2
Potencias y radicales
Objetivos En esta quincena aprenderás a:
•
Calcular y operar con potencias de exponente entero.
•
Reconocer las partes de un radical y su significado.
•
Obtener radicales equivalentes a uno dado.
•
Expresar un radical como potencia de exponente fraccionario y viceversa.
•
Operar con radicales.
•
Racionalizar expresiones con radicales en el denominador.
•
Utilizar la calculadora para operar con potencias y radicales.
1. Radicales ……………………………………… pág. 22 Potencias de exponente fraccionario Radicales equivalentes Introducir y extraer factores Cálculo de raíces Reducir a índice común Radicales semejantes 2. Propiedades ………………………………… pág. 25 Raíz de un producto Raíz de un cociente Raíz de una potencia Raíz de una raíz 3. Simplificación ……………………………… pág. 26 Racionalizar Simplificar un radical 4. Operaciones con radicales …………… pág. 28 Suma y resta Multiplicación de radicales División de radicales RESUMEN Ejercicios para practicar Para saber más Resumen Autoevaluación Actividades para enviar al tutor
MATEMÁTICAS B
19
20
MATEMÁTICAS B
Potencias y radicales Antes de empezar Propiedades de las potencias de exponente entero
Conviene que recuerdes las propiedades de las potencias que has estudiado en cursos anteriores
9 El producto de potencias de la misma base es otra x2·x7 = x2 +7 = x9
potencia de la misma base y de exponente la suma de los exponentes.
an·am = an+m
9 El cociente de potencias de la misma base es otra 8
2 = 28 −5 = 23 25
potencia de la misma base y de exponente la resta de los exponentes. an = an−m m a
9 La potencia de otra potencia es una potencia de la
(x ) 7
3
= x7·3 = x21
misma base y de exponente el producto de los exponentes.
(a ) n
70 = 1
m
= an·m
9 Una potencia de exponente cero es igual a ls unidad.
a0 = 1
9 El producto de potencias del mismo exponente es 25·35 = (2·3) = 65 5
otra potencia del mismo exponente y de base el producto de las bases. an·bn = ( a·b )
n
6
86 ⎛ 8 ⎞ = ⎜ ⎟ = 26 46 ⎝ 4 ⎠
9 El cociente de potencias del mismo exponente es
otra potencia del mismo exponente y de base el cociente de las bases. n
an ⎛ a ⎞ =⎜ ⎟ bn ⎝ b ⎠
MATEMÁTICAS B
21
Potencias y radicales 1. Radicales Definición Llamamos raíz n-ésima de un número dado a al número b que elevado a n nos da a. n
3
8 = 2 por ser 23 = 8 1
a = b ⇔ bn = a
3
5 = 53
5
x2 = x 5
Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario en la que el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador de la fracción es el exponente el radicando. n
2
p
ap = an
Radicales equivalentes Dos o más radicales se dicen equivalentes si las fracciones de los exponentes de las potencias asociadas son equivalentes. Dado un radical se pueden obtener infinitos radicales semejantes, multiplicando o dividiendo el exponente del radicando y el índice de la raíz por un mismo número. Si se multiplica se llama amplificar y si se divide se llama simplificar el radical. Radical irreducible, cuando la fracción de la potencia asociada es irreducible.
Introducción y Extracción de factores Para introducir un factor dentro de un radical se eleva el factor a la potencia que indica el índice y se escribe dentro.
3
6
x2 = x 4
son equivalentes por ser:
Amplificar:
3
x2 =
3·2
x 2·2 = x 4
Simplificar:
6
x4 =
6:2
x 4:2 = x 2
3
6
3
x2
Irreducible por ser m.c.d.(3,2)=1
Introducir 3
3
x3 x = x 3 ·x = x 4 3
Si algún factor del radicando tiene por exponente un número mayor que el índice, se puede extraer fuera del radical dividiendo el exponente del radicando entre el índice. El cociente es el exponente del factor que sale fuera y el resto es el exponente del factor que queda dentro.
22
MATEMÁTICAS B
2 4 = 3 6
23 3 = 23 ·3 = 3 8·3 = 3 24 Extraer: 5
5
x13 = x 2 x 3
13
5
3
2
Potencias y radicales
Cálculo de raíces
1728 2 864 2 432 2 216 2 108 2
3
1728 = 3 26 ·33 = = 22·3 = 12
54 2 27 3 9 3
Para calcular la raíz n-ésima de un número primero se factoriza y se escribe el número como producto de potencias, luego se extraen todos los factores. Si todos los exponentes del radicando son múltiplos del índice, la raíz es exacta.
3 3
1
Reducir a índice común 6
10
2 ;
3
m.c.m(6,10)=30 6
2 =
10
3 =
30
25 =
30
33 =
30
32
30
27
Los siguientes radicales son semejantes:
2 3 4 ; 7 3 4 ; 53 4
Reducción a índice común Reducir a índice común dos o más radicales es encontrar radicales equivalentes a los dados que tengan el mismo índice. El índice común es cualquier múltiplo del m.c.m. de los índices. El mínimo índice común es el m.c.m. de los índices.
Radicales semejantes Radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Pueden diferir únicamente en el coeficiente que los multiplica.
Los siguientes radicales no son semejantes:
23 4 ; 25 4 El índice es distinto
MATEMÁTICAS B
23
Potencias y radicales EJERCICIOS resueltos 1.
Escribe los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionario: 1
2.
a)
5
3
5
3 = 35
b)
5
X3
5
X3
Escribe las siguientes potencias como radicales: 1
1
a) 72
72 = 7
2
2
53 = 3 52 = 3 25
b) 53 3.
4.
5.
Escribe un radical equivalente, amplificando el dado: 3
5
3
5 =
b)
5
x4
5
x4 =
a)
6
b)
35
49
x 28
7
b)
6
6
49 = 72 =
35
35:7
x 28 =
6:2
72:2 = 3 7
x 28:7 =
5
x4
2·4 3 = 4 2 4·3 = 4 16·3 = 7
x 2 x3 = 7 (x 2 )7 ·x 3 =
7
4
48
x14·x 3 =
7
x17
128
4
128 = 4 27 = 2 4 23 = 2 4 8
7
x30
7
x30 =
7
x28 +2 =
7
x28 ·x2 = x 4 7 x2
Calcular las siguientes raíces: a)
5
1024
5
1024 = 5 210 = 22 = 4
b)
7
x84
7
x84 =
7
x12·7 = 7 (x12 )7 = x7
Reduce a índice común
b)
24
x12
4
2 = 6 23 = 6 8 ;
3; 3 5
a)
9.
15
x 4·3 =
Extrae los factores del radical: a)
8.
5·3
Introduce los factores dentro del radical:
b) x 2 x3
7.
6
51·2 = 52 = 6 25
Escribe un radical equivalente, simplificando el dado.
a) 2·4 3
6.
3·2
a)
4
x3 ; 6 x5
4
x3 =
12
x9 ;
6
x5 =
3
5 = 6 52 = 6 25
12
x10
Indica que radicales son semejantes a)
4
3;54 3
4
3 y 54 3 Son semajentes
b)
4
x; 3 x
4
x
MATEMÁTICAS B
y
3
x No son semajentes,tienen distinto indice
Potencias y radicales 2. Propiedades Raíz de un producto 3
La raíz n-ésima de un producto es igual al producto de las raíces n-ésimas de los factores.
2·5 = 3 2·3 5
n
7
2
4
7
2 7
a ·b = a · b
4
a·b =
n
a·n b 1
Demostración:
n
1
1
a·b = (a·b)n = an ·bn = n a·n b
Raíz de un cociente 5
2 = 3
5
2
5
3
a4 5 = b3
5 5
La raíz n-ésima de un cociente es igual al cociente de las raíces n-ésimas del dividendo y del divisor.
a4
n
b3
a = b
n
a
n
b 1
1
a ⎛ a ⎞ n an Demostración: n = = 1 = b ⎜⎝ b ⎟⎠ bn
n
a
n
b
Raíz de una potencia 5
3
5
8= 2 =
3
x7 =
( 2) 5
3
Para hallar la raíz de una potencia, se calcula la raíz de la base y luego se eleva el resultado a la potencia dada.
( x) 3
n
7
Demostración:
n
ap =
( a) n
p
p
⎛ 1⎞ a = a = ⎜⎜ an ⎟⎟ = ⎝ ⎠ p
p n
( a) n
p
Raíz de una raíz 5 3
2 = 15 2
La raíz n-ésima de la raíz m-ésima de un número es igual a la raíz nm-ésima de dicho número. n m
a =
n·m
a
1
Demostración:
nm
1 ⎛ 1 ⎞n a = ⎜⎜ am ⎟⎟ = an·m = ⎝ ⎠
n·m
a
MATEMÁTICAS B
25
Potencias y radicales 3. Simplificación Racionalización Racionalizar una expresión con un radical en el denominador, consiste en encontrar una expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador.
Para ello se multiplica numerador y denominador por la expresión adecuada para que, al operar, la raíz desaparezca. Si el denominador es un binomio se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado* del denominador.
Cuando el denominador es un radical 1 3
5 1
7
x4
=
1·3 52 3
=
3
2
5· 5
=
1·7 x3 7
x 4 ·7 x3
3
52
3
3
7
=
26
•
No se pueda radicando.
•
El radicando no tenga ninguna fracción.
MATEMÁTICAS B
extraer
ningún
factor
del
x7
)(
5+ 3 = 5−3
Simplificar un radical
El índice y el exponente sean primos entre sí.
7
x3
3
25 5 7
=
x3 x
Cuando el denominador es un binomio 1 5+ 3 = = 5− 3 5− 3 5+ 3
∗ El conjugado de a + b es a − b
•
5
=
(
Simplificar un radical es escribirlo en la forma más sencilla, de forma que:
=
6
8 = 6 23 = 2
7
a30 = a4 7 a2
)
5+ 3 2
Potencias y radicales EJERCICIOS resueltos 10.
11.
12.
Escribe con una sóla raíz: a)
5
b)
7
7
X4 x =
7
x8·x = 14 x9
4
3·4 27
4
3·4 27 = 4 81 = 4 34 = 3
b)
5
x·5 x2
5
x·5 x2 =
5
x3
Escribe con una sóla raíz: 3
16
3
5 5
2
3
16
3
x4
5
x3
5
=
3
16 3 = 8 =2 2
=
5
x4 = x3
2
x4 x3
5
x
Racionaliza. a)
b)
1 5
1 5
9
9
2
2
3
3
5· 4
1
=
5· 4
5
=
=
2
3
1·5 32 5
2
2 5
3
3 · 3
=
5·3 22
=
5
32
5
5
=
3
2·3 2
=
5·3 22 ·3 2
5
9 3
2·3 2 5·3 23
=
2·3 2 3 2 = 5·2 5
Racionaliza: a) b)
15.
3 = 10 3
a)
b)
14.
X4 x
5
Escribe con una sóla raíz:
a)
13.
3
1 7
1
x4
7
x4
=
1
1
x2 7 x3
x2 7 x3
1·7 x3 7
=
x4 ·7 x3
=
7
x3
7
x7
1·7 x 4 x2 7 x3 ·7 x 4
=
7
7
=
x3 x
x4
=
x2 7 x7
7
7 4 x4 x = x2·x x3
Racionaliza: a)
b)
c)
1 3− 2
1 3− 2
2
2
5 +2
5 +2
1
1
3− x
3− x
=
=
=
(
1· 3 + 2
(
)(
)
3− 2· 3+ 2
(
2· 5 − 2
)
)
=
(3 − x )(· 3 + x )
=
(
)(
5 +2 · 5 −2
(
1· 3 + x
)
)
=
(
3+ 2 3−2
)=
(
3+ 2
)
10 − 2 2 = 10 − 2 2 5−4 3+ x 9−x
MATEMÁTICAS B
27
Potencias y radicales 4. Operaciones con radicales Suma y Resta de Radicales Para sumar o restar radicales se necesita que sean semejantes (que tengan el mismo índice y el mismo radicando), cuando esto ocurre se suman ó restan los coeficientes de fuera y se deja el radical.
8 + 2 = 23 + 2 = =2 2+ 2 =3 2
x + 6 x3 =
x+ x =2 x
Producto de Radicales Para multiplicar radicales se necesita que tengan el mismo índice, cuando esto ocurre el resultado es un radical del mismo índice y de radicando el producto de los radicandos. Si tienen distinto índice, primero se reduce a índice común.
3
3· 2 = 6 32 ·6 23 = 6 9·8 = 6 72
5
x· x = 10 x2 ·10 x5 = 10 x7
Cociente de Radicales Para dividir radicales se necesita que tengan el mismo índice, cuando esto ocurre el resultado es un radical del mismo índice y de radicando el cociente de los radicandos. Si tienen distinto índice, primero se reduce a índice común.
28
MATEMÁTICAS B
2 3
2
4
x
8
x
=
=
6
23
6
22
8
x2
8
x
= 62
=
8
x
Potencias y radicales EJERCICIOS resueltos 16.
Calcular la suma: a)
40 + 90
b) 2 32 − 8 c)
3
4 + 6 16 1 +5 8 2
d) 2
17.
18.
4·10 + 9·10 = 2 10 + 3 10 = 5 10
2 32 − 8 = 2 25 − 23 = 2·22 2 − 2 2 = 8 2 − 2 2 = 6 2 3
4 + 6 42 =
3
4 + 6 16 =
1 +5 8 = 2
2
3
4 + 3 4 = 23 4
4·1 + 5 23 = 2 + 10 2 = 12 2 2
Calcular y simplificar: a)
4
3·5 27
4
3·4 27 = 4 81 = 4 34 = 3
b)
3
x·9 x2
5
x·5 x2 =
c)
5
x3 x· x
5
x3 x· x =
d)
3
2· 2·4 8
3
2· 2·4 8 = 3 2· 2·4 23 = 12 24 ·12 26 ·12 29 = 12 219 = 212 27
3
16
5
x3 5
x·x3 · x = 10 x 4 · x = 10 x4 ·10 x5 = 10 x9
Calcular y simplificar: a)
b)
a)
b)
19.
40 + 90 =
3
16
5
5
2
7
x4
7
x4
14
x3
14
x3
2
6
84
6
84
8
3
4
8
3
3
X4 x 4
3
=
3
24
5
14
x8
14
x3
= 8
x4 x x
15
=
2
6
4
4
x
=
15
2
4
3
=
3
2
6
212
8
6
x·x8
=
= 15 217 = 215 22 = 215 4
3
= 14 x5
(2 ) (2 ) 3
220
4
=
2
=
x
24
(2 ) (2 ) 12
6
x9
4
x
=
12 12
=
3
6
24
4
x18 x
24
248
24
18
2
=
24
230 = 4 25 = 2 4 2
= 12 x15 = x12 x3
3
Calcular y simplificar 2·3 4
a)
4
2·3 4
8
4
5
b)
5
2 2·3 4
8
=
2 2·3 4 8
2·3 22 4
23 5
=
12
26 ·12 28 12
2·22 ·3 22 23
8 =
=
1 30
216
=
29
= 30
30
=
10
12
224
12
23 ·3 22 23
214
216 ·30 214
= 12 215 = 4 25 = 2 4 2
29
=
=
30
30
214
30
230
29 ·30 220 30
=
245 30
=
214 = 2
30
229
30
245
=
15
27 2
MATEMÁTICAS B
29
Potencias y radicales Para practicar
1. Escribe
como potencia de exponente fraccionario: a)
5
b)
3
c)
a3
d)
5
x2
8. Multiplica los siguientes radicales
a) c)
a3
e)
3
3· 6
b) 5· 2·3· 5
12·3 9
d)
2ab·4 8a3
f) 4 2x2y3 ·6 5x2
x·3 2x2
2. Escribe como un radical:
a) 3 c) x
1 2
9. Multiplica los siguientes radicales
3 2
b) 5
1 5
d) x
a)
5 3
a) c)
14
25 x6
b)
8
d)
30
2
8
16·x8
10. Divide los siguientes radicales
los siguientes radicales b)
18
9a3
c)
3
16
98a3b5c7
d)
factores posibles que se encuentren fuera de él. a) 3· 5
b) 2· a
c) 3a· 2a2
d) ab2 3 a2b
al mínimo común índice los siguientes radicales.
c)
4
b)
8
3; 7; 2
3
d)
4; 4 3; 2 6
3
30
a)
45 − 125 − 20
b)
75 − 147 + 675 − 12 175 + 63 − 2 28
d)
20 +
1 45 + 2 125 3
MATEMÁTICAS B
9x 3x
3
9
9
3
d)
f)
5 3xy 3
8a3b
4
4a2
6
x5
8
x3
a)
5
24 2
b)
5
x2 4 x3
c)
4
x3 3 x2 x
d)
6
23 2 2
12. Racionaliza.
a)
3; 32 ; 5
7. Suma los siguientes radicales indicados.
c)
e)
3x
3
75x2y3
b)
11. Calcula:
6. Reduce
5; 4 3
6x
a)
c)
5. Introducir dentro del radical todos los
a)
c) (2 3 + 5 − 5 2 ) ⋅ 4 2 d) ( 5 + 3 ) ⋅ ( 5 − 3 )
4. Extraer todos los factores posibles de
a)
)
2− 3· 2
b) (7 5 + 5 3 ) ⋅ 2 3
3. Simplifica los siguientes radicales: 4
(
c)
2
b)
7 2a 2ax
d)
1 3 1 5
x3
13. Racionaliza.
a) c)
2 3 −1
5 4-
11
b) d)
3+ 5 3− 5 2 2 +1
Potencias y radicales Para saber más
Aproximación de una mediante fracciones
1
n = a1 +
a2 +
1 a3 +
1 a4 +
1 ...
raíz
cuadrada
Cualquier número irracional se puede aproximar mediante una fracción, que se obtiene a partir de su desarrollo en fracción continua. Mediante las fracciones continuas se puede aproximar cualquier raíz a una fracción.
Desarrollo de: 1+ 1+
1
=
2
3 2
1 2+
1
Algoritmo
= 1'5 7
=
5
La primera cifra a1 es la parte entera de la raíz x1 = 2
= 1' 4
a1 = ⎡⎣x1 ⎤⎦ = ⎡ 2 ⎤ = 1 ⎣ ⎦
2 1
1+
2 = 1' 4142
2+
2+
17
=
1
12
1 2 =
1
2+
2+
2 =
99 70
= 1' 4142
1
2+
2+
x2 = 1 +
1 2 −1
= 2 +1
1 x3
2 +1 = 2 +
1 2
1 1 ⇒ 2 −1 = ⇒ x3 = x3 x3
1 2 −1
= 2 +1
a3 = ⎡⎣x3 ⎤⎦ = ⎡ 2 + 1⎤ = 2 ⎣ ⎦
Otros desarrollos
3 = ⎡⎣1,12⎤⎦
7 = ⎡⎣2,1114⎤⎦
5 = ⎡⎣2, 4⎤⎦
8 = ⎡⎣2,14⎤⎦
6 = ⎡⎣2,24⎤⎦
1 1 ⇒ 2 −1 = ⇒ x2 = x2 x2
La tercera cifra a3 es la parte entera de x3
1
2+
2 =1+
1 x2
a2 = ⎡⎣x2 ⎤⎦ = ⎡ 2 + 1⎤ = 2 ⎣ ⎦
1
2+
29
= 1' 4167
1
1
1+
41
1
2+
La segunda cifra a2 es la parte entera de x2 x1 = 1 +
1
1+
= 1' 4166
10 = ⎡⎣3,6 ⎤⎦
No es necesario hacer más cálculos por repetirse periódicamente los cocientes.
2 = ⎡⎣1,2⎤⎦ = 1 +
1 1
2+ 2+
1 2 + ...
MATEMÁTICAS B
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Potencias y radicales Recuerda lo más importante Potencia de exponente fraccionario
Radicales
Llamamos raíz n-ésima de un número dado al número que elevado a n nos da al primero.
Un radical es equivalente a una potencia de exponente fraccionario donde el numerador de la fracción es el exponente del radicando y el denominador es el índice de la raíz.
La expresión es n a un radical de índice n y radicando a. n
a = b ⇔ a = bn
n
m
am = a n
Propiedad fundamental
El valor de un radical no varía si se multiplican ó se dividen por el mismo número el índice y el exponente del radicando. n
am =
n·p
am·p
Reducir a índice común
Operaciones con radicales
Reducir a índice común dos radicales dados es encontrar dos radicales equivalentes a los dados que tengan el mismo índice.
Para multiplicar(o dividir) radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican(o dividen) los radicandos. Si tienen índice distinto, primero se reduce a índice común.
Radicales semejantes
Para hallar la raíz de un radical se deja el radicando y se multiplican los índices.
Son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando, pudiendo diferir en el coeficiente que los multiplica.
Para sumar (o restar) radicales semejantes se suman (o restan) los coeficientes y se deja el radical
Racionalizar
Racionalizar una fracción con radicales en el denominador, es encontrar una fracción equivalente que no tenga raíces en el denominador.
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MATEMÁTICAS B
Potencias y radicales Autoevaluación 1. Calcula la siguiente raíz:
7
78125
2. Escribe en forma de exponente fraccionario:
3. Calcular:
10
x3
18 − 98
4. Introduce el factor en el radical: 6 4 5
5. Calcula, simplifica y escribe con un solo radical:
6. Extrae los factores del radical:
7. Racionaliza:
4
7
73 3
243
45 3
25
8. Calcular y simplificar:
9. Calcular y simplificar:
4
2·5 4
7
125 3
5
10. Cuánto mide la arista de un cubo si su volumen es 1331m3
MATEMÁTICAS B
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Potencias y radicales Soluciones de los ejercicios para practicar 1
2
1. a) 52
b) x 3
3 2
3 5
c) a
2. a) c)
3 5
3. a) c)
7
e)
3
5
x
d)
3
5
b)
4
x3
d)
15
4. a) 3 2
c)
d) a b)
x5
8
6. a)
4
d)
4
32a5b f)
6
12
4x7
200x10y9
c) 8 6 + 4 10 − 20 d) 2
4x2
b) 2 3 2
10. a)
45
b)
18a4
d)
2abc
4a 3
25; 4 3
b)
12
256;12 27;12 4
c)
18
9; 8 7; 8 216
d)
6
27; 6 32; 6 25
7. a) −4 5 b) 11 3 c) 4 7
108
b) 14 5 + 30
c) 3a a d) 7ab c
c)
b) 15 10
9. a) 2 − 6
2 33
5. a)
18 3
8. a)
d) 15 5
a5b7
2
b) y x 6
c)
6
81x
d)
e)
6
243
f)
11. a)
4
2
b)
20
d)
3
c)
12. a) c)
13. a)
24
x23
2 7 7
b)
24
8a3b2
x11 x11
x2
3 3 5
x2 x
2ax x
d)
3 +1
b) −7 − 3 5
c) 4 +
11 d) 2 -
2
Soluciones AUTOEVALUACIÓN 1. 5 3
2. x10 3. −4 2
6480
4.
4
5.
21
1029
6. 3 4 3 7. 93 5 8.
20
8192
9.
21
25
No olvides enviar las actividades al tutor
f
10. 11 cm
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Centro para la Innovación y Desarrollo de la Educación a Distancia
ACTIVIDADES DE ESO
4º 2
Matemáticas B
1. Escribe las potencias como radicales y los radicales como potencias: 5
2 =
a) c)
5
2=
b)
3 5 2
=
d)
1 53
=
2. Calcula: 4 2 − 9 18 + 15 50
3. Calcula expresando el resultado como una potencia de exponente fraccionario lo más
simplificado posible: 3
9 ⋅ 4 12 6
=
4. Racionaliza y simplifica:
a)
2 2
=
[email protected] http://cidead.cnice.mec.es
b)
4 5 −1