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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CONTEO DE FIGURAS CUATRO OPERACIONES 1.

Por cada cuatro docenas de manzanas que un comerciante compra, le obsequian dos manzanas. ¿Cuántos son de obsequio si llevó 4800 manzanas? A) 240 D) 192

B) 176 E) 184

C) 222

RESOLUCIÓN 4 doc 12 x 4 + 2 = 50 manz.

3.

Calcular el máximo cuadriláteros.

número

de

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

RESOLUCIÓN Por codificación literal: a

En los 4800 que llevo hay:

c b

4800 =96 grupos de 50 , 50

donde habrá: 2 x 96 = 192 2.

manz. de obsequio. RPTA.: D

Juan es el doble de rápido que Pedro. Si juntos pueden hacer una obra en 10 días, cuánto tiempo le tomará a Juan hacerlo solo? A) 13 días C) 15 días E) 17 días

B) 14 días D) 16 días

Con 1 Con 2 Con 3 Con 4 Con 7 Total

letra letras letras Letras letras

g

e

d

f

: : : : : :

1 3 1 1 1 7 RPTA.: D

1. Calcular el máximo Hexágonos.

número

RESOLUCIÓN Juan hace: 2 K Pedro hace: 1 K

Juntos hacen 3 K

En 10 días hacen 30 K Juan lo haría solo en

30 K = 15 días 2K

RPTA.: C

A) 21 D) 34

B) 24 E) 42

C) 30

de

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www.edicionesmillenium.com RPTA.: E

RESOLUCIÓN Contabilizando los espacios, en la base, que generan hexágonos, tenemos:

 5 6     15 x 2  2 

SITUACIONES LÓGICAS 4.

30 RPTA.: C

Hay dos pares de niños entre 2 niños; un niño delante de 5 niños y un niño detrás de 5 niños ¿Cuántos niños hay como mínimo? A) 12 D) 6

OPERADORES MATEMÁTICOS

B) 10 E) 4

C) 8

RESOLUCIÓN

1. En la tabla:

 a b a a b

c c

2 pares de niños Un niño detrás de 5

b b a c c c c a

RPTA.: D 5.

Reducir:

E

a  b  c  a

A) a D) c

a  b  c 

B) 0 E) 1

C) b

RESOLUCIÓN

 a  b   c   a E  a  (b  c) b  c   a  c  1 E ac c

2.

RPTA.: E

C) 6

RESOLUCIÓN H + C

C) 25

RESOLUCIÓN E  81 & 27 & 16

1 3 4  32 2 1 2 32 & 16=25 & 24  5  12, 5 2

81 & 27=34 & 33 

B) 5 E) 7

P; L

Halle: E  81 & 27 & 16 B) 32 E) 12,5

Un león, un carnero y un paquete de pasto desea pasar un hombre por un puente, donde el peso de cada uno, incluyendo al del hombre varía entre 70 y 80 kilos. Si el puente resiste solamente 200 kg, cuántas veces cruzaría el hombre el puente para pasar todo? (no puede dejar al león y al carnero juntos, ni al carnero y el pasto juntos). A) 4 D) 8

Si an & an1  0, 5na

A) 16 D) 81

Un niño delante de 5

L C

H H + P H +C H +L H H + C

C P L RPTA.: E

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PLANTEO DE ECUACIONES 6.

Halle el número cuyo quíntuplo, 3 disminuido en los del mismo, es 4 igual al triple, de la suma de dicho número con cinco. A) 10 D) 13

B) 11 E) 14

EDADES 8.

Teófilo tiene el triple de la edad de Pedro. Cuando Pedro tenga la edad de Teófilo, este tendrá 75 años. ¿Cuál es la edad de Teófilo? A) 30 D) 45

C) 12

Sea “x” el número 3 5x  x  3  x  5 4 Por (4): 20x  3x = 12x + 60 17x 12x = 60 5x = 60 x = 12

B) 81 E) 3

C) 71

= = = = = =

3x

75

Pedro

x

3x

RPTA.: D 9.

Hace (a + b) años, Martín tenía 2a años, ¿Qué edad tendrá dentro de (a – b) años? A) 4a D) 3a - 2b

600x 0 600 0 0 20

x=0

0, 1, 2 

 3

x = 23

23, 24, 25

  72

x = 26

26, 25, 24

  75

RPTA.: E

Teófilo

Teófilo tiene 45 años

RESOLUCIÓN (x) (x+1) (x+2) X[(x+1)(x+2)  600] x = 0  (x+1) (x+2) x = 0  x² + 3x  598 (x23) (x+26) x = 0  x = 23  x

Futuro

3x  x  75  3x 5x  75 x  15  3(x)  45

El producto de tres números enteros consecutivos es igual a 600 veces el primero. ¿Cuál es la suma de dichos números? A) 76 D) 73

Presente

La diferencia de edades siempre es la misma. RPTA.: C

7.

C) 40

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN



B) 35 E) 50

B) 2a - 2b C) 3a E) 2a + 2b

RESOLUCIÓN a+b

Martín

a-b

Tendrá

Pasado

Presente

Futuro

2a

2a +(a+b)

3a+b+a-b

= 4a

3a + b

RPTA.: A

MÓVILES 10.

Dos móviles están separados x2x 2 metros el uno del otro. Si parten simultáneamente uno al encuentro del otro, con una rapidez de xx y

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2xx

metros por segundo, respectivamente, se encontrarán al cabo de un minuto con 21 segundos ¿Qué distancia recorre el más veloz en xx 1 segundos? A) 486 m C) 864 m E) 468 m

20 t  30t  60 50t  600 t  12s

B) 648 m D) 684 m

Luego: t total  24  12

t  36s RPTA.: C

RELOJES RESOLUCIÓN VA  x x

VB  2x x

x2x  2

A

tE 

12.

B

d x2x 2  1 min 21s  x VA  VB x  2xx 81 

xx xx x2 3xx

A) 9 a.m. C) 2 p.m. E) 9 pm.

243 = x . x²

35  xx 2  x  3 El más veloz

t  33 1  32  9s

ab

d  VBt

B) 42 s E) 12 s

luego: ab  21  H: 9 p.m. RPTA.: E 13.

1200 1200   24 segundos 20  30 50

30t AB 600 m

11  a  b  33  a  b  3  a  2 b  1

C) 36 s

RESOLUCIÓN

A

H.F.T

ab  ba  9  24 100 a  b  10b  a  37

Dos móviles separados 1200 m van al encuentro uno del otro, en sentidos opuestos, con rapidez de 30 m/s y 20 m/s. ¿En que tiempo estarán separados 600 m por segunda vez?

20t

ba  9 24 h

RPTA.: A

tE 

H

H.T

m  d   54  9s   486 m s 

A) 45 s D) 24 s

B) 11 a.m. D) 7 pm.

RESOLUCIÓN

 

VB  2 33  54 m / s

11.

Las horas transcurridas del día están representadas por un número de dos cifras y el exceso de dicho número con las cifras invertidas sobre nueve, representa las horas que faltan transcurrir. ¿Qué hora es, si no son las 12m.?

B

Un barco que zarpa del Callao, llega a Paita un día sábado a las 11 a.m., después de emplear 130 horas. ¿Qué día y hora salió del Callao? A) Martes a las 5 a.m. B) Miércoles a las 9 a.m. C) Martes a las 11 a.m.

LAS FIJAS MATEMÁTICAS Y CIENCIAS UNMSM D) Jueves a la 1 a.m. E) Jueves a las 8 a.m.

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2.

RESOLUCIÓN

505 404

T   0! 1! 2! 3! ...  100!

Paita Lu

Ma

10 h

Mi 10

Ju 10

Sab

Vi 10

A) 6 D) 8

11 am 10



B) 4 E) 0

0! 1 0! 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 6040 8! = 40320 9! = ……..0 100!=……0 …..4

130 h = 5 D + 10 h Lunes a la 1 a.m. RPTA.: D

HABILIDAD OPERATIVA 1. En cuántos ceros termina 60! A) 9 D) 13

B) 11 E) 14

C) 12

505404

T  .....4

RESOLUCIÓN 60

C) 2

RESOLUCIÓN

130 24 10 5 

Calcule la cifra de unidades que se obtiene al efectuar:

T  .....4

5

 Impar

Impar

T  ..........4

12 5 2 2

RPTA.: B

Total 14 ceros RPTA.: E

ÁLGEBRA TEORÍA DE EXPONENTES ECUACIÓN DE 1º GRADO

RESOLUCIÓN 1 1 1 * 27 3  * 362  3 6

1. Efectuar:

4 *  3

E  27 A) 3 D) 1

31

 36 B) 6 E) 0

21

4   3

1



3 4

* 22 

1 4

E  1  1

1

 22

C) 2

1

RPTA.: D 2.

Simplificar: 2 5   4   E   27 3   27 3  2 3   

0,2

LAS FIJAS MATEMÁTICAS Y CIENCIAS UNMSM 2 3

A)

3 2

B)

D) 3

RESOLUCIÓN

C) 2

E) 1

RESOLUCIÓN *  27 



*  27 



* 3

4

2 3

5 3



1

 

1 3

3

27 1 27

2

1 9

5



1 243 16.

1

2

0,2

 27  1  6     243 

0,2

0,2

 243     32 

0,2

2

 3 5  10      2  

3 2

Si

1 3 7 343 322 RPTA.: D

¿Cuál será aquel polinomio cuadrático de coeficiente principal 4, capaz de ser divisible por 2x  1 y que al ser evaluado en (2) toma el valor de 5? A) 4x2  4x  3

B) 4x2  4x  3

C) 4x2  4x  3

D) 4x2  4x  2

RESOLUCIÓN Sea este Polinomio Px  4x2  ax  b :

x2 y2   3x  y , halle y x

Por condición: 4x2  ax  b  2x  1 .q' x 

4

 xy yx  W   x  y  x  0, y  0 x  y A) 16 D)  24

= = = = =

E) 4x2  4x  2

PRODUCTOS NOTABLES 14.

a²  2 + a2 a² + a2 a4 + a4 12 12 a + a + 3(7) a12 + a12

COCIENTES NOTABLES FACTORIZACIÓN I

1 81

 32  E   243 

RPTA.: B





E       9 243 81 

E 

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B) 23 E) 161 / 2

2

 1   1  4  a  b  0  2   2  -a+2b=-2.............................(1)

C) 42

Además: 4x2  ax  b  (x  2)q'' x  5

RESOLUCIÓN

x3  y3  3xyx  y

x  y3  3xyx  y  3xyx  y x  y3  0



De: 2(1)+(2)

: 5b=-15b=-3

En (2) :2a=-8a=-4 Conclusión: P x  4x2  4x  3

4

x  x  x  y  W   xx  xx   16

x

Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5 2a+b =  11 .........................(2)

x 

RPTA.: C

RPTA.: A 15.

Si a  a1  1 , halle W  a12  a12 A)256 D)322

B)306 E)196

C) 343

17.

Busque la relación que debe existir entre “p” y“q” a fin de que el polinomio: P x  x3  3px  2q Resulte ser divisible por x  a

2

A) P 3  q2

B) P 2  q3

C) P  q

LAS FIJAS MATEMÁTICAS Y CIENCIAS UNMSM D) P.q  1

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E) P  q2

1 1  p  x2  2  p2  2 x x 2 2 c(x)  x 12p  4p  65 x

RESOLUCIÓN Aplicando dos veces ruffini bajo el principio de divisibilidad.

1

c(x)  6p  13 2p  5



-a

 a2  3ap -a a2 1 -a (a2  3p) 3ap  2q  a3

-a

-a 2a2 2 1 -2a 3a  3P



P(x)   x  13x  22x  32x  1 x  2



R1  0

Factorizando Q:

Q(x)  2x4  5x3  8x2  17x  6 Q(x)   x  1 x  2 x  32x  1

R1  0 Si: 3a  3P  0



c(x)  6x2  13x  6 2x2  5x  2

2q

0 -3P

2

 

a2  P  a2

Por tanto:

3

 P3 Reemplazando en: R1  0 

MCD(P,Q)   x  1  x  2

3a3  2q  a3  0  a3  q

RPTA.: B

a    q 3 2

2

Conclusión: P  q . 3

2

19.

Indicar el grado del M.C.M. de los polinomios P(x) y Q(x) , donde:

RPTA.: A

MCD – MCM - FRACCIONES 18.

P(x)  x7  8x6  17x5  9x4  9x3  17x2  8x  1

Q(x)  x5  5x4  x3  x2  5x  1 A) 3 D) 6

Halle el MCD de los polinomios P(x) y Q(x). P(x)= 12x5  8x4  45x3  45x2  8x  12 Q(x)= 2x4  5x3  8x2  17x  6 A) x+1 C) (x-2)(2x-1) E) (2x+3)(2x-1)

Factorizando P (x); el polinomio es recíproco.

1 -1

Factorizando P(x)

1

12 -1

8 -45 -12

12

4

-4 -41

-45 41 -4

8

12

4 -12 12

0

Luego el cociente c(x)

c(x)  12x4  4x3  41x2  4x  12    1  1  c (x)  x2 12  x2  2   4  x    41 x x     

C) 5

RESOLUCIÓN

B) (x+1)(x-2) D) 3x+2

RESOLUCIÓN

B) 4 E) 7

8

17

9

-1

-7

-10

7

10

-1

9

17

8

1

1 -10

-7

-1 0

10

7

1

el polinomio cociente es reciproco también, pero de grado par:

 1 1 1    c (x)  x3  x3  3   7  x2  2   10  x   1  x  x  x     Haciendo:

x

1 1  m  x2  2  m2  2 x x

LAS FIJAS MATEMÁTICAS Y CIENCIAS UNMSM x3 

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1  m3  3m 3 x

RESOLUCIÓN

 P (x)   x  1  x2  3x  1 x2  5x  1 x2  x  1 Factorizando Q(x) similarmente:









Q  x    x  1 x2  5x  1 x2  x  1 Por tanto:







RPTA.: C



MCM   x  1 x  5x  1 x  x  1 x  3x  1 2

2

2

Gº = 1 + 2 + 2 + 2 = 7 RPTA.: E

TEORÍA DE ECUACIONES 20.

Calcule “k” para que la ecuación se reduzca a una de primer grado.

2k  3 3kx  2   2k  3 x 1 x 1 A) -2 D) 2

B) -3 E) 3

C)1

RESOLUCIÓN

2k  3x  1  3kx  2x  1  2k  3 x2  1 2kx2  2kx  3x  3kx2  3kx  2x  2 = 2kx2  2k  3x2  3

5kx2  kx  5x  1  2kx2  3x2  2k  3 3kx2  3x2  k  5 x  2k  2  0

3k  3 x2  k  5 x  2k  2  0  3k  3  0  k  1

RPTA.: C 21.

Calcule el valor de x en:

x n x m  1 n m A) m

mn m  n n E) nm C)

B) n D)

m nn

xm  mn  nx  mn  mn x(m  n)  mn mn mn x  m  n m  n

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GEOMETRÍA TRIÁNGULOS I 1. En la “x”

c

figura, calcule el valor

b

de

2xº

x

a A) 10º D) 40º

100°

B) 20º C) 30º E) 22º 30´

RESOLUCIÓN Si: a + b + c = 130°

2

2

c° A) 40° D) 60°

B) 45° E) 80°

c) 50°

b° a°

RESOLUCIÓN De la figura: x°

P



100° 2

2

C

2x°

3x°

Luego:  +  +x = 100° 40 +x = 100  x = 60°

22. RPTA.: D

2. Si: a + b + c = 130º. Calcule “2x”

130º = 2x + 90º 2x = 40º RPTA.: D

POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS

APC: 2 + 2 + 100 = 180°  +  = 40° :

x°

Propiedad del cuadrilátero: a + b = 2x + 90º .................e a  b  c  2x  90º

B

A

2x°

Calcule el número de diagonales medias de un polígono, en donde el número de diagonales es el cuádruple del número de ángulos internos. A) 20 D) 44

B) 27 E) 55

C) 35

RESOLUCIÓN Dato: NºDiag.= 4(Nº

s internos)

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Piden: NºDiag.Medias=

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PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

n(n  1) ? 2

Reemplazando en el dato:

n n  3

 

4 n 2 n  3  8  n  11

D.M. =

23.

11 11  1

24.

En

la

figura

si: x.y  x  y 

 55 RPTA.: E

2

Un icoságono regular ABC… y un pentadecágono regular ABMN… están ubicados en distintos 

semiplanos respecto a AB Calcule:

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

calcule

z,

x , L1 // L 2 // L 3 y

L1 6x

z-1

L2 y+5

z+1

L3

m MCB

A) 72º D) 69º

B) 36º E) 60º

C) 24º

RESOLUCIÓN 1) Dato: x.y  x  y 

RESOLUCIÓN

x y

Resolviendo:

15 LADOS

x

N

1 , y =-1... 2

(I)

2) Teorema de Thales M

6x z 1 ...  y 5 z 1

x

e2 B e1

A

3) (I)en (II)

x C

6 1 / 2 1  5

* *

Piden: x=?

360  18º 20 360 e2   24º 15 e1 

z 1 z 1

4z  4  3z  3 z=7 RPTA.: D

e1  e2  42º e

 BMC 2x  e1  e2   180º 42º





4 z 1  3 z 1

20 LADOS

*

(II)

x = 69º RPTA.: D

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AE 3  , EC 2

25. En la figura, calcule BF si: CD=6

B

F 45º

45º

D

A





C

E A) 6 2

B) 7 2

D) 9 2

E) 12 2

C) 8 2

RESOLUCIÓN 1) Corolario de Thales:

AE BD ...  EC CD

(I)

2) Reemplazando los datos en (I): 3 BD (II)   BD  9 ..... 2 6 3)

BDF (notable)

BF  BD 2 ...

(III)

4) (II) en (III) 

BF  9 2 RPTA.: D

FÍSICA CINEMÁTICA 25.

A partir del instante mostrado, determine cuántos segundos transcurren hasta que el auto A pase completamente al auto B. Considere que los autos se mueven en vías paralelas realizando un M.R.U. (A)

3m

(B)

12 m/s

10 m

3m

4 m/s

A) 1 s D) 4 s

B) 2 s E) 5 s

C) 3 s

RESOLUCIÓN El auto “A” pasa al auto “B” cuando la partícula posterior del auto “A” alcanza a la partícula delantera del auto “B”.

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www.edicionesmillenium.com V + 5 = 2v  10

t AL 

t AL 

d VA  VB

V = 15 m/s L = (15 + 5) (100) L = 2000 m RPTA.: B



16  2s 12  4

TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA MECÁNICA

RPTA.: B 26.

Sobre las aguas de un río de orillas paralelas se desplaza una lancha con una rapidez constante. Si en ir de un punto a otro del río tarda 100 s (cuando viaja en la dirección de la corriente) y cuando regresa al punto de partida tarda 200 s. Determine la rapidez de la lancha en aguas tranquilas y la distancia entre los dos puntos, si las aguas del río tienen una rapidez de 5 m/s.

1.

Un automóvil de 1 500 kg de masa acelera desde el reposo hasta alcanzar una rapidez de 20 m/s, recorriendo una distancia de 200 m a lo largo de una carretera horizontal. Durante este período, actúa una fuerza de rozamiento de 1 000 N de magnitud. Si la fuerza que mueve al automóvil es constante, ¿Cuál es el trabajo que ella realiza?

A) 10 m/s ; 2 000 m B) 15 m/s ; 2 000 m C) 20 m/s ; 2 000 m D) 11 m/s ; 1 600 m E) 15 m/s ; 1 500 m

RESOLUCIÓN

A) 100 kJ D) 500 kJ

B) 200 kJ E) 800 kJ

C) 300 kJ

RESOLUCIÓN V0  0 mg

V = rapidez de la lancha

m

Vf  20m / s F

a

fk  1000N N

Cálculo

d = 200 m

WF

de

(Trabajo

realizado por la fuerza F) Se sabe:



WF = F . d

WF = F . (200 m) ...............(1) Hallo “F” aplicando 2da. ley de Newton. Es decir:

La figura muestra la velocidad resultante de la lancha con respecto a un observador ubicado en tierra. Por M.R.U.: d = vt L = (v+5) (100) = (v5) (200) V + 5 = (v5)2

FR = ma

 Vf2  V02    2d 

F  fk   m  

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

2.

 202  0  F  100N  1500  N  2  200  F = 2500 N Reemplazando “F” en (1): WF = 2500 N . 200 m = 500 kJ RPTA.: D 



Una fuerza F  (300 i)N bloque de 200 kg de distancia de 25 m superficie horizontal. Si 

arrastra un masa, una sobre una la fuerza de



fricción es f K  (200 i) N , ¿cuál es el trabajo neto realizado sobre el bloque?, ¿cuál es la magnitud de la aceleración del bloque? A) 2 500 J ; 0,1 m/s2 B) 2 500 J ; 0,5 m/s2 C) 7 500 J ; 0,5 m/s2 D) 6 000 J ; 1,5 m/s2 E) 250 J ; 0,5 m/s2

RESOLUCIÓN 300N

mg

a

m

m 200N

N

d = 25 m

Cálculo de WNeto(Trabajo Neto) Se cumple: WNeto = FR . d Donde: FR  300N  200N  100N Luego:

WNeto  100N

25m  2500 J

Cálculo de “a” (magnitud de la aceleración)

a

FR 100N m a  0,5 2 m 200kg s

RPTA.: B …

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