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Medida de ángulos Ejercicio nº 1.a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210 y 70
b) Pasa a grados los ángulos:
7 rad y 3,5 rad 6
Ejercicio nº 2.Completa la siguiente tabla:
Ejercicio nº 3.-
a) Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes:
5 y 3 6
b Expresa en radianes los ángulos: 225 y 100
Ejercicio nº 4.Completa la tabla:
Ejercicio nº 5.a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 60 y 125
b) Pasa a grados los ángulos:
2 rad y 2,5 rad 5
Razones trigonométricas Ejercicio nº 6.Calcula las razones trigonométricas de 140 y de 220, sabiendo que:
sen 40 0,64; cos 40 0,77; tg 40 0,84
Ejercicio nº 7.Sabiendo que sen 50 0,77, cos 50 0,64 y tg 50 1,19, calcula sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora:
a) cos 130
b) tg 310
c) cos 230
d) sen310
Ejercicio nº 8.Sabiendo que sen 25 0,42, cos 25 0,91 y tag 25 0,47, halla sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora las razones trigonométricas de 155 y de 205. Ejercicio nº 9.Si sen 0,35 y 0 < < 90 halla sin calcular :
a) sen 180 α
b) cos 180 α
Ejercicio nº 10.-
Si tg α
1 y α es un ángulo que está en el primer cuadrante,calcula (sin hallar α ) : 3
a) tg 180 α
b) tg 180 α
c) tg 360 α
d) tg 360 α
Expresiones trigonométricas Ejercicio nº 11.Demuestra que:
senx 1 cos x 4 4cos x 1 cos x senx 2senx sen2 x
Ejercicio nº 12.Demuestra la igualdad:
2senx sen2 x cos x tg 2 x cos x
Ejercicio nº 13.Demuestra que:
cos x 2sen2
x 1 2
Ejercicio nº 14.Demuestra la siguiente igualdad:
senx cos x cos2 x cos x senx
1 sen2 x
Ejercicio nº 15.Demuestra la siguiente igualdad: senx cos x cos x sen x 2
2
1 tg 2x 2
Ecuaciones trigonométricas Ejercicio nº 16.Resuelve la siguiente ecuación:
senx sen2 x 2sen2 x 0
Ejercicio nº 17.Resuelve la ecuación:
cos 2 x sen2 x
1 0 2
Ejercicio nº 18.Resuelve:
cos 3 x 3 cos x 3 cos x senx
Ejercicio nº 19.Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:
sen2 x cos 2 x 1 cos x 2sen2 x
Ejercicio nº 20.Resuelve la ecuación: 4 cos2 x 1 3 cos x
Soluciones Medida de ángulos Ejercicio nº 1.a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210 y 70
b) Pasa a grados los ángulos:
7 rad y 3,5 rad 6
Solución:
7 rad rad 180 6 7 70 70 rad rad 180 18
a) 210 210
b)
7 7 180 rad 210 6 6
3,5 rad 3,5
180 200 32' 7"
Ejercicio nº 2.Completa la siguiente tabla:
Solución:
35 7 rad rad 180 36 2 2 180 rad 120 3 3
35
2 rad 2
120
2 rad 3
180 114 35' 30"
Por tanto:
Ejercicio nº 3.-
a) Expresa en grados los siguientes ángulos dados en radianes: b Expresa en radianes los ángulos: 225 y 100
5 y 3 6
Solución:
a)
5 5 180 rad 150 6 6 180 3 rad 3 171 53'14"
5 rad rad 180 4 5 100 100 rad rad 180 9
b) 225 225
Ejercicio nº 4.Completa la tabla:
Solución:
13 rad rad 180 18 4 4 180 rad 240 3 3 11 330 330 rad rad 180 6 180 1,5 rad 1,5 85 56' 37"
130 130
Por tanto:
Ejercicio nº 5.a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 60 y 125
b) Pasa a grados los ángulos:
Solución:
a) 60
125
b)
60 rad rad 180 3 125 25 rad rad 180 36
2 2 180 rad 72 5 5
2 rad y 2,5 rad 5
2,5 rad 2,5
180 143 14' 22"
Razones trigonométricas Ejercicio nº 6.Calcula las razones trigonométricas de 140 y de 220, sabiendo que:
sen 40 0,64; cos 40 0,77; tg 40 0,84
Solución:
Como 140 180 40 y 220 180 40, entonces: sen140 sen 40 0, 64 cos 140 cos 40 0,77 tg 140 tg 40 0, 84 sen 220 sen 40 0, 64 cos 220 cos 40 0,77 tg 220 tg 40 0, 84 Ejercicio nº 7.Sabiendo que sen 50 0,77, cos 50 0,64 y tg 50 1,19, calcula sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora:
a) cos 130
b) tg 310
c) cos 230
d) sen310
Solución:
a) cos130 cos 180 150 cos50 0, 64
b) tg 310 tg 360 50 tg 50 1,19
c) cos230 cos 180 50 cos50 0, 64 d) sen310 sen 360 50 sen50 0, 77
Ejercicio nº 8.Sabiendo que sen 25 0,42, cos 25 0,91 y tag 25 0,47, halla sin utilizar las teclas trigonométricas de la calculadora las razones trigonométricas de 155 y de 205.
Solución:
Como 155 180 25 y 205 180 25, entonces:
sen155 sen 25 0, 42 cos 155 cos 25 0, 91 tg 155 tg 25 0,47 sen 205 sen 25 0, 42 cos 205 cos 25 0,91 tg 205 tg 25 0, 47
Ejercicio nº 9.Si sen 0,35 y 0 < < 90 halla sin calcular :
a) sen 180 α
b) cos 180 α
Solución:
a) sen 180 sen 0,35
b) cos 180 cos
Necesitamos saber cuánto vale cos :
sen 2 cos 2 1
0,352 cos 2 1
0,1225 cos 2 1 cos 2 0,8775 cos 0, 94 (es positivo, pues 0 90 )
Por tanto: cos 180 cos 0, 94 Ejercicio nº 10.-
1 y α es un ángulo que está en el primer cuadrante,calcula (sin hallar α ) : 3
Si tg α
a) tg 180 α
Solución:
1 3 1 b) tg180 tg 3 1 c) tg 360 tg 3 1 d) tg 360 tg 3 a) tg 180 tg
b) tg 180 α
c) tg 360 α
d) tg 360 α
Expresiones trigonométricas Ejercicio nº 11.Demuestra que:
senx 1 cos x 4 4cos x 1 cos x senx 2senx sen2 x
Solución: 2 sen x 1 cos x sen 2 x 1 cos x 1 cos x sen x 1 cos x sen x
sen 2 x 1 2 cos cos 2 x sen x sen x cos x
1 1 2 cos x 2 sen x cos x sen x 2
2 2 cos x 2 2 cos x 4 4 cos x sen 2x 2 sen x sen 2x 2 sen x sen 2x sen x 2 2
Ejercicio nº 12.Demuestra la igualdad:
2senx sen2 x cos x tg 2 x cos x
Solución:
2 sen x sen 2 x 2 sen x sen 2 x sen 2x tg 2x cos x cos x cos 2x
2 sen x cos 2x sen 2 x 2 sen x cos 2 x sen 2 x sen 2 x sen 2x cos x 2 sen x cos x cos x
cos 2 x sen 2 x sen 2 x cos 2 x sen 2 x sen 2 x cos 2 x cosx cosx cosx cosx cosx
Ejercicio nº 13.Demuestra que:
cos x 2sen2
x 1 2
Solución:
x 1 cos x cos x 2 sen cos x 2 2 2 2
2
1 cos x cos x 2 cos x 1 cos x 1 2
Ejercicio nº 14.Demuestra la siguiente igualdad:
senx cos x cos2 x cos x senx
1 sen2 x
Solución:
sen x cos x cos 2x sen x cos x sen x cos x cos 2x cos x sen x cos x sen x cos x sen x
sen x cos x 2 cos 2x sen2 x cos 2 x 2 sen x cos x cos 2x cos 2 x sen 2 x
cos 2x
sen2 x cos 2 x 2 sen x cos x 1 2 sen x cos x 1 sen 2x
Ejercicio nº 15.Demuestra la siguiente igualdad: senx cos x cos x sen x 2
2
1 tg 2x 2
Solución:
1 2 sen x cos x 1 2 sen x cos x 2 cos 2 x sen 2 x cos 2 x sen 2 x 2 cos 2 x sen 2 x sen x cos x
1 sen 2x 1 tg 2x 2 cos 2x 2
Ecuaciones trigonométricas Ejercicio nº 16.Resuelve la siguiente ecuación:
senx sen2 x 2sen2 x 0
Solución: sen x sen 2x 2 sen2 x 0 sen x 2 sen x cos x 2 sen2 x 0 2 sen2 x cos x 2 sen2 x 0
2 sen2 x cos x 1 0
2 2 sen x 0 cos x 1 0
sen x 0
cos x 1
x 0 360 k x 180 360 k
x 180 360 k
Por tanto, las soluciones son:
x 360 k x 180 360 k
siendo k Z
Ejercicio nº 17.Resuelve la ecuación:
cos 2 x sen2 x
1 0 2
Solución:
cos 2x sen 2 x
1 0 2
cos 2 x sen 2 x sen 2 x
1 0 2
1 0 2 1 cos 2 x 2 cos 2 x
cos x
2 1 2 2
2 cos x 2 cos x 2 2
x 45 360 k x 315 360 k x 135 360 k x 225 360 k
Ejercicio nº 18.Resuelve:
cos 3 x 3 cos x 3 cos x senx
Solución: cos3 x 3 cos x 3 cos x sen x
cos3 x 3 cos x 3 cos x sen x 0
cos x 1 sen x 3 3 sen x 0 cos x sen x 3 sen x 2 0 cos x sen x 3 sen x 2 0 cos x cos 2 x 3 3 sen x 0 2
2
2
siendo k Z
x 90 360 k cos x 0 x 270 360 k sen 2 x 3 sen x 2 0
sen x
3
98 2
3
1
2
1 3 1 2 2 (no vale)
x 270 360 k
sen x 1
Por tanto las soluciones son: x 90 360 k x 270 360 k
siendo k Z
Ejercicio nº 19.Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:
sen2 x cos 2 x 1 cos x 2sen2 x
Solución: sen 2x cos 2x 1 cos x 2 sen2 x 2 sen x cos x cos 2 x sen2 x 1 cos x 2 sen2 x
2 sen x cos x cos 2 x sen2 x 1 cos x 2 sen2 x 0 2 sen x cos x cos 2 x sen2 x 1 cos x 0 2 sen x cos x 1 1 cos x 0 2 sen x cos x cos x 0 cos x 2 sen x 1 0
cos x 0 2 sen x 1 0
x 90 360 k x 270 360 k
1 sen x 2
siendo k Z x 30 360 k x 150 360 k
Ejercicio nº 20.Resuelve la ecuación: 4 cos2 x 1 3 cos x
Solución:
4 cos 2x 1 3 cos x
4 cos 2 x sen 2 x 1 3 cos x
4 cos x 4 sen x 1 3 cos x 2
2
4 cos 2 x 4 1 cos 2 x 1 3 cos x 4 cos 2 x 4 4 cos 2 x 1 3 cos x 8 cos 2 x 3 cos x 5 0 cos x
3
9 160 16
3 169 16
5 3 13 8 16 1
x 51 19' 4"360 k 5 cos x 8 x 308 40' 56"360 k cos x 1 x 180 360 k
siendo k Z