RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo rectángulo eran esas relaciones entre los lados de dicho triángulo rectángulo. Seno: Se define el seno del ángulo como el cateto opuesto dividido entre la hipotenusa del triángulo. Coseno: En este contexto, se define el coseno del ángulo como el cateto adyacente dividido entre la hipotenusa del triángulo. Tangente: se define como el cociente entre el cateto opuesto dividido entre el cateto adyacente. O, lo que es lo mismo, el cociente entre el seno y el coseno de dicho ángulo. Cosecante: La cosecante del ángulo es la razón inversa del seno. Es el cociente de la hipotenusa dividido entre el cateto opuesto. Secante: La secante del ángulo es la razón inversa del coseno. Es el cociente de la hipotenusa dividido entre el cateto adyacente. Cotangente: La cotangente del ángulo es la razón inversa de la tangente. Es el cociente del cateto adyacente dividido entre el cateto opuesto.

=

=

= =



=



=





MIDIENDO EN GRADOS Y RADIANES Objetivos de Aprendizaje  Entender las medidas en radianes.  Convertir de grados a radianes.  Convertir de radianes a grados. Sabes que hay diferentes unidades de medida para medir la misma cosa. Por ejemplo, la longitud se puede medir en pies y metros y la temperatura se puede medir en grados 39

Centígrados y grados Fahrenheit. Normalmente usamos fórmulas para convertir entre distintas unidades de medida. También hay dos maneras de medir ángulos. Sabes cómo medirlos en grados. Ahora aprenderás a medirlos en radianes y cómo convertir entre éstas unidades de medida. Mientras que los grados se usan en las actividades diarias como en la construcción y la topografía, la medida en radianes se usa para muchos cálculos, como la velocidad y distancia de los satélites alrededor de la Tierra.

MEDIDA EN RADIANES Para poder definir los radianes, es necesario introducir el concepto de ángulo central. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro de un círculo. En el círculo siguiente, el centro es el punto O, la longitud del radio es r, y ∠

es el ángulo central. Definición radianes. Unidad de medida basada del largo del arco Convirtiendo medidas en ángulos 

Grados a radianes: Multiplica valor radian por

radianes y se divide por 180  radianes por 180 y se divide por

Radianes

a

grados:

Multiplicar

radianes.

 180 =  360 = 2

360 en contra de las manecillas del reloj

40

numero

de

CIRCULO UNITARIO

ÁNGULOS Y MEDIDAS La palabra trigonometría proviene del griego Tri=3, Gono=Ángulos, Metria=Medidas. Es una rama de la matemática que nos ayuda a resolver problemas relacionados y haciendo cálculos con las medidas de los ángulos y ángulos de un triangulo. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen: a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo. 280 sin = = 0.6747 ⇒ = sin 0.6747 = 42°43′ 415 = 90° − 42°43 = 47°57′ = cos = 415 ∗ cos 42°43′ ⇒ 415 ∗ 0.7381 = 306.31 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo. = 90° − 22° = 68° = = 45 ∗ 22° ⇒ 45 ∗ 0.3746 = 16.85 = cos 22° = 45 ∗ cos 22° ⇒ 45 ∗ 0.9272 = 41.72

41

TRIANGULO EQUILÁTERO El triángulo equilátero tiene los tres lados y ángulos iguales. Perímetro de un triángulo equilátero:

=3∗

Altura de un triángulo equilátero: 1 =ℎ + ⇒ =ℎ + ⇒ 2 4 = Área de un triángulo equilátero:

=

−

4

⇒ℎ=

⇒

−

4

=ℎ ⇒ℎ

3 √3 ⇒ℎ= 4 2

√

ELEMENTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO En un triángulo equilátero coinciden el ortocentro, baricentro, circuncentro e incentro. El centro de la circunferencia es el baricentro y la altura coincide con la mediana, por tanto el radio de la circunferencia circunscrita es igual a dos tercios de la altura.

=

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos partes iguales. 1. Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud. 2. Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio. 3. La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias es la bisectriz.

42

BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO Las bisectrices de un triángulo son cada una de las rectas que dividen a un ángulo en dos ángulos iguales. El incentro es el punto de corte de las tres bisetrices. El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.

ÁREAS Y PERÍMETROS Perímetro. En matemáticas, el perímetro es la suma de las longitudes de los lados de una figura geométrica. Área: es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su región interior. PERÍMETRO Y ÁREA DEL CUADRADO Perímetro: El perímetro de un cuadrado es cuatro veces el valor del lado:

=

∗

Área: El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud del lado: PERÍMETRO Y ÁREA DEL RECTÁNGULO Perímetro: El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, por tanto:

=

∗

+

∗

Área: El área de un rectángulo es el producto de la longitud de los lados:

=

∗

PERÍMETRO Y ÁREA DE UN PARALELOGRAMO. Perímetro:

=

∗

+

∗

= (

+

)

Área: El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura:

=

∗

43

=

PERÍMETRO Y ÁREA DE UN ROMBO Área: El área del rombo es igual al producto de diagonal (D) por diagonal (d) dividido entre dos.

∗

=

Perímetro: El perímetro del rombo es cuatro veces el valor del lado.

=

∗

Área de un segmento del rombo =

+

2

2

=

ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRAPECIO Área: El área del trapecio es igual a la semisuma de las =

bases dividido entre 2 por la altura.

∗

Perímetro: Para calcular el perímetro de un trapecio cualquiera se suma el valor de los cuatro lados. =

+

+

+

ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO Perímetro: Suma de sus lados.

=

+ +

Área: El área de un triángulo es el producto de uno de sus lados por la altura sobre él dividido entre dos.

=

∗

Base de un triángulo es cualquiera de sus lados, y la altura es el segmento perpendicular a la base por el vértice opuesto. ÁREA Y LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA Longitud: La Longitud de una circunferencia es igual al valor de su diámetro multiplicado por (PI):

=

∗ ó

=

∗

∗

Área del círculo: El área de un círculo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por (PI): =

=

= 3.14159265358979 … 44

Diámetro:

=2∗

LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA =2∗

∗ ∗

360

Área de un sector circular:

=

∗

∗

Ejemplos de aplicación: Ejemplo 1: ¿Cuál es el cálculo del área sombreada de la siguiente figura? Solución: =

−

50.26 ⇒

⇒

= (8) − 3.1416 ∗ (4) ⇒ 64 − 3.1416 ∗ 16 ⇒ 64 −

= 13.73

Nota: Si el diámetro de la circunferencia es 8, el radio será la mitad de esto:

= =4

Ejemplo 2: ¿Cuál es el cálculo del área sombreada de la siguiente figura? Solución: =

− 2

⇒

=

(8) − 3.1416 ∗ (4) 64 − 3.1416 ∗ 16 64 − 50.26 13.73 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2 2 2 2

= 6.87

45