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RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Pitágoras (582 a.C. - 500 a.C.), fue un filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nació en la isla de Samos. Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios: Thales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce solo a través de la obra de sus discípulos. Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares, de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría, el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como el teorema de Pitágoras. Proyección Ortogonal. •

La proyección ortogonal del punto P sobre la recta L es el punto P', que es la intersección de la perpendicular PP' trazada del punto P a la recta L, con dicha recta.

P

L

¿Y si el punto P está en la misma recta L? •

P'

La proyección ortogonal del segmento AB sobre la recta L es otro segmento A'B' cuyos extremos son las proyecciones ortogonales de los extremos del segmento dado. Así m = A'B', es la longitud de la proyección de AB sobre L. En este caso A ' B' < AB .

B A

A'

¿En qué caso A ' B' = AB ? ¿En qué caso A ' B' > AB ? ¿En qué caso A ' B' es un punto?

B' m

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1

L

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1.

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Son las diferentes relaciones que vinculan las longitudes de los segmentos de un triángulo rectángulo. A continuación demostraremos estas relaciones en base a la semejanza de triángulos. En el triángulo ABC tenemos que: CH , es la altura respecto a la hipotenusa AB , con CH = h. AH , es la proyección ortogonal de AC sobre la hipotenusa AB , con AH = m. BH, es la proyección ortogonal de BC sobre la hipotenusa AB , con BH = n. C

A

α

b

β α a h

m

H n

β

B

c

1.1

∆ ACH ∼ ∆ CBH:

h m = , de donde: h2=mn n h

1.2

∆ ABC ∼ ∆ CBH:

a c = , de donde: n a

∆ ABC ∼ ∆ ACH:

b c = , de donde: b2=cm m b

1.3

a2=cn

El cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre dicha hipotenusa. El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud de (2) la proyección del cateto sobre dicha hipotenusa.

(1)

Teorema de Pitágoras: Sumando (1) y (2), se tiene: a2 + b2 = cn + cm = c (n + m) = c × c = c2 a 2 + b2 = c 2 En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos. Es decir:

1.4

∆ ABC ∼ ∆ CBH:

BC2 + AC2 = AB2

c b = , de donde: a h

ab=ch

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2

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En todo triángulo rectángulo el producto de las longitudes de los dos catetos es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a la hipotenusa. Ejercicios: 1. Determine el valor de “x” en cada una de las figuras mostradas. a.

b. 40m

6cm

2,5cm

x

41m

x

c.

2x + 1

d. x

x

2x−1

27u

A

Eje de la vereda

2. Se tiene un parque triangular que se quiere dividir en dos zonas también triangulares. La más grande seguirá cubierta de jardín y la menor se le cubrirá con arena y se colocará en ella juegos para niños. Para esto desde el punto A se construye la vereda más corta que vaya de dicha esquina al lado mayor del parque. ¿Cuál será la longitud del eje de la vereda?

5m 12m

B 13m

C

3. Un terreno de forma cuadrangular se muestra en la figura y para su venta se requiere cercarlo completamente. Si el metro lineal de cerca cuesta $15, el metro cuadrado de terreno cuesta $75 y los gastos de tramitación ascienden a $250, ¿en cuánto se debe fijar el precio de venta si se quiere ganar el 15%? 4. Una escalera de 5m de longitud, apoya su extremo inferior A a 4m de la pared vertical. Si el extremo B de la escalera desciende 1m, calcule cuánto recorre el extremo A hacia la izquierda.

12u

20m 15m x

24m B

5m A

4m 5. Para que no se incline por acción del viento, se sostiene un árbol con dos cables, uno de 12m y otro de 8m. Si los cables se desprenden, ¿a cuántos metros de la base del árbol debemos clavar cada uno, si se recuerda que la diferencia de posiciones entre ambos puntos era de 5m? RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

3

12m

5m

8m x

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6. Calcule el radio de la circunferencia mostrada. r 1m 3m

Recíproco del teorema de Pitágoras: Si en un triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de su lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados entonces es un triángulo rectángulo y el lado mayor es su hipotenusa. ¿Qué ocurre si el cuadrado de la longitud del lado mayor es menor que la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados? ¿Y si es mayor? Ejercicios: 1. Cada conjunto de valores contiene las medidas de los lados de un triángulo, determine si el triángulo es rectángulo o no. Si no es rectángulo determine si es acutángulo u obtusángulo y luego constrúyalo a una escala adecuada. Medidas de lados

Verificación

Tipo

a. 12m; 60m; 61m b. 12m; 18m; 10m c. 10m; 15m; 18m d. 2,6m; 1,0m; 2,4m e. 5,1m; 7,4m; 2,3m

2. Se tiene una placa triangular de metal cuyos lados miden 3,2m; 6m y 6,8m. Se debe pintar completamente las dos caras de la placa. Si una lata de un cuarto de galón rinde para 1,5m2, ¿qué cantidad de pintura se necesita? Luego se debe colgar la placa desde un punto de su superficie de manera que quede en posición totalmente horizontal, ¿dónde elegiría este punto? Dibuje su solución a una escala adecuada (indique la escala).

2. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES 2.1 Triángulo Rectángulo 45°- 45°- 90°: En este tipo de triángulo isósceles, se cumple que la longitud de su hipotenusa es igual a 2 veces la longitud de su cateto. Deducción: Dibujamos un triángulo rectángulo isósceles con longitud de catetos L y longitud de hipotenusa h. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

4

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Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo mostrado, tendremos:

45°

h

h2 = L2 + L2

L

h2 = 2L2

h=L

45°

L

2

2.2 Triángulo Rectángulo 30°- 60°- 90°: En este tipo de triángulo, la longitud de la hipotenusa es igual al doble de la longitud del cateto menor (opuesto a 30°) y la longitud del cateto mayor (opuesto a 60°) es igual a 3 veces la longitud del cateto menor. Deducción: Iniciamos nuestra deducción con un triángulo equilátero de lado “2L” que se encuentra dividido por una de sus alturas en dos triángulos rectángulos congruentes 30°- 60°- 90°. Aplicando el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos mostrados, tendremos: h2 + L2 = (2L)2

30° 2L

h

h2 + L2 = 4L2

60°

h2 = 3L2

L

L

h = L 3

Ejercicios: 1. Determine el valor de “x” en cada uno de los siguientes casos. a.

b. 6cm

20u

x

30°

45°

x

c.

d. x

3

2

x

cm 30° 2u

45°

30°

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NOTA CURIOSA Las longitudes de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, están dadas por las expresiones llamadas TRIADAS PITAGÓRICAS. Aquí presentamos una forma fácil de obtenerlas. 1. Si n es impar, la triada es: n;

Ejemplo:

2 2 n −1 n +1 ; 2 2

5

Para n = 5, tenemos 5, 12 y 13. Porque 52 + 122 = 132. 12

2 2 n −4 n +4 ; 2. Si n es par, la triada es: n; 4 4

Ejemplo:

13

17

Para n = 8, tenemos 8, 15 y 17. Porque 82 + 152 = 172.

8

15

Manejo de conceptos: Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta. 1. El triángulo cuyos lados miden 9cm, 40cm y 41cm es rectángulo. 2. El triángulo cuyos lados miden 10m, 24m y 25m es rectángulo. 3. La proyección de un cateto sobre el otro es un segmento de la misma longitud que uno de los catetos. 4. Si se tiene la medida de la hipotenusa y la medida de la altura respecto a ella, es suficiente para construir el triángulo rectángulo. 5. Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles mide 2cm, entonces su perímetro es 6cm. 6. Se puede construir un triángulo rectángulo y que a la vez sea equilátero. 7. La altura respecto a la hipotenusa en un triángulo rectángulo de 30º - 60º de lado menor “a”, mide también “a”. Cálculos NOTA: Si alguna respuesta no es exacta, redondéela a 2 cifras decimales. 1. El ancho de un parque rectangular mide 10m y su largo es igual a 24m. ¿Cuánto mide la diagonal del parque? 2. Uno de los catetos de un triángulo mide 12cm y su proyección sobre la hipotenusa mide 6cm. Calcule la medida del otro cateto. 3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 9cm más que el cateto menor. Si el cateto mayor mide 15cm, ¿cuánto mide su perímetro? 4. La base de un rectángulo mide los 5 3 de su altura. Si su diagonal mide 17,5m, ¿cuánto mide su perímetro?

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5. En la figura mostrada, calcule “x” e “y”.

8u

4,5u

y 10u

6. En la figura, calcule AD, si el perímetro del triángulo rectángulo ABC es al perímetro del triángulo rectángulo CDE como 3 es a 4.

x

E

20u B

A

60°

30° C

D

7. Calcule el valor de “x” en el triángulo mostrado. 6u 30°

30° x 8. La diagonal de un cuadrado mide 8cm. Calcule el perímetro.

9. El perímetro de un triángulo equilátero mide 84cm. Se traza la altura a uno de sus lados. Desde el pie de esta altura se traza la perpendicular a uno de los otros dos lados del triángulo ¿Cuál es la medida de esta perpendicular? 10. En los cuadrados de la figura mostrada se cumple: AB2 +FG2 = 8. Calcule BF.

B

C F

E A

D

G

11. La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a la hipotenusa en segmentos que se encuentran en la relación de 1 a 3. Calcule la medida de los ángulos agudos del triángulo rectángulo. 12. El perímetro de un triángulo rectángulo es 30cm y el producto de los catetos es 60cm2. Determine la longitud de la hipotenusa. 13. El perímetro de la figura mide “P”. Exprese la medida de la altura relativa al lado desigual en función de "P" y “L”.

L

L

14. Los lados de un triángulo miden 5cm, 22cm y 23cm. Se desea aumentar la longitud de cada uno de los tres lados de dicho triángulo en una misma cantidad para que se convierta en un triángulo rectángulo. Determine dicha cantidad. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

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15. En el interior de un triángulo ABC se localiza un punto O y desde él se trazan las perpendiculares OM, OR y OS a los lados AB, BC y AC respectivamente. Si MB = 5m, BR = 4m, RC = 1m, CS = 3m y SA = 2m, calcule AM. 16. Los lados de un triángulo miden 65cm, 34cm y 93cm. ¿Cuánto miden las proyecciones de sus lados sobre el lado mayor? 17. Determine el perímetro y el área de las regiones triangulares mostradas. a.

b. 5cm 45º 60º 7cm

18. Exprese a , b, c y d en términos de h .

a

d

h

45º

30º

c

b

19. Se tiene una tubería de agua como muestra la figura donde AB = 97m, BC = 62m, CD = 53m. ¿ Cuál sería el porcentaje de ahorro si se hubiese podido instalar la tubería directamente desde A hasta D ? A D

65m

28m B

C

Modelación 20.

Una antena de televisión de 8,0m de altura se va a sujetar de cuatro alambres fijados a 1,6m del extremo superior de la antena. Si la distancia del pie de la antena al pie de cada alambre es 4,8m ¿cuántos metros de alambre serán necesarios?

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21.

La figura muestra el esquema de la planta de una tienda. Calcule el ancho de la puerta “x” 11m

5m 9m x 8m 22. Se tiene un mecanismo biela-manivela, OA = 20cm, AB = 30cm, de modo que el brazo OA gira alrededor de O un ángulo θ y el punto B se puede desplazar sobre el carril horizontal. Calcule el valor de “x” y la altura del punto A relativa al eje OB para los siguientes casos. a) Cuando θ mida 45°. b) Cuando θ mida 60°.

A

O

θ B x

23.

En una gradería de 1,0m x 0,5m de un estadio se decide bajar deslizándose sobre una plancha de modo que la plancha debe estar siempre apoyada al menos sobre dos puntos de la gradería. ¿Cuál es la longitud mínima de la plancha?

0,5m 1,0m

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Respuestas Cálculos 1. 26m 2. 12 3 cm ≅ 20,78cm 3. 40cm 4. 48,0cm 5. x = 10u; y = 4u 6. (6 3 + 8)u ≅ 18,39u 7. 6 3 u ≅ 10,39u 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

16 2cm ≅ 22,63cm 7 3 cm ≅ 12,12cm 4 30° y 60° 13cm 4PL − P 2 2 2cm 5 m ≅ 2,24m 30cm y 63cm a) P = ( 10 + 5 2 )cm ≅ 17,07cm; A = 12,5cm2 b) P = ( 81 + 27 3 )cm ≅ 127,77cm; A = 364,5 3 cm2 ≅ 631,33cm2 a = 2h; b = h 3 ; c = h; d = h 2 13,78 %

Modelación 20. 32m 21. 5m 22. a) x = 40,60cm; hA = 10 2 cm ≅ 14,14cm b) x = 34,49cm; hA = 10 3 cm ≅ 17,32cm 23. 2,24m

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