¿Recuerdas qué es…?

Razón Es el cociente indicado entre dos números. Proporción Es toda igualdad entre dos razones. Constante de proporcionalidad Es el cociente de cualquiera de las razones que intervienen en una proporción. Magnitudes directamente proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por un número, la cantidad correspondiente de la otra queda multiplicada por el mismo número. Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por un número, la cantidad correspondiente de la otra queda dividida por el mismo número.

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5 PROPORCIONALIDAD El estudio de la proporcionalidad permite establecer comparaciones entre magnitudes. Los resultados que se obtienen mediante la proporcionalidad se suelen expresar en forma de porcentaje para que la información sea más fácil de comprender. Así, por ejemplo, si en un colectivo de 800 personas, 240 practican algún deporte los fines de semana, se tiene una idea más clara de la proporción si se dice que 30 personas de cada 100 practican algún deporte. La proporcionalidad se utiliza habitualmente en disciplinas como la geometría, la medicina, la sociología, la estadística, la economía, etc., es decir, forma parte de las actividades cotidianas de la sociedad, y su estudio es fundamental para trabajar en estos campos.

Los objetivos de esta Unidad son: • Reconocer relaciones entre magnitudes. • Aplicar los procedimientos adecuados para resolver problemas de proporcionalidad, cálculo de porcentajes, repartos proporcionales y problemas de interés bancario.

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5

1

PROPORCIONALIDAD DIRECTA. REGLA DE TRES DIRECTA En la tabla se recoge la relación entre el número de litros de agua por minuto que vierte un grifo en un depósito y la cantidad de agua recogida: Tiempo en minutos

 5

10

15

  20

Litros de agua recogida

25

50

75

100

Si se calcula el cociente entre el tiempo y la cantidad de agua vertida, se obtienen razones iguales: 5 10 15 20 = = = = 0,2 25 50 75 100 La constante de proporcionalidad directa es 0,2. El tiempo y la cantidad de agua vertida en el depósito son dos magnitudes directamente proporcionales. CD En la pestaña Actividades/ Unidad 5, encontrarás la actividad Relación 1 unidad 5, para repasar el cálculo de proporciones.

WEB http://platea.pntic.mec.es/ anunezca/ayudas/magnitudes/ magnitudes_proporcionales. htm En esta página se puede encontrar un repaso teórico de los contenidos con ejemplos resueltos. http://descartes.cnice.mecd. es/materiales_didacticos/ proporcionalidad_numerica/ proporcionalidad1.htm Se explica la proporcionalidad directa y la regla de tres simple. Se proponen ejercicios para cuya resolución los estudiantes pueden solicitar ayuda interactiva. Permite generar una batería de ejercicios.

Si se quiere saber cuántos litros de agua hay en el depósito al permanecer el grifo abierto durante una hora, se puede utilizar el procedimiento de la regla de tres directa: Si en 5 minutos el grifo vierte 25 L en 60 minutos el grifo vierte x L

  5

25

60

x

Como son magnitudes directamente proporcionales, se tiene la proporción: 5 60 = 25 x

5 · x = 60 · 25

x =

1500 = 300 L 5

Otro procedimiento para resolver este problema es por reducción a la unidad. Calculamos la cantidad de agua vertida en 1 minuto: Si en 5 minutos se vierten 25 L, en 1 minuto se vierten 5 L. Si en 1 minuto se vierten 5 L, en 60 minutos se vierten 300 L. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por un número, la cantidad correspondiente de la otra queda multiplicada por el mismo número.

Ejercicios 1 Si cuatro entradas para el fútbol cuestan 140 €, ¿cuánto valen 7 entradas? 2 Si la impresora del instituto imprime 8 hojas por minuto, ¿cuánto tiempo tardará en imprimir 150 hojas?

3 Para cercar un campo A de 420 m de perímetro se necesitan 168 postes colocados a la misma distancia. ¿Cuántos postes son necesarios para cercar otro campo B, de 550 m de perímetro, si hay que colocar los postes a la misma distancia que en el campo A?

86

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2

PROPORCIONALIDAD INVERSA. REGLA DE TRES INVERSA Una empresa para el control de calidad tiene que analizar 300 productos. En la tabla se recoge el número de técnicos encargados del control de calidad y el número de controles que cada técnico realiza: Número de técnicos

  2

  3

 4

Número de controles

150

100

75

Se observa que al multiplicar la primera magnitud por un número cualquiera, la segunda magnitud queda dividida por el mismo número. Son magnitudes inversamente proporcionales. Al multiplicar en cada caso el número de técnicos por el número de controles, el producto que resulta es constante y se llama constante de proporcionalidad inversa. Si se desea saber el número de controles que deben realizar seis técnicos, se puede utilizar el procedimiento de la regla de tres inversa. Si 2 técnicos hacen 150 controles 6 técnicos hacen x controles

2

150

6

x

Al ser magnitudes inversamente proporcionales, se puede escribir: 2 150 = 6 x

x =

2 150 = 50 controles 6

Otro procedimiento para resolver este problema es por reducción a la unidad: Si 2 técnicos hacen 150 controles, 1 técnico hace 300 controles. Si 1 técnico hace 300 controles, 6 técnicos hacen

300 = 50 controles. 6

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por un número la otra queda dividida por el mismo número.

CD En la pestaña Actividades/ Unidad 5, encontrarás la actividad Respuesta múltiple unidad 5, para repasar si dos magnitudes son directamente o inversamente proporcionales.

WEB http://descartes.cnice.mecd. es/materiales_didacticos/ proporcionalidad_numerica/ proporcionalidad3.htm Se explica la proporcionalidad inversa y la regla de tres. Se proponen ejercicios para cuya resolución los estudiantes pueden solicitar ayuda interactiva. Permite generar una batería de ejercicios.

Ejercicios 4 Para cercar un campo se han instalado un total de 140 postes con una separación entre ellos de 3 metros. Si se instalan con una separación de 4 metros, ¿cuántos postes son necesarios para cercar el campo?

6 Si cinco amigos alquilan una casa, cada uno tiene que pagar 270 € por el alquiler. Pero si se agregan a la casa tres amigos más, ¿cuánto tendrán que pagar cada uno por el alquiler de la misma casa?

5 Un montacargas puede elevar 15 cajas de 25 kg de peso cada una. Si las cajas pesaran 40 kg, ¿cuántas cajas podría elevar el montacargas?

7 En el viaje de fin de curso, los alumnos de 4.º ocupan 32 habitaciones triples en un hotel. ¿Cuántas habitaciones ocuparían si las habitaciones fueran cuádruples? 87

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5

3

APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD La proporcionalidad entre magnitudes permite resolver problemas sobre repartos, porcentajes, incrementos, descuentos o interés bancario.

A

REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Ejemplo 1 Una comunidad de vecinos tiene que arreglar el tejado de la casa. El importe de las obras es 7 920 €. Esta cantidad deberá ser aportada por los vecinos de forma proporcional a la superficie de sus viviendas. Si en cada planta del edificio hay tres viviendas cuyas superficies son 60 m 2, 90 m 2 y 180 m 2 y el edificio tiene cuatro plantas, ¿cuánto dinero tiene que aportar cada tipo de vivienda y qué cantidad deberá abonar cada vecino? La cantidad de dinero que debe aportar cada tipo de vivienda es proporcional a la superficie: Las viviendas de 60 m2 aportan x €. Las viviendas de 90 m2 aportan y €. Las viviendas de 180 m2 aportan z €. La suma de las cantidades aportadas es el importe total de la reparación: x + y + z = 7 920 € Como las cantidades aportadas son directamente proporcionales a las superficies, se tiene: x y z = = =c 60 90 180

x = 60 · c y = 90 · c z = 1 80 · c

Para obtener la constante c de proporcionalidad se resuelve la ecuación: 60c60c + 90 + 180c 60c ==77 920 + 920 90 c + 180c 330c===77 920 7920 920 + c90c + 180c 330c

c 24 == 247 920 c330c =

c = 24

Las cantidades que tienen que aportarse son: Cantidad que aportan

Cantidad por propietario

4 pisos de 60 m2

60 · 24 = 1 440 €

1 440 : 4 = 360 €

4 pisos de 90 m2

90 · 24 = 2 160 €

2 160 : 4 = 540 €

4 pisos de 180 m2

180 · 24 = 4 320 €

4 320 : 4 = 1 080 €

Viviendas

88

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B

REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES Ejemplo 2 Una empresa realiza un proyecto y obtiene 18 000 € de beneficio, que decide repartir entre las tres categorías de trabajadores que han colaborado en el mismo. El reparto se hace de forma inversamente proporcional al sueldo base que percibe cada categoría de trabajadores. Las cantidades percibidas mensualmente por cada categoría son:

Personal de administración Personal técnico Responsables de departamento

1 000 € 1 200 € 1 500 €

¿Qué beneficio le corresponde a cada sector de trabajadores? Los beneficios que recibe cada sector de trabajadores son: — El personal de administración recibe x, cantidad inversamente proporcional a 1 000. — El personal técnico recibe y, cantidad inversamente proporcional a 1 200. — Los responsables de departamento reciben z, cantidad inversamente proporcional a 1 500. 1 c 1 000 1 y= c 1 200 1 z = c 1 500 x=

x y z = = =c 1 1 1 1 000 1 200 1 500

La suma de las cantidades que cada uno recibe es igual a la cantidad que hay que repartir: x + y + z = 18 000 € Para obtener la constante de proporcionalidad se plantea la ecuación: c cc c + ++ c =+ 18c000 = 18 000 1 000 11200 1 500 000 1 200 1 500 6c 5c 6 · c 6 c6 ·5c· c5 c 5 ·4c4· c 6·c 5·c 4·c 6 c + 45cc = 184000 c 418· 000 c + + +++ + + = 18 000 == 18 000 = 18 000 + + + 6 000 + = 18 000 6 · 1 0006 000 5 · 1 200 4 · 1 500 6 000 6 000 6 · 1 000 5 · 1 200 4 · 1 500 6 000 6 000 6 · 1 000 5 · 1 200 4 · 1 500 6 000 6 000 6 000 15c 6 000 186000 15c 6 000 18 000 15c 000 =18 000 000 c = 7 200 18 000 = 18 000 c = = 7=200 000 = 18 000 c 15 = = 7 200 000 6 000 15 6 000 15 6 000

c c c + + = 18 000 1 000 1 200 1 500

Las cantidades que debe recibir cada categoría de trabajadores son: x =

7 200 000 = 7 200 € 1 000

y =

7 200 000 = 6 000 € 1 200

z =

7 200 000 = 4 800 € 1 500

Ejercicios 8 Para la puesta en marcha de un negocio, tres socios aportan respectivamente 5 000 €, 8 000 € y 7 000 €. Cuando los beneficios llegan a 140 000 €, deciden liquidar el negocio. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada socio?

9 En una competición de tiro al plato los tres primeros clasificados se reparten 12 000 € de forma inversamente proporcional a los fallos cometidos. Si los fallos son 2, 3 y 6 respectivamente, ¿qué dinero recibe cada uno? 89

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5

C

PORCENTAJES La proporcionalidad entre magnitudes expresada en porcentajes da una información más fácil de comprender. Determinadas informaciones se expresan en porcentajes porque de esa forma adquieren un carácter más general. Así, por ejemplo, si la publicidad de un centro comercial anuncia que los productos están rebajados y en otro centro se especifica que todas las mercancías están rebajadas un 20 %, es evidente que en el segundo centro podemos conocer el precio de cualquier producto, mientras que la información proporcionada por la publicidad del primer centro es incompleta.

Cálculo de porcentajes Se sabe que en las últimas elecciones generales, en la ciudad A el 74 % de los habitantes con derecho a voto acudieron a votar, mientras que en la ciudad B, sobre un total de 15 250 electores, ejercieron su derecho al voto 10 370 personas. Si queremos comparar el grado de participación en ambas ciudades, hay que calcular el porcentaje de participación en la ciudad B. WEB http://descartes.cnice.mecd. es/materiales_didacticos/ proporcionalidad_numerica/ proporcionalidad2.htm Primero se explica qué es un reparto proporcional y se resuelve un ejercicio. Luego se proponen ejercicios para cuya resolución se puede solicitar ayuda interactiva. Permite generar una batería de ejercicios. http://descartes.cnice.mecd. es/materiales_didacticos/ proporcionalidad_numerica/ proporcionalidad4.htm Primero se explica qué es un reparto proporcional y se resuelve un ejercicio. Luego se proponen ejercicios para cuya resolución se puede solicitar ayuda interactiva. Permite generar una batería de ejercicios. http://descartes.cnice.mecd. es/materiales_didacticos/ Fracciones_decimales_ porcentajes/Fracciones_5.htm A través de una escena interactiva se resuelven cuestiones y ejercicios relacionados con los porcentajes http://www.mamutmatematicas. com/ejercicios/porcentaje.php Este generador hace hojas de ejercicios con porcentajes. Presenta problemas en palabras y se puede configurar la terminología a sus requisitos particulares.

90

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Si de 15 250 personas acuden a votar 10 370 personas, De 100 personas acuden a votar x. Es decir: 15 250 100 = 10 370 x

x =

10 370 100 = 68 % 15 250

Esto significa que en la ciudad B, de cada 100 electores han votado 68. La participación en la ciudad B fue menor que en la ciudad A. Se puede comparar el índice de participación porque, al estar expresadas las cantidades en porcentajes, la referencia en ambas ciudades es la misma: 100 electores. La información de la ciudad A no precisa conocer el número de electores ni el número de personas que acudieron a votar. Es una información en términos relativos. Sin embargo, la información de la ciudad B, más complicada de retener, está dada en términos absolutos y no se puede utilizar para establecer comparaciones.

Aumento y disminución porcentuales Se considera que hay un aumento porcentual si una cantidad se incrementa un determinado porcentaje; por el contrario, se dice que hay una disminución porcentual si la cantidad disminuye un determinado porcentaje. Por ejemplo, los precios de los productos tienen aumentos porcentuales si se les añade el IVA (impuesto del valor añadido). En las rebajas, los precios de los productos tienen disminuciones porcentuales. Si un objeto tiene un precio N y el IVA que se aplica es el 16 % del precio, entonces: — El aumento porcentual es el 16 % de N

16 N = 0,16 N 100

— El valor final del objeto es N + 0,16 · N = (1 + 0,16) · N = 1,16 · N

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Si un producto con un precio N está rebajado un 20 %, se tiene: 20 N = 0,20 · N 100 — El valor final del producto es N – 0,20 · N = (1 – 0,20) · N = 0,80 · N — La disminución porcentual es el 20 % de N

Si se incrementa un p % una cantidad N se obtiene: N+N

p p = N 1+ 100 100

WEB http://descartes.cnice.mecd. es/materiales_didacticos/ Fracciones_decimales_ porcentajes/Fracciones_5.htm A través de una escena interactiva se resuelven cuestiones y ejercicios relacionados con aumentos, disminuciones y encadenamientos porcentuales.

Si se disminuye un p % una cantidad N se obtiene: N

N

p =N 1 100

p 100

Ejemplo 3 Un empleado tiene un sueldo bruto de 1 500 €, pero a principio de año la nómina subirá el 3 %. Si el IRPF (impuesto sobre la renta de las personas físicas) es del 12 %, ¿cuál es el sueldo neto que percibirá el año que viene? Aumento porcentual: 3 % de 1 500

3 100

1 500 = 0,03 1 500 = 45 €

El sueldo bruto será 1 500 + 45 = 1 545 €. Disminución porcentual: 12 % del IRPF

12 100

1 545 = 0,12 1 545 = 185,40 €

El sueldo neto será 1 545 – 185,40 = 1 359,60 €. Sueldo inicial

Sueldo con el aumento del 3 %

Sueldo con el descuento del 12 % de IRPF

S

(1 + 0,03)S

(1 – 0,12) · (1 + 0,03)S

1 500 €

1,03 · 1 500 = 1 545 €

0,88 · 1 545 = 1 359,60 €

Ejercicios 10 Si tres de cada cinco personas usan gafas, ¿cuál es el porcentaje de personas que no usan gafas? ¿Y cuál es el porcentaje de personas que usan gafas?

11 El 2,5 % de las piezas que fabrica una máquina son defectuosas. Si un día salieron 135 piezas defectuosas, ¿cuántas piezas se fabricaron en ese día? 91

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5

D

INTERÉS BANCARIO Si una entidad bancaria presta un capital, la entidad recibe como beneficio un tanto por ciento del capital prestado. De igual forma, si una persona deposita en un banco una cantidad de dinero, recibe a cambio un determinado porcentaje de beneficio. El beneficio que se recibe por préstamos o depósitos de dinero se llama interés, y el tanto por ciento al que se presta o deposita se denomina tipo de interés.

WEB http://descartes.cnice.mecd. es/materiales_didacticos/ proporcionalidad_numerica/ proporcionalidad6.htm Esta página explica qué es y cómo se calcula el interés simple. Luego propone ejercicios para resolver y solicitar ayuda interactiva. Permite generar una batería de ejercicios.

El interés bancario es el beneficio que se obtiene por prestar una cierta cantidad de dinero o capital.

Interés simple Al prestar o depositar un capital, si el interés que se obtiene cada año no se añade al capital para producir nuevos intereses durante el siguiente año, se dice que el depósito o préstamo es a interés simple.

Ejemplo 4 ¿Qué beneficio se obtiene si se deposita en un banco durante tres años un capital de 8 000 € al 2,5 % de interés simple anual? El 2,5 % de interés simple significa que, por cada 100 € depositados durante un año, se obtiene un beneficio de 2,50 €. De esta forma, por reducción a la unidad se tiene: 100 € en 1 año producen un interés de 2,50 € 2,5 = 0,025 € 100

1€

en 1 año

produce un interés de

1€

en 3 años

produce un interés de 0,025 · 3 = 0,075 €

8 000 €

en 3 años

producen un interés de 0,075 · 8 000 = 600 €

Si se generaliza el resultado se puede obtener una expresión que permite el cálculo del interés de una forma más sencilla: 100 €

en 1 año

1€

en 1 año

1€

en t años

C€

en t años

producen un interés de r € r  € produce un interés de 100 r · t € 100 r producen un interés de I = C · · t  100 produce un interés de

El beneficio producido por un capital C prestado durante t años al r % de r interés simple es I = C t. 100 Ejercicios 12 Calcula el interés que se obtiene colocando 3 000 € al 3,5 % durante: a) 1 año. b) 3 años. 92

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Interés compuesto Al prestar o depositar un capital, si el interés que se obtiene cada año se añade al capital para producir nuevos intereses durante el siguiente año, se dice que el depósito o préstamo es a interés compuesto. Ejemplo 5 ¿Cuál es el beneficio que se obtiene si se deposita en un banco durante tres años un capital de 8 000 € al 2,5 % de interés compuesto? Como el interés es compuesto, los intereses se acumulan al capital al final de cada año de la siguiente forma: Año

Capital al principio del año

Interés 2,5 %

Capital al final del año

1.°

8 000 €

8 000 · 0,025 = 200 €

8 000 + 200 = 8 200 €

2.°

8 200 €

8 200 · 0,025 = 205 €

8 200 + 205 = 8 405 €

3.°

8 405 €

8 405 · 0,025 = 210,13 €

8 405 + 210,13 = 8 615,13 €

El interés acumulado durante los tres años es: 8 615,13 – 8 000 = 615,13 €

Observa que en los ejemplos 4 y 5 los intereses obtenidos son distintos. En este segundo caso el interés obtenido es mayor porque el capital se incrementa cada año, cosa que no ocurre si el interés es simple. El cálculo del interés después de tres años se puede realizar teniendo en cuenta que se aplica un incremento porcentual tres veces consecutivas, es decir: 8 000 · (1 + 0,025)3 = 8 615,13 €

Año

Capital al principio del año

1.°

C

2.°

C 1+

... n

Se incrementa el capital un r % C 1+

r 100

C 1+

r 100

... C 1+

r 100

r 100 1+

C 1+ r 100

... n 1

C 1+

r 100

Capital al final del año

C 1+

r 100 r 100

WEB 2

...

n 1

1+

r 100

C 1+

r 100

n

El capital final que se obtiene al prestar o depositar un capital C a un r % de interés compuesto durante n años se calcula mediante la expresión: n r CF = C 1 + 100

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http://descartes.cnice.mecd. es/materiales_didacticos/ proporcionalidad_numerica/ proporcionalidad7.htm Esta página explica qué es y cómo se calcula el interés compuesto. Luego propone ejercicios para resolver y solicitar ayuda interactiva. Permite generar una batería de ejercicios.

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5

EJERCICIOS RESUELTOS 1 ¿En cuánto tiempo se incrementa un 20 % un capital colocado al 3,5 % de interés compuesto? Datos conocidos Tipo de interés: 3,5 %. Capital: C. Incógnita Tiempo: t. Los intereses en n años son el 20 % del capital inicial C, es decir, los intereses son: 0,20 C. Como el capital inicial más los intereses producidos en n años es el capital final, se tiene: C + 0,20C = (1 + 0,20)C = 1,20C El capital final viene dado por la expresión: CF = C 1 + Sustituyendo: 1,20C = C 1 +

3,5 100

r 100

n

n

1,20 = 1,035n

La determinación de n se obtiene por tanteo utilizando la calculadora de la siguiente forma: 1,035 SHIFT x y 5 = 1,187686 1,035 SHIFT x y 5,5 = 1,208292 y 1,035 SHIFT x 5,3 = 1,200007

Como n = 5,3 años, el capital inicial se incrementa un 20 % en 5 años y 108 días. 2 Se reparten 60 000 € entre tres personas, de modo que la primera recibe un 30 % menos que la segunda y ésta un 10 % más que la tercera. ¿Qué cantidad recibe cada una? Datos conocidos Cantidad de dinero que hay que repartir: 60 000 €. Porcentajes que perciben: — La primera persona: 70 % de lo que recibe la segunda persona. — La segunda persona: 10 % más que la tercera persona. Incógnita 94

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Cantidad de dinero que recibe la tercera persona: x.

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Los porcentajes que cada persona recibe se pueden expresar en la tabla: Personas

Cantidad que reciben

3.ª

x

2.ª

x +  0,10 x =  1,10 x

1.ª

0,70  ·  1,10 x = 0,77 x

Para determinar el valor de x, planteamos la ecuación: 0,77x + 1,10x + x = 60000 2,87x = 60000 60000 x = = 20 905,92 2,87 Las cantidades que reciben son: Personas

Cantidad que reciben

1.ª

16 097,56 €

2.ª

22 996,52 €

3.ª

20 905,92 €

Total

60 000,00 €

3 Si debido al IPC (índice de precios al consumo), el precio de un artículo de consumo aumenta un 3 % y en las rebajas de enero su precio baja un 15 %, ¿se puede decir que en realidad sólo se ha rebajado el 12 %? Para resolver este problema es más cómodo organizar los datos en una tabla y realizar las operaciones en el orden que se detallan en el enunciado del mismo. Precio inicial Subida IPC 3% Precio incrementado Rebaja 15 % Precio final

x 0,03  · x x   +  0,03  · x =  1,03 x 0,15  ·  1,03 x =  0,1545 x 1,03 x   –  0,1545 x =  0,8755 x

El precio final de este artículo es 0,8755 x, que expresado en porcentaje es el 87,55 % de x. La rebaja del 12 % significa que el precio final es 0,88 x o el 88 % de x. Luego no es correcto afirmar que el artículo sólo se ha rebajado el 12 %.

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5

EJERCICIOS PROPUESTOS

Proporcionalidad directa e inversa 1 Un depósito de agua se vacía si se llenan 200 botellas de 1,5 L. ¿Cuántas botellas de 2 L se pueden llenar con el contenido del depósito? Estudia si hay relación de proporcionalidad en 2 tre la longitud del lado de un cuadrado y su área. Estudia si hay relación de proporcionalidad en 3 tre la longitud del lado de un cuadrado y su perímetro. Una fábrica de productos lácteos envasa la pro 4 ducción de yogures de un día en 1 500 paquetes de 6 unidades cada uno. Si los paquetes constan de 8 unidades, ¿en cuántos paquetes se envasa la producción de ese día?

Paco tarda 15 minutos en recorrer la distancia 8 desde su casa al instituto si da 70 pasos por minuto. Un día que no le suena el despertador tiene sólo 12 minutos para llegar. ¿Cuántos pasos por minuto tiene que dar para llegar sin retraso a clase? Para realizar unas obras en la vía del tren, se 9 calcula que 120 trabajadores tardarán 40 días. Si se contrata a 30 trabajadores más, ¿en cuánto tiempo se terminarán las obras? Un grupo de 50 excursionistas contrata un 10 autobús para hacer una excursión, y cada uno debe abonar 6,5 € para pagar el alquiler del autobús. Si se apuntan a la excursión 5 personas más, ¿cuánto debe pagar ahora cada excursionista? En las despensas de un barco hay alimentos 11 suficientes para dar de comer a 60 personas durante 40 días. Si tienen que recoger a los 30 tripulantes de un barco averiado, ¿durante cuántos días podrán alimentarse todas las personas que ahora viajan en el barco? 12 Analiza si hay proporcionalidad entre los radios de dos círculos y sus áreas.

Repartos proporcionales

Una máquina embotelladora coloca 4 500 ta 5 pones en 5 horas de funcionamiento: a) ¿Cuántos tapones colocará si la máquina funciona 6 horas? b) ¿Y si funciona 7 horas y media? 6 Un ciclista corre a una velocidad media de 22 km/h y tarda 2 horas en hacer un determinado recorrido. Si la velocidad media es de 24 km/h, ¿cuánto tiempo tarda en hacer el mismo recorrido?

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El diámetro de las ruedas de la bicicleta de Fran 7 mide 60 cm y el diámetro de las ruedas de la bicicleta de Aitor 80 cm. Si las ruedas de la bicicleta de Aitor dan 150 vueltas para recorrer una distancia, ¿cuántas vueltas dan las ruedas de la bicicleta de Fran para recorrer la misma distancia?

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13 En la campaña electoral, un canal de televisión ofrece a los partidos políticos 140 minutos para informar sobre sus programas electorales. Si la distribución del tiempo tiene que ser directamente proporcional al número de concejales obtenidos en las últimas elecciones, calcula el tiempo que corresponde a cada partido si el número de concejales es el que aparece en la tabla: Partido

Número de concejales

A

12

B

10

C

 5

D

 8

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Cuatro amigos acuden a un comercio para com 14 prar CD. María compra 4, Marta compra 6, Jorge 8 y Cristina 5. Si todos los compactos tienen el mismo precio y el importe total de la compra es 345 €, ¿cuánto debe pagar cada uno? En el bote de las propinas de un bar hay 300 €, 15 que se tienen que repartir de forma proporcional entre los tres camareros. Si han trabajado 10, 6 y 9 horas respectivamente, ¿cuánto dinero recibirá cada camarero?

Porcentajes 20



Calcula mentalmente:

a) El 20 % de 400. b) El 25 % de 1 200. c) El 80 % de 600. d) El 75 % de 500.

16 Dos amigos compran una motocicleta valorada en 2 200 € para emplearla en sus respectivos negocios. Si uno de ellos utilizará la moto 4 días a la semana y el otro 3 días, ¿qué cantidad deberá aportar cada uno para pagar la motocicleta?

Escribe las siguientes fracciones en forma de 21 porcentaje: a)

1 2

b)

1 4

c)

2 5

17 Dos ganaderos alquilan unos terrenos de pastos por 2 800 €. El primero tiene 60 vacas y el segundo 45 novillos. Si una vaca come tanta hierba como tres novillos, ¿cuánto debe pagar cada ganadero por el alquiler de los terrenos para que el importe sea proporcional a la cantidad de pasto consumido por sus reses?

d)

1 10

e)

3 10

f)

6 20

Para paliar los daños ocasionados por una ria 18 da en una comarca se destinan 3 000 000 €. Las poblaciones afectadas son cuatro, y la ayuda económica se va a distribuir proporcionalmente al número de viviendas afectadas. Determina la cantidad de dinero que se asigna a cada población si la distribución de viviendas afectadas es:

Escribe en forma de porcentaje:

a) 0,5

b) 0,75

c) 0,03

d) 0,8

e) 0,2

f) 1,5

En el entrenamiento de los porteros de un equi 23 po de fútbol se anotan los resultados de los lanzamientos de penalti como se expresa en la tabla: Portero

Penaltis lanzados

Penaltis parados

Población

Número de viviendas afectadas

A

24

10

A

  70

B

15

 5

B

250

C

18

 7

C

  85

D

300

19 Tres trabajadores reciben 1 000 € para repartirse de forma directamente proporcional al número de horas que cada uno ha trabajado. Si el primero ha trabajado 7 horas, el segundo 5 horas y el tercero 8 horas, ¿qué cantidad de dinero recibirá cada trabajador?

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22

¿Cuál es el porcentaje de paradas de cada portero? Juan hace una limonada con 5 litros de agua y 24 3 litros de zumo de limón. ¿Qué porcentaje de zumo tiene la limonada? 25 Una epidemia en la granja mató el 20 % de las aves y quedaron 420 sanas. ¿Cuántas aves murieron?

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EJERCICIOS PROPUESTOS

El equipo campeón de la liga de fútbol ha ga 26 nado 28 partidos, ha empatado 8 encuentros y sufrió 4 derrotas. ¿Cuál es el porcentaje de victorias, empates y derrotas?

33 Una ciudad tiene 3 428 500 habitantes. Si en el mes de agosto la población se reduce un 35 %, ¿cuántos habitantes tiene la ciudad durante ese mes? 78 de 22 cobre y estaño. Si la lámpara de bronce de un palacio pesa 450 kilogramos: 34

El bronce es una aleación en proporción

a) ¿Qué porcentaje de cada metal tiene la lámpara? b) ¿Cuántos kilogramos de cobre y estaño se han empleado en la fabricación de la lámpara?

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Un artículo de consumo tiene un precio N.

a) Calcula por qué número hay que multiplicar N si se rebaja un 12 % y luego se encarece un 5 %. b) Calcula el porcentaje de aumento o disminución del precio del artículo. En una prueba de velocidad de mecanografía, 28 de las 200 palabras dictadas 60 llevaban tilde. En la prueba, Cristina tuvo un 30 % de errores, de los cuales 12 eran palabras que debían llevar tilde. Aitor cometió un 35 % de errores, de los cuales 15 eran palabras que debían llevar tilde: a) Calcula cuántas palabras erróneas sin tilde escribieron Cristina y Aitor. b) Calcula el tanto por ciento de palabras mal escritas por cada uno de ellos, excluyendo las que llevan tilde y las escriben con error. En un examen de 80 preguntas se puede fallar 29 hasta el 5 % de ellas. ¿Cuántas preguntas se pueden contestar mal?

35 Un equipamiento deportivo costaba al comenzar la temporada 120 € y su precio sufrió las siguientes variaciones: en Navidad el precio subió el 20 %, en las rebajas su precio descendió un 15 % y con la proximidad del verano subió un 5 %. ¿Cuál es el precio del equipamiento deportivo al comienzo del verano? En un comercio cierto artículo que tiene un 36 precio de venta de 60 € no tiene aceptación por parte de los consumidores. El responsable del comercio baja el precio de ese artículo un 15 % para incentivar la venta. Como la medida no ha dado resultado, decide rebajarlo un 5 % más: a) Calcula el precio del artículo después de la segunda rebaja. b) Razona si se obtiene el mismo precio si lo hubiera rebajado directamente un 20 %. 37 A un agricultor le pagan por un kilogramo de patatas 0,20 €. Si en la tienda vale 1,50 € el kilogramo, ¿cuál es el incremento del precio? Expresa el resultado en porcentaje.

30 Un electrodoméstico cuesta 220 € rebajado y 242 € sin rebaja. ¿Qué tanto por ciento se aplica en la rebaja? 31 Reparte 15 000 € entre tres personas, de modo que la primera reciba un 20 % más que la segunda y ésta un 15 % más que la tercera.

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En un comercio un artículo está rebajado un 32 18 % y su precio es 30,50 €. ¿Cuál es el precio inicial del artículo?

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El intestino tiene una longitud total de 7,5 me 38 tros. Si el intestino grueso mide 1,5 m, ¿qué porcentaje de longitud corresponde al intestino delgado? Interés bancario ¿A qué tipo de interés simple debe colocarse 39 un capital de 12 500 € para que se obtenga un interés de 800 € en dos años?

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Un coche cuesta 22 600 €. Si se paga como en3 trada los del precio y el resto en 10 mensualidades 5 con un interés simple del 6 %: a) ¿Cuál será la cuota mensual? b) ¿Cuál es el precio que finalmente se ha pagado por el coche?

Estudia la evolución de un capital de 6 000 € 40 depositado en el banco al 5,5 % de interés compuesto durante cuatro años. ¿Qué beneficio produce un capital de 20 000 € 41 en 1 000 días si se le aplica un interés simple del 6 %? 42 Diego abre una cuenta en un banco con 300 €, y el banco le ofrece un 2,5 % de interés anual sobre la cantidad que hay al principio de cada año. a) ¿Qué beneficios obtiene en un año? b) ¿Y en tres años?

¿En cuánto tiempo hay que colocar 12 000 € al 46 2 % de interés simple para obtener unos intereses de 1 680 €? 47 Calcula el interés producido por un capital de 2 000 € al 2,6 % de interés compuesto durante cuatro años. Julio y Elena abren cada uno una cuenta en dos 48 bancos diferentes. En la tabla se expresa el capital ingresado y el capital final al cabo de dos años de depósito.

43 Laura tiene 3 000 € ahorrados y estudia las ofertas de dos bancos: — Banco A: Depósito a 3 años, al 2 % de interés compuesto anual. — Banco B: Depósito a 2 años, al 3 % de interés simple anual. ¿Cuál es la mejor oferta? 44 En el año 2002 una abuela dejó a su nieto como herencia 5 000 € en una cartilla de ahorros al 4,5 % de interés compuesto. ¿Cuánto dinero tendrá el nieto en enero del año 2012?

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Julio

Elena

Capital inicial

12 400 €

14 600 €

Capital a los 2 años

12 850 €

15 420 €

a) Calcula el tipo de interés simple que aplica cada entidad bancaria. b) Si el interés es compuesto, ¿qué tipo de interés aplica cada entidad? 49 Una entidad bancaria ofrece el 8 % de interés si los depósitos de dinero se mantienen al menos durante un año a plazo fijo. Si se depositan 7 000 €: a) ¿Qué beneficio se obtendrá al cabo de un año? b) Si el depósito es durante cuatro años, ¿qué beneficios se habrán conseguido al finalizar el cuarto año?

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PARA REPASAR EN GRUPO Elabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos. CONCEPTO Razón

Es el cociente indicado entre dos números.

Proporción

Es toda igualdad entre dos razones.

Constante de proporcionalidad

Es el cociente de cualquiera de las razones  que intervienen en una proporción.

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales si  al multiplicar una de ellas por un número, la cantidad  correspondiente de la otra queda multiplicada  por el mismo número.

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si  al multiplicar una de ellas por un número, la cantidad  correspondiente de la otra queda dividida  por el mismo número.

Aplicaciones de la proporcionalidad

Reparto directamente proporcional. Reparto inversamente proporcional. Porcentajes. Interés bancario.

Interés bancario

Es el benefi cio que se obtiene al prestar una cierta  cantidad de dinero o capital.

Tipo de interés

Es el tanto por ciento al que se presta o deposita  un capital.

Interés simple

Es la modalidad del préstamo o depósito en la que  los intereses que se obtienen cada año no se añaden  al capital para producir nuevos intereses durante  el siguiente año.

Interés compuesto

Es la modalidad del préstamo o depósito en la que  los intereses que se obtienen cada año se añaden  al capital para producir nuevos intereses durante  el siguiente año.

CD En la pestaña Actividades/ Unidad 5, encontrarás la actividad Relación 2 unidad 5, para repasar los conceptos más importantes de la Unidad.

DEFINICIÓN

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CURIOSIDADES, JUEGOS Y DESAFÍOS Actualmente sabemos que las civilizaciones más antiguas tenían actividades comerciales. Hay datos que indican que ya en el siglo XVII a.C. había actividades bancarias en la civilización mesopotámica. En Grecia, a finales del siglo V a.C., se hacían pequeños préstamos de dinero en metálico. En el Antiguo Testamento hay referencias de préstamos con y sin interés. En Grecia y Roma para que un préstamo no fuera considerado «usura» no debía superar el 12 % de interés. A partir del siglo IV, los abusos en los tipos de interés provocaron que los préstamos entre cristianos fueran declarados inmorales por alterar el «precio justo». La prohibición eclesiástica dejó en manos de judíos y sirios toda la actividad prestamista. Con la desaparición del Imperio Romano de Occidente, la moneda romana fue sustituida por un gran número de monedas con valores diferentes. Para facilitar el intercambio comercial aparecieron los cambistas, que pasaron a llamarse banqueros por realizar sus actividades en una banca (asiento sin respaldo o mesa de cuatro pies colocada en un sitio público). Al establecerse el comercio con Oriente, los comerciantes acudieron a los caballeros de la Orden del Temple para asegurar la custodia y el transporte del dinero entre los pueblos. El comerciante depositaba el dinero en una casa de la Orden y a cambio recibía un documento con el que podía recuperar su dinero en cualquier otra casa de los templarios. Estos documentos dieron lugar a las primeras letras de cambio. El préstamo con interés fue aceptado poco a poco a raíz de la Reforma protestante en el siglo XVI, lo que permitió el desarrollo de las finanzas y del capitalismo.

DESAFÍO MATEMÁTICO Un fabricante vende al público sus productos con un incremento del 30 % sobre el precio de coste. A sus empleados decide vendérselos al precio de coste. Para ello, les hace una rebaja del 30 % sobre el precio de venta al público. ¿Es correcta la decisión del fabricante?

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