE: Matemática divulgativa. Números. ¿QUÉ SE PRETENDE MOSTRAR? La presencia de la Proporción Áurea en los lugares insospechados, utilizando compases de fabricación sencilla.

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DIRIGIDO A: Gran Público, Primaria, Secundaria y Universidad. MATERIALES NECESARIOS: Cartón fino, chinchetas encuadernadoras, madera contrachapada delgada, lija, listones, taladro, remaches o tornillos con tuerca, papel de embalar, rotuladores. DNI, tarjetas de crédito, CDs, piñas, flautas, pósters del Partenón, la Monna Lisa y muestras arquitectónicas representativas de tu localidad o país. DESCRIPCIÓN: a) Fabricación de los compases áureos. Proponemos construir varios compases a modo de tijeras, que constan de dos hojas de madera que siguen un patrón proporcional a éste:

Ambas hojas se unirán con un remache, a través de un orificio que divide a su longitud en dos partes en razón áurea (≈ 1,618) También se fabricarán en cartón, unidas por una chincheta para encuadernar.

Se preparan las plantillas en cartulina y se rotulan sobre la madera o el cartón fino. Es muy importante marcar con precisión los orificios, para que las aberturas de los compases queden realmente en proporción áurea. Si los compases van a construirse en madera es aconsejable realizarlos en el Taller de Tecnología. Recomendamos utilizar planchas de madera contrachapada de 3-4 mm de grosor. Una vez marcado el contorno de las piezas, se fija la plancha con un banco de mesa y se corta utilizando un arco de sierra de marquetería. El orificio se practica con un taladro vertical y broca de 4 mm. Las dos hojas del compás se unen con un remache de tubo y arandela, con una remachadora manual. También pueden utilizarse tornillo, arandela y tuerca, pero el acabado no es tan sólido. Por último, se eliminan picos y astillas con la lija, cuidando de no modificar la longitud ni la proporción entre los segmentos. Además de varios compases de mano, se necesitan uno o dos grandes, de 1m de longitud. La madera debe ser más robusta. Se pueden utilizar listones para rodapié o similares. El remache es aquí algo más robusto y laborioso.

b) Descubrimiento de phi. 1) Objetos cotidianos: usaremos los compases de mano para mostrar cómo el DNI y los carnets de su tamaño verifican con precisión la razón áurea entre sus lados. Ocurre lo mismo con los radios de un CD y con las cajitas de algunas marcas de caramelos o gominolas. Las flautas están divididas en dos zonas que están en proporción áurea: una contiene la embocadura y otra el tubo con los orificios para la digitación. 2) El cuerpo humano: Con los compases grandes medimos la separación vertical entre el ombligo y el suelo, en varias personas y utilizando la abertura mayor. Se comprobará que la separación entre el ombligo y la parte superior de la cabeza se corresponde con la abertura menor en la gran mayoría de los casos. Ocurre lo mismo

entre la longitud total del brazo con los dedos extendidos y la longitud desde los dedos hasta el codo. Existen más pares de medidas en razón áurea en el rostro, el tronco y las piernas, pero su comprobación no es tan precisa ni se verifica con tanta frecuencia. Sobre un papel de embalar, tendido en el suelo, se traza la silueta de una persona tumbada. Se marca su ombligo. Se toman las medidas reales de las distancias ombligo-suelo, ombligo-cabeza, dedoshombro y dedos-codo, se hallan sus cocientes y se plasma todo ello en el dibujo grande, que quedará expuesto. 3) Phi en la Arquitectura y el Arte: recomendamos que los pósters con los que se va a trabajar se plastifiquen, para darles rigidez y conservarlos en buenas condiciones. El Partenón presenta numerosos pares de dimensiones en proporción áurea. Con el compás se encuentran fácilmente. Ocurre lo mismo con la Monna Lisa, en su rostro y en algunas zonas de luz y oscuridad del cuadro. En monumentos y edificios singulares del entorno será fácil descubrir medidas en razón áurea, especialmente en ejemplos de arte renacentista, pero también en otros estilos. 4) Fibonacci y phi: se incluirá una cartulina plastificada con los primeros términos de la sucesión de Fibonacci, y se invitará al público a descubrirlos en las espirales que hay en las piñas o en los girasoles, y a continuar la sucesión. Se explicará cómo el resultado del cociente entre dos términos consecutivos se aproxima a phi conforme éstos van creciendo. 5) El Pentagrama Pitagórico: sobre una cartulina rectangular áurea (p. ej. De 89x55 cm) se dibuja un pentágono de grandes dimensiones, y en él se inscribe el Pentagrama Pitagórico.

Se comprueba con el compás áureo que cada longitud está en razón áurea con la inmediatamente más corta. 6) ¿Cuánto sabes de Phi?: El taller concluye con un juego de tablero con preguntas y respuestas sobre lo observado y explicado en clase acerca de phi. Proponemos algunos diseños basados en la Espiral de Bernouilli o el Pentagrama como patrón de avance de las fichas. Las papeletas y el tablero serán, por supuesto, rectángulos áureos.

RIESGOS: Aparecen resaltados en rojo en el texto anterior. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: “Pitágoras. El filósofo del número”, de Pedro Miguel González Urbaneja, perteneciente a la colección “La matemática en sus personajes”, editorial Nívola. Es un libro formidable, ameno, muy instructivo y accesible, todo pedagogía y divulgación. “La Proporción Áurea”, de Mario Livio, editorial Ariel. Una monografía sobre el tema que invita a pensar de manera crítica. PARA SABER MÁS: Actualmente, es posible encontrar en Internet infinidad de páginas con información, gráficos y fotografías acerca de la proporción áurea. No es posible mencionar ninguna en concreto sin ser injusto al obviar otras muchas. Cualquier buscador os conducirá a abundantes fuentes de información. Eso sí, es necesario contrastar lo leído con obras contrastadas. En ese sentido, el libro de Mario Livio es una referencia obligada. OBSERVACIONES y SUGERENCIAS: Cuando trabajamos con alumnos midiendo el cuerpo humano, es muy conveniente dar a la situación un carácter informal y desenfadado, haciendo énfasis en lo relativo y pasajero de los cánones de belleza e incidiendo en la importancia de otros aspectos como la salud y la aceptación de uno mismo tal como es. La presencia de phi en el cuerpo debe tratarse más como una curiosidad que como un modelo de perfección. Los compases pueden fabricarse en otros materiales (aluminio, plástico rígido, metacrilato, etc.) y personalizarse con dibujos y símbolos relativos a la razón áurea (números de Fibonacci, pentagrama, expresiones de phi como fracción irracional o continua, espiral de Bernouilli, ...). Para una demostración a gran escala dirigida a público numeroso puede encargarse una gran cantidad de compases a una empresa de serigrafía, para repartirlos entre los asistentes. Existen otros modelos de compás que también son muy útiles, y sólo un poco más complejos en su elaboración. Pueden verse en las fotografías. El uso de compases puede aplicarse al estudio de muchos más casos que los expuestos anteriormente; por ejemplo: Espiral logarítmica, concha del nautilus, triángulos aúreos, Hombre de Vitruvio, etc. Es importante señalar que no hay acuerdo sobre la presencia estricta de la proporción áurea en algunos ejemplos del arte y la arquitectura trabajados aquí. Esta experiencia pretende intuirlos con buena aproximación, y no demostrar su existencia. Siempre puede hacerse una valoración estética de lo observado, más allá de la intención del artista.

Si queremos dar a la experiencia la categoría de unidad didáctica, es conveniente comenzar el diseño de la actividad por el juego final. La elección de las preguntas nos orientará en las competencias y en los objetivos que queramos trabajar, y así tendremos unos criterios claros para seleccionar las propuestas concretas que mostraremos después. ¡Ánimo!