RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJE GUIA DE NIVELACION 3° PERIODO

Contenidos: - Razones, proporciones y porcentaje Aprendizajes esperados: - Aplicar las propiedades de razones y proporciones. - Reconocer y distinguir entre una proporción directa y una proporción inversa. - Resolver problemas de planteo aplicando el concepto de proporción compuesta. RAZÓN: Es el cociente entre dos cantidades cualesquiera. Su notación es:

a ó a:b b

,

Se lee: “a es a b”

Donde a es el antecedente y b el consecuente A saber, la razón entre “población” y “superficie”, se conoce como Densidad Poblacional. Por ejemplo, la población de la ciudad de concepción es de 179.450 habitantes, distribuidos en una superficie de 18.051 km 2 (según los datos entregados por el instituto nacional de estadística) 170.450 Por lo tanto: DensidadPoblacional   9,94... 18.051 En cada km 2 viven aproximadamente 10 personas. PROPORCIÓN: es la igualdad de dos razones. a c  b d

ó

a:b  c:d

y se lee: “a es a b como c es a d”

Además, a y d : extremos c y d : medios

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES El producto de los medios es igual al producto de los extremos. a c a:b  c:d   ad  bc ,  b d Ejemplo:

35 56 , es una proporción ya que se cumple que  40 64

ad  bc

35∙64 = 40∙56 = 2.240

Ejemplo: la razón entre el número de dulces que tiene Agustín y el número de dulces que tiene su hermano es 2 : 3. Si Agustín tiene 12 dulces, ¡cuántos dulces tiene su hermano? Solución: si x es el número de dulces del hermano, entonces:

Por lo tanto, su hermano tiene 18 dulces. PROPIEDADES Si

a c  , entonces: b d

a) La proporción es la misma si se cambian de orden los extremos: d c  b a

b) La proporción es la misma si se cambian de orden los medios: a b  c d

c) La proporción es la misma si se invierten las dos razones: b d  a c

d) Composición de proporciones: ab cd  a c

ó

ab cb  b d

e) Descomposición de proporciones: a b cd  a c

ó

a b cb  b d

d) Composición y descomposición de proporciones. ab cd  a b cd

GUIA DE RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJE I.- Lee atentamente los siguientes ejercicios y analiza su desarrollo. Luego indica: * A qué contenido corresponden.

(Razones; Proporciones; Proporción Directa, Proporción Inversa o porcentaje)

* Si el desarrollo es o no correcto * Cuál es el error en los ejercicios (cuando haya uno), y cual sería la respuesta correcta. 1) A Rosa le han reajustado el sueldo en un 4%. Si su sueldo entes era de $220.000, con el reajuste queda en: SUELDO

%

220.000 X

100 4

X = 220.000 * 100 4 X = 5.500.000

RESP. AHORA RECIVE $ 5.500.000

2) A Manuel le descuentan $ 28.000 para FONASA (7%), entonces el sueldo de Manuel es: SUELDO 28.000 X

% 7 100

X = 28.000 * 100 7 X = 2.800.000 7 X = 300.000

RESP. SU SUELDO ES DE $300.000

3) El 45% de un número es 297, entonces el número es: SUELDO 297 X

% 100 45

X = 297 * 45 100 X = 13.365 100 X= 133,65

RESP. EL NUMERO ES 133,65

4) ¿Qué % es 20 de 60? SUELDO 60 20 X = 100*20 60 X = 3.000 60 X = 50

% 100 X

RESP. EL 50%

5) Calcula el valor de X en la proporción

x 2  10 5

X = 10*2 5 X = 20 RESP. El valor de X es 20 6) Al resolver la proporción X = 3,4*8 2,5 X = 272 2,5 X = 108,8 RESP. El valor de X es 108,8

3,4 2,5  x 8

el valor de x es:

7) Si un automóvil recorre 100 kilómetros en 3 horas ¿Cuántos kilómetros recorre en 10 horas? KILOMETROS 100 X

HORAS 3 10

X = 100*3 10 X = 300 10 X = 30

RESP. RECORRE 30 KILOMETROS

8) En 12 días, cuatro personas hacen un trabajo. ¿Cuántos días se demorarán seis personas en realizar el mismo trabajo? DIAS 12 X

PERSONAS 4 6

X = 12*6 4 X = 72 4 X = 18

RESP. DEMORARAN 18 DIAS

9) Tres metros de género valen $ 800. ¿Cuánto valen ocho metros del mismo género? METROS 3 8

$ 800 X

X = 8*800 3 X = 1.600 3 X = 533 RESP. 8 metros de genero vales $533.10) En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal? LITROS GRAMOS 50 1.300 X 5.200 X = 50*5.200 1.300 X = 260.000 1300 X = 20 RESP. 20 LITROS DE AGUA CONTIENEN 5.200 GRAMOS DE SAL 11) Un automóvil gasta 5 litros de bencina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil? LITROS KILOMETROS 5 100 6 X X = 6*10

5 X = 60 5 X = 12

RESP. PODRA RECORRER 12 KILOMETROS

12) Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles? TONELES LITROS 8 32 200 X X = 8*32 200 X = 256 200 X = 1,28

RESP. LA CAPACIDAD DEBE SER DE 1,28 LITROS

II.- Desarrolla los siguientes ejercicios EN TU CUADERNO: 1) Las edades de un padre y su hijo están en la razón 10:3. Si entre ambos tienen 78 años, ¿cuántos años más tiene el padre que el hijo? 2) Dos personas se reparten $ 12.000.- de modo que sus partes estén en la razón 8:4. ¿Qué cantidad le toca a cada uno? 3) La suma de tres números es 72 y están en la razón 2 : 4 : 3. Encuentra los números 4) Calcula el valor de X en la proporción

12 4  x 5

5) En un curso de 45 alumnos, 40% corresponde a mujeres.¿ Cuántos hombres hay en el curso? 6) Por el arriendo de 5 videos cobran $3.600. ¿De cuánto dinero debo disponer para arrendar 3 videos? 7) Doce cajones contienen 960 manzanas. ¿Cuántos cajones se necesitan para almacenar 64.000manzanas? 8) Una casa se pinta en veinte días con 40 trabajadores, ¿cuántos trabajadores se necesitarán si se quiere pintar la casa en 80 días?

III. Construir los gráficos e indicar cual corresponde a una proporción directa e inversa 1) x 10 20 30 40 50 60

Y 5 10 15 20 25 30

2) x 1 2 3 4 5 6

Y 24 12 8 6 4,8 4

IV.- Determina la razón indicada: En una encuesta realizada a 40 personas sobre sus gustos musicales se obtuvieron los siguientes resultados: Tipo de música Cantidad de personas Metal 20 Rock 12 Clásica 1 Pop 3 Folclórica 2 Otra 2 1) Escribe la razón entre la cantidad de personas que prefieren música metal y el total de encuestados. 2) Escribe la razón entre la cantidad de personas que prefieren música folclórica y el total de encuestados. 3) Escribe la razón entre la cantidad de personas que prefieren música pop y el total de encuestados. Escribe la razón entre la cantidad de personas que prefieren música metal y las que prefieren música clásica. V.- Opción múltiple. Resuelve realizando los cálculos en la prueba. Encierra en un círculo la alternativa correcta en las siguientes preguntas. (2 puntos c/u) 1) Si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es: a) b) c) d) e)

3/5 4/5 1/5 3/4 1/4

2) Si el consecuente de una razón es 128 y su valor es a) b) c) d) e)

1 . Calcular su antecedente 4

12 22 32 42 52

3) La razón de dos números es 5 : 3 y su diferencia es 16 .Determina los números. a) b) c) d) e)

40 y 24 50 y 34 54 y 38 60 y 44 70 y 54

4) La suma de tres números es 36 y están en la razón 2 : 3 : 4. Determina los números

a) b) c) d) e)

3,15 , 18 8,12, 16 7,14,15 9,12,15 10,12,14

5) Si 64 se divide en la razón 3 : 5 : 8, la parte más pequeña es: a) b) c) d) e)

16 12 10 20 32

6) Calcula el valor de X en la proporción a) b) c) d) e)

x 3  15 5

9 7 5 3 2

7) La constante de proporcionalidad de la siguiente tabla corresponde a: x y a) b) c) d) e)

12 6

16 8

22 11

68 34

2 0,2 ½ 20 2%

8) Cuál de las siguientes igualdades no corresponde a una proporción: a) b) c) d) e)

2 6  3 9 4 12  3 9 5 20  3 15 6 14  3 7 2 10  5 25

9) La tarjeta de la figura está dividida en cuatro partes, cada una de ellas semejante a la tarjeta original. El valor de x es: a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 30 10) En 12 barriles se pueden guardar 660 litros de bencina. ¿Cuántos barriles se necesitan para guardar 4290 litros? a) b) c) d) e)

78 65 23 2,9 1,8

11) Un granjero tiene suficiente alfalfa para alimentar 20 vacunos por 30 días. ¿Cuánto le durará el alimento si compra 5 vacas más? a) b) c) d) e)

37,5 32 24 22 18

12) Una llave que entrega 40 litros por minuto tarda 10 horas en llenar una piscina. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo otra llave que entrega 35 litros por minuto? a) b) c) d) e)

8,7 11,4 23,4 34,9 42

13) Para regar una hectárea de plantaciones un agricultor cuenta con un sistema de riego que entrega 30 litros por minuto, tardando 50 minutos en completar su tarea. ¿Cuántos minutos tardaría si el sistema entregase 40 litros por minuto? a) b) c) d) e)

24 45 37,5 66,6 70,5

14) ¿De qué número 8 es el 25%? a) b) c) d) e)

64 56 48 40 32

15) El Festival de la Canción de Viña del Mar cumple 50 años en el año 2009, de los cuales 20 ha triunfado Chile. ¿Qué porcentaje representa los festivales ganados por nuestro país? a) 30% b) 40% c) 50% d) 80% e) 90% 16) De un curso de 45 alumnos, el 20% esta enfermo. ¿Cuántos niños están sanos? a) b) c) d) e)

9 15 25 36 40

JUSTIFICA TU RESPUESTA.

1.

En cada caso, escriba la razón y determine su valor. a) Antecedente 1 y consecuente 2 b) Antecedente 5 y consecuente 15 c) Antecedente 9 y consecuente 5 d) Antecedente 108 y consecuente 4

2.

En una razón el consecuente es 8 y su valor es 0,375. Determine el antecedente

3.

En una razón el antecedente es 2 y su valor es 0,4. Determine el consecuente.

4.

En un curso de 36 alumnos, 9 fueron reprobados. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de aprobados y la cantidad de alumnos del curso?

5.

En un terreno, el área construida es de 120 metros cuadrados y el área libre es de 80 metros cuadrados. ¿Cuál es la razón entre el área construida y el área del terreno total?

6.

Determine el valor de la incógnita en cada una de las siguientes proporciones. a)

x 15  2 6

b)

63 9  x 5

c)

8 12  5 y

d)

49 y  56 8

7.

En un curso, la razón entre la cantidad de hombres y de mujeres es 3:2. Si la cantidad de hombres es 18, ¿cuál es el total de alumnos del curso?

8.

Dos amigos deben repartirse $ 270.000 en la razón 7:2. ¿Cuánto dinero recibe cada uno?

9.

Tres metros de género valen $ 800. ¿Cuánto valen ocho metros del mismo género?

10.

Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 52 segundos, si mantiene su rapidez constante?

11.

Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. ¿Cuántos metros cavarán, en un día, 42 operarios trabajando las mismas condiciones?

12.

Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar $ 27.000?