RELACIONES GEOMÉTRICAS APUNTES REALIZADOS POR ANTONIO CUESTA

I

G

U

A

L

D

A

D

DEFINICIÓN: Se dice que dos figuras planas son iguales, cuando sus lados y ángulos están dispuestos de modo que, superponiendo una sobre otra, coinciden exactamente hasta confundir con una sola.

M

É

T

O

D

.

O

S

:

POR TRIANGULACIÓN:

.

D

E

.

. .

C

E

. .

B

. .

B

Se coje las medidas con el compás y se construye la figura pedida.

.

D

. .

. 2

.

A

3

X

4

Dado el polígono irregular con los vértices A,C,D y E. Se traza una recta R y por los vértices rectas perpendiculares.

.

1

2

C

.

.

A

B

3

.

E

C

.

B

.

.

E

C

A

D

.

.

E

4

Sobre la recta R, se lleva con el compas las distancias entre las perpendiculares desde un punto X determinado.

X

.

1

2

.

.

C

B

. . . .. . . . . . . d

c

0

a

b

. .

B

C

B

Dado el polígono irregular con los vértices A,C,D y E. Se trazan por los vértices unas rectas cualesquiera que se unen en un punto 0 que es centro de una circunferencia cualquiera.

. . . .. . . . . . . d

e

c

0

A

a

C

b

.

. .

B

Esa circunferenccia nos determinan unos puntos (a,b,c,d) que son centros de las circunferencias que determinan los vertices (A,B,C,D) del polígono.

C

.

B

A

D

E

.

.

Partiendo del lado AB se trasporta el ángulo para determinar la dirección del lado AE. Pinchando en A se traslada el valor AE.

D

e

E

A

POR RADIACIÓN:

A

.

E

.

Dado el polígono irregular con los vértices A,C,D y E. Se determinan los ángulos de la figura.

E

4

D

. A

3

.

D

.

B

Sobre dichas rectas se lleva con el compás las distancias del vértice a la recta R. Obteniendo la figura deseada.

POR ARCOS O DE RODEO:

E

C

.

.

D

1

. A

Se descompone en triángulos, uniendo tres vértices cualquiera.

.

.

E

B

POR PERPENDICULARES:

X

C

.

A

Dado el polígono irregular con los vertices A,C,D y E.

D

.

.

A

R

.

D

Determinando de esta forma los siguientes vértices de la figura buscada.

. . . .. . . . . . . D

d

E

e

c

0

A

a

C

b

B

Unir los vertices que determinan la figura buscada.

S

E

M

E

J

A

N

Z

A

DEFINICIÓN: Se dice que dos figuras planas son semejantes, cuando todos los angulos homólogos son iguales y los lados proporcionales.

D I F E R E N T E S

C A S O S :

DADO UN CUADRADO ABCD, CONSTRUIR OTROS QUE SEAN EL DOBLE, EL TRIPLE DE SUPERFICIE QUE EL DADO. C D AE = DOBLE. AF = TRIPLE.

CONSTRUCCIÓN DE UN POLÍGONO SEMEJANTE A OTRO DADO, EN UNA DETERMINADA PROPORCIÓN. (Ejemplo 1/2). A´B´C´D´ = ES LA MITAD DE

A

.

ABCD

P

B D´

.

D

E´ C´ A´

A

. .

B

E

F

. .

BP

.C

de

E

D

1/ 2

C

B´

. B

A

- Dado un polígono ABCD, se determina un punto cualquiera exterior P. - Se une el punto P con los vertices del polígono.

DADO UNA FIGURA A CONSTRUIR OTRA A´ SEMEJANTE Y AMPLIANDO LA EN RELACIÓN 4/3 POR CUADRíCULA.

- Se determina el punto medio del segmento BP. Y se traza segmentos paralelos a las aristas del polígono inicial, dándonos el polígono buscado.

VARIANTES DE ESTE APARTADO.

D D´ E´ C´

E a

. .B

A

A´ B´

1/2

C

D D´

A

a/3

a

. .B

A

a/3 + 1

B

E

E´

A´

A

. 1/2

C´

B´

B

C

S

I

M

E

T

R

Í

A

DEFINICIÓN: Se dice que dos figuras planas son simétricas, respecto a un punto o a una recta, cuando haciendo girar mentalmente una de ellas alrededor de este punto o línea, coincide exactamente sobre la otra. La Asimetría es todo lo contrario.

T I P O S : B´

SIMETRÍA CENTRAL RESPECTO A UN PUNTO. - Dos puntos, A - A´ son simétricos respecto a un punto 0, cuando están sobre una misma recta y equidistan del punto central 0. A

.

C

.

.

0

A´

0

A´

A C´ B

SIMETRÍA AXIAL RESPECTO A UN EJE.

EJE

- Dos puntos, A - A´ son simétricos respecto a un eje, cuando están situados sobre una recta perpendicular a eje y equidistan de él. - Una figura es simétrica si al dividir por la mitad es igual un lado que otro.

.

A

A B (=)

C

EJE

C´

.

(=)

B´ A´

A´

SIMETRíA CON RESPECTO A UN PLANO. - Una figura es simétrica con respecto a un plano que la corta, si todos los elementos geométricos de una parte, tienen su respectiva simetría en la otra.

PLANO

E

S

C

A

L

A

S

DEFINICIÓN: Es la relación que existe entre la representación gráfica del objeto (Dibujo) y el objeto en la realidad.

ESCALA =

Pero si se quiere determinar las dimensiones reales de una figura dibujada a escala, entonces.

REALIDAD =

Pero si se quiere determinar las dimensiones de los segmentos que componen el dibujo.

DIBUJO = ESCALA X REALIDAD

DIBUJO REALIDAD DIBUJO ESCALA

C L A S E S : ESCALA NATURAL: LA REPRESENTACIÓN IGUAL A LA REALIDAD.

1/1

ESCALA DE AMPLIACIÓN: LA REPRESENTACIÓN MAYOR QUE LA REALIDAD.

2/1

ESCALA DE REDUCCIÓN: LA REPRESENTACIÓN ES MENOR QUE LA REALIDAD.

1/2

ESCALAS MÁS USADAS O NORMALIZADAS:

ESCALA NATURAL:

1/1

ESCALA DE AMPLIACIÓN: ESCALA DE REDUCCIÓN:

2/1 - 5/1 - 10/1 1/2 - 1/5 - 1/10 - 1/20 - 1/50 - 1/100 ...Etc

COEFICIENTE: Es la relación y resultado del numerador y el denominador.

NUMERADOR DENOMINADOR

=

1 5

= 0,2

MÉTODOS PARA DIBUJAR A ESCALA: AMPLIACIÓN: Si la escala tiene como denominador el 1 cada dimensión de la pieza se multiplicada por el numerador. REDUCCIÓN: Si la escala tiene como numerador el 1 cada dimensión de la pieza se divide por el denominador o se multiplica por el coeficiente de la escala.

T I P O S

D E

E S C A L A S :

A) ESCALA GRÁFICA. B) ESCALA TRANSVERSAL. C) TRIÁNGULO UNIVERSAL DE ESCALAS.

A) ESCALA GRÁFICA. GRAFICA. EJEMPLO: Escala 1/

20 m.

1 dividido entre 20 es igual a 0,05 lo que indica que cada metro equivale a 50 mm = 5 cm. 100 cm.

0 m.

1 m.

2 m.

90 80 70 60 50 40 30 20 10

CONTRAESCALA

E

S

C

A

L

A

B) ESCALA TRANSVERSAL. Con ella se puede tomar con mayor exactitud las medidas de un segmento a escala. 100 cm.

90 80 70 60 50 40 30 20 10

0 m.

90 78 C m.

80 70 60 50

64 C m.

40

C

30 20 91 C m.

10

100 cm. 90 80 70 60 50 40 30 20 10

0 m.

1 m.

C) TRIÁNGULO UNIVERSAL DE ESCALAS.

B

0

Es una construcción geométrica con la que se puede obtener escalas de reducción y de ampliación.

1

ALGUNOS EJEMPLOS:

2

A = 5/10 = 1/2 E. DE REDUCCIÓN

3

0 = 1/1 E. NATURAL B = 12/10 = 6/5 E. DE AMPLIACIÓN C = 14/10 = 7/5 E. DE AMPLIACIÓN

4

A

5 6 7 8 9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

CONVERSIÓN DE ESCALAS. A) DE FRACCIÓN ORDINARIA A DECIMAL: Se divide el numerador por el denominador. Ejm.: ESCALA DE 4/5 = 0,8 B) DE FRACCIÓN DECIMAL A ORDINARIA: Basta reducir la fracción decimal a quebrada. Ejm.: ESCALA DE 0,8 = 8/10 = 4/5

NOTAS A TENER EN CUENTA. - ESCALÍMETRO: Regla graduada con diferentes escalas. - SIEMPRE SE OBTARA POR LA ESCALA 1/1. - LOS ÁNGULOS NO TIENEN ESCALA. - SI UNA COTA LLEVA DEBAJO UNA LINEA ES QUE NO ESTÁ A ESCALA.