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RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOS ÁREA 1: RELACIONES Y ÁLGEBRA CONOCIMIENTOS
HABILIDADES ESPECÍFICAS
Funciones
1. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y = ax2 + bc + c.
t
Función cuadrática
2. Representar tabular, algebraica y gráficamente una función cuadrática. Expresiones algebraicas t
Factorización
t
División de polinomios
t
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.
t
Racionalización.
Ecuaciones t
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita -
Raíces
-
Discriminante
Funciones t
Función cuadrática
3.
Factorizar y simplificar expresiones algebraicas.
4.
Expresar x2 + px + q como (x + h)2 + k.
5.
Efectuar división de polinomios.
6.
Efectuar operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.
7.
Racionalizar el denominador o numerador de expresiones algebraicas.
8.
Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
9.
Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
10. Trazar la gráfica de una función cuadrática cuyo criterio es y = ax2 + bx + c. 11. Analizar la influencia de los parámetros a, b, c en la gráfica de y = ax2 + bx + c, utilizando software. 12. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con incógnita.
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Álgebra Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en particular, a Al – Hwarizmi (Siglo IX d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día. El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades. El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne. Notación algebraica Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden ser de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas. Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas como desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan utilizando las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…, mientras que las cantidades desconocidas se representan utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z… Una misma letra puede representar distintos valores que se diferencian mediante el uso de comillas; por ejemplo a’, a’’, a’’’ que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subíndices: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres. Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general. Signos algebraicos de operación, de relación y de agrupación Con las cantidades algebraicas se efectúan las mismas operaciones que con las aritméticas, es decir: suma o adición, resta, multiplicación o producto, división, potenciación, radicación y en cursos posteriores la logaritmación, etc.
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RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Signos de operación t
En la suma se utiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá “equis más ye”.
t
En la resta se utiliza el signo (–). Así, por ejemplo x–y se leerá “equis menos ye”.
t
En la multiplicación se utiliza el símbolo multiplicado por (x) ó (×). Así, por ejemplo x x y = x × y se leerá “equis multiplicado por ye”.
El signo suele omitirse cuando los factores están indicados por letras o bien por letras y números. Por ejemplo x x y x z = x×y×z = xyz t
En la división se utiliza el signo dividido entre (:)(÷) ó (/). Así, por ejemplo x : y = x/y = x÷y y se leerá “equis dividido entre ye”.
t
En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que se sitúa arriba y a la derecha de una cantidad llamada base por sí misma. Así, por ejemplo x4= x×x×x×x… (4 veces) y se leerá “equis elevado a la ye”. En el caso de que una letra no lleve exponente se sobreentiende que el exponente es uno.
t
En la radicación se utiliza el signo radical ( ), debajo del cual se coloca la cantidad a la que se le extrae la raíz. Así, por x , se leerá “raíz cuadrada de equis”; 3 x “raíz cúbica de equis” y así sucesivamente.
Signos de relación Los signos de relación se utilizan para indicar la relación que hay entre dos cantidades. t
El signo = se lee igual a. x = y se leerá “equis igual a ye”.
t
El signo ≠ se lee diferente de. x ≠ y se leerá “equis diferente de ye”.
t
El signo > se lee mayor que. x > y se leerá “equis mayor que ye”.
t
El signo < se lee menor que. x < y se leerá “equis menor que ye”.
t
El signo ≥ se lee mayor que o igual.
t
El signo ≤ se lee menor que o igual.
Signos de agrupación Los signos de agrupación más utilizados son: los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }. Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en su interior debe efectuarse en primer lugar.
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FUNCIONES Antes estudiamos un tipo especial de funciones, las funciones lineales; a partir de ahora, estudiaremos las funciones cuadráticas, las cuales son funciones polinómicas de grado 2.
El más recordado de los matemáticos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa al Khwarizmi, quien escribió varios libros de Geografía, Astronomía y Matemáticas.
f(x) = ax2 + bx + c
En su tratado sobre Álgebra, al khwarizmi explica la manera de resolver ecuaciones cuadráticas de varios tipos. Tanto el planteamiento, como la solución de las ecuaciones era dado con palabras, pues no se utilizaban aún símbolos algebraicos como hoy en día.
Las ecuaciones de éste tipo de funciones ya las hemos utilizado anteriormente. En esta sección del libro Matemática Zapandí, además del estudio pormenorizado de esta función, conoceremos algo de la historia de la Matemática en la que se fundamentó su desarrollo. Los matemáticos árabes hicieron importantes contribuciones a la Matemática en la época llamada “la Edad de Oro” del mundo musulmán, entre el año 700 y el 1200 d.C. aproximadamente. Lograron preservar el legado matemático de los griegos, tradujeron y divulgaron los conocimientos matemáticos de la India y asimilando ambas corrientes, aportaron mucho al Álgebra y a la Trigonometría.
Fue mucho después, en el siglo XVI, cuando comenzaron introducirse los símbolos que hoy se utilizan en el planteamiento de ecuaciones. Uno de los matemáticos que mayor influencia tuvo en este cambio favorable para el desarrollo del Álgebra, fue Francois Viète (1540 - 1603). Con el uso de símbolos para expresar la incógnita y los coeficientes de una ecuación, se impulso enormemente el desarrollo del Álgebra, pues se facilitó el estudio de ecuaciones de grado 2, 3 y 4. Así como el desplazamiento de un ciclista que viaja a velocidad constante, a través del tiempo, se puede describir mediante una función lineal, existen otros fenómenos que se describen matemáticamente a través de las funciones cuadráticas. Estas son todas las funciones que tienen la forma siguiente: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede
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RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero. En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre. Así: ax2 es el término cuadrático bx es el término lineal c es el término independiente
f(0) = – 2(0)2 + 8(0) =0+0
=0
Para saber cuál es la altura (en metros, por ejemplo, en este caso) de la pelota en el instante en que ha transcurrido 1 segundo, se hace x = 1 y se calcula f(1) = – 2(1)2 + 8(1)
También se da el caso que se le llame trinomio cuadrático. Si hay un tema que podemos llamar "muy importante" en la Matemática, es el tema de las funciones cuadráticas. Tal como lo vimos en el tema funciones y en función lineal en el libro de Matemática Ujarrás, si no se dice lo contrario, suponemos, o convenimos, que estamos trabajando con todos los números reales.
=–2+8
=6
Y cuando han transcurrido 2 segundos: f(2) = – 2(2)2 + 8(2)
= – 8 + 16
= 8
También, podemos calcular cuando x = 3, x = 4 de igual manera. Es así como se puede construir la siguiente tabla de valores.
Por ejemplo Un ejemplo de un fenómeno que se puede describir a través de una función cuadrática, es el siguiente: Se lanza una pelota, desde el suelo, hacia arriba. Se quiere conocer la altura alcanzada por la pelota en cada segundo contando a partir del momento en que fue lanzada. La función que permite obtener la altura de la pelota en cada segundo, es una función cuadrática que depende de la inclinación con la cual se lanzó y de la fuerza que se le imprimió al lanzamiento, de acuerdo a ciertas leyes de la Física.
x f(x) 0 0 1 6 2 8 3 6 4 0 ↑ ↑ tiempo altura
De la anterior tabla de valores, se pueden inferir varias cosas acerca del fenómeno en cuestión: entre ellas: 1) La pelota vuelve a caer al suelo a los 4 segundos de haber sido lanzada.
Si se obtiene, en un caso específico, la función f(x) = – 2x2 + 8x.
2) La altura máxima la alcanza al haber transcurrido 2 segundos a partir de su lanzamiento.
Entonces, en el instante inicial (0 segundos transcurridos) la pelota está en el suelo, es decir, tiene altura igual a cero:
3) La velocidad de la pelota va disminuyendo desde que es lanzada hasta que llega a 8 metros de altura (a los 2 segundos de su lanzamiento).
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Esta tabla de valores nos permite construir la siguiente gráfica así:
DATOS No de apartamentos alquilados Precio por apartamento (mensual) Beneficio total
ACTUAL
FUTURO x 7
52
52 −
266
266 + x
x 52 • 226 = 13 832 52 − ( 266 + x ) = ____ 7
Con las funciones cuadráticas podemos plantear y resolver problemas de este tipo.
En la columna datos tenemos los títulos (No de apartamentos alquilados), Precio por apartamento (mensual) y beneficio total.
En la columna actual, se tiene que el número de apartamentos alquilados son 52 a razón de 266 dólares y producen un beneficio mensual total de 52 multiplicado por 266, o sea, 13 832 dólares.
En la columna futuro se tiene la expresión x 52 − , por qué esto así, porque si se aumenta 7 7 dólares, se tiene que 52 menos “x” entre 7 es 52 menos 7 entre 7, que es lo mismo que, 52 menos 1 que es igual a 51. Pierde un inquilino, y le queda un apartamento sin alquiler.
Observe t
Entre los segundos 2 y 3, la pelota comienza a descender y recorre exactamente 2 metros. f(2) – f(3) = 8 – 6 = 2 metros
t
Entre los segundo 3 y 4 se vuelve a recorrer la distancia que recorrió en el primer segundo: f(3) – f(4) = 6 – 0 = 6 metros
Otros ejemplos 1. El propietario de un edificio tiene alquilado 52 apartamentos del mismo al valor en dólares de 266 al mes cada uno. Por cada 7 dólares que aumente el alquiler de cada piso pierde un inquilino y por lo tanto queda el correspondiente apartamento sin alquiler.
¿Cuál será el alquiler, que más beneficio le dé al propietario?
¿Cuál es la cantidad máxima que puede recibir el propietario?
La expresión 266 + x nos indica que los apartamentos a este momento tienen un precio de 266 más el incremento de 7 ó 14 o más. Y que el beneficio total del propietario se calcula x resolviendo 52 − ( 266 + x ) = ____ . 7 2. La correspondencia mediante la cual a cada círculo de radio “r”, con r ∈ R+ se le hace corresponder su área A, es una función cuadrática, pues la imagen de cada elemento r ∈ R+ viene dada por A(r) = πr2.
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RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. Un agricultor tiene postes para construir 1000 metros de una cerca y un terreno muy grande. El área de la cerca con forma de rectángulo con dimensiones x metros y 500 – x metros puede describirse con una función.
El caso en cuestión refiere al uso de las funciones cuadráticas f(x) = ax2 + bx + c para indicar que a cada rectángulo con medidas x, 500 – x se le hace corresponder su área “y”, donde y = x(500 – x) = – x2 + 500x (m2: metros cuadrados).
4. En una región de África, considerada como reserva ecológica, un grupo de biólogos ha obtenido datos sobre la relación que hay entre el número de animales herbívoros y el número de animales depredadores, y los ha graficado.
Como los puntos de la gráfica tienen una disposición parabólica, se traza la parábola que mejor se ajuste a la serie de puntos. La curva corta al eje x en x = 50 y x = 150, de modo que estos valores de x deben ser soluciones de la ecuación f(x) = 0. Además el vértice (100,500)
Por lo tanto, la función que se ajusta a los datos obtenidos es: 1 f(x) = − x 2 + 40x − 1500 5
Muchas son las situaciones que se pueden presentar y resolver con las ecuaciones que representan las funciones cuadráticas.
La ecuación correspondiente a esta función es:
Ellos desean construir un modelo matemático que se ajuste a los datos que han obtenido. x 50 60 80 100 120 140 150
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), con a, b, c ∈ ℝ Son ejemplos de funciones cuadráticas:
y 0 180 420 500 420 180 0
y = 2x2 – 3x – 1
donde a = 2, b = – 3, c = – 1
y = – x2 + 3
donde a= – 1, b = 0, c = 3
y= y=
3 x2 + x – 5 donde a =
3 2 2 1 3 2 1 x − x+ donde a = , b = − , c = 8 5 2 8 5 2
y = x2
500
400
3 , b = 1, c = – 5
donde a = 1, b= 0, c = 0
El dominio de toda función cuadrática es el conjunto ℝ.
300
Representación gráfica de una función cuadrática
200 100 0 0
50
100
150
200
250
Cuando representamos en una gráfica "todos" los puntos (x, f(x)) de una función cuadrática, se obtiene una curva llamada parábola. Es decir, una
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parábola es la representación gráfica de una función cuadrática. Por ejemplo.
Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (ax2): t
La figura determinada por un puente es una parábola o bien, es la figura determinada mediante una función cuadrática.
Si a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en 9 8 7 6 5 4 3 2 1
2m 7m -9
9.6 m
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1 -2 -3 -4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5 -6 -7 -8
4.416 m
-9
Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.
Si a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en
t
Estas características o elementos son:
9 8 7
t
Orientación o concavidad (ramas o brazos)
t
Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)
t
Punto de corte con el eje de ordenadas
t
Eje de simetría
t
Vértice
6 5 4 3 2 1 -9
-1 -2 -3 -4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5 -6 -7 -8
Orientación o concavidad Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-9
Además, cuanto mayor sea (a) más cerrada es la parábola.
199
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Puntos de corte en el eje de las abscisas (raíces o soluciones) (eje de las X)
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la dá el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.
Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos, f (x) = 0. Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0. Entonces hacemos, ax² + bx + c = 0 Las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas). Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje de las Y) En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c). Eje de simetría o simetría Ramas de la parábola
Vértice Como podemos ver en el gráfico anterior, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola. Para una función cuadrática y = ax2 + bx + c, −b la coordenada x del vértice es siempre . Como 2a el eje de simetría siempre pasa por el vértice, significa que el eje de simetría es una línea vertical −b x= . Cambiando los valores de a y b en la gráfica 2a siguiente se puede ver dónde están el vértice y la línea de simetría. Las gráficas de las funciones cuadráticas Como recordaremos cuando se estudio en el libro de Matemática Ujarrás para obtener la gráfica de la función y = – 2x + 5, por ejemplo, se procede a tabular, es decir, se dan valores a la variable independiente x y se busca (por medio de las operaciones indicadas) el valor de la variable dependiente y, como se ilustra a continuación. Función: y = – 2x + 5
Vértice
x
y
PUNTOS
2
1
B(2,1)
1
Eje de simetría
A(1,3)
y = –2(1) + 5 = –2 + 5 = 3 y = –2(3) + 5 = – 6 + 5 = – 1
y = –2(2) + 5 = 4 + 5 = 1
3
–1
C(3,1)
5
–5
E(5,– 5 y = –2(5) + 5 = – 10 + 5 = – 5
4
200
3
– 3 D(4,– 3) y = –2(4) + 5 = – 8 + 5 = – 3
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Una vez que los valores se han tabulado, se procede a representarlos gráficamente. 7 6
Por ejemplo.
5 4
Represente gráficamente la función cuadrática dada por y = x2 – 6x + 9
A
3
Solución:
2 B
1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1
lineales. Se dan valores a la variable independiente “x” y, resolviendo las operaciones indicadas, se van obteniendo los valores de la variable dependiente “y”.
1
2
1º Construimos una tabla semejante a esta: 3 4 C
5 6
7
x
y
PUNTOS
y = ax2 + bx + c
-2 -3 -4 -5
D E
-6
La gráfica de una función de primer grado se llama también función lineal porque su gráfica es siempre una línea recta. Generalizando, una función lineal o de primer grado es de la forma y = mx + b, donde m y b pueden tener valores positivos o negativos.
2º La completamos.
Con los números “x” que son cualquier valor real y los números “y” que son números que se obtienen al sustituir el valor de “x” en la ecuación de la función cuadrática y = ax2 + bx + c. Con estos valores se forman los puntos que corresponden a los pares ordenados (x, y) formados por los valores de “x” y sus correspondientes de “y”. Así.
Respecto de la función cuadrática o de segundo grado, ésta se caracteriza por tener el término x con exponente 2; ejemplos de esta función son: y = x2 + 5; y = – 3x2 + 1; y = 4x2 – 1; y = (x – 3)2, etcétera. Representación tabular y gráficamente de una función cuadrática PRIMER CASO: Para obtener la gráfica de la función cuadrática y = ax2 + bx + c, se procede primero a tabular, es decir, se construye una tabla semejante a la ya utilizada para construir gráficas de funciones
201
x
y
PUNTOS
y = x2 – 6x + 9
1
4
A(1,4)
y = (1)2 – 6(1) + 9 = 4
2
1
B(2,1)
y = (2)2 – 6(2) + 9 = 1
3
0
C(3,0)
y = (3)2 – 6(3) + 9 = 0
4
1
D(4,1)
y = (4)2 – 6(4) + 9 = 1
5
4
E(5,4)
y = (5)2 – 6(5) + 9 = 6
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3º Una vez tabulados los valores, éstos se representan gráficamente de la siguiente manera: 7 6 5 4 2 A
B 1
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx +c = 0
Aquí hacemos uso de la ecuación: x=
3
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1
E
D
1
2. Puntos de corte con el eje OX.
2
3 4 C
5 6
−b ± b2 − 4ac 2a
donde tenemos que:
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
7
t
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² – 4ac > 0
t
Un punto de corte: (x, 0) si b² – 4ac = 0
t
Ningún punto de corte si b² – 4ac < 0
-2 -3 -4 -5 -6
La utilidad de las funciones lineales y cuadráticas encuentra un campo fértil. En la ciencia y la técnica, justificando con ello, la dimensión que la herramienta matemática ha alcanzado en estas áreas.
Representación gráfica Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: 1. Vértice
xv =
−b 2a
−b yv = f 2a
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
f(0) = a • 0² + b • 0 + c = c (0,c)
Por ejemplo: Representar la función f(x) = x² – 4x + 3
SEGUNDO CASO:
3. Punto de corte con el eje OY.
−b −b v , f 2a 2a
Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola. −b La ecuación del eje de simetría es: x v = 2a
1. Vértice −b − ( −4 ) 4 xV = = = =2 2 (1) 2a 2 Para hallar el valor de yv sustituimos xv
yv = 2² – 4(2) + 3 = –1
El vértice es V(2, -1)
2. Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X), eje OX.
202
Para hallar los puntos del eje de las X, hacemos uso de la expresión: x=
−b ± b2 − 4ac 2a
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Como x² – 4x + 3 = 0, aquí tenemos que a = 1, b = – 4 y c = 3
Y como b2 – 4ac > 0, tiene dos puntos de corte en el eje de las abscisas, puesto que b2 – 4ac = 4.
Recuerde La gráfica de una función cuadrática es una curva con forma de U llamada parábola. Puede ser trazada dibujando soluciones de la ecuación, encontrando el vértice y usando el eje de simetría para graficar puntos seleccionados, o encontrando las raíces y el vértice.
4 ± 16 − 12 2 4+ 4 4+2 6 x1 = = = =3 2 2 2 4− 4 4−2 2 x2 = = = =1 2 2 2 x=
La forma estándar de una ecuación cuadrática es y = ax2 + bx + c. Esta forma nos permite encontrar fácilmente el vértice de la parábola y el eje de simetría usando la fórmula para la coordenada x del vértice, −b . x= 2a
Los puntos de corte con el eje de las abscisas son (3, 0), (1, 0).
3. Punto de corte con el eje OY
Este punto se halla sustituyendo en la ecuación de la función cuadrática y = x² – 4x + 3.
y = x² – 4x + 3
(0)2 – 4(0) + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
El punto de corte con el eje de las ordenadas es (0, 3)
TRABAJO INDIVIDUAL 1
Gráfica:
6 5
A. Selección 1) A un cartón rectángular cuyos lados miden 4 cm y 5 cm se le ha recortado en cada esquina un cuadrado de lado x. De las siguientes expresiones algebraicas, ¿cuál permite calcular el área y del cartón sin las esquinas?
4 3 2
x
1 -1 0 -1
1
2
3
A) y = (5 – 2x)(4 – 2x)
4
B) y = (5 + 2x)(4 + 2x) C) y = 4x2 – 18x – 20
-2
D) y = – 4x2 – 18x + 20
203
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De las siguientes expresiones. ¿Cuál permite calcular el área “y” a partir del valor “x”?
¿Cuál de las opciones corresponde a la gráfica asociada a la relación entre la altura que alcanza el balón y el tiempo? A)
10 Altura
2) Se desea construir una caja de metal, a partir de una lámina cuadrada de 2 m de lado. Para ello se recortan cuatro cuadrados de lado “x”, uno de cada esquina.
A) y = 4x2 – 8x – 4
5
B) y = 4x3 – 8x + 4x C) y = 4x2 – 8x + 4 B)
3) El ancho de un rectángulo es siete unidades menor que el largo y el área es igual a 588 m2, ¿cuál es la ecuación que representa correctamente esta situación?
Altura
0
D) y = 4x2 + 8x + 4
5 Tiempo
10
5
A) x(x – 7) = 588
0
-5
B) x – 7 + x = 588 C) x2 + 7x + 588 = 0
10
Tiempo
5
C)
D) x – 7x + 588 = 0
Altura
2
10
4) La tabla muestra la altura que va alcanzando un balón de fútbol después de ser despejado. Altura alcanzada por el balón (en metros)
0
0
1
5
2
8
3
9
4
8
5
5
0
-5
D)
Tiempo
15
Altura
Tiempo (en segundos
5
10
5
-5
204
0 5 Tiempo
5
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B. Resuelva cada uno de los problemas siguientes en forma ordenada. 1) Se tiene un cuadrado que tiene por lado x cm, ¿cuál es la expresión algebraica que permite determinar el área (A)? Medida de un lado del cuadrado
Área del cuadrado
2 cm
4 cm2
3 cm
9 cm2
5 cm
25 cm2
x cm
¿ ?
c) ¿Qué expresión algebraica permite obtener el total de saludos (y), si uno de los equipos tiene x cantidad de integrantes y otro tiene un jugador menos?
Respuesta:
4) Se tiene un rectángulo que tiene un perímetro de 30 m, el cual tiene un lado de longitud x metros. Escriban una expresión algebraica que represente la variación del área (y) en función de x. Respuesta:
Respuesta:
2) Si al cuadrado anterior, se le aumentan 2 cm en una de las dimensiones y 3 cm en la otra dimensión, ¿cuál es la expresión algebraica que determina el área (A) del rectángulo que se ha formado?
5) El parque de mi barrio está ubicado en un terreno cuadrado. Una parte cuadrada del terreno de 50 m por lado se ocupa como estacionamiento y el resto es la zona verde con un área de 14 400 m2.
Respuesta:
50 50
3) En la escuela se organizó un torneo de Voleibol. Antes de iniciar un partido entre dos equipos de 10 integrantes cada uno, los jugadores de cada equipo saludarán a todos los elementos del equipo contrario.
x
x
a) ¿Cuántos saludos se realizan en total? Respuesta:
b) Si uno de los equipos tiene nueve integrantes, ¿cuántos saludos se realizaran en total? Respuesta:
205
¿Cuál es la función cuadrática en función de “x” que nos permite identificar a la situación anterior?
Respuesta:
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 6) La altura que alcanza una pelota arrojada hacia arriba en función del tiempo se representa mediante la gráfica siguiente:
c) ¿En qué intervalo de tiempo la función crece y en cuál decrece? Respuesta:
Altura (m) 4 3
C. De acuerdo a la siguiente información indique la función cuadrática que resuelve cada uno de los problemas siguientes:
2 1 0 1
2
3
1) ¿Cuál es el área de un rectángulo cuya base mide x + 2 y su altura x - 2?
4 T (s)
Respuesta:
a) ¿Cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente? Respuesta:
2) ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base mide 2x + 1 y su altura 2x + 2?
b) ¿Cuál es la altura máxima y en qué tiempo ocurre? Respuesta:
206
Respuesta:
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
FACTORIZACIÓN Si dos expresiones algebraicas (monomios, binomios, …, polinomios) se multiplican obtenemos como producto otra expresión algebraica (monomios, binomios, …, polinomios). A partir de este momento, estudiaremos varios procedimientos que nos permitirán determinar los factores de una expresión algebraica dada, cuando existan. Pero antes, recordemos algunos conceptos importantes: ❖
podemos realizar aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma, de la manera siguiente: ma + mb = m ( a + b ) En este caso se dice que hemos extraído el factor común m en la expresión ma + mb, ya que dicho factor aparece en cada uno de los términos de la expresión dada. En general tenemos que: Si en una expresión algebraica dada existe un factor que sea común a todos sus términos, ésta se puede descomponer en el producto de dicho factor común por el polinomio que resulta al dividir cada uno de los términos de la expresión dada por ese factor común.
Si dos expresiones algebraicas A y B se multiplican y su producto es C, cada una de las expresiones A y B se dice que es un factor o divisor de C. Ejemplos:
1. Puesto que 2 (x + 1) = 2x + 2, diremos que 2 y x + 1 son factores o divisores de 2x + 2. 2. Del mismo modo (x + 4)(x + 3) = x2 + 7x + 12. Luego (x + 4), (x + 3) son factores o divisores de x2 + 7x + 12. ❖
A menudo, resulta conveniente determinar los factores de una expresión algebraica dada. La operación que consiste en hallar estos factores se denomina factorización o descomposición en factores de la expresión.
Seguidamente estudiaremos algunos procedimientos para factorizar determinadas expresiones algebraicas.
Ejemplos de este tipo de factorización. a) Factorizar 4 + 8a = 4 (1 + 2a)
Solución:
Se puede observar que 4 y 8a contienen como factor común al 4. El otro factor estará formado por el cociente de (4 + 8a) ÷ 4 = 1 + 2a, ya que 4 ÷ 4 = 1; y 8a ÷ 4 = 2a.
Luego, tendremos que
4 + 8a = 4(1 + 2a)
b) Factorizar 6a2b – 9ab2 + 3ab = 3ab (2a – 3b + 1)
A. Factorización por factor común 1. Factor común monomio Por ejemplo, si queremos descomponer en factores o sea factorizar la expresión ma + mb, lo
Solución:
En este caso tenemos que existe un factor numérico y un factor literal.
207
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Como factor numérico tenemos al número 3, puesto que este es divisor de 6, 9 y 3 a la vez. Además, como factor literal tenemos a las letras a y b con el exponente 1 , entonces el factor común es 3ab. Luego el trinomio se puede expresar 6a2b – 9ab2 + 3ab = 3ab( 2a – 3b +1), puesto que (6a2b) ÷ (3ab) = 2a (– 9ab ) ÷ (3ab) = –3b
Por lo tanto, 10b2 – 5b + 15b3 = 5b (2b + 1 + 3b2)
Se puede observar que el factor literal es el factor b.
Para encontrar el factor común numérico, tomamos los coeficientes 10, 5 y 15 y los simplificamos hasta saber cuál es el máximo común divisor entre ellos. Así procedemos: 15
2
1
3
Luego, dividimos el polinomio entre el factor común que tenemos:
10b2 = 2b 5b
15b 3 = 3b2 5b
25 2 30 2 xy − x y 9 21
Solución:
Los factores literales corresponden a los factores x e y comunes del polinomio.
Para encontrar el factor numérico de los co25 30 y ; obtenemos primero el eficientes 9 21 factor común de los numeradores así:
Segundo obtenemos el factor común de los denominadores así: 9 21 3
3 7
5
5b =1 5b
= 5b (3b2 + 2b +1)
5 6
Solución:
5
25 30 5
3
10
(3ab) ÷ (3ab) = 1
c) Factorizar 10b – 5b + 15b
d) Factorizar
2
2
Juntando ambos factores, formamos una nueva fracción que va a ser el factor común, la misma tiene como numerador el factor común de los numeradores y como denominador el factor común de los denominadores, entonces tenemos que 5 5 6 25 2 30 2 xy − x y = xy y− x 21 3 3 7 9
Observe: el factor que posee paréntesis en el resultado de dividir cada uno de los términos del polinomio original entre 5 xy . 3 e) Factorizar x2y2 + x3y2 + xy
Solución:
El factor común es x e y…
208
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
x2 y 2 = xy; xy
x3y2 = x 2 y; xy
xy =1 xy
Por lo tanto:
x2y2 + x3y2 + xy = xy(xy + x2y + 1)
ACTIVIDAD 1 Factorice los siguientes polinomios utilizando el método del factor común. 1.
120a + 20b + 120 =
2 2 7 3 2 12. 42a b − 18a b + 30a b =
2.
9a 2 x − 18ax 2 =
13. −hk2 + 2hk + h2 =
3.
x2 + x 3 − x 4 =
14. m3 + mn2 − mn4 + m =
4.
ab2 − a 3b + ab =
15. a 3b2 + a 3b =
5.
4a 3 + 30a 2 − 50a =
6.
21c 4 + 7b2 c − 14b 3 =
7.
12xy 2 − 18y 3 x 2 + 16xy =
8.
b 3 c 2 − 21c 2 + 14bc 2 =
9.
16. 5ab +
17. 25x 2 y + 30xy 3 + 20x = 18. − x 2 y + y 3 − xy 4 − 4y =
112mn4 + 120m5n − 126m2n2 =
10. a 4b + a 2b 4 + a 5 + a 3b 3 = 11. 15y 2 + 20y 3 − 30y 4 + 40y 5 = 12. −hk2 + 2hk + h2 = 13. m3 + mn2 − mn4 + m = 14. a b + a b = 3
2
3
10 2 15 a b − b4 = 3 7
209
19.
25 15 2 10 3 xy − xy − x y= 9 9 9
20.
2 3 2 3 2 3 1 ab − a b − a= 20 5 15
21.
15 3 2 20 4 2 2 x y+ x y + 30x y = 2 3
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2. Factor común polinomio
2a (m + 3) + m + 3 = 2a(m + 3) + (m + 3)
El factor común es (m + 3); por eso si:
2a(m + 3) 1(m + 3) = 2a y =1 (m + 3) (m + 3)
Cuando factorizamos por el método del Factor Común en algunos casos el factor común será un polinomio. Para estas situaciones se procederá de la siguiente manera:
a) Factorizar 4(x + y) – 7(x + y)
= 2a(m + 3) + 1(m + 3)
Solución:
tenemos como resultado que
Observando la expresión nos damos cuenta que los dos términos de la misma tienen de factor común el binomio (x + y); así entonces podemos realizar lo siguiente:
2a(m + 3) + m + 3 = (m + 3)(2a + 1)
(x + y) 4 =4 (x + y) 7
(x + y) =7 (x + y)
d) Factorizar 5x(2 + b) – 2 – b
Solución:
Vamos a acomodar esta expresión realizando los pasos siguientes:
5x(2 + b) – 2 – b =
5x(2 + b) – (2 + b) =
y tendremos entonces que
5x(2 + b) – 1(2 + b)
4(x + y) – 7(x + y) =
(4 – 7)(x + y) = – 3 (x + y)
Luego, tenemos que el factor común es (2 + b) y que 5x(2 + b) – 2 – b = (2 + b)(5x – 1)
Recuerde que:
– a – b = – (a + b) – a + b = – (a – b)
en ambos casos estas expresiones son producto del uso de la ley distributiva de la multiplicación con respecto de la suma.
b) Factorizar 2x(a – 1) – 3(a – 1)
El factor común es (a – 1)
Así entonces dividimos los términos entre este factor común y obtendremos
2x(a − 1) (a − 1) = 2x; − 3 = − 3 (a − 1) (a − 1)
Entonces tendremos como resultado final:
Solución:
2x(a – 1) – 3(a – 1) = (a – 1)(2x – 3)
El factor común es (y + 2). Si dividimos cada término por este tenemos que:
(x − 5)(y + 2) =x−5 (y + 2)
e) Factorizar (x – 5)(y + 2) + 3(y + 2)
c) Descomponer: 2a(m + 3) + m + 3 Solución:
Esta expresión aunque en apariencia diferente a las demás se puede escribir así:
210
3(y + 2) =3 (y + 2)
Luego (x – 5)(y + 2) + 3(y + 2) = (y + 2)(x – 5 + 3) = (y + 2)(x – 2)
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
ACTIVIDAD 2 A. Factorice las siguientes expresiones. 1.
a(x + 1) + 8(x + 1)
9.
2.
− 5(2n + 3) + p(2n + 3)
10. x 2 + 1− b(x 2 + 1)
3.
2a(x − 3) − 11(x − 3)
11. x(m + 7) − m − 7
4.
2x(m – n) + 3(m – n)
12. 12(b + c) − b − c
5.
4(x + 5) + n(x + 5)
13. 2y(x + 2) − x − 2
6.
x(3 + 5y) + 3 + 5y
7.
m(1− x) + 1− x
8.
4x(m − 2) + m − 2
9.
1− x + 2a(1− x)
1− x + 2a(1− x)
14. − 3 − b + x( + b) 15. −2x − 3 + m(2x + 3)
10. Factorice: x 2 + 1− b(x 2 + 1) B.
f) –1 + 7x + 2a(1 – 7x)
11. x(m + 7) − m − 7 a) m(a – 9) + (a – 9)
g) x – 8 + x(x – 8)
12. 12(b + c) − b − c b) 3x (x – 2) – 2y(x – 2) 13. 2y(x + 2) − x − 2
h) – 5(2a + b + 3) – 2a – b – 3
c) a(n1+ 2) + n 1+ 2 14. − − b + x( + b) 3 3
i) (x – 6)(n + 1) – 3(n + 1)
d) – 1+ 3) 15. x(a −2x+−1)3 – a + m(2x
j) (x +1)(x – 2) + 3y(x – 2)
e) – x – 1 – 7y(x + 1)
k) (a + 3)(a + 1) – 4(a + 1)
211
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
B. Factorización de una diferencia de dos cuadrados
EJEMPLO 2
Una expresión algebraica cuyos términos sean dos cuadrados, uno de ellos con signo negativo, puede relacionarse inmediatamente con el producto notable correspondiente a la diferencia de dos cuadrados.
En efecto, esta expresión se puede descomponer fácilmente en factores buscando la raíz cuadrada de cada término y formando una nueva expresión que contenga la suma por la diferencia de tales raíces.
a2 – b2 = ( a + b)( a – b)
¿Es – 4x2 + 16 una diferencia de dos cuadrados? – 4x2 + 16 = 16 – 4x2
Lo escribimos en forma de diferencia.
16 = ( 4)2 y 4x2 = (2x)2
Los términos son cuadrados.
16 = 4 y
4x 2 = 2x
Poseen raíz cuadrada exacta.
Ya que hay un signo menos entre 16 y 4x2, tenemos una diferencia de dos cuadrados.
Identificación de la diferencia de dos cuadrados
Recuerde:
Para que una expresión sea la diferencia de dos cuadrados, se deben cumplir dos condiciones.
La diferencia de dos cuadrados se descompone en el producto de la suma por la diferencia de las bases de estos cuadrados, esto es, de las raíces cuadradas de estos.
1. Debe haber dos términos, ambos cuadrados para extraer la raíz cuadrada exacta. 2. Debe haber un signo menos entre los dos términos.
En símbolos:
Analicemos los siguientes casos:
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
EJEMPLO 1
¿Es 16a2 – 49 la diferencia de dos cuadrados?
El primer término del binomio es un cuadrado 16a2 = (4a)2 entonces 16a 2 = (4a)2 = 4a
El segundo término del binomio es un cuadrado 49 = (7)2 entonces 49 = (7)2 = 7
Existe un signo menos entre ellos.
Entonces tenemos una diferencia de dos cuadrados.
Ejemplos A. Descomponer en factores a) x2 – 25
Solución:
Cómo x2 – 25 es una diferencia de cuadrados tal que x 2 = x; 25 = 5 . Entonces la descomposición o factorización es (x + 5)(x – 5)
Por tanto x2 – 25 = (x + 5)(x – 5)
212
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
b) 1 − 0,49a 2 4
Solución:
Como
a2 = 4
1 − 0,49a 2 es una diferencia de cua4 drados y como 1 1 1 = = además 0,49a 2 = (0,7a)2 = 0,7a 4 4 2
se tiene que
1 1 − 0,49a 2 = + 0,7a 2 4
1 − 0,7a 2
Solución:
Tenemos que 9a4 – 25 es una diferencia de
9a = (3a ) = 3a 2 2
2
Multiplicamos la suma de las raíces por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (3a2 + 5)(3a2 – 5).
Por tanto 9a4 – 25 = (3a2 + 5)(3a2 – 5)
Como
m
am = am÷n = a n
Como –a8 + 1 = 1 – a8, el binomio es una diferencia de cuadrados y además 1=1
Multiplicamos la suma de las raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 + a4)(1 – a4)
Pero observe, el segundo término de esta factorización (1 – a4) sigue siendo una diferencia de cuadrados perfectos, por lo que es necesario factorizado de nuevo:
1=1 4
a4 = a 2 = a2
2 2. a − 1 4 9
n
25 = 52 = 5
Solución:
1 3
a8 = a8 ÷ 2 = a4
cuadrados y además
9
=
3. – a8 + 1
1
a 2
Ejemplo : x 6 = x 6 ÷ 2 = x 3
1. 9a4 – 25
4
4
=
Importante
B. Factorizar
1 = 9
a2
Así tenemos que (1 + a2)(1 – a2) = 1 – a4
Otra vez tenemos que el factor (1 – a2) también sigue siendo una diferencia de cuadrados, el cual se descompone como (1 + a)(1 – a); por tanto:
– a8 + 1 = 1 – a8 = (1 + a4)(1 + a2)(1 + a)(1 – a)
a2 1 es una diferencia de cuadrados y − 4 9
213
3.
1− 4m2
4.
16 − y 2
Matemática - EL MAESTRO EN CASA 5.
4x 2 − 9
RELACIONES Y ÁLGEBRA 4. (a + 5)2 – 9
Solución:
(a + 5)2 – 9 = ((a + 5) + 3)((a + 5) – 3)
= (a + 5 + 3)(a + 5 – 3)
= (a + 8)(a + 2)
6.
4x 2 − 81
7.
100 – m4
8.
25 − 4n2
9.
−16 + 4b2
1 − 9a 2 ACTIVIDAD 3 4 10.
a 2 16 − 11. A. Factorice las siguientes expresiones utilizando el método 36 de25la diferencia de cuadrados. 1.
n2 − 1
2.
x 2 − 25
3.
1− 4m2
4.
16 − y 2
5.
4x 2 − 9
6.
4x 2 − 81
7.
100 – m4
8.
25 − 4n2
9.
−16 + 4b2
1 10. − 9a 2 4 11.
a 2 16 − 36 25
12.
121 y 2 − 100 81 2
12.
121 y 2 − 100 81
13. 1−
a2 4
14. b2 −
1 4
15. 100 −
1 4 a 16
16. 64a 2 −
1 25
17. (7x + 1)2 − 81 18. (a + 4)2 − (a + 3)2 19. (3a + 6)2 − (4a − 5)2 20. (1+ 6c)2 − (− 1− c)2
214
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
B. Factorice.
❖
a) 162 – 9y2
_______ b) 16a2 – 9
c) 25x2 – 4
_______ d) 25m2 – 49 _______
e) 64y – 81
_______ f) –16 + a
4
12
_______
_______
g) 121a8 – 100 _______ h) 50a10 – 72 _______ i)
x4 – 1
k) 16 – y4
_______ j) 4x4 – 64
_______
_______ l) 5x4 – 80
_______
Si multiplicamos a y b y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término, 2ab, o su opuesto, – 2ab.
EJEMPLO 1 ¿Es x2 + 8x + 16 un trinomio cuadrado? Observe que este trinomio contiene dos términos cuadrados perfectos (x2 y 16), cuyas raíces cuadradas son x y 4 respectivamente. El doble producto de estas raíces es 2 • x • 4 = 8x que coincide con el término restante del trinomio. Como dicho término tiene signo positivo, entonces el trinomio se descompone en el cuadrado de una suma.
Trinomio cuadrado perfecto
Luego, resulta:
Cuando estudiamos los productos notables se observó que el cuadrado de un binomio es un trinomio, tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.
x2 + 8x + 16 = (x + 4)2
Por ejemplo:
Por consiguiente, x2 + 8x + 16 es el cuadrado del binomio (x + 4). EJEMPLO 2
( x + 5)2 = x2 + 10x + 25
¿Es x2 + 6x + 11 un trinomio cuadrado?
( x – 5)2 = x2 – 10x + 25 Los trinomios x2 + 10x + 25 y x2 – 10x + 25 son trinomios cuadrados, porque son cuadrados de un binomio. Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado como a2 + 2ab + b2 ó 2 2 a – 2ab + b . ❖
❖
Dos de sus términos son cuadrados perfectos, a2 y b2. No debe de haber signo menos en a2 o en b2.
La respuesta es no porque sólo hay un término al cuadrado. ¿Cuál es? EJEMPLO 3 ¿Es 16a2 – 56a + 49 un trinomio cuadrado? Sí. ❖
Dos de sus términos son cuadrados perfectos.
16a2 = (4a)2 49 = (7)2
215
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
e) (y + 3)2 + 2(y + 3) + 1
❖
No hay signo menos antes de 16a2 ni de 49
❖
Si multiplicamos "4a y 7" y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término, 2 • 4a • 7 = 56a
Por consiguiente, 16a2 – 56a + 49 es (4a – 7b)2
(y + 3)
1
2 • (y + 3) • 1 ➠ El signo del término medio es positivo.
Luego (y + 3)2 + 2(y + 3) + 1 = (y + 3 + 1)2= (y + 4)2 f) (y – 2)2 – 2(y – 2) + 1
C. Factorización de trinomios cuadrados
(y – 2)
1
Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las relaciones siguientes.
2 • (y – 2) • 1 ➠ El signo del término medio es negativo. Luego (y – 2)2 – 2(y – 2) + 1 = (y – 2 – 1)2= (y – 3)2
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
ACTIVIDAD 4
EJEMPLOS a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2• x • 3 + 32 = ( x + 3 )2
x 3
2 • x • 3 ➠
El signo del término medio es positivo
b) 9a – 6a + 1 = (3a) – 2• 3a • 1 + 1 = (3a – 1) 2
2
2
2
3a
1
2 • 3a • 1 ➠ El signo del término medio es negativo.
c) 1 – 16x2 + 64x4 = 12 – 2 • 1 • 8x2 + (8x2)2
1 8x
2 • 1 • 8x2 ➠ El signo del término medio es negativo.
luego 1 – 16x2 + 64x4 = (1 – 8x2)
2
2
d) 27 + 72n + 48n2 = 3(9 + 24n + 16n2) = 3 (3 + 4n)2
A. ¿Cuáles de los siguientes son trinomios cuadrados perfectos? a) x2 + 8x + 16
b) x2 – 10x + 25
c) x2 – 12x + 4
d) 4x2 + 20x + 25
e) 9x2 – 14x + 16
f) 16x2 + 40x + 25
B. Factorice completamente cada trinomio. a) x2 + 16x + 64
b) x2 + 14x + 49
c) x2 – 2x + 1
d) 1 – 4y + 4y2
e) 2x2 – 4x + 2
f) x3 – 18x2 + 81x
g) 20x2 + 100x + 125
h) 5y4 +10y2 + 5
i)
9x10 + 12x5 + 4
j) 1– 2a3 + a6
k) 49(x + 1)2 – 42(x + 1) + 9
l) (x + 7)2 – 4x – 24
m) (a + 4)2 – 6a – 15
n) 4 – 4(1 – x) + (1 – x)2
216
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
D. Factorización completa combinando el factor común y los productos notables
e) 20x2 + 60x +45 = 5 (4x2 + 12x + 9)
Hagamos otros ejemplos.
2x
= 5 (2x + 3)2
Si los términos de la expresión tienen un factor común, primero sacamos el factor común. Luego continuamos con la factorización.
3
ACTIVIDAD 5
Factorizar. a) 49x4 – 9x6 = x4(49 – 9x2)
= x4 [ (7)2 – (3x)2]
= x4(7 + 3x)(7 – 3x) Sacamos el factor común x 4. Factoriza la diferencia de cuadrados.
A. Descomponga en factores. a) a2(a – 1) – 9(a – 1) = _________________ b) 4 (x + 2) – x2 (x+2) = _________________ 9 c) b2(b – 3) – (b – 3) = ________________
b) 18a2 – 50a6 = 2a2(9 – 25a4)
= 2a2[(3)2 – (5a2)2]
= 2a2(3 – 5a2)(3 + 5a2) Sacamos el factor común 2a2. Factoriza la diferencia de cuadrados.
c) 1 – 16x12 = (1)2 – (4x6)2
= (1 – 4x6)(1 + 4x6)
= [(1)2 – (2x3)2](1 + 4x6)
= (1 – 2x3)(1 + 2x3)(1 + 4x6)
d) 3x2 – 42x – 147 = 3 (x2 – 14x + 49)
x 7 = 3 (x – 7)2
d) 3(x + 3)2 – 27 = ___________________ e) 2(y – 5)2 – 72 = ___________________ f) 5(2y – 7)2 – 20 = _________________ g) 2x2 – 12x + 18 = _________________ h) 27x2 + 18x + 3 = _________________ i) 3x – 6x3 + 3x5 = _________________ j) (x + 2)2 + 3x(x + 2)2 = _________________ k) (2 – 3x)2 – (3x + 2)2 = _________________ l) (2 – 3x)2 – (3x + 2)2 = ___________________
217
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
B. Determinar el mayor factor común de cada polinomio. 1) 2a2 + 12a
2)
9b2 – 81b
3) 12c2 – 6
4)
9d2 + 27
5) e2 + 9
6)
2f2 – 7
7) 3x2 – 12x + 18
8)
18n2 – 27n + 9
9) 2x4 + 6x3 – 10x2
10)
9y5 – 66y4 + 3y3
1) 3x2 + 12y2
2)
18x2 – 12y
3) x2 + 7x
4)
3x2 – 21x3
5) 6x2 – 4x
6)
b3 + b2 + b
7) a2b + ab2
8)
15a2c – 3c
9) 25r2s – 10rs2
10)
–12x2 – 6x
C. Factorizar
D. Factorizar las siguientes expresiones 1) y (y – 1) + 2 (y – 1)
2) a (a – 8) + 9 (a – 8)
3) (4c + 5) x – (4c + 5)
4) (x + 1) (2x + 3) – (x + 1)
5) (x – y)2 + (x + y) (x – y)
6) 2m (m – n) – (m + n)(m – n)
7) (1 – 3c) + (1 – 3c)y2
8) – ( 1 –2y) – 8 (2y –1)
218
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
TRABAJO INDIVIDUAL 1 1. Encuentre el factor común, si existe alguno. a) 6a3 + 30a2; 9a3 + 27 a2 + 9a
Respuesta: _____________
b) 24a4 – 15a3 + 6a ; 16a4 + 24a3 – 48a2 – 32a
Respuesta: _____________
c) 12b6 – 480b4 ; 144b8 + 72b2
Respuesta: _____________
d) 27x5 – 81x2 + 9x ; 8x4 – 16x + 4
Respuesta: _____________
2. Halle el factor común en las siguientes expresiones.
a)
54a 4b 3 − 36a 3b 4
b)
30x 2 y − 24xy 2 + 18x 2 y 2
c)
28a 3b2 + 42a 4b2 − 56a 5b 3
d)
15a 2 x 2 − 3a 2 x 3 + 75a 2 x 4 − 9a 2 x 5
e)
12a 2b 3 − 30a 3b2 − 42a 4b + 18a 2b 4
f)
6xy + 6x + 6 + 6y
3. Halle el factor común y exprese como productos las expresiones siguientes: a) ab + ac =
____________
b) b2 – 2b =
____________
c) 3m – 3n =
____________
d) 2c + 8 =
____________
e) 2xy – 10x =
____________
f) 5y2 + 15y3 =
____________
219
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA g) 8m2 – 12mn =
____________
h) 9a3x2 – 18ax3 =
____________
i) x3 + x2 + 2x =
____________
j) 4a2 – 8a + 2 =
____________
k) 2a2 + 4ab – 6ac =
____________
l) 6m3n2 – 12m2n + 3m =
____________
m) 9a5 – 6a2x + 3a3x2 =
____________
n) 6a2b3 – 9ab + 12b2 =
____________
4. Factorice las siguientes expresiones: a) 4a + 4b = b) x2 – xy = c) b2c2+ 3bc3 = d) 6x2 – 4xy = 2 2 2 e) 1b y − 1b y = 2 2
f) 24x + 28x3 – 56x4 =
5. Descomponga en factores. a) 4(a + 3) x – (a + 3) = _______
d) 3t(p – 6) + (p – 6) = _______
b) 2m(b – 5) + (b – 5) = _______
e) – 5(a – 10) + x(a – 10) – 2(a – 10) =_______
c) (2a – 1) – (2a – 1) 3q = _______
f) 7c (b2 + 1) + 3(b2 + 1) =_______
220
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
TRABAJO INDIVIDUAL 2 1. ¿Cuáles de los siguientes son trinomios cuadrados perfectos ? a) x2 – 14x + 49 _______________ f) x2 + 2x + 4 _______________ b) x2 – 16x + 64 _______________ g) 8x2 + 40x + 25 _______________ c) x2 + 16x – 64 _______________ h) 9x2 + 18x + 9 _______________ d) x2 –14x – 49 _______________ i) 36m2 – 24m + 16 _______________ e) x2 – 6x + 9 _______________ j) 16 – 56y + 49y2 _______________ 2. Transforme en productos los trinomios siguientes: a) x2 + 2x + 1
_______________
b) n2 – 2n + 1
_______________
c) a2 + 8a + 16
_______________
d) y2 – 12y + 36
_______________
e) m2 + 14m + 49
_______________
f)
g) 81 + 18p + p2
_______________
b2 – 3b + 9 _______________ 4 2 h) b – 10b + 25 _______________
i) a4 + 8a2 + 16 _______________ j) 1 – 1,6y + 0,64y2 _______________ 3. Factorice. Recuerde que primero hay que buscar un factor común. a) 2x2 – 4x + 2
_______________
e) 20x2 + 100x + 125
_______________
b) 2x2 – 40x + 200
_______________
f)
_______________
c) x3 – 18x2 + 81x
_______________
g) 5y4 + 10y2 + 5
d) x3 + 24x2 + 144x
_______________
h) 2a – 4a4 + 2a7 _______________
12x2 + 36x + 27
_______________
4. Determine si cada expresión es una diferencia de dos cuadrados. a) x2 – 4 _______________ e) x2 – 35 _______________ b) x2 – 36 _______________ f) x2 – 50 _______________
221
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
a)
24x 4 + 60x 3 − 18x 2
b) 45x11 + 60x 3 + 20x 5 c) x2 + 36 _______________ g) –25 + 16x2 _______________ 2 d) x2 + 4 _______________ h) –1 + 36x _______________ c) 4x 2 − 9
5. Factorice los siguientes polinomios.
d)
6x 6 − 96x 2
a)
24x 4 + 60x 3 − 18x 2
e)
12x 9 − 36x 6 + 27x 3
b)
45x11 + 60x 3 + 20x 5
f)
x 4 + 16 − 8x 2
c)
4x 2 − 9
g)
8x 4 − 84x 3 + 18x 2
d)
6x 6 − 96x 2
h)
18x 7 + 8x + 29x 4
e)
12x 9 − 36x 6 + 27x 3
6. Factorice. f) x 4 + 16 − 8x 2 a) 4x2 – 25
_______________
e) 64y4 – 81
g) 8x 4 − 84x 3 + 18x 2 b) 9a2 – 16
_______________
f) 36x – 49x3 _______________
2 c) 100x h) 18x 7 –+ 1 8x + 29x 4
_______________
g) 81y6 – 25y2 _______________
_______________
d) 16x6 – 25 _______________ h) 8x2 – 98y2 _______________
7. Factorice. Observe los ejemplos e y f de la página 216. a) ( y – 2 )2 + 2 ( y – 2 ) + 1 =
___________________
b) 4( x + 5 )2 + 20( x + 5 ) + 25 =
___________________
c) ( h + 7 )2 – 10 (h + 7) + 25 =
___________________
d) ( b + 4 )2 – 2( b + 4 ) + 1 =
___________________
e) 49( a + 1 )2 – 42( a + 1 ) + 9 =
___________________
222
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Factorización de un trinomio que no es un cuadrado perfecto
C. Para x2 + 8x + 19, tenemos que a = 1, b = 8 y c = 19, luego el discriminante
Si tenemos un trinomio en el cual no pueden hallarse dos términos que correspondan, cada uno, a un cuadrado perfecto y un tercer término que corresponda al doble producto de las bases de los cuadrados perfectos, entonces el trinomio no será cuadrado perfecto y los métodos que se usan para factorizarlo son diferentes.
∆ = b2 – 4ac = (8)2 – 4 (1)(19)
= 64 – 76
∆ = –12
Para verificar si es factorizable un trinomio ax + bx + c, que no es cuadrado perfecto se obtiene lo que se ha dado por llamar el discriminante.
Como podemos observar los trinomios que no son cuadrados perfectos poseen un discriminante que puede ser negativo, igual a cero o bien mayor que cero. En consecuencia se tiene que:
2
Se llama discriminante del trinomio de segundo grado ax2 + bx + c, al número que resulta de calcular (b2 – 4ac) el cual se le simboliza con ∆ = b2 – 4ac, donde las letras a, b y c representan números reales fijos y ∆ la cuarta letra del alfabeto griego. Ejemplos. Calculemos el discriminante de los trinomios de segundo grado. Veamos. A. Para x2 + 7x + 12, se tiene que a = 1, b = 7, c = 12.
1. Si el trinomio ax2 + bx + c es tal que su discriminante es un número real menor que cero (negativo), se dice que en este caso que el trinomio no es factorizable en ℝ, es decir, es irreducible en ℝ. 2. Los trinomios que no son cuadrados perfectos, y su discriminante es mayor que cero o igual a cero, como por ejemplo: 4x2 + 12x + 9
tenemos que b2 – 4ac = (12)2 – 4(4)(9)
= 144 – 144
∆ = 0
La factorización se realiza variando los procedimientos anteriores.
Recuerde x2 = 1 • x2
Entonces ∆ = b2 – 4ac = (7)2 – 4(1)(12)
= 49 – 48
∆=1
A continuación estudiaremos el caso de trinomios que no son cuadrados perfectos pero que son trinomios de segundo grado con una sola variable y de la forma ax2 + bx + c.
B. En el caso x2 – x – 20 si a = 1, b = –1 y c = – 20, tenemos que
∆ = b2 – 4ac = (–1)2 – 4(1)(–20)
= 1 + 80
∆ = 81
Factorización por inspección Caso 1 Estudiaremos ahora, el caso en el que el trinomio ax2 + bx + c que no es un cuadrado perfecto, tiene discriminante positivo (mayor que cero) que
223
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA se puede descomponer en la forma (x + p)(x + q) en donde las letras p y q representan reales fijos y además el coeficiente a, que multiplica a la variable cuando está elevado al cuadrado, es igual a 1.
x + p
x + 7
x + q
x2 + 3x
x2 + px
7x + 21
qx + pq
x2 + 10x + 21
x2 + (p + q) x + pq
Esta manera de multiplicar nos proporciona una forma general para factorizar situaciones semejantes. Nótese que los factores de x2 + 10x + 21 son (x + 3) y (x + 7) y los de x2 + (p + q) y (x + q). En general, un trinomio de la forma ax2 + bx + c se puede descomponer en factores, el primer término de cada factor es x, y los segundos términos p y q son dos números cuya suma es b y cuyo producto es c.
12, 1
13
3, 4
7
Por tanto x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
2. Factorizar x2 – 8x + 12
En este caso tenemos que a = 1 y además posee un discriminante ∆ = 16. ¡Verifíquelo!
Sabemos que el trinomio se puede descomponer en la forma (x + _____)(x + _____)
Ahora buscaremos dos números cuyo producto es 12 y cuya suma es – 8. Como el coeficiente del término medio es negativo, necesitamos dos números negativos cuyo producto sea 12 y cuya suma sea – 8. Producto 12
Suma
– 2, – 6
–8
– 3, – 4
–7
– 1, – 12
Su producto es igual a c; p • q = c A. Veamos el ejemplo cuando el término constante es positivo. 1. Factorizar x2 + 7x + 12 En este trinomio a = 1 y el discriminante ∆ = 1, también como b = 7 y c = 12, el trinomio se puede expresar como x2 + 7x + 12 = (x + p)(x + q)
8
Los números que necesitamos son 3 y 4.
Su suma es igual a b; p + q = b
Suma
Es decir;
Producto 12 2, 6
Como recordarán para multiplicar (x + 3) por (x + 7) se resuelve de la manera siguiente: x + 3
A continuación buscamos dos números cuyo producto es 12 y cuya suma es 7.
– 13
Los números que necesitamos son – 2 y – 6.
Por tanto x2 – 8x + 12 = (x – 2)(x – 6)
3. Factorizar a2 + 7ab + 10b2
Para factorizar x2 + 7x + 12 como podemos apreciar el primer término de cada factor es x. (x + _____)(x + _____)
224
Ya sea a2 es el producto de a y a, b2 es el producto de b y b, buscamos dos binomios de la forma. (a + ___b)(a + ___b)
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Buscamos dos números cuya suma es 7 y cuyo producto es 10. Producto 10
Suma
1, 10
11
2, 5
7
Los números que necesitamos son 2 y 5.
a2 + 7ab + 10b2 = (a + 2b)(a + 5b)
Algunas veces el término constante de un trinomio es negativo. En este caso, el término medio puede ser positivo o negativo.
1. Factorizar x2 – 8x – 20.
Encontrar dos números cuya suma sea – 8 y cuyo producto sea – 20. Producto – 20
Suma
– 1, 20
19
1, – 20
– 19
– 2, 10
8
2, – 10
–8
4, – 5
–1
– 4, 5
1
Suma
1, – 6
–5
– 1, 6
5
2, – 3
–1
– 2, 3
1
Los números que necesitamos son –2 y 3.
Luego a2 + ab – 6b2 = (a – 2b)(a + 3b)
B. Veamos ejemplos cuando el término constante es negativo.
Producto – 6
ACTIVIDAD 6 A. Obtener el discriminante de cada uno de los siguientes trinomios. 1. x2 + 5x + 6
6. x2 – 7x + 12
2. x2 + 6x + 5
7. x2 – 8x – 9
3. x2 + 10x + 24
8. x2 + 9x + 14
4. x2 – 6x – 16
9. x2 – 1
5. x2 + x – 6
10. x2 + 2x – 48
B. Factorizar. 1. x2 + 7x + 12
8. m2 + 8mm + 15n2
Los números que necesitamos son 2 y – 10.
2. x2 + 13x + 36
9. a2 + 5ab + 6b2
Por tanto x2 – 8x – 20 = (x + 2)(x – 10)
3. x2 – 8x + 15
10. p2 + 6pq + 8q2
También podemos considerar en este caso situaciones como la siguiente:
4. x2 – 7x + 12
11. a2 + 5ab – 14b2
5. x2 + 4x – 12
12. x2 – xy – 30y2
6. x2 – 21x – 100
13. 4x2 + 40x + 100
7. x2 – 21x – 72
14. 120y2 – 23xy + x2
2. Factorizar a2 + ab – 6b2.
Buscamos dos binomios de la forma (a__b)(a__b). Es decir, debemos encontrar dos números cuya suma sea 1 y cuyo producto sea – 6.
225
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2. Factorizar 2x2 + 5x – 12
Supongamos que el coeficiente principal a de un trinomio no es 1. Consideremos la siguiente multiplicación.
Primeros términos: Encontrar dos números cuyo producto sea 2.
Últimos términos: Encontrar dos números cuyo producto sea – 12
(2x + 5)(3x + 4) = 6x2 + 8x + 15 + 20
= 6x2 + 23 x + 20
(2x + 3)(x – 4) (2x – 2)(x + 6) (2x – 1)(x + 12)
Factorizaciones posibles
Caso 2
Para factorizar los trinomios ax2 + bx + c como el hallado anteriormente buscamos los binomios (__x + ___)(__x + ___) donde los productos de los números que van en los espacios son como sigue.
1. Los números de primer espacio de cada binomio dan el producto a.
El producto exterior más el producto interior debe ser igual a 5x.
2x2 + 5x – 12 = (2x – 3)(x + 4)
3. Los productos exterior e interior dan la suma b.
3. Factorizar 8m2 + 8m – 6
8m2 + 8m – 6 = 2(4m2 + 4m – 3)
Primeros términos: Encontrar dos números cuyo producto sea 4.
Últimos términos: Encontrar dos números cuyo producto sea –3.
Ejemplos 1. Factorizar 3x2 + 5x + 2
Primero buscamos un factor común a todos los términos. No hay ninguno. Ahora buscamos dos números cuyo producto sea 3. 1, 3 ó – 1, –3
Ahora buscamos números cuyo producto sea 2.
1, 2 ó – 1, – 2
Ya que el último término del trinomio es positivo, los signos de los segundos términos deben ser iguales. Aquí tenemos algunas posibles factorizaciones.
(4m + 3)(m – 1) (4m – 3)(m + 1) (2m + 3)(2m – 1) (4m – 1)(m + 3) (4m + 1)(m – 3) (2m – 3)(2m + 1)
El producto exterior más el producto interior debe ser igual a 4m.
8m2 + 8m – 6 = 2(4m2 + 4m – 3)
(x + 1)(3x + 2) ó (x + 2)(3x + 1) Cuando multiplicamos, el primero término será 3x2 y el último será 2 en cada caso. Solo la primera multiplicación da el término de 5x. 3x2 + 5x + 2 = (x + 1)(3x + 2)
= 2(2m + 3)(2m –1)
ACTIVIDAD 7
(x – 1)(3x – 2) ó (x – 2)(3x – 1)
Factorizaciones posibles
2. Los números del último espacio de cada binomio dan el producto c.
(2x – 3)(x + 4) (2x + 2)(x – 6) (2x – 12)(x + 1)
Factorizar a) 6x2 + 7x + 2
b) 8x2 + 10x – 3
c) 6x2 – 41x – 7
d) 3x2 – 21x + 36
e) 8x2 – 2
f) 9a2 – 15a – 6
226
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
g) 2x2 + 4x – 6
h) 4a2 + 2a – 6
i) 6m2 + 15mn – 9n2
j) 20 + 6x – 2x2
k) 2x2 + x – 1
l) 30b2 – b – 20
De esta forma, sumando y restando 25 a la expresión original, se tiene
4x2 – 20x + 9 = 4x2 – 20x + 9 + 25 – 25
= (4x2 – 20x + 25) + (9 – 25)
= (4x2 – 20x + 25) + (–16)
Factorización por el método de completar cuadrados
Sumamos y restamos 25 para no alterar. Conmutamos al 9 con el 25.
Caso 1
Segundo producto notable a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Este método se utiliza en el caso de que el trinomio no es un cuadrado perfecto. Ejemplos
A. Consideremos el caso de 4x2 – 20x + 9. Aquí tenemos que (4x2) es un cuadrado perfecto cuya base es 2x, ya que
Factorizando el primer sumando (primer paréntesis) como un trinomio cuadrado perfecto se tiene
4x2 – 20x + 9 = (2x – 5)2 + (– 16)
(2x)2 = 4x2
= (2x – 5)2 – (16)
= (2x – 5)2 – (4)2
Como podemos observar, la última expresión del miembro de la derecha corresponde a una diferencia de cuadrados que, como hemos visto, se puede factorizar como la suma por la diferencia de las bases, las cuales en este caso son (2x – 5) y 4, por lo tanto,
4x2 – 20x + 9 = (2x – 5)2 – (4)2
= (2x – 5 + 4)(2x – 5 – 4)
= (2x – 1)(2x – 9)
Por lo tanto la factorización completa de
y por otra parte, (–20x) es un término que corresponde a un producto en el cual (2x) es un factor, ya que –20x = (2x)(–10)
Por lo tanto se conservan invariantes los términos (4x2) y (–20x) y debemos sumar y restar un término que sea un cuadrado perfecto y que unido a (4x2) y a (–20x) constituyan un trinomio cuadrado perfecto. Para obtener este término, se divide el sumando (–20x), por el doble de la base del cuadrado perfecto que se ha mantenido invariante:
4x2 – 20x + 9 = (2x – 1)(2x – 9)
−20x = −5 2(2x)
y el resultado de esta división elevado al cuadrado es el término buscado, esto es, (–5)2 = 25
B. Factorizar 9a2 + 12a – 5
227
Se mantiene invariante el cuadrado perfecto (9a2) y el término (12a).
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Para calcular el término que se debe sumar y restar se tiene 12a =2 2(3a) Luego, como (2)2 = 4, el término a sumar y restar es 4,
9a2 + 12a – 5 = 9a2 + 12a – 5 + 4 – 4
= (9a2 + 12a + 4) + (–5 – 4)
= (9a2 + 12a + 4) + (– 9)
= (9a2 + 12a + 4) – (9)
= (3a + 2)2 – (3)2
= (3a + 2 + 3)(3a + 2 – 3)
= (3a + 5)(3a – 1)
d) y2 + 4 y + _____ = _____ 3 e) x2 + 6x + _____ = _____
Siguiendo el mismo procedimiento anterior, tenemos que −5x −5 = 2(1x) 2 Como −5 = 25 , el término a sumar y restar 2 4 25 es 4 25 25 2 x − 5x + 4 = x 2 − 5x + 4 + − 4 4 25 −25 = x 2 − 5x + + +4 4 4 2
2
5 9 = x− − 2 4
5 3 5 3 = x− + x− − 2 2 2 2
8 2 = x − x − = (x − 1)(x − 4) 2 2
Por tanto x2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4)
a) x2 + 14x + 49 = (x + 7)2
c) x2 + 5x + _____ = _____
Este no es un trinomio cuadrado perfecto, pues el término central debe ser –2(1x)(2) = – 4x. Observe que los términos extremos si son cuadrados perfectos, x2 = (x)2 y 4 = (2)2.
−25 + 16 5 = x− + 4 2
A. Completar los cuadrados y dar el equivalente cuadrado de un binomio.
b) x2 – 20x + _____ = _____
C. Factorizar x2 – 5x + 4
ACTIVIDAD 8
f) x4 – 8x2 + _____ = _____ g) 25x2 – 10x + _____ = _____ h) x2 – 5x + _____ = _____
B. Factorizar utilizando el método de completar cuadrados. a) x2 – x – 6 = b) y2 – 8y + 15 = c) x2 + 5x – 14 = d) c2 + 5c – 24 = e) x2 – 3x – 28 = f) a2 + 12a + 35 = g) b2 – 7b + 10 = 5 1 h) a 2 − a + = 6 6
228
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
CASO 2
El coeficiente del término lineal (el 12) se divide entre dos y ese cociente se eleva al cuadrado.
Cuando no es posible factorizar el trinomio cuadrado perfecto se completa con la única finalidad de poder factorizar al trinomio resultante. Recordemos que al elevar un binomio al cuadrado se produce un trinomio cuadrado perfecto.
El resultado va a completar el trinomio para que sea un trinomio cuadrado perfecto. Para no modificar la expresión matemática, se suma y también se resta este número.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ó (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Por lo que, al factorizar un trinomio cuadrado perfecto, obtenemos un binomio al cuadrado:
2
12 2 = 6 = 36 2
x2 + 12x + 36 – 36 – 3 (x2 + 12x + 36) – 39
Para factorizar el trinomio cuadrado perfecto se obtiene la raíz del término cuadrático y del término independiente.
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ó a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
x2 = x
36 = 6
Con la literal “x”, el número y el signo del término lineal del trinomio cuadrado perfecto se forma (x + 6)2 – 39 el binomio al cuadrado, que es la factorización de x2 + 12x – 3.
Lo que haremos a continuación será agregar el término independiente representado por “b2” para que, al estar completo el trinomio cuadrado perfecto, obtengamos una expresión semejante a la siguiente: a2 + px + q = (x + h)2 + k Para completar el trinomio cuadrado perfecto y así factorizarlos como binomios al cuadrado se realiza el siguiente procedimiento:
2 Expresar de la forma a2 + px + q = (x + h)2 + k el
Ejemplos
1
Expresar de la forma a2 + px + q = (x + h)2 + k el trinomio siguiente: x2 + 12x – 3
Recuerde que:
El término cuadrático es x2
El término lineal es +12x
El término independiente es – 3
trinomio siguiente: x2 – 8x + 4
Recuerde que:
El término cuadrático es x2
El término lineal es – 8x
El término independiente es +4
El coeficiente del término lineal (el 8) se divide entre dos y ese cociente se eleva al cuadrado.
229
2
8 2 = 4 = 16 2
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA El resultado va a completar el trinomio para que sea un trinomio cuadrado perfecto. Para no modificar la expresión matemática, se suma y también se resta este número.
Para factorizar el trinomio cuadrado perfecto se obtiene la raíz del término cuadrático y del término independiente.
x2 – 8x + 16 – 16 + 4 (x2 – 8x + 16) – 12
Para factorizar el trinomio cuadrado perfecto se obtiene la raíz del término cuadrático y del término independiente.
x2 = x
Con la literal “x”, el número y el signo del término lineal del trinomio cuadrado perfecto se forma el binomio al cuadrado, que es la factorización de x2 + x – 1.
16 = 4
Con la literal “x”, el número y el signo del término lineal del trinomio cuadrado perfecto se forma (x – 4)2 – 12 el binomio al cuadrado, que es la factorización de x2 – 8x + 4.
4
1 1 = 4 2
x2 = x
2
1 5 x + − 2 4
Expresar de la forma a2 + px + q = (x + h)2 + k el trinomio siguiente: x2 – 3x + 8
Recuerde que: El término cuadrático es x2 El término lineal es – 3x
3
El término independiente es 8
Expresar de la forma, a2 + px + q = (x + h)2 + k el trinomio siguiente: x2 + x – 1
Recuerde que:
El término cuadrático es x2
El término lineal es + 1x
El término independiente es –1
El coeficiente del término lineal (el 1) se divide entre dos y ese cociente se eleva al cuadrado. El resultado va a completar el trinomio para que sea un trinomio cuadrado perfecto. Para no modificar la expresión matemática, se suma y también se resta este número.
El coeficiente del término lineal (el 3) se divide entre dos y ese cociente se eleva al cuadrado. El resultado va a completar el trinomio para que sea un trinomio cuadrado perfecto. Para no modificar la expresión matemática, se suma y también se resta este número.
2
12 1 1 = = 2 22 4 1 1 2 x + x + − − 1 4 4
Para factorizar el trinomio cuadrado perfecto se obtiene la raíz del término cuadrático y del término independiente.
1 5 2 x + x + − 4 4
230
2
32 9 3 = = 2 22 4
9 9 2 x − 3x + − + 8 4 4 9 23 2 x − 3x + + 4 4
x2 = x
9 3 = 4 2
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA d) x2 – x + 5 =
Con la literal “x”, el número y el signo del término lineal del trinomio cua2 3 23 x − drado perfecto se forma + 2 4 el binomio al cuadrado, que es la factorización de x2 + 12x – 3.
e) x2 – 5x – 1 = f) x2 + 11x + 11 =
ACTIVIDAD 9 Transforme cada uno de los siguientes trinomios en trinomios cuadrados perfectos a la forma: a(x – h)2 + k.
En el libro de Matemática 1 volveremos a considerar a esta forma de factorizar un trinomio debido a que completar el cuadrado es una herramienta útil cuando convertimos una ecuación cuadrática que está en la forma estándar de una ecuación cuadrática y = ax2 + bx + c a una que está en la forma vértice de una ecuación cuadrática, o y = a(x – h)2 + k. En la forma vértice, el punto (h, k) será el vértice, el cual es el punto más bajo de una parábola (si el valor de a es positivo y la parábola se abra hacia arriba) o el punto más alto (si el valor de a es negativo y la parábola se abre hacia abajo).
a) x2 + 8x – 1 = b) x2 – 6x + 2 = c) x2 + 10x + 10 =
231
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
DIVISIÓN DE POLINOMIOS Otra de las operaciones que se puede realizar con polinomios es la división, puesto que para realizar operaciones con polinomios se utilizan las propiedades de los números reales y además las leyes sobre las potencias ya utilizadas Matemática Ujarrás 2016. Muchas son las justificaciones que se pueden dar sobre el uso y desarrollo de esta operación; podemos decir, que su origen es netamente práctico, y que en la mayoría de los casos lo que se pretende es resolver una necesidad inmediata: un caso concreto. También veremos casos donde ya no son situaciones normales para nosotros, sino que su manejo nos va a permitir desarrollar destrezas matemáticas, otro de los objetivos de este libro Matemática Zapandí 2016.
Si m es igual que n am
a) 52 ÷ 52 =
52 25 = =1 52 25
b) a 2 ÷ a 2 =
a2 = a 2−2 = a 0 = 1 a2
3. Si el exponente del denominador es el mayor, el cociente será otra fracción de numerador 1 y denominador la base elevada a la diferencia de los exponentes. Si m es menor que n 1 am ÷ an = n − m a Ejemplos:
1. Si el exponente del numerador es mayor que el exponente del denominador se conserva la base y se le resta el menor de los exponentes al mayor.
a)
a2 1 1 = 6−2 = 4 6 a a a
b)
a2 1 1 = 4−2 = 2 4 a a a
Si m es mayor que n am ÷ an = am – n Ejemplos x7 = x 7−6 = x1 = x 6 x
b)
y12 ÷ y6 = y12 – 6 = y6
an = a0 = 1
Ejemplos:
Pero antes recordemos lo siguiente sobre la división de potencias.
a)
÷
Otras de las expresiones algebraicas que se pueden simplificar son los productos notables
2. Si los exponentes son iguales, se trata de la división de un número por sí mismo, el cociente valdrá 1.
232
a a ))
3 (a (a + + b) b)3 −1 2 = (a (a + + b) b)33 −1 = = (a (a + + b) b)2 = (a + b) (a + b)
b) b)
(7x + + 1) 1)44 (7x 4−2 2 = = (7x (7x + + 1) 1)4 − 2 = = (7x (7x + + 1) 1)2 2 2 (7x + (7x + 1) 1)
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Tenga presente que la base se conserva y se restan los exponentes; en el caso de (a + b) el exponente es el número 1.
☞
c) Dividir – 5a4b3 entre – a2b8
Solución:
IMPORTANTE: En Álgebra la división se indica generalmente por la línea fraccionaria. b −5 =
Veamos otros ejemplos de división de polinomios, en este caso división de monomios entre monomios
1 b5
a) Dividir – 8(x3y)4 entre 2(x2y2)3
− 8(x 3 y)4 entre 2(x 2 y 2 )3 =
− 8(x 3 y)4 2(x 2 y 2 )3
d) Dividir – 20x2y3 entre 4x6y7
− 8x12 y 4 = 2x 6 y 6 =
=
Solución: − 20x 2 y 3 ÷ 4x 6 y 7 = − 20x 2 y 3 = 4x 6 y 7
− 4 • 2 x12 − 6 2 y6 − 4
− 5x 2 − 6 y 3 − 7 =
− 4x 6 y2
− 5x − 4 y − 4 =
− 5 x4 y 4
Importante: v
v
Para dividir este tipo de monomios con paréntesis, aplicamos la ley de potencias: para elevar a potencia un producto: (ambn)x = am•xbn•x . − 4x 6 utilizamos y2 las leyes de signos estudiadas de división de potencias de igual base. Para obtener el cociente
b) Dividir 4a3b2 entre – 2ab
Solución: 4a 3b2 ÷ − 2ab 4a 3b2 = − 2ab − 2a 2b
233
Recuerde: Si dividen o simplifican el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor. El signo estará dado por la ley de signos.
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Así.
ACTIVIDAD 1
(12 + 9) ÷ 3 = 12 ÷ 3 + 9 ÷ 3 = 4 + 3 = 7 O así.
Efectúe las siguientes divisiones.
12 + 9 12 9 = + = 4+3=7 3 3 3
1.
(x x ) = __________ (x 4 )3
2.
3(x 2 y 3 )2 = __________ −18(xy)4
En general:
3.
−(a 2b 3 )4 = __________ 3ab 4
Donde x es un monomio distinto de cero.
2
3 4
Esto también se cumple en la división de los binomios por los monomios.
a+b a b = + x x x
Consideremos algunos ejemplos. 4.
5.
6.
Ejemplo 1
−(2m6n3 )5 = __________ 4(−3m2n3 )2
Dividir 15a3b2 – 9ab entre 3ab
−6(p2 q3 )2 = __________ 12p7 q2
15a 3b2 − 9ab = 3ab 15a 3b2 9ab − = 3ab 3ab
2(x 4 y 3 )2 = __________ −3(xy)5
5a 2b − 3
Ejemplo 2
I. División de un binomio por un monomio El cociente de un binomio por un monomio es la suma de los cocientes, que resultan de dividir cada uno de los términos del binomio por el monomio.
Dividir –81m4n8+108m8n4 entre –9m3n3
− 81m4n8 + 108m8n4 = − 9m3n3
Veamos cuál es la razón. Una forma de simplificar la expresión numérica (12 + 9) ÷ 3 es usar las propiedades conocidas.
234
− 81m4n8 108m8n4 + = − 9m3n3 − 9m3n3 9mn5 − 12m5n
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Ejemplos:
ACTIVIDAD 2
1. Dividir (3a3 – 6a2b + 9ab2) entre 3a
Determine los cocientes. 1.
3x 2 + 9x = ____________ 3x
2.
5y + 15 = ____________ 10
3.
35p m + 75p m = ____________ 5p2m 4
2
4.
35m q − 15m q = ____________ −5m3
5.
64a 2b 3 − 48a 4b 3 = ____________ − 4a 2b2
6.
5a 2b2 − a 2b2 = ____________ ab2
4
3
3
5
2. Dividir (6a8b8 – 3a6b6 – a2b3) ÷ 3a2b3
(6a b 8
2
7.
4a 2b 3 − 6a 2b5 = ____________ 24ab2
8.
− 2a 6b 3 − 16a 2b 3 = ____________ − 6ab
8
)
− 3a 6b6 − a 2b 3 ÷ 3a 2b 3 = 6a 8b8 − 3a 6b6 − a 2b 3 = 3a 2b 3 a 2b3 6a 8b8 3a 6b6 − − = 3a 2b 3 3a 2b 3 3a 2b 3 2a 6b5 − a 4b 3 −
1 3
ACTIVIDAD 3 Determine los cocientes de
II. División de un trinomio por un monomio Para dividir un trinomio por un monomio se dividen cada uno de los términos del trinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos, lo que representa la Ley Distributiva de la división.
235
1.
(x
2.
( 4x
3
+ 6x − 5 entre 2
3.
( 3a
3
− 5ab2 − 6a 2b 3 entre −2a
4.
(x
− 4x 2 + x entre x
5.
( 4x
6.
(6m
3
3
)
+ 10x 2 − 8x entre −2x
)
)
)
8
3
)
− 10x 6 − 5x 4 entre 2x 3
)
− 8m2n + 20mn2 entre − 2m
2.
( 4x
3
3.
( 3a
3
)
+ 6x − 5 entre 2
4.
) RELACIONES Y ÁLGEBRA - EL MAESTRO EN CASA 4x + x ) entre x ( x − Matemática
5.
( 4x
6.
(6m
7.
(x
8.
( − 2m n
− 5ab2 − 6a 2b 3 entre −2a
3
4
2
)
x2 – 1 x + 1 5. Se divide el primer térmi–x2 – x x–1 no del residuo parcial –x – 1 (–x – 1) por el primer término del divisor (x + 1); así (x ÷ –x = –1 2 x – 1 x + 1 6. Se multiplica este segun–x2 – x x–1 do término del cociente –x – 1 por el divisor; –(x + 1) –1(x + 1) = –x – 1. Luego 0 se resta del dividendo parcial. Observe que cada término del producto cambió a su opuesto. Debido a esto tenemos el residuo 0.
− 10x 6 − 5x 4 entre 2x 3
8
3
)
− 8m2n + 20mn2 entre − 2m
)
− 5x 3 + 15x entre − 5x 2
3
)
− 14mn3 − 6mn entre −8mn
III. División de un binomio entre un binomio
Cuando estudiamos la operación división, nunca pensamos que llegaríamos a dividir otra cosa que no fueran "números". Casos semejantes a 37 ÷ 4 eran muy familiares.
De acuerdo al procedimiento anterior se tiene que dividir x2 – 1 entre x +1 es igual a x –1.
37 4 -36 9 1
Otro ejemplo
Es decir 37 = 9 • 4 + 1 Una situación similar se presente con los polinomios de una sola variable, tales como x2 – 1, x2 – 7x + 1 y muchos otros más. Dividir x – 1 entre x + 1 2
Solución x2 – 1 x + 1
Procedimiento 1. Se ordenan los binomios en forma descendente. 2 x ____ – 1 x + 1 2. Se deja el espacio para el término de grado 1 (x) 2 x _____– 1 x + 1 3. Se divide el primer térmi x no del dividendo por el primer término del divisor (x2 ÷ x = x). x2 – 1 x + 1 4. Se multiplica este primer –(x2 + x) x término del cociente por –x – 1 el binomio divisor; x(x+1) = x2 + x. Este resultado se resta del dividendo (x2 – 1).
Dividor (4x2 – 1) entre (2x + 3) Solución: Lo ordenamos descendentemente así obsérvese que hay que dejar el espacio para el polinomio ausente x en el binomio dividendo (4x2 – 1) 4x2 – 1 2x + 3 – (4x2 + 6x) 2x – 3 – 6x – 1 –(– 6x – 9) 8 1. Dividimos (4x2) ÷ (2x) = 2x. 2. Multiplicamos 2x(2x + 3) = 4x2 + 6x. 3. El resultado anterior lo restamos de (4x2 – 1). 4. Dividimos el primer término del residuo parcial (–6x – 1) por el primer término del divisor (2x + 3)
236
(– 6x) ÷ (2x) = – 3
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
5. Multiplicamos – 3(2x + 3) = – 6x – 9 y se lo restamos a – 6x –1.
Dividir (x2 – 5x + 7) por x + 1 Solución x2 – 5x + 7 x + 1
6. Obtenemos un residuo parcial 8.
Así entonces tenemos que dividir
4x2 – 1 entre 2x + 3 es igual al cociente 2x – 3 y un residuo 8
x2 – 5x + 7 x + 1 x
Observe – 6x – 1 es igual – 6x – 1 esto es – 6x – 1 –(– 6x – 9) + 6x + 9 + 6x + 9 0 + 8 8
Procedimiento 1. Se ordenan los poli nomios en forma descendente. 2. Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor (x2 ÷ x = x)
x2 – 5x + 7 x + 1 3. Se multiplica este primer término del –(x2 + x) x cociente por el poli – 6x + 7 nomio divisor; x (x+1) = x2 + x. Ese resultado se resta del dividendo (x2 – 5x + 7). x2 – 5x + 7 x + 1 4. Se divide el primer término del residuo – x2 – x x – 6 parcial por el primer – 6x + 7 término del divisor (– 6x ÷ x = – 6)
ACTIVIDAD 4 Divida. 1. (2 – 4b2) entre (1 + b) 2. (25 – 36x4) entre (5 – 6x2) 3. (1 – x2) entre (1 – x) 4. (2x2 – 18) entre (x + 3)
x2 – 5x + 7 x + 1 5. Se multiplica este segundo término del – x2 – x x – 6 cociente por el divisor; – 6x + 7 – 6 (x + 1) = – 6x – 6. + 6x + 6 Luego se resta del 13 dividendo parcial. Recuerde que cada término del producto cambia por su opuesto. Debido a esto tenemos el residuo 13.
5. (9 – x4) entre (3 – x2) 6. (10x2 – 6) entre (2x + 8) 7. (3x2 – 2) entre (x – 4) 8. (x2 – 9) entre (x + 5)
Observe que hemos transformado el polinomio.
IV. División de un trinomio por un binomio Anteriormente hemos dividido un binomio por un binomio, también podemos dividir un trinomio por un binomio. Consideremos los siguientes:
237
x2 – 5x + 7 = (x + 1) (x – 6) + 13 dividendo
divisor
cociente
residuo
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
orden de las potencias, y con sentido contrario u opuesto en el resutlado del producto..
Veamos otros ejemplos. 2. Dividir (x2 + x3 + 2) por 1 + x2
Para dividir dos polinomios ordenamos a ambos en forma descendente:
x3 + x2 + 2 por x2 + 1
Colocamos los polinomios ya ordenados en forma descendente, como lo hacemos para una división de números reales:
divisor
(x3 + x2 + 2) ÷ (x2 + 1) dividendo
Dividimos la potencia de mayor exponente del dividendo por la mayor potencia del divisor. Así: x3 ÷ x2 = x,
x3 + x2 + 0x + 2 – x3 – x x2 – x + 2 – x2 – 1
x2 + 1 x + 1
Restamos x2 + 1 de x2 – x + 2 x3 + x2 + 0x + 2 x2 + 1 – x3 – x x + 1 2 x – x + 2 cociente – x2 – 1 – x + 1 residuo
x3 + x2 + 2 x2 + 1 x
Recuerde:
Se multiplica este primer término del cociente por el polinomio divisor x(x2 + 1) = x3 + x
Dejamos de dividir cuando el grado del residuo (– x + 1) es menor que el grado de divisor (x2 + 1)
Restamos este resultado del dividendo:
Por lo tanto
x + x + 0x + 2 – x3 – x x2 – x + 2
x3 + x2 + 2 = (x2 + 1) (x + 1) + (– x + 1)
3
2
x + 1 x 2
dividendo
Repetimos el proceso, dividimos la potencia de mayor exponente del polinomio x2 – x + 2 por la potencia de mayor exponente del divisor x2 + 1, es decir: x2 ÷ x2 = 1. x3 + x2 + 0x + 2 – x3 – x x2 – x + 2
x2 + 1 x + 1
divisor cociente residuo
3. Vamos a dividir: (x3 – 2x – 35) ÷ (x + 5)
Colocamos los polinomios ordenados en potencias de mayor a menor:
x2 – 2x – 35 x + 5
Multiplicamos 1 • (x2 + 1) = x2 + 1 y colocamos este resultado debajo del dividendo, respetando el
238
Dividimos la potencia de mayor exponente del dividendo por la potencia de mayor exponente del divisor:
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Así,
x2 – 2x – 35 x + 5 x
x2 ÷ x = x
Multiplicamos el resultado por el divisor: x (x + 5) = x2 + 5x
Colocamos este resultado debajo del dividendo, respetando el orden de las potencias y con signo opuesto al resultado del producto x (x + 5) = x2 + 5x esto es – x2 – 5x.
x2 – 2x – 35 x + 5
–(x2 + 5x)
Restamos este resultado del dividendo:
x2 – 2x – 35 x + 5 – x2 – 5x x – 7x – 35
Restamos: x2 – 2x – 35 x + 5 – x2 – 5x x – 7 – 7x – 35 cociente + 7x + 35 0
En este caso, hemos obtenido un residuo igual a cero. Decimos entonces que el polinomio x – 2x – 35 es divisible por el polinomio x + 5
x
2
Por lo tanto, tenemos que x2 – 2x – 3 = (x + 5)(x – 7)
Repetimos el proceso, dividimos la potencia de mayor exponente de –7x – 35 por la potencia de mayor exponente del divisor: –7x ÷ x = –7
residuo
División sintética A. División de un trinomio entre un binomio de la forma (x - a), siendo a un número real. 1. Analicemos la división siguiente:
x2 – 2x – 35 x + 5 –(x2 + 5x) x – 7 –7x – 35
Multiplicamos –7(x + 5) = –7x – 35 y colocamos este resultado respetando el orden de las potencias y con signo opuesto, 7x + 35.
x2 – 2x – 35 x + 5 – x2 + 5x x – 7 – 7x – 35 + 7x + 35
x2 – 5x + 7 x + 1
– x2 – x
– 6x + 7
x – 6
+ 6x + 6 13 Para resolver este tipo de divisiones se creó un método más rápido y sencillo donde se utiliza solo los coeficientes. En lugar de escribir todos los pasos, veamos el siguiente arreglo de números.
239
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA coeficientes del dividendo
Siempre consideramos del binomio (x – a) el valor opuesto de a o bien lo podemos hacer así: x – a = 0 cuando x = a
1
– 5
7
– 1
6
1
– 6 13
1(–1) + –5
–1
2. Divida (5x2 + 2 + 7x) por (2 + x)
Antes de comenzar a dividir utilizando división sintética, ordenamos el polinomio dividendo 5x2 + 2 + 7x en la forma descendente, así 5x2 + 7x + 2. Lo mismo con el polinomio 2 + x = x + 2.
Utilizamos los coeficientes del dividendo y el valor opuesto del número constante del polinomio divisor.
De esta manera:
De donde podemos decir que (x2 – 5x + 7) ÷ (x + 1) = x – 6 con un residuo (r) de 13
–6 (–1) + 7
coeficiente residuo del cociente
Observe: a) El grado del cociente es un grado menor que el grado del dividendo. (x – 6)
7
2
– 10
6
5 – 3
8
El coeficiente del cociente es un grado menor: 5x – 3
c) Cada uno de los demás coeficientes del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por el opuesto de "a" y sumando este producto al coeficiente siguiente del dividendo.
El residuo es el último número donde se encuentra ubicado el cociente. Residuo = 8 Entonces, 5x2 + 7x + 2 = (5x – 3)(x + 2) y un residuo 8.
1 (– 1) + — 5 = – 6 y – 6 (– 1) + 7 = 13
d) El residuo (13) es igual al producto del último coeficiente del cociente más el término constante del dividendo.
Recuerde Como el grado del residuo ha de ser inferior al del divisor que es 1, el residuo en estas divisiones es siempre un número real. Si al ordenar el polinomio en forma descendente falta un término, se completa este con un cero.
–2
Recuerde:
b) El primer coeficiente es igual al primer coeficiente del dividendo (1)
5
2. Divida (3x2 + 6x – 7) por (x – 1)
Utilizando los coeficientes del dividendo y el valor opuesto del número constante del polinomio divisor tenemos que:
3
6
–7
1
3 9
3
9
2
Cociente: 3x + 9
Residuo: 2
Entonces 3x2 + 6x – 7 = (3x + 9)(x – 1) + 2
240
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
B. División de un trinomio entre un binomio de la forma (ax + b) 1. Dividir 4x – 9x + 1 por 2x + 3 2
Solución:
Paso 1. Tomamos el divisor 2x + 3 y lo igualamos a cero; así: 2x + 3 = 0 2x = − 3 − 3 x = 2
Solución:
El divisor es (3x + 5); este lo igualamos a cero así: 3x + 5 = 0 3x = − 5 − 5 x = 3 Considerando los coeficientes del polinomio así: − 3
Consideramos los coeficientes del polinomio (trinomio) así: 4
2. Dividir – 3x2 + 4x + 15 entre (3x + 5)
4
– 9
1
− 12 =−6 2
45 2 47 2
− 15
4x – 15
−3 2
4
15
15 =5 3 − 3 9 – 3x + 9
− 45 3 0
− 5 3
Recuerde Los números –3 y 9, excluyendo el residuo 0; debe ser divido por coeficiente del divisor (x + 5); así;
Residuo
Importante
47 2 deben ser divididos por el coeficiente del divisor (2x + 3). Así tenemos que 4 = 2, − 15 = − 15 , 2 2 2 por lo tanto, el cociente de (4x2 – 9x + 1) ÷ (2x + 3) 47 es c: 2x – 15 y el residuo 2 2
Por lo tanto al realizar la división sintética de – 3x2 + 4x + 15 entre 3x + 5 se obtiene como cociente: – x + 3 y residuo r: 0
Los números 4 y –15 excluyendo el residuo
ACTIVIDAD 5 Divida por división sintética.
Verifiquemos que:
a)
x 2 + 5x + 6 = x+2
15 47 4x 2 − 9x + 1 = ( 2x + 3 ) 2x − + 2 2
b)
x 2 − 15x + 56 = x−7
c)
(n
d)
( 4 − 8n + 3n ) ÷ ( 3n − 2) =
e)
(x
= 4x 2 −
30 2
x + 6x −
2
= 4x − 15x + 6x + 2
= 4x − 9x + 1
Residuo
2
45 2
+
47 2
2
241
2
)
− 7n − 9 ÷ (n + 1) = 2
2
)
− 7x + 5 entre (x − 3) =
b) b)
x 2 − 15x + 56 x − 15x + 56 = = x−7 x−7
c) c)
− 9 ) ÷ (n + 1) = ((nn −−7n 7n − 9 ) ÷ (n + 1) = RELACIONES Y ÁLGEBRA 2 2
d) d)
Matemática - EL MAESTRO EN CASA + 3n ) ÷ ( 3n − 2 ) = ((44−−8n 8n + 3n ) ÷ ( 3n − 2 ) =
e) e)
+ 5 ) entre (x − 3) = ((xx −−7x 7x + 5 ) entre (x − 3) =
f) f)
− 3) = ((xx −−xx−−66)) entre (x entre (x − 3) =
g) g)
+ 1) entre ( a + 2 ) = ((aa −−5a 5a + 1) entre ( a + 2 ) =
h) h)
− 7x + 1) entre ( x − 4 ) = ((2x 2x − 7x + 1) entre ( x − 4 ) =
i) i)
+ 5x + 1) entre ( 2x − 1) = ((3x 3x + 5x + 1) entre ( 2x − 1) =
j) j)
+ 8 − 7x ) entre ( − 3 + 5x ) = ((10x 10x + 8 − 7x ) entre ( − 3 + 5x ) =
k) k)
7x + x ) entre ( 4x + 1) = ((11− 11− 7x + x ) entre ( 4x + 1) =
l) l)
− 7x − 6 ) entre ( 2x + 1) = ((2x 2x − 7x − 6 ) entre ( 2x + 1) =
m) m)
− 29x + 1) entre ( 4x + 1) = ((7x 7x − 29x + 1) entre ( 4x + 1) =
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
División de un trinomio por un trinomio Como recordaremos dado un polinomio P(x) (polinomio dividendo) y otro D(x) ≠ 0 (polinomio divisor), siempre existen y son únicos otros dos polinomios C(x) (polinomio cociente) y R(x) (polinomio resto) tal que: P(x) = D(x) • C(x) + R(x) donde: grado R(x) < grado D(x) ó R(x) = 0. Es decir que si dividimos como con reales la notación simbólica representa esta división: P(x)
2 2
2 2
4 4
2 2
D(x)
R(x) C(x) La división de polinomios, en este caso un trinomio por un trinomio, en general se realiza de forma semejante a la de números de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, con los polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente: 1. Dividir 4x3 – 3x2 + 3 entre x2 – x + 1
Así como puede observar, la división que usted conoce desde la primaria ha evolucionado grandemente, como también lo ha hecho la humanidad; es por eso que debemos ponerle atención para no quedarnos atrás en el conocimiento humano. Tengamos presente que el valor y utilidad que tuvo en su momento la división que conoció en primaria son los mismos que tiene en el presente esta forma de división.
Solución:
Observe: Con los polinomios dividendo y divisor ordenados de mayor a menor grado: t
242
Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente.
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
t
t
t
Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante
3. Dividir 6x3 – 16x2 – 8 entre 3x2 + x + 4 Solución: 6x3 – 16x2 – 8 ÷ 3x2 + x + 4
Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial.
x + 2x + 1 ÷ x + x + 1 2
x3 + 0x2 + 2x + 1
x2 + x + 1
– x – x – x
x+1
3
2
– x + x + 1
– x2 – x – 1
2
18x2 + 6x + 24
–2x – 16
Realice las siguientes divisiones:
2. Dividir x + 2x + 1 entre x + x + 1
3
2x + 6
ACTIVIDAD 6
2
Solución:
– 6x3 – 2x2 – 8x
Respuesta: C(x) = 2x – 6 y de resto R(x) = – 2x + 16
Respuesta: Como se ve se ha obtenido de cociente C(x) = 4x + 1 y de resto R(x) = – 3x + 2. 3
3x2 + x + 4
– 18x2 – 8x – 8
Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado. Normalmente se dividen polinomios con una sola variable (x) tanto en el dividendo como en el divisor.
6x3 – 16x2 – 8
a) (2x4 + 11x2 – 3) ÷ (3x3 – 5x + 3) = ___________
b) (4x3 + 8x – 4) ÷ (2x2 – 4x + 1) = ___________
2
c) (x3 – x2 – x) ÷ (x2 + x + 1) = ___________
0 Respuesta: C(x) = x + 1 y de resto R(x) = 0
d) (6x3 – 5x2 + x) ÷ (x2 – 2x – 1) = ___________
243
RELACIONES Y ÁLGEBRA
6 6 2 3 2 3 Matemática - EL MAESTRO EN CASA a) (2(−− 3a 7x)2b − a b ) entre ( 3a b ) = ___________
a)
TRABAJO INDIVIDUAL 1
b) b) c)
1 Resuelva las siguientes divisiones. a)
( − 3a b
b)
( − 10m n
c)
5x 3 − 2x 2 + 6x = ___________ 3x 2
6
6
7
)
(
c)
)
d)
− a 2b 3 entre 3a 2b 3 = ___________ 4
d) + 12m3n8 entre 2m2 = ___________ e)
)
(
)
e) f)
− 7x 5 − 4x 4 + 3x 3 d) = ___________ 3x 2 2. Simplifique las expresiones siguientes: 6x 3 − 10x 2 + 8x = ___________ 2 (2 − 7x)2x a) = _________________ 4(2 − 7x) − 108a 7b6 − 14a 2b 3 + 2b6 f) = ___________ 2 6 (a 2b − 7b)2− a b b) = _________________ 2(a 2b − 7b)
f)
e)
g)
h)
_________________
=
4(2 − 7x)
( − 10m n 7
)
(
)
+ 12m3n8 entre 2m2 = ___________
4
(a 2b − 7b)2 = _________________ 2(a 2b3 − 7b)2 5x − 2x + 6x = ___________ 3x 2 (x 2 y 2 − 1)4 = _________________ 2 2 2 5(x− 7x y − 5 1) − 4x 4 + 3x 3 = ___________ 3x 2 −3(a 2 − b)4 = _________________ 2 4 5(a 6x 3−−b) 10x 2 + 8x = ___________ 2x ( x − y )3 = _________________ 4 7 6 2 3 6 4 (− 108a x − y ) b − 14a b + 2b = ___________ − a 2b6
(
− 4 a 2 − c
(
3 a2 − c
(
)
)
4
− 2 a 4b + 2
(a b + 2) 4
=
3
2
)
_________________
4
=
28x 2 y 2 = 7x
_________________
_________________
c)
(x 2 y 2 − 1)4 = 5(x 2 y 2 − 1)2
_________________
i)
d)
−3(a 2 − b)4 = 5(a 2 − b)4
_________________
j)
( 2x + 3y ) ( x + y ) = ( x + y ) ( 3x + 2y )
_________________
e)
( x − y )3 4 4(x − y )
=
_________________
k)
x 2 + 5x + 6 = x+3
_________________
(
)
f)
g)
− 4 a 2 − c
(
3 a2 − c
(
)
4
− 2 a 4b + 2
(a b + 2) 4
28x 2 y 2 h) = 7x
=
3
2
)
_________________
4
=
_________________
244 _________________
25 ( a + b )
(a + b )2
=
_________________
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3. Divida por a cada binomio. a) ax + ay =
__________
b) 3a – 7 ab =
___________
c) a2y – 3a5 =
___________
4. Efectúe las siguientes divisiones: a) px2 + p por p
___________
b) 3ax2 – 8ax2 por a
___________
c) mp – 7m por m
___________
d) – ax + ay por a
__________
e) – ax + ay por – a
__________
f) am2 – 5a por a
__________
5. Efectúe las siguientes divisiones a)
c)
75a 5b 4 – 65a 3b 4 3
– 5a b
3
– 4b 2 – 6b + 8b 3 –2ab
= ________
b)
= ________
d)
– 81m 4n 8 + 108m 8n 4 – 9m 3n 3
= ________
– 9nx 3 + 15n 2 x 2 – 3n – 3n
6. ¿Cuál es el primer término del cociente de a)
x2 – 5x + 6 dividido por x – 3?
b)
x2 –5x + 6 dividido por x – 2?
c)
8m2 – 10m – 3 dividido por 4m + 1?
d)
8 – 10n – 3n2 dividido por 2 – 3n?
245
= ________
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 7. Divida por el método de la división sintética. a)
a2 + 3a + 2 por a + 1
___________
b) b2 + 5b + 4 por b + 1
___________
c)
c2 + 8c + 12 por c + 2
___________
d) x2 – 3x – 40 por x + 5
___________
e)
x2 + 4x + 4 entre x + 2
___________
f) (–9x2 + 3 + x) ÷ (x + 3)
___________
g)
12 + 5x − 2x 4−x
___________
D d 8. Divida por la forma r c r: residuo)
2 h) 7 − 9x + 8x ___________ 3x − 1
las siguientes expresiones (D: dividendo, d: divisor, c: cociente;
a)
23 − 11x 2 + 2x 3 = 2x − 3
___________
b) (3x2 – 7x + 2) ÷ (3x – 1) =
___________
c)
2x2 + 3x – 5 entre –2x – 5 = ___________
d) d2 – 5d – 24 entre d – 3 =
___________
e)
1 + c – 6c2 entre 1 + 3c =
9. Divida por la forma:
___________
las siguientes expresiones.
a) p3 – 8p – 3 divido por p2 + 5p – 2 b) p3 – 8p – 10 dividido por p2 + 2p + 1 c) x4 + 2x + 1 dividido por x2 + x + 3 d) 6x3 – x + 3 dividido por 3x2 + 2x + 4
246
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS Antes cuando estudiamos números racionales usamos fracciones de un tipo muy sencillo, aquellas cuyo numerador y denominador eran números enteros. En la antigüedad ya se empleaban estas fracciones sencillas: la palabra «fracción» procede del latín «fractus» que quiere decir «roto», «quebrado». Los romanos consideraban una fracción como un todo roto, tal como una parte de un bastón o de un pastel, los romanos, como los babilonios antes que ellos, dividían un todo, o unidad, en sesentavos y llamaban a estas partes «partes minutiae primae» que significa «partecitas primeras» y por una segunda división cada una de estas partes se subdividía en otras sesenta «partes minutiae secundae» o «segundas partecitas». Este dio origen con el tiempo a que un «minuto» fuera la sesentava parte de una hora o de un grado y el «segundo» la sesentava parte de un minuto o 1 3600 de hora o de grado.
Además. a 2 − 7 es una fracción algebraica racional donde el numerador es a2 – 7 y el 1 denominador es 1. No olvide que una constante es un polinomio de grado cero, con la excepción del 0. Las expresiones algebraicas racionales tienen las mismas propiedades que los números racionales. Por ejemplo consideremos las siguientes fracciones algebraicas.
También solían los romanos subdividir un todo en 12 partes llamadas cada una «uncial» de donde se derivan la palabra onza y la inglesa «inch» (pulgada). En el sistema inglés de medidas Troy, la libra está subdividida en 12 onzas.
Fracción algebraica racional Llamamos fracción algebraica racional a toda a expresión de la forma (a sobre b), donde a o b, b o ambos, son polinomios y además el denominador es un polinomio no nulo. x 2 + 3x − 10 Por ejemplo, 3x + 2 2 significa (x + 3x –10) ÷ (3x +2)
2 a22 a22 a2
“a” no debe ser 0. Esta observación nos indica que la expresión racional que corresponde al denominador debe estar definido para todos los números reales menos el cero; así ℝ – {0}
x x 4 “y” no debe ser – 4. Esta observación y+ x 4 nos indica que la expresión racional que y+ y + 4 corresponde al denominador debe estar definido para todos los números reales x + y menos el –4, así ℝ – {–4} xx + − y3 + y3 “x” no debe ser igual a 3. Esta observación x− x − 3 nos indica que la expresión racional que corresponde al denominador debe estar definido para todos los números reales menos el 3, así ℝ – {3} RECUERDE En adelante y salvo indicación en contrario supondremos que los valores de la variable o variables que aparezcan en un denominador son tales que no anulen dicho denominador.
247
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA También, en una fracción algebraica, al igual que una fracción numérica, es posible multiplicar o dividir el numerador y el denominador por un mismo factor (diferente de cero), obteniéndose así una fracción equivalente a la fracción dada.
B)
En la práctica se presenta muchas veces la necesidad de simplificar fracciones algebraicas. Para ello debe tener presente que: Simplificar una fracción algebraica consiste en dividir el numerador y el denominador por un mismo factor que sea común a ambos.
2(b + 5) 4b + 20 C����������������������������������������� omo se puede observar, no se puede realizar directamente ninguna simplificación. Sin embargo podemos factorizar por factor común el denominador así: 4b + 20 = 4 (b + 5) 2(b + 5) 2(b + 5) 2 1 = = = 4b + 20 4(b + 5) 4 2
2 2 C) a − b a 2 + ab Aquí tampoco podemos simplificar directamente; por tanto procedemos previamente a descomponer en factores el numerador y el denominador. Debemos combinar los métodos de factorización: por producto notable y factor común.
a 2 – b2 = (a − b)(a + b) a 2 + ab = a(a + b)
Ejemplos Simplificar las fracciones algebraicas siguientes:
16x 2 y A) 2x 2 y 3 Para simplificar esta fracción algebraica, dividimos el numerador y el denominador por 2x2y (que es el mayor factor común a ambos). Luego resulta
D)
Recuerde
Luego tenemos
a 2 − b2 (a − b)(a + b) a − b = = a (a + b) a a 2 + ab
2x 2 − 3x − 2 x 2 + 3x − 10 Factorizando ambos trinomios tenemos por el método de inspección. 2x 2 − 3 − 2 (2x + 1)(x − 2) 2x + 1 = = x 2 + 3x − 10 (x + 5)(x − 2) x+5
Observe: El numerador y el denominador en la expresión racional o fracción algebraica
x−4 parecen 4−x
no tener ningún factor común diferente de 1. Sin embargo, ya que (x – 4) y (4 – x) son inversos aditivos, podemos reescribir uno de ellos como inverso del otro.
248
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Así tenemos que para proceder a simplificar esta expresión hacemos
6) Sean A = 3x3 + 9x2 y B = x2 + 6x + 9
−1 (4 − x) x−4 = = −1 4 (4(4 x − x) −1 − x) x−4 = −1 = 1) (4 − x) 4−x Otros ejemplos semejantes a este. 3x − 6 3(x − 2) = 2) Se factoriza el numerador 2 −−x2) 2 −−x6 3(x 3x 2) = 2 – x = –(– 2 + x) = – 1(x – 2) 2−x 23(x − x− 2) = −1(x 2) 3(x −−2) = 3−1(x − 2) = −3 = −1 3 Simplificamos = = −3 −1
b) Halle el valor numérico de C cuando x = – 5
1)
3)
1− y 2 (1− y)(1+ y) = 2 y − 4y + 3 (y − 1) (y − 3) =
−1 (y − 1)(1+ y) (y − 1)(y − 3)
=
−1(1+ y) ( y − 3)
=
−1− y ( y − 3)
a) Calcule y simplifique
c) ¿Para qué valores de x (x ∈ ℝ) está definida la expresión C?
Solución
a)
3x 3 + 9x 2 3x 2 (x + 3) = x 2 + 6x + 9 (x + 3)(x + 3) =
3x 2 x+3
Combinamos métodos de factorización.
Observe: Como 2 = 0,4 x 5 tenemos que (5n + 2) = (5n + 0,4 x 5)
C=
A c) Los valores donde está definida C = B son todos ℝ – {– 3}
x −1 7. Por cual expresión debe amplificarse 2 5 para obtener como resultado x − 1 ? 5x + 5 Solución x2 − 1 Como se dice que el resultado es ; 5x + 5 Podemos aplicar la operación inversa de la amplificación (la simplificación) es proceso nos indicará la expresión para amplificar.
= 5 (n + 0,4)
249
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Veamos: x 2 − 1 (x − 1)(x + 1) = 5(x + 1) 5x + 5 =
x −1 5
Entonces, podemos decir que x + 1 es la expresión que amplifica a x − 1 para obtener x2 − 1 5 5(x + 1) Respuesta: Debe ampliarse por (x + 1)
g)
2a − 3 (a − 7)2
_________
h)
x+3 x(x + 2)
_________
i)
b +1 b2 − 9
_________
j)
3c c 2 − 7c − 18
_________
B) Simplifique tanto como sea posible:
x2 – 1 es una diferencia de cuadrados 5x + 5 = 5(x + 1) se factoriza por factor común.
ACTIVIDAD 1 A) Diga para qué valores están definidas las fracciones algebraicas siguientes.
250
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 22)
4c 2 + 7c − 15 = ____________ c 2 + 12c + 27
23)
3x 2 − 7x − 20 = ____________ 2x 2 − 5x − 12
24)
4y 2 + 20y + 25 = ____________ 2y 3 + 3y 2 − 5y
C. Sean A = 3a2 + 2a – 8 y B = 9a2 – 16. A 1) Calcular y simplificar C = B 2) Hallar el valor numérico de C cuando a = –4 3) ¿Para qué valores de a (a ∈ ℝ) está definida la expresión C? m+n 2 2 2 para obtener como resultado m − n ? 2m − 2n x+4 E. La expresión se obtiene al simplificar x −1 una fracción cuyo D. ¿Por cuál expresión debe amplificarse
numerador era x2 + 5x + 4. ¿Cuál era la fracción original? 2a − 3 se obtiene al simplificar 3a + 1 una fracción cuyo denominador era 6a2 + 11a + 3. ¿Cuál era la fracción original?
F. La expresión
Suma y resta de fracciones algebraicas Denominadores iguales Para sumar y restar fracciones algebraicas con denominadores iguales, sumamos o restamos los numeradores y escribimos la suma o diferencia sobre el denominador común.
251
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA A. EJEMPLOS Sumar y simplificar. 1.
2.
4x 5x 4x + 5x + = 3 3 3 9x = 3 = 3x
Se escribe la suma sobre el denominador común.
2y 2 + 4y − 3 y 2 − 2y − 12 2y 2 + 4y − 3 − (y 2 − 2y − 12) − = y+3 y+3 y+3
Sumamos los términos semejantes del numerador.
=
2y 2 + 4y − 3 − y 2 + 2y + 12 y+3
Simplificamos
=
y 2 + 6y + 9 y+3
=
(y + 3)(y + 3) (y + 3)
6a 2 4a 2 6a 2 + 4a 2 + = a+2 a+2 a+2 10a 2 = a+2
3.
2.
2x 2 + 3x − 7 x 2 + x − 8 2x2 + 3x − 7 + x2 + x − 8 + = 2x + 1 2x + 1 2x + 1 3x2 + 4x − 15 2x + 1 (x + 3)(3x − 5) = 2x + 1
=y+3 Podemos sumar o restar cualquier número de expresiones con denominadores comunes sumando o restando los numeradores y colocando el resultado sobre el denominador común.
=
Se factoriza para buscar posibles factores comunes.
ACTIVIDAD 2 Efectuar cada una de las operaciones indicadas.
B. EJEMPLOS. Restar y simplificar. 1.
3m m − 4 3m − (m − 4) − = m+2 m+2 m+2 3m − m + 4 = m+2 2m + 4 2(m + 2) = = m+2 (m + 2) =2
a)
3a 2a + = ____________ 5 5
b)
6m 8m + = ____________ 11 11
c)
7x 2x − = ____________ 10 10
d)
18xy 11xy − = ____________ 7 7
e)
4x + 3 3x + 4 + = ____________ x+2 x+2
f)
−6m m − 10 + = ____________ m−5 m−5
Los paréntesis son necesarios orque se debe restar el numerador completo. Simplificamos.
252
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA EJEMPLOS 1. Encontrar el mcd de 8x2y2 y 12xy3 8x2y2 = 2 • 2 • 2 • x • x • y • y 12xy3 = 2 • 2 • 3 • x • y • y • y mcd = 2 • 2 • 2 • 3 • x • x • y • y • y = 24x2y3 2. Encontrar el mcd de x2 + 5x – 6 y x2 – 1 x2 + 5x – 6 = (x + 6)(x – 1) x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) mcd = (x + 6)(x + 1)(x – 1) 3. Encontrar el mcd de x2 + 4 y x+1
Como estas expresiones no son factorizables, el mcd es su producto, (x2 + 4)(x + 1).
Suma con denominadores diferentes Para sumar expresiones racionales con denominadores diferentes,
Suma y resta de fracciones algebraicas Denominadores diferentes
Mínimo común denominador (mcd) Para sumar fracciones algebraicas racionales con denominadores diferentes, primero es necesario encontrar el mínimo común denominador de éstas.
1. Encontramos el mcm de los denominadores. 2. Escribimos cada expresión racional como una expresión equivalente con el (mcd). Para escribir una expresión equivalente, multiplicamos por una expresión equivalente a 1. 3. Sumamos los numeradores. Escribimos la suma sobre el (mcd). EJEMPLOS Sumar y simplificar. a)
Cómo encontrar el mínimo común denominador (mcd) Para encontrar el mcd de dos o más expresiones algebraicas, 1. Factorizamos cada expresión.
5x 2 7x 5x 2 7x + = + 12 2 • 2 • 2 2 • 2 • 3 8 =
5x 2 3 7x 2 • + • 2•2•3 2 2•2•2 3
=
15x 2 + 14x 24
=
2. Formamos el producto usando cada factor el mayor número de veces que aparece.
x(15x + 14) 24
El mcm de los denominadores es 2 • 2 • 2 • 3 = 24 2
Multiplicamos cada térnino por una forma del número 1 = 2 para obtener el mcd.
253
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA b)
3
x +1
+
5
x −1
= = = = =
3
•
x −1
x +1 x −1
+
5
•
x +1
d) Resolver
x −1 x +1
3(x − 1) + 5(x + 1)
Solución
3x − 3 + 5x + 5
x x +1 3 x x + 1 3 + + = + + x − 1 x + 1 x2 − 1 x − 1 ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1)
(x + 1)(x − 1)
(x + 1)(x − 1) 8x + 2
=
x ( x − 1) 3 ( x + 1) x +1 + + ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1)
2(4x + 1)
=
3x + 3 + x2 − x + x + 1 ( x − 1) ( x + 1)
(x + 1)(x − 1) (x + 1)(x − 1)
=
El mcd es (x + 1)(x – 1)
Como el numerador y denominador no tienen factor común, diferente de 1, no podemos simplificar más. x −1 2x + 2 c) Resolver 2 x − 1 x − 2x + 1 Solución x −1 2x 1 2x + 2 = + 2 x − 1 x − 2x + 1 x + 1 ( x − 1)2 = =
3 x x +1 + + 2 x −1 x +1 x −1
=
=
( x + 1) ( x − 1)2
x2 + 3x + 4 ( x + 1) ( x − 1)
Resta con denominadores diferentes EJEMPLOS Restar y simplificar 1)
( x – 1)2 + 2x ( x + 1) ( x + 1) ( x – 1)2
x+2
x−4
−
x +1
x+4
= =
x 2 – 2x + 1+ 2x 2 + 2x
( x + 1) ( x − 1)
x2 − 2x + 1+ 2x2 + 2x
=
2
3x 2 + 1
=
( x + 1) ( x − 1)2
= Factorizamos cada uno de los denominadores x2 – 1 = (x + 1)(x – 1)
=
x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 mcd = (x + 1)(x – 1)2
x+2
•
x+4
x−4 x+4
−
(x + 2)(x + 4)
(x − 4)(x + 4)
−
x +1 x − 4 • x+4 x−4 (x + 1)(x − 4)
(x + 4) (x − 4)
(x + 2)(x + 4) − [(x + 1)(x − 4)] (x + 4)(x − 4)
x 2 + 6x + 8 − (x 2 − 3x − 4) (x − 4)(x + 4)
x 2 + 6x + 8 − x 2 + 3x + 4 (x − 4)(x + 4)
9x + 12
(x − 4)(x + 4)
mcd = (x – 4)(x + 4) Restamos los numeradores.
254
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3)
El mínimo común divisor es 4(n + 3)(n +3)
2x + 6 x+5 − 2 2 x − 3x x − 4x + 3
Solución:
Se factorizan los denominadores x2 – 3x = x(x – 3) x2 – 4x + 3 = (x – 3) (x – 1)
El mínimo común múltiplo ó sencillamente el mínimo denominador común es x (x – 3) (x – 1). Por lo tanto:
ACTIVIDAD 3
A. Encontrar el mínimo común múltiplo (mcm). 1. c2d, cd2 2. 2x2, 6xy 3. a – b, a + b 4. m – 6, m + 6 5. 3(a – 3), 6 (3 – a) Para sumar o restar fracciones algebraicas hay que obtener el común denominador. Después igual que con los números, basta sumar o restar los numeradores.
6. 4(b – 1), 8(1 – b) 7. x + 2, x – 2
255
f)
1
3
,
2
b + b − 6b
RELACIONES Y ÁLGEBRA
1
3
b − 6b
2
b
y
b−2
x
1
1
Matemática - EL MAESTRO EN CASA g) x 2 − 10x + 25 , x 2 − 25 y x 2 + 10x + 25 8. x + 3, x – 3
h)
9. x2 – 4, x2 + 5x + 6 10. x2 + 3x + 2, x2 – 4
i)
11. t3 + 4t2 + 4t, t2 – 4t 12. y3 – y2, y4 – y2
2
1
c +c
2
14. x2 – y2, x2 + 2xy + y2
1.
16. 2x2 + 5x + 2, 2x2 – x – 1
2.
B. Reduzca a común denominador.
3.
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
x+3
y
x
2x + 6
x2
y
x −1
5
4
1
x −x
2
,
1
,
x 2 − 10x + 25
c +c 1
,
v − 3v − 4
y
x + 2x + 1
2
1
v
2
x + 2
b + b − 6b
2
6.
2
1
3
x+2
y
v + 2v + 1
5.
4
y
x +x−2
2
x
x +x+2
1
2
4.
2
2
3
1
b − 6b
,
c
c + 2c + 1
1
,
x + 2x − 3
15. m2 – 5m + 6, m2 – 4m + 4
x+2
c
2
2
y
x−2
2
1
c −1
x − 4x + 3
y
x−3
x2 − 9
C. Sumar y simplificar.
13. a + 1, a2 – 1
a)
,
2
x
x 2 − 25
c + 2c + 1
y
x−2
7.
1
8.
x
b
y
9.
b−2
y
2
1
10.
x 2 + 10x + 25
1
c −1
256 x−3
a2 2
8y
10
4x
15 2
5
6a
+
5
8x
25
+
2
x−2 3
x +1 x+4 x
x−5
= _____________
= _____________
= _____________
x2
3
x
2y
5
x+y xy
= _____________
8
+
+
x
3a 2
+
7
8a +
+
+
+
+
= _____________
3x + y x 2y 3
x+2 2
3x
= _____________
= _____________
= _____________
x
x+4 x−5 x
= _____________
= _____________
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
11.
Multiplicación de fracciones algebraicas
x 1 + 2 = _____________ x + 2x + 1 x + 5x + 4 2
Como vimos anteriormente, el producto de números racionales se calcula multiplicando los numeradores y los denominadores.
7 5 12. 2 + = _____________ a + a − 2 a 2 − 4a + 3
3 5 3 • 5 15 • = = 4 6 4 • 6 24
También multiplicamos fracciones algebraicas de la misma manera.
D. Restar y simplificar. 1.
2.
3.
5x + 3y 3x − 4y − = ____________ 2x 2 y xy 2
Ejemplos Efectuar las multiplicaciones siguientes y simplificar el producto.
3 5 − = ____________ x+5 x−5
a)
x 2 − = ____________ x 2 + 2x + 1 x 2 + 3x + 2
x 5 4. 2 − 2 = ____________ x + 11x + 30 x + 9x + 20
5a 3 2 5a 3 • 2 • = 4 5a 4 • 5a =
10a 3 20a
=
a2 2
Multiplicamos los numeradores y los denominadores Se simplifica
b) E. Determinar, entre las siguientes expresiones, las que son equivalentes.
15b 3a 3b • 2 3 10 6a b Solución: Tanto los numeradores como los denominadores monomios se multiplican como antes lo hicimos. Luego, procedemos a simplificar. 3a 3b 15b 3 • 15 • a 3 • b • b • 2 3 = 10 6a b 10 • 6 • a 2b 3 =
c)
257
= 18x 2 y x + y • = x 2 − y 2 6xy
45 a 3 b2 60 a 2b 3 3a 4b
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Solución: Aquí primeramente debemos factorizar la diferencia de cuadrados que aparece en el primer denominador y luego se simplifica la expresión. 18x 2 y (x + y) 3x 18x 2 y x + y • = • • 2 2 x −y 6xy (x + y)(x − y) 6xy x − y
ACTIVIDAD 4 Efectúe las multiplicaciones siguientes y simplifique tanto como sea posible
3x 2 − 11x + 10 2x • 2 = 2 8x x − 2x (3x − 5)(x − 2) 2x 3x − 5 • = 2 Solución: por ins8x 2 En este x(x −caso 2) se 4xfactoriza pección el numerador del primer factor y por factor común el denominador del segundo 3x 2 − 11x + 10 2x = d) factor. 2 • 2 8x x − 2x (3x − 5)(x − 2) 2x 3x − 5 • = 2 8x x(x − 2) 4x 2 d)
Otros ejemplos donde se combinan diferentes métodos de factorización es el siguiente
258
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
División de fracciones algebraicas Podemos dividir fracciones algebraicas con el mismo procedimiento que utilizamos para dividir dos números racionales. Para dividir fracciones algebraicas, multiplicamos la primera expresión por el recíproco del divisor. EJEMPLOS. Dividir y simplificar. 1.
8n 5 3
÷
2n 2 9
= =
8n 5 3
•
9
Factorizamos e identificamos los factores comunes. Simplificamos
2n 2
72n 5 6n 2
= 12n 3
5.
Multiplicamos por el recíproco de divisor. Multiplicamos los numeradores y los denominadores. Simplificamos
2.
4
2
= =
2x + 8 x + 4 2x + 8 9 ÷ = • 3 9 3 x+4 (2x + 8)(9) = 3 (x + 4) =
4
(x + 2) (x + 2) x + 2 x + 2 ÷ ÷ = 3 2 34 22 (x + 2) 81 4
81
4
•
(x + 2)
4
(x + 2)
2
2
2
Elevando a potencia una fracción algebráica
2(x + 4)(9) 3 (x + 4)
=6 Simplificamos utiliando división de potencias
Multiplicamos por el recíproco del divisor. Multiplicamos Factorizamos y simplificamos.
3.
(x + 2)4 = (x + 2)4 − 2 (x + 2)2
x +1 x +1 x +1 x + 3 ÷ = • x + 2 x + 3 x + 2 x +1 (x + 1)(x + 3) = (x + 2)(x + 1) =
x+3 x+2
6)
Multiplicamos por el recíproco del divisor. Multiplicamos y simplificamos.
259
x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1) x 2 − 9 x2 + x ÷ = • x 2 + 5x + 6 x 2 + 9 x 2 + 5x + 6 x 2 − x =
x 2 ( x − 1) • ( x − 3) ( x + 3) ( x + 3) ( x + 2 ) x ( x − 1)
=
x ( x − 3) x+2
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
ACTIVIDAD 5 x2 + x 2x ÷ A. Hallar el resultado de x +1 x + 5 B. Hallar el resultado de
5x + 10 3x + 6 ÷ x2 − 1 x +1
C. Efectúe las siguientes divisiones y simplifique.
Operaciones combinadas con fracciones algebraicas A. Sin signos de agrupación 5u − 3 2 + u 4u − 5 − 2 + 2 Ejemplo 1. Resolver a 2u au au Solución
260
En esta expresión algebraica se tiene que los términos que la forman son fracciones “algebraicas” que se restan y se suman, ellas poseen el mismo denominador. Es claro que el resultado será una nueva fracción algebraica en donde el denominador será el mismo. (5u − 3) − (2 + u) + (4u − 5 5u − 3 − 2 − u + 4u − 5 = a 2u a 2u 8u − 10 = a 2u
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
IMPORTANTE En este tipo de operaciones cuando tiene que eliminar paréntesis que le antecede el signo + no produce cambios en sus términos, por ejemplo en (5u – 3), en cambio, el términos (2 + u) le antecede el signo – por eso colocamos – 2 – u; en realidad, aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma con el – 1. Por lo tanto 5u − 3 − 2 + u + 4u − 5 = 8u − 10 a 2u a 2u a 2u a 2u
Por lo tanto n n − 1 35n2 + n − 40 6n2 − 7 + − = n+2 3n + 6 6 6(n + 2)
2 Ejemplo 2. Resolver 6n − 7 + n − n − 1 n+2 3n + 6 6 Solución
En esta expresión algebraica se tiene que los términos que la forman son fracciones “alegebraicas” que se restan y se suman, ellas poseen un distinto denominador. Aquí debemos encontrar un mínimo común denominador (m.c.d) de (n + 2), (3n + 6) y 6 que es 6(n + 2).
Ejemplo 3. Resolver
Solución
En esta expresión algebraica se tiene que los términos que la forman son fracciones “algebraicas” que se restan y se suman, ellas poseen un distinto denominador. Aquí debemos encontrar un mínimo común denominador (m.c.d) de (x2 + x – 6), (x + 3) y (2x2 – 8); pero antes observe que (x2 + x – 6) = (x + 3)(x – 2). Con respecto de (x + 3) no hay nada que hacer. Por último, (2x2 – 8) = 2(x2 – 4) pero este es una diferencia de cuadrados, así que aplicamos el método de la factorización por diferencia de cuadrados; por esto se tiene (2x2 – 8) = 2(x2 – 4) = 2(x – 2)(x+ 2).
Así tenemos que el mínimo común divisor es:
Así:
Recuerde: Dividimos el mcd por cada denominador y luego el resultado lo multiplicamos por el numerador de cada uno.
4x 2 7x − 3 + − 2 x + x − 6 x + 3 2x − 8 2
(x2 + x – 6) (x + 3)(x – 2)
261
(x + 3) (x + 3)
m.c.d = 2(x + 3)(x – 2)(x + 2)
(2x2 – 8) 2(x – 2)(x + 2)
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B. Con signos de agrupación
2x 1 + Ejemplo 1: Resolver • 1− 1+ x 1− x 2 Solución
Entonces
1 x
Cuando resolvemos operaciones algebraicas con signos de agrupación, a saber, paréntesis redondos ( ), paréntesis cuadrados [ ] y paréntesis de llaves { }; se debe resolver cada paréntesis en orden de aparición. Aquí comen-
+ zamos con y luego con 1− x 1+ x 1− x 2 al final colocamos los resultados simplificados completamente.
Comencemos con
1
2x
1
. 2x 1 2x 1 + + = 2 1+ x 1− x 1+ x (1− x)(1+ x)
Factorizamos por la fórmula de diferencia de cuadrados 1 – x2 = (1 – x)(1 + x).
El mínimo común denominador es (1 – x)(1 + x). (1 − x)(1 + x) 1+ x
(1 − x) (1) 1
1+ x
+
2x
1− x2
(1 − x)(1 + x)
= (1 − x )
= = =
(1 − x)(1 + x)
=1
(1) ( 2x ) (1 − x) (1) + (1) ( 2x ) (1 − x)(1 + x) 1 − x + 2x
(1 − x)(1 + x) 1+ x
(1 − x)(1 + x) 2x 1 1+ x + = 2 1+ x 1− x (1− x)(1+ x)
Entonces se tiene que Por lo tanto, 2 7x − 3 5x − 2x − 7 4x + − 2 = x + x − 6 x + 3 2x − 8 2(x + 3)(x − 2)(x + 2) 2
2
Sigamos resolviendo 1− 1 , mínimo común x denominador es x por esto se tiene que 1−
262
1 x −1 = x x
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Entonces tenemos que 2x 1 + • 1− 1+ x 1− x 2
1 x
x −1 1+ x (1+ x ) ( x − 1) • = (1− x)(1+ x) x x(1− x)(1+ x)
x2 x Entonces tenemos que − y ÷ 1+ = y y x2 x (x − y)(x + y) y + x ÷ y − y ÷ 1+ y = y y
− 1(1+ x ) (1− x ) = x(1− x)(1+ x)
− 1 = x
1 2x 1 − 1 Por lo tanto + • 1− = 2 1+ x 1− x x x
=
(x − y)(x + y) y • y x+y
=
y (x − y)(x + y) y (x + y )
= (x – y ) Recuerde:
a c a d ÷ = • b d b c
x2 x Ejemplo 2: Resolver − y ÷ 1+ y y Solución
y+x=x+y
Cuando resolvemos operaciones algebraicas con signos de agrupación, a saber, paréntesis redondos ( ), paréntesis cuadrados [ ] y paréntesis de llaves { }; se debe resolver cada paréntesis en orden de aparición. Aquí x2
x2
Comcencemos con − y . Es claro que el y mínimo común denominador es “y”. Por esto x2 x2 − y 2 se tiene que − y = . Y como el nuy y merador es una diferencia de cuadrados se x 2 − y 2 (x − y)(x + y) = y y x Sigamos resolviendo 1+ , mínimo común y x2
tiene que − y = y
x
comenzamos con − y y luego con 1+ y y al final colocamos los resultados simplificados completamente.
Por lo tanto se tiene que x2 x y − y ÷ 1+ y = ( x − y )
3 1 Ejemplo 3: Resolver + 1 • 3x − x −1 x Solución
1
+ 1 y luego con Comenzaremos con x − 1 3 3x − al final colocamos los resultados
x
simplificados completamente.
1 + 1 . Es claro que el x − 1
Comencemos con
mínimo común denominador es “x – 1”.
denominador es “y” por esto se tiene que x y + x 1+ y = y
263
Por esto se tiene que x 1 1+ (1) ( x − 1) (1+ x − 1) + 1 = = = x −1 x −1 ( x − 1) x − 1
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3
B. Efecuar las siguientes operaciones.
)
x + 2 x2 − 9 x−2 a) 2 + 2 • = _____________ x − 4 x − x − 6 4x − 10
Sigamos resolviendo 3x − , mínimo común x denominador es “x” por esto se tiene que
(
2 3 3x 2 − 3 3 x − 1 3 ( x − 1) ( x + 1) = = 3x – = x x x x
b)
Entonces se tiene que 3 ( x − 1) ( x + 1) x 3 1 + 1 • 3x − = • x −1 x x x −1 =
x − 7 2x + 6 x + 3 x c) 2 • ÷ + = _____________ x − 9 x − 7 x + 7 5
3x(x – 1)(x + 1) x ( x − 1)
= 3(x + 1)
x−2 x+2 x2 − 9 + • = _____________ x 2 − 4 x 2 − x − 6 4x − 10
Por lo tanto se tiene que
TRABAJO INDIVIDUAL 1
3 1 + 1 • 3x − = 3(x + 1) x –1 x
ACTIVIDAD 6 A. En las expresiones siguientes, efectúe las operaciones indicadas y simplifique: 1)
1 1− x 2 + − = _____________ x x 2 + 2x x + 1
2)
x 3 − + 2 = _____________ 2x − x − 1 1− 2x + x 2
3)
1 3 2 + 2 − = _____________ x + 4x + 3 x − 1 x + 3
4)
2 3 1 − + 2 = _____________ 9x − 6x + 1 x + 1 3x + 2x − 1
1. Los siguientes ejercicios corresponden a multiplicaciones y divisiones de expresiones fraccionarias. En ellos se sugiere factorizar, simplificar y finalmente, efectuar la operación indicada.
2
2
2
264
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2. Para resolver ejercicios de suma o resta de expresiones fraccionarias es necesario saber determinar el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas. En cada uno de los tríos de números o de expresiones algebraicas se pide determinar el MCM correspondiente.
3. Los siguientes ejercicios corresponden a sumas o restas de expresiones fraccionarias. Determinar en cada uno el MCM de sus denominadores y efectuar la(s) operación(es) correspondiente(s).
1) 28, 49, 21 2) 4a3b2, 6a2b4, 8ab3 3) a2 – b2, a2 – 2ab + b2, 2a + 2b 4) x2 – 25, x2 – 2x – 35, x2 – 14x + 49 5) a – b, ab – b2, a2b – b2
265
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Y NUMERADORES Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores. Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente. Se pueden dar varios casos: Racionalización de un monomio A. Cuando el denominador es un términos radical de índice 2 y no tiene coeficiente, se multiplica el numerador y el denominador por el radical del denominador.
b
=
a b
b• b
=
a b = 2 b b
2 2
3
=
=
6
2 2
3
•
•
2
2 3
3
=
=
6• 2
2• 2 2• 3 3• 3
=
=
6 2 4
=
3
=1
B. Cuando el denominador es un término radical de índice 2 que tiene coeficiente racional, se procede de la manera siguiente: se multiplica el numerador y el denominador por el radical sin tomar en cuenta el coeficiente.
Este caso corresponde a los radicales de la a forma , aquí para racionalizar multiplic b camos numerador y denominador por b ; el cociente se deja igual. a
c b
=
a b
c b b
=
a b c b
2
=
a b a b = cb b•c
Racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones.
1. Racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones:
b)
2
3
= 1 ;
EJEMPLOS:
a b
EJEMPLOS
6
Observe que en ambos, utilizamos el hecho de que la división de un número por si mismos es 1. 2
Este caso corresponde a los radicales de la a forma , aquí para racionalizar multiplicamos b numerador y denominador por b , así: a
a)
a)
5 2
=
3
5 2
•
2
2
=
3• 2
5 2• 2
multiplicamos por 1=
6 2 =3 2 2
6 = 3 9
3
b)
6
266
5x
a x
=
5x
a x
Observe
•
x
x
=
=
6 6 = 5 • 2 10
=
5x x 5 x = ax a
2
2
5x • x
a x• x
x • x = x 2 = x;
5x 5 = ax a
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
c) Determine una expresión equivalente a
a
2 . 18
Solución:
Como 18 = 2 • 32 multiplicamos ambos términos; el numerador y el denominador por 2 para que el exponente del 2 se haga par, esto es 22.
Así pues, tenemos que: 2
18
=
2 2 2 • 32 • 2
=
2 2 2 2 • 32
=
bm
n
2 2 2 1 = = 2 3 2•3 3
ACTIVIDAD 1 Racionalizar el denominador.
=
a n
•
bm
n
bn− m
n
bn− m
=
a n bn− m n
bn
=
a n bn− m b
Observe:
Ejemplos:
Racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones. 2
a)
3
2
Solución:
Se multiplican ambos términos de la fracción por
b)
3
22 y se efectúan las operaciones:
2
3 3 Solución:
Se multiplican ambos términos de la fracción
3
por 2
33 3 c)
3
=
32 y tenemos: 2 • 3 32
3 3 3 • 3 32
=
23 9 3 3 33
=
23 9 23 9 2 3 = = 9 9 3• 3 9
3
4 • 5 x2
Solución: 3
4 • 5 x2
=
Racionalización de monomios con índices mayores que 2
=
Cuando el denominador es un radical de a índice tres o más, esto es, la forma n m , con b m < n, para racionalizar multiplicamos numerador
=
y denominador por n bn− m , si hubiera coeficientes, se deja igual.
267
3
4 • 5 x2 3
4 • 5 x2 3 5 x3
4• x 5
=
3 5 x3 4• x
=
3 5 x3 4x
5
•1 •
5 5
1= x3
5 5
x3 x3
x3 5
x2 • 5 x 3 = 5 x5 = x
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA d)
4
ACTIVIDAD 2
Solución:
Racionalizar el denominador de:
3• 5 2 3 x 2 y 6
4
3• 5 2 3 x 2 y 6
= = = =
3• 5 2 3 x 2 y 6 4
3• 5 2 3 x 2 y 6
•1 •
5 5
1=
5 5
22 x 3 y 4 2 xy 2
3
1.
4
22 x 3 y 4
2.
22 x 3 y 4
4 5 22 x 3 y 4 3• 2xy 2 4 5 4x 3 y 4 3• 2xy 2
2 5 4x 3 y 4 = 3xy 2
5
2 3 x 2 y 6 • 5 22 x 3 y 4 = 5 25 x 5 y10 = 2xy 2
7y
e)
4
3
432y10
5
2 4 3
3 = _________ 5 10 3
3.
3
4.
3
5.
3
6.
3
3
432y10
= = =
432 144 48 16 8 4 2 1
3 3 3 2 2 2 2
432 = 24 • 33
=
7y
3
432y10 7y
3
2 4 33 y10
1=
•1 •
3 3
3 3
22 y 2
7.
22 y 2
22 y 2 22 y 2
3
2 4+2 33 y10+2
7y 3 4y 2 12y 4
3
2 4 33 y10 • 3 w2 y 2 = 3 2 4+2 33 y10+2 =
3
26 33 y12 = 22 • 3y 4 = 12y 4
268
3
3 = _________ 6
4 = _________ 16 7 = _________ 11
2 = _________ 4
8.
3
9.
3
10.
3
11.
3
7y 3 22 y 2
3 = _________ 3
7 = _________ 5
Solución: 7y
= _________
1 = _________ 2
5 = _________ 2
9 = _________ 9
12.
1 = _________ 2 3
13.
1 = _________ xy
3
11.
9 = _________ 9
3
RELACIONES Y ÁLGEBRA
1 12. 3 = _________ 2 3 13.
1 = _________ xy
14.
2 = _________ 3 8x
15.
16.
3
4
32x 5 y 2 2
7
24x 3 y15
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Estimado estudiante: El tema de los productos notables se estudió en el libro de Matemática Ujarrás 2016 en la semana decimocuarta.
= _________
En efecto, para transformar una expresión algebraica con uno o dos términos irracionales en el denominador, por su equivalente en expresiones algebraicas de dos términos racionales, amplificamos cada una de las expresiones por el conjugado del denominador.
Por ejemplo:
El conjugado de
El conjugado de 2 − 3 es 2 + 3
El conjugado de
= _________
Racionalización de un binomio Cuando el denominador es una expresión algebraica de dos términos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador de la expresión.
3 + 2 es 3 − 2 2 + 5 es 2 − 5
Siempre que tenemos un binomio de la forma a + b (a y b son números reales) decimos que su conjugado es a – b.
En este último caso, corresponde a los radicales a a de la forma o con {a, b, c} ⊂ ℝ, b+ c b+c b > 0, c > 0, para racionalizar multiplicamos nume-
rador y denominador por la expresión conjugada del denominador así: a
b+ c
=
a( b − c)
=
a( b − c)
( b + c)( b − c) ( b) − ( c) 2
2
=
a( b − c) b−c
Ahora bien,
Ejemplos: Racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones. a)
5
a)
3+ 2 =
5
3+ 2
b)
Para racionalizar este tipo de expresiones radicales nos valdremos de la fórmula notable (a – b) (a + b) = a2 – b2.
269 c)
5
3−2
2− 7
=
( 3 − 2)
5( 3 − 2 ) 1
•
(2 + 7 )
(2 − 7 ) (2 + 7 )
4−7
2( 5 − 2)
=
3
3(2 + 7 )
3
•
( 3 + 2) ( 3 − 2)
5( 3 − 2 )
3
=
=
=
=
3 (2 + 7 ) − 3
5( 3 − 2 ) ( 3 )2 – ( 2 )2
=5 3−5 2
=
3(2 + 7 ) 2 2 − ( 7 )2
= −(2 + 7 ) = −2 − 7
3( 5 + 2) 2( 5 − 2)( 5 + 2) 3( 5 + 2)
=
3
b)
2− 7 =
=
(2 + 7 )
(2 − 7 ) (2 + 7 )
= 4 −Matemática 7 − 3
=
= binomio
conjugado 5 +2
)
=
3(2 + 7 ) 2 2 − ( 7 )2
RELACIONES Y ÁLGEBRA 3 (2 + 7 )
2( 5 − 2)
(
•
3(2 + 7 )
3
c)
3
=
= =
= −(2 + 7 ) = −2 − 7
- EL MAESTRO EN CASA
3( 5 + 2)
f)
2( 5 − 2)( 5 + 2) 3( 5 + 2) 2
(
=
2
2 ( 5 ) − (2) 3( 5 + 2)
(
)
( x − 1) 3 2 + x + 1 x −1 = 3 2 − x +1 3 2 − x +1 3 2 + x +1
=
( x − 1) ( 3
)(
)
2 + x +1
( 3 2 ) − ( x + 1) ( x − ) ( 3 2 + x + 1) 2
2
3( 5 + 2)
=
(9 • 2 ) − ( x + 1) ( x − 1) ( 3 2 + x + 1)
3( 5 + 2)
=
( x − 1) ( 3
2(5 – 4) 2 •1
22
)
18 − x − 1
)
2 + x +1
17 − x
TRABAJO INDIVIDUAL 1 1. Racionalice el denominador.
2. Racionalice el denominador en cada expresión.
270
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3. Racionalice y simplifique
4. Determine el binomio conjugado en cada uno de los siguientes casos.
a) 3 + x
______________
b) 5 x + 2 − x
______________
c) 3 2 − x + 1
______________
5. Racionalice.
a)
1 = _____________ 3
b)
8 = _____________ 3
c)
3 = _____________ 5
d)
x = _____________ y
6. Racionalice el denominador. a)
b)
c)
d)
271
2
3 3 3 6
6 2
5 2 3 5
3 15
5 32
= _____________
= _____________
= _____________
= _____________
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 7. Racionalice y simplifique el resultado.
Ejemplos Racionalice el numerador de las expresiones siguientes, simplificando los resultados en caso de ser posible. 1.
(
3+x − 3 = x 3+x = 3
3+x − 3 •1 x
)(
3+x + 3
( 3 + x + 3) ( 3 + x ) − ( 3) = x( 3 + x + 3) x
2
x x
2.
(
( (
2
3 +x−3
3+x + 3 1
3+x + 3
) )
2+x + 2 = x 2+x + 2
=
)(
2+x + 2 • 1 x
2+x − 2
( 2 + x − 2) ( 2 + x) − ( 2) = x( 2 + x − 2 ) x
2
0 Se podrá racionalizar el numerador, así como el denominador de una fracción.
x x
( (
2+x−2
2+x − 2 x
2+x − 2
1 2+x − 2
272
)=
2
)
=
)
=
)=
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
x + 1− 2 = x−3
3.
(
x + 1− 2
(
( x − 3) (
x + 1− 2 •1 x−3
)(
x + 1+ 2
x + 1+ 2
)
2
x + 1 − (2)
( x − 3) (
2
)
=
)
=
)
=
x + 1+ 2
x + 1− 4
( x − 3) (
x + 1− 1
( x − 3) (
x + 1+ 2
x−3
1 x + 1+ 2
x + 1+ 1 = x
4.
( (
(
)(
)
x + 1− 1
)
x + 1 − (1)
x
x + 1− 1
(
x + 1− 1
x
((
1
2)
)=
2
(
x + 1− 1
1)
x + 1− 1
2
x
Racionalice el numerador de las expresiones siguientes, simplificando los resultados en caso de ser posible.
)
=
=
)
))
x + 1− 1
273
x+2 − 2 = _____________ x
4− x = _____________ x − 16
3)
8+x − 8 = _____________ x
4)
x+2 −5 = _____________ x − 23
x + 1+ 1 •1 x
x + 1+ 1 x
)
)=
TRABAJO INDIVIDUAL 2
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
ECUACIONES CUADRÁTICAS En este tema empezamos a trabajar con expresiones matemáticas en las que figuran, no sólo números, sino también letras ligadas con el signo de igualdad. En las ecuaciones, las letras designan incógnitas: cantidades desconocidas, cuyo valor estamos buscando. En esta unidad vamos a resolver ecuaciones de segundo con una incógnita o bien, ecuaciones cuadráticas; las cuales son de la forma
ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 Consideraremos varios métodos para su factorización y su posterior solución entre ellos tenemos: el factor común, por agrupamiento, por fórmula notable, por diferencia de cuadrados, método de inspección y la fórmula general entre otros. También resolveremos problemas prácticos cotidianos que se pueden resolver con este tipo de ecuaciones. − b ± b2 − 4ac 2a
Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado La expresión ax2 + bx + c = 0, donde a,b,y c son números reales cualesquiera y a≠ 0, se llama ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. Las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas, como otros logros matemáticos, aparecen alrededor del año 2000 antes de Cristo, en las tablillas aritméticas de los babilonios y en los papiros egipcios del año 1650 antes de Cristo.
Los babilonios de modo sorprendente resolvían estas ecuaciones completando cuadrados y con el uso de ciertas fórmulas generales. Los egipcios, por su parte, las resolvían usando un procedimiento muy engorroso, conocido como método de falsa posición. En el siglo VI antes de Cristo, la escuela de Pitágoras aplicaba para la resolución de estas ecuaciones, el afamado método griego del Álgebra geométrica y para ello aplicaban el cálculo de áreas. Dos siglos más tarde los discípulos del filósofo Platón (424–347 antes de Cristo) resolvían las ecuaciones cuadráticas utilizando proporciones. Los hindues y en particular Bhaskara (1114 – 1185 d.C.) utilizaron para resolver las ecuaciones cuadráticas nuevamente el método de completar el cuadrado. Como podemos apreciar, muchos son los metódos que se han utilizado para resolver dichas ecuaciones. Nosotros resolveremos este tipo de ecuaciones utilizando primeramente los métodos de factorización ya estudiados y posteriormente la fórmula general de resolución de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0. − b ± b2 − 4ac 2a Pero antes recordemos estos conceptos que se encuentran en el libro de Matemática Ujarrás 2016, en la Semana Décimoquinta, titulada Ecuaciones. Las ecuaciones y las fórmulas pueden estar compuestas ya sea de proposiciones verbales o bien, de proposiciones numéricas.
274
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
La solución de una ecuación es el número que hace que la igualdad sea cierta al sustituir la letra por dicho número
aún, si el producto es 0, al menos uno de los factores debe ser 0. En general, podemos establecer el siguiente principio:
Por ejemplo:
Para cualquier par de números reales a y b, si ab = 0, entonces a = 0 ó b = 0, y si a = 0 ó b = 0 entonces ab = 0.
El valor x = 2 hace que la igualdad x2 + 3x – 10 = 0 sea cierta para dicho número. 1 g (2)2 + 3(2) – 10 = 0 1 g (4) + 3(2) – 10 = 0 4 + 6 – 10 = 0 10 – 10 = 0 0 = 0
Esto es, a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
Conjunto solución Se llama conjunto solución a todos los números que satisfacen la igualdad en una ecuación. Es el conjunto de todas las raíces o resultados de la ecuación. Para comprobar si un número es solución de una ecuación, se sustituye la letra por el número y se hacen las operaciones, si queda el mismo resultado a la derecha y a la izquierda del igual el número es la solución.
Este principio matemático nos permite establecer que si tenemos una ecuación con 0 en un lado y una factorización en el otro, la podemos resolver encontrando los valores que hacen 0 a los factores. EJEMPLO 1
Resolvamos la ecuación cuadrática (5x + 1)( x – 7) = 0 Solución (5x + 1)(x − 7) = 0 5x + 1= 0 ó x − 7 = 0 5x = −1
ó x = 7
−1 5
ó x = 7
x=
Ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado o cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica ax2 + bx + c = 0, donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de cero, b es el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente. Solución de ecuaciones de segundo grado por factorización Como ya sabemos, el producto de dos o más números es 0 si alguno de los factores es 0. Más
275
Verificación x =
−1 5
Aplicamos el principio a•b=0↔a=0 ó b=0 Resolvemos cada factor. x=7
(5x + 1)(x − 7) = 0
(5x + 1)(x − 7) = 0
−1 −1 5/ • 5/ + 1 5 − 7 = 0
( 5 • 7 + 1) ( 7 − 7 ) =
−1 ( −1+ 1) 5 − 7 = 0
( 35 + 1) ( 0 ) = 0
(0 ) • 0=0
−1− 35 = 0 5
( 36 • 0 ) = 0 0=0
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA x=7
Por lo tanto, las coluciones de la ecuación 9 x(2x – 9) = 0 son x = 0 y x = y el conjunto 2 9 solución es 0, 2
Toda ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0) se denomina ecuación de segundo grado o cuadrática. Los anteriores ejemplos, también representan ecuaciones cuadráticas.
(5x + 1)(x − 7) = 0
( 5 • 7 + 1) ( 7 − 7 ) = 0
( 35 + 1) ( 0 ) = 0 (36 • 0) = 0 0=0
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son −1 −1 x= y x = 7 y el conjunto solución es , 7 5 5
(5x + 1)(x – 7) = 0 ↔ 5x2 – 34x – 7 = 0 donde a = 5, b = – 34, c = – 7 x(2x –9) = 0 ↔ 2x2 – 9x + 0 = 0 donde a = 2, b = – 9 , c = 0.
EJEMPLO 2 Resolvamos la ecuación x (2x – 9) = 0 Solución x(2x − 9) = 0
EJEMPLO 3
x=0
ó
2x − 9 = 0
x=0
ó
2x = 9
x=0
ó
x=
9 2
Resolvamos la ecuación x2 + 5x = – 6 Solución
La expresión comprende a la forma factorizada de la ecuación cuadrática: 2x2 – 9x = 0
x2 + 5x + 6 = 0
Aplicamos el principio
(x + 3)(x + 2) = 0
a•b=0↔a=0 ó b=0
x + 3 = 0 ó x + 2 = 0
Resolvemos cada factor
x = – 3 ó x = – 2 Es una ecuación cuadrática donde a = 1, b = 5, c = 6
Aplicamos el principio: a•b=0↔a=0 ó b=0 y resolvemos cada factor. Verificación: con 0 x(2x − 9) = 0 0(2 • 0 − 9) = 0 0 • (0 − 9) = 0 0 • − 9 = 0 0=0
Verificación con
El trinomio x2 + 5x + 6 = 0, lo factorizamos por el método de inspección.
9 2
9 9 • ( 2/ • − 9) = 0 2 2/ 9 • (9 − 9) = 0 2 9 • 0=0 2 0=0
Verificación: con – 3
Verificación con – 2
(x + 3)(x + 2) = 0
(x + 3)(x + 2) = 0
(– 3 + 3)(– 3 + 2) = 0
(– 2 + 3)(– 2 + 2) = 0
(– 3 + 3)(– 3 + 2) = 0
(– 2 + 3)(– 2 + 2) = 0
0 g – 1 = 0
1g0=0
0 = 0
0=0
Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación es {– 3, – 2}.
276
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
EJEMPLO 4
x = 0 ó x – 5 = 0 x = 0 ó x = 5
Resolvamos la ecuación x2 – 8x + 16 = 0 Solución
Ordenamos la ecuación del trinomio ax2 + bx = 0, observe que el término c en este caso es c = 0.
x2 – 8x + 16 = 0
Factorizamos por el método de factor común.
(x – 4)(x – 4) = 0
Aplicamos el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
x – 4 = 0 ó x – 4 = 0
Resolvemos cada factor.
x = 4 x = 4
Verificamos estos resultados.
Es una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática donde a = 1, b = – 8, c = 16 coeficientes de ax2 + bx +c = 0
Verificación: con 0
Se factoriza por el método de factorización por fórmula notable: (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a – 2ab + b 2
2
Aplicamos el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
x2 = 5x
x2 = 5x
x(x – 5) = 0
x(x – 5) = 0
0 ( 0 – 5) = 0
5 (5 – 5) = 0
0 g – 5 = 0
5 g 0 = 0
0 = 0
0 = 0
Por lo tanto el conjunto solución es el conjunto {0,5}
Comprobación Verificación: con x = 4
EJEMPLO 6
x2 – 8x + 16 = 0
Resolvamos la ecuación cuadrática 4x2 = 25
(x – 4)(x – 4) = 0
4x2 = 25
(4 – 4)(4 – 4) = 0
4x2 – 25 = 0
0 g 0 = 0
(2x + 5)(2x – 5) = 0
0 = 0
Verificación: con 5
Por lo tanto la única solución es 4, esto es, el conjunto solución es {4}.
EJEMPLO 5
2x + 5 = 0 ó 2x – 5 = 0 2x = – 5 ó 2x = 5 x=
5 −5 ó x= 2 2
Se ordena el trinomio de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, observe el término bx es cero.
Resolvamos la ecuación x = 5x 2
Solución
Se factoriza por el método de la diferencia de cuadrados a2 – b2 = (a + b)(a – b)
x2 = 5x
Aplicamos el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
x – 5x = 0 2
Resolvemos cada factor.
x(x – 5) = 0
277
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Verificación
− 2 3 − 2 , 6 Por lo tanto el conjunto solución es 3 Luego: x = 6 y x =
Ejemplo 8 Resolvamos la ecuación cuadrática dada por 2 1 5 x − x − 1 = 0 3 5 2 Solución
− 5 5 Por lo tanto, el conjunto solución , 2 2 Ejemplo 7 Resolvamos la ecuación cuadrática dada por 1 1 3 x − 3 x + = 0 2 4 2
Solución 1 3 x − 3 x + 2 4
1 =0 2
1 x − 3 = 0 2
1 3 x + = 0 2 4
1 x−3=0 2 1 x=3 2
3 1 x+ =0 4 2 3 − 1 x= 4 2 − 1 x= 2 3 4 − 4 x= 6 − 2 x= 3
3 1 2 6 x= 1 x=
x=6
Aplicando el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0 Resolvemos cada factor. Luego x =
6 y x = 2 25
6 Por lo tanto el conjunto solución es , 2 25 Ejemplo 9 Resolvamos la ecuación de segundo grado 6x2 + 19x + 10 = 0
Aplicando el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0
Solución:
Resolvemos cada factor como una ecuación de primer grado.
6x2 + 19x + 10 = 0 Como 6 • 10 = 60
278
RELACIONES Y ÁLGEBRA
6x 2 + 19x + 10 = 0
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Como 6 • 10 = 60 15 • 4 = 60
ACTIVIDAD 1
15 + 4 = 19 Es una ecuación de segundo grado donde a = 6, b = 19, c = 10, coeficientes de ax2 + bx + c = 0
A) Resolver las ecuaciones siguientes:
Utilizamos el método de inspección con ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 1.
1.
(x + 8)(x + 6) = 0
2.
(a – 3)(a + 5) = 0
3.
(x + 12)(x – 11) = 0
4.
x(x + 5) = 0
5.
y(y – 13) = 0
6.
0 = y(y + 10)
7.
(7x – 28)(28x – 7) = 0
8.
2x( 3x – 2) = 0
6x 2 + (15 + 4 ) x + 10 = 0
(6x
2
)
+ 15x + ( 4x + 10 ) = 0
3x ( 2x + 5 ) + 2 ( 2x + 5 ) = 0
(2x + 5 ) ( 3x + 2 ) = 0 (2x + 5 ) = 0
( 3x + 2 ) = 0
2x + 5 = 0
3x + 2 = 0
2x = − 5
3x = − 2
x=
− 5 2
x=
− 2 3
Utilizamos el método de agrupamiento para encontrar la factorización final. Aplicando el principio a • b = 0 ↔ a = 0 ó b = 0 Resolvemos cada factor como una ecuación de primer grado.
x=
− 5 2
− 5 − 2 La solución son los valores x = yy x= 3 2 − 2 y x= 3 Por lo tanto el conjunto solución es − 5 , −2 3 2
279
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA B) Determine el conjunto solución de las ecuaciones siguientes: 1.
x2 + 6x + 5 = 0
2.
x2 + 7x + 6 = 0
3.
x2 + 7x – 18 = 0
4.
x2 + 4x – 21 = 0
5.
b2 – 8b + 15 = 0
6.
x2 – 9x + 14 = 0
7.
16x – 60x = x2
8. u2 = 182 – u 9.
20. 2x2 – 50 = 0 21. 9x2 –16 = 0 22. x2 – 36 = 0. 23. 4x2 + 4x + 1 = 0 24. 9x2 – 12x + 4 = 0 25. 9x2 – 6x + 1 = 0 26. 4x2 + 20x + 25 = 0 27. 9x2 + 24x + 16 = 0 28. 16x2 – 24x + 9 = 0
9x – 5x2 = 0
10. X – 3x2 = 0 11. 5x2 = – 45 12. 12y2 + 12y = –10 13. 12y2 – 5y = 2 14. 5x2 – 2x – 3 = 0
Fórmula general de resolución de la ecuación de segundo grado Ya conocemos cómo resolver una ecuación de segundo grado aplicando la descomposición de factores; pero hay ecuaciones cuadráticas donde este procedimiento no es de fácil aplicación. Por esta razón en esta parte vamos a aprender a resolver ecuaciones de segundo grado ax2 + bx + c = 0, utilizando la fórmula general.
15. 10x2 + 7x – 26 = 0
− b ± b2 − 4ac 2a
16. 20 – 4y = 3y2 17. – 9x2 + x = 0 18. – x2 + 6x = 0 19. x2 – 49 = 0
Solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita En la resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita, de la forma ax2 + bx + c = 0, en donde a,b y c son números reales, los cuales
280
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
juegan un papel muy importante la expresión: b2 – 4ac, la cual recibe el nombre de discriminante.
x1 =
Discriminante Se llama «discriminante» de la ecuación ax2 + bx + c = 0 a la expresión ∆ = b2 – 4ac A. Consideremos cuando el discriminante es mayor que cero.
x2 =
D = b2 – 4ac > 0
Si el discriminante es un número real mayor que cero (positivo), D > 0, entonces ∆ es un número real positivo y el conjunto solución de la ecuación tiene dos elementos, esto es −b + D − b − D S= , 2a 2a
− b − D 7 − 25 = 2a 6 7−5 = 6 2 = 6 1 = 3
EJEMPLO 2:
Resolver la ecuación 3x2 – 7x + 2 = 0
Resolver la ecuación 2x2 – 5x + 1 = 0
Solución Puesto que a = 3, b = – 7 y c = 2, podemos hallar el discriminante con la expresión ∆ = b2 – 4ac.
Solución
Veamos:
Puesto que a = 2, b = – 5 y c = 1 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac. Veamos:
D = b − 4ac 2
D = b2 – 4ac
= (− 7)2 − 4(3)(2) = 49 − 24 = 25 D > 0
25
1 El conjunto solución de la ecuación es , 2 3
EJEMPLO 1:
− b + D − 7 + = 2a 6 7+5 = 6 12 = 6 =2
Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación posee dos soluciones:
= (– 5)2 – 4(2)(1)
= 25 – 8
= 17
D > 0
281
Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación posee dos soluciones
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Solución
− b + D 5 + 17 x1 = = 2a 4 x2 =
Como x ( x + 5) – 3 = 2x ( x – 6)
− b − D 5 − 17 = 2a 4
x2 + 5x – 3 = 2x2 – 12x x2 – 2x2 + 5x + 12x – 3 = 0
Por lo tanto, el conjunto solución es
–x2 + 17x – 3 = 0
5 + 17 5 − 17 , 4 4
x2 – 17x + 3 = 0 Resolvemos esta operación hasta obtener una ecuación de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0
EJEMPLO 3: Resolver la ecuación x2 + x = 0
En orden del grado trasladamos los términos al lado izquierdo y reducimos.
Solución
Puesto que a = 1, b = 1 y c = 0 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.
Veamos:
D = b2 – 4ac
= (1)2 – 4(1)(0)
= 1 – 0
=1
D > 0
Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación posee dos soluciones
La ecuación se multiplica por (– 1) para quitar el signo menos del término de segundo grado
���������������������������������������� Puesto que a = 1, b = –17 y c = 3 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac. Veamos: D = b2 – 4ac
x1 =
− b + D − 1+ 1 − 1+ 1 0 = = = =0 2 2 2a 2 •1
x2 =
− b − D − 1− 1 − 1− 1 − 2 = = = = − 1 2a 2 •1 2 2
= (–17)2 – 4(1)(3)
= 289 – 12
= 277
D > 0
Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación posee dos soluciones x1 = x2 =
Por lo tanto, el conjunto solución es {– 1, 0}
EJEMPLO 4: Resolver la ecuación x ( x + 5) – 3 = 2x ( x – 6)
282
− b + D − ( − 17 ) + 277 17 + 277 = = 2a 2 •1 2
− b − D − ( − 17 ) − 277 17 − 277 = = 2a 2 •1 2
Observe que 277 no es una raíz exacta, 277 = 16,64331699…
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Por esto se tiene que el conjunto solución de la ecuación
B. Consideremos cuando el discriminante es igual a cero.
17 − 277 17 + 277 x(x + 5) − 3 = 2x(x − 6) es , 2 2
D = b2 – 4ac = 0
Si el discriminante es igual a cero, D = 0, entonces ∆ es también igual a cero y el conjunto solución de la ecuación es unitario, es − b decir, tiene un único elemento que es , esto es 2a − b S= 2a
EJEMPLO 5: Resolver la ecuación 5x ( x + 2) = 2x ( x + 1)
Solución:
Como 5x ( x + 2) = 2x ( x + 1)
EJEMPLO 1:
5x2 + 10x = 2x2 + 2x
5x2 – 2x2 + 10x – 2x = 0
Solución
3x + 8x = 0
Puesto que a = 4, b = –20 y c = 25 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.
Veamos: D = b2 – 4ac
= (–20)2 – 4(4)(25)
= 400 – 400
= 0
El discriminante D = 0, luego la solución viene dada por la expresión
2
Puesto que a = 3, b = 8 y c = 0 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.
Veamos:
D = b2 – 4ac
= (8)2 – 4(3)(0)
= 64 – 0
= 64
D > 0
Como el discriminante es mayor que cero, la ecuación posee dos soluciones x1 =
Resolver la ecuación 4x2 – 20x + 25 = 0
− b + D − ( 8 ) + 64 − 8 + 8 0 = = = =0 6 6 2a 2•3
− b 20 20 5 = = = 2a 2(4) 8 2 5 El conjunto solución es . 2
− b − D − ( 8 ) − 64 − 8 − 8 − 16 − 8 x2 = = = = = 6 6 3 2a 2•3
EJEMPLO 2:
Resolver la ecuación 6x – x2 – 9 = 0
Por esto se tiene que el conjunto solución de la ecuación es − 8 ,0 3
Solución
Ordenamos y cambiamos signos multiplicando por –1 a ambos lados.
283
x2 – 6x + 9 = 0
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Puesto que a = 1, b = – 6 y c = 9, podemos hallar el discriminante con la expresión ∆ = b2 – 4ac.
Veamos: D = b2 – 4ac
= (– 6)2 – 4(1)(9)
= 36 – 36
= 0
El discriminante D = 0, también la solución la podemos hallar con x1 =
− b + D − b + D = 2a 2a
6+ 0 2 •1 6+0 = 2 6 = 2 =3 x2 =
= (12)2 – 4(9)(4)
= 144 – 144
= 0
La solución de esta ecuación se obtiene con la expresión − b x= 2a
− b − 12 − 12 − 4 − 2 S= = = = = 2a 2 • 9 18 6 3 Por lo tanto, la solución de la ecuación 9x2 + − 2 12x + 4 = 0 es el conjunto 3
Importante: Los resultados se tienen que factorizar al máximo, esto es, has su forma canónica. EJEMPLO 4:
6− 0 = 2 •1 6−0 = 2 6 = 2 =3
− b − D − b − D = 2a 2a
Veamos: D = b2 – 4ac
=
Resuelva la ecuación cuadrática x – x2 = 1 – x. Solución x – x2 = 1 – x x – x2 – 1 + x = 0 –x2 + x + x – 1 = 0 –x2 + 2x – 1 = 0
Esto quiere decir que el conjunto de soluciones reales de la ecuación es el conjunto unitario {3}
x2 – 2x + 1 = 0
multiplicamos por (–1) ambos lados del igual
Como a = 1, b = –2, c = 1 y el discriminante es ∆ = b2 – 4ac.
EJEMPLO 3:
Resolver la ecuación 9x2 + 12x + 4 = 0
Solución
Puesto que a = 9, b = 12 y c = 4, podemos hallar el discriminante con la expresión ∆ = b2 – 4ac.
∆ = b2 – 4ac
284
∆ = (– 2)2 – 4(1)(1) ∆=4–4 ∆ = 0
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Puesto que el ∆ = 0, podemos encontrar la solución de esta ecuación con la expresión; la cual es única x =
− b 2a
Por lo tanto, la solución de x – x2 = 1 – x. es el conjunto { 1 }.
C. Consideremos cuando el discriminante es menor que cero. D = b2 – 4ac < 0
Si el discriminante es un número menor que cero (negativo), D < 0, entonces ∆ carece de sentido en el conjunto ℝ ya que, como sabemos, en ℝ no existen las raíces cuadradas de los números negativos.
EJEMPLO 2:
Solución
Puesto que a = 1, b = –1 y c = 1 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.
Observe:
D = b2 – 4ac
D = (– 1)2 – 4(1)(1)
D = 1 – 4
D=–3
Entonces el discriminante es negativo, D < 0, por lo tanto el conjunto solución de
Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación, en este caso, es vacío, es decir, no tiene ningún elemento y por ello decimos que: S = f
x2 – x + 1 = 0 es f, es decir, S = { } ó S = ∅
RESUMIENDO:
EJEMPLO 1:
Determinar el conjunto solución de la ecuación x2 – x + 1 = 0
Determinar el conjunto solución de la ecuación 2x2 + x + 8 = 0
Solución
Para una ecuación de segundo grado con una incógnita ax2 + bx + c = 0 con discriminante igual D, se tiene:
Puesto que a = 2, b = 1 y c = 8 podemos hallar el discriminante con la expresión D = b2 – 4ac.
I. D > 0, tiene dos soluciones reales distintas
Observe:
D = b2 – 4ac
D = (1)2 – 4(2)(8)
D = 1 – 64
D = – 63
− b − D − b + D S= , 2a 2a
− b II. D = 0, tiene una solución real S = 2a
Entonces el discriminante es negativo, D < 0, por lo tanto el conjunto solución de 2x2 + x + 8 = 0 es S= ∅ que es lo mismo que S = { }.
285
III. D < 0, ninguna solución real S = f
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
16) x2 = –15x – 56
ACTIVIDAD 2 Utilizando la fórmula general, determine el conjunto de soluciones reales de cada una de las siguientes ecuaciones:
17) 15x = 24x2 + 2
1) 6x2 + x = 2
19) –9x2 + 17x + 2 = 0
2) x2 – 4 – 3(x – 2)2 = 0
20) x2 = –15x – 56
3) 3x2 + 8x – 35 = 0 4) 4x(x –20) + 5 = 0 5) 3x2 + 8x + 3 = 0 6) 8x2 + x = 0 7) (x + 4)(x – 4) = 8(x – 2) 8) 5x(x – 2) + 6 = 0 9) 123x2 = 0 10) 2x2 – 8 = 0 11) 8x2 = 24x + 2
18) x + 11 = 10x2
21) 3x2 + 8x + 3 = 0 22) 3x2 + 8x – 35 = 0 23) –v2 – v = –1 2 24) 3m = 2m −
25)
9 8
2 2 x − 8x + 3 3
26) u2 + u + 1 = 0 27) 2(3m – 1)2 + ( 3m – 1) = 1 28) 4x ( x – 20) + 5 = 0 29) (x + 4)(x – 4) = 8(x – 2)
12) 3x2 +12 = 0 13) x + x + 16 = 0
30) 5x ( x – 2) + 6 = 0
2
14) –3x2 – x + 4 = 0 15) x = 16x – 63 2
31) – 3x2 – x + 4 32) 3y2 + 4y = y + 5
286
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Aplicaciones de las ecuaciones de segundo grado a la solución de problemas
Problema 1
En la misma forma a lo ya estudiado para el caso de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, existen muchos problemas cuya solución requiere del uso de ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Sin embargo, en el caso de los problemas que se resuelven mediante ecuaciones de segundo grado con una incógnita, dado que el conjunto de soluciones reales en éstas tienen, a lo sumo, dos elementos; resulta que, en muchos casos es preciso descartar uno de esos elementos (¡y a veces ambos!) como respuesta al problema planteado. Ahora bien, ¿cómo saber cuál de los elementos del conjunto de soluciones reales debe ser descartado como respuesta?, tal cosa se hace con base en el enunciado mismo del problema, así por ejemplo, si el problema nos pregunta por el número de personas presentes en una sala de cine y uno de los elementos del conjunto de soluciones 2 de la correspondiente ecuación es , entonces, 3 naturalmente debe ser descartado como respuesta pues no puede haber tal número de personas en una sala de cine. De igual forma si se nos pide la altura en metros de un árbol y uno de los elementos del conjunto de soluciones de la correspondiente ecuación es –12, entonces, naturalmente debe ser descartado como respuesta, pues la altura de un árbol en metros no puede ser un número negativo. En resumen, al resolver un problema mediante una ecuación de segundo grado, se debe prestar especial atención para determinar si las respuestas numéricas tienen sentido en relación con el enunciado del problema, a fin de descartar aquellas que, por la naturaleza misma del problema, no tienen significado.
La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números. Solución: Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo: x: primer número. Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro será: 10 – x: segundo número Con la condición final dl problema se establece que la suma de los cuadrados de ambos números es 58. Así entonces tenemos que: x2 + (10 – x)2 = 58 Esta es la ecuación a resolver x2 + (100 – 20x + x2) = 58 Aplicamos la segunda fórmula notable con el término (10 – x)2 (a– b)2 = a2 – 2ab + b2 x2 + 100 – 20x + x2 = 58
Eliminamos el paréntesis
2x2 – 20x + 100 – 58 = 0 Resolviendo 2x2 – 20x + 42 = 0
Dividimos por 2 a ambos lados el trinomio obtenido
x2 – 10x + 21 = 0 21 = –7 g –3
– 10 = –7 + –3
287
Utilizamos el método de inspección para a=1
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA (x – 7)(x – 3) = 0 x – 7 = 0 ó x – 3 = 0
Aplicamos el principio
x = 7 x = 3
agb=0↔a=0 ó b=0
obtenemos los valores de x.
Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3m y el largo aumenta en 2m, así que, luego del aumento quedan: x + 3: nuevo ancho de la sala x + 5: nuevo largo de la sala (x + 3)(x+ 5): nueva área de la sala. La nueva área es el doble de la primera, así que planteamos la ecuación:
Respuesta: Los números buscados son 3 y 7.
(x + 3)(x+ 5) = 2 g x (x + 3)
Comprobación:
x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x Efectuamos las multiplicaciones
3 + 7 = 10 32 + 72 = 9 + 49 = 58
x2 – 2x2 + 8x – 6x + 15 = 0
Problema 2 El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3m y el largo aumenta 2m, el área se duplica. Halle el área original de la sala. Solución: En este caso, si hay diferencia entre largo y ancho, así que hay que tener cuidado con la asignación y sobre todo, con la interpretación de la variable x. Este problema permite fácilmente que la x se coloque en cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho. Así que supongamos: x: ancho de la sala // El largo es 3 metros mayor que el ancho, así que: x + 3: largo de la sala // El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos: x (x + 3): área de la sala (Estos son los datos iniciales)
y reducimos términos semejantes
–x2 + 2x + 15 = 0 x2 – 2x – 15 = 0
Multiplicamos por –1 ambos lados
–15 = 3 g –5
aplicamos el método de inspección
–2 = 3 + – 5 (x + 3)(x – 5) = 0 x + 3 = 0 ó x – 5 = 0
Aplicamos el principio
x = – 3 ó x = 5
agb=0↔a=0 ó b=0
Observando las dos soluciones x = – 3 y x = 5, tenemos que la solución x = – 3 se debe desechar, puesto que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo.
288
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Entonces la solución x = 5, debe ser el ancho original. Así que x + 3 = 5 + 3 = 8 metros debe ser el largo. Por lo tanto, el área original es 8 m g 5m = 40 m2. Problema 3
x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1 + x2 Desarrollamos cada cuadrado utilizando la primera fórmula notable: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 x2 – x2 – x2 + 4x – 2x + 4 – 1 = 0 Reducimos términos semejantes –x2 + 2x + 3 = 0
Calcular la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivos.
x2 – 2x – 3 = 0
Multiplicamos por –1 a ambos lados.
( x + 1)(x – 3) = 0
Factorizamos por el método de inspección.
Solución Podemos ayudarnos de un dibujo para plantear este problema
¡Hágalo usted! x + 1 = 0 ó x – 3 = 0
Aplicamos el principio
a•b=0↔a=0 ó b=0
x = –1 ó x = 3
Como x = –1 no es una de las respuestas, puesto que las medidas no son negativas; tenemos que la medida de uno de los catetos es 3, el otro es 4 y la medida de la hipotenusa es 5.
Sean: x: un primer cateto
Respuesta: La medida de la hipotenusa es 5.
x + 1: el segundo cateto Recuerde las medidas de sus lados son tres números consecutivos x + 2: la hipotenusa Considerando el Teorema de Pitágoras tenemos: (x + 2)2 = (x + 1)2 + x2
En todo triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Problema 4 Cada graduado de un grupo de noveno año escribe la dirección de los demás alumnos de su aula. Si en total se copian 600 direcciones, ¿cuántos alumnos tiene el grupo? Solución: Sea n el número de alumnos del grupo.
289
n – 1 el número de direcciones que escribirá cada alumno.
600 el número total de direcciones.
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA El número de alumnos por el número de direcciones es igual a 600 n(n – 1) = 600
x–9=0óx+7=0 x = 9 ó x = –7
Resolvemos cada ecuación
n2 – n = 600 n2 – n – 600 = 0
Dejamos por fuera la respuesta x = – 7 porque la edad de David no puede ser – 7 años.
(n – 25)(n + 24) = 0 n – 25 = 0 ó n + 24 = 0 n = 25 ó n = – 24 Lógicamente dejamos por fuera la respuesta n = – 24, puesto que no es posible, luego se dice que el grupo tiene 25 alumnos.
Luego tenemos que la edad de David será 9 años y por consiguiente la edad de Fernando es x – 2 = 7 años.
ACTIVIDAD 3
Problema 5 David es dos años mayor que Fernando y la suma de los cuadrados de ambas edades es de 130 años. Hallar ambas edades. Solución
1. Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.
Siendo x: la edad de David Entonces x – 2: la edad de Fernando Según el problema: x2 + ( x – 2)2 = 130
Utilizamos para desarrollar (x – 2)2
x2 + x2 – 2(x)(2) + 22 = 130
La fórmula notable: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
2 x2 – 4x + 4 – 130 = 0
Reducimos términos semejantes y dividimos por dos a ambos lados
Respuesta:
2. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno.
x2 – 2x – 63 = 0 (x – 9)(x + 7) = 0
Factorizamos por inspección y aplicamos Respuesta:
a•b=0↔a=0ó b=0
290
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
3. Si al triple de un número se suma su cuadrado se obtiene 88. ¿Cuál es el número?
7. El número de diagonales de un polígono de n n(n − 3) lados está dado por D = 2 Encontrar el polígono que tiene 54 diagonales.
Respuesta:
4. Hallar un número cuyo cuadrado disminuido en el doble del número resultan 10 unidades más del séptuplo del número.
Respuesta:
Respuesta: 8. La suma de los primeros n números n(n + 1) naturales es S = 2 ¿Cuántos números naturales consecutivos comenzando con el 1 suman 1275?
5. Halle dos números cuya suma es 32 y su producto es 255.
Respuesta:
9. ¿Cuál es el número cuyo cuadrado más su triple es igual a 40?
Respuesta:
6. ¿Cuál es el área y el perímetro del triángulo rectángulo que se indica en el dibujo, sabiendo que las dimensiones dadas están en metros?.
Respuesta:
10. El producto de dos números consecutivos positivos es 210. ¿Cuáles son esos números?
Respuesta:
Respuesta:
291
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
TRABAJO INDIVIDUAL 1 A. Resuelva los siguientes problemas en forma ordenada. 1. Si al cuadrado de un número le restamos su triple, obtenemos 130. ¿Cuál es el número?
Respuesta:
2. Halle dos números enteros consecutivos tales que la suma de sus cuadrados es 145.
Respuesta:
3. Si al producto de un número natural por su siguiente le restamos 31, obtenemos el quíntuple de la suma de ambos. ¿De qué número se trata?
Respuesta:
4. Calcule los lados de un rectángulo cuya diagonal mide 10 cm y en el que la base mide 2 cm más que la altura.
Respuesta:
292
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
5. Los catetos de un triángulo rectángulo suman 18 cm y su área es 40 cm2. Halle los catetos de este triángulo.
Respuesta:
6. Si se duplica el lado de un cuadrado, su área aumenta en 147 cm2. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?
Respuesta:
7. La base de un rectángulo mide 5 cm más que la altura. Si disminuimos la altura en 2 cm, el área del nuevo rectángulo será 60 cm2. Halle los lados del rectángulo.
Respuesta:
8. El perímetro de un rectángulo mide 100 m, y el área, 600 m2. Calcule sus dimensiones.
Respuesta:
293
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B. Escriba las siguientes ecuaciones de segundo grado ordenada de acuerdo con la expresión general: ax2 + bx + c = 0 a) 3x • (x + 4) = x2 – 5x + 3 b) (x – 3)2 + 1 = 2x – 5 c) 4x2 – 3x = 2x2 + 7x d) (4x – 8) • (6x – 3) = 0
294
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
FUNCIÓN CUADRÁTICA Las funciones cuadráticas son utilizadas en algunas disciplinas como por ejemplo, Física, Economía, Biología, Arquitectura. Son útiles para describir movimientos con aceleración constante, trayectorias de proyectiles, ganancias y costos de empresa, variación de la población de una determinada especie de ser vivo y que responde a un tipo de función, y a obtener así información sin necesidad de recurrir a la experimentación.
Cada uno de estos elementos y comportamientos de la parábola pueden ser identificados y nos permitirán construir su gráfica hallar su expresión algebraica y además obtener información de la función en general. La magnitud del coeficiente principal nos va a dar información sobre el lado recto y hacia dónde abre la parábola.
Además de estas características geométricas de la parábola, tenemos que existen otras aplicaciones, como en los espejos parabólicos de los faros de los carros, en los telescopios astronómicos. Los radares y las antenas para radioastronomía y televisión por satélite, presenta también ese tipo de diseño.
Gráficas de funciones cuadráticas Cuando iniciamos el estudio de las funciones y en especial de las funciones cuadráticas, las representamos en la forma tabular, gráfica y algebraicamente. Se identificaron situaciones dadas y que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y = ax2 + bx + c. Recordemos que las gráficas de todas las funciones cuadráticas son parábolas. El eje de simetría de todas las parábolas son paralelas al eje Y, donde el signo del coeficiente de x2 en la función y = ax2 + bx + c determina la concavidad de su gráfica. Eje de simetría
La parábola abre hacia arriba Cero de la función
Cero de la función
Lado recto
Vértice de la parábola
Coeficiente principal
Efecto en la parábola
a1
Longitud de lado recto menor
a–1
Longitud de lado recto mayor
Positivo
Abre hacia arriba
Negativo
Abre hacia abajo
Veamos las siguientes gráficas: Ejemplo 1 La función yA = 5x2 tiene un coeficiente principal a = 5, es decir, es mayor que uno y positivo. Por lo tanto, su gráfica tendrá una longitud de lado recto menor (estará más cerrada) y abrirá hacia arriba. 1 2 La función y B = x tiene un coeficiente princi2 1 pal a = , es decir, es menor que uno y positivo, 2
295
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA lo que indica que tiene una longitud de lado recto mayor (estará más abierta) y también abrirá hacia arriba.
Además de la forma general ó polinómica de la función cuadrática y = ax2 + bx + c, donde la parábola queda definida por los parámetros "a", "b" y "c", existe la llamada "forma canónica" que a menudo es más útil, pues nos permiten determinar las coordenadas del vértice (h, k) utilizando las b 4ac − b2 expresiones h = − . y k= 2a 4a
y 6 5 4 3
YA = 1 x2 2
2 1
-4
-3
-2
-1
YB= 5x2
0 1
2
Forma canónica o estándar de la función cuadrática
3
Además se tiene que el factor "a" como lo vimos anteriormente define la forma de la curva.
x
4
Ejemplo 2 La función yC = – 3(x – 2)2 + 4 tiene un coeficiente principal a = – 3, es decir, es menor que menos uno y negativo. Por lo tanto, su gráfica tendrá una longitud de lado recto menor (estará más cerrada) y abrirá hacia abajo. 1 (x – 2)2 + 4 tiene un coefi3 1 ciente principal a = – , es decir, es mayor que 3 menos uno y negativo, lo que indica que tiene una longitud de lado recto mayor (estará más abierta) y también abrirá hacia abajo. La función yD = –
Cuando estudiamos las expresiones algebraicas transformamos ecuaciones de la forma y = ax2 + bx + c a la forma y = a(x + h)2 + k, esto lo realizamos considerando el método de completar cuadrados. Ejemplos 1. Transformar la función y = x2 + 14x + 60 a su forma canónica o estándar.
Solución:
y = x2 + 14x + 60
Como a = 1, b = 14, c = 60 b 4ac − b2 tenemos que h= − y k= 2a 4a
y
h= −
4
d YD = - 1 (x-2)2+4 3
2
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1 -2
4 (1) ( 60 ) − (14 ) 240 − 196 4ac − b2 = = = 11 k= 4 (1) 4a 4
La forma canónica corresponde a
y = 1 • (x + 7)2 + 11
2
3
1 0
14 = −7 2 •1
7
x
Siempre se debe escribir dentro del paréntesis el valor opuesto del valor h obtenido.
Yc= -3(x-2)2 +4
-3
296
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Para comprobar nuestro resultado simplemente invertimos el proceso:
y = 1 • (x + 7)2 + 11
y = 1 • (x + 14x + 49) + 11
y = x2 + 14x + 49 + 11
y = x2 + 14x + 60
En conclusión, la forma estándar de y = x2 + 14x + 60 es y = 1 • (x + 7)2 + 11
Solución:
y = – x – 8x – 23
y = – (x2 + 8x + 23)
y = – x2 – 8x – 23
En conclusión, la forma estándar de y = – x2 – 8x – 23 es y = –1 • (x + 4)2 – 7
Solución: y = – x2 + x + 6
Como a = –1, b = 1, c = 6 b 4ac − b2 h= − k= tenemos que 2a 4a
h= −
Como a = 1, b = 8, c = 23 b 4ac − b2 h= − y k= 2a 4a
– x2 – 8x – 23 = –1 • (x2 + 8x + 23)
2
tenemos que
4 (1) ( 23) − ( 8 ) 4ac − b2 = k= 4 (1) 4a
2
3. Transformar la función y = – x2 + x + 6 a su forma canónica o estándar.
8 8 h= − = = −4 2 •1 2
y = –x2 –8x –16 – 7
2
2. Transformar la función y = – x2 – 8x – 23 a su forma canónica o estándar.
4 ( −1) ( 6 ) − (1) 4 ( −1)
2
=
− 24 − 1 − 25 25 = = −4 −4 4
La forma canónica corresponde a
1 25 y = −1• x − + 2 4
92 − 64 = =7 4
k=
1 1 1 =− = 2 • −1 −2 2
2
Para comprobar nuestro resultado simplemente invertimos el proceso: 2
1 25 y = −1• x − + 2 4
La forma canónica corresponde a y = –1 • (x + 4)2 – 7
2
1 25 y = −1• x 2 − x + + 4 4 1 25 y = −x 2 + x − + 4 4 2 y = −x + x + 6
No olvidemos que el –1 es factor común del trinomio cuadrado.
Para comprobar nuestro resultado simplemente invertimos el proceso:
y = –1 • (x + 4)2 – 7
y = –1 • (x2 + 8x + 16) – 7
297
En conclusión, la forma estándar de 2 1 25 2 y = – x + x + 6 es y = −1• x − + . 2 4
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Forma factorizada de la función cuadrática
2. Transformar la función y = 6x2 – 13x – 5 a su forma factorizada.
Una tercera forma de expresión de una función cuadrática es la forma factorizada. En ella los tres parámetros que definen a la parábola son las dos raíces x1 y x2 (cuando son reales y distintas) y el coeficiente cuadrático "a".
Solución:
Forma factorizada de la parábola
y = 6x2 – 13x – 5
Haciendo uso del método de factorización por inspección Caso 2 ya estudiado anteriormente, y considerando que a = 6, tenemos que: 5 1 y = 6• x − x + 2 3
➠
y = a(x – x1)(x – x2)
Es natural aceptar esta forma de expresión de la función cuadrática, pues se verifica que cuando "x" toma el valor de las raíces x1 y x2 la función “y” se anula. Además tiene el coeficiente "a" que define la forma de la curva. Quedando definida la forma y los dos ceros de la función, la parábola queda totalmente definida.
Solución:
y = x2 – 3x – 28
Haciendo uso del método de factorización por inspección Caso 1 ya estudiado anteriormente, y considerando que a = 1, tenemos que:
y = 1 • (x – 7)(x + 4)
En conclusión, la forma factorizada de y = x2 – 3x – 28 es y = 1 • (x – 7)(x + 4)
5 1 y = 6x2 – 13x – 5 es y = 6 • x − x + 2 3
3. Transformar la función y = – x2 + 9x – 8 a su forma factorizada.
Solución:
y = – x2 + 9x – 8
Haciendo uso del método de factorización por inspección Caso 1 ya estudiado anteriormente, y considerando que a = –1, tenemos que:
y = –1 • (x – 8)(x – 1)
En conclusión, la forma factorizada de y = x2 – 3x – 28 es y = –1 • (x – 8)(x – 1)
Ejemplos 1. Transformar la función y = x2 – 3x – 28 a su forma factorizada.
En conclusión, la forma factorizada de
Las tres formas una función cuadrática Forma
Expresión
Parámetros
Polinómica
y = ax2 + bx + c
a, b, c
Canónica
y = a(x + h)2 + k
a, h, k
Factorizada y = a(x – x1) • (x – x2)
298
a, x1, x2
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Ejemplo Forma polinómica
Forma factorizada
Forma canónica
y = ax2 + bx + c
y = a(x – x1)(x – x2)
y = a(x + h)2 + k
Nos permite visualizar la ordenada al origen
Nos permite visualizar las raíces de la función
Nos permite visualizar las coordenadas del vértice v(– h, k)
Forma polinómica
Forma factorizada
Forma canónica
y = –2x2 + 8x – 6
y = –2(x – 1)(x – 3)
y = –2(x – 2)2 + 2
ACTIVIDAD 1 1. Si f(x) = 2x2 – 8x + 5, exprésela de la forma f(x) = a(x – h)2 +k 2. Encuentre la ecuación estándar de la parábola y = – x2 – 3x + 6 3. Encuentre la ecuación estándar de las siguientes parábolas.
Trazo de la gráfica de una función cuadrática cuyo criterio es y = ax2 + bx + c La forma más sencilla de trazar una función cuadrática es tabulando. Esto es hacer un cuadro en donde se le dé varios valores a x (la variable independiente) para obtener y (la variable dependiente) y así con varios pares de coordenadas ubicar los puntos en un plano para trazar la gráfica de la función. Por ejemplo: y = x2 – 4x + 3 Vamos a tabular, asignándole valores a x, para ser reemplazados en la función y así obtener el valor de y, los cuales son los valores de f(x), y así obtener el par de coordenadas:
a) y = 3 x2 + 6x –2 b) y = 2 x2 – 8x– 4 c) y = – 3x2 + 9x– 7 d) y = – 4x2 – 8x + 3
y = x2 – 4x + 3 x
y
0
3
a) y = – x2 + 6x – 8
1
0
b) y = x2 + 4x
2
–1
c) y = – x2 + 1
3
0
4
3
4. Dadas las siguientes funciones cuadráticas, exprese en las restantes formas.
d) y = 2(x – 2)(x + 3) e) y = –2(x – 4) + 8 2
299
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Al llevar estos pares de coordenadas a la gráfica se obtiene: y 6 5 4 3
d2
Ordenada 2 al origen 1
Ahora vamos a interpretar las curvas que nacen de la función y = ax².
d2 Eje de simetría x= Xv
d1
0
1
resultante es la homotecia de ésta, es decir, es otra transformación geométrica en el plano porque cumple que las parejas de puntos homotéticos están alineados a un centro O y además los segmentos homotéticos son paralelos. Además, es obvio, que del mismo modo que ésta se mueve, su expresión algebraica también sufre esos cambios.
Pero antes…
d1 2
3
Vértice V (Xv, Yv)
4
5
6
7
8
9 x
Traslación vertical
Ceros X1 y X2
Como podemos observar de la gráfica anterior, las parábolas siempre tienen algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.
Si realizamos una traslación vertical de una función, la gráfica se moverá de un punto a otro punto determinado en el sentido del Eje Y, es decir, hacia arriba o hacia abajo. Ejemplo:
t Orientación o concavidad (ramas o brazos)
y
t Puntos de corte con el eje de las abscisas
(raíces o ceros)
Función original
t Puntos de corte con el eje de las ordenadas t Eje
Traslación hacia arriba
Traslación hacia abajo
de simetría
t Vértice
x
Apoyado en lo anterior vamos a realizar el trazo de funciones cuadráticas en cualquiera de sus formas: polinómica, canónica o factorizada. Una de las cosas que queremos descubrir aquí es el hecho de “que tiene que ver el cambio que puede sufrir una gráfica en relación al cambio en la función algebraica”. Es claro que si decimos que una función se mueve un poco hacia arriba o hacia abajo o bien hacia los lados sufre una translación. La figura
Traslación horizontal Si realizamos una traslación horizontal de una función, la gráfica se moverá de un punto a otro punto determinado en el sentido del Eje X, es decir, hacia la derecha o hacia la izquierda.
300
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA Ejemplos
Ejemplo:
1. La gráfica de la función cuadrática: y = x2 (a = 1, b = 0 y c = 0) es:
Función original y
y
x Traslación hacia la izquierda
Traslación hacia la derecha
Las traslaciones tanto verticales como horizontales, están ligadas al concepto de incremento o decremento de un valor constante (que denominaremos c), por lo cual son únicamente en forma de suma o diferencia, y se expresan matemáticamente de la siguiente forma: Operación sobre la función
y = f(x)
Traslación de una función con c > 0
x
Observemos a continuación, cómo es afectada la gráfica cuando sumamos o restamos una constante a la variable independiente (x) o a la variable dependiente (y).
i. Gráfica de y = x2 + 1: La gráfica de esta función se traslada una unidad hacia arriba.
Función original
y
y = f(x + c)
Se traslada en forma horizontal "c" unidades hacia la izquierda.
6
y = f(x – c)
Se traslada en forma horizontal "c" unidades hacia la derecha.
y = f(x) + c
Se traslada en forma vertical "c" unidades hacia arriba.
3
y = f(x) – c
Se traslada en forma vertical "c" unidades hacia abajo.
7
5 4
2
301
1 -3
-2
-1
0
1
2
3
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA ii. Gráfica de y = x2 – 1: La gráfica de la parábola se traslada una unidad hacia abajo. y 7 6
2. Graficar la función: y = (x – 1)2 + 2 Solución: Según lo visto anteriormente, el gráfico corresponde a una traslación de la gráfica de la parábola y = x2, un lugar a la derecha y dos unidades hacia arriba.
5
y
4
7
3
6
2
5
1 -3
-2
-1
4
0
1
2
x
3
3
-1
2 1
iii. Gráfica de y = (x – 1) : La gráfica de la parábola se traslada una unidad hacia la derecha. 2
y
0
1
2
x
3
-1
c) ¿Cuál es el punto de intersección con el eje y de la gráfica trasladada?
x
3
-1
iv. Gráfica de y = (x + 1) 2: La gráfica de la parábola se traslada una unidad hacia la izquierda. y
b) ¿Cuál es la expresión algebraica? Solución: y
7
7
6
6
5
5
4
4
2
eje de simetría y = (x-2)2+3 Vértice (2,3)
2
eje de simetría f(x) = x2
1
1 0
Función trasladada 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba
3
f (x) = x2 Función original
3
-1
2
b) Indique en la misma gráfica: el vértice inicial, el vértice posterior a la traslación, el eje de simetría de la gráfica original, el eje de simetría de la gráfica posterior a la traslación.
1
-2
1
a) ¿Cuál es la representación gráfica?
2
-3
0
5
3
-1
-1
6
4
-2
-2
3. Trasladar la función f (x) = x2, dos unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba.
7
-3
-3
1
2
3
-4
x
-3
-2
-1
1 -1
-1
302
2
3
Vértice (0,0)
4
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
a) Gráficamente.
IMPORTANTE
c) El punto de intersección con el Eje y es (0,7),
Toda función cuadrática y = f(x) = ax2 + bx + c se puede expresar de la forma y = f(x) = a(x – h)2 + k. La gráfica de esta última función es una traslación de la gráfica f(x) = ax2, desplazada “h” unidades horizontalmente, derecha o izquierda, y “k” unidades verticalmente, arriba o abajo.
puesto que:
y = (x – 2)2 + 3
y = (0 – 2)2 + 3
y = (2)2 + 3 = 7
d) Algebraicamente
5. Representar gráficamente la parábola de la ecuación y = 2x2 – 8x + 7. Solución:
4. Graficar la función: y = (x + 2)2 + 3. Solución:
El vértice de esta función estará ubicado en la coordenadas (– 2, 3)
Estas funciones se pueden representar mediante traslaciones solo que expresándolas de la forma y = a(x – h)2 + k.
y = 2x2 – 8x + 7
y = 2(x2 – 4x) + 7 sacamos el factor 2 (coeficiente del término ax2)
y = 2(x2 – 4x + 4) – 8 + 7 dentro del paréntesis sumamos el 4 pero afuera Ponemos un – 8 por el factor 2.
y = 2(x – 2) 2 – 1
Observe que la gráfica de y = 2x2 – 8x + 7 = 2(x – 2) 2 – 1 es la parábola obtenida al trasladar la función y = 2x2 de modo que su vértice sea el punto (2, –1).
y
y
7
y = 2x2
6
6
5
4
4 3
(-2, 3)
2
2 1 -4
-3
-2
-1
-4 1
2
3
x
-2
0 -2
303
2
4
x
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Un resultado importante
y
2 y = 2x2- 8x+7
La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir, cualquier parábola del tipo y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2.
6 4 2
-4
-2
0 -2
y = 2x2 -16x+35
y = 2x2 2 4 (2,-1)
8
x
6
ACTIVIDAD 2
4
(4,3)
1. Represente por traslación las siguientes funciones:
2
a) y = x2 + 3
-2
2
4
6
b) y = x2 – 2 c) y = (x + 1)2
TRABAJO INDIVIDUAL 1
d) y = (x – 4)2
2. Represente por traslación las siguientes funciones:
1. Obtenga el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas: a) y = (x – 1)2 + 1
a) y = (x + 1)2 + 3
b y = 3(x – 1)2 + 1
b) y = (x – 4)2 – 2
c) y = 2(x – 1)2 – 3
c) y = (x + 1)2 – 3 d) y = (x + 4)2 – 2
d) y = – 3(x – 2)2 – 5 e) y = x2 – 7x – 18 f) y = 3x2 + 12x – 5
304
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2. Identifique el eje de simetría para cada una de las siguientes gráficas.
c) y = 2(x – 1)2 + 1
a) y = 2(x + 2)2 – 3 b) y = (x – 3)2 + 1 1 c) y = − (x + 5)2 − 8 2 3. Dibuje en la cuadrícula la gráfica de la función y = 2x2 y a partir de ella obtenga las siguientes gráficas. a) y = 2x2 – 3
b) y = 2(x + 3)2
d) y = 2(x + 1)2 + 3
4. Halle el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas. a) y = – 4(x + 7)2 – 1 b) y = 6(x – 12)2 + 14 c) y = 3(x – 1)2 + 4 Observe eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de una parábola que la divide en dos mitades congruentes.
t El
305
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
La intersección con el eje de las abscisas (eje horizontal) se obtiene reemplazando h(t) = 0 en la función:
a,b y c son números reales y a ≠ 0, la parábola tiene las siguientes propiedades: −b El eje de simetría es la recta x = . 2a −b −b El vértice es el punto , f . 2a 2a
h(t) = 10t – 5t2
0 = 10t – 5t2
0 = 5t(2 – t)
El punto de intersección con el eje Y es C.
Interpretando físicamente lo anterior, podemos afirmar que a los 0 y 2 segundos la altura del objeto es cero, es decir, está en el suelo.
Por otro lado, se puede observar en el gráfico en t = 1 segundo se encuentra la máxima altura, y si reemplazamos t = 1 en la función, obtenemos h(1)= 10 • 1 – 5 – 12 = 5 m
Este punto donde se alcanza el valor máximo de la función se denomina vértice de la parábola.
función cuadrática f(x) = a(x – h)2 + k tiene el eje de simetría x = h.
t La
t La función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c donde
Aplicaciones de las funciones cuadráticas 1. Una de las aplicaciones de la función cuadrática, consiste en determinar la altura h(t) que alcanza un objeto después de transcurridos t segundos, cuando es lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial vo: h(t) = v 0 t −
1 2 gt 2
Si suponemos que la velocidad inicial es 10 m/s y que la aceleración es 10 m/s2, entonces la altura es: h(t) = 10t – 5t2.
Si graficamos esta función para algunos valores para t, obtenemos: t 0 1 1,5 2
h(t) 0 5 3,75 0
t1 = 0 ó t2 = 2
2. Se lanza una pelota en un campo de juego. Su trayectoria está dada por la función 1 f(x) = − x 2 + 2x + 4 . 12 a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? b) ¿A qué distancia horizontal del punto de lanzamiento alcanzó la altura máxima?
h(t) 5
c) ¿Cuál es el valor máximo de la función f.
3,75
Solución:
0
1
1,5
2
t
306
Expresamos la función f en la forma estandar.
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
f(x) = −
f(x) = −
1 2 x + 2x + 4 12
1 24 • 24 = =2 12 12
1 2 x − 24x + 4 12
(
3. Encontrar la fórmula de la función cuadrática f cuya gráfica se muestra a continuación.
)
10
2
8
24 2 = 12 = 144 2
6
1 2 f(x) = − x − 24x + 122 − 122 + 4 12
(
f(x) = −
)
2
1 2 1 x − 24x + 144 − • ( −144 ) + 4 12 12
(
)
1 f(x) = ( x − 12 )2 + 12 + 4 12 f(x) =
4
−
-5 -4
-3
-2
-1
-2
1
Solución:
1 144 • −144 = = 12 12 12
1 ( x − 12 )2 + 16 12
Hay varios métodos para responder a la pregunta anterior, pero todos ellos tienen una idea en común: es necesario comprender y luego seleccionar la información correcta de la gráfica
Método 1: La representación gráfica de f es y
20 18
La gráfica tiene dos raíces o ceros en el Eje X (– 3,0) y (– 1,0) y interseca al Eje Y en (0,6).
Las coordenadas del Eje X se pueden usar para escribir la ecuación de la función f como sigue: f (x) = a (x + 3) (x + 1)
Como la intersección con el Eje Y es (0,6) sabemos que f (0) = 6
6 = a (0 + 3) (0 + 1) = a(3)(1) = 3a
16 14 12 10 8 6 4 2 -2
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
x
Observando la gráfica podemos indicar que: a) Como la función representa la altura que viaja la pelota, su altura máxima es k = 16. b) La distancia horizontal del punto de lanzamiento que alcanzó la altura máxima es x = h = 12.
a=
6 =2 3
La fórmula para la función cuadrática f es dado por:
f (x) = 2 (x + 3) (x + 1) = 2 x2 + 8 x + 6
Método 2
c) El valor máximo de la función f se alcanza en el punto (12, 16).
307
La parábola tiene un vértice en (– 2, –2) y la intersección con el Eje Y en (0,6). La forma estandar (o vértice) de una función cuadrática f puede escribirse así: f (x) = a (x + 2)2 – 2.
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Como tenemos que f(0) = 6
6 = a (0 + 2)2 – 2 = 4a – 2 – 4a = 6 + 2 ↔ 4a = 8 ↔ a = 2
La fórmula para la función cuadrática f es dado por: f (x) = 2 (x + 2)2 – 2 = 2x2 + 8x + 6
2. En la parábola siguiente se tiene que su punto 1 mínimo es , − 16 . Si la intersección en el 2 Eje Y es (0,40). ¿Cuál es la fórmula de la función cuadrática? A) f(x) = – 4 x2 – 4x – 63 B) f(x) = 4 x2 – 4x – 63
TRABAJO INDIVIDUAL 2
C) f(x) = – 4 x2 + 4x – 63 D) f(x) = 4 x2 + 4x – 63
1. En la parábola siguiente se tiene que su punto máximo es (–1,49). Si la intersección en el Eje Y es (0,40). ¿Cuál es la fórmula de la función cuadrática?
3. Una parábola tiene que su punto mínimo en (3, – 5) y la intersección en el Eje Y en –2 ¿Cuál es la ecuación de la parábola?
40 30 20 10 x -10
0 -10 -20 -30 -40
A) f (x) = – 9 x2 –18x + 40 B) f (x) = 9 x2 –18x + 40 C) f (x) = – 9 x2 + 18x + 40
2 2 x − 4x − 2 3 1 B) f(x) = x 2 − 2x − 2 3 1 C) f(x) = x 2 − x − 2 6 7 14 D) f(x) = x 2 − x + 2 9 3 A) f(x) =
10
4. Una compañía de investigación de mercados estima que n meses después de la introducción de un nuevo producto, f(n) miles de familias lo usarán, en donde
D) f (x) = 9 x2 + 18x – 40
f(n) =
10 n• (12 − n), (0 ≤ n ≤ 12) 9
Estime el número máximo de familias que usarán el producto. Respuesta:
308
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA
5. Se estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas que fueron alimentadas con una dieta que contenía un 10% de proteína. La proteína consistía en levadura y harina de maíz. Variando el porcentaje p de levadura de la mezcla de proteína se estimó que el peso medio ganado en gramos de una rata en un periodo fue
b) ¿Cuándo deja de crecer la enfermedad? Respuesta:
c) ¿Cuándo desaparecerá la enfermedad? Respuesta:
8. Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo la ecuación y – x2 + 6x + 12 donde y es la distancia al fondo del mar (en metros) y x el tiempo empleado en segundos.
Encontrar el máximo peso ganado. Respuesta:
6. La cotización en bolsa de las acciones de la empresa va a seguir en 2016, aproximadamente la evolución siguiente f(t) = 342 + 39t – 3t2, donde t es el tiempo en meses.
a) Calcule cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a sumergirse sabiendo que la profundidad del lugar es de 20 metros. Respuesta:
a) ¿En qué mes alcanza la máxima cotización? Respuesta: b) ¿Cuánto duró el salto? Respuesta:
b) Calcule el porcentaje de beneficios que habrá obtenido. Respuesta:
7. El número de personas atacadas cada día por una determinada enfermedad viene dada por la función f(x) = – x2 + 40x + 84, donde x representa el número de días transcurridos desde que se descubrió la enfermedad. Calcule:
9. La empresa de servicio tiene costos variables por mantenimiento del edificio, dada por la función C(x) = 60 000 + 5x2 – 1000x y costos fijos de 60 000.
a) ¿Cuántas personas enferman el quinto día? Respuesta:
¿Cuántas personas se necesitan hospedar para minimizar los costos?
Respuesta:
309
RELACIONES Y ÁLGEBRA Matemática - EL MAESTRO EN CASA 10. Un fabricante determina que su ingreso "R" obtenido por la producción y venta de "x" artículos está dada por la función: R(x) = 350x – 0,25x2. a) Calcule el ingreso cuando se venden 100 artículos. b) Si el ingreso obtenido es de ¢120 000, determine la cantidad de artículos vendidos. Respuesta:
11. Supongamos que la temperatura de un cierto día de la ciudad de San José luego de t horas pasada la media noche está dada por la función:
1 T(t) = − t2 + 4P + 10 o 4
a) Graficar la temperatura en función del tiempo. b) ¿Cuál fue la temperatura a las 2 de la mañana. c) ¿A qué hora la temperatura fue máxima? Respuesta:
12. Las temperaturas entre las 0 hs y las 2 hs en una zona rural se ajustan por la función 1 2 T(x) = − ( x − 12 ) + 10 , donde T es la tem10 peratura en ºC y "x" es la hora del día. a) ¿Cuál fue la temperatura máxima? b) ¿A qué hora del día se registró? c) ¿Qué temperatura se registra a las 3 de la tarde? Respuestas:
13. El arco de un puente que cruza un río, se adapta 1 a la función cuadrática h(x) = − x ( x − 20 ) 20 donde "h" es la altura del arco y "x" es el ancho del río, ambos en metros. a) ¿Cuál es la altura máxima a que se elevará el arco? b) ¿A qué distancia del margen del río alcanzará el puente la altura máxima? c) Qué altura tendrá el arco a 5 m de la orilla? Respuestas:
310
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
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DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES Y CONOCIMIENTOS ÁREA 4: ESTADÍSTICA Y PROBABLIDAD CONOCIMIENTOS
HABILIDADES ESPECÍFICAS
Variables cuantitativas
1. Establecer diferencias entre variables cuantitativas: discretas y continuas.
t
Discretas
t
Continuas
Distribuciones de frecuencia t
Clases o intervalos
t
Frecuencia absoluta
t
Frecuencia relativa y porcentual
t
Representación tabular
t
Representación gráfica 3
Histogramas
3
Polígonos de frecuencia
2. Clasificar variables cuantitativas en discretas o continuas. 3. Reconocer la importancia de agrupar datos cuantitativos en clases o intervalos. 4. Resumir un grupo de datos cuantitativos por medio de la elaboración de un cuadrado de distribuciones de frecuencia absoluta y relativa (o porcentual). 5. Interpretar la información que proporciona un cuadro de distribución de frecuencias al resumir un grupo de datos cuantitativos. 6. Resumir la información proporcionada por una distribución de frecuencias mediante un histograma o un polígono de frecuencias (absolutas o relativas), e interpretar la información que proporcionan estas representaciones gráficas. 7. Utilizar algún software especializado o una hoja de cálculo para apoyar la construcción de las distribuciones de frecuencia y sus representaciones gráficas.
Muestras aleatorias
1.
Probabilidad frecuencial
2. Identificar eventos para los cuales su probabilidad no puede ser determinada empleando el concepto clásico.
t
Estimación de probabilidad: empleo de la frecuencia relativa (concepto frecuencial o empírico)
t
Introducción a la ley de los grandes números
Identificar la importancia del azar en los procesos de muestreo estadístico.
3. Utilizar el concepto de frecuencia relativa como una aproximación al concepto de Probabilidad, en eventos en los cuales el espacio muestral es infinito o indeterminado. 4. Identificar que las propiedades de las probabilidades que están vinculadas con evento seguro, probable e imposible también son válidas para la identificación frecuencial. 5. Identificar que, para un evento particular, su frecuencia relativa de ocurrencia se aproxima hacia la probabilidad clásica conforme el número de observaciones aumenta. 6. Resolver problemas vinculados con fenómenos aleatorios dentro del contexto estudiantil.
311
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
312
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Estadística Continuamos con la unidad Estadística y probabilidad en el libro de Matemática Zapandí 2016 con la definición de algunos conceptos elementales y básicos, y sin embargo pilares, para una comprensión intuitiva y real de lo que es la Estadística. Se pretende introducir al estimado estudiante en los primeros pasos sobre el uso y manejo de datos numéricos: distinguir y clasificar las características, enseñarle a organizar y tabular las medidas obtenidas mediante la construcción de tablas de frecuencia y por último los métodos para elaborar una imagen que sea capaz de mostrar gráficamente unos resultados (histogramas y polígonos de frecuencia) El aserto “una imagen vale más que mil palabras” se puede aplicar al ámbito de la estadística descriptiva diciendo que “un gráfico bien elaborado vale más que mil tablas de frecuencias” Cada vez es más habitual el uso de gráficos o imágenes para representar la información obtenida. No obstante, debemos ser prudentes al confeccionar o interpretar gráficos, puesto que una misma información se puede representar de formas muy diversas, y no todas ellas son pertinentes, correctas o válidas. Nuestro objetivo, consiste en establecer los criterios y normas mínimas que deben verificarse para construir y representar adecuadamente los gráficos en el ámbito de la estadística descriptiva.
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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
¿QUÉ ES LA ESTADÍSTICA? Cuando coloquialmente se habla de estadística, se suele pensar en una relación de datos numéricos presentada de forma ordenada y sistemática. Esta idea es la consecuencia del concepto popular que existe sobre este término y que cada vez está más extendido debido a la influencia de nuestro entorno, ya que hoy día es casi imposible que cualquier medio de difusión, bien sea el periódico, la radio, la televisión y otros no nos aborde diariamente con cualquier tipo de información estadística sobre accidentes de tráfico, índices de crecimiento de población, turismo, tendencias políticas, etc. Sólo cuando nos adentramos en un mundo más específico como es el campo de la investigación, por ejemplo, de las Ciencias Sociales: Medicina, Biología, Psicología, etc. se empieza a percibir que la Estadística no sólo es algo más, sino que se convierte en la única herramienta que, hoy por hoy, permite dar luz y obtener resultados, y por tanto beneficios, en cualquier tipo de estudio, cuyos movimientos y relaciones, por su variabilidad intrínseca, no puedan ser abordados desde la perspectiva de las leyes deterministas. Podríamos, desde un punto de vista más amplio, definir la estadística como la ciencia que estudia cómo debe emplearse la información y cómo dar una guía de acción en situaciones practicas que entrañan incertidumbre. La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones.
Podríamos por tanto clasificar la Estadística en descriptiva, cuando los resultados del análisis no pretenden ir más allá del conjunto de datos, e inferencial cuando el objetivo del estudio es derivar las conclusiones obtenidas a un conjunto de datos más amplio.
Estadística descriptiva: Describe, analiza y representa un grupo de datos utilizando métodos numéricos y gráficos que resumen y presentan la información contenida en ellos.
Estadística inferencial: Apoyándose en el cálculo de probabilidades y a partir de datos muéstrales, efectúa estimaciones, decisiones, predicciones u otras generalizaciones sobre un conjunto mayor de datos.
Conceptos básicos sobre estadística Anteriormente en los libros de Matemática Térraba y Matemática Ujarrás 2016 conocimos y estudiamos estos conceptos, aquí nuevamente vamos a repasarlos debido a que haremos referencia continuamente de estos a lo largo del desarrollo de las siguientes páginas. Población, elementos y variables estadísticas Es obvio que todo estudio estadístico ha de estar referido a un conjunto o colección de personas o cosas. Este conjunto de personas o cosas es lo que denominaremos población.
315
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Las personas o cosas que forman parte de la población se denominan elementos. En sentido estadístico un elemento puede ser algo con existencia real, como un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la temperatura, un voto, o un intervalo de tiempo. A su vez, cada elemento de la población tiene una serie de características que pueden ser objeto del estudio estadístico. Así por ejemplo si consideramos como elemento a una persona, podemos distinguir en ella los siguientes caracteres: Sexo, Edad, Nivel de estudios, Profesión, Peso, Altura, Color de pelo, Etc. Luego por tanto de cada elemento de la población podremos estudiar uno o más aspectos cualidades o caracteres que se llaman variables estadísticas.
Variables estadísticas Como hemos visto, los caracteres de un elemento pueden ser de muy diversos tipos, por lo que los podemos clasificar en: dos grandes clases: a) Variables cuantitativas Las variables cuantitativas son las que se describen por medio de números. Por ejemplo El peso, la altura, la edad, número de hijos posibles: 0, 1,2, 3, 4, 5,… A su vez este tipo de variables se puede dividir en dos subclases: t
Cuantitativas discretas.Son aquellas que pueden tomar solo ciertos valores en un intervalo, de manera que no admite un valor intermedio entre dos valores consecutivos fijos, por ejmplo el número de hermanos, páginas de un libro, etc.
t
Cuantitativas continuas: Son las variables que pueden medirse, cuantificarse o expresarse numéricamente, ellas admiten cualquier valor de rango numérico determinado (edad, peso, talla).
La población puede ser según su tamaño de dos tipos: t
Población finita: el número de elementos que la forman es finito, por ejemplo el número de alumnos de una escuela primaria.
t
Población infinita: el número de elementos que la forman es infinito, o tan grande que pudiesen considerarse infinitos. Como por ejemplo si se realiza un estudio sobre lo productos que hay en el mercado. Hay tantos y de tantas cualidades que esta población podría considerarse infinita.
Ahora bien, normalmente en un estudio estadístico, no se puede trabajar con todos los elementos de la población sino que se realiza sobre un subconjunto de la misma al que se llama muestra, es decir, un determinado número de elementos de la población.
No obstante en muchos casos el tratamiento hace que a variables discretas las trabajaremos como si fueran continuas y viceversa. b) Variables cualitativas Las variables cualitativas son aquellos caracteres que para su definición precisan de palabras, es decir, no le podemos asignar un número. Por ejemplo 1. Supongamos que en una urna tenemos 20 bolas de color rojo, 15 de color azul y 18 de
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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
color blanco. Sacamos una bola al azar, esto es sin mirar la urna. Si suponemos que la variable es “el color de la bola extraída de la urna”. Entonces los valores posibles de esta variable son el extraer {rojo, azul, blanco}. 2. El grupo sanguíneo tiene por modalidades: grupo sanguíneo A, grupo sanguíneo B, grupo sanguíneo AB y grupo sanguíneo O.
ACTIVIDAD 1 1. Diga de las variables siguientes cuáles representan datos discretos y cuales datos continuos. A. Censos anuales realizados por el INEC (Instituto Nacional de Estadística y Censo)
3. Si estudiamos el grado de recuperación de un paciente al aplicarle un tratamiento, podemos tener como modalidades:
B. Temperaturas registradas del cráter del Volcán Arenal cada hora en una estación sismográfica.
Grado de recuperación: Nada, Poco, Moderado, Bueno, Muy Bueno.
C. Longitud de 20 000 llaves producidas en una fábrica.
A veces se representan este tipo de variables en escalas numéricas, por ejemplo, puntuar el dolor en una escala de 1 a 5. Debemos evitar sin embargo realizar operaciones algebraicas con estas cantidades. ¡Un dolor de intensidad 4 no duele el doble que otro de intensidad 2!
D. Número de jabones vendidos en uno de los supermercados en el Cantón de Aserrí. E. Las medidas de los diámetros de los tornillos producidos en un día en una fábrica. F. Las alturas de los estudiantes de una escuela. G. El número de hijos en cada una de las familias que integran la Escuela Manuel Hidalgo Mora de Aserrí.
IMPORTANTE Si la variable estadística es continua, y hay muchos valores entre sí, que en algunos casos se repiten, es conveniente agrupar estos valores de la variable estadística en intervalos para poder manejar la información de forma más cómoda. Para ello dividimos todos los valores de la variable estadística en n partes iguales, y cada uno de los intervalos obtenidos se les llama intervalo de clase. La marca de clase (xi) es el punto medio de los intervalos de clase.
2. Diga qué tipo de variables son: A. X = Los países de Centroamérica. B. T = Número de libros en uno de los estantes en la recepción de ICER. C. L = Número de litros de agua en una piscina. D. M = El radio de un circulo. E. Ñ = El número de pedacitos de lotería vendidos cada día por Don Alejandro.
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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. Indique si estamos tomando una muestra o toda la población en cada caso:
d) Estatura de los recién nacidos en Costa Rica durante el último año.
a) Para hacer un estudio sobre el número de hermanos de los estudiantes del nivel Zapandí del Liceo de Aserrí, se pregunta para esto a los estudiantes del Zapandí C.
b) Para hacer un estudio sobre el número de hermanos y hermanas de los estudiantes del nivel Zapandí C del Liceo de Aserrí, se pregunta para esto a cada uno de los estudiantes de la clase.
5. Clasifique cada una de las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas. Si son cuantitativas clasifíquelas a su vez en discretas o continuas. a) ocupación
b) zona de residencia
c) peso 4. Diga en cada una de las siguientes situaciones, cuál es la variable y de qué tipo es (cualitativa, cuantitativa discreta o cuantitativa continua): a) Tiempo de espera para entrar en la consulta de un médico.
d) altura
e) número de automóviles que ha poseído
f) número de hermanos b) Color favorito. g) número de empleados de una fábrica
c) Número de veces al mes que van al cine los estudiantes de la Escuela de Barrio Corazón de Jesús de Aserrí.
h) peso en kg de los recién nacidos en un día en la provincia de Limón.
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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
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Tabla de distribución de frecuencia
1. Rango o amplitud total (recorrido)
A menudo en una investigación se recogen grandes cantidades de datos numéricos. Cuando esto ocurre es difícil visualizar un orden o estructura que ayude a analizarlos. Para lograrlo es necesario condensar los datos en grupos de acuerdo a ciertas divisiones de la recta numérica (intervalos o clases).
Es el límite dentro del cual están comprendidos todos los valores de la serie de datos, en otras palabras, es el número de diferentes valores que tome la variable en un estudio o investigación dada. Es la diferencia entre el valor máximo de una variable y el valor mínimo que ésta toma en una investigación cualquiera. El rango es el tamaño del intervalo en el cual se ubican todos los valores que pueden tomar los diferentes datos de la serie de valores, desde el menor de ellos hasta el mayor estando incluidos ambos extremos. El rango de una distribución de frecuencia se designa con la letra R.
Intervalo de clase: Intervalos empleados en las tablas de frecuencias estadísticas, capaz de contener diversas medidas de una variable. Consta de un límite inferior (Li) y un límite superior (Ls). Otro punto importante que el estadista debe definir, es la cantidad de intervalos de clase que empleará en la tabla de frecuencia. Esta cantidad de intervalos no deberían ser muchos, debido a que no se cumpliría el objetivo de resumir la información, y no tan pocos intervalos, ya que se perdería mucha información.
Rango = Valor Máximo – Valor Mínimo
Observe:
El rango R gráficamente se puede interpretar de la manera siguiente:
Aunque con esta agrupación la información inicial sobre cada dato individual se pierde, es más fácil visualizar rápidamente las características principales del grupo total de datos. La frecuencia de un intervalo es el número de datos que corresponden a ese intervalo. Una distribución de frecuencia es una tabla en la que aparecen todos los intervalos y las frecuencias de datos correspondientes a cada intervalo. Esta agrupación de datos numéricos por intervalos o clases se llama una distribución de frecuencia porque en ella se indica cuan frecuentemente aparecen datos en cada intervalo. Aspectos importantes que se deben tener en cuenta cuando se crea una distribución de frecuencia
2. Clase o intervalo de clase Son divisiones o categorías en las cuales se agrupan un conjunto de datos ordenados con características comunes. En otras palabras, son fraccionamientos del rango o recorrido de la serie de valores para reunir los datos que presentan valores comprendidos entre los límites.
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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Para organizar los valores de la serie de datos hay que determinar un número de clases que sea conveniente. En otras palabras, que ese número de intervalos no origine un número pequeño de clases ni muy grande. Un número de clases pequeño puede ocultar la naturaleza de los valores y un número muy alto puede provocar demasiados detalles como para observar alguna información de gran utilidad en investigación. Se recomienda que en una distribución de frecuencia no haya más de 15 ni menos de 5 intervalos. No existe una fórmula, ni unos principios únicos para establecer el número de intervalos. Cuando sea necesario estableceremos el número de intervalos NC calculando la raíz cuadrada del total de elementos considerados en el estudio.
En este libro de Matemática Zapandí 2016, agruparemos los datos de variable continuas en clases o intervalos que incluyen todos los valores desde un número dado hasta otro número pero excluyendo a este número. Además aquí optaremos por manejar un número de intervalos solo entre 5 y 15. b)
120 – bajo 130
8
5
130 – bajo 140
6
Lo representaremos así: Peso 100 – 120 120 – 130 130 – 140
Frecuencia 5 8 6
En el ejemplo anterior 100 es el límite inferior y 120 es el límite superior del primer intervalo.
Número de intervalos (Nc): Cantidad de intervalos con los cuales se compone una tabla de frecuencia.
4. Tamaño de los intervalos de clase
3. Límites de los intervalos El límite inferior de un intervalo corresponde al valor mínimo que puede incluirse en el intervalo. El límite superior de un intervalo corresponde al valor máximo que puede incluirse o no en el intervalo. Por ejemplo: Puntuaciones 200 – 299 300 – 399 400 – 499
Frecuencia
100 – bajo 120
Nc = n
a)
Peso
Los intervalos de clase pueden ser de tres tipos según el tamaño que estos presentan en una distribución de frecuencia: a) clases de igual tamaño b) clases desiguales de tamaño c) clases abiertas
Frecuencia 2 8 6
5. Amplitud de los intervalos (A) Se refiere al tamaño que debe tener cada intervalo de clase.
En el ejemplo anterior 200 es el límite inferior y 299 es el límite superior del primer intervalo.
Para determinar la amplitud (A) de los intervalos de una distribución se divide la amplitud o alcance
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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
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de la distribución: Rango (R) entre el número de intervalos (Nc). R A= Nc
Las edades de los alumnos fueron: 17 21 24 23 21 19
El conjunto de intervalos debe incluir todos los datos. No debe haber traslapo de intervalos.
17 18 19 20 22 19
19 27 25 29 21 23
19 21 24 21 20 20
31 22 24 19 20 21
Construya una tabla de distribución de frecuencias absolutas y relativas que resuma los resultados obtenidos.
6. Distribución de frecuencia absoluta En la tabla de frecuencia absoluta (fi) se señala, para cada intervalo o clase, la cantidad de datos cuyos valores pertenecen al intervalo.
Solución:
PASO 1: Ordenamos la información en forma creciente 17 19 20 21 22 24
7. Distribución de frecuencia relativa La frecuencia relativa (hi) es la razón que se obtiene al dividir la frecuencia absoluta de un intervalo entre el número total de datos en la distribución. t
La frecuencia relativa (hi) se puede expresar como una proporción o como un por ciento.
t
La distribución de frecuencia relativa (hi) es esencial para comparar datos de dos distribuciones diferentes.
t
Si la frecuencia relativa (hi) del intervalo se multiplica por 100 se obtiene el por ciento correspondiente a dicho intervalo. Esto es la frecuencia porcentual (%).
Ejemplo 1 Un sondeo realizado en la facultad de Administración de una universidad del país sobre 30 alumnos del sexto semestre de Administración Industrial, pretende mostrar que edad es la más representativa.
18 19 20 21 23 27
19 19 21 21 24 29
19 20 21 22 24 31
PASO 2: Determinar el número de intervalos (Nc)
Como tenemos 30 datos vamos a calcular la raíz cuadrada de este número ( Nc = n ) Nc = n (Nc =
30 = 5,477 ≅ 6 intervalos)
Se debe siempre aproximar el número de intervalos al entero más próximo, recordando que este valor no será menor a 5, ni un valor mayor a 15. Nuestra tabla estará constituida por seis intervalos.
PASO 3: Determinar el ancho de cada intervalo.
Antes de hallar el ancho de los intervalos de clase, debemos calcular el rango (R) como primera medida.
Observando la tabla tenemos que el termino menor es 17 y el mayor 31 (R = 31 – 17 = 14).
Por lo general, en las publicaciones no especializadas, se utiliza más la frecuencia porcentual (%) que la frecuenica relativa (hi). Sin embargo esta se obtiene luego de haber calculado la frecuencia relativa.
17 19 20 21 23 25
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ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Con el Rango y el número de intervalos, podremos hallar el ancho: R 14 A= = Nc 6 A = 2,333
El ancho se debe ajustar para trabajar con el mismo número de decimales que en el conjunto de datos tratados. Como los datos son valores enteros, aproximamos al entero superior
Ni Li Ls 1
Ni Li Ls 1
El ajuste del ancho no podrá ser menor al valor obtenido inicialmente.
PASO 4: Determinar el nuevo Rango (R’).
En el momento de realizar el ajuste del ancho del intervalo, el rango se incrementa automáticamente. Este “Nuevo Rango” lo denotaremos como R’:
2
R’ = A • Nc R’ = 3 • 6 = 18
Ni
18 21
Li
Ls
1
15 18
3
21 24
4 5 6
18 21 24 27 27 30 30 33
IMPORTANTE:
R’ = A • Nc El rango se incremento en cuatro años. El incremento se le sumará al valor Máximo (Xmax’) o se restará al valor Mínimo (Xmin’). En este caso optaremos por aumentar el valor Máximo y reducir el valor Mínimo en dos. Incremento = R’ – R = 18 – 14 = 4 (Xmax’) = 31 + 2 = 33
Observe que esta primera distribución presenta algunos inconvenientes al momento de repartir las frecuencias a cada intervalo de clase, por ejemplo, existen 6 personas del total de encuestados que tienen una edad de 21 años, los cuales podrían ser clasificados en el intervalo dos o en el tres. Ni
(Xmin’) = 17 - 2 = 15
15 18
• • • Seguimos realizando este proceso hasta alcanzar el valor máximo:
2
Nuevo Rango ( R’): rango que es convenido por el ancho de los intervalos a los decimales que son manejados en los datos objeto del estudio. Su cálculo se realiza multiplicando el ancho ajustado por el número de intervalos:
15 18
El segundo intervalo parte del límite superior del intervalo anterior
A ≅3
Con los valores máximos y mínimos, y el ancho, podremos armar cada intervalo de clase. El primer intervalo parte del valor mínimo, al cual le agregamos el ancho.
PASO 5: Determinar los intervalos de clases iniciales.
322
2 3
Li
Ls
18 21 21 24
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Este caso se le conoce como el “Problema de la Ambigüedad”, y el cual debe ser solucionado antes de terminar la tabla de frecuencia.
En este libro de Matemática Zapandí 2016 realizaremos lo siguiente: Se trabajan con intervalos cuyos límites superiores e inferiores tendrán un decimal adicional sobre el número de decimales manejados en los datos.
Estimado estudiante. Este procedimiento de conteo, lo estudiamos en el libro de Matemática Térraba 2016.
Por ejemplo, si el Límite Superior del primer intervalo es 21 y los datos trabajados son valores enteros, el nuevo límite superior será 21,1. Si los datos trabajan con un decimal, el nuevo Límite Superior sería 21,01.
Si posee alguna duda ahí puede volver a repasarlo.
Ni
El primer límite Inferior (Valor Mínimo) y el último límite Superior (Valor Máximo) se mantendrán sin modificación.
Li
2
18,1 21,1
3
21,1 24,1
Las seis personas que tienen 21 años quedarían registradas en el intervalo número 2.
Li 15,0 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1
Ls 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1 33,0
21,1 24,1
5
27,1 30,1
24,1 27,1
//
//// // /
30,1 33,0
/
PASO 8: La columna de frecuencias absolutas se completa de acuerdo al conteo obtenido en el PASO 7. Li
Ls
1
15,0 18,1
3
21,1 24,1
4
5
6
323
///
//// //// //// /
2
Conteo
18,1 21,1
Ni
PASO 6: Determinar los intervalos de clases reales. Ni 1 2 3 4 5 6
3
6
Ls
15,0 18,1
4
Ls
Li
1 2
El problema quedaría solucionado de la siguiente manera: Ni
PASO 7: Cuando ya se tiene definidos quienes son los intervalos reales, por conteo, y ayudándonos con la tabla obtenida en el PASO 1, obtenemos la frecuencia absoluta de cada intervalo de clase, o sencillamente clase.
fi
3
18,1 21,1
16
24,1 27,1
2
27,1 30,1
30,1 33,0
Total
7
1
1
30
Observe que el número total de datos corresponde a 30.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
PASO 9: La columna de frecuencias relativas se completa de acuerdo a la información obtenida en el PASO 8. Recuerde que la frecuencia relativa de cada clase se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta por el número total de datos, en este caso N = 30. Ni 1 2 3 4 5 6
Li 15,0 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1
Ls fi hi 18,1 3 3 ÷ 30 = 0,10 21,1 16 16 ÷ 30 = 0,53 24,1 7 7 ÷ 30 = 0,23 27,1 2 2 ÷ 30 = 0,07 30,1 1 1 ÷ 30 = 0,03 33,0 1 1 ÷ 30 = 0,03 Total 30 1,00
Li 15,0 18,1 21,1 24,1 27,1 30,1
Sabemos que el total de los datos N es igual al total de observaciones, luego N = 200. a) Calculemos h1
de la primera clase,
Ls fi hi 18,1 3 0,10 21,1 16 0,53 24,1 7 0,23 27,1 2 0,07 30,1 1 0,03 33,0 1 0,03 Total 30 1,00
c) Calculemos h3
0
10
60
20 30
30
40 50
n5
10 20 30 40 total
Como n4 corresponde a la frecuencia absoluta del cuarto intervalo de clase, n4 = 0,10 200 n2 = 200 • 0,10 n4 = 20
hi
h1
e) Calculemos n5
h3
n5 corresponde a la frecuencia absoluta del quinto intervalo de clase, puesto que
n2
0,40
n4
0,10
N = 200
Como h3 corresponde a la frecuencia relativa del tercer intervalo de clase,
d) Calculemos n4
Calcular los datos que faltan en la siguiente tabla: fi
Como n2 corresponde a la frecuencia absoluta del segundo intervalo de clase, n2 = 0,40 200 n2 = 200 • 0,40 n2 = 80
2. Ejemplo de cálculo con frecuencias
Li Ls
Como h1 corresponde a la frecuencia relativa
b) Calculemos n2
PASO 10: Respuesta: la tabla de frecuencias absolutas, frecuencias relativas es la siguiente: Ni 1 2 3 4 5 6
Solución:
h5
n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 200 donde n1 = 60, n2 = 80, n3 = 30, n4 = 20
324
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
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se tiene que 60 + 80 + 30 + 20 + n5 = 200
fi , resultado N de dividir la frecuencia absoluta entre el total de la población. t
190 + n5 = 200
n5 = 200 – 190 n5 = 10
Frecuencia relativa hi =
f) Calculemos h5
h5 corresponde a la frecuencia relativa del quinto intervalo de clase, puesto que
h1 + h2 + h3 + h4 + h5 = 1 donde h1 = 0,30, h2 = 0,40; h3 = 0,15, h4 = 0,10
se tiene que
0,30 + 0,40 + 0,15 + 0,10 + h5 = 1,00
h5 = 1,00 – 0,95
h5 = 0,05
0,95 + h5 = 1,00
La tabla completa corresponde a Li Ls 0
fi
hi
10
60
0,30
20 30
30
0,15
10 20
80
30 40
40 50 total
20
10
N = 200
0,40
0,10
0,05
Recuerde: Tablas de datos Tabular datos consiste en confeccionar una tabla en la que aparecen bien organizados los valores de la variables que se están estudiando, junto con otros datos que ahora explicamos: t
Frecuencia absoluta fi es el número de individuos que toma cada valor.
Representaciones gráficas Hemos visto que la tabla de distribución de frecuencias resume los datos que disponemos de una población, de forma que ésta se puede analizar de una manera más sistemática y resumida. Para darnos cuenta de un solo vistazo de las características de la población resulta aún más esclarecedor el uso de gráficos y diagramas, cuya construcción abordamos en Matemática Ujarrás 2016.
Gráficos para variables cuantitativas Para las variables cuantitativas, se consideran dos tipos de gráficos, en función de que para realizarlos se usan las frecuencias (absolutas o relativas o porcentuales) a saber: Diagramas diferenciales: Son aquellos en los que se representan frecuencias absolutas o relativas (porcentuales). En ellos se representa el número o porcentaje de elementos que presenta una modalidad dada. Diagramas integrales: Son aquellos en los que se representan el número de elementos que presentan una modalidad inferior o igual a una dada. Se realizan a partir de las frecuencias acumuladas, lo que da lugar a gráficos crecientes, y es obvio que este tipo de gráficos no tiene sentido para variables cualitativas.
325
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Según hemos visto existen dos tipos de variables cuantitativas: discretas y continuas.
Los histogramas son una forma sencilla de mostrar datos que se han recolectado para su análisis, a partir de hojas de verificación u hojas de registro, o simplemente a partir de registros convencionales de datos.
Veamos a continuación las diferentes representaciones gráficas que se pueden realizar para cada una de ellas así como los nombres específicos que reciben. Estimado estudiante:
El objetivo básico de un histograma es transmitir la información de forma tal que pueda ser captada rápidamente, de un golpe de vista. Luego, un histograma debe ser ante todo sencillo y claro, a pesar de su aspecto artístico, ya que se elabora para ser incluido en un trabajo científico.
Según hemos visto existen dos tipos de variables cuantitativas: discretas y continuas. En el libro de Matemática Zapandí 2016 sólo vamos a considerar el tipo de gráficos para variables continuas en función de que para realizarlos se usen las frecuencias (absolutas, relativas o porcentuales) los cuales corresponden a los diagramas diferenciales.
Este tipo de gráfico se usa para representar una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa continua. Método de elaboración del histograma 1. Obtener una muestra y los valores de la variable que se estudia. Mínimo 30 datos. Es recomendable utilizar una hoja de registros.
Construcción y análisis de histogramas En muchas ocasiones la información proporcionada en una tabla de distribución de frecuencias es tan singular o importante que se decide presentar esos resultados de forma gráfica. Cuando se decide utilizar el gráfico, este sustituye a la tabla, no la complementa. Por ello no se deben tener tantos gráficos como tablas. Como se presenta sólo uno de los dos se acostumbra reflejar la información numérica en el gráfico para que no sea necesaria la tabla correspondiente. Incluso, un número innecesariamente grande de gráficos le puede restar lucidez al trabajo en lugar de proporcionarle calidad o rigor científico. Se debe lograr un balance entre estas dos formas de presentación de resultados.
2. Calcular el rango o amplitud de los datos (diferencia entre el mayor y el menor de los datos). 3. Determinar el ancho de cada intervalo que servirá para construir el histograma. Se obtiene dividiendo el rango calculado en el paso R anterior en el número de intervalos: c = . Nc 4. A cada barra corresponde un intervalo de clase o “clase”.
326
Es recomendable que el histograma tenga de 5 a 15 barras. Una buena aproximación del número de intervalos aconsejable se obtiene calculando la raíz cuadrada del número de datos.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Se aconseja que el tamaño o amplitud de intervalo tenga un grado de aproximación no mayor a aquel con el que se registran los datos.
t
Los histogramas pueden estar referidos a las frecuencias absolutas, a las frecuencias relativas o porcentuales.
5. Establecer los límites o fronteras de cada clase, es decir, los valores de inicio y terminación de cada intervalo.
El análisis de sus características nos puede conducir a diferentes conclusiones acerca de la población de la cual se ha tomado la muestra en estudio.
6. Construir la tabla de frecuencias. La tabla de frecuencias se puede construir de diferentes formas pero hay que tener en cuenta que el primer intervalo debe contener el menor de los datos y el último el mayor. Asimismo, la presentación de los datos en la tabla de frecuencias no debe generar confusiones acerca del intervalo que contiene cada dato. En lo posible, todos los intervalos deben tener el mismo ancho.
Ejemplo 1
7. Es usual que en la primera columna se registre el número de orden de cada clase, en la segunda se escriban los intervalos, en la tercera las marcas de clase en la cuarta las frecuencias absolutas y en la quinta las frecuencias relativas. 8. Graficar el histograma. En lo posible dar una presentación tal que la altura sea aproximadamente ¾ del ancho de la gráfica. El histograma de frecuencias en sí es una sucesión de rectángulos construidos sobre un sistema de coordenadas cartesianas de la manera siguiente: t
t
t
Las bases de los rectángulos se localizan en el eje horizontal, Eje X. La longitud de la base es igual al ancho del intervalo.
En una Clase de Matemática se pesan todos los estudiantes para realizar una práctica de estadística. Los datos obtenidos se resumen en la siguiente tabla y están expresados en kg. 66 59 53 65 72 64 62 69 56 54 57 51 58 69 57 60 53 61 58 66 49 59 68 61 62 60 56 55 62 65 Calcule: a) El tamaño de la población. b) Construya una tabla estadística asociada con intervalos de amplitud de 3 kg. c) Construya el histograma de frecuencias absolutas asociado a esta tabla. d) Construya el histograma de frecuencias relativas asociado a esta tabla. Solución: a) El tamaño de la población es 30. b) Para construir una tabla estadística de distribución absoluta o simple en intervalos de amplitud 3 kg necesita
PASO 1. Se ordenan los datos de la tabla de valores en forma creciente. Ver tabla siguiente:
Las alturas de los rectángulos se registran sobre el eje vertical, Eje Y y corresponden a las frecuencias de las clases.
49 51 53 53 54 55 56 56 57 57 58 58
Las áreas de los rectángulos son proporcionales a las frecuencias de las clases.
66 66 68 69 69 72
327
59 59 60 60 61 61 62 62 62 64 65 65
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
El Valor inferior es 49 y el Valor superior es 72.
PASO 2: Construimos los intervalos con una amplitud de 3 kg (este es un dato previo), así, no olvidemos que el valor inferior es 49 y el valor superior es 72.
Intervalos 49 - 52
Intervalos 49 - 52 52 – 55 55 – 58 58 – 61 61 – 64 64 – 67
n
n
55 – 58
5
58 – 61
6
61 – 64
5
64 – 67
5
67 – 70
3
70 – 73
1
Total
30
Recuerde que para obtener las frecuencias relativas debemos realizar la división de la frecuencia absoluta entre el total de datos, en este caso es N = 30. Frecuencia
Frecuencia
49 - 52
2
2 ÷ 30 = 0,067
52 - 55
3
3 ÷ 30 = 0,100
55 - 58
5
5 ÷ 30 = 0,167
58 - 61
6
6 ÷ 30 = 0,200
61 - 64
5
5 ÷ 30 = 0,167
64 - 67
5
5 ÷ 30 = 0,167
67 - 70
3
3 ÷ 30 = 0,100
70 - 73
1
1 ÷ 30 = 0,033
Total
30
1,00
Intervalos
Los datos 53 53 54 están en el intervalo 52 – 55, observe que el 55 queda afuera, recuerde, antes se combino para este libro de Matemática Zapandí 2016 que el extremo superior del intervalo no es un valor de este.
n
3
Los datos 49 51 están en el intervalo 49 – 52.
Los datos 55 56 56 57 57 están en el intervalo 55 – 58. . . . Procediendo de igual manera completamos la siguiente tabla con las frecuencias absolutas.
52 – 55
PASO 4. De igual manera, observando la tabla de valores del PASO 1 y la tabla de frecuencias absolutas construidas en el PASO 3, podemos construir la columna de frecuencias relativas de los intervalos de clase.
70 – 73
PASO 3. Observando la tabla de valores del PASO 1 y los intervalos construidos en el PASO 2, podemos construir la columna de frecuencias absolutas de los intervalos de clase.
2
67 – 70
Frecuencia absoluta
328
absoluta
relativa
Importante: Cuando el propósito de la tabla que estamos creando es construir un polígono asociado a ella, necesitamos la columna de las marcas de clase o puntos medios de los interva-
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2
0,067
52 – 55
3
0,100
55 – 58
5
0,167
58 – 61
6
0,200
61 – 64
5
0,167
64 – 67
5
0,167
67 – 70
3
0,100
70 – 73
1
0,033
49 + 52 = 50,5 2 52 + 55 = 53,5 2 55 + 58 = 56,5 2 58 + 61 = 59,5 2 61+ 64 = 62,5 2 64 + 67 = 65,5 2 67 + 70 = 68,5 2 70 + 73 = 71,5 2
TABLA 1: Peso (en kg) de los estudiantes de una clase de Matemática
49 - 52 52 – 55 55 – 58 58 – 61 61 – 64 64 – 67 67 – 70 70 – 73 Total
Frecuencia Frecuencia absoluta relativa
2 3 5 6 5 5 3 1 30
0,067 0,100 0,167 0,200 0,167 0,167 0,100 0,033 1,000
Marcas de clase
50,5 53,5 56,5 59,5 62,5 65,5 68,5 71,5
Habitualmente se representa la frecuencia observada en el Eje Y, esto es, la información reunida en la columna de las frecuencias absolutas, la escala vertical o Eje Y generalmente comienza en cero. Frecuencia absoluta 2 3 5 6 5 5 3 1 30
Realizando lo anterior, tenemos que la tabla de frecuencias estadística asociada es la siguiente:
Intervalos
Observe:
Marcas
relativa
49 – 52
c) El histograma de frecuencias absolutas asociado a la distribución de la Tabla 1 es el siguiente:
de clase
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
Intervalos
los. Para las marcas de clase solo se necesita la columna de los intervalos. Pero como todo está junto, la vamos a colocar después de la columna de las frecuencias relativas.
En el Eje X, se coloca la variable, usualmente miden la amplitud de los intervalos de clase, o bien, los límites de cada clase aparecen en el eje horizontal, el Eje X o escala horizontal puede iniciarse con cualquier número adecuado que convenga como punto de partida para iniciar clases. La escala del eje correspondiente a la variable se rotula con los límites inferiores de notación de las clases consideradas y se agrega al final el que le correspondería a una clase subsiguiente inexistente. En este caso, las frecuencias deben resultar proporcionales no a la altura de las barras, sino al área de las mismas, lo que significa que la obtención de las alturas de las barras resulta un poco más compleja que en los gráficos anteriores.
329
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
En el Eje X, se coloca la variable, usualmente miden la amplitud de los intervalos de clase, o bien, los límites de cada clase aparecen en el eje horizontal.
Frecuencia absoluta
Gráfico 1: Histograma de frecuencias absolutas Peso (en kg) de los estudiantes de una clase de Matemática
Escala 3 : 2
Frecuencia relativa
Gráfico 2: Histograma de frecuencias relativas porcentuales Peso (en kg) de los estudiantes de una clase de Matemática
Peso (kg)
Recuerde: Un histograma se emplea para ilustrar muestras agrupadas en intervalos. Está formado por rectángulos unidos a otros, cuyos vértices de la base coinciden con los límites de los intervalos y el centro de cada intervalo es la marca de clase, que representamos en el eje de las abscisas, Eje X. La altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia del intervalo respectivo.
Escala 3 : 2
Ejemplo 2:
d) El histograma de frecuencias relativas asociado a la distribución de la Tabla 1 es el siguiente.
El siguiente dibujo corresponde a un histograma de frecuencias absolutas de las edades de 30 obreros de una fábrica, observe que en el eje horizontal se tiene como ancho de lo rectángulos el extremo inferior y el extremo superior de los distintos intervalos de clase y en el eje vertical o Eje Y, la frecuencia absoluta.
Observe, en el Eje Y, se coloca la información reunida en la columna de las frecuencias relativas expresadas en porcentajes. Frecuencia Relativa (%) 6,7 10,0 16,7 20,0 16,7 16,7 10,0 3,3 100,0
Gráfico 3: Histograma de frecuencias absolutas Edades (años) de los obreros de una fábrica Frecuencia absoluta
Peso (kg)
Edades (años)
330
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
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Ejemplo 3: El siguiente dibujo corresponde a un histograma de frecuencias relativas o porcentuales de las edades de 30 obreros de una fábrica, observe que en el eje horizontal se tiene como ancho de lo rectángulos el extremo inferior y el extremo superior de los distintos intervalos de clase y en el Eje vertical o Eje Y, la frecuencia de los datos dados en porcentajes. Gráfico 4: Histograma de frecuencias relativas o porcentuales Edades (años) de los obreros de una fábrica
con los histogramas: histograma de frecuencias absolutas e histogramas de frecuencias relativas, también se tiene polígonos de frecuencias absolutas y polígonos de frecuencias relativas. Ejemplo 1: El siguiente polígono que construiremos es un polígono de frecuencias absolutas. Consideremos la Tabla 2 sobre la velocidad (kg/h) en una zona escolar: Li
Ls
Frecuencia relativa
2,0 6,1 6,1 10,1 10,1 14,1 14,1 18,1 18,1 22,1 22,1 26,1 26,1 30,0 Total
Polígonos de frecuencia Se utiliza, al igual que el histograma, para representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero como no se utilizan barras en su confección sino segmentos de recta, de ahí el nombre de polígono. Habitualmente se usa cuando se quiere mostrar en el mismo gráfico más de una distribución o una clasificación cruzada de una variable cuantitativa continua con una cualitativa o cuantitativa discreta, ya que por la forma de construcción del histograma sólo se puede representar una distribución.
Marcas de clase 4,1 8,1 12,1 16,1 20,1 24,1 28,1
PASO 1: Para crear el polígono de frecuencias absolutas primero se debe crear el histograma de frecuencias absolutas de acuerdo a la Tabla 2 anterior: Observe que ya lo tenemos construido, usted debe seguir todos los pasos que ya estudiamos anteriormente.
Para su confección, una vez construidas y rotuladas las escalas, de manera a como se realiza para un histograma, los valores de alturas obtenidos se marcan sobre el punto medio o marca de clase de los intervalos correspondientes y luego se procede a unir esos puntos con segmentos de recta. Para elaborar un polígono de frecuencia partimos de una tabla de frecuencia dada. Al igual que
331
Gráfico 5: Histograma de frecuencias absolutas Velocidad (km/h) en zona escolar
Frecuencia absoluta
Edades (años)
Frecuencia absoluta 12 15 21 24 21 12 8 113
Velocidad (km/h)
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA PASO 2: Trazar los segmentos de recta entre los puntos medios de los techos de columnas contiguas, partiendo desde el punto de origen (0,0) hasta el punto final definido en el eje horizontal
t
El punto con mayor altura representa la mayor frecuencia.
t
Suelen utilizarse para representar tablas de datos agrupados.
Gráfico 5.1: Polígono e histograma de frecuencias absolutas Velocidad (km/h) zona escolar
t
El área bajo la curva representa el 100% de los datos.
t
El polígono de frecuencia está diseñado para mantener la misma área de las columnas.
Frecuencia absoluta
Consideremos la siguiente porción de un gráfico cualquiera para probar la anterior afirmación. “El polígono de frecuencia está diseñado para mantener la misma área de las columnas”.
Velocidad (km/h)
PASO 3: Nuestro polígono de frecuencias sin el histograma quedaría de la siguiente forma:
Frecuencia absoluta
Gráfico 5.2: Polígono de frecuencias absolutas Velocidad (km/h) zona escolar
Observe que cada línea corta una porción de la columna, pero a su vez, agrega una porción adicional. Ambas porciones son iguales (triángulos rectángulos iguales), manteniendo el área global en el gráfico.
Velocidad (km/h)
Características de los polígonos de frecuencias t
No muestran frecuencias acumuladas
t
Se prefiere para el tratamiento de datos cuantitativos.
332
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
IMPORTANTE:
Solución:
Para representar el polígono de frecuencias en el primer y último intervalo, suponemos que adyacentes a estos rectángulos existen otros intervalos de la misma amplitud y frecuencia nula, que se unen por una línea recta a los puntos del histograma correspondiente a las marcas de clase. Observe el dibujo siguiente, el polígono de frecuencias tiene en común con el histograma el que las áreas de las gráficas sobre un intervalo son idénticas. Considere ambas gráficas diferenciales representadas en la parte superior de la figura siguiente:
PASO 1: Para construir un polígono de frecuencias, se debe construir primero el histograma de frecuencias absolutas, no olvide, debemos suponer un rectángulo al inicio y adyacente a los obtenidos, también al final de los rectángulos con frecuencias nulas. Gráfico 7: Histograma de frecuencias absolutas Peso (en kilogramos) de 65 personas adultas
Frecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Gráfico 6: Histograma y polígono de frecuencias absolutas Peso (en kilogramos) Nacimientos de bebés durante el mes de mayo en el Hospital de la Mujer
Peso (kg)
10
PASO 2: En el histograma construido, marcamos los puntos medios de los rectángulos, incluyendo los adyacentes a los dibujados de acuerdo con la tabla de frecuencias.
Peso (kg)
Ejemplo 2:
Gráfico 7.1: Histograma y polígono de frecuencias Peso (en kilogramos) de 65 personas adultas
Considere la Tabla 3 de frecuencias que corresponde al peso en kilogramos de 65 personas adultas: TABLA 3: Peso en kilogramos Ejemplo de ilustración
50 – 60 60 – 70 70 – 80 80 – 90 90 – 100 100 – 110 110 – 120
Marcas de clase 55 65 75 85 95 110 115
Frecuencia absoluta 8 18 16 14 10 5 2 Total : 65
Frecuencia absoluta
Intervalos
Construir un polígono de frecuencias absolutas.
333
Peso (kg)
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA PASO 3: La respuesta debe ser dada retirándole los triángulos y dejando solo los segmentos que unen los puntos medios de los intervalos de clase.
Frecuencia absoluta
Gráfico 7.2: Polígono de frecuencias Peso (en kilogramos) de 65 personas adultas
v
Límites de Clase
v
Marca de Clase
v
Frecuencia de clase
v
Rango o recorrido
v
Frecuencia absoluta
v
Frecuencia relativa
2. Los siguientes puntajes representan el número de tomates rechazados en un día en un mercado mayorista. Los puntajes corresponden a 50 días seleccionados aleatoriamente. 29 58 80 35 30 23 88 49 35 97 12 73 54 91 45 28 61 61 45 84 Peso (kg)
83 23 71 63 47 87 36
Recuerde:
28 91 87 15 67 10 45 67 26 19
v
Construya una tabla de frecuencias con 9 clases.
v
Construya un histograma de frecuencias absolutas que corresponde a la tabla anterior.
3. La siguiente tabla registra la temperatura máxima en una ciudad durante 20 días.
ACTIVIDAD 2 1. Escriba el significado de cada una de las siguientes palabras: Clase
v
Intervalo de clase
94 26
95 63 86 42 22 44 88 27 20 33
Un polígono de frecuencias es una gráfica de líneas de una distribución de frecuencias, en donde para el eje horizontal se anota las marcas de clase y en el eje vertical la frecuencia absoluta o relativa. También un polígono de frecuencias puede formarse colocando un punto sobre la mitad de la cúspide de cada rectángulo del histograma y luego uniendo dichos puntos por medio de una línea). Este representa curvas útiles para describir los datos.
v
8
Temperatura (°C)
Frecuencia fi
30 – 32
6
27 – 29 33 – 35 36 – 38
334
2 8 4
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
¿Cuál es el histograma correspondiente a la tabla anterior? Seleccionar entre a, b y c. a)
4. En una clase se pesan todos los alumnos y los datos obtenidos en kilogramos se resumen en la siguiente tabla. 66 59 53 65 72 64 62 69 56 54 57 51
Frecuencia absoluta
58 69 57 60 53 61 58 66 49 59 68 61 62 60 56 55 62 65
Calcule:
a) El tamaño de la población. b) Construye una tabla estadística asociada. Temperatura (°C)
c) Construya el polígono de frecuencias asociado a esa tabla.
b)
Frecuencia absoluta
5. Organice los datos siguientes en intervalos de 10 cm desde 150 a 200.Construya una tabla de frecuencias y elabore un polígono de frecuencias simple: 171 158 150 185 186 178 166 185 199 183 175 173 175 164 173 178 179 164 176 159 190 173 189 163 156 169
Temperatura (°C)
c)
Resumiendo:
Frecuencia absoluta
El análisis de la distribución de frecuencias en las variables cuantitativas continuas tiene el interés de que las categorías mediante las que se ordena la distribución no viene determinado por la variable, sino que debe elegirse. El primer paso para construir la tabla de la distribución de frecuencias es dividir el recorrido (conjunto de posibles valores de la variable)en clases o intervalos (preferentemente que no se solapen). Al punto central de cada un de estos recorridos lo llamaremos marcas de clase y lo representamos por Mc. Temperatura (°C)
335
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Categorías de la variable
Frecuencia Absoluta
l0, l1
Mc1
n1
…
…
…
lf–1, lj
Mcj
nj
…
…
…
lk–1, lk
Mck
nk N
Freuencia Relativa
Intervalo
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Li + Ls 2 donde Li es el límite inferior del intervalo y Ls es La marca de clase queda fijada por Mc =
el límite superior del intervalo.
n1 N … n hj = 1 N … n hk = k N h1 =
Se llama amplitud del intervalo a la cantidad de unidades del recorrido de la variable que contiene un intervalo.
1
PROBLEMAS RESUELTOS 1. Construya una tabla de frecuencia con la siguiente tabla de datos: 96,65 546,56 376,43 358,48 718,43 859,76 705,55 73,16 731,09
118,94 949,14 97,94 835,14 869,57 950,77 461,15 673,45 235,69
353,18 717,34 72,06 146,19 251,83 742,90 167,49 137,28 927,49
831,52 189,10 897,99 992,42 473,74 243,41 174,51 490,94 43,07
170,72 226,96 510,13 722,36 253,90 558,50 919,39 87,95 224,61
136,76 888,39 774,02 56,06 852,44 965,75 784,01 763,32 829,01
SOLUCIÓN PASO1: Debemos ordenar la tabla de datos en forma creciente 43,07 97,94 170,72 243,41 461,15 673,45 742,90 835,14 919,39
56,06 118,94 174,51 251,83 473,74 705,55 763,32 852,44 927,49
72,06 136,76 189,10 253,90 490,94 717,34 774,02 859,76 949,14
73,16 137,28 224,61 353,18 510,13 718,43 784,01 869,57 950,77
336
87,95 146,19 226,96 358,48 546,56 722,36 829,01 888,39 965,75
96,65 167,49 235,69 376,43 558,50 731,09 831,52 897,99 992,42
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
PASO 2: Determinar el número de intervalos (Nc).
Incremento = R’ – R = 949,36 – 949,35 = 0,01 (Xmax’) = 992,42 + 0,005 = 992,425
Como tenemos 54 datos vamos a calcular la raíz cuadrada de este número ( Nc = n ) Nc = n (Nc =
54 = 7,348 ≅ 8 intervalos)
PASO 3: Determinar el ancho de cada intervalo.
Pero antes debemos determinar el rango como primera medida utilizando
(Xmin’) = 43,07 – 0,005 = 43,065
PASO 5: Determinar los intervalos de clases iniciales.
Observe con atención lo siguiente:
Xmax = 992,42 Xmin = 43,07
t
La columna Ni nos indica el número del intervalo o clase, para este caso lo vamos a incluir, pero no necesariamente se hace todo el tiempo.
t
El colocar la columna Li y la columna Ls en algunos casos es relativamente más cómoda.
t
Seguidamente se dará la información de los intervalos de clase iniciales en dos presentaciones, ambas son equivalentes, usted puede seleccionar la que le parezca más conveniente.
R = 992,42 – 43,07 = 949,35
Con el Rango y el número de intervalos, podremos hallar el ancho: R 949,35 = Nc 8 A = 118,67 A=
Ni
El ancho se debe ajustar para trabajar con el mismo número de decimales que en el conjunto de datos tratados, son dos decimales.
PASO 4: Determinar el nuevo Rango (R’).
Como el ancho fue ajustado, se procede a hallar el nuevo rango (R’). R’ = A • Nc R’ = 118,67 • 8 = 949,36
El incremento entre el nuevo rango (R’) y el rango inicial (R), se reparte entre el valor mínimo y el valor máximo.
Ls
Intervalos
43,065 – 161,735 1 43,065 161,735 161,735 – 280,405 2 161,735 280,405 280,405 – 399,075 3 280,405 399,075
A ≅ 118,67
Li
4
399,075 517,745
5
517,745 636,415
6
636,415 755,085
7
755,085 873,755
8
873,755 992,425
399,075 – 517,745 517,745 – 636,415 636,415 – 755,085 755,085 – 873,755 873,755 – 992,425
PASO 6: Determinar los intervalos de clases reales.
Observe
El límite inferior 43,065 (valor Mínimo) y el último límite Superior 992,425 (Valor Máximo) se deben mantener sin modificación.
337
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Como el límite superior del primer intervalo de los intervalos originales es 161,735 (tiene tres decimales) para crear el primer intervalo de clases reales, se debe agregar un cuarto decimal uno, así: 161,7351 y al límite inferior del primer intervalo real, siempre manteniéndolo sin cambios se le agrega un cero, así: 43,0650, por esto el intervalo en la tabla inicia así:
Ni 1
Li
Ls
Ni 1 2 3 4 5 6 7 8
Para obtener la frecuencia relativa dividimos el total de los datos por la frecuencia absoluta de cada intervalo de clase. Ni 1 2 3 4 5 6 7 8
Estos son los intervalos de clase reales en dos presentaciones, ambas son equivalentes, usted puede seleccionar la que le parezca más conveniente. Intervalos 43,0650 - 161,7351 161,7351 - 280,4051 280,4051 - 399,0751 399,0751 - 517,7451 517,7451 - 636,4151 636,4151 - 755,0851 755,0851 - 873,7551 873,7551 - 992,4250
Paso 7: Determinar las frecuencias absolutas.
Para obtener la frecuencia absoluta de cada intervalo de clase, se realiza el conteo de los datos ubicados en la tabla de datos que pertenecen en dicho intervalo.
54
43,0650 161,7351
Ls 161,7351 280,4051 399,0751 517,7451 636,4151 755,0851 873,7551 992,4250
total
Paso 8: Determinar las frecuencias absolutas, frecuencias relativas.
Haciendo el mismo procedimiento creamos el último intervalo de clases reales así:
Ni Li 1 43,0650 2 161,7351 3 280,4051 4 399,0751 5 517,7451 6 636,4151 7 755,0851 8 873,7551
Ls fi 161,7351 14 280,4051 7 399,0751 3 517,7451 4 636,4151 2 755,0851 7 873,7551 9 992,4250 8
8 873,7551 992,4250
Li 43,0650 161,7351 280,4051 399,0751 517,7451 636,4151 755,0851 873,7551
Li Ls fi hi 43,0650 161,7351 14 0,26 161,7351 280,4051 7 0,13 280,4051 399,0751 3 0,06 399,0751 517,7451 4 0,07 517,7451 636,4151 2 0,04 636,4151 755,0851 7 0,13 755,0851 873,7551 9 0,17 873,7551 992,4250 8 0,15 total 54 1,00
Paso 9: Determinar las frecuencias absolutas, frecuencias relativas y marcas de clases.
Para obtener la marca de clase de cada intervalo se suma el límite inferior y el límite superior, al resultado de esta suma se le divide por dos.
338
Ni 1 2 3 4 5 6 7 8
Li Ls fi hi MC 43,0650 161,7351 14 0,26 102,40 161,7351 280,4051 7 0,13 221,07 280,4051 399,0751 3 0,06 359,67 399,0751 517,7451 4 0,07 339,74 517,7451 636,4151 2 0,04 577,08 636,4151 755,0851 7 0,13 704,82 755,0851 873,7551 9 0,17 814,42 873,7551 992,4250 8 0,15 933,09 total 54 1,00
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2. En el siguiente conjunto de datos, se proporcionan los pesos (redondeados) a libras de niños y niñas nacidos en cierto intervalo de tiempo: 4
8 4
6
10 9 7 7
6 4
8
8 9
7
8
6
6
10 8
11
8
7
6 5 10
6
8
7
5
b) A la tabla anterior, vamos a unirle la columna de las frecuencias relativas.
7 7 8
9 6 3
9
7
4 7 6
9
7
5 6 5
7 10 8 5 7
a) Construir una tabla de distribución de frecuencia absoluta de estos pesos. b) Luego encontrar las frecuencias relativas c) Construir un histograma de frecuencias relativas con los datos de las partes a) y b).
Intervalos
fi
hi (%)
2,0
4,1
5
10%
4,1
6,1
14
28%
6,1
8,1
21
42%
8,1
10,1
9
18%
10,1,1 12,0
1
2%
Total
50
100
c) Construcción del histograma de frecuencias relativas
d) ¿Por qué se ha utilizado un histograma para representar estos datos, en lugar de una gráfica de barras? Solución: a) Antes de comenzar a construir la tabla de frecuencias debemos ordenar los datos en forma creciente: 3
4
4
4
4
5
5
5
5
5
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
6
7
9
6
8
9
6
8
9
6
8
9
6
8
9
6
8
6
8
6
8
6
8
7
8
10 10 10 10 11
Vamos a construir una columna con los 5 intervalos de clase reales y amplitud de 2 y la columna de las frecuencias absolutas. Intervalos 2,0 4,1 4,1 6,1 6,1 8,1 8,1 10,1 10,1,1 12,0 Total
hi (%)
d) Interpretación del gráfico: Se puede observar que la mayor cantidad de niños tuvieron un peso de 6 a 7 libras.
10% 28% 42% 18% 2% 100
339
Además, se utiliza un histograma en lugar de un gráfico de barras porque la variable peso es una variable cuantitativa continua. A los efectos de facilitar los cálculos se la redondea, pero su naturaleza igual sigue siendo cuantitativa continua.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 3. Se tiene la siguiente distribución de frecuencias de los salarios (por 1000 colones) de los 65 obreros de una compañía purificadora de agua.
C. Construya un histograma de frecuencias relativas. D. Construya un polígono de frecuencias absolutas.
SALARIOS (por 1000 colones)
NÚMEROS DE OBREROS
¢50,00 - ¢59,95
8
Solución:
¢60,00 - ¢69,95
10
1. Columna de las frecuencias relativas.
¢70,00 - ¢79,95
16
¢80,00 - ¢89,95
14
¢90,00 - ¢99,95
10
¢100,00 - ¢109,95
5
¢110,00 - ¢119,95
2
E. Construya un polígono de frecuencias relativa.
SALARIOS (por 1000 colones)
NÚMEROS FRECUENCIAS DE RELATIVAS OBREROS (En tanto por ciento)
¢50,00 - ¢59,95
8
8 = 0,123 = 12,3% 65
Construya la columna de frecuencias relativas y la columna de las marcas de clase faltantes y luego conteste:
¢60,00 - ¢69,95
10
10 = 0,154 = 15,5% 65
¢70,00 - ¢79,95
16
24,6
1.- El límite inferior de la sexta clase.
¢80,00 - ¢89,95
14
21,5
2:- El límite superior de la cuarta clase.
¢90,00 - ¢99,95
10
15,4
¢100,00 - ¢109,95
5
7,70
¢110,00 - ¢119,95
2
3,10
TOTAL: 65
TOTAL: 100,00%
TOTAL: 65
Para obtener las frecuencias relativas (hi) se divide la frecuencia absoluta (fi) del intervalo de clase (número de obreros) por el total de de los obreros N= 65
3.- La marca de clase de la tercera clase. 4.- Los límites reales de la quinta clase. 5.- Tamaño del quinto intervalo de clase. 6.- Frecuencia de la tercera clase. 7.- Frecuencia relativa de la tercera clase. 8.- Intervalo de clase que tiene mayor frecuencia.
2. Columna de las marcas de clase.
B. Construya un histograma de frecuencias absolutas.
340
Para obtener las marca de clase (Mc) se suman los extremos inferior y superior de los intervalos de clase y luego se divide por dos.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
SALARIOS NÚMEROS (por 1000 colones) DE OBREROS
FRECUENCIAS RELATIVAS (En tanto por ciento)
Marcas de clase
¢50,00 - ¢59,95
8
12,3%
50 + 59,95 = 55 2
¢60,00 - ¢69,95
10
15,5%
50 + 69,95 = 65 2
¢70,00 - ¢79,95
16
24,6%
75
¢80,00 - ¢89,95
14
21,5%
85
¢90,00 - ¢99,95
10
15,4%
95
¢100,00 - ¢109,95
5
7,70%
105
¢110,00 - ¢119,95
2
3,10%
115
TOTAL:
65
100,00%
Respuesta 1: El límite inferior de la sexta clase (¢100,00 - ¢109,95) es ¢100,00.
Respuesta 2: El límite superior de la cuarta clase (¢80,00 - ¢89,95) es ¢89,95.
Respuesta 3: La marca de clase de la tercera clase 1 (¢70,00 - ¢79,95) es (¢70,00 + ¢79,95) = 74,95 . En 2 la práctica se redondea a ¢75,00.
Respuesta 4:
Límite real inferior de la quinta clase: 1 (¢90,00 + ¢89,95) = 89,975 2
Límite real superior de la quinta clase: 1 (¢99,95 + ¢100,00) = 99,975 2
Respuesta 5: Tamaño del quinto intervalo de clase (¢90,00 – ¢99,95) es igual al límite real superior de la quinta clase menos límite real inferior de la quinta clase es igual ¢99,975 – ¢89,975 = ¢10,00.
Respuesta 6: La frecuencia de la tercera clase ¢70,00 - ¢79,95 es 16
Respuesta 7: La frecuencia relativa de la tercera 16 clase ¢70,00 - ¢79,95 es = 0,246 = 24,6% 65
Respuesta 8: El intervalo de clase que tiene mayor frecuencia es ¢70,00 – ¢79,95.
341
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Frecuencia absoluta
B. Un histograma de frecuencias absolutas.
C. Un histograma de frecuencias relativas en porcentajes.
D. Un polígono de frecuencias absolutas.
FRECUENCIA
20 16 14 10 8 5 2 55
65
75
85
95
SALARIOS ( en colones )
342
105
115
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
E. Un polígono de frecuencias relativas.
4. Se ha controlado el peso de 50 recién nacidos, obteniéndose los siguientes resultados:
Estos es lo mismo que:
Peso (en kg) Número de niños 2,5 – 3,0 3,0 – 3,5 3,5 – 4,0 4,0 – 4,5 Total
6
23 12 9
50
A. Construya una tabla de frecuencias relativas.
Grafique:
B.- El histograma de frecuencias absolutas Solución: A. Tabla de frecuencias relativas. fi
hi
2,5 – 3,0
6
6 ÷ 50 = 0,120 = 12%
3,0 – 3,5
23
23 ÷ 50 = 0,460 = 46%
3,5 – 4,0
12
12 ÷ 50 = 0,240 = 24%
4,0 – 4,5
9
9 ÷ 50 = 0,180 = 18%
Total
fi
hi
2,5 – 3,0
6
12%
3,0 – 3,5
23
46%
3,5 – 4,0
12
24%
4,0 – 4,5
9
18%
Total
50
100%
B. Histograma de frecuencias absolutas.
C.- Un polígono de frecuencias relativas.
Peso (en kg)
Peso (en kg)
50 50 ÷ 50 = 1,00 = 100%
343
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Con base en la información de la tabla anterior conteste las siguientes preguntas:
C. Un polígono de frecuencias relativas. POLÍGONO
Número de niños
a) ¿Cuántos obreros fueron consultados?
Respuesta:
b) ¿Cuántos obreros emplean entre 65 y 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?
Respuesta:
TRABAJO INDIVIDUAL 1 1. Se les preguntó a los obreros de una fábrica cuánto tiempo empleaban para trasladarse desde su domicilio al lugar de trabajo. Con los datos obtenidos se construyó la tabla de frecuencias que se muestra a continuación. Clase
Frecuencia Frecuencia (fi) relativa porcentual (%)
45 – 55
4
3
55 – 65
16
11
65 – 75
36
24
75 – 85
60
40
85 – 95
31
20
95 – 105
0
0
105 – 115
3
2
Totales
150
100,00
c) ¿Cuántos obreros emplean entre 55 y 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?
Respuesta:
d) ¿Cuántos obreros emplean entre 95 y 105 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?
Respuesta:
e) ¿Cuántos obreros emplean más de 85 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?
Respuesta:
344
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
f) ¿Cuántos obreros emplean menos de 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?
Determine: A.- Límite superior de la quinta clase.
B.- Limite inferior de la octava clase.
Respuesta: g) ¿Cuál es el porcentaje de los obreros que duran más tiempo en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo? Respuesta:
C.- Marca de clase de la sétima clase.
D.- Límites reales de la última clase.
E.- Tamaño del intervalo de clase.
2. Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias que indica el tiempo de duración efectivo de una muestra de 400 CD. Si se establece que el número de intervalos son 9, complete la columna de frecuencias relativa y la columna de marcas de clase. DURACIÓN (Horas)
NUMERO DE CD’S
300 - 400
14
400 - 500
46
500 - 600
58
600 - 700
76
700 - 800
68
800 - 900
62
900 - 1000
48
1000 - 1100
22
1100 - 1200
6 TOTAL: 400
Frecuencias Relativas
Marcas de clase
F. Frecuencia de la cuarta clase.
G.- Frecuencia relativa de la sexta clase.
3. El gerente de una agencia bancaria, de acuerdo a un estudio del tiempo de espera de los clientes, antes de ser atendidos por parte de los cajeros, obtiene para un día laborable cualquiera la siguiente información: Tiempo de espera (en minutos) 10 14 14 18 18 22 22 26 26 30 30 34 Total
345
N. de clientes 8 20 32 40 24 16 140
Construya la columna de las marcas de clase y la frecuencia relativa.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4. La siguiente información se refiere a una muestra de 120 componentes electrónicos y su duración. DURACIÓN (en miles de horas) 10 15 20 25 30
15 20 25 30 35 Total
7. La siguiente tabla muestra de distribución de frecuencia de los salarios ( en miles de colones) de los 110 obreros de una fábrica.
Nº de Componentes 8 24 44 28 16 120
Construya la tabla de distribución de frecuencias relativas
5. Las horas de estudio que 50 universitarios dedicaron a la preparación de un examen fueron:
25, 16, 42, 8, 36, 25, 19, 14, 12, 18, 21, 36, 46, 24, 18, 26, 31, 42, 26, 16, 5, 29, 14, 20, 26, 19, 32, 45, 28, 17, 34, 28, 9, 15, 24, 40, 36, 32, 23, 25, 35, 35, 26, 18, 7, 22, 17, 12, 16, 32
Salarios (en miles de colones)
Número de obreros
800 – 899
10
900 – 999
13
1000 – 1099
17
1100 – 1199
21
1200- 1299
22
1300 – 1399
15
1400 – 1499
9
1500 – 1599
3
Total
110
CONTESTE: a) La frecuencia porcentual correspondiente a la segunda clase es: A) 50
Agrupe los datos en cinco intervalos, y construye una tabla de frecuencias porcentuales.
B) 12 C) 55
6. Los siguientes valores corresponden a los índices de productividad de 20 establecimientos:
45,0
55,0
48,9
40,5
42,8
52,0
49,0
52,5
51,7
50,0
50,0
56,5
57,0
52,0
45,0
49,0
44,3
41,0
59,2
46,3
a) ¿Cuál es el valor extremo inferior?
Resp./ _____________________________
b) La frecuencia relativa correspondiente a la quinta clase es: A) 22 B) 0,02 C) 0,2 c) El valor medio o marca de clase correspondiente a la sexta clase es: A) 1399
b) ¿Cuál es el valor extremo superior?
B) 1300
C) 1349,5
Resp./ _____________________________
346
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
8. Considere la siguiente tabla de frecuencias: Ni 1
2
3
4
5
6
7
Lm
Ls
21,20 29,21
fi
hi(%)
5
12,50
37,21 45,21 10
25,00
29,21 37,21
2
45,21 53,21
7
61,21 69,21
3
5,00
17,50
53,21 61,21 12
30,00
69,21 77,20
2,50
Total
1
7,50
40 100,00
10. En una revisión se ha pesado a un grupo de 50 alumnos, con los resultados (en kilos) que se exponen en el cuadro. Complete la tabla de frecuencias.
Mc
25,21
33,21
41,21
53 61 71 63 58
57,21
64 43 62 55 81
73,21
69 64 56 68 63
49,21
66 65 54 67 76
42,5 - 47, 5
65,21
58 72 60 61 72
52,5 - 57, 5
9. Debido a un grave accidente, el gerente de una compañía consultora perdió información de un estudio de mercado que realizó a una importante compañía a nivel nacional de gaseosas. Solo se conoce algunos datos parciales sobre una entrevista que se elaboró a 150 personas. Lm
2
2,1
1
3 4
5 6
7
Ls
fi
0,0
2,1
24
4,1
6,1
35
6,1
4,1
8,1
8,1
10,1
12,1
14,0
10,1
12,1
Total
8
150
hi
Mc
67,5 - 72, 5 72,5 - 77, 5
57 56 63 64 59
77,5 - 82, 5
73 69 66 74 48
Total
11. Las estaturas (en centímetros) de los socios de un club de jóvenes, son las siguientes: 153 138 152 145 152
0,134
1,00
62,5 - 67, 5
70 61 65 56 74
0,246
0,107
57,5 - 62, 5
54 71 52 70 61
b) ¿Cuál es el límite superior del sexto intervalo?
Frecuencias
47,5 - 52, 5
60 50 62 45 67
a) ¿Cuál es el rango?
Nc
Intervalos
123 128 128 124 136
129 134 146 132 160
132 148 143 138 159
147 125 138 144 157
138 139 138 141 150
137 146 122 137 160
134 145 146 146 142
131 148 137 138 148
147 135 151 146 130
Con los datos de esta tabla, construya una tabla de distribución de frecuencias con 6 intervalos.
12. A partir de la siguiente tabla de frecuencias con datos parciales: Ni
13,05
b) ¿Cuántas personas toman 6 gaseosas a 12 por semana?
fi
10 14
3
18 22 10
4
a) ¿Cuántas personas toman 4 gaseosas o menos por semana?
Ls
1
2
Reconstruya la tabla de frecuencia.
Li
5
14 18
22 26
5
hi(%)
Mc
2
7
26 30 12
Total
36
a) Calcule las frecuencias: hi(%) y Mc . b) ¿Calcule el rango?
347
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA 13. Los siguientes datos corresponden a la temperatura medida en grados Celsius durante tres semanas en el distrito de Lourdes de Montes de Oca de la provincia de San José en cierta época del año.
a) Límite superior de la quinta clase. b) Límite inferior de la octava clase. c) Marca de clase de la sétima clase. d) Tamaño del intervalo de clase.
1º semana 14,9 14,3 15,2 22,8 16,8 19,0 18,7 2º semana 19,8 21,0 18,3 19,1 21,5 22,4 22,1
e) Frecuencia de la cuarta clase.
3º semana 20,9 20,6 18,8 18,9 17,2 16,1 15,6
Con base en el cuadro anterior, complete la siguiente tabla de frecuencias relativas. Temperatura (en Marca de Frecuencia Frecuencia Grados Celsius) clase absoluta relativa 14,75
3
15,5 – 17,0
f) Frecuencia relativa de la sexta clase. 15. Antes de construir una presa sobre un río, se efectuaron una serie de pruebas para medir el flujo de agua que pasa por el lugar de la presa. Los resultados de las pruebas se usaron para preparar la siguiente distribución de frecuencia: Flujo del río (miles de galones por minuto) 1001 – 1051
2 28,6 20,75 21,5 – 23,0 Total
21
300 – 400 400 – 500 500 – 600 600 – 700
700 – 800 800 – 900
900 – 1000
1000 – 1100 1100 – 1200 Total
14 46
68 62 48 22 6
49
1301 – 1351 1351 – 1401 Total
58 76
1151 – 1201 1251 – 1301
7
21
1201 – 1251
Número de tubos
Frecuencia
1051 – 1101 1101 – 1151
100%
14. La tabla muestra una distribución de frecuencias de la duración de 400 bombillos de una fábrica. Duración (horas)
Completar la tabla para luego determinar:
32 58 41 27 11
246
Con los datos de la tabla anterior construya una distribución de frecuencias relativas.
16. Los siguientes datos corresponden a la duración real, en años, de 21 baterías para automóvil, los cuales tienen una garantía de 3 años otorgada por el fabricante:
N = 400
348
3,6 2,3 3,1 3,7 4,1 1,7 3,4 3,7 4,7 3,3 3,9 2,6 4,8 3,9 3,3 2,9 3,5 4,4 4,0 3,2 3,8
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Con base en esta información complete la siguiente tabla y luego conteste lo que se pide: Intervalo de clase
Marca de Frecuencia clase de clase
1,50 - 2,12
TRABAJO INDIVIDUAL 2 1. Analice el histograma siguiente donde se especifican los años de servicio del personal docente y administrativo de una escuela.
Frecuencia de clase relativa
1,81
2,12 - 2,74 3,05 3,36 - 3,98
3,67
3,98 - 4,60 4,60 - 5,22
4,91 Totales
17. La siguiente tabla muestra las alturas (en centímetros) de todo el personal del ICER (profesores y administrativos). 1,81
1,76
1.21
1,58
1,66
1,65
1,69
1,69
1,62
1,16
1,24
1,71
1,65
1,60
1,50
1,66
1,50
1,21
1,64
1,50
1,83
1,55
1,75
1,44
1,68
1,54
1,64
1,93
1,61
1,56
1,40
1,84
1,60
1,71
1,67
1,75
1,62
1,52
1,74
1,51
1,50
1,63
1,69
1,34
1,53
1,66
1,61
1,73
1,61
1,83
1,30
1,45
1,67
1,66
1,65
1,60
1,45
1,31
1,41
1,61
1,38
1,77
1,57
1,58
1,31
1,28
1,69
1,61
1,68
1,60
Represente en una tabla lo siguiente:
a) La distribución de frecuencias absolutas.
b) La distribución de frecuencias relativas.
a) ¿Cuántos docentes y administrativos posee la escuela? b) ¿Cuántos de ellos llevan más de 20 años de laborar? 2. A partir de los siguientes datos, construya una tabla de frecuencia absolutas que contenga 7 intervalos de clase, para los siguientes datos: 31,2 19,0 66,1 96,6 42,7 87,7 5,3 51,2 60,7 67,0 81,2 40,4 26,6 6,4 57,3
349
44,3 59,9 5,4 36,5 10,6 11,7 11,7 67,0 29,6 32,1 75,5 42,4 70,1 19,1 62,1
31,8 87,9 47,9 74,0 56,0 30,1 31,4 46,8 55,6 82,2 91,0 31,8 30,4 77,6 40,9
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Además, construya un histograma de frecuencias absolutas.
Intervalos 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 - 70 70 - 80 80 - 90 Total
3. Se les preguntó a los obreros de una fábrica cuánto tiempo empleaban para trasladarse desde su domicilio al lugar de trabajo. Con los datos obtenidos se construyó la tabla que se muestra a continuación. Clase
Frecuencia
Frecuencia porcentual (%)
45 – 55
4
3
55 – 65
16
10
75 – 85
60
40
65 – 75 85 – 95
95 – 105
105 – 115 Totales
36 31 0 3
150
24 21 0 2
100
Construya un histograma de frecuencias absolutas (histograma de frecuencias) y un histograma de frecuencias porcentual (%).
Frecuencia (fi) 6 18 76 70 22 8 200
5. En una empresa se vienen reprogramando los tiempos de salida y llegada de sus autobuses. En particular se tiene el problema de determinar el tiempo de recorrido entre dos ciudades; para ello se acude a los archivos de los últimos tres meses y se toman aleatoriamente una muestra de 35 tiempos de recorridos entre tales ciudades. Los datos, en horas, se muestran a continuación:
4. Utilizando el siguiente histograma, complete en la tabla de frecuencias relativas dada, la columna de marcas de clase y dibuje un polígono de frecuencias. HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS
Frecuencia absoluta
Marca de clase
3.49
3.59
3.69
3.42
3.31
3.60
3.66
3.57
3.51
3.61
3.40
3.53
3.50
3.57
3.53
3.67
3.51
3.24
3.58
3.54
3.52
3.04
3.69
3.48
3.61
3.61
3.24
3.63
3.61
3.51
3.70
3.70
3.50
4.40
3.58
a) Realice un histograma de frecuencias absolutas y describa lo que se perciba en él. b) Establezca el tiempo máximo de los 35 datos de la muestra. ¿Eso significa que el tiempo máximo que hicieron los autobuses en los últimos tres meses fue ese valor? Argumente.
350
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
6. Considere el siguiente histograma y complete la siguiente tabla de frecuencias.
Intervalo
Frecuencia
Marca de clase
Intervalo de clase
Marca de clase
Frecuencia relativa porcentual (%)
8. En una finca productora de papas en Tierra Blanca de Cartago se realiza un análisis sobre la producción anual del año anterior. Este mostró los siguientes resultados:
Frecuencia relativa
7. Complete la tabla de frecuencias relativas porcentuales a partir del siguiente histograma.
a) ¿Cuáles son los cuatro meses de mayor producción? b) ¿A qué porcentaje equivalen los tres meses de menor producción? c) ¿Qué recomendación haría?
351
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
9. El siguiente gráfico corresponde a la precipitación anual.
Con base en la información suministrada: a) ¿En cuales años se dieron las mayores precipitaciones? b) ¿Cuál fue el promedio de precipitación anual en los 10 años mostrados? c) Elabore una tabla de distribución de frecuencias absolutas que resuma el gráfico anterior.
10. En una pequeña finca ganadera guanacasteca se han registrado 52 nacimientos en ocho meses, como se describe a continuación:
a) ¿Cuál es el mes con mayores nacimientos? b) ¿Cuál el menor número de nacimientos que se registró en un solo mes? c) Elabore una tabla de frecuencias relativas y otra de frecuencias absolutas.
352
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
11. En una determinada empresa se realiza un estudio sobre la calidad de su producción. La distribución siguiente informa sobre el número de piezas defectuosas encontradas en 100 cajas examinadas con 50 unidades cada una de ellas: N. de piezas defectuosas
0 1
N. de cajas
2
3
4
5
6
7 8 9 10
6 9 10 11 14 16 16 9 4 3
2
Construya el polígono de frecuencias absolutas.
12. A partir de los siguientes datos, construya la correspondiente tabla de frecuencia y grafique: 6,42
66,49 72,71
64,86
9,80
36,33
13,22
5,32
85,45
92,64 49,55 37,33
14,97 42,92 19,60
66,85 77,37 93,43 a) Un histograma b) Un polígono de frecuencia.
13. A continuación se dan los resultados obtenidos con una muestra de 50 colegiales. La característica es el tiempo de reacción ante un estímulo auditivo: 0,110
0,110 0,126 0,112
0,117
0,113 0,135 0,107 0,122
0,133 0,098 0,122 0,105 0,103 0,119 0,100 0,117
0,113
0,124 0,118 0,132 0,108 0,115 0,120 0,107 0,123 0,109 0,117
0,111
0,012 0,101 0,112
0,111
0,119 0,103 0,100
0,108 0,120 0,099 0,102 0,129 0,115 0,121 0,130 0,134 0,118 0,106 0,128 0,094 0,114
a) ¿Cuál es la amplitud total de la distribución de la distribución de los datos? b) Obtenga la distribución de frecuencias absolutas y relativas. c) Dibuje el polígono de frecuencias relativas.
353
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
14. La siguiente tabla muestra los diámetros en pulgadas de nuestra muestra de 60 cojinetes de bolas fabricadas por una compañía. 0,738 0,729 0,743 0,740 0,736 0,741 0,735 0,731 0,726 0,737 0,728 0,737 0,736 0,735 0,724 0,733 0,742 0,736 0,739 0,735 0,745 0,736 0,742 0,740 0,728 0,738 0,725 0,733 0,734 0,732 0,733 0,730 0,732 0,730 0,739 0,734 0,738 0,739 0,727 0,735 0,735 0,732 0,735 0,727 0,734 0,736 0,732 0,741 0,736 0,744 0,732 0,737 0,731 0,746 0,735 0,735 0,729 0,734 0,730 0,740
Construir una tabla de distribución de frecuencias relativas de los diámetros utilizando intervalos de clase, luego construya a) Un histograma de frecuencias absolutas. b) Un histograma de frecuencias relativas. c) Un polígono de frecuencias absolutas. d) Un polígono de frecuencias relativas.
15. La tabla muestra la cantidad de material radiactivo que se encuentra en el suelo de áreas recuperadas de minas de fosfato. Las mediciones de las cantidades de uranio 238 es 25 muestras fueron las siguientes (medidas en picocuries por gramo).
0,74
6,47
1,90
2,69
0,75
0,32
9,99
1,77
2,41
1,96
1,66
0,70
2,42
0,54
3,36
3,59
0,37
1,09
8,32
4,06
4,55
0,76
2,03
5,70
10,00
Constrúyase un histograma de frecuencias relativas con estos datos y su respectivo polígono de frecuencias relativas.
354
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
16. Se ha preguntado a los pacientes que han acudido un determinado día a la Clínica de Aserrí acerca del tiempo (en minutos) que han pasado en la sala de espera antes de entrar en la consulta. Se obtuvieron los siguientes valores: 28
4
12 35
27 16 18 32 28 37
7
2
26 45 22
8
47
8
6
23
12 34 15
39 15 25 18 17 27 15
a) Construya una tabla de frecuencias agrupando estos datos en los siguientes intervalos: 0 - 10, 10 - 20, 20 - 30, 30 - 40, 40 - 50
b) Represente los datos mediante un histograma de frecuencias absolutas.
17. En el siguiente conjunto de números, se proporcionan los pesos (redondeados a la libra más próxima) de los bebés nacidos durante un cierto intervalo de tiempo en un hospital: 4,8,4,6,8,6,7,7,7,8,10,9,7,6,10,8,5,9,6,3,7,6,4,7,6,9,7,4,7, 6,8,8,9,11,8,7,10,8,5,7,7,6,5,10,8,9,7,5,6,5. a. Construir una distribución de frecuencias de estos pesos. b. Encontrar las frecuencias relativas porcentuales. c. Dibujar un histograma con los datos de la parte a. d. ¿Por qué se ha utilizado un histograma para representar estos datos, en lugar de una gráfica de barras.
18. Un investigador médico desea conocer la eficacia de un tratamiento de diálisis en cuanto al mejoramiento de los niveles de calcio en pacientes renales que concurren habitualmente a cierta unidad hospitalaria.
Para ello midió los niveles de calcio de una muestra de 49 pacientes antes del tratamiento en cuestión. Las mediciones obtenidas fueron las siguientes: 98
109
97
106
99
100
93
102
96
98
102
99
85
83
82
89
100 83
75
91
77
86
96
81
91
88
97
84
87
90
83
355
96
105
90
103
94
72
90
103
86
82
87
87
101 81
82
99
81
73
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
a) Identificar la variable en estudio, a qué tipo pertenece. b) Construya una tabla de frecuencias para las mediciones efectuadas, considere 10 intervalos de amplitud 4. c) Calcule todas las frecuencias aprendidas d) Grafique la distribución, histograma y polígono de frecuencias absolutas. e) Extraiga las conclusiones que pueda obtener.
356
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
INTRODUCCIÓN El estudio de la probabilidad tiene gran importancia en la actualidad al ofrecernos un modo de medir y tratar la incertidumbre. Gracias a la probabilidad se han llegado a desarrollar y comprender diversos métodos estadísticos que son de múltiple utilidad en campos como el científico, profesional y social.
Recordemos.
Este desarrollo ha supuesto que sea esencial un conocimiento básico sobre las probabilidades y sobre todo del análisis de datos para llegar a ser un ciudadano bien informado y además un consumidor inteligente.
1 1 , esto es, P(A) = . 2 2 Por ejemplo:
La probabilidad, en particular, juega un papel destacado en la toma de decisiones en situaciones que involucran cierto grado de incertidumbre.
P(A) =
número de resultados en los que se presenta el evento A número total de resultados posibles
Donde cada uno de los eventos deben ser igualmente posibles, esto es “un evento o suceso A es igualmente probable si la probabilidad es un
En el experimento, lanzar una moneda al aire, los eventos: caer cara o bien caer escudo, tienen la misma probabilidad: P(lanzar una moneda) =
cae cara número total de resultados posibles
=
cae escudo número total de resultados posibles
=
1 2
Antes iniciar el desarrollo de los contenidos de Probabilidades de este libro Matemática Zapandí es necesario recordar un poco de donde provienen. La Estadística provee una manera racional de cuantificar esa incertidumbre, las probabilidades.
Hay tres formas de estimar o calcular la probabilidad. t La primera forma es la definición clásica de proba-
Al final de la semana decimoctava de Matemática Ujarrás resolvimos problemas donde se utilizo el cálculo de la probabilidad, de acuerdo con el enfoque clásico o laplaciano. El cual considera a la probabilidad como una medida de la incertidumbre asociada a la ocurrencia de eventos o resultados.
357
bilidad que fue una de las primeras que se dieron a principios del siglo XX y se le atribuye a Simón Laplace, también se le conoce como probabilidad a priori. Para calcular la probabilidad en este caso es necesario conocer, antes de realizar el experimento aleatorio, el espacio muestral y el número de resultados o sucesos elementales que entran a formar parte del suceso. Los sucesos o eventos son igualmente probables.
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA t La segunda forma es la definición empírica, “a
posteriori” o frecuencial que se basa en la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de experimentos repetidos. Se le reconoce como probabilidad frecuencial o de Von Mises.
13 tréboles A, 2, 3,…, 10, J, Q, K); y 26 son rojas (13 corazones y 13 diamantes):
tercera y ultima, la definición axiomática de probabilidad o definición de Kolmogorov la cual se basa en la frecuencia subjetiva de ocurrencia de un evento.
t La
Espadas
Diamantes
Corazones
Tréboles
Seleccionar uno de los tres enfoques dependerá de la naturaleza del problema. Aquí en este libro consideraremos la probabilidad de acuerdo con la definición empírica, “a posteriori” o frecuencial que considera la frecuencia relativa de presentación de un evento denotada por fi y que corresponde a la razón entre el número de veces (ni) que se observa un evento i y el número n total (n) de repeticiones del experimento fi = i . n Es decir, este enfoque propone que se calcule la probabilidad con base a la frecuencia relativa histórica, observada durante un gran número de experimentos: P(E) =
número de veces que ocurre el evento E número de veces que se realizó el experimento
n
n
n
En seguida haremos un breve repaso de algunos ejemplos que permitieron identificar eventos o sucesos para los cuales su probabilidad podía ser determinada empleando la definición clásica de Laplace o “a priori”, para luego realizar el cálculo de las probabilidades de sucesos utilizando la definición empírica “a posteriori” o probabilidad frecuencial. Ejemplo 1 Considere el experimento: se extrae una carta de un paquete de 52 cartas de las cuales 26 son negras (13 espadas A, 2, 3,…, 10, J, Q, K; y
La probabilidad de que la carta sea un as es 4 = 0,0769. 52 Porque el evento de “extraer un as” consta de 4 de los 52 resultados igualmente probables. La probabilidad de que la carta sea negra es 26 = 0,50 . 52 La probabilidad de que la carta sea un corazón 13 = 0,25. negro es 52
Ejemplo 2 ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia que tiene tres hijos, hayan dos niñas y un niño, si se considera igualmente probable el nacimiento de un niño o niña? Solución: Usando “a” para niña y “o” para niño, el espacio muestral es: E = {aaa, aoa, aoo, oaa, oao, ooa, ooo} ⇒n(E) = 8
358
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
P(E) =
n (E) 8 = =1 n (E) 8
t
Sucesos simples, es cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio. Los sucesos simples o elementales son subconjuntos del espacio muestral E con un solo elemento.
t
Sucesos compuestos son aquellos subconjuntos del espacio muestral E que constan de dos o más sucesos simples o elementales.
El evento A en que haya dos niñas y un niño es A = {aao, aoa, oaa} ⇒ n(A) = 3 n ( A) 3 P(A) = = = 0,3750 n (E) 8
Recuerde siempre 0 < P(A) < 1, puesto que 0 < n(A) < n(E).
Ejemplo 3 En un matrimonio, cada uno de sus miembros posee genes para ojos castaños y azules. Teniendo en cuenta que cada uno tiene la misma probabilidad de aportar un gen para ojos castaños que para ojos azules y que el gen para ojos castaños es dominante, obtener la probabilidad de que un hijo nacido de esta pareja tenga los ojos castaños. Solución: Gen de la madre
Gen del padre
E = {CC, CA, AC, AA}
Casos posibles = {CC, CA, AC, AA}
Casos favorables = {CC, CA, AC}
P(ojos castaños) = 3 4
Distinguimos tres tipos de eventos o sucesos n
Evento seguro
Decimos que un evento es seguro cuando el suceso aleatorio consta de todos los puntos muestrales del espacio muestral E, es decir, coincide con E. Se le denomina evento seguro porque ocurre siempre. Por ejemplo: a) El experimento de tirar un dado y mirar el resultado, el suceso o evento “sacar un número menor o igual que 6” es un suceso seguro.
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Puesto que, salga lo que salga, siempre el resultado será menor o igual que 6.
b) Si en una bolsa hay 10 bolas verdes, al sacar una bola de la bolsa, el suceso “que la bola que saque sea verde” es un evento seguro. n
También debemos recordar lo siguiente:
Clasificación de los sucesos o eventos Se pueden clasificar los sucesos o eventos según el número de elementos que entren a formar parte:
Evento imposible
Decimos que un evento es imposible cuando no puede darse en el experimento. Se denota por Ø a cualquier evento imposible. Por ejemplo a) El suceso A: “sacar un 7” al tirar un dado de seis caras, o bien
359
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA b) El suceso B: “sacar una bola blanca” de un recipiente que sólo contenga bolas negras. El último tipo de evento que estudiaremos se denomina evento o suceso probable. n
evento o suceso A es muy probable si la 1 probabilidad es mayor que un , esto es, 2 1 P(A) > . 2 t Un evento o suceso A es igualmente probable 1 1 si la probabilidad es un , esto es, P(A) = . 2 2 t Un
Evento probable
Decimos que un evento es probable cuando representan acontecimientos que puede presentar más de un resultado. Por ejemplo a) En el evento, cada nacimiento que se registra solo hay dos posibilidades: que el bebé que nazca sea hombre o mujer. b) Si en una bolsa hay diez bolas, varias verdes y varias negras, el suceso “que la bola que saque sea negra” es un evento probable. c) En una bolsa tenemos tres bolas numeradas como 1, 2 y 3.
El experimento de extraer una bola y anotar su número produce los siguientes eventos probables. { }, {1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3} Haciendo uso de las probabilidades de un evento o suceso A y considerando que el valor de estas se encuentran en el intervalo P(A) ∈ [0,1], podemos concluir que: evento o suceso A no puede suceder o es imposible si P(A) = 0.
t Un
evento o suceso A siempre sucede o es seguro si P(A) = 1.
ACTIVIDAD 1
Ordene desde el menos probable hasta el más probable los siguientes eventos. Si hubiera eventos imposibles y eventos seguros, señálelos. a) El dueño de la tiendita vivirá 105 años. b) La próxima semana no tendrá día martes. c) En el mes de octubre lloverá en la provincia de San José. d) El próximo 1º de enero comenzará otro año. e) El próximo animal mamífero que vea en la calle será un perro. f) Si tiro un dado obtendré un 6. g) Obtendré calificación aprobatoria en el examen de Matemáticas. h) El próximo bebé que nazca en su familia será varón.
¡Pero si la experiencia es irregular!, ¿cómo calculamos la probabilidad de cada uno de los sucesos o eventos?
t Un
evento o suceso A es poco probable o menos probable si la probabilidad es menor 1 1 que un , esto es, P(A) < . 2 2
t Un
Probabilidad frecuencial Es el valor fijo que tienen las frecuencias relativas de ocurrencia de un evento, de acuerdo con la regularidad estadística. Dicha probabilidad
360
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
proporciona resultados aproximados, es decir, proporciona estimaciones y no valores reales; además, los resultados son “a posteriori”, pues se necesita realizar el experimento para poder obtenerlo. Cuanto mayor es el número de pruebas realizadas más se aproxima el valor obtenido al valor desconocido de la probabilidad teórica. El número de pruebas a realizar dependerá del experimento y del número de sus posibles resultados.
de veces que ocurre el evento entre el número total de veces que se realizó el experimento. P(A) =
Número de veces que ocurre el evento A Número de veces que se realizó el experimento
Como el valor de la probabilidad es el de la frecuencia relativa, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que puede expresarse en forma de fracción, número decimal o porcentaje. Veamos algunos ejemplos.
Por ejemplo Al tirar un chinche puede ser que caiga con la “punta hacia arriba” o con la “punta hacia abajo”.
Ejemplo 1 Consideremos el experimento anterior de tirar 1000 veces el chinche con el suceso que este quede con la punta hacia abajo. Si suponemos que los resultados se resumen en la siguiente tabla: Punta hacia abajo 7 31 67 309 623 Nº de tiradas 10 50 100 500 1000
Para asignar la probabilidad a estos dos sucesos o eventos no se puede aplicar la regla de Laplace ya que no son equiprobales, (puede que el chinche caiga de lado), es por esto, que debemos recurrir a la experimentación.
Se observa que conforme aumenta el número de tiradas la frecuencia relativa del suceso “caer con la punta hacia abajo” se aproxima a 0,623. Punta hacia abajo 7 = = 0,70 Nº de tiradas 10 Punta hacia abajo 31 = = 0,62 Nº de tiradas 50
La probabilidad frecuencial es una medida que se obtiene de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite a futuro un comportamiento.
Punta hacia abajo 67 = = 0,67 Nº de tiradas 100
Sin embargo tengamos siempre presente, que no es definitiva por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen. Así pues tenemos que…
Punta hacia abajo 623 = = 0,623 Nº de tiradas 1000
La probabilidad frecuencial de un evento A, que se denotará P(A), se obtiene dividiendo el número
Punta hacia abajo 309 = = 0,618 Nº de tiradas 500
La probabilidad 0,623 es la probabilidad de que el chinche caiga con la punta hacia abajo, por lo tanto, la probabilidad de que el chinche caiga hacia arriba o bien de lado es 1 – 0,623 = 0,377.
361
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Esto se puede observar en el siguiente gráfico de barras:
Recuerde a) Las frecuencias relativas son mayores o iguales que cero.
Frecuencia relativa
1
b) La frecuencia relativa del espacio muestral es igual a la unidad. Ejemplo 2 Si consideramos que la moneda de la imagen está dañada en la cara del escudo su probabilidad ya no es igual.
C
E
Esto nos indica que algo no está bien con la moneda, por lo tanto se concluir está dañada. También mediante la probabilidad frecuencial podemos resolver problemas como los siguientes:
Para verificar que la probabilidad ya no es igual con este evento, podemos partir de las frecuencias relativas obtenidas cuando repetimos el experimento un buen número de veces. Suponiendo que se realiza el experimento lanzando esta moneda dañada 200 veces, los datos se pueden resumir, por ejemplo, así: f
fr
Cara
81
0,405
Escudo
119
0,595
Total
200
1,000
Ejemplo 3 Si una cara de un dado está cargada de tal forma que la probabilidad de que al lanzar el dado es cinco veces más probable su salida que cada una de las otras caras. ¿De que cara se trata?, ¿cuál es su probabilidad? Si lanzamos dicho dado 1000 veces y anotamos cada una de las salidas, y la resumimos en una tabla como la siguiente: Lanzadas 1
La probabilidad de cada evento (cara o escudo) se obtienen mediante las proporciones: P(cara) =
81 = 0,405 200
P(escudo) =
362
fr
97
0,097
96
0,096
2
501
4
97
0,097
101
0,101
3
5
108
Total
10000
6
119 = 0,595 200
f
0,501
0,108 1,000
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Se comprueba que el dado está cargado en la cara del número 2, calculando la frecuencia relativa, esto es: 97 P(1) = = 0,097 cinco veces 1000 501 P(2) = = 0,501 1000 96 P(3) = = 0,096 1000 97 P(4) = = 0,097 1000 108 P(5) = = 0,108 1000 101 P(6) = = 0,101 1000
Solución:
Esto se puede observar mediante el gráfico de columnas horizontales
b) Las personas probables producto de la entrevista que sufrieron un accidente de trabajo son 5 (0,05 x 100) personas.
Frecuencia relativa
1
a) N = 10 000 personas que equivale al número de veces que se repite el experimento.
Sea el evento A: “una persona que sufrió un accidente de trabajo de cierta industria”, entonces n(A) = 500.
Por lo tanto se tiene que:
P(A) =
n(A) 500 = = 0,05 n 10 000
La probabilidad que una persona sufra un accidente de trabajo, en 12 meses en la industria, es 0,05.
Observación Aquí se supone implícitamente que las normas de seguridad no han cambiado desde que se realizó el muestreo a las 10 industrias. Ejemplo 5
1
2
3
4
5
6
Ejemplo 4 Una muestra aleatoria de 10 fábricas de cierta industria que emplean un total de 10 000 personas, demostró que ocurrieron 500 accidentes de trabajo durante un periodo reciente de 12 meses.
Cuatro personas igualmente calificadas hacen solicitud para ocupar dos puestos idénticos en una empresa. Un y sólo un solicitante es mujer. Los puestos se llenan al seleccionar dos de los solicitantes a azar. a) Indique los posibles resultados para este experimento.
a) Obtenga la probabilidad de un accidente de trabajo en una industria determinada.
b) Asigne probabilidades razonables a los puntos muestrales.
b) Si se entrevistaron a 100 personas en forma aleatoria, ¿cuántas personas es probable que sufrieron un accidente de trabajo?
c) Encuentre la probabilidad de que la solicitante del grupo: mujer, sea seleccionada para un puesto.
363
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA Solución: a) Los posibles postulantes los podemos indicar como: P1, P2, P3, (hombres) y P4 (mujer).
Como la empresa necesita dos personas para puestos idénticos, el espacio muestral es:
E = {(P1, P2), (P1, P3), (P1, P4), (P2, P3), (P2, P4), (P3, P4)}
Cuando se utilice la probabilidad frecuencial, cada par ordenado de postulantes se concibe como un experimento.
E = {E1, E2, E3, E4, E5, E6}
Observando esto Jacob Bernoulli, genial matemático y científico suizo, postuló la ley de los grandes números, también llamada ley del azar, la cual afirma:
b) Las probabilidades razonables de cada punto muestral, por lo tanto será:
1 P(Ei ) = ; i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de veces.
c) La probabilidad de que la solicitante del grupo: mujer, sea seleccionada para una posición ocurre en el evento.
A = { (P1, P4), (P2, P4), (P3, P4)} A = {E3 ,E5 ,E7 } ⇒ P(A) =
ACTIVIDAD 2
n(A) 3 1 = = n(E) 6 2
Por lo tanto, tanto las mujeres como los hombres tienen igualdad de probabilidad para puestos idénticos en dicha empresa.
1. Según la encuesta de hogares en el cantón central de San José del año 2000 se ha obtenido el siguiente resultado.
En 3 meses de observación a una muestra de 16 684 personas entrevistadas, 4955 sufrieron una enfermedad o accidente.
Halle la probabilidad de elegir una persona que ha sufrido una enfermedad o accidente.
Importante Cuanto más grande es el número de veces que se realiza un experimento, la frecuencia relativa se aproxima a la probabilidad de ocurrencia de cada evento antes denominada probabilidad clásica.
Resp/.
364
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
2. Si lanzamos una moneda 1000 veces y hallamos que 532 veces resultan caras, ¿cuál es la probabilidad de salida cara y cúal de escudo? Resp/.
3. En la siguiente tabla tenemos el resumen del sexo de los bebés cuyas madres asisten a la Clínica Mercedes Chacón de Aserrí.
El resumen se hace desde una fecha determinada tomando sólo los partos de un único feto, (gemelos no se consideran). Número de partos Niñas
Cara Cara Cara Cara Cara Cara Total 1 2 3 4 5 6
Calcule la probabilidad frecuencial para cada evento. Resp/.
Niños
1º parto
1
-
2º parto
1
1
3º parto
2
2
5. De un recipiente con 5 bolinchas de diferentes colores, Anabelle sacaba bolinchas de una en una, regresando cada bolincha antes de volver a sacar otra.
10º parto
4
6
100º parto
57
43
1000º parto
545
455
En la siguiente tabla se registraron los resultados del experimento. Color de las bolinchas Veces que salió
Obtenga la probabilidad de que sea niño, ¿cuál es la probabilidad de que sea niña? ¿Qué opinión le merece el resultado?
Verde
Resp/.
Rojo
Anaranjado 4. Tiramos un dado 40 veces y anotamos para cada vez cuando sale cara.
Complete la tabla de frecuencias para el total de lanzamientos de acuerdo a la siguiente información:
365
Amarillo
Azul
132
108
120
126
114
ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Matemática - EL MAESTRO EN CASA
¿De qué color es la bolincha cuyo porcentaje de probabilidad de salir en este experimento es 2% menor que su probabilidad teórica de salir?
Total de lanzamientos Sale uno Sale dos Sale tres Sale cuatro Sale cinco Sale seis
La pelota de color amarillo. La pelota de color rojo. La pelota de color verde. La pelota de color azul.
t
20 =1 20
100%
t
¿Cree usted que si se repite el experimento de lanzar el dado pero ahora 10 veces se obtendrá la misma probabilidad frecuencial para cada uno de los eventos? ¿Por qué?
¿Y para 30 veces?
Resp/.
6. Tome un dado…, láncelo 20 veces.
20
7. Se ha realizado una encuesta a 400 jóvenes sobre el número de libros leídos en los últimos tres meses; 60 han leído novelas, 265 han leído libros de relatos y el de distintos tipos. Con estos datos, complete el histograma y la tabla de frecuencias.
¿Qué cree que suceda?
1 %
t
¿Qué número caerá con mayor frecuencia?
t
¿Qué número caerá con menor frecuencia?
t
¿Qué probabilidad tiene de salir un 2?
t
¿Qué probabilidad tiene de salir un 3?
Considere sus resultados y complete la siguiente tabla
366
%
%
Calcule la probabilidad de los tres casos. Respuesta:
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA ÁREA 1: NÚMEROS
3. ab2
7. a
NÚMEROS REALES
4. –b3
8. b 5 b
ACTIVIDAD 1, PÁGINA 9 1.
ACTIVIDAD 3, PÁGINA 25
a) irracional b) irracional c) racional e) irracional f)
g) racional
j)
[ −2, 5 [
NOTACIÓN GRÁFICA
c)
−14 13 ,
e)
]− ∞ , 0[
g)
3 2 , 9 ]− 4 , 6]
i) j)
irracional
]− 1 , + ∞[ ]0 , + ∞[ ]− ∞ , + ∞[ ]− 3 , 2 ]
l) d)
racional
n) ñ)
k) racional
10
− 3 9 , +∞ ]− ∞ , − 4]
d)
c)
h) racional i)
a)
b)
racional
NOTACIÓN DE INTERVALO
1. a)
d) irracional
o)
e)
o)
f)
NOTACIÓN POR COMPRENSIÓN
PÁGINA 10
no no no no no
b) {x/x ∈ ℝ, – 5 < x ≤ 8}
g)
−14 − 3 9 } c) {x/x ∈ ℝ,
h)
f)
i)
4
no no si no si
k) {x/x ∈ ℝ, − 2 < x <
k)
m) {x/x ∈ ℝ, x ≤ 0,5}
l)
PÁGINA 26
si si si no si Natural ? Entero ? Racional ? Irracional ? Real ?
4 2,171717… Número
{x/x ∈ ℝ, x > – 2}
h) {x/x ∈ ℝ, 3 ≤ x ≤ 7}
j)
2. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
m) n)
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 21 1. a
5. – 7b
2. –b
6.
10 }
g) {x/x ∈ ℝ, x < 0}
5
2,365678… −3 4 no no no no no no no no si si no no si si si
− 9
2.
ñ)
a 2
367
∈ ∉ ∉ ∈ ∉ ∉ ∈
8. ∈ 9. ∉ 10. ∈ 11. ∉ 12. ∉ 13. ∈ 14. ∈
5}
RESPUESTAS
6.
1.
4.
a) verdadera
b) falsa
X
c) verdadera
d) verdadera
e) verdadera
f) falsa
g) verdadera
h) falsa
6
a) <
g) <
b) <
h) >
c) >
i) >
d) <
j) =
e) >
k) <
7
f) =
l) >
NÚMERO
3.
X
X X X
1) 2) 3) 4)
X X
X
X
5) 6) 7) 8) 9)
∉ ∈ ∉ ∉
∉ ∈ ∈ ∈ ∈
14) ∈ 15) ∈ 16) ∉ 17) ∉ 18) ∈
8.
Número racional
Número irracional
X Entero negativo
10) 11) 12) 13)
∉ ∈ ∈ ∉
NO SI SI NO SI NO NO SI NO SI SI SI SI NO SI NO NO NO SI SI
d)
9. 1)
⊄
7) ⊄
2) ⊂
8) ⊂
3) ⊄
9) ⊂
4)
⊂
10) ⊄
5)
⊄
11) ⊂
6)
⊄
12) ⊂
10. 1. verdadero
NO NO SI NO SI
c) 3 – 3
7.
2. falso 3. verdadero
NO NO NO SI SI
b) 3
PÁGINA 30
4. falso
SI SI SI NO SI
a) – 5
verdadera
5. verdadero
NATURAL ENTERO RACIONAL IRRACIONAL REAL
2.
10 – 2,08 1,1212212221… 5 - 2,2424…
4
PÁGINA 28
SI SI SI NO SI
7 6 NO NO SI NO SI
−
5.
8 2
Entero positivo
e)
i)
X X
X
–3 0
100
d)
0,09
c)
20% 0,333… 0,333
NÚMERO
25 12
b)
X
a)
X
PÁGINA 29 2 32 32 3 25 7 3+ 4 − 2 − 2
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 27
X
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
11.
368
a) >
h) >
b) <
i) >
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA PÁGINA 32
c) {x/x ∈ ℝ, 2 ≤ x < 4}
c) {x/x ∈ ℝ, – 8 ≤ x < – 2}
c) >
j) =
5.
12.
d) <
k) <
a)
a)
e) <
l) =
f) =
m) =
b) ]– 2, 5[
b) ]– ∞,0[
g) <
n) =
c) {x/x ∈ ℝ, – 2 < x < 5}
c) {x/x ∈ ℝ, x < 0}
12.
6. PÁGINA 34
a) V
e) V
a)
b) V
f) V
c) V
g) V
b) [– 3, 2[
1.
d) V
h) V
c) {x/x ∈ ℝ, – 3 ≤ x < 2}
a) ]– 7 , – 2[
i) F
j) V
7.
15.
a) PÁGINA 33
b) ]1, 10[
13. Resuelta como ejemplo.
b) ]– ∞, + ∞[
14.
c) {x/x ∈ ℝ}
1.
8.
a)
a)
b)
]− ∞, 4[
c) [5, 10]
b) [11, + ∞ [
d) [– 2, 9[
c) {x/x ∈ ℝ, x > 4}
c) {x/x ∈ ℝ, x ≥ 11}
2.
9.
a)
a)
b) ]1, 3]
b) ]– ∞, 1[
c) {x/x ∈ ℝ, 1 < x ≤ 3}
c) {x/x ∈ ℝ, x < 1}
PÁGINA 35
3.
10.
16.
a)
a)
a) {x/x ∈ ℝ, – 2 < x < 4}
3 b) − ∞, 4
1 12 b) , 3 7
b) {x/x ∈ ℝ, 3 ≤ x ≤ 7}
c)
c)
c) {x/x ∈ ℝ, 1 ≤ x ≤ 6}
4.
11.
a)
a)
b) [2, 4[
b) [– 8, – 2[
e) ]– 5, + ∞[
d) {x/x ∈ ℝ, – 4 < x ≤ 0}
369
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA e) {x/x ∈ ℝ, x ≥ 0}
3.
d) No
( 2) 2 ( 3)
a) f)
b)
{x/x ∈ ℝ, x ≤ 5}
4
17. 1. C 2. B 3. D 4. A
4
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 43
125 2 π 2
c)
PÁGINA 36
e) No
12
1.
d)
( 11)
a) 2
d) 5
b) 5
e) 2, 10
e)
3 • 54 5 72
c) 8
f) 3 , 5
12
5
f)
a 5 x 3 y 5 z5
g)
m5 a n5 p 4 x 4 5
1
h)
π 6 • 37 • 3
4. CÁLCULO Y ESTIMACIONES ACTIVIDAD 1, PÁGINA 41 1.
2
b)
22
c)
7
0,0001
b) 4
0,04
0,0004
d)
2
c) 9
0,09
0,0009
d) 16
0,16
0,0016
e)
aa
e) 25
0,25
0, 0025
f)
yx
f) 36
0,36
0,0036
g) 49
0,49
0,0049
h) 64
0,64
0,0064
i) 81
0,81
0,0081
1 5 p
3.
f)
x + 3
g)
1 x 2
h)
1 5
a
3 5
6 5
3 5
4
5
10
g)
3 a b
h)
2 7 a 7 b 7
ACTIVIDAD 3, PÁGINA 47 1.
PÁGINA 42 5. a)
2.
f) 8
e) – 4d
3 5
0,01
c) 7
215
0,3162…
0,01
b)
3
32
b) 3
0,3
0,03
c)
3
9
c) 6
0,6
0,06
d)
3
m
d) 8
0,8
0,08
4
e) 0,2
20
200
e)
(ab)
3
f) 4
40
0,04
f)
x y z
g) 5
0,5
50
h) 0,7
70
0,07
i) 9
0,9
900
4
6
a)
8x 3 y yz
b)
3x 2 z4 3 2x
c)
9a 2 c 3 ab
d)
4a 2 c 5 3 2a 2 b2
2.
2
a) 1
3
7
4
6. b. NO c. Si
d)
d) 3x
3
a) 1
b) – 2
1 125 e) – 0,5
a) 4
c) t
4 3
a)
2.
6
370
a)
15
3x
b)
2x 2 y
c)
18
d)
24 x
e)
4mn 16 (mn)
f)
8
3
g)
24
2
8
xy 2
32x 2 y 2 3
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA ACTIVIDAD 6, PÁGINA 55
h)
3
x2
i)
12
7x
j)
4
k) l)
a)
4 2
2
b)
15 3 2
6
3 5 ab 2
c)
− 5
d)
3
12
2 ax 3
e)
4a 3
f)
a 3a
g)
5x 3 2x 2
m) 5 n)
4
ñ)
a 10
a)
23 2
b)
4
c)
5 xy
d)
3
e)
1.
3 2
2.
30 6
3.
6
x
5.
3a 2 ax
2x • 8 x
6.
2x 3 5y 2
125 abc
g)
2 30 18
h)
330 313
i)
− 3 6 2 a 3 b2
j)
12
a
k)
6
x
7.
x
1)
4
25 ,
3
2)
12
256 ,
12
512 ,
3)
12
625 ,
12
8,
4)
20
243,
20
256 ,
5)
18
64 ,
6)
6
7)
2
12
8)
12
218 a18 x 9 ,
9)
15
32m n ,
10)
18
8y 9 ,
4
18
27 ,
125 x , 3
6
a4 , 3
5
729
8.
24a 4 2ab2
9.
3x
6
20
1510
16 x y ,
12
2
64b6 , 4 12
5
15
18
x12 ,
b)
5 6
e)
6
ab
12
125x 6
3
9x 3 y 2
27m p , 6
3
25m14
15
5m p 3
3
1 3
3 2 5 2
PÁGINA 60
9a10 m8
18
2 2
d)
81 4
a)
c)
729
12
18
12
2
86
2b2 a4
l)
26
1 2
f)
c ab2
g)
16 10 x 3 9 2
371
12y 2 z
ACTIVIDAD 9, PÁGINA 61
e)
4x
6
ACTIVIDAD 8, PÁGINA 59
ACTIVIDAD 5, PÁGINA 52
k)
d)
11. 5ab2 10 a 9 b7
5
12
c)
10. 2a12 27a 5 b11
5
j)
b)
6ab a
6
3125m n
a)
4.
f)
81 x
6
i)
ACTIVIDAD 7, PÁGINA 58 ACTIVIDAD 4, PÁGINA 49
h)
f) g) h)
2 5 5
3 7 7
3
9
3 2 4
2
5
5 3
6
4
1
5
3 9
10
8
ACTIVIDAD 10, PÁGINA 62 1.
53 2 4
2.
3 3 100 50
3.
3
4.
13 36 2
5.
7 3 25 5
6.
3
7.
7 3 121 11
9
4
RESPUESTAS c)
− 3 24; − 2 3 81;
3
3
Matemática - EL MAESTRO − 3 8EN • 3; −CASA 2 3 27 • 3; − 2 3; − 6 3; 3
8. 9.
2
3
4 2
3
9 6
5 12 8−3 5 = 12 12 23 6 20 15 + 8 23 = 20 20
a)
11 3
b)
− 8 5
c)
13 x
d)
− 2 x
e)
5 4 • 2 + 15 2 =
n) n)
10 2 + 15 2 = f)
7 3 g)
2
7 25 • 2 − 3 2 = 35 2 − 3 2 =
2
2 3−3 3+5 3 =
32 2
(2 − 3 + 5) 3 = 4 3
h)
9•5 −
4•5 =
3 5 −
2 5 = 5
2. c y d 3.
i)
9•4•2 +
5 3; 12 3; − 15 3
49 • 2 =
3•2 2 + 7 2 =
2 48; − 5 27
13 2
25 • 3; 3 16 • 3 ; − 5 9 • 3 j)
9•5 +
16 • 5 =
3 5 + 4 5 = 1 2a 5
3 8a; 4 18a;
1 3 4 • 2a ; 4 9 • 2a; 2a 5 1 6 2a; 12 2a; 2a 5 c) − 3 24; − 2 3 81;
3
3
− 8 • 3; − 2 27 • 3; 3
3
− 2 3; − 6 3; 3
33 • 7 3 •7 3 • 3 33 7 3•3 7 93 7 93 7 3 3
3
+ + + + + +
8•3 + 8•3 + 2 33 3 + 2 3 +
1 1 33 16 2 16 2 13 1 38•2 2 8•2 2 2 3 2 32 2 2 2
+ + + + + +
3 9•3 − 2 3 = 9 3 − 2 3 =
12 − 27 + 75 =
75;
3
3 3
25 2
3• 2 − 3• 3 + 3• 5 =
b)
3 3
4.
3
2
a)
l) l)
m) m)
PÁGINA 68
1.
c)
3
7mx 3m; 5mx 3m; 4mx 3m
TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 67
b)
3
x 49 • 3m2 m; m 25 • 3x 2 m; x 16 • 3m2 m
11. 3 3 3
a)
3
d) x 147m3 ; m 75x 2 m; x 48m3
53 4 10. 2
12.
3
3
3
3
7 5 k)
7mx 3m; 5mx 3m; 4mx 3m
b)
56
c)
m 3 n3
d)
a 7b7
e)
52 x2
f)
a2 x2
g)
67 a 7b
h)
25 a 5b5
13
5
5
8
3
1
7
7
3
1
2
1
6
b)
7
a11
− 10 3 2 =
c)
3
2a
63 2
d)
4
3x 2
e)
5
f)
3
2 • 23 3 2 − 2 • 5 3 2 =
372
7
6. 32
23 • 53 • 2 =
3
x 49 • 3m2 m; m 25 • 3x 2 m; x 16 • 3m2 m
53
5
3
3
d) x 147m3 ; m 75x 2 m; x 48m3
7
a)
a)
2 3 29 • 2 − 16 3 2
5.
(a + b) 32 • 7 m 4
3
6
6 3 26 • 7 = 6 2 •7 = 2 6 • 22 3 7 = 6•2 37 = 24 3 7 = 24 3 7 = 33 33 7 33 7 3 27 • 3 = 3 27 • 3 = 3 33 3 = 3 3 = 5 33 3 5 3 1 1 33 250 = 3 250 = 3 13 1 3 125 • 2 = 3 125 • 2 = 3 5 3 5 32 = 3 2 = 3 8 3 8 3 2 3 2 3
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA PÁGINA 69
PÁGINA 70
7.
11.
a)
3
b)
3;
x
20
6
x
d)
p
8
e)
4
3y − 2
f)
2 (x + 5)
g)
5y 10y
h)
15xy y
2;
4
2 • 10
c)
3 ; 10
3 ;
2
5
2
4 • 5
2 ; 20
10
20
2 ;
2a;
3
3a;
=
5
12
5 • 4
5
2
2
2 • 4
=
b)
(x + 5)
26 a 6 ;
2 • 6 12
c)
26 a 6 ; 2;
3
60
d)
2; 2 ; 6
12
4 • 15
215 ;
215 ;
60
4 • 3
22 • 3 a 3
=
26 a 3
3 • 4
34 ;
4 • 3
3 ;
12
2
=
43
=
6
12. a)
3
3 • 4 2a
9. a)
10
b)
21
b)
c)
4
ab
d)
5
ab c
e)
7
24a b
3 3
3 4
4
12
34 • 12 2 3 a 3
12
648a
3
a • 4 a 2 b • 5 b2
3 • 20 3 6
=
34 • 4 • 3 2 3 a 3 =
3• 4
a
=
3
20
•
4 • 15
60
a 20 • a 30 b15 • b24
60
a •b 50
=
a b • 5 • 12 b24 = 30
15
=
39
10. c)
3
2a • 4 4a •
5
2b =
a)
5 6
b)
2 7
3 • 20
c)
2 10
60
220 a 20 • 2 30 a15 • 212 b12
d)
4b 3ab
60
2 a •b
e)
2a b
2
60
2
2
b
220 a 20 • 4 • 15 415 a15 • 5 • 12 212 b12 =
62
35
12
=
=
4 a 35 • b12
Impor tan te :
( )
415 = 22
373
d) e)
212
4 =
b) c)
212
5 • 12
4
4
a)
2 =
5
3 ;
26 ;
2 • 6 12
2;
60
3
34 a 4 ; 12
a8b4
•
12
a11 • b7
15
= 2 30
− 5 a 4 21 4 ab a 20 − 8 5 5 ab b 35 − 3 a 6ab 5 2 ab b 7
PÁGINA 71 14.
= 4 • 3
a 8 b 4 • a3b15
13.
4a =
34 a 4 ;
12
4
2 30 ;
4
3 • 4
2 30 ;
3 • 20
8.
a 2 b • 4 ab5
a
'
8
p
2
3
3 • 4
a)
x
d)
a3b15 = =
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO66 EN CASA 2 e) e)
2 = 5
i) j)
1 1 9 9 1 =− • =− =− 9 2 9 9 9 9 9
−
−3 −1 = 9 3
= k) l)
2 5 10 10 1 • = = = 10 5 5 5 5 52
g) g)
1 1 − 25 −5 −1 − =− = = = 25 25 25 5 252 30 = 70
f) f)
3 7 • = 7 7
21 7
h)
15. a) b)
8 8 3 24 6•4 2 6 = • = = = 3 3 3 3 9 9
c)
12 12 • 5 60 22 • 15 2 15 = = = = 5 5 5•5 25 25
d)
3 3•5 15 15 15 = = = = 5 5 5•5 25 25
e)
xy xy x x•y xy = = 2 = = 2 y y y•y y y
PÁGINA 72
b)
=
3 6
=
3 3 6 2
2
3 3 3 6
6 2
• •
3
=
2
=
3 2
1 2 1 = • 3= 3 2 2 2 5 2
3 15
=
5 32 6
e)
7
=
12
5
3 12
=
6 • 22
3 22 • 3 6 • 22
3 15 5 2
5
•
5 10
2
2
=
2•3•7•3 2
2
7 • 1• 2 • 3
3 30 5 2
3
=
3
3 30 3 = 30 5 • 23 40
=
9•2
2•2
=
3
2
2
=
2•2
3•3
2
7
=
2
3
2 2
=
1 1 3 5 5 3 1• 1 3 1 15 = = = • 3 5 5 • 3 5 5 15 5 3 5 1 3 15 3 15 3 1 = = 15 = 15 5 152 5 15 75 25
b)
5 + 3 4 15 + 4 32 4 15 + 12 • = = 2 15 + 6 = 5−3 5 − 3 5 + 3 5 2 − 32
c)
a + b 2 3 a + b 2 3 a + b • = = a−b a − b a + b a 2 − b2
d)
a − 2 3 a − 2 3 a − 2 3 • = = a−4 a + 2 a − 2 a2 − 4
e)
5 − a 20 − 4 a 20 − 4 a 4 • = = 25 − a 5 + a 5 − a 52 − a 2
2
4 3
(
3− 2
(
(
2 3
(
)
) (
(
)
(
)
)
)
(
)
3 5− 3 3 5− 3 5 − 3 3 • = = = 2 2 5−3 2 5 + 3 5 − 3 5 − 3 3
)
(
5− 3
)
g)
2 3 − 5 5 − 2 3 2 15 − 4 9 − 25 + 2 15 4 15 − 17 4 15 − 17 17 − 4 15 • = = = = 7 5 − 12 −7 5 + 2 3 5 − 2 3 52 − 4 9
h)
3 + 2 5 + 3 15 + 3 + 10 + 6 3 + 15 + 10 + 6 15 + 9 + 10 + 6 • = = = 2 2 5−3 2 5 − 3 5 + 3 5 − 3
2
3
7 2 7•4 71•• 14 = 2 72 = 21 7 = 2 7 =2 1 = 7=2 7 2 1• 1 1 1
3 − 2 3− 2 3 − 2 • = 2 = 2 2 =2 2 3 + 2 3 − 2 3 − 2 3−2
i)
2 f)
2
2
63 3
=
6
7 71 = 11 = 41 4
2
2 2 23 22 = 23 = 2 3 3
a)
f)
5 10 1 c) = • = = = 10 2 3•5 3 3 5 3 5 5 3 5 d)
5 2
6 6 = 3• 3 9
2•2 23 •• 23 = = 3•3
9•2 3 92 •• 22 = 23 2 2 = 2•2 2
3 2 32 = = 2
17.
16. 2
2
2•3•7•3 2 27 •• 31•• 272• •33 = = 2 7 • 1• 2 • 3
3
=
1 3 3 3 • = = 3 3 3 9
a)
7 7 = 1 = 14 4
21 7
=
2
7 = 7 12 = 12 63 63 2 23 = 33 = 23 2
j)
4
2 3−5 3
=
4 3 − 4 3 − 4 3 • = = 9 −3 3 3 3 32
3 5 + 5 3 9 52 + 15 15 9 • 5 + 15 15 45 + 15 15 − 3 − 15 3 5 • 374 = = = = 2 − 30 3 5 − 5 3 3 5 + 5 3 9 52 − 25 32 9 • 5 − 25 • 3 2
g)
h)
x
2 3 − 5 5 − 2 3 2 15 − 4 9 − 25 + 2 15 4 15 − 17 4 15 − 17 17 − 4 15 = = = • = 5 − 12 −7 7 5 + 2 3 5 − 2 3 52 − 4 9 3 + 2 5 + 3 15 + 3 + 10 + 6 3 + 15 + 10 + 6 15 + 9 + 10 + 6 • = = = 2 2 5−3 2 5 − 3 5 + 3 5 − 3 4 4 3 − 4 3 − 4 3 = = • = 9 2 3 − 5 3 −3 3 3 3 32
j)
3 5 + 5 3 9 52 + 15 15 9 • 5 + 15 15 45 + 15 15 − 3 − 15 3 5 • = = = = − 30 2 3 5 − 5 3 3 5 + 5 3 9 52 − 25 32 9 • 5 − 25 • 3
(
x =
x ≈ 7,81
b) 92
RESPUESTAS 81 = 16 + x 2 2
65 = x
) (
) (
l)
3 + 2 2 − 1 6 − 3− 2 +2 6− 3+ 4− 2 • = = 6 − 3− 2 +2 = 2 −1 2 + 1 2 − 1 22 − 12
2
144 = 49 + x 2 144 − 49 = x 2 95 = x 2 95 = x
9,75 ≈ x d) x 2
5. 50 000 000 de usuarios donde cada uno requiere 2747 Mb
TRABAJO INDIVIDUAL 3, PÁGINA 76
50 000 000• 2747 Mb =
1. 341 archivos de música
5•107 • 2747 Mb = 13 735•107 Mb
3. 1 Gb = 10 kb = 1000 000 kb
El 25% de 1000 000 kb representa 250 000 kb
El mapa es de 280 000 kb
No se puede almacenar, sobrepasa la canidad de almacenamiento
x
= 14 400 + 2500
x
2
= 16 900
4. 850 Tb = ? kb
1012 b 1• kb 850 Tb = 850 Tb • • 1 • Tb 10 3 b 850 •1012 kb = 10 3 = 850 •109 kb Como se quieren albergar 24 000 000 000 de páginas en los 850 Tb 850 Tb ÷ 24 000 000 000 = 9
e) 2002
1 • 106 b Pb • 1 • MB 1015 b 1 • 106 Pb 13 735•107 Mb = 13 735•107 • • 15 1 10 7 6 •1•10 13 735•10 13 735•107 Mb = Pb 1015 137,35 Pb Respuesta: Para mantener el servicio se necesita 137,35 Pb
36 864 = x 2 36 864 = x
192 ≈ x
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 85 1. a.
( 4,1)2
81 < 65,81 acutángulo
a) x
2
= 5
x
2
= 25 + 36
2
+ 6
2
rectángulo c.
612 < 552 + 422 3721 < 3025 + 1764 3721 < 4789
61
acutángulo
x ≈ 7,81
850 • 10 kb ÷ 24 000 000 000
850 kb ÷ 24 =
35,41 kb
81 − 16 = x 2
El tamaño de media página es 17,705 kb.
8,06 ≈ x
d.
= 42 + x 2
81 = 16 + x 2
16 25 25 1 = 25 1 = 1
= 72 + x 2
95 = x 2
e.
2
375
9 25
(2,5)2
= 22 +
(1,5)2
6,25 = 4 + 2,25 6,25 = 6,25
9,75 ≈ x 2
+
2
rectángulo
144 = 49 + x 2 144 − 49 = x
2
4 3 12 = + 5 5 1 =
65 = x
95 = x
(0,5 )2
1,69 = 1,69
TRIÁNGULOS ACTIVIDAD 1, PÁGINA 83
1,32 = 1,22 +
1,69 = 1,44 + 0,25
ÁREA 2: GEOMETRÍA
2
92 < 72 +
81 < 49 + 16,81
b.
c) 122
= x 2 + 562
40 000 − 3136 = x 2
6. Libre
b) 92
16 900
40 000 = x 2 + 3136
13 735•107 Mb = 13 735•107 Mb•
x =
=
x ≈ 130
13 735•107 Mb
= 1202 + 502
2
x
CANTIDADES MUY GRANDES Y MUY PEQUEÑAS
= 72 + x 2
c) 122
)
k)
6
= 42 + x 2
8,06 ≈ x
8 + 3 5 8 + 3 5 8 + 3 5 2 •2 + 3 • = = =2 2+ 3 = 8−3 5 8 − 3 8 + 3 8 2 − 32
2. 1024 fotos
61
81 − 16 EN = x CASA Matemática - EL MAESTRO
i)
5
= 25 + 36
2
rectángulo
acutángulo d.
2
4 3 12 = + 5 5
2
16 9 + 25 25 25 1 = Matemática 25 1 = 1
RESPUESTAS
1 =
- EL MAESTRO EN CASA
rectángulo e.
(2,5)2
= 22 +
(1,5)2
6,25 = 4 + 2,25
Parte D Parte E
6,25 = 6,25
d) correcta
Si, puesto que 372 ≠ 302 + 202 2
2
e) correcta 2
Si, puesto que (22,1) ≠ 14 + (17,)
rectángulo
Parte F
a) si
b) si c) si d) no e) si
Debe tener una longitud de 6,18 m aproximadamente.
Parte A a) si
b) x = 25
El área es de 60 pies cuadrados.
Parte I
No es rectangular
Parte A
PÁGINA 88 c) no
d) x = 2 6 e) x = 19 f) x = 4 3. a)
AB = 6 3 6
BC =
2) cateto: 17 hipotenusa: 17 2
AD = 3 3 + 3
4) cateto: 4 cateto: 4
e) no
c) x = 8
1) 2 2 3) cateto: 5 cateto: 5
d) no
2. a) x = 5
La diagonal de la cancha tiene de longitud 122,06 m
ACTIVIDAD 4, PÁGINA 93
b) no
PÁGINA 96
ACTIVIDAD 3, PÁGINA 87
g) correcta
Parte G
Parte H
f) si
2 2 incorrecta, debe ser s = r + t
h) correcta
PÁGINA 90
2.
f)
2
= 9+
PÁGINA 94
Parte B
Parte B
a)
1) cateto: 3 hipotenusa: 2
91
3 6
Perímetro ABCD = 6 +
+
2
3 6 2
+
2 2 2
2 2 2
+3+3 3
+3 3
3 2 3 6 9 12 • 2 = 2 = 9 12 = 9 3 Área D BCD = 2 2 2 8 4 1
x = 1,80 ; y = 3,354
2) cateto: 3 hipotenusa: 2 3
c)
x = 5 2
d)
x = 5 ; y = 5 ; z = 9,16
3) cateto: 2 cateto: 2 3 4) cateto: 1 hipotenusa: 2
PÁGINA 97
5) cateto: 3 3 hipotenusa: 6 3 6) cateto: 19 hipotenusa: 38
La medida del segmento BC es 2
El perímetro del triángulo ACE es 4 + 4 + 4 = 12 El área del rectángulo ABDE es
b)
PÁGINA 89
7) cateto: 3 ; cateto: 3
Parte C h
a
b
8) cateto: 8 7 ; cateto: 8 21
9
40
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 95
17
15
51
9 3 5 1 4
41 1
5 12
b) Respuestas:
8
50,20 4 5 1 3
4•2 3 = 8 3
1.
El área del triángulo ACE es 4•2 3 8 = 3=4 3 2 2
a) correcta b) incorrecta, debe ser y 2 = x 2 + z2 c) incorrecta, debe ser b2 = a 2 + c 2
376
c) Respuestas:
La medida de BC es 6
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA 2.
a) Si porque 32 + 42 = 52
a) d = 20
b) Si porque 62 + ( 2,5 ) = ( 6,5 )
2
a) BC = 10
c) Si porque 32 + ( 7,2 ) = ( 7,8 )
2
b) AC = 12
d) No porque 42 + 62 ≠ 82
c) BC = 2 2
3.
d) La altura es de 3,82 m aprox.
c) x = 5,2 cm
5
PÁGINA 100
b) BC = 6; CA = 6 3
6. La distancia es 13 m PÁGINA 101
4 3 2
a) AB = 18; CA = 9 3 c) AB = 12; CA = 6 d) BC =
(1, 0)
1
La medida del lado mayor es 10 y tiene un perímetro de 24.
5.
0
f)
(4, 0)
PÁGINA 104
(4, 4)
e) No caben, pues ni diagonalmente se pueden acomodar, ya que esta diagonal mide 2,6 m.
27 27 ; CA = 3 2 2
e) AB = 8 3 ; CA = 12
0
d) Si caben las varillas en la bodega.
d) x = 3,87 cm
–1
c) La longitud debe ser de 18,5 m
7
PÁGINA 99
6.
b) x = 3,60 cm
6
a) x = 4 cm
4. Resp. El perímetro de la figura es: 5 ul +2 ul +6,71 ul =13,71 ul
5. Resp. El perímetro de la figura es P = 8 + 5 + 8,25 + 7 = 28,25 ul
4.
b) mide 185 m
PÁGINA 109
–2
a) mide 55 m
c) La longitud del cable debe ser de 2 veces 15,02m ( 30,04 m)
(–2, 0)
5.
d = 17
PÁGINA 103
1
AC = 2 6
c) A (– 4, –2); B(0, –3)
(5,5, 2)
f)
d = 12
2
e) BC = 5
b) A (–1,3); B(5,-3)
a) Mide de ancho 30 m b) Mide de ancho 7m
d= 8
(–0,5, 2)
PÁGINA 98
a) A (1, 1); B(3, 3)
3
5
3.
(7, 4)
d) AC =
2
b) d = 37
(1, 4)
4.
2
4
2.
5
3 La medida de RC es 2 6 La medida de AQ es 3
b) Mide aproximadamente 11,66 m
10 20 3 3 ; BC = 3 3 g) XZ = 6 2 ; YZ = 6 2
8.
h) XY = 6; YZ = 3 2
1 b) Puntos medios: (4,4) 5 , 2 (1, 2 0), (– 0,5, 2)
i) XY = 4 2 ; XZ = 4
c) Diagonal: 9,85 ul
7. a) Mide aproximadamente 64,03 m
1. x = 6 2. x = 3 + 2 5 TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 102 1. Respuesta: El lote mide de largo 48 m.
f) AB =
j) XZ = 8; YZ = 8 TRABAJO INDIVIDUAL 3, PÁGINA 108 1. Libre
a) Perímetro: 6 + 5 + 6 + 5 = 22 ul
Diagonal menor: 5
PÁGINA 110 7. Libre 8. Libre 9. Libre 10. Libre
377
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA ÁREA 2: GEOMETRÍA
3.
TRIGONOMETRÍA
(a)
ACTIVIDAD 1, PÁGINA 114 a ) 60° = 60 • b) c) d) e)
a) b) c) d) e)
n sen A = p cos A =
π
m n n cot A = m a c b cos A = c a tan A = b b cot A = a
sen A =
20 1 posición 1 = 40 2
b) razón:
30 1 posición 2 = 60 2
sen A =
50 1 = posición 3 100 2
cos A =
6 7 13 7
6 tan A = 13
2.
m sen B = p cos B =
cot A =
13 6
n p
Razón
α
β
sen
6 74 5 = 74 74
7 74 74
cos
m n n cot B = m tan B =
tan cot
7 74 74 5 7 7 5
a) a = 9
b c a cos B = c b tan B = a a cot B = b
b) b = 15,33 c) a = 8 PÁGINA 121
sen B=
13 7
cos B =
6 7
13 tan B = 6 6 6 13 = 13 13
Complementario
Ángulo
90º – 36º =
54º
90º – 14º =
76º
90º – 69º =
21º
90º – 85º =
5º
90º – 47º 15` =
42º45`
ACTIVIDAD 4, PAGINA 122 a) 3 4 3 4 cos α = tan α = cot α = 5 5 4 3 4 4 3 3 sen β = cos β = tan β = cot β = 5 3 4 5 sen α =
b) Libre para discusión c) Libre para discusión
378
5 74 74 7 5 5 7
5.
sen B =
cot B =
12 15 9 cos B = 15 12 tan B = 9 9 cot B = 12
sen B =
4.
(d)
c) No 5 13 12 5 12 13
PÁGINA 120
a) razón:
razón:
b c a cos C = c b tan C = a a cot C = b
sen C =
(c)
Libre para discusión.
1.
m p
tan A =
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 117
ACTIVIDAD 3, PÁGINA 119
9 15 12 cos A = 15 9 tan A = 12 12 cot A = 9
sen A =
(b)
2. π 180 rad = • = 36° 5 5 π 3π 3π 180 rad = • = 77°8 ' 34 " 7 7 π 7π 7π 180 rad = • = 420° 3 3 π 180 4πrad = 4π • = 720° π 11π 11π 180 rad = • = 330° π 6 6
a c b cos A = c a tan A = b b cot A = a
sen A =
1. π π = rad 180 3 π 2π 120° = 120 • = rad 180 3 π 7π 210° = 210 • = rad 180 6 π 3π 135° = 135 • = rad 180 4 π 11π 330° = 330 • = rad 180 6
(e)
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA a 2 + b2 = c 2
PÁGINA 124
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 136
Libre
1.
ACTIVIDAD 6, PÁGINA 135 a)
sen2 39º + cos2 39º = 0,3961 + 0,6039 = 1
sen2 89º + cos2 89º = 0,9997 + 0,0003 = 1 sen2 12º + cos2 12º = 0,0432 + 0,9568 = 1
= 0,9484 + 0,0516 = 1
2
2
= 0,0670 + 0,9330 = 1
1 1 sen2 π + cos 2 π = sen2 45º + cos 2 45º = 1 4 4
sen2 ( 0,9 rad) +cos 2 ( 0,9 rad) = sen2 51º 7′58′′ + cos 2 51º 7′58′′ = 1
π π sen2 + cos 2 = sen2 15º + cos 2 15º 12 12
= 0,5000 + 0,5000 = 1
3π 3π sen2 + cos 2 = sen2 135º + cos 2 135º 4 4 2
3 3 sen2 π + cos 2 π = sen2 77º 8′35′′ + cos 2 77º 8′35′′ = 1 7 7
c)
9 9 sen π + cos 2 π = sen2 124º 36′55′′ + cos 2 124º 36′55′′ = 1 13 13
= 0,2500 + 0,7500 = 1
5π 5π sen2 + cos 2 = sen2 150º + cos 2 150º 6 6
b)
sen (1,8 rad) + cos (1,8 rad) = sen2 103º 7′57′′ + cos 2 103º 7′57′′
sen2 17º + cos2 17º = 0,0855 + 0,9145 = 1
4 cot A = 3 3 cot B = 4 3 tan A = 4 4 tan B = 3 3 sen A = 5 4 sen B = 5 4 cos A = 5 3 cos B = 5
12 cot A = 5 5 cot B = 12 5 tan A = 12 12 tan B = 5 5 sen A = 13 12 sen B = 13 12 cos A = 13 5 cos B = 13
PÁGINA 137 2.
a 2 + 482 = 722 a 2 = 722 − 482 a 2 = 2880
a = 2880
a = 53,65 cm
3. a)
1 1 + = 3 1 2 a) 12 + 2 3 = 12 1 2 + = 2 1 2 3+3 2 b) 1 + 2 2= 3 PÁGINA 2 1382 3 2 3 22 3 + + 3 2= 2 b) 2 3 3 2 2 3+ 3 = 1 + 2 = 2 2 2 3+3 2 2 3+3 2 3 23 2 = 2 + = 1 2 2 3+3 2
Para hallar c
b La figura nos indica que sen B = . c Como b = 48; sen B = 48 . c Pero como la información que tenemos es que sen B = 2 . Podemos 3 comparar:
sen B =
3
2
48 2 = despejamos c c 3
2
4. tan A =
=
5. tan 30º =
3 1 = 3 3
cot 60º =
3 1 = 3 3
3 • 48 2
tan 60º =
3 1
c=
144 2
cot 30º =
3 1
6. 1.
Para hallar a
a)
En este caso podemos encontrar el
b)
Pitágoras así:
c)
valor de a utilizando el teorema de
a 2 + b2 = c 2
d)
a 2 + 482 = 722 a 2 = 722 − 482 a 2 = 2880 a = 2880
379
2
8 4 tan B = 4 8
c=
c = 72 cm
2 3+3 2
3+2 1
4
1
2 4
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA 7. 2. a) b)
3 2− 3 3 1
c)
2− 6 2
d)
3
e) f)
g) PÁGINA 139 h) 2
h)
2
(
4
(
b) c) d)
1. Semejante al problema 4 de la página 157, trabajo individual 2
AB = 41,42
Sugerencia puede plantear
sen 16 sen 66 = 210 h 210 • sen 16 =h sen 66
c) m Y = 35°, YZ = 36,86 dm
XZ = 25,81 dm
PÁGINA 143
4. 6
1. 2.
)
2 −1 2
3.
)
2 −1
61
=
6 61 61
5 61
4. 5.
61
6
6.
5
5 61 61
6 61 61
5
6
5. Libre.
3. 8. a)
a) m C = 55°, AC = 50,56 mm b) m P = 71°, PQ = 47,59 mm
3 −1
4 3 −21
ACTIVIDAD 3, PÁGINA 151
1− 2 3 2 1
g)
3.
2. Plantee la ecuación x + 34,5 34,5 = sen 63 sen 57 34,5 • sen 63 = x • sen 57 + 34,5 • sen 57 30,74 − 28,93 = x • sen 57 1,81 = x sen 57 2,16 = x
6.
3 5 4 5 4 5 3 5
Respuesta: La altura del asta es 2,16 m
a) La sombra mide 41,40 m b) La distancia es 11,548 m c) La escalera mide 9,47 m d) Debe recorrer 28,80 cm e) Necesita avanzar el buzo 188,19 m
PÁGINA 152 3. Plantee la ecuación 200
sen 37
ACTIVIDAD 1, PÁGINA 147 TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 141
x 30 30 • sen 22° = x
30 • 0,3746 = x
11,238 = x
Respuesta: La altura del árbol es 11,25 m aproximadamente.
1. sen 22° =
2. ∆ CDE 6 10 8 10 6 8
∆ CFG 12 20 16 20 12 16
∆ CHJ 15 25 20 25 15 20
∆ CAB 18 30 24 30 18 24
x=
Libre para discusión ACTIVIDAD 2, PÁGINA 149
1. α = 40°
a = 3,23
b = 3,55 b = 2,58
a = 2,84 a = 3,25
b = 4,27
x
sen 63
200 • sen 63 sen 37
200 • sen 80 sen 37
=
y
sen 80
= 296,11 mm = 327, 28
Respuesta: La distancia a través del río mas corta es 296,11 m
5. a) Las distancias son 4,51km y 4,06 km. b) La altura del avión es 0,705 km
3. β = 40°
y =
=
4. La distancia desde R hasta S es 244,93 m y la m RST = 32
2. γ = 40°
Respuesta: La altura del edificio es 63,36 m
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 153 1. Como m α + m entonces
380
m
β+m
δ = 180°
δ = 180° – 130° – 20°
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
m
δ = 180° – 150°
m
δ = 30°
2. Como m α + m entonces
β+m
δ = 180°
m
β = 180° – 57° – 48°
m
β = 75°
3. b = 35,46 cm, c = 53,29 cm PÁGINA 154 4. δ = 65°, a = 65,20cm, b = 38 5. α = 52°
c = 51,24 cm
b = 24,47 cm
a 6,40 = ↔ a • sen 35° = 6,40• sen 64° sen 64° sen 35° 6,40• sen 64° ↔ a= sen 35° 6,40• 0,8988 ↔ a= 0,5736 5,75232 ↔ a= 0,5736 ↔ a = 10 m Respuesta: La longitud aproximada del poste es 10 m.
m
Luego, tenemos que en el triángulo PQR el m QPR = 180° – 25° – 45° = 110°.
b) α = 42° b = 1395,50 mm, c = 1512,84 mm
Aplicamos la ley de los senos.
c) β = 45° a = 59,30 cm, c = 69,17 cm
Para hallar la distancia recorrida, debemos encontrar la medidas p, q.
a) β = 58° c = 49,84 cm, b = 67,16 cm
d) β = 35° a = 323,65 dm, b = 370,19 dm
β = 90° – 9° = 81°
m
δ = 180° – 64° – 81° = 35°
Para calcular la longitud del poste, es decir, el lado a del triángulo ABC, se procede como sigue:
m
Respuesta: La distancia que recorrió, p + q = 1,8 + 4, 0 = 5,8 km aproximadamente.
381
DBC = m
BCA. Entonces
el otro ángulo del triángulo es m
B = 180° – 52° – 40° = 88°
Por la ley de los senos tenemos que:
a b c = = sen 52° sen 88° sen 40° y además b = 8
PRQ = 70° – 25° = 45°
Calculo de q q 3,0 = PÁGINA 155 sen 25° sen 45° 3,0 • sen 25° 7. q= sen 45° a) δ = 80° a = 20,16 m, c = 20,16 m 3,0 • 0,4226 a q =b despejamos a b) α= 92° b = 3,01 mm, c = 3,89 mm sen 52° = sen 88°0,7071 1,2678 q= c) δ = 105° a = 26,9 cm, c = 8,04 cm 8 • sen 52° 0,7071 a= sen 88° q = 1 ,80 km d) β = 45° b = 11,6 m, c = 11,6 m 8 • 0,7880 de p e) α = 45° b = 18,6 dm, c = 8,37 dm a = Calculo 0,9994 p 3,0 = sen 110° = sen 70° f) α= 91° β = 26°, a = 15,82 mm sen 110° sen 45° a = 6,308 km 3,0 • sen 70° g) α = 24° β = 141°, b = 12,16 m p= sen 45° h) α = 59° δ = 80°, a = 44,39 m 3,0 • 0,9397 p= 0,7071 8. Libre 2,8191 p= 0,7071 TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 156 p = 4,0 km 1. m
3. Como las rectas que pasan por BD y AC son paralelas, entonces
2. Como las rectas que pasan por son paralelas, los ángulos alternos internos PQR y QRS. miden 25°. Por lo tanto,
6.
PÁGINA 157
a b = sen 52° sen 88° para calcular a utilizamos
a b = despejamos a sen 52° sen 88°
se
8 • sen 52° a= sen 88°
se
8 • 0,7880 0,9994
c=
a = 6,308 km
c=
utilizamos
a=
b c = sen 88° sen 40° para calcular c b c = sen 88° sen 40° c 8 = despejamos c sen 88° sen 40° c=
8 • sen 40° sen 88°
c=
8 • 0,6428 0,9994
c=
5,1424 0,9994
c = 5,145
Respuesta: La distancia total de recorrido es 8 km + 6,308 km + 5,145 km = 19,453 km
c=
c=
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4. Sea h la altura del edificio que está sobre la pendiente y construya el triángulo rectángulo ABC.
3. Para el triángulo de lado 8 cm su altura es 4 3 cm
4. Resuelto en la página 165 -166 de Ahora, m α + 15° = 42° entonces libro Matemática Zapandí 2016 m α = 42° – 15° = 27° 5. Resuelto en la página 166 de libro Como el ∆ ABC es un triángulo recMatemática Zapandí 2016 tángulo; m δ = 90° – 42° = 48° Con la Ley de los senos, se sigue que
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 171 A. 1. 20 m2 + 20 m2 + 12 m2 + 12 m2 + 15 m2 + 15 m2 = 94 m2
25 cm x 25 cm = 0,25 m x 0,25 m = 0,0625 m2 2
Respuesta: La altura aproximada del edificio es 6,72 m
5. La longitud del alambre más cercano al tubo mide 6,77 m
94 m ÷ 0,00625 m = 1505 azulejos
6. La distancia es 96,03 m 7. La longitud del poste de luz es 9,06 m 8. a) α = 12 b) 9,30 m c) 290,3 m
756 m2 + 756 m2 + 756 m2 + 756 m2 = 3024 m2
El área total es de
441 m2 +441 m2 +756 m2 +756 m2 + 756 m2 + 756 m2 = 3096 m2
PÁGINA 172 4. Área lateral = Pbase x hprisma
= (25 cm + 25 cm + 25 cm) x 40 cm
= 75 cm2 x 40 cm
= 3000 cm2
Área base = A (triángulo equilátero)
d) 42,60 m
A = 2 •
3 A = ( 25 cm) • 4 3 A = 625 cm2 • 4 625 A= 3 cm2 4
Son dos triángulos equiláteros:
625 625 2 • 3 cm2 = 3 cm2 4 2
GEOMETRÍA DEL ESPACIO ACTIVIDAD, PÁGINA 165 2. Área es de 10,83 cm2.
Para el triángulo de lado 8 cm su altura es 4 3 cm
3 4
2
ÁREA 2: GEOMETRÍA
1. Área es de 389.25 cm²
El área total a pintar son 216 m2.
3. El área lateral es de
PÁGINA 158
Respuesta:
Área total = 3 000 cm 2 +
382
625 3 cm2 2
5. Área total = área de las bases + área lateral
= 2(0,8 m x 0,5 m) + 2(0,5 m x 0,7 m) + 2(0,8 m x 0,7 m)
= 0,8 m2 + 0,7 m2 + 1,12 m2
= 2,62 m2
La madera cuesta a razón 1600 colones el m2.
2,62 m2 x 1600 colones = 4192
Respuesta: El precio del cajón de embalaje cuesta 4192 colones.
2
2. 45 m2 + 45 m2 + 18 m2 + 18 m2 + 90 m2 = 216 m2
6. Como posee una base triángular de 6 cm de lado es un triángulo equilátero
Área base = A (triángulo equilátero) A = 2 •
3 4
3 4 3 A = 36 cm2 • 4 36 A= 3 cm2 = 9 3 cm2 4
Son dos triángulos equiláteros:
A = ( 6 cm) • 2
(
)
2 • 9 3 cm2 = 18 3 cm2
Área lateral = Pbase x hprisma
= (6 cm + 6 cm + 6 cm) x 12 cm
= 18 cm x 12 cm
= 216 cm2
Respuesta:
2 Área total = 216 cm2 + 18 3 cm
7.
Área total = 2 (A base) + (P base x h prisma)
= 2 (2 cm)2 + {(4 x 2 cm) x 5 cm}
= 2(4 cm2) + 40 cm2
= 8 cm2 + 40 cm2
= 48 cm2
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Respuesta: El área total es de 48 cm2.
8. Como posee una base triángular de 35 cm de arista de la base es un triángulo equilátero
Área base = A (triángulo equilátero) A = 2 •
3 4
Área total del tetraedro regular:
FUNCIÓN CUADRÁTICA
4 3 cm2 = 6,93 cm2
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 203 A. Selección
PÁGINA 182
1. A
4. Respuesta.
Area de la cara lateral:
3 cm2
PÁGINA 204 Area total del tetraedro regular: 2. C 4 3 cm2 = 6,93 cm2 3. A
3 4 3 A = 1225 cm2 • 4 1225 A= 3 cm2 4
Son dos triángulos equiláteros:
Área lateral + Área de la base
15 m2 + 6.25 m2 = 21.25 m2
1225 1225 2 • 3 cm2 = 3 cm2 4 2
2. Respuesta:
Área lateral = Pbase x hprisma
= (35 cm + 35 cm + 35 cm) x 20 cm
= 105 cm2 x 20 cm
= 2100 cm2
Respuesta:
1225 Área total = 2100 cm + 3 cm2 2
A = ( 35 cm) • 2
El área lateral es de 69,96 dm2 y el área total es de 105,96 dm2.
3. Respuesta:
9. Semejante al número 2, anterior. 10. Semejante al número 1, anterior. 11. Semejante al número 4 y número 8 anteriores. B. Libre para discusión
Área total es 96 dm
1. Respuesta: ST = 87,71 m apb = 2,32 cm.
5. Respuesta: Libre para discusión. 6. Respuesta: El área total de la pirámide es 756 cm2. TRABAJO INDIVIDUAL 4, PÁGINA 189 1. a) 521, 16 cm2. b) Libre para discusión. c) Libre para discusión.
TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 181 2
2. Respuesta: a = 12,16 m; 2
ST = 252,72 m .
3. Respuesta Area de la cara lateral:
B. Resuelva… 1) A = x2 2) A = (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6 3) a) 10 x 10 = 100 saludos. b) 10 x 9 = 90 saludos
2
4. Respuesta: El área total de la pirámide es de 121,5 dm2. 2
3 cm2
PÁGINA 205
1. Respuesta.
PÁGINA 173
4. C
PÁGINA 184
ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
d) 88 228 cm2. 2. Libre para discusión. (Semejante al número 2 de la página 188)
c) La expresión algebraica que se deriva de lo que he resuelto anteriormente: y = x (10 – x) = 10x – x2 4) x(15 – x) = y ↔ y = 15 x – x2 5) x2 – 100 x – 11 900 = 0 PÁGINA 206 6. a) variable independiente: t(s); variable dependiente: altura b) altura máxima: 4 m, tiempo: 2 seg c) Intervalo de tiempo la función crece [0,2[, y en cuál la función decrece ]2,4] Parte C 1) Respuesta:
3. Libre para discusión. (Semejante al número 2 de la página 188)
A = bh
A = (x + 2)(x – 2) = x2 – 4
4. Área de la torre: 400 m2 + 660 m2 = 1060 m2
2) Respuesta:
5. a) 280 cm2 b) 352 cm2
383
bh 2 2x + 1) ( 2x + 2 ) ( 2x + 1) 2/ ( x + 1) ( A= = 2 2/ 2 A = ( 2x + 1) ( x + 1) = 2x + 3x + 1 A=
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA ACTIVIDAD 1, PÁGINA 209
12. 11(b + c)
17. (7x – 8)(7x + 10)
1. 20(6a + b + 6)
13. (2y – 1)(x + 2)
18. 7(2a + 7)
14. (3 + b)(– 1 + x)
2. 9ax (a – 2x) 2
15. (– 1 + m)(2x + 3)
2
3. x (1 + x – x ) 2
B.
2
4. ab(b – a + 1)
a) (m + 1)(a – 9)
5. 2a(2a2 + 15a – 25) 4
2
b) (x – 2)(3x – 2y)
3
6. 7 (3c + b c – 2b )
c) (a + 1)(n + 2)
2
7. 6xy(2y – 3y x+ 3) 2
d) (a + 1)(x – 1)
3
8. c (b – 21 + 14b) 3
4
9. 2mn (56n + 60m – 63mn) 2
2
4
3
10. a ( a b + b + a + ab ) 2
2
3
11. 5y (3 + 4y – 6y + 8y ) 12. 6a2b(7b – 3a5 + 5ab) 13. –h(k2 – 2k – h) 14. m(m2 + n2 – n4 + 1) 15. a3b(b + 1) 16. 5b a + 2 a 2 − 3 b 3 3 7 17. 5x (5xy+ 6y3 + 4)
18. – y (x2 – y2 + xy3 + 4) 19.
5 xy(5 − 3y − 2x 2 ) 9
1 2 3 20. a a 2 b2 − ab 3 − 1 5 3 4 3 4 21. 5x 2 y x 2 − xy + 6y 3 2 ACTIVIDAD 2, PÁGINA 211 A. 1. (x + 1)(a + 8) 2. (2n + 3)(– 5 + p) 3. (x – 3)(2a – 11) 4. (2x + 3)(m – n) 5. (4 + n)(x + 5) 6. (x + 1)(3 + 5y) 7. (1 – x)(m + 1) 8. (m – 2)(4x + 1) 9. (1 – x)(1 + 2a) 10. (x2 + 1)(1 – b) 11. (x – 1)(m + 7)
e) (x + 1)(–1 – 7y) = – (x + 1)(1 + 7y) f)
(1 – 7x)(–1 + 2a)
g) (x – 8)(1 + x) h) (2a + b + 3)(–5 – 1) = – 6a(2a + b + 3) i)
(n + 1)(x – 9)
j)
(x – 2)(x + 3y + 1)
k) (a + 1)(a – 1) ACTIVIDAD 3, PÁGINA 214 A. 1. (n – 1)(n + 1) 2. (x – 5)(x + 5) 3. (1 – 2m)(1 + 2m)
19. (7a + 1)(–a + 11) 20. 5c(2 + 7c) PÁGINA 215 B. a) (16 – 3y)(16 + 3y) b) (4a + 3)(4a – 3) c) (5x – 2)(5x + 2) d) (5m – 7)(5m + 7) e) (8y2 – 9)(8y2 + 9) f)
g) (11a4 – 10)(11a4 + 10) h) 2(25a10 – 36) = 2(5a5 – 6)(5ª5 + 6) i)
(x2 + 1)(x2 – 1) = (x2 + 1)(x – 1)(x + 1)
j)
4(x4 – 16) = 4(x2 – 4)(x2 + 4) = 4 (x + 2)(x – 2) (x2 + 4)
k) (4 – y2)(4 + y2) = (2 – y)(2 + y)(4 + y2) l)
4. (4 + y)(4 – y) 5. (2x + 3)(2x – 3) 6. (2x + 9)(2x – 9)
7. (10 – m2)(10 + m2) 8. (5 – 2n)(5 + 2n) 9. (–4 + 2b)(4 + 2b) 1 1 10. − 3a + 3a 2 2 a 4 a 4 11. − + 6 5 6 5
(a6 – 4)(a6 + 4) = (a3 – 2)(a3 + 2) (a6 + 4)
5(x4 – 16) = 5(x2 – 4) (x2 + 4) = 5(x – 2) (x – 2) (x2 + 4)
PÁGINA 216 A. a) b) d) f) B. a) (x + 8)2 b) (x + 7)2 c) (x – 1)2 d) (1 – 2y)2 e) 2(x – 1)2 x(x – 9)2(x + 9) = x (x – 9)2
a 4 a 4 12. − + 6 5 6 5
f)
a a 13. 1− 1+ 2 2
h) 5(y2 + 1)2
1 1 14. b + b − 2 2 1 1 15. 10 − a 2 10 + a 2 4 4 1 1 16. 8a − 8a + 5 5
384
g) 5(4x + 5)2 i)
(3x5 + 2)2
j)
(1 – a3)2
k) (7x + 4)2 l)
(x + 5)2
m) (a + 1)2 n) (x + 1)2
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA ACTIVIDAD 5, PÁGINA 217
PÁGINA 220
3) x(x + 7)
A.
2
4) 3x (1 – 7x)
g) 4m(2m – 3n)
a) (a – 1)(a – 3) (a + 3)
5) 2x(3x – 2)
h) 9ax2(a2 – 2x)
2 2 b) ( a + 2 ) − x + x 3 3 c) (b – 3)(b + 1) (b – 1)
6) b(b2 + b + 1)
i)
x(x2 + x + 2)
j)
2(2a2 – 4a + 1)
d) 3x (x + 12)
i) j)
2) (a + 9)(a – 8)
2 2
3x(1 – x )
3) (4c + 5)(x – 1)
2
(x + 2) (1 + 3x)
k) 2(1 – 5x)(1 – 10x) (3 –10x) l)
n) 3b(2a2b2 – 3a + 4b)
1) (y + 2)(y – 1)
2
– 24x
4) 2(x + 1)2
7) (1 – 3c)(1 + y)2
a) 4(a + b) b) x(x – y) c) bc2(b + 3c)
e) f)
1 2 b y(y – b) 2 4x(6 + 7x2 – 14x3)
5.
8) –7(2y – 1)
B.
4.
d) 2x(3x – 2y)
5) 2x(x – y) 6) (m – n)2
PÁGINA 218
3m(2m2n2 – 4mn + 1)
m) 3a2(3a3 – 2x + ax2)
D.
2
h) 3(3x + 1)
l)
10) –6x(2x + 1)
5(2y – 9) (2y – 5)
g) 2(x – 3)
k) 2a(a + 2b – 3c)
8) 3c(5a2 – 1) 9) 5rs(5r – 25)
e) 2(y + 1) (y – 11) f)
7) ab(a + b)
a) (4x – 1)(a + 3)
1) 2a (a + 6)
Mayor factor común: 2a
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 219
b) (b – 5)(2m + 1)
2) 9b (b – 9)
Mayor factor común: 9b
1.
c) (2a – 1)(1 – 3q)
Mayor factor común: 6
a) 3a b) a
2
3) 6 (2c – 1) 2
Mayor factor común: 9
5) 1 (e2 + 9)
Mayor factor común: 1
2.
6) 1 (2f2 – 4)
Mayor factor común: 1
b) 6xy
7) 3 (x2 – 4x + 6)
Mayor factor común: 3
8) 9 (2n2 – 3n + 6)
Mayor factor común: 9
2
9) 2x (x + 3x – 13) Mayor factor común: 2x2 10) 3y3 (3y2 – 22y + 1) Mayor factor común: 3y3 C. 2 2 1) 3(x + 4y ) 2 2) 6(3x – 2y)
e) (a – 10)(–7 + x) f)
c) 12b2
4) 9 (d + 3)
2
d) (3t + 1)(p – 6)
d) 1
TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 221 1.
3 3 a) 6a b
a) si b) si
3 2 c) 14a b
c) no
d) 3a2x2
d) no
e) 6a2b f)
e) si
6
f)
3.
si
g) no
a) a(b + c)
h) si
b) b(b – 2) c) 3(m – n) d) 2(c + 4)
i)
no
j)
si
2.
e) 2x(y – 5) f)
(b2 + 1)(7c + 3)
a) (x + 1)2
5y2(1 + 3y)
385
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA b) (n – 1)2
d) (4x3 – 5)(4x3 + 5) 2
e) (8y – 9)(8y + 9)
2
a) (3x + 2)(2x + 1)
f) x(6 – 7x)(6 + 7x)
b) (4x – 1)(2x + 3)
c) (a + 4) d) (y – 6)
2
2
g) y (9y – 5)(9y + 5)
3 2 ) 2
h) 2(2x – 7y)(2x + 7y)
e) (m + 7) f)
(b –
2
2
2
7.
g) (9 + p)2
j) (1 – 0,8y)2 3.
c) (h + 2)2
a) 2(x – 1)
g) 2(x + 3)(x – 1) h) 2(2a + 3)(a – 1)
2
b) 2(x – 10)
ACTIVIDAD 6, PÁGINA 225
2
c) x(x – 9)
2
A.
2
1. 1 2 raíces
d) x(x + 12)
e) 5(2x + 3)
2
f) 3(2x + 3)
g) 5(y2 + 1)2 3 2
h) 2a(1 – a ) 4. a) sí
e) no
b) sí
f) no
PÁGINA 222 c) no
g) sí
d) no
h) si
5. 2 2 a) 6x (4x + 10x –3)
b) 5x3 (9x8 + 12 + 4x2) c) (2x – 3) (2x + 3) d) 6x2 (x2 + 4)(x – 2)(x + 2) e) 3x3 (2x3 – 3)2 (x – 2)2 (x + 2)2
g) 2x2 (4x2 – 42x + 9) h) x (18x6 + 8 + 29x3) 6.
3(3a – 1)(a – 2)
PÁGINA 227
d) (b + 5)2 e) (7a + 4)2
2
d) 3(x – 4)(x – 3) f)
b) (2x + 15)2
i) (a2 + 4)2
c) (x – 7)(6x + 1) e) 2(2x – 1)(2x + 1)
a) (y – 1)2
h) (b – 5)2
f)
ACTIVIDAD 7, PÁGINA 226
2
i) 3(2m – n)(m+ 3n) j) 2(5 – x)(2 + x) k) (2x – 1)(x + 1) l) (6b – 5)(5b + 4)
2. 16
2 raíces
3. 4
2 raíces
4. 100
2 raíces
5. 25
2 raíces
6. 1
2 raíces
b) 100
7. 85
2 raíces 2 raíces
25 4
5 x + 2
2
8. 25
c)
2 raíces
d)
10. 196
2 raíces
4 9
e) 9
2 y + 3
2
9. 4
(x + 3)2
f) 16
(x 2 − 4)2
B. 1) (x + 4)(x + 3) 2) (x + 9)(x + 4) 3) (x – 5)(x – 3) 4) (x – 4)(x – 3) 5) (x + 6)(x – 2) 6) (x – 25)(x + 4) 7) (x – 24)(x + 3) 8. (m + 5n)(m + 3n) 9. (a + 3b)(a + 2b) 10. (p + 4q)(p + 2q) 11. (a + 7b)(a – 2b)
a) (2x – 5)(2x + 5)
12. (x – 6y)((x + 5y)
b) (3a – 4)(3a + 4)
13. 4(x + 5)(x + 5)
c) (10x – 1)(10x + 1)
14. (x – 8y)(x – 5y)
386
ACTIVIDAD 8, PÁGINA 228 A.
g)
25 4
(x − 10)2
5 x − 2
B. a) (x – 3)(x + 2) b) (y – 5)(y – 3) c) (x + 7)(x – 2) d) (c + 8)(c – 3) e) (x – 7)(x + 4) f)
(a + 7)(a + 5)
g) (b – 5)(b – 2) 1 1 h) x − a − 3 2
2
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA ACTIVIDAD 3
ACTIVIDAD 9, PÁGINA 231 2
a) (x + 4) – 17
−x − 5x + 4 2 5 3 2. 2x −x 2 + 3x − 2 − 5x + 4 1. 2 −3 5 3. a 2 + b52 + 3ab 3 3 2 2. 2x + 3x2− 2 4. x 2 − 4x + 1 −3 2 5 2 3. a + b 5+ 3ab 3 2 5 − 5x23 − x 5. 2x 2 PÁGINA 4. x 2 − 236 4x + 1 6. −3m2 + 4mn − 10n2 5 5. 2x15 −3 5x 3 2− x 7. − x + x −23 5 6. −3m2 + 4mn − 10n2 1.
2
b) (x – 3) –7 c) (x + 5)2 – 15 2
1 19 d) x − + 2 4 2
5 29 e) x − − 2 4 2
11 77 f) x + − 2 4 ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA ACTIVIDAD 1, PÁGINA 234 1. 2. 3. 4.
7.
x8
−1 q 2 p3
6.
−2 3 x y 3
1. Cociente: – 4b + 4, residuo: – 2 2
2. Cociente: 6x + 5, residuo: 0
1 1 3 ( y + 3) = y + 2 2 2 3
2 2
4. – q m ( 7q – 3m ) = – 7q + 3m q
5. – 4b ( 4 – 3a2) = – 16b + 12 a2 b
1 1 ab − ab 3 6 4
8. 1 a 5 b2 − 8 ab2 3 3
Residuo: 0
c) (n2 – 7n – 9) ÷ ( n + 1 )
1 – 7
– 9
1 – 8
–1
– 1
8
–1
Cociente: n – 8 Residuo: – 1
d) (4 – 8n + 3n2) ÷ ( 3n - 2 ) 2
(3n – 8n + 4) ÷ ( 3n - 2 )
3
– 8
4
6 = 2 3
3
Dividimos 3 y – 6 por 3; así
3n – 6
– 6
0
3 −6 =, = − 2 3 3
Por lo tanto
6. Cociente: 5x – 20, residuo: 154
Cociente: n – 2
7. Cociente: 3x + 12, residuo: 46
Residuo: 0
8. Cociente: x - 5, residuo: 16
e) (x2 – 7x + 5) entre ( x - 3 )
a)
x 2 + 5x + 6 x+2
1
5
6
1
3
0
–2 – 6
Cociente: x + 3
Residuo: 0
b)
x 2 – 15x + 56 x−7
1 – 15
1
1
–7
5
1
–4
–7
3 –12
3
Cociente: x – 4 Residuo: – 7
f) (x2 –x – 6) entre (x – 3)
1
–1
–6
1
2
0
Residuo: 0
3
6
3
Cociente: x + 2
g) (a2 –5a + 1) entre (a + 2)
56
7 – 56
– 8
–2
0
387
7
2 3
−12 = −4 3
5. Cociente: x2 + 3, residuo: – 2
ACTIVIDAD 5, PÁGINA 241
3. 7p2 + 15m2
7.
4. Cociente: 2x – 6, residuo: 0
1. x + 3
6. 4a
Cociente: x – 8
3. Cociente: x + 1, residuo: 0
4
2
1 3 x + x2 − 3 5
ACTIVIDAD 4, PÁGINA 237
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 235
2.
−
−1 2 y 6 −1 7 8 ab 3 −8 26 9 m n 9
5.
2
1
1
–5
–2
–7
1
14
15
–2
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Cociente: a - 7
Residuo: 15
1
11
−1 4 29 1 − 4
29 16 205 16
10x – 1
Se divide 1 y −29 por 4 4 Por lo tanto
Cociente:
2
h) (2x –7x + 1) entre (x – 4)
2
–7
1
8
2
4
4
1
5
Cociente: 2x + 1
Residuo: 5
i) (3x2 +5x + 1) entre (2x – 1) 2
(3n – 8n + 4) ÷ (3n – 2) 3
5
1
3 2 13 2
13 4 17 4
1 2
3
No olvidemos, se dividen los coeficientes 3 y 13 por el coeficiente 2
del divisor (2x – 1)
Por lo tanto
Cociente:
3 13 x+ 2 4
Residuo:
17 4
10
– 7
30 = 6 5
10
–1
Se divide 10 y – 1 por 5
Por lo tanto
Cociente: 2x −
37 Residuo: 5
10x – 1
−3 5 37 5
1 5
k) (11 – 7x + x2) entre ( 4x + 1 )
(x2 – 7x + 11) entre ( 4x + 1)
5 2 2 x− + 3 3 x −7 3 4 2 d) x − x +x 3 3 c)
e) 3x 2 − 5x + 4 f) 108a 5 −
1 29 x− 4 4
a)
m) Libre
b)
ACTIVIDAD 6, PÁGINA 243
c)
Respuesta: C(x) =
R(x) =
b)
43 2 x − 2x 3
4x 3 + 0x 2 + 8x − 4
3x 3 + 0x 2 − 5x + 3 2 x 3
2 x y el resto 3
2x 2 − 4x + 1
−4x 3 + 8x 2 − 2x
2x
8x + 6x − 4 2
Respuesta: C(x) = 2x y el resto R(x) = 8x2 + 6x – 4
c)
x3 − x2 − x
x2 + x + 1
−x 3 − x 2 − x
x
− 2x 2 − 2x
14 2 − b3 a 2
2.
205 Residuo: 16 Libre
10 2 x + 2x 3 43 2 x − 2x 3
3 5
1 3
b) −5m5 n4 + 6mn8
−2x 4 + 0x 3 +
(10x2 – 7x + 8) ÷ (5x – 3) 8
l)
1. a) −a 4 b 3 −
a) 2x 4 + 0x 3 + 11x 2 + 0x − 3
j) (10x2 + 8 – 7x) ÷ (–3 + 5x )
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 244
−1 4
−7
(2 − 7x) 4
a 2 b − 7b 2
(x 2 y 2 − 1)2 5 −3 d) 5
1 4(x − y) −4 2 f) (a − c) 3 g) −2(a 4b + 2)2
e)
h) 4xy 2
25 a+b 2x + 3y j) 3x + 2y k) x + 2 i)
PÁGINA 245 3. a) x + y b) 3 – 7b
Respuesta: C(x) = x y el resto R(x) = –2x2 – 2x
c) ay – 3a4 4.
a) x2 + 1
b) 3x2 – 8x2 = – 5x2
d) Libre.
c) p – 7 d) –x + y
388
8.
a − 2b
9.
5 + 6x
2
m−2
m+2 RESPUESTAS 10.
1
11. Matemática - EL MAESTRO EN CASA a−4 12.
e) x – y f)
b), c) y d) Libre para discusión.
m2 – 5 ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
5. 2
a) –15a b + 13b b) 9mn5 – 12m5n 2b 3 4b2 c) + − a a a
d) 3x3 – 5nx2 + 1 6. a) x b) x c) 2m d) n PÁGINA 246 7. Libre para discusión 8.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS
p
13.
2p − q
14. x + 1 15 hasta 24 los estudiantes
Parte C
A. Parte A a) a ≠ 0 ↔ IR − {0} b) x ≠ 1 ↔ R − {1} c) m ≠ 0 ↔ IR − {0} d) ∀ x ∈IR, e) b ≠ − 3 ↔ IR − {−3}
{ }
f) z ≠ −1 ↔ IR − −1 2 2
g) a ≠ 7 ↔ IR − {7}
h) x ≠ 0, x ≠ −2 ↔ IR − {−2, 0} i) b ≠ 3, b ≠ -3 ↔ IR − {−3, 3} j) c ≠ −2, c ≠ 9 ↔ IR − {−2, 9}
1. 2. 3. 4.
3a x +1
Debe amplificarse por (m – n)
x 2 + 5x + 4 x2 − 1
Parte F
a3 (b − c)2
7.
3+x
8.
a − 2b
9.
5 + 6x
La fracción original era PÁGINA 252 a) a
2
2
PÁGINA 251 8. a − 2b m−2 2 10. 9. 5m++6x 2 m 1− 2 10. 11. m a −+ 42
12. 13.
− 4 , o 3
Parte D
La fracción original es
6.
11. 12.
3. Para valores distintos de 4 sea a ∈ ℝ – 3
Parte E
4c 2 a − 5x
2x − 1 2x y
5.
9.
10
ACTIVIDAD 1, PÁGINA 250
Parte B
b), c), d) y e) libre para discusión.
1 − 4n
1 −14n a 10 −4
1 −p4n
2p10− q p 14. 13. x + 1 2p − q 15 hasta 24 los estudiantes 14. x + 1
389
15 hasta 24 los estudiantes
b) 14m a) a11 1x c) 14m b) 211 d) xy c) 1 x 2 + 1) 7(x e) d) xyx + 2 − 5(m 7(x + 1)+ 2) f) e) xm + 2− 5 g) − 2 − 5(m + 2) f) PÁGINA m −253 − 2(b −56) h) g) − 2b + 2 h)
− 2(b − 6) b+2
4a 2 − 9 6a + 11a + 13 2
7 a2 8 2) 6 y 5 MAESTRO 3) 44 xEN 75 2x +5 4) x2 5) 41 24a
RESPUESTAS Matemática - EL
(3n + 2)(n − 4) n+ 4 j) 3x + 5
i)
k) x − 2 l)
y 2 + 4y + 1 5y + 1
PÁGINA 255 Parte A 1) c 2 d2 2) 6x y 2
3) (a - b)(a + b) 1) c 2 d2 4) (m - 6)(m + 6) 2) 6x 2 y 5) − 6(a − 3) 3) (a - b)(a + b) 6) − 8(b − 1) 4) (m - 6)(m + 6) 7) x 2 − 4 5) − 6(a − 3) 8) x 2 − 9 6) − 8(b − 1) 9) (x2 − 2)(x + 2)(x + 3) PÁGINA 7) x − 4256 10) (x2 + 1)(x + 2)(x − 2) 8) x − 9 11) t(t + 2)2 (t − 4) 9) (x − 2)(x + 2)(x + 3) 12) y 2 (y − 1)(y + 1) 10) (x + 1)(x + 2)(x − 2) 13) (a + 1)(a − 1) 11) t(t + 2)2 (t − 4) 14) (x2 − y)(x + y)2 12) y (y − 1)(y + 1) 15) (m − 3)(m − 2)2 13) (a + 1)(a − 1) 16) (x + 2)(2x + 1)(x − 1) 14) (x − y)(x + y)2 15) (m − 3)(m − 2)2 16) (x + 2)(2x + 1)(x − 1) Parte B Libre. Parte C 1) 2) 3) 4) 5) 6)
7 a2 8 6y 5 44 x 75 2x + 5 x2 41 24a x 2 + 4xy + y 2 x2 y 2 6x
1)
6)
CASA
b) 2x2 y
x 2 + 4xy + y 2 x2 y 2
7) 26x x −4 8) 11x + 2 3x(x + 1)
2 5x + 1 11) 2xx2 −+10x + 25 10) PÁGINA 1257 ( x +x(x )2−(x5)+ 4) 2 5x − + 11 1 12) x +12a 11) (a + 2)(a − 1)(a − 3) 2 ( x + 1) (x + 4)
12a − 11 (a + 2)(a − 1)(a − 3)
13xy − 6x 2 + 3y 2 2x2 y 2
2(x − 20) x 2 − 25 x−3 3) (x + 3)(x + 1)
2)
a)
x4 y 1 = x 5 y 2 xy
b)
x 2 + 2x + 1 (x + 1)(x + 1) (x + 1) = = (x − 1)(x + 1) (x − 1) x2 − 1
c)
x 2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2) (x + 1) = = (x + 2)(x − 1) (x − 1) x2 + x − 2
d)
xy(x + 1) xy(x + 1) 1 = = x 3 y 2 + x 2 y 2 x 2 y 2 (x + 1) xy Respuesta: Son equivalentes a y d y la b y c.
ACTIVIDAD 4, PÁGINA 258 a) ab b) 2x2 y
e) c f)
1
(
i) 2 x 2 + y 2
390
)
j) 1 k) l)
− ( x − 2 ) ( x + 3) ( x + 2 ) ( x − 3)
( x − 2 ) ( x + 1) ( x − 1)
ACTIVIDAD 5, PÁGINA 260 2(x + 5) (x + 1)2 Parte B
Parte C
x−6 (x + 6)(x + 4)
c) b+5 2b d) 2(a − 9)
h) 1
5 3(x − 1)
Parte E
1 p+7
Parte A
Parte D
4)
e) c
g) 3(x − 4)
2 10) 2x − 10x + 25 x(x − 5)
1)
c) b+5 2b d) 2(a − 9) f)
2 9) 2x + 8x + 16 x(x + 4)
12)
a) ab
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Parte B x + 2 x2 − 9 x−2 a) 2 + 2 • x − 4 x − x − 6 4x − 10 ( x − 3) ( x + 3) x−2 x+2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) + ( x − 3) ( x + 2 ) • 2 ( 2x − 5 ) ( x − 2 ) ( x − 3) + ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x + 3) • 2 ( 2x − 5 ) ( x − 3) ( x − 2 ) ( x + 2 ) x 2 − 3x − 2x + 6 + x 2 − 2x + 2x − 4 ( x + 3) • 2 ( 2x − 5 ) ( x − 2) ( x + 2) 2x 2 − 5x + 2 ( x + 3) ( x − 2 ) ( x + 2 ) • 2 ( 2x − 5 )
p) 3(x – 2) q)
( 2x − 1) ( x − 2 ) ( x + 3) ( x − 2 ) ( x + 2 ) • 2 ( 2x − 5 )
( x − 1) ( x − 2) ( x − 4)
(2x − 1) ( x + 3) 2 ( x + 2 ) ( 2x − 5 )
ACTIVIDAD 6, PÁGINA 264 Parte A
c) Estudiante
1 1− x 2 1. + − x x(x + 2) x + 1 (x + 2)(x + 1) + (1− x)(x + 1) − 2(x)(x + 2) x ( x + 1) (x + 2) x 2 + x + 2x + 2 + x + 1− x 2 − x − 2x 2 − 4x x ( x + 1) (x + 2) − 2x 2 − x + 2 x ( x + 1) (x + 2)
2)
b) Estudiante
x 3 − +2 2x 2 − x − 1 1− 2x + x 2 x 3 − +2 (2x + 1)(x − 1) (x − 1)(x − 1)
TRABAJO INDIVIDUAL 1 1)
(a − b) (a + b) • 2 (a − b) = 2 3 (a + b) (a − b)(a + b) 3
2)
( x − 7)( x − 6) • ( x + 7)( x − 5) = x − 6 x ( x − 7)( x + 7) x ( x − 5)
3)
( x + 8)( x + 7) • ( x − 8)( x + 7) ÷ ( x + 7) ( x − 8)( x + 8) ( x + 7)( x − 5) ( x − 5) ( x + 8)( x + 7) • ( x − 8)( x + 7) • ( x − 5) = 1 ( x − 8)( x + 8) ( x + 7)( x − 5) ( x + 7)
x(x − 1) 3(2x + 1) 2(2x + 1)(x − 1)(x − 1) − + (2x + 1)(x − 1)(x − 1) (2x + 1)(x − 1)(x − 1) (2x + 1)(x − 1)(x − 1)
PÁGINA 265
x − x − 6x − 3 + 4x − 6x + 2 (2x + 1)(x − 1)(x − 1)
3.
2
3
4x − 5x − 7x − 1 (2x + 1)(x − 1)(x − 1) 3
2
3) Estudiante 4) Estudiante
2
2. Libre a 2 + b2 − 1 ab 3c − 2a + b 2) abc
1)
3)
4 y 5 libre.
391
(
a ( a − b ) + b ( a + b ) − a 2 + b2
(a - b)(a + b)
)=a
2
− b2 + ab + b2 − a 2 − b2 =0 (a − b)(a + b)
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA RACIONALIZACION DE DENOMINADORES Y NUMERADORES ACTIVIDAD 1, PÁGINA 267 a) b)
2 5 5
3 7 7
e) f) g) h)
9
3 2 4
2
5
5 3
6
4
1
5
3 9
10
8
ACTIVIDAD 2, PAGINA 268 1.
5 2 4
2.
3 3 100 50
3.
3
4.
13 36 2
5.
7 3 25 5
6.
3
7.
7 3 121 11
8.
3
9. 10.
3
c)
14.
x 6x
d)
15.
3 4 8x 3 y 2 4x 2 y
2.
16.
7
a)
2 4 36 x 4 y 6 6xy 3
b)
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 270
4
a) b)
4 2
53 4 2
11. 3 3 9 6
3 x
d)
x
2y
e)
y
7
x5 x
2 5 x2 x2 4
(
x −2 x−4
)
(
)
(
)
3 3+2 x 9 − 4x
3 3+2 x 9 − 2x
(2
x − x+2 3x − 2
)
2
x + 1+ x − 1 2
PÁGINA 271 3. a)
3 − 2 3− 2 3 − 2 • = 2 = 2 2 =2 2 3 + 2 3 − 2 3 − 2 3−2
b)
5 + 3 4 15 + 4 32 4 15 + 12 • = = 2 15 + 6 = 5−3 5 − 3 5 + 3 5 2 − 32
c)
a + b 2 3 a + b 2 3 a + b • = = a−b a − b a + b a 2 − b2
d)
a − 2 3 a − 2 3 a − 2 3 • = = a−4 a + 2 a − 2 a2 − 4
e)
5 − a 20 − 4 a 20 − 4 a 4 • = = 25 − a 5 + a 5 − a 52 − a 2
f)
2
3
c)
1.
9
3
12.
xy xy
3
c) d)
13.
2
4 3
(
3− 2
(
(
2 3
(
)
(
) (
(
)
)
)
)
(
)
3 5− 3 3 5− 3 5 − 3 3 • = = = 2 2 5−3 2 5 + 3 5 − 3 5 − 3 3
)
(
5− 3
)
g)
2 3 − 5 5 − 2 3 2 15 − 4 9 − 25 + 2 15 4 15 − 17 4 15 − 17 17 − 4 15 • = = = = 7 5 − 12 −7 5 + 2 3 5 − 2 3 52 − 4 9
h)
3 + 2 5 + 3 15 + 3 + 10 + 6 3 + 15 + 10 + 6 15 + 9 + 10 + 6 • = = = 2 2 5−3 2 5 − 3 5 + 3 5 − 3
3
i)
j)
4
2 3−5 3
=
4 3 − 4 3 − 4 3 • = = 9 −3 3 3 3 32
3 5 + 5 3 9 52 + 15 15 9 • 5 + 15 15 45 + 15 15 − 3 − 15 3 5 • = = = = − 30 2 3 5 − 5 3 3392 5 + 5 3 9 52 − 25 32 9 • 5 − 25 • 3 5
8 + 3
(
5 8+ 3
) 5(
8+ 3
) 5(
22 • 2 + 3
)
g)
2 3 − 5 5 − 2 3 2 15 − 4 9 − 25 + 2 15 4 15 − 17 4 15 − 17 17 − 4 15 = = = • = 5 − 12 −7 7 5 + 2 3 5 − 2 3 52 − 4 9
h)
3 + 2 5 + 3 15 + 3 + 10 + 6 3 + 15 + 10 + 6 15 + 9 + 10 + 6 • = = = 5−3 2 5 − 3 5 + 3 5 2 − 32
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
i)
4 4 3 − 4 3 − 4 3 = • = = 9 2 3 − 5 3 −3 3 3 3 32
j)
3 5 + 5 3 9 52 + 15 15 9 • 5 + 15 15 45 + 15 15 − 3 − 15 3 5 • = = = = − 30 2 3 5 − 5 3 3 5 + 5 3 9 52 − 25 32 9 • 5 − 25 • 3
k)
l)
(
TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 273
a) 3 −
x
b) 5 x + 2 + 3 2+
x
x +1
5. a)
1 3 3 3 • = = 3 3 3 9
b)
8 8 3 24 6•4 2 6 = • = = = 3 3 3 3 9 9
c) d) e) 6. a) b)
1 1) x+2 + 2 −1 2) 4+ x 1 3) 8+x + 8 1 4) x+2 + 5
3 3 3 6
6 2
= =
2
3 3 3 6
6 2
• •
3
3 2
2
= =
5 2
3 15
=
3 15 5 25
5
3 12 6 • 22
=
3 22 • 3
•
5 10
6 • 22
2
2
=
3 30 5 26
7. Libre para discusión
=
a – 3 = 0 → a = 3
a + 5 = 0 → a = –5 S = {– 5, 3}
3. (x + 12)(x – 11) = 0
3 30 3 = 30 5 • 23 40
x + 12 = 0 → x = –12 x – 11 = 0 → x = 11
y – 13 = 0 → y = 13 S = {0, 13} 6. 0 = y(y + 10)
y=0→y=0
y + 10 = 0 → y = –10
S = {– 10, 0}
7. (7x – 28)(28x – 7) = 0
28 7x – 28 = 0 → 7x = 28 → x = = 7 4 28x – 7 = 0 → 28x = 7 → x = 7 = 1 28 4 1 S = , 4 4
8. 2x(3x – 2) = 0
2. (a – 3)(a + 5) = 0
5 10 1 c) = • = = = 10 3 5 3 5 5 3 52 3 • 5 3 5 32
5 2
6 6 = 3• 3 9
y = 0 → y = 0
S = {– 8, – 6}
2
5. y(y – 13) = 0
ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA 12 12 • 5 60 22 • 15 2 15 = = = = ECUACIONES CUADRÁTICAS 5 5 5•5 25 25 ACTIVIDAD 1, PÁGINA 279 3 3•5 15 15 15 = = = = Parte A 5 5 5•5 25 25 1. (x + 8)(x + 6) = 0 xy xy x x•y xy = = 2 = = x + 8 = 0 → x = –8 2 y y y•y y y x + 6 = 0 → x = –6
1 2 1 = • 3= 3 2 2 2
d)
)
3 + 2 2 − 1 6 − 3− 2 +2 6− 3+ 4− 2 • = = 6 − 3− 2 +2 = 2 −1 2 + 1 2 − 1 22 − 12
4.
c)
) (
) (
2 8 + 3 5 8 + 3 5 8 + 3 5 2 •2 + 3 • = = =2 2+ 3 = 8−3 5 8 − 3 8 + 3 8 2 − 32
5
RESPUESTAS
S = {– 12, 11}
4. x(x + 5) = 0
x = 0 → x = 0
x + 5 = 0 → x = –5 S = {– 5, 0}
393
2x = 0 → x = 0 = 0 2 3 3x – 2 = 0 → 3x = 2 → x = 2 2 S = , 0 3 9)
1 2 x x − 12 = 0 2 3 1
2 2
3
x = 0 → x =
0
1 2
=0
2 12 36 x − 12 = 0 → x = 12 → x = = = 18 2 3 2 3
S = { 0, 18 }
1 1 10) − 3x − 2x = 0 3 5 −1 −1 1 1 − 3x = 0 → −3x = → x = 3 = −3 3 9 3 −1 −1 1 1 − 2x = 0 → −2x = → x = 5 = −2 10 5 5
1 1 S= , 10 9
10) S = {− 2, 2}
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
15) S = {7,9}
1) S = {1, 5}
16) S = {− 8, − 7}
2) S = {– 6, – 1}
15 − 129 15 + 129 17) S = , 48 48
5) S = {3, 5}
11 18) S = − 1, 10
6) S = {2, 7}
19 hasta 32) Los estudiantes
4) S = {– 7, 3}
7
d = 0 → d =
0
5 7
→ d = 0
3 6 24 d − 6 = 0 → d = 6 → x = = =8 4 3 4 3 4 3
S = { 0, 8 }
2 1 3 1 13) y − y − = 0 3 3 4 2 2 6 2 1 2 1 3 y − = 0 → y = → y = = =2 3 3 3 3 1 3 3 3 12 3 1 3 1 2 y − = 0 → y = → y = = =6 2 4 2 4 1 2 4
S = {2, 6}
1 2 12 7 14) x − x − = 0 4 12 3 11 1 4 1 1 7 1 7 12 x − = 0 → x = → x = = = 4 12 4 12 7 84 21 4 12 36 18 2 12 2 12 11 x − = 0 → x = → x = = = 3 11 3 11 2 22 11 3 18 1 S= , 11 21
} 13) S = { }
Parte B
3) S = {– 9, 2}
5
12) S = {
4 14) S = −1, 3
PÁGINA 280
5 3 12) d d − 6 = 0 7 4
3 − 10 3 + 10 11) S = , 2 2
7) S = {– 15, 4} 8) S = {– 14, 13}
ACTIVIDAD 3, PÁGINA 290
9 9) S = , 5 10) S = 0, 11) S = { }
1. x, x+ 2, x + 4
10 1 3
− 5 − 1 12) S = , 2 3 13 hasta 28) Los estudiantes ACTIVIDAD 2, PÁGINA 286 1)
−2 1 S= , 3 2
2) S = {2, 4}
(x + 4)2 – x2 – (x + 2)2 = 7
Respuesta: Los números son 5, 7, 9.
2. x edad hijo
x2 edad de padre
x2 + 24 = 2(x + 24)
Respuesta: El padre 60 años
El hijo 30 años
PÁGINA 291 3. x es el número
7 3) S = −5, 3
20 - 395 20 + 395 4) S = , 2 2 5) S = ∅
3x + x2 = 88
Respuesta: El número es 8
4. x es el número
−1 6) S = , 0 8
x2 – 2x = 10 + 7x
Respuesta: El número es 10
5. x primer número
7) S = {0, 8}
8) S = ∅
32 – x segundo número
Respuesta: los números son 15 y 17
9) S = {0} 10) S = {− 2, 2} 3 − 10 3 + 10 11) S = , 2 2 12) S = {
} 13) S = { }
394
16) S = {− 8, − 7}
15 − 129 15 + 129 17) S = ,
x(32 – x) = 255
6. Por el Teorema de Pitágoras se tiene
(x + 3)2 + (x – 4)2 = (2x – 5)2
Respuesta: El área total es de 147.
4 14) S = −1, 3 15) S = {7,9}
El valor de x = 18
El perímetro total es de 66.
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA 7. Número de lados
3. x es el número que buscamos.
n(n − 3) 2 n(n − 3) 54 = 2
D=
108 = n2 − 3n
(n – 12) (n + 9)
n = 12, n = – 9
Resp./ El polígono es de 12 lados.
Hay dos soluciones. El número puede ser 12, o bien, – 3; pero un número natural es 12. 4.
8. Suma de los números consecutivos S=
n(n + 1)
1275 =
2
n(n + 1) 2
2
2550 = n + n (n − 50)(n + 51) = 0 Respuesta: 50
9. x es el número
La altura mide 6 cm y la base 8 cm.
2
x + 3x = 40
Respuesta: El número es 5
10. x, x+ 1 son los números
x(x+1) = 210
Respuesta: Los números son 14 y 15.
PÁGINA 293 5.
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 292 Parte A 1. x es el número buscado
El número puede ser 13 ó – 10. Hay dos soluciones
2. Los numeros son x y x + 1.
Los catetos miden 7 cm y 11 cm respectivamente.
Son 8 y 9, o bien, –9 y – 8. Hay dos soluciones.
395
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA ÁREA 3: RELACIONES Y ÁLGEBRA
6.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
d)
y
ACTIVIDAD 1, PÁGINA 299
1. Respuesta: f(x)= 2(x - 2)2 – 3 2
3 33 2. Respuesta: y = − x + + 2 4 3. Considere las anteriores.
4.
a) y = −(x − 3)2 + 1
y = −(x − 2)(x − 4)
b) y = (x + 2)2 − 4
y = x(x + 4)
c) y = −x 2 + 1
y = −(x + 1)(x − 1)
x
1
2. a)
y
2
e) y = −2x 2 + 16x − 24
7.
0
Libre para discusión
d) y = 2x 2 + x − 12
El lado del cuadrado mide 7 cm.
1
1 25 y = 2 x + − 2 2
y = −2(x − 2)(x − 6) 1
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 304 1. a)
y
0
b)
1
x
y
1
1 0
La altura mide 7 cm, y la base, 12 cm. 8. x(50 − x) = 600 → x = 30; x = 20
b)
1
0
x
x
1
y
c)
y 1 0
x
1
1 0
1 x
El rectángulo mide 30 m de largo y 20 m de ancho. PÁGINA 294
c)
y
d)
y
Parte B. Libre para discusión 1 0
1 1
396
x
0
1 x
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA TRABAJO INDIVIDUAL 1 1. Libre para discusión 2. Libre para discusión 3.
Y el número de familias que corresponde a f(n) es 40 miles de familias, esto es 40 000 familias.
(
5 4 f(x) = 2x2
2 1 1 2 3 4 5 x g(x) = 2x2 - 3
b, c y d son para el estudiante.
(Puede utilizar el software libre geogebra)
4. Libre para discusión
(Puede utilizar el software libre geogebra)
TRABAJO INDIVIDUAL 2, PÁGINA 308 1. A 3. B
(
(
)
Y el peso máximo que ganará f(p) es 70 gramos. 6. Respuesta a: 2
13 1875 f(t) = −3 t − + 2 4
A mediados de junio
)
ESTADÍSTICA ACTIVIDAD 1, PÁGINA 317 1. A. discretos B. continuos
Respuesta b: 468,75%
C. continuos D. discretos
F. continuos
Respuesta b: 20 días
Respuesta c: 40 días (simétrico)
Desde que toma impulso dura 1,58 segundos, vuelve a sumergirse a los 7,58 segundos Respuesta b: 6 segundos
9. Respuesta:
)
ÁREA 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
7. Respuesta a: 259 personas
E. continuos G. discretos 2. A. discretos B. discretos C. continuos D. continuos
Valor
-12 2 = (−6) = 36 2
E. discretos
17500 15000
−10 2 −10 36 n − 12n + 36 − 9 9 −10 f(n) = (n − 6 )2 + 40 → (−h, k) = (6, 40) 9
(
Respuestas.
8. Respuesta a: y = –1(x – 3)2 + 21. Iguale a cero y factorice.
2
f(n) =
13.
Esto nos permite concluir que el porcentaje máximo de porteína es de 50%.
4.
(
c) 9,1 ºC
a) 5 m −1 2 −1 p − 100p + 2500 − 2500 + 20 50 50 b) 10 m −1 2 f(n) = (p − 50 ) + 70 → (−h, k) = (50, 70) c) 3,75 m 50
f(n) =
2. B
10 f(n) = n (12 − n) 9 120 10 f(n) = n − n2 9 9 −10 f(n) = −12n + n2 9 −10 2 f(n) = n − 12n 9
)
−100 2 = (−50) = 2500 2
-3
b) 12 hs
2
3
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 -2
a) 10ºC
−1 2 p + 2p + 20 50 −1 2 p − 100p + 20 f(n) = 50 f(n) =
6
11. Respuesta: Libre Respuestas:
5.
y 8 7
10. Respuesta: Libre 12.
PÁGINA 309
a)
PÁGINA 310
)
Esto nos permite concluir que: el máximo sí alcanza una los 6 meses.
12500
(100, 10000)
10000
5000
a) Muestra
2500 0
PÁGINA 318 3.
7500
25
50
75 100
397
Personas
b) Muestra
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA 4.
5. Libre para discusión
a) cuantitativa continua
TRABAJO INDIVIDUAL 1, PÁGINA 344
b) cualitativa
1.
c) cuantitativa discretas
a) 150 obreros
d) cuantitativa continua
b) 36 obreros c) 52 obreros
5.
d) 0 obreros
a) cualitativas
e) 34 obreros
b) cualitativas c) cuantitivas continuas
PÁGINA 345
a) Tamaño de la población 30 b) Ordenamos los datos en orden creciente
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 158 1. Libre para discusión. 2. Ordenamos en forma creciente la tabla de datos. 8 20 26 30 42 47 61 71 86 91
49 51 53 53 54 55 56 56 57 57 58 58 59 59 60 60 61 61 63 63 63 64 65 65 66 66 68 69 69 72
12 23 28 35 45 54 63 80 87 94
48,5 – 52,5
2
Marcas de clase 50,5
19 26 29 36 45 61 67 84 88 97
56,5 – 60,5
8
58,5
10 22 27 33 44 49 63 73 87 91
15 23 28 35 45 58 67 83 88 95
Construimos la tabla de frecuencias con 9 clases Frecuencias Marcas Intervalos absolutas de clase 8 – 18
4
13
28 – 38
8
33
18 – 28 38 – 48 48 – 58 58 – 68 68 – 78 78 – 88 88 – 98 Total
8 6 2 7 2 6 7
50
Intervalos Frecuencias 52,5 – 56,5 60,5 – 64,5 64,5 – 68,5 68,5 – 72,5 Total
6 6 5 3
30
c) El polígono de frecuencias
23
54,5
300 – 400 14 400 - 500 46 500 – 600 58 600 – 700 76 700 – 800 68 800 - 900 62 900 - 1000 48 1000 - 1100 22 1100 – 1200 6 Total 400
62,5
A. 800
70,5
C. 950
66,5
Marcas de clase
1.
4.
h) cuantitativa continuas
2.
PÁGINA 335
g) cuantitativa discretas
g) 2%
Frecuencias relativas
cuantitativa discretas
56 obreros
NúMERO DE CD’ S
e) cuantitativa discretas f)
f)
3. Seleccionar c)
DURACIóN (horas)
d) cuantitivas continuas
0,035 0,115 0,145 0,190 0,170 0,155 0,120 0,055 0,015 1,000
350 450 550 650 750 850 950 1050 1150
B. 1000 D. 1200 E. 100 F. 76
G. 0,155 3.
43
Tiempo de espera (en minutos) 10 14 14 18 18 22 22 26 26 30 30 34
53 63 73 83 93
Construimos el histograma de frecuencias de la tabla anterior.
398
Nº de clientes
hi (%)
8 20 32 40 24 16 Total 140
5,71 14,29 22,86 28,57 17,14 11,43 100
Mc 12 16 20 24 28 32
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
14,75
3
14,30
15,5 – 17,0
16,25
5
23,80
17,0 – 18,5
17,75
2
9,50
a) 61 personas
18,5 – 20,0
19,25
6
28,60
b) 26 personas
20,0 – 21,5
20,75
2
9,50
21,5 – 23,0
22,25
3
14,30
21
100
10.
12 12 14 14 15 16
16 16 17 17 18 18 18 19 19 20 21 22 23 24 24 25 25 25 26 26
Intervalos
fi
Fr porcentual (%)
Marcas de clase
Construimos la tabla de frecuencias con los 5 intervalos de clase
8
7,5
12 – 21
16
32
16,5
21 – 30
15
30
25,5
30 – 39
10
20
34,5
39 – 48
5
10
43,5
Total
50
100
6. a) Valor del extremo inferior 40,50 b) Valor del extremo superior 59,20 7. Libre para discusión PÁGINA 347 8. a) Rango: 77,20 - 21,20 = 56 b) Límite superior del sexto intervalo: 69,21
47,5 – 52,5
3
2
300 – 400
14
3,5
350
400 – 500
46
11,5
450
500 – 600
58
14,5
550
600 – 700
76
119,0
650
hi
700 – 800
68
17,0
750
800 – 900
62
15,5
850
0,140
900 – 1000
48
12,0
950
1000 – 1100
22
5,5
1050
1100 – 1200
6
1,5
1150
Total
400
100
11
62,5 – 67,5
12
72,5 - 77,5
4
67,5 - 72,5
9
77,5 – 82,50
1
Total
30
11. Intervalos 120 – 127
127 – 134
fi
4
7
0,080
134 – 141
14
0,280
148 – 155
8
0,160
141 – 148
155 – 162 Total
13 4
50
Total 14.
8
57,5 – 62,5
35 35 36 36 36 40 42 42 45 46
4
Frecuencias
52,5 – 57,5
26 26 28 28 29 31 32 32 32 34
3- 12
Intervalos
42,5 – 47,5
Mc
9
Frecuencia relativa porcentual (%)
8
Frecuencia absoluta
7
14 – 15,5
hi (%)
5
Mc 1,05 3,10 5,10 7,10 9,10 11,10 13,05
Marca de clase
5. Ordenamos los datos
hi 0,160 0,25 0,234 0,134 0,05 0,11 0,067 1,00
Número de tubos fi
6,67 20,00 36,67 23,33 13,33 100
Lm Ls fi 0,0 2,1 24 2,1 4,1 37 4,1 6,1 35 6,1 8,1 20 8,1 10,1 8 10,1 12,1 16 12,1 14,0 10 Total 150
Temperatura (en grados grados Celsius
15 20 25 30 35
Nc 1 2 3 4 5 6 7
Duración (horas)
Frecuencias porcentuales (%)
8 24 44 28 16 Total 120
DURACIóN (en miles de horas)
Nº. de componentes
4.
10 15 20 25 30
13.
9.
PÁGINA 346
0,260
0,080
a) límite superior de la quinta clase 800
1,000
12.
b) límite inferior de la octava clase 1000
a)
c) Marca de la clase de la sétima clase 950
Ni
Li
Ls
14
18
1
10
3
18
2
4
5
Total
22
26
fi
hi(%) Mc
14
5
13,89
12
22
10
27,78
20
30
12
34,00
26
2
7
36
b) Rango: 30 – 10 = 20
399
5,55
19,00
1,000
d) tamaño del intervalo 100
16
e) frecuencia de la cuarta clase 76 tubos
24
f) frecuencia relativa de la sexta clase 15,5
28
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA a)
Flujo del rio (miles de galones por minuto)
Frecuencia
Frecuencia relativas
15.
1001 – 1051
7
0,028
1051 - 1101
21
0,086
1101 – 1151
32
0,130
1151 - 1201
49
0,199
1201 - 1251
58
0,236
1251 – 1301
41
0,167
1301 - 1351
27
0,110
1351 – 1401
11
0,044
Total
246
1,00
b) Intervalos 1,8 – 15,8 15,8 – 29,8 29,8- 43,8 43,8 – 57,8 57,8 – 71,8 71,8 – 85,8 85,8 – 100,1 Total
fi 6 4 12 7 7 5 4 45
b)
0,0952
2,74 – 3,36 3,05
5
0,2380
3,36 – 3,98 3,67
8
0,3809
3,98 – 4,60 4,29
3
0,1428
4,60 – 5,22 4,91
2
0,0952
21
1,0000
Totales
4.
PÁGINA 349 17. Libre TRABAJO INDIVIDUAL 2 1.
Frecuencias relativas
2
a)
Frecuencia fi
2,12 – 2,74 2,43
3.
Marca de clase
0,0476
PÁGINA 350
Intervalos
Frecuencia de clase relativa
1
Marca de clase
1,50 – 2,12 1,81
Intervalo de clase
Frecuencia de clase
16.
30 – 40
35
6
0,03
40 – 50
45
18
0,09
50- 60
55
76
0,38
60 – 70
65
70
0,35
70 – 80
75
22
0,11
80 – 90
85
8
0,04
200
1,00
Totales
a) 105 b) 32 2.
400
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA Se observa que el tiempo máximo corresponde al intervalo 3,42 – 3,62, por parte de 24 unidades de autobuses b) El tiempo máximo de los 35 datos de la muestra lo indica la marca de clase del intervalo 3,42 – 3,62 con un tiempo de 3 horas con 52 minutos.
Intervalo
Frecuencia
Marca de clase
Frecuencia relativa
1) Intervalos 3,02 – 3,22 3,22 – 3,42 3,42 – 3,62 3,62 – 3,82 3,82 – 4,02 4,02 – 4,22 4,22 – 4,42 Total
fi 1 4 22 7 0 0 1 35
Mc 3,12 3,32 3,52 3,72 3,92 4,12 4,32
PÁGINA 352 9.
6.
1–2 2–3 3- 4 4–5 5–6 Totales
6 10 4 2 1 23
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5
0,261 0,438 0,174 0,087 0,043 1,000
5.
4,25 = 13,71% 31 c) incrementar el riego en estos meses de verano.
a) Las mayores precipitaciones se dieron en los años 2000 y 2001, 2003 y 2004. b) El promedio de precipitación anual en los 10 años es 175 + 150 + 225 + 225 + 175 + 225 + 225 + 125 + 100 + 150 = 177,50 cm 10
c) Intervalos 1998 – 1999 1999 – 2000 2000 – 2001 2001 – 2002 2002 – 2003 2003 – 2004 2004 – 2005 2005 – 2006 2006 – 2007 2007 – 2008 Total
PÁGINA 351 6. Intervalo
Frecuencia
Marca de clase
Frecuencia relativa
2)
1–2 2–3 3- 4 4–5 5–6 Totales
6 10 4 2 1 23
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5
0,261 0,438 0,174 0,087 0,043 1,000
fi
175 150 225 225 175 225 225 125 100 150 1775
10. a) abril b) 3 nacimientos
7. Intervalo 9,6 – 15,6 15,6 – 21,6 21,6 – 27,6 27,6 – 33,6 33,6 – 39,6 Total
Marca de clase 12,6 18,6 24,6 30,6 36,6
Frecuencia relativa porcentual 10 15 25 10 25 100
8. a) julio, agosto, setiembre, noviembre b) 1,5 + 1,25 + 1,5 = 4,25 toneladas de enero, febrero y marzo
401
c) Intervalo Marzo
fi
6
hi
0,115
Abril
14
0,270
Junio
5
0,096
Mayo Julio
Agosto
Setiembre Octubre Total
7 3
4
8
5
52
0,135 0,058
0,077
0,154
0,096 1,000
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA PÁGINA 353
PÁGINA 354
PÁGINA 355
11. Libre para discusión
14. Libre para discusión
16.
12.
15.
a)
Intervalos
fi
Mc
4,32 – 22,32
6
13,32
40,32 – 58,32
2
49,32
22,32 – 40,32 58,32 – 76,32 76,32 – 94,43 Total
2 4 4
18
31,32 67,32 85,37
Intervalos 0,16 – 2,16 2,16 – 4,16 4,16 – 6,16 6,16 – 8,16 8,16 – 10,16 Totales
fi 13 6 2 1 3 25
hi 0,52 0,24 0,08 0,04 0,120 1,000
Mc 1,16 3,16 5,16 7,16 9,16
Intervalos 0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 Total
fi 6 9 8 5 2 30
hi (%) 20 30 26,6 16,6 6,6 100
b)
a)
17. a) y b) Intervalos
fi
Frecuencias porcentuales
3–5
5
10
b)
5–7
14
28
9 – 11
10
20
7–9
Totales
21 50
42 100
c)
d) Respuesta libre para discusión 18. a) variable de estudio: niveles de calcio en pacientes renales.
13. Libre para discusión.
Tipo de variable: continua Escala de medición: intervalos
402
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA b) y c) Intervalos
fi
hi
Mc
72 – 76
3
0,060
74
76 – 80
1
0,020
78
80 – 84
9
0,183
82
84 – 88
7
0,142
86
88 – 92
7
0,142
90
92 – 96
2
0,040
94
96 – 100
10
0,204
98
100 – 104
7
0,142
102
104 – 108
2
0,040
106
108 – 112
1
0,020
110
Totales
49
1,000
ÁREA 4: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD PROBABILIDAD ACTIVIDAD 1, PÁGINA 360 De a hasta la h para discusión de los estudiantes.
El porcentaje de probabilidad teórica de que salga una bolincha es de 0,20 x 100 = 20%
Cálculo del porcentaje de probabilidad de la bolincha que buscamos.
En este caso buscamos una bolincha cuya probabilidad frecuencial de salir en este experimento es 2% menor que su probabilidad teórica de salir:
20% - 2% = 18%
Hay que encontrar la bolincha que tiene un porcentaje de probabilidad frecuencial del 18% de salir en este experimento.
Calculemos la cantidad total de veces que se repitió el experimento:
132 + 108 + 120 + 126 + 114 = 600
El experimento se repitió en total 600 veces.
Cálculo de la probabilidad frecuencial de sacar una bolincha de color verde en este experimento:
ACTIVIDAD 2, PÁGINA 364 1. Solución:
N = 16 684 es el número de personas entrevistadas.
Sea el evento A: “elegir una persona que halla sufrido una enfermedad o accidente”, n(A) = 4 955. (Total de personas que sufrieron alguna enfermedad o accidente en la muestra).
d)
P(A) =
n(A) 4955 = = 0,297 n(S) 16 684
La probabilidad de elegir una persona que haya sufrido alguna enfermedad o accidente es de 0,297.
PÁGINA 365 2. La probabilidad de una cara es 532 = 0,632 y de escudo es 368 . 1000 1000 3. Libre para discusión 4. Libre para discusión
La probabilidad de sacar una bolincha de color verde es de 0,22.
0,22 x 100 = 22%
El porcentaje de probabilidad de sacar una bolincha de color verde es de 22%.
Cálculo de la probabilidad frecuencial de sacar una bolincha de color rojo en este experimento:
5. Solución
Cálculo de la probabilidad teórica de que salga una bolincha de cada color.
En este caso hay la misma cantidad de bolinchas de cada color por lo que la probabilidad teórica es igual para todas las bolinchas.
e) Esta al final de la pregunta.
En este caso el espacio muestral es de 5 bolinchas y hay 1 bolincha de cada color. 1 = 0,20 5 La probabilidad teórica de que salga una bolincha es de 0,20.
403
132 = 0,22 600
108 = 0,18 600
La probabilidad de sacar una bolincha de color rojo es de 0,18.
0,18 x 100 = 18%
El porcentaje de probabilidad de sacar una bolincha de color rojo es de 18%.
Cálculo de la probabilidad frecuencial de sacar una bolincha de color anaranjado en este experimento:
RESPUESTAS
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
120 = 0,21 600
La ����������������������������������� probabilidad de sacar una bolincha de color anaranjado es de 0,20.
0,20 x 100 = 20%
El porcentaje de probabilidad de sacar una bolincha de color anaranjado es de 20%.
Cálculo de la probabilidad frecuencial de sacar una bolincha de color amarillo en este experimento:
126 = 0,21 600
La probabilidad de sacar una bolincha de color amarillo es de 0,21.
0,21 x 100 = 21%
El porciento de probabilidad de sacar una bolincha de color amarillo es de 21%.
Cálculo de la probabilidad frecuencial de sacar una bolincha de color azul en este experimento:
114 = 0,19 600
La probabilidad de sacar una bolincha de color azul es de 0,19.
0,19 x 100 = 19%
El porciento de probabilidad de sacar una pelota de color azul es de 19%.
Respuesta: La bolincha de color rojo
6. Libre para discusión 7. Libre para discusión
404
PROGRAMA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
programa matemática zapandí (9º año) NÚMEROS CONOCIMIENTOS Números reales t
Números irracionales
t
Concepto de número real
t
Representaciones
t
Comparación
t
Relaciones de orden
t
Recta numérica
Cálculos y estimaciones t
Suma
t
Resta
t
Multiplicación
t
División
t
Potencias
t
Radicales
Cantidades muy grandes y muy pequeñas
HABILIDADES ESPECÍFICAS 1. 2. 3. 4.
Identificar números irracionales en diversos contextos. Identificar números con expansión decimal infinita no periódica. Realizar aproximaciones decimales de números irracionales. Reconocer números irracionales en notación decimal, en notación radical y otras notaciones particulares. 5. Comparar y ordenar números irracionales representados en notación decimal y radical. 6. Identificar números reales (racionales e irracionales) y no reales en cualquiera de sus representaciones y en diversos contextos. 7. Representar números reles en la recta numérica, en aproximaciones apropiadas. 8. Estimar el valor de la raíz de un número entero. 9. Determinar números irracionales con representación radical entre dos números enteros consecutivos. 10. Utilizar la calculadora para resolver operaciones con radicales.
11. Utilizar los prefijos del Sistema Internacional de Medidas para representar cantidades muy grandes y muy pequeñas. 12. Utilizar la calculadora o software de cálculo simbólico como recurso en la resolución de problemas que involucren las unidades.
GEOMETRÍA Triángulos
1. Aplicar el teorema de Pitágoras en la resolución de problemas en diferentes contextos.
Teorema de Pitágoras
2. Encontrar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, aplicando el teorema de Pitágoras.
Trigonometría
3. Convertir medidas angulares de grados a radianes y viceversa.
t
Radianes
t
Seno
t
Coseno
t
Tangente
6. Aplicar seno, coseno y tangente de ángulos complementarios.
Razones trigonométricas de ángulos complementarios
7. Aplicar los conceptos de ángulos de elevación y depresión en diferentes contextos. 8. Aplicar que la suma de los cuadrados del seno y coseno de un ángulo es 1.
t
Ángulos de elevación y depresión
9. Aplicar la ley de senos en diversos contextos.
t
Ley de senos
10. Resolver problemas que involucren las razones trigonométricas, sus propiedades y ángulos de elevación y de depresión.
t
4. Aplicar las razones trigonométricas básicas (seno, coseno, tangente) en diversos contextos. 5. Aplicar las relaciones entre tangente, seno y coseno.
11. Plantear problemas contextualizados que utilicen razones trigonométricas para su solución.
405
PROGRAMA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA Geometría del espacio t
Pirámide recta
t
Apotema
t
Prisma recto
t
Área lateral
t
Área total
12. Identificar y calcular la apotema de pirámides rectas cuya base sea un cuadrado o un triángulo equilátero. 13. Calcular el área lateral y el área total de una pirámide recta de base cuadrada, rectangular o triangular. 14. Calcular el área lateral y el área total de un prisma recto de base cuadrada, rectangular o triangular.
Relaciones y álgebra Funciones t
1. Identificar situaciones dadas que pueden ser expresadas algebraicamente en la forma y = ax2 + bc + c.
Función cuadrática
2. Representar tabular, algebraica y gráficamente una función cuadrática.
Expresiones algebraicas
3. Factorizar y simplificar expresiones algebraicas.
t
Factorización
4. Expresar x2 + px + q como (x + h)2 + k.
t
División de polinomios
5. Efectuar división de polinomios.
t
Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.
6. Efectuar operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias.
t
Racionalización.
Ecuaciones t
-
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
7. Racionalizar el denominador o numerador de expresiones algebraicas. 8. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con una incógnita. 9. Resolver ecuaciones que se reducen a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Raíces
- Discriminante 10. Trazar la gráfica de una función cuadrática cuyo criterio es y = ax2 + bx + c.
Funciones t
11. Analizar la influencia de los parámetros a, b, c en la gráfica de y = ax2 + bx + c, utilizando software.
Función cuadrática
12. Plantear y resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado con incógnita.
Estadística y probabilidad ESTADÍSTICA Variables cuantitativas t
Discretas
t
Continuas
Distribuciones de frecuencia t
Clases o intervalos
t
Frecuencia absoluta
t
Frecuencia relativa y porcentual
t
Representación tabular
1. Establecer diferencias entre variables cuantitativas: discretas y continuas. 2. Clasificar variables cuantitativas en discretas o continuas. 3. Reconocer la importancia de agrupar datos cuantitativos en clases o intervalos. 4. Resumir un grupo de datos cuantitativos por medio de la elaboración de un cuadrado de distribuciones de frecuencia absoluta y relativa (o porcentual). 5. Interpretar la información que proporciona un cuadro de distribución de frecuencias al resumir un grupo de datos cuantitativos.
406
PROGRAMA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA t
Representación gráfica
3 Histogramas 3 Polígonos de frecuencia
PROBABILIDAD
6. Resumir la información proporcionada por una distribución de frecuencias mediante un histograma o un polígono de frecuencias (absolutas o relativas), e interpretar la información que proporcionan estas representaciones gráficas. 7. Utilizar algún software especializado o una hoja de cálculo para apoyar la construcción de las distribuciones de frecuencia y sus representaciones gráficas.
Muestras aleatorias
1. Identificar la importancia del azar en los proesos de muestreo estadístico.
Probabilidad frecuencial
2. Identificar eventos para los cuales su probabilidad no puede ser determinada empleando el concepto clásico.
t
t
Estimación de probabilidad: empleo de la frecuencia relativa (concepto frecuencial o empírico) Introducción a la ley de los grandes números
3. Utilizar el concepto de frecuencia relativa como una aproximación al concepto de Probabilidad, en eventos en los cuales el espacio muestral es infinito o indeterminado. 4. Identificar que las propiedades de las probabilidades que están vinculadas con evento seguro, probable e imposible también son válidas para la identificación frecuencial. 5. Identificar que, para un evento particular, su frecuencia relativa de ocurrencia se aproxima hacia la probabilidad clásica conforme el número de observaciones aumenta. 6. Resolver problemas vinculados con fenómenos aleatorios dentro del contexto estudiantil.
407
PROGRAMA
Matemática - EL MAESTRO EN CASA
408