TEORÍA DE EXPONENTES Y RADICALES TEORÍA DE RADICALES

Signo del radical INDICE Cantidad subradicalo RADICANDO

LEYES • • •

−

−

− •−

• − •− EJERCICIOS Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:

1

CALCULAR: la raíz cuadrada y cúbica de los siguientes números.

Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones o simplifíquela.

EJERCICIOS

EXTRACCIONES DE FACTORES DE UN RADICAL

Si el radicando contiene uno o más factores que sean potencias de exponente igual al índice del radical, estos factores pueden extraerse del radical (como factores) las bases de dichas potencias. SIMPLIFICANDO LAS SIGUIENTES RADICALES POR EXTRACCIÓN DE FACTORES

2

RACIONALIZACIÓN Sin un radical afecta a una expresión fraccionaria o, si en el denominador de una fracción hay algún radical se llama: RACIONALIZACIÓN de una expresión al procedimiento mediante el cual se logra que no este afectado por radical alguno.

EJEMPLOS ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES Que son radicales semejantes: 2 términos que contengan cada uno un radical como factor, se dicen semejantes, cuando estas radicales tienen el mismo índice y el mismo radical. La semejanza de los monomios se establecen atendiendo al radical que contienen y presidiendo del carácter de los demás factores. ADICIÓN Una suma algebraica de términos que contengan radicales puede reducirse aun monomio siempre que se trate de términos semejantes; pues hasta entonces se aplica la propiedad distributiva sacando factor común el radical. Como coeficiente de la suma resultará la correspondiente sima algebraica de los factores exteriores a los radicales en los diversos términos.

Ejercicios

3

REDUCCIÓN DE RADICALES A OTROS EQUIVALENTES REDUCCIÓN DE RADICALES A UN ÍNDICE COMÚN Teniendo en cuenta que es fácil reducir varios radicales a otros que tengan el mismo índice pues hasta multiplicar cada índice y el exponente de la cantidad subrradical por el número apropiado. La reducción de radicales de un índice común es utilizar en la multiplicación y en la división de expresiones con radicales; también se aplica esta operación cuando se trata de comparar numéricamente varios radicales sin hacer las correspondientes extracciones de raíces. Reducir los radicales siguientes a otros equivalentes del mismo índice.

m. c. i.= 12

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES MONOMIOS Si las expresiones dadas contienen radicales del mismo índice, se halla el producto de los coeficientes; en la forma usual y para multiplicar los radicales se tiene en cuenta que el producto de dos radicales del mismo índice es otro radical de igual índice cuyo radicando es el producto de los radicandos de los factores.

Polinomios Para multiplicar dos expresiones polinómicas que contengan radicales, se produce como en la multiplicación de dos polinomios cualquiera.

División de radicales Monomios

4

Si las expresiones dadas contienen radicales del mismo índice dividen los coeficientes de los radicales en forma usual.

Polinomios. − el coeficiente de dos expresiones polinómicas, cuyos términos contengan radicales, pueden expresarse en forma entera, con respecto a los radicales mediante la racionalización del denominador. Si el denominador fuese de forma a−b se racionalizaran entonces multiplicando por la suma a+b

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Se llaman ecuaciones algebraicas de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO ECUACIÓN DE LA FORMA ax2 +c ECUACIÓN DE LA FORMA x2 = 2x ECUACIÓN DE LA FORMA ax2+bx=0 ECUACIÓN DE LA FORMA AX2= 0

5

Sabemos que una ecuación incompleta de la forma ax2+bx = 0 se resuelve sacando x como factor común cuando se tiene una ecuación incompleta de la forma ax2+bx+c=0 y el trinomio que forma el primer miembro de la ecuación puede descomponerse por algunos métodos estudiados anteriormente, la resolución de la ecuación de segundo grado queda reducida así a la resolución de 2 ecuaciones simples de 1er grado. Ejercicios

Solución RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE COMPLETAR UN CUADRADO PERFECTO Puesto que:

A un binomio de la forma x2+mx con m positivo o negativo le falta el cuadrado de la mitad de m, o sea el término:

Para ser un cuadrado perfecto por ejemplo ax2+8x falta agregable

Sumando el 9 en ambos miembros tenemos: 6

X2 +6x + 9= 7+5 Si extraemos la raíz cuadrada en ambos miembros tenemos:

PROGRESIONES ARITMÉTICAS Término n−s+ mo de una progresión aritmética a, a+d, a dd, a+3d. a+(n−1)d Un= a + (n−1)d N= K UK= a+(k−d)d Sumando d en ambos miembros Uk+d= a+(k−1)d+d Uk+d= a+kd−d+d Uk+d=a+kd Ésta formula es válida para nk+1 para n=k−1 se obtiene en una progresión. a= 4 d= 3 U7= 4+(7−1)3 U7= 22 es el séptimo término EJERCICIOS

8 Término

7

Una progresión aritmética se compone de 50 términos si el 1er es 9 su diferencia es −3.

Una progresión aritmética se compone de 20 términos la diferencia es −0.75 cual será 1er término.

MEDIOS ARITMÉTICOS

INTERPOLAR

18, 15, 12, 9, 6, 3, 0, −3, −6, −9

8

• seis medios aritméticos entre 3 y 8 Interpolar 3 y 8 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33

Ejercicios

9° Término de 7, 10, 13 25° Término de −6, −3

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Es una progresión cuyos términos son tales que van a cualquiera de ellos, después de el 1ro, es igual al término anterior multiplicando por un número fijo que le puede hallar dividendo cualquier término de la progresión y se representa por la letra r. Ejemplos 2, 6, 18.. 9

Es una progresión creciente cuya razón es r = 3 8, −4,2 Es una progresión decreciente cuya razón es r = ½ LOGARITMOS El logaritmo de un número es el exponente a que hay que elevar una base positiva y distinta a la unidad. Para obtener una potencia igual al número dado. El logaritmo es, por tanto, una de las operaciones inversas de la potenciación. Por la definición de logaritmo vemos que la base puede ser cualquier número positivo diferente de la unidad pero en la practica se han elegido 2 bases debido a la simplificación de cálculos que su elección lleva consigo, estas son la base de 10 y la base. Los logaritmos de base 10 se conocen como decimales o vulgares y los logaritmos de base e se conocen como NEPERIANOS PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL • La función exponencial es siempre más para todos los valores de x es decir, el gráfico se mantiene siempre x arriba del eje horizontal. • A cad valor de x corresponde a un solo valore de (y) y cda coordenada corresponde al valor de x. • Cualquiera que sea la base a = o, la función toma un valor 1 para x= 0. Esto es todos los gráficos pasan por el punto (0,1) • Si > 1 la función exponencial es creciente, es decir, las ordenadas, crecen al crecer las obscisas por lo contrario si o
10

Esto es si ax = N Diremos que x es el logaritmo de N en base a y con respecto a la base, lo cual se debe elevar la base a para obtener el # N Esto es si Ax=N Diremos que x es el logaritmo de N en base x= loga N Ejemplo 1. Puesto que 43= 64, diremos que el logaritmo de 64 en base 4 es 3 log4 64 = 3 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Además de las propiedades generales mencionadas apartado anterior, los logaritmos poseen otras propiedades importantes que sirven de base al cálculo con logaritmos. Como estas propiedades son consecuencias de leyes de los exponentes y son ciertas cualquiera sea la base. Ejemplo − El logaritmo de la base es siempre 1 − El logaritmo de 1 es siempre 0, cualquiera que sea la base a2= 1 loga 1=0 − El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores. − Esta igualdad demuestra que m + n es el logaritmo en base a del producto MN loga MN= m+n= loga M+loga N − El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor. − El logaritmo es una potencia es = al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia loga mk = k loga M. − El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice del radical.

11

No existen reglas simples que expresan Si M y N toman valores numéricos para calcular (MIN) se compensará por ejecutar la suma o diferencia M=N ESTADÍSTICA Problemas fundamentales. − se llama estadística a la recopilación ordenado de datos numéricos sobre asuntos determinados. Por ejemplo: Cuando hablamos de la población del país al determinar el número de habitantes por: provincia, sexo, edad, nivel académico, nivel socioeconómico, etc. OBJETIVOS DE LA ESTADÍSTICA Tienen los siguientes. Clasificar, reordenar y representar gráficamente el conjunto de los datos obtenidos, en una forma fácil y precisa los hechos más importantes significativos la estadística moderna va más allá de este proceso de reducción, análisis y representación apropiada de los datos coleccionados. • Predecir las condiciones futuras mediante el conocimiento de las condiciones pasadas y presentes. • lograr información sobre una gran masa de hechos. DISTRIBUCIONES Es analizar si los datos se disponen en orden de magnitud numérica e indicando el número de valores que caen en ciertas categorías o clases, se obtiene una distribución de una frecuencia. Distribución de frecuencia Es la disposición de los datos en clase especificando el número de datos y observaciones de cada clase. Una tabla de frecuencia es una presentación en una forma tabular de un distribución de una frecuencia. Ejemplo. − Un biólogo mide 20 ejemplares de cierta especie de insectos y obtienen los siguientes valores (en cm) 2,7; 3,1; 2,3; 3,4; 3,6; 2,9; 2,4; 2,8; 3,7; 3,2; 2,5; 3,3; 3,1; 2,6; 2,8; 3,0; 3,4; 3,9; 2,7. Los insectos tienen una longitud mayor de 2 cm. pero menos 4 cm. Si dividimos este intervalo en 4 partes, cada uno de 0,5 cm de longitud y los datos en forma creciente de magnitud y distribuidas. Entre 2 y 2,5 − cm.: 2,3; 2,4 Entre 2,5 y 3 − cm.: 2,5; 2,6; 2,7; 2,8; 2,9 Entre 3 y 3,5 − cm.: 3,0; 3,1; 3,2; 3,3; 3,4; 3,2; 3,4; Entre 3,5 y 4 − cm.: 3,6; 3,7; 3,9; Con estos datos se contribuye la siguiente tabla de frecuencia. 12

Longitud

# de insectos

(en Cm) 2 − 2, 5

(frecuencia 2

2,5 − 3

7

3 − 3,5

8

3,5 − 4

3

En esta tabla se nota que el 75% de los insectos observados, su longitud es de 2,5 y 3,5 cm. Ejemplo La tabla II muestra las calificaciones de un grupo de estudiantes de álgebra, la tabla III de las estaturas de un de hombres. TABLA II CALIFICACIONES 00−10

FRECUENCIA 2

10 − 20

3

20 − 30

5

30 − 40

6

40 − 50

9

50 − 60

11

60 − 70

15

70 − 80

18

80 − 90

14

90 − 100

8

Calificaciones recibidas por una clase de álgebra Tabla III ESTATURA EN PULGADAS 56 − 58

FRECUENCIA 5

58 − 60

7

60 − 62

10 13

62 − 64

18

64 − 66

82

66 − 68

170

68 − 70

113

70 − 72

60

72 − 74

27

74 − 76

8

Estaturas de 500 hombres PROMEDIOS Los datos estadísticos a agruparse alrededor de un cierto valor produciendo un punto más alto que los demás en lo que corresponde a la curva de frecuencia lo cual el lector en varios de los ejemplos anteriores habrá observado. Todo valor que se utilice para la distribución de frecuencias y en general, una serie estadística cualquiera, recibe el nombre de promedio. Los promedios de dos distribuciones pueden usarse para sacar una comparación entre ellas. Los tipos más importantes de promedio son los siguientes: la medida aritmética, la medicina, el modo, la media geométrica y la media cuadrática Antes de definir estos promedios y buscar la manera de obtenerlos nos conviene recordar el uso del símbolo ( Enigma) ya introducido para indicar abreviadamente la suma de varios términos del mismo tipo. Así, por ejemplo la suma: x1+x2+x3+x4+x5+x6 Se representa abreviadamente escribiendo

La notación indica que el primer valor que debe darse el símbolo r es 1 y el último es 6 Análogamente

Significa a1+ a2+a3+a4

14

En general X1 + x2 + x3 .. + xn Sin embargo cuando se trata de sumar de términos de la forma escribiremos simplemente para representarlo, omitiendo la indicación de los valores extremos del subíndice. Como ejemplo y por su aplicación anterior demostraremos las dos propiedades siguientes:

1.

2. LA MEDIA ARITMÉTICA Este es el promedio más conocido y más comúnmente usado. Su determinación es simple aunque puede resultar cuando los datos son numerosos. También puede ser afectada por valores extremos desusados y puede dejar de ser un valor realmente típico o representativo de la distribución. Cuando cada uno de los valores (extremos) con la frecuencia fr, la formula (1) se escribe

Ejemplo La medida aritmética de las calificaciones de la tabla II se halla de la manera siguiente: Valores 5

Frecuencia 2

Xr fr 10

15

3

45

25

5

125

35

6

210

45

9

405

55

11

605

65

15

975

75

18

1350 15

85

14

1190

95 Sumas

8 91

760 5675

De donde

El computo anterior se puede abreviar aún más escogiendo un origen arbitrario (llamado también promedio hipotético o supuesto) y procedimientos a calcular por medio de la formula

En lo cual dr representa la diferencia Xr o desviaciones con respecto al promedio supuesto Cuando la formula (3) se aplica a una distribución de frecuencias se escribe

Para aplicar esta formula al calculo de la media aritmética de las calificaciones de la tabla II prepararemos, eligiendo por ejemplo A= ss, la siguiente tabla dr −50

Fr 2

dr fr. −100

−40

3

−120

−30

5

−150

−20

6

−120

−10

9

−90

0

11

0

10

15

150

20

18

360

30

14

420

40 Total

8 91

320 670

De donde 670: 91 = 7.4 Luego x=55+7,4=62.4 16

Se abrevia algo más los cálculos escribiendo la formula En donde h es la amplitud de intervalo de clase y dr.= dr/h: en algunos casos se asigna un # arbitrario Wr, llamado pese, a cada xr, se define entonces la media ponderada o barica. W de los valores x1 + x2 xn por medio de la formula. La Mediana La mediana de un conjunto de valore x1, x2, Xn dispuestos en orden creciente o decreciente es el valor equidistante de los extremos, cuando n es impar, si n es par se forma como mediana aritmética de los valores centrales. Ejemplo • La mediana de 22, 23, 25, 28, 30 es 25 • La mediana de 40, 43, 45, 46, 48, 51, es 12=45.5 Si los datos se han dispuesto en forma de una distribución de frecuencias, la mediana se define como la obscisa cuyo correspondiente ordenada divide el área del histograma en 2 partes equivalentes. El modo Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en la serie estadística cuando hay varios valores con frecuencias máximas el modo queda indeterminado. En la distribución de ka tabla II la clase modal es la que corresponde al intervalo o sea 75 En la distribución de la tabla III el modo daría aproximadamente 67. La medida Geométrica La medida geométrica de n valores x1, x2xn se define mediante la formula Tomando logaritmos se puede escribir en la forma En donde se ve que el logaritmo de la media Geométrica de n cantidades en la media aritmética de los logaritmos de estas cantidades. Ejemplo Hallar la media de 2, 3, 7 y 15 Tenemos: Log. 2 − 0,30103 Log. 3 − 0,47713 Log. 7 − 0,84510

17

Log. 15− 1,17609 2,79934

luego: 6=5,01

pero de B = Arm se obtiene y sustituyendo en [9] Por tanto para determinar P (dentro de la hipótesis hecha) habrá que tomar la medida geométrica de las poblaciones dadas por los dos censos. LA MEDIDA ARITMÉTICA

La medida aritmética x de n valores x1, x2.xn se define Con la presente formula podemos calcular medias aritméticas simples. Mientras que cuando uno de los valores Xr. Ocurre con la frecuencia fr, la formula es la siguiente:

La presente formula sirve si los datos de han dispuesto en forma de distribución de frecuencia, el cálculo de la media aritmética se la hace abreviando tomando en cuenta a x r como los puntos medios de los intervalos y como fr las frecuencias correspondientes a las respectivas clases. Ejem. La media aritmética se las calificaciones de la tabla. Valores centrales 5

frecuencias 2

xr fr 10

15

3

45

25

5

125

35

6

210

45

9

405

55

11

605

18

65

15

975

75

18

1350

85

14

1190

95 total

8 91

760 5675

De donde La media aritmética se calcula con los datos distribuidos uniformemente dentro de cada intervalo de clase y que en consecuencia los puntos medios de las clases son valores típicos para cada intervalo. Se puede abreviar esta formula tomando en cuenta el origen arbitrario y llamado también promedio hipotético y procedimiento a calcular.

Desviaciones con respecto al promedio supuesto

Si quieres aplicar la formula a una distribución de frecuencias se escribe de la siguiente manera

Para aplicar esta formula. Ejemplo xr 5

dr −50

fr 3

dr fr −100

15

−40

3

−120

25

−30

5

−150

35

−20

6

−120

45

−10

9

−90

55

0

11

0

65

10

15

150

75

20

18

360

19

85

30

14

420

95 Total

40

8 91

320 670

De donde

Luego La formula 4 la podemos abreviar tomando en cuenta

n: es la amplitud del intervalo de clase

dr: a la diferencia En el ejemplo anterior h es = 10 Por otra parte puede ser probablemente afectada por valores extremos desusados y pueden dejar de ser un valor realmente típico. Ejemplo La media aritmética de las calificaciones La mediana Para determinar numéricamente el valor de la mediana se construye una tabla acumulativa de frecuencia y se halla el valor de x correspondiente a la frecuencia acumulada igual a la mitad de la frecuencia total n= f1 + f2 + ..fn en muchos casos la mediana es un promedio más típico que otro a causa de su independencia de valores anormales que pueden ocurrir en la serie estadística. El modo El valor que se presenta con mayor frecuencia es la serie cuando hay varios valores con frecuencia en la serie estadística, cuando hay varios valores con frecuencia máxima el modo. Ejemplo Calcular la mediana de los siguientes datos de 650 personas

20

Años 0−5

fr 20

fa 20

5−10

25

45

10−15

40

85

15−20

60

145

20−25

80

225

25−30

10

235

30−35

35

270

35−40

100

370

40−45

70

440

45−50

50

490

50−55

70

560

55−60

90

650

Intervalos 100−150

fr 20

fa 20

150−200

30

50

200−250

10

60

250−300

40

100

300−350

70

19

350−400

80

27

400−450

100

370

450−500

75

445

500−550

25

470

M fa

325

M fa

d

357,5

87,5

21

550−600

105

575

600−650

140

715

Edad 42−44

fr 5

fa 5

44−46

8

13

46−48

9

22

48−50

11

33

50−52

15

48

52−54

5

51

54−56

20

71

56−58

10

81

58−60

12

93

60−62

13

106

M fa

d

53

2

22

23