2

Potencias y radicales

Objetivos En esta quincena aprenderás a:

•

Calcular y operar con potencias de exponente entero.

•

Reconocer las partes de un radical y su significado.

•

Obtener radicales equivalentes a uno dado.

•

Expresar un radical como potencia de exponente fraccionario y viceversa.

•

Operar con radicales.

•

Racionalizar expresiones con radicales en el denominador.

•

Utilizar la calculadora para operar con potencias y radicales.

1. Radicales ……………………………………… pág. 4 Potencias de exponente fraccionario Radicales equivalentes Introducir y extraer factores Cálculo de raíces Reducir a índice común Radicales semejantes 2. Propiedades ………………………………… pág. 7 Raíz de un producto Raíz de un cociente Raíz de una potencia Raíz de una raíz 3. Simplificación ……………………………… pág. 8 Racionalizar Simplificar un radical 4. Operaciones con radicales …………… pág. 10 Suma y resta Multiplicación de radicales División de radicales RESUMEN Ejercicios para practicar Para saber más Resumen Autoevaluación Actividades para enviar al tutor

MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO 

1

2

 MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO

Potencias y radicales Antes de empezar Propiedades de las potencias de exponente entero

Conviene que recuerdes las propiedades de las potencias que has estudiado en cursos anteriores

 El producto de potencias de la misma base es otra 2 +7 x2= ·x7 x= x9

potencia de la misma base y de exponente la suma de los exponentes.

an·am = an+m

 El cociente de potencias de la misma base es otra 8

2 8 −5 = 2= 23 25

potencia de la misma base y de exponente la resta de los exponentes. an = an−m am

 La potencia de otra potencia es una potencia de la

( x= ) 7

3

7·3 x= x21

misma base y de exponente el producto de los exponentes.

(a ) n

m

= an·m

 Una potencia de exponente cero es igual a ls

70 = 1

unidad.

a0 = 1

 El producto de potencias del mismo exponente es = 25·35

2·3) (= 5

65

otra potencia del mismo exponente y de base el producto de las bases. an·bn = ( a·b )

n

 El cociente de potencias del mismo exponente es 6

86  8  = 26 =  46  4 

otra potencia del mismo exponente y de base el cociente de las bases. n

an  a  =  bn  b 

MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO 

3

Potencias y radicales 1. Radicales Definición Llamamos raíz n-ésima de un número dado a al número b que elevado a n nos da a. n

3

8 = 2 por ser 23 = 8

a =b ⇔ bn =a

5 = 53

5

x2 = x 5

Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario en la que el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente el radicando. n

1

3

2

p

ap = an

Radicales equivalentes Dos o más radicales se dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias asociadas son equivalentes. Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales semejantes, multiplicando o dividiendo el exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número. Si se multiplica se llama amplificar y si se divide se llama simplificar el radical. Radical irreducible, cuando la fracción de la potencia asociada es irreducible.

Introducción y Extracción de factores Para introducir un factor dentro de un radical se eleva el factor a la potencia que indica el índice y se escribe dentro. Si algún factor del radicando tiene por exponente un número mayor que el índice, se puede extraer fuera del radical dividiendo el exponente del radicando entre el índice. El cociente es el exponente del factor que sale fuera y el resto es el exponente del factor que queda dentro.

4

 MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO

3

6

x2 = x 4

son equivalentes por ser:

2 4 = 3 6

Amplificar:

3

x2 =

3·2

x 2·2 = x 4

Simplificar:

6

x4 =

6:2

x 4:2 = x2

3

6

3

x2

Irreducible por ser m.c.d.(3,2)=1

Introducir 3

3

x3 x = x3 ·x = x 4 3

23 3 = 23 ·3 = 3 8·3 = 3 24 Extraer: 5

5

x13 = x 2 x3

13

5

3

2

Potencias y radicales

Cálculo de raíces

1728 2 864 2 432 2 216 2

3

= 1728

108 2 54 2

3

= 26 ·33

2 = 2= ·3 12

27 3 9 3

Para calcular la raíz n-ésima de un número primero se factoriza y se escribe el número como producto de potencias, luego se extraen todos los factores. Si todos los exponentes del radicando son múltiplos del índice, la raíz es exacta.

3 3

1

Reducir a índice común 6

10

2 ;

3

m.c.m(6,10)=30 6 = 2 10 = 3

30

= 25 30

= 33

30

32

30

27

Los siguientes radicales son semejantes:

2 3 4 ; 7 3 4 ; 53 4

Reducción a índice común Reducir a índice común dos o más radicales es encontrar radicales equivalentes a los dados que tengan el mismo índice. El índice común es cualquier múltiplo del m.c.m. de los índices. El mínimo índice común es el m.c.m. de los índices.

Radicales semejantes Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Pueden diferir únicamente en el coeficiente que los multiplica.

Los siguientes radicales no son semejantes:

23 4 ; 25 4 El índice es distinto

MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO 

5

Potencias y radicales EJERCICIOS resueltos 1.

2.

Escribe los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionario: 5

3

5

3 = 35

b)

5

X3

5

X3

Escribe las siguientes potencias como radicales: 1

1

a) 72

72 = 7

2

2

b) 53 3.

4.

5.

= 53

5

3

5 =

b)

5

x4

5

x4 =

a)

6

b)

35

25

6

51·2 = 52 = 6 25

5·3

x 4·3 =

15

x12

6

49

6

49 = 72 =

35

x28

35:7

x28 =

6:2

72:2 = 3 7

x28:7 =

5

x4

Introduce los factores dentro del radical: 4

2·4 3 = 2 4·3 = 4 16·3 = 7

x2 x3 = 7 (x2 )7·x3 =

7

4

48

x14·x3 =

7

x17

Extrae los factores del radical: a)

4

128

b)

7

x30

4

4

= 27 2 4= 23 2 4 8

128 =

7 30 = x

7

= x28 +2

7

28 x = ·x2 x 4 7 x2

Calcular las siguientes raíces: a)

5

1024

b)

7

x84

5

5

1024 =

7 84 = x

2 210 = 2= 4

7

= x12·7

7

12 7 (x = ) x7

Reduce a índice común

b)

6

3

Escribe un radical equivalente, simplificando el dado.

a)

9.

3·2

3

7

8.

= 52

a)

b) x2 x3

7.

3

Escribe un radical equivalente, amplificando el dado:

a) 2·4 3

6.

1

a)

3; 3 5 4

x3 ; 6 x5

= 2

6

= 23

6

8 ;

= x9 ; 6 x5

4 3 = x

12

3 = 5

12

6

= 52

6

25

x10

Indica que radicales son semejantes a)

4

3;54 3

4

3 y 54 3 Son semajentes

b)

4

x; 3 x

4

x

y

3

 MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO

x No son semajentes,tienen distinto indice

Potencias y radicales 2. Propiedades Raíz de un producto 3

La raíz n-ésima de un producto es igual al producto de las raíces n-ésimas de los factores.

2·5 = 3 2·3 5

n 7

2

4

7

2 7

a ·b = a · b

4

a·b =

n

a·n b 1

Demostración:

1

1

n n n ·b n = a·b (a·b) = a=

n

a·n b

Raíz de un cociente 5

2 = 3

5

2

5

3 5

a4 5 = b3

5

La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-ésimas del dividendo y del divisor.

a4

n

b3

a = b

n

a

n

b 1

1

a  a n an Demostración: n=  = = 1 b  b  bn

n

a

n

b

Raíz de una potencia = 8 5

3

5

x7 =

( 2)

3

= 2

5

3

Para hallar la raíz de una potencia, se calcula la raíz de la base y luego se eleva el resultado a la potencia dada.

( x) 3

n

7

Demostración:

n

ap =

( a) n

p

p

 1 a= a=  an =    p

p n

( a) n

p

Raíz de una raíz 5 3

2 = 15 2

La raíz n-ésima de la raíz m-ésima de un número es igual a la raíz nm-ésima de dicho número. n m

a =

n·m

a

1

Demostración:

1  1 n n·m = a  am= a =   

nm

n·m

a

MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO 

7

Potencias y radicales 3. Simplificación Racionalización Racionalizar una expresión con un radical en el denominador, consiste en encontrar una expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica numerador y denominador por la expresión adecuada para que, al operar, la raíz desaparezca.

Cuando el denominador es un radical 1 = 3 5 1 7

x4

1·3 52 = 3 5·3 52 =

1·7 x3 7

x 4 ·7 x3

3

52 = 3 3 5 7

=

7

x3 x7

3

25 5 7

=

x3 x

Si el denominador es un binomio se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado* del denominador.

Cuando el denominador es un binomio 1 5+ 3 = = 5− 3 5− 3 5+ 3

(

∗ El conjugado de a + b es a − b

=

5+ 3 = 5−3

Simplificar un radical Simplificar un radical es escribirlo en la forma más sencilla, de forma que:

8

•

El índice y el exponente sean primos entre sí.

•

No se pueda radicando.

•

El radicando no tenga ninguna fracción.

extraer

ningún

factor

 MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO

del

)(

6

8 = 6 23 = 2

7

a30 = a4 7 a2

)

5+ 3 2

Potencias y radicales EJERCICIOS resueltos 10.

11.

12.

Escribe con una sóla raíz: a)

5

b)

7

7

14

= x8·x

4

3·4 27

4

3·4= 27

4

b)

5

x·5 x2

5

x·5 x2 =

5

x9

4

= 34 3

= 81 x3

Escribe con una sóla raíz: 3

16

3 5 5

2

x4 x3

16 = 2

3

x4 = 5 3 x

5

3

3 5

16 = 2

x4 = x3

8 2 =

3

5

x

Racionaliza. a)

b)

1 = 5 9

1 5

9

2 5· 4 3

1·5 32 = 5 2 5 3 3 · 3

1 = 5 2 3

5

32 = 5 5 3

9 3

5

2 2 2·3 2 2·3 2 2·3 2 = = = = = 3 5·2 5· 4 5·3 22 5·3 22 ·3 2 5·3 23

2 5

3

Racionaliza: a) b)

15.

= X4 x

7

a)

b)

14.

X4 x

3 = 10 3

Escribe con una sóla raíz:

a)

13.

5

3

1 7

x4 1

x2 7 x3

1 = 7 4 x

1·7 x3 = 7 4 7 3 x · x

7

x3 = 7 7 x

7

x3 x

7 4 7 4 1 1·7 x 4 x x = = = = 2 27 3 27 3 7 4 27 7 x ·x x x x x · x x x

7

x4 x3

Racionaliza: a)

b)

c)

1 3− 2

2 5 +2 1 3− x

1

= 3− 2 2 = 5 +2 1 = 3− x

( (

(

1· 3 + 2

)

= 3− 2· 3+ 2

(

)(

2· 5 − 2

)

= 5 +2 · 5 −2

(

)(

)

)

)

(

)

3+ 2 = 3−2

10 − 2 2 = 5−4

(

3+ 2

)

10 − 2 2

1· 3 + x 3+ x = 9−x 3− x ·3+ x

(

)(

)

MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO 

9

Potencias y radicales 4. Operaciones con radicales Suma y Resta de Radicales Para sumar o restar radicales se necesita que sean semejantes (que tengan el mismo índice y el mismo radicando), cuando esto ocurre se suman ó restan los coeficientes de fuera y se deja el radical.

23 + 2 =

8+ 2=

= 2 2+ 2= 3 2

x + 6 x3 = x + x = 2 x

Producto de Radicales Para multiplicar radicales se necesita que tengan el mismo índice, cuando esto ocurre el resultado es un radical del mismo índice y de radicando el producto de los radicandos. Si tienen distinto índice, primero se reduce a índice común.

3

3· = 2

5 = x· x

6

6 3 32 ·= 2

10

= x2 ·10 x5

Cociente de Radicales Para dividir radicales se necesita que tengan el mismo índice, cuando esto ocurre el resultado es un radical del mismo índice y de radicando el cociente de los radicandos. Si tienen distinto índice, primero se reduce a índice común.

10

 MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO

6

2 = 3 2

23 = 6 2 2

4 x = 8 x

8

x2 = 8 x

6

2

8

x

= 9·8

6

10

x7

6

72

Potencias y radicales EJERCICIOS resueltos 17.

Calcular la suma: a)

40 + 90

19.

2 32 − 8 = 2 25 − 23 = 2·22 2 − 2 2 = 8 2 − 2 2 = 6 2

c)

3

4 + 6 16

3

1 +5 8 2

4 + 6 16 = 3 4 + 6 42 = 3 4 + 3 4 = 2 3 4

1 4·1 +5 8 = + 5 23 = 2 + 10 2 =12 2 2 2

2

Calcular y simplificar: a)

4

3·5 27

4

3·4= 27

4

b)

3

x·9 x2

5

x·5 x2 =

5

x3

c)

5

x3 x· x

5

x3= x· x

5

d)

3

2· 2·4 8

3

4 2· 2· = 8

4

= 34 3

= 81

3

10

3 x·x = · x

4 3 2· 2·= 2

= x4 · x

12

10

= x 4 ·10 x5

12 9 24 ·12 26 ·= 2

10

x9

12

= 219 212 27

Calcular y simplificar: a)

b)

a)

b)

20.

4·10 + 9·10 = 2 10 + 3 10 = 5 10

b) 2 32 − 8

d) 2

18.

40 + 90 =

3

16

5

x4

14

x3

6

84

8

3

4

3

X4 x 4

3

7 4 x = 14 3 x

14

16 = 5 2

2

7

3

6

84 = 8 3 4

3

x

15

24 = 5 2

220 = 15 3 2

x8 = 14 3 x 6 8

x4 x = 4 x

14

4

3

2

3

= 217 215= 22 215 4

x5

(2= ) (2 ) 3

15

24

6

212 = 8 6 2

x·x8 = 4 x

(2 = ) (2 ) 12 6

24

6

x9 = 4 x

4

3

12

x18 = 12 3 x

24

248 = 24 18 2

24

230 =

4

25 2 4 2 =

12

x15 x12 x3 =

Calcular y simplificar 2·3 4

a)

4

2·3 4 = 4 8

8 5

b)

5

2 2·3 4 8

2·3 22 = 4 3 2

2 2·3 4 = 8 =

5

12

26 ·12 28 = 12 9 2

2·22 ·3 22 = 23

1 = 30 16 2

30

10

12

224 = 12 9 2

23 ·3 22 = 23

214 = 30 16 30 14 2 · 2

30

12

30

= 215

4

= 25 2 4 2

29 ·30 220 = 30 45 2

214 = 30 30 2

30

214 = 2

30

229 = 30 45 2 15

27 2

MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO 

11

Potencias y radicales Para practicar

1. Escribe

como potencia de exponente fraccionario: a)

5

b)

3

c)

a3

d)

5

x2

a) 3

a3

c) x

b) 5

1 5

e)

a)

5 3

a) c)

14

25 x6

b)

8

d)

30

2

8

16·x8

b)

9a3

c)

3

16

98a3b5c7

d)

5. Introducir dentro del radical todos los

factores posibles que se encuentren fuera de él. a) 3· 5

b) 2· a

c) 3a· 2a2

d) ab2 3 a2b

6. Reduce

al mínimo común índice los siguientes radicales. a) c)

4

5; 4 3

b)

3; 7; 2

d)

8

3

4; 4 3; 2 6

3

3; 32 ; 5

7. Suma los siguientes radicales indicados.

12

a)

45 − 125 − 20

b)

75 − 147 + 675 − 12

c)

175 + 63 − 2 28

d)

20 +

d)

2ab·4 8a3

f) 4 2x2y3 ·6 5x2

x·3 2x2

(

)

2− 3· 2

c) (2 3 + 5 − 5 2 ) ⋅ 4 2

10. Divide los siguientes radicales

los siguientes radicales 18

12·3 9

d) ( 5 + 3 ) ⋅ ( 5 − 3 )

4. Extraer todos los factores posibles de

a)

b) 5· 2·3· 5

b) (7 5 + 5 3 ) ⋅ 2 3

3. Simplifica los siguientes radicales: 4

3

3· 6

9. Multiplica los siguientes radicales

3 2

d) x

a) c)

2. Escribe como un radical: 1 2

8. Multiplica los siguientes radicales

1 45 + 2 125 3

 MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO

6x

a)

c)

e)

3x 9x 3

3x

3

9

9

3

75x2y3

b)

d)

f)

5 3xy 3

8a3b

4

4a2

6

x5

8

x3

11. Calcula:

a)

5

24 2

b)

5

x2 4 x3

c)

4

x3 3 x2 x

d)

6

23 2 2

12. Racionaliza.

a) c)

2

b)

7 2a 2ax

d)

1 3 1 5

x3

13. Racionaliza.

a) c)

2 3 −1

5 4-

11

b) d)

3+ 5 3− 5 2 2 +1

Potencias y radicales Para saber más

n = a1 +

1 a2 +

a3 +

1

Aproximación de una mediante fracciones 1

a4 +

1 ...

raíz

cuadrada

Cualquier número irracional se puede aproximar mediante una fracción, que se obtiene a partir de su desarrollo en fracción continua. Mediante las fracciones continuas se puede aproximar cualquier raíz a una fracción.

Desarrollo de: 1+ 1+

1

=

2

3 2

2 = 1' 4142

Algoritmo

= 1'5

La primera cifra a1 es la parte entera de la raíz

1

7 == 1' 4 1 5 2+ 2 1

1+

1

2+

2+

1 2

2+

41 = = 1' 4167 29

1

2+

2+

2 99 = = 1' 4142 70

1 1

2+ 2+

1 2+

2 =1+

1 x2 1 1 ⇒ 2 −1 = ⇒ x2 = x2 x2

1 2 −1

= 2 +1

a2 = x2 =  2 + 1 = 2  

1

1 2+

La segunda cifra a2 es la parte entera de x2 x1= 1 +

1

1+

a1 = x1   = 2 1 =  

17 = = 1' 4166 12

1

1+

x1 = 2

x2= 1 +

1 x3

2 +1 = 2 +

1 2

1 1 ⇒ 2 −1 = ⇒ x3 = x3 x3

1 2 −1

=

2 +1

a3 = x3 =  2 + 1 = 2  

Otros desarrollos

= 3 = 1,12 7 = 5 = 2, 4 8 = 6 = 2,24 10

La tercera cifra a3 es la parte entera de x3

2,1114   2,14   3,6   

No es necesario hacer más cálculos por repetirse periódicamente los cocientes.

2= 1,2= 1 +

1 2+

2+

1

1 2 + ...

MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO 

13

Potencias y radicales Recuerda lo más importante Potencia de exponente fraccionario

Radicales Llamamos raíz n-ésima de un número dado al número que elevado a n nos da al primero.

Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario donde el numerador de la fracción es el exponente del radicando y el denominador es el índice de la raíz.

La expresión es n a un radical de índice n y radicando a. n

a = b ⇔ a = bn

n

m

am = a n

Propiedad fundamental El valor de un radical no varía si se multiplican ó se dividen por el mismo número el índice y el exponente del radicando. n

am =

n·p

am·p

Reducir a índice común

Operaciones con radicales

Reducir a índice común dos radicales dados es encontrar dos radicales equivalentes a los dados que tengan el mismo índice.

Para multiplicar(o dividir) radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican(o dividen) los radicandos. Si tienen índice distinto, primero se reduce a índice común.

Radicales semejantes

Para hallar la raíz de un radical se deja el radicando y se multiplican los índices.

Son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando, pudiendo diferir en el coeficiente que los multiplica.

Para sumar (o restar) radicales semejantes se suman (o restan) los coeficientes y se deja el radical

Racionalizar Racionalizar una fracción con radicales en el denominador, es encontrar una fracción equivalente que no tenga raíces en el denominador.

14

 MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO

Potencias y radicales Autoevaluación 1. Calcula la siguiente raíz:

7

78125

2. Escribe en forma de exponente fraccionario:

3. Calcular:

10

x3

18 − 98

4. Introduce el factor en el radical: 6 4 5

5. Calcula, simplifica y escribe con un solo radical:

6. Extrae los factores del radical:

7. Racionaliza:

4

7

73 3

243

45 3

25

8. Calcular y simplificar:

9. Calcular y simplificar:

4

2·5 4

7

125 3

5

10. Cuánto mide la arista de un cubo si su volumen es 1331m3

MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO 

15

Potencias y radicales Soluciones de los ejercicios para practicar 1

2

1. a) 52

b) x 3

3 2

3 5

c) a

2. a) c)

3 5

3. a) c)

7

e)

3

5

x

d)

3

5

b)

4

x3

d)

15

4. a) 3 2

c)

d) a b)

x5

c)

6. a)

4

8

108

d)

4

32a5b f)

6

12

4x7

200x10y9

b) 14 5 + 30 c) 8 6 + 4 10 − 20 d) 2

4x2

b) 2 3 2

10. a)

2 33

2abc

45

b)

4a

18a4

d)

25; 4 3

b)

12

256;12 27;12 4

c)

18

9; 8 7; 8 216

d)

6

27; 6 32; 6 25

7. a) −4 5 b) 11 3 c) 4 7

b) 15 10

9. a) 2 − 6

c) 3a a d) 7ab c

5. a)

18 3

8. a)

d) 15 5

3

a5b7

2

b) y x 6

c)

6

81x

d)

e)

6

243

f)

11. a)

4

2

b)

20

d)

3

c)

12. a) c)

13. a)

24

x23

2 7 7

b)

24

8a3b2

x11 x11

x2

3 3 5

x2 x

2ax x

d)

3 +1

b) −7 − 3 5

c) 4 +

11 d) 2 -

2

Soluciones AUTOEVALUACIÓN 1. 5 3

2. x10 3. −4 2 4.

4

5.

21

6480 1029

6. 34 3 7. 9 3 5 8.

20

8192

9.

21

25

10. 11 cm

MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Académicas 4º ESO 

16