Medida de ángulos Ejercicio nº 1.a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210 y 70

b) Pasa a grados los ángulos:

7 rad y 3,5 rad 6

Ejercicio nº 2.Completa la siguiente tabla:

Ejercicio nº 3.-

a) Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes:

5 y 3 6

b Expresa en radianes los ángulos: 225 y 100

Ejercicio nº 4.Completa la tabla:

Ejercicio nº 5.a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 60 y 125

b) Pasa a grados los ángulos:

2 rad y 2,5 rad 5

Razones trigonométricas Ejercicio nº 6.Calcula las razones trigonométricas de 140 y de 220, sabiendo que:

sen 40  0,64; cos 40  0,77; tg 40  0,84

Ejercicio nº 7.Sabiendo que sen 50  0,77, cos 50  0,64 y tg 50  1,19, calcula sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora:

a) cos 130

b) tg 310

c) cos 230

d) sen310

Ejercicio nº 8.Sabiendo que sen 25  0,42, cos 25  0,91 y tag 25  0,47, halla sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora las razones trigonométricas de 155 y de 205. Ejercicio nº 9.Si sen   0,35 y 0 <  < 90 halla sin calcular :



a) sen 180  α





b) cos 180  α



Ejercicio nº 10.-

Si tg α 

1 y α es un ángulo que está en el primer cuadrante,calcula (sin hallar α ) : 3



a) tg 180  α





b) tg 180  α





c) tg 360  α





d) tg 360  α



Expresiones trigonométricas Ejercicio nº 11.Demuestra que:

senx 1  cos x 4  4cos x   1  cos x senx 2senx  sen2 x

Ejercicio nº 12.Demuestra la igualdad:

2senx sen2 x   cos x tg 2 x cos x

Ejercicio nº 13.Demuestra que:

cos x  2sen2

x 1 2

Ejercicio nº 14.Demuestra la siguiente igualdad:

senx  cos x   cos2 x cos x  senx

 1  sen2 x

Ejercicio nº 15.Demuestra la siguiente igualdad: senx cos x cos x  sen x 2

2



1 tg 2x 2

Ecuaciones trigonométricas Ejercicio nº 16.Resuelve la siguiente ecuación:

senx sen2 x  2sen2 x  0

Ejercicio nº 17.Resuelve la ecuación:

cos 2 x  sen2 x 

1 0 2

Ejercicio nº 18.Resuelve:

cos 3 x  3 cos x  3 cos x senx

Ejercicio nº 19.Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

sen2 x  cos 2 x  1  cos x  2sen2 x

Ejercicio nº 20.Resuelve la ecuación: 4 cos2 x  1  3 cos x

Soluciones Medida de ángulos Ejercicio nº 1.a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210 y 70

b) Pasa a grados los ángulos:

7 rad y 3,5 rad 6

Solución:

 7 rad  rad 180 6  7 70  70  rad  rad 180 18

a) 210  210 

b)

7 7 180 rad    210 6 6 

3,5 rad  3,5 

180  200 32' 7" 

Ejercicio nº 2.Completa la siguiente tabla:

Solución:

35   7 rad  rad 180 36 2 2 180 rad    120 3 3 

35 

2 rad  2 

 120 

2 rad 3

180  114 35' 30" 

Por tanto:

Ejercicio nº 3.-

a) Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes: b Expresa en radianes los ángulos: 225 y 100

5 y 3 6

Solución:

a)

5 5 180 rad    150 6 6  180 3 rad  3   171 53'14" 

 5 rad  rad 180 4  5 100  100  rad  rad 180 9

b) 225  225 

Ejercicio nº 4.Completa la tabla:

Solución:

 13 rad  rad 180 18 4 4 180 rad    240 3 3   11 330  330  rad  rad 180 6 180 1,5 rad  1,5   85 56' 37" 

130  130 

Por tanto:

Ejercicio nº 5.a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 60 y 125

b) Pasa a grados los ángulos:

Solución:

a) 60 

125 

b)

60    rad  rad 180 3 125 25 rad  rad 180 36

2 2 180 rad    72 5 5 

2 rad y 2,5 rad 5

2,5 rad  2,5 

180  143 14' 22" 

Razones trigonométricas Ejercicio nº 6.Calcula las razones trigonométricas de 140 y de 220, sabiendo que:

sen 40  0,64; cos 40  0,77; tg 40  0,84

Solución:

Como 140  180  40 y 220  180  40, entonces: sen140  sen 40  0, 64 cos 140   cos 40  0,77 tg 140   tg 40  0, 84 sen 220   sen 40  0, 64 cos 220   cos 40  0,77 tg 220  tg 40  0, 84 Ejercicio nº 7.Sabiendo que sen 50  0,77, cos 50  0,64 y tg 50  1,19, calcula sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora:

a) cos 130

b) tg 310

c) cos 230

d) sen310

Solución:





a) cos130  cos 180  150  cos50  0, 64





b) tg 310  tg 360  50  tg 50  1,19









c) cos230  cos 180  50  cos50  0, 64 d) sen310  sen 360  50  sen50  0, 77

Ejercicio nº 8.Sabiendo que sen 25  0,42, cos 25  0,91 y tag 25  0,47, halla sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora las razones trigonométricas de 155 y de 205.

Solución:

Como 155  180  25 y 205  180  25, entonces:

sen155  sen 25  0, 42 cos 155   cos 25  0, 91 tg 155   tg 25  0,47 sen 205   sen 25  0, 42 cos 205   cos 25  0,91 tg 205  tg 25  0, 47

Ejercicio nº 9.Si sen   0,35 y 0 <  < 90 halla sin calcular :



a) sen 180  α





b) cos 180  α



Solución:





a) sen 180    sen  0,35





b) cos 180     cos  

Necesitamos saber cuánto vale cos :

sen 2  cos 2  1 

0,352  cos 2  1

0,1225  cos 2   1  cos 2   0,8775 cos  0, 94 (es positivo, pues 0    90 )





Por tanto: cos 180    cos  0, 94 Ejercicio nº 10.-

1 y α es un ángulo que está en el primer cuadrante,calcula (sin hallar α ) : 3

Si tg α 



a) tg 180  α



Solución:

1   3 1 b) tg180     tg   3 1 c) tg  360      tg    3 1 d) tg  360     tg   3 a) tg 180     tg    







b) tg 180  α





c) tg 360  α





d) tg 360  α



Expresiones trigonométricas Ejercicio nº 11.Demuestra que:

senx 1  cos x 4  4cos x   1  cos x senx 2senx  sen2 x

Solución: 2 sen x 1  cos x sen 2 x   1  cos x      1 cos x sen x 1  cos x sen x





sen 2 x  1  2 cos cos 2 x  sen x  sen x cos x

1  1  2 cos x  2 sen x cos x sen x  2

2  2 cos x 2  2 cos x 4  4 cos x   sen 2x 2 sen x  sen 2x 2 sen x  sen 2x sen x  2 2

Ejercicio nº 12.Demuestra la igualdad:

2senx sen2 x   cos x tg 2 x cos x

Solución:

2 sen x sen 2 x 2 sen x sen 2 x     sen 2x tg 2x cos x cos x cos 2x



2 sen x cos 2x sen 2 x 2 sen x cos 2 x  sen 2 x sen 2 x     sen 2x cos x 2 sen x cos x cos x



cos 2 x  sen 2 x sen 2 x cos 2 x  sen 2 x  sen 2 x cos 2 x     cosx cosx cosx cosx cosx

Ejercicio nº 13.Demuestra que:

cos x  2sen2

x 1 2

Solución:

 x 1  cos x cos x  2 sen  cos x  2    2 2  2





2

    

 1  cos x   cos x  2    cos x  1  cos x  1 2  

Ejercicio nº 14.Demuestra la siguiente igualdad:

senx  cos x   cos2 x cos x  senx

 1  sen2 x

Solución:

sen x  cos x   cos 2x  sen x  cos x   sen x  cos x   cos 2x  cos x  sen x cos x  sen x  cos x  sen x 

sen x  cos x 2  cos 2x  sen2 x  cos 2 x  2 sen x cos x  cos 2x  cos 2 x  sen 2 x

cos 2x

 sen2 x  cos 2 x  2 sen x cos x  1 2 sen x cos x  1 sen 2x

Ejercicio nº 15.Demuestra la siguiente igualdad: senx cos x cos x  sen x 2

2



1 tg 2x 2

Solución:

1  2 sen x cos x 1 2 sen x cos x 2     cos 2 x  sen 2 x cos 2 x  sen 2 x 2 cos 2 x  sen 2 x sen x cos x



1 sen 2x 1   tg 2x 2 cos 2x 2

Ecuaciones trigonométricas Ejercicio nº 16.Resuelve la siguiente ecuación:

senx sen2 x  2sen2 x  0

Solución: sen x  sen 2x  2 sen2 x  0 sen x  2 sen x cos x  2 sen2 x  0 2 sen2 x cos x  2 sen2 x  0

2 sen2 x cos x  1  0

 2  2 sen x  0    cos x  1  0



sen x  0





cos x  1 

    x  0  360 k      x  180  360 k

x  180  360 k

Por tanto, las soluciones son:

 x  360 k     x  180  360 k

siendo k  Z

Ejercicio nº 17.Resuelve la ecuación:

cos 2 x  sen2 x 

1 0 2

Solución:

cos 2x  sen 2 x 

1 0 2

cos 2 x  sen 2 x  sen 2 x 

1 0 2

1 0 2 1 cos 2 x  2 cos 2 x 

cos x  

2 1  2 2

 2 cos x   2     cos x   2   2 

 x  45  360 k   x  315  360 k  x  135  360 k   x  225  360 k 



Ejercicio nº 18.Resuelve:

cos 3 x  3 cos x  3 cos x senx

Solución: cos3 x  3 cos x  3 cos x sen x

cos3 x  3 cos x  3 cos x sen x  0

  cos x 1 sen x  3  3 sen x   0 cos x  sen x  3 sen x  2  0  cos x sen x  3 sen x  2  0 cos x cos 2 x  3  3 sen x  0 2

2

2

siendo k  Z

  x  90  360 k cos x  0       x  270  360 k sen 2 x  3 sen x  2  0 

sen x 

3

98 2



3

1

2

 1  3 1     2   2 (no vale)



x  270  360 k

sen x  1 

Por tanto las soluciones son:    x  90  360 k     x  270  360 k

siendo k  Z

Ejercicio nº 19.Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

sen2 x  cos 2 x  1  cos x  2sen2 x

Solución: sen 2x  cos 2x  1  cos x  2 sen2 x 2 sen x cos x  cos 2 x  sen2 x  1  cos x  2 sen2 x

2 sen x cos x  cos 2 x  sen2 x  1 cos x  2 sen2 x  0 2 sen x cos x  cos 2 x  sen2 x  1 cos x  0 2 sen x cos x  1 1 cos x  0 2 sen x cos x  cos x  0 cos x  2 sen x  1  0

 cos x  0     2 sen x  1  0 

 x  90  360 k     x  270  360 k 

1 sen x  2

siendo k  Z  x  30  360 k     x  150  360 k



Ejercicio nº 20.Resuelve la ecuación: 4 cos2 x  1  3 cos x

Solución:

4 cos 2x  1  3 cos x





4 cos 2 x  sen 2 x  1  3 cos x

4 cos x  4 sen x  1  3 cos x 2

2





4 cos 2 x  4 1  cos 2 x  1  3 cos x 4 cos 2 x  4  4 cos 2 x  1  3 cos x 8 cos 2 x  3 cos x  5  0 cos x 

3

9  160 16



 3  169 16



5  3  13   8 16   1

  x  51 19' 4"360 k 5   cos x    8  x  308 40' 56"360 k   cos x  1  x  180  360 k  

siendo k  Z