´ F´ISICA CLASICA POSTULADOS DE EINSTEIN TRANSFORMACIONES DE LORENTZ ´ MODELO MATEMATICO ´ CINEMATICA RELATIVISTA ´ DINAMICA RELATIVISTA

RELATIVIDAD ESPECIAL Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad desde un punto de vista Matem´atico”

Jos´e L. Flores Universidad de M´alaga Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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1

´ F´ISICA CLASICA

2

POSTULADOS DE EINSTEIN

3

TRANSFORMACIONES DE LORENTZ

4

´ MODELO MATEMATICO

5

´ CINEMATICA RELATIVISTA

6

´ DINAMICA RELATIVISTA

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Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El ´ eter Experimento Michelson-Morley

´ 1. F´ISICA CLASICA

Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El ´ eter Experimento Michelson-Morley

SISTEMAS INERCIALES: Sistema de Referencia: Conjunto de coordenadas que permite determinar un´ıvocamente la ubicaci´ on espacial y temporal de cualquier suceso. Sistema inercial: Sistema de referencia que est´a en reposo o movimiento rectil´ıneo uniforme respecto de un objeto material sobre el cual no act´ ua fuerza alguna, cualquiera sea su posici´ on. Principio Relatividad Galileo: En los sistemas inerciales los fen´ omenos mec´anicos responden a las mismas leyes, lo que hace imposible distinguir en mec´anica cual de ellos est´a en reposo y cual en movimiento. Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El ´ eter Experimento Michelson-Morley

TRANSFORMACIONES DE GALILEO:

x0 = x − v · t y0 = y z0 = z t 0 = t.

Establecen la relaci´on entre las coordenadas espaciales y temporales de dos sistemas de referencia inerciales. Se deducen de suponer el car´acter absoluto del espacio y del tiempo.

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Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El ´ eter Experimento Michelson-Morley

LEYES DE NEWTON: Primera Ley: “Todo cuerpo permanecer´a en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectil´ıneo a no ser que sea obligado por fuerzas impresas a cambiar su estado” Segunda Ley: ”El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre seg´ un la l´ınea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime” Tercera Ley: ”Con toda acci´ on ocurre siempre una reacci´on igual y contraria; las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentidos opuestos” Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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ECUACIONES DE MAXWELL: ~ = ρ/0 ∇·E ~ =0 ∇·B ~ = −∂ B/∂t ~ ∇×E ~ = µ0 0 ∂ E ~ /∂t + µ0 jc . ∇×B

Conjunto de ecuaciones que, junto con la fuerza de Lorentz, describen por completo los fen´ omenos el´ectricos y magn´eticos. Conllevan la noci´on de campo electromagn´etico y la predicci´on de las ondas electromagn´eticas ¡¡Ecuaciones no invariantes frente a las transformaciones Galileo!! Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El ´ eter Experimento Michelson-Morley

´ EL ETER: Introducido como medio f´ısico por el que se deb´ıan propagar las ondas electromagn´eticas y como sustento del concepto de campo. Suger´ıa la existencia de un sistema de referencia muy especial: aqu´el en el que el ´eter estar´ıa en reposo y en el que las ecs. de Maxwell admit´ıan su expresi´on conocida, de hecho la m´as simple posible. Este espacio no pod´ıa ser otro que el espacio absoluto. La existencia del ´eter se consideraba ampliamente aceptada a finales del s. XIX, pero deb´ıa poseer unas propiedades f´ısicas muy peculiares que lo hac´ıan muy dif´ıcil de detectar. Michelson y Morley dise˜ naron un experimento para probar su existencia midiendo el movimento de la tierra a trav´es de ´el.

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Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El ´ eter Experimento Michelson-Morley

EXPERIMENTO MICHELSON-MORLEY: Realizado en Cleveland en 1887, se considera uno de los experimentos m´as importantes de la F´ısica. Pretend´ıa probar el movimiento de la tierra a trav´es del ´eter midiendo la velocidad de la luz en dos direcciones perpendiculares entre s´ı y con diferente velocidad relativa al ´eter.

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Sistemas Inerciales Transformaciones de Galileo Leyes de Newton Ecuaciones de Maxwell El ´ eter Experimento Michelson-Morley

Michelson y Morley construyeron un interfer´ ometro compuesto de un semiespejo, que divid´ıa la luz en dos haces de luz que viajaban en direcciones perpendiculares y luego se recog´ıan en un punto com´ un. Al seguir trayectorias distintas, estos haces de luz deb´ıan viajar a diferente velocidad, por lo que deb´ıan crear un patr´on de interferencia al ser detectados al final de su trayecto. El experimento no detect´ o ninguna interferencia, y, por tanto, ninguna variaci´on en la velocidad de la luz.

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EXPLICACIONES A LOS RESULTADOS: La Tierra arrastra consigo al ´eter en su movimiento, Los cuerpos se contraen en la direcci´ on de su movimiento, cancelando as´ı el efecto debido a la diferencia de velocidades de los haces, La velocidad de la luz es constante con respecto a la fuente que la emite, .. . Relatividad Especial (A. Einstein, 1905).

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1. POSTULADOS DE EINSTEIN

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POSTULADOS DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL: Las leyes de la F´ısica coinciden en cada sistema de referencia inercial. En particular, los sistemas inerciales resultan indistinguibles, lo que destierra la noci´ on de sistema de referencia absoluto, e incorpora impl´ıcitamente el Principio de inercia.

La velocidad de la luz es independiente de la velocidad de la fuente. Por tanto, la constancia de la velocidad de la luz pasa a ser un Principio universal, resultando clave para establecer las transformaciones de coordenadas entre sistemas inerciales.

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Deducci´ on de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz

2. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ

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Deducci´ on de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz

´ DE LAS TRANFORMACIONES DE LORENTZ: DEDUCCION y

y’ (x’,y’,z’,t’) (x,y,z,t) P

v →

O

O0

x

x’

Consideremos dos sistemas de referencia inerciales R, R 0 tales que R 0 se mueve en la direcci´ on x con velocidad v respecto de R. (Suponemos t = t 0 = 0 cuando O, O 0 coinciden.) Consideremos el suceso P con coordenadas (x, y , z, t) en el sitema R. Pretendemos hallar las coordenadas (x 0 , y 0 , z 0 , t 0 ) de P en R 0 . Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Deducci´ on de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz

Resulta razonable suponer que las coordenadas en las direcciones perpendiculares al movimiento permanecen invariantes: y0 = y,

z 0 = z.

Tambi´en podemos suponer que (x, t), (x 0 , t 0 ) se relacionan mediante: x 0 = Ax + Bt,

t 0 = Cx + Dt.

Si denotamos por x, t las coordenadas de O 0 en R entonces: x 0 = Ax + Bt = 0,

x/t = v

=⇒

B = −vA.

Sustituyendo (1) en la ecuaci´ on x 0 = Ax + Bt se tiene: x 0 = A(x − v · t). Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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(1)

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Deducci´ on de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz

y

y’ (x’,y’,z’,t’) (x,y,z,t) P

← −v

O

O0

x

x’

Invirtiendo las ecs. x 0 = Ax + Bt, t 0 = Cx + Dt se tiene: x=

Dx 0 + vAt 0 AD − BC

t=

At 0 − Cx 0 . AD − BC

(2)

Repitiendo el argumento anterior, pero tomando el punto O que se mueve con velocidad −v respecto del sistema R 0 , obtenemos: A = D. Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Deducci´ on de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz

Sustituyendo esto en las transformaciones anteriores, y usando la notaci´on convencional A = γ, C /A = K , queda: x=

t 0 − Kx 0 x 0 + vt 0 , t= ; x 0 = γ(x − vt), t 0 = γ(t + Kx), γ(1 + vK ) γ(1 + vK )

donde γ y K no dependen de x, t, pero γ = γ(|v |), K = K (v ). Si R 0 se mueve con velocidad v respecto de R, entonces R se mueve con velocidad −v respecto de R 0 . Luego: x = γ(x 0 + vt 0 ),

t = γ(t 0 + K 0 x 0 )

donde K 0 = K (−v ).

Comparando estas ecuaciones con las anteriores para x, t: γ2 =

1 , 1 + vK

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K = −K 0

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Deducci´ on de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz

De la segunda de estas dos ecuaciones se tiene K = −v /V 2 , donde V 2 depende de |v |. En consecuencia

1 γ=p . 1 − (v /V )2

Las leyes de transformaci´ on quedan entonces: x − vt x0 = p 1 − (v /V )2

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t − (v /V 2 )x t0 = p . 1 − (v /V )2

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y

Deducci´ on de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz

(x”,y”,z”,t”) (x’,y’,z’,t’) (x,y,z,t) P

y”

y’

v → v →

x

x”

x’

Para determinar la dependencia de V en v , supongamos otro sistema R 00 que se mueve con velocidad relativa v respecto de R 0 . Entonces: x0 − v t0 x =q 1 − (v /V )2 00

2

t 0 − (v /V )x 0 t =q . 1 − (v /V )2 00

La transformaci´on entre R y R 00 debe tener la misma forma que la composici´on de las transformaciones entre R y R 0 , y R 0 y R 00 . Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Deducci´ on de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz

2

Luego V 2 = V es una constante universal independiente de la velocidad relativa de los sistemas de referencia. En resumen, la transformaci´ on queda: x − vt x0 = p , 1 − (v /V )2

t − (v /V 2 )x t0 = p 1 − (v /V )2

con V ≡ cte.

Esencialmente existen dos posibilidades: V = ∞ ´o V < ∞. En el primer caso obtendr´ıamos las transformaciones de Galileo. x 0 = x − vt,

t 0 = t.

El segundo postulado de Einstein permite determinar V , mostrando que tiene un valor finito y calculable experimentalmente. Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Deducci´ on de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz

P

O = O0

O

P O0

Supongamos que en el instante t = t 0 = 0 un flash de luz es emitido desde el origen O. El flash de luz es descrito desde “ambos” sistemas R, R 0 como una esfera centrada en O, O 0 cuyo radio se incrementa a velocidad c. Supongamos que en el sistema R, la esfera de luz pasa por un punto P de coordenadas espaciales (x, y , z) en el instante t. Entonces: x 2 + y 2 + z 2 − c 2 t 2 = 0. Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Deducci´ on de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz

Este suceso tendr´a coordenadas (x 0 , y 0 , z 0 , t 0 ) en el sistema R 0 , que deber´an satisfacer: 2

2

2

2

x 0 + y 0 + z 0 − c 2 t 0 = 0. Sustituyendo en esta u ´ltima expresi´ on las expresiones para x 0 , y 0 , z 0 , t 0 dadas por las transformaciones obtenidas anteriormente obtenemos: (1 − (cv /V 2 )2 )x 2 + (1 − (v /V )2 )y 2 + (1 − (v /V )2 )z 2 −(1 − (v /c)2 )(ct)2 − 2v (1 − (c/V )2 )xt = 0 A partir de aqu´ı, c´alculos elementales permiten concluir: V = c,

y, por tanto,

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γ = (1 − (v /c)2 )−1/2 .

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Deducci´ on de las transformaciones de Lorentz Tranformaciones de Lorentz

TRANSFORMACIONES DE LORENTZ: y

(x’,y’,z’,t’) (x,y,z,t) P

v →

O

x 0 = γ(x − vt) y0 = y z0 = z t 0 = γ(t − (v /c)2 x) con γ = (1 − (v /c)2 )−1/2

y’

O0

x

x’

Observaciones: Obtenidas en primer lugar por Lorentz. Einstein las dot´o de contenido f´ısico. Minkowski las dot´o de contenido geom´etrico al interpretarlas como isometr´ıas de espacio 4-dimensional con m´etrica no euncl´ıdea. Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matem´ atico

´ 3. MODELO MATEMATICO

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Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matem´ atico

ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO ESCALAR Denotaremos por V = V (R) a un espacio vectorial real de dimensi´on n.

Tipos de Formas Bilineales Sea b : V × V → R una forma bilineal sim´etrica. Diremos que b es: definida positiva (resp. negativa) si b(v , v ) > 0 (resp. b(v , v ) < 0) ∀v ∈ V \ {0}. semidefinida positiva (resp. semidefinida negativa) si b(v , v ) ≥ 0 (resp. b(v , v ) ≤ 0) ∀v ∈ V . indefinida si no es semidefinida positiva ni semidefinida negativa. no degenerada si el radical N = {v ∈ V : b(v , w ) = 0 ∀w ∈ V } s´olo est´a formado por el vector 0 (en caso contrario, se dice degenerada).

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Teorema de Sylvester Dada una forma bilineal sim´etrica b en V existe una base B = {ei }ni=1 tal que la matriz (b(ei , ej ))i,j de b en dicha base es:  MB (b) = 



0µ −Iν

 In−(µ+ν)

“µ (nulidad) y ν (´ındice) son independientes de B”

Observaciones El subespacio generado por {ei }µi=1 coincide con el radical de b. Dados (V , b), (V 0 , b 0 ), existe un isomorfismo f : V → V 0 que preserva b y b 0 si y s´ olo si n = n0 , µ = µ0 , ν = ν 0 .

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Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matem´ atico

Demostraci´ on (Teorema de Sylvester). Para la existencia de bases ortonormales: Consid´erese la matriz (sim´etrica) de b en una base B1 arbitraria. Diagonalizando por congruencia, consid´erese B2 nueva base con matriz asociada MB2 (b) diagonal. p Dividiendo cada v ∈ B2 por |b(v , v )| (si 6= 0) se obtiene la base B requerida. Para la unicidad del ´ındice y la nulidad: La nulidad µ se corresponde con la dimensi´ on del radical de b, luego es independiente de B. El ´ındice ν tambi´en es independiente de B, puesto que en caso contrario existir´ıa u ∈ V con b(u, u) mayor y menor que 0.  Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matem´ atico

Car´acter Causal (de un vector) Dada una forma bilineal sim´etrica b en V , sea qb (v ) = b(v , v ) su forma cuadr´atica asociada. Diremos que v ∈ V es: temporal si qb (v ) < 0.

espacial si qb (v ) > 0 ´o v = 0.

luminoso si qb (v ) = 0 y v 6= 0.

causal si v es temporal o lumin.

Producto Escalar Un producto escalar g sobre V es una forma bilineal sim´etrica no degerada. Diremos que g es: eucl´ıdeo si ν = 0. lorentziano si ν = 1 y n ≥ 2.

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Ortogonalidad Sea (V , g ) un espacio vectorial con un producto escalar g . Sean v , w ∈ V , se dice que v es ortogonal a w , y se denota v ⊥ w , si g (v , w ) = 0. Sean A, B ⊆ V , se dice que A ortogonal a B, y se denota A ⊥ B, si v ⊥ w ∀v ∈ A, ∀w ∈ B.

Subespacio Ortogonal Sea W un subespacio vectorial de (V , g ). Se define el ortogonal de W como: W ⊥ = {v ∈ V : g (v , w ) = 0 ∀w ∈ W }. Diremos que W es no degenerado si W ∩ W ⊥ = {0} (⇔ g |W no degen.). Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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ESPACIOS VECTORIALES LORENTZIANOS

Espacio Vectorial Lorentziano Llamamos espacio vectorial lorentziano a un espacio vectorial V de dimensi´on n ≥ 2 dotado de un producto escalar lorentziano g .

Conos y Orientaci´on Temporal El conjunto de los vectores temporales (causales, luminosos si n > 2) tiene dos partes conexas. Cada una de estas partes se llama cono temporal (causal, luminoso). Una orientaci´on temporal de un espacio vectorial lorentziano es una elecci´on de uno de los conos temporales (⇔ causales o luminosos). Al cono elegido le llamaremos cono futuro, y al otro pasado. Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Cono Futuro

Proposici´on Dos vectores temporales v y w caen en el mismo cono temporal sii g (v , w ) < 0.

v

w

Proposici´on Cada cono temporal es convexo (el segmento que une cada dos de sus puntos tambi´en est´a incluido en ´el). Cono Pasado Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Desigualdad Cauchy-Schwarz Invertida Si v , w son temporales entonces: (1) |g (v , w )| ≥ |v ||w |, adem´as la igualdad se da sii v , w son colineales. (2) Si v , w est´an en el mismo cono, entonces existe u ´nico ϕ ≥ 0 tal que: g (v , w ) = −|v ||w | cosh(ϕ). Demostraci´ on. (1) Tenemos w = av + w , w ⊥ v ⇒ g (w , w ) = a2 g (v , v ) + g (w , w ) ⇒ g (v , w )2 = g (v , v )(g (w , w ) − g (w , w )) ≥ g (v , v )g (w , w ) = |v |2 |w |2 . (2) Si v , w se encuentran en el mismo cono entonces −g (v , w )/|v ||w | ≥ 1 ⇒ ∃! ϕ : cosh(ϕ) = −g (v , w )/|v ||w |.  Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Desigualdad Triangular Invertida Si v , w son temporales que est´an en el mismo cono entonces: |v | + |w | ≤ |v + w |, y la igualdad se da sii v , w son colineales. Demostraci´ on. Como v , w pertenecen al mismo cono, v + w temporal y g (v , w ) < 0: |v + w |2 = −g (v + w , v + w ) = |v |2 + |w |2 + 2|g (v , w )| ≥ |v |2 + |w |2 + 2|v ||w | = (|v | + |w |)2 . La igualdad se da sii |g (v , w )| = |v ||w |, es decir, sii v , w colineales.  Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Car´acter Causal (de un subespacio) Un subespaco W de (V , g ) es: espacial si g |W es eucl´ıdea temporal si g |W es no degenerada con ν = 1 (Lorentz si dimW ≥ 2) luminoso si g |W es degenerada (W ∩ W ⊥ 6= ∅).

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GRUPO DE LORENTZ Consideramos ahora un espacio vectorial lorentziano muy particular:

Espaciotiempo Lorentz-Minkowski Es el espacio vectorial lorentziano Ln = (Rn , h·, ·i1 ), donde h(a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn )i1 = −a1 b1 +

n X

ai b i .

i=2

Sea B0 = (e1 , . . . , en ) es la base usual de Rn . Denotamos   −1 0 η = MB0 (h·, ·i1 ) = 0 In−1 Orientaci´on temporal ≡ cono causal futuro aqu´el al que pertenece e1 . Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Grupo de Lorentz Se define el grupo de las transformaciones de Lorentz como Iso(Ln ) = {f : Ln → Ln : f es una isometr´ıa vectorial} Por otra parte, se define el grupo de Lorentz como O1 (n) = {A ∈ Mn (R) : At ηA = η}

(det(A) = ±1).

Observaci´on Fijada la base usual B0 se tiene el siguiente isomorfismo de grupos: Φ(f ) = Af = M(f , B0 ) n Φ : Iso(L ) → O1 (n), Φ−1 (A) = fA Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matem´ atico

Transformaciones Propias/Impropias Una transformaci´on de Lorentz A es propia (resp. impropia) si det A = +1 (resp. det A = −1). O1+ = {A ∈ O1 (n) : det A = +1} (puras o boosts) O1− = {A ∈ O1 (n) : det A = −1}

Transformaciones Ortocronas/No Ortocronas Una transformaci´on de Lorentz A es ortocrona (resp. no ortocrona) si fA (C ↑ ) = C ↑ (resp. fA (C ↑ ) = C ↓ ). O1↑ = {A ∈ O1 (n) : fA (C ↑ ) = C ↑ } = {A ∈ O1 (n) : a11 ≥ 1}. O1↓ = {A ∈ O1 (n) : fA (C ↑ ) = C ↓ } = {A ∈ O1 (n) : a11 ≤ −1}. Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matem´ atico

El grupo de Lorentz en dim= 2 Isometr´ıas con determinante 1:    cosh θ sinh θ +↑ O1 (2) = :θ∈R sinh θ cosh θ O1+↓ (2) = {−A : A ∈ O1+↑ (2)} Isometr´ıas con determinante −1:    cosh θ sinh θ −↑ O1 (2) = :θ∈R − sinh θ − cosh θ O1−↓ (2) = {−A : A ∈ O1−↑ (2)}. Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matem´ atico

El grupo de Lorentz en dim> 2 Af ∈ O1 (n) admite un vector propio temporal: M(fA , B) ∈ {±1} × O(n − 1) para cierta B base ortn. (A ∈ O1+↑ ⇒ rotaci´on espacial pura en hiperpl. ortg. al v. propio.) Af ∈ O1 (n) admite un vector propio luminoso con autovalor λ 6= ±1: M(fA , B) ∈ O1 (2) × O(n − 2) para cierta B base ortn. (Transformaci´on Lorentz bidimensional en un plano temporal π compuesto con una isometr´ıa eucl´ıdea en π ⊥ .) Af ∈ O1 (n) admite un u ´nico vector propio luminoso independiente de autovalores +1 ´o −1. Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matem´ atico

Peculiaridad en dim= 4 Toda transformaci´on de Lorentz puede escribirse como composici´on de una isometr´ıa para un plano temporal π1 y una isometr´ıa en un plano espacial π2 , no necesariamente ortogonal a π1 . En Relatividad, este resultado se suele enunciar as´ı: Las transformaciones de Lorentz (propias, ortocronas) son composiciones de “boosts” y rotaciones.

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Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matem´ atico

´ MODELO MATEMATICO El siguiente modelo matem´atico recoge todas las implicaciones derivadas de los postulados de Einstein:

Espaciotiempo en Relatividad Especial Un espaciotiempo en Relatividad Especial es un espacio af´ın lorentziano (A, V , g ) de dimensi´on 4 orientado temporalmente, donde A es el conjunto de puntos o sucesos, V es el espacio vectorial director, g es la m´etrica de Lorentz con una orientaci´ on temporal prefijada. Observaci´ on: Es posible mostrar la unicidad del modelo, y llegar a ´el de modo deductivo. Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matem´ atico

Observador Instant´aneo Un observador instant´aneo es un par (P, e0 ) con P ∈ A y e0 ∈ V vector temporal unitario futuro. Llamamos trayectoria de un observador no acelerado a una recta af´ın {P + se0 : s ∈ R} generada por un observador instant´aneo (P, e0 ).

Sistema Referencia Inercial Un sistema de referencia inercial R es un par formado por un observador instant´aneo (P, e0 ) y una base ortn. {e1 , e2 , e3 } de e0⊥ . Llamamos espacio en reposo del sistema de referencial inercial R en el instante t0 al hiperplano af´ın de A de ecuaci´ on t ≡ t0 en las coordenadas introducidas por R (como referencia ortonormal af´ın).

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Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matem´ atico

Trayectoria de R 0 medida por R La trayectoria que mide R del observador R 0 es la curva en e0⊥ < V :   X1 X2 X3 t 7→ t e1 + e2 + e3 T T T donde e00 = Te0 + X1 e1 + X2 e2 + X3 e3 .

Tri-velocidad La tri-velocidad que mide R de R 0 es la derivada: ~v =

X2 X3 X1 e1 + e2 + e3 T T T

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(e00 temporal ⇒ |~v | < 1).

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Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matem´ atico

´ TRANSFORMACIONES DE LORENTZ CLASICAS: R, R 0 sistemas referencia inerciales a velocidad no nula generan el plano temporal he0 , e00 iR . Supongamos que e1 , e10 se hallan en este plano, y e2 = e20 , e3 = e30 . Veamos la relaci´on entre las coordenadas de R y R 0 , suponiendo que las bases inducidas por B y B 0 tienen la misma orientaci´on: R → B = (e0 , e1 ),

R 0 → B 0 = (e00 , e10 )

Puesto que M(Id, B ← B 0 ) ∈ O1+↑ (2), existe θ ∈ R tal que:   cosh(θ) sinh(θ) 0 M(Id, B ← B ) = con v = tanh(θ) ∈ (−1, 1). sinh(θ) cosh(θ)

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Espacios vectoriales con producto escalar Espacios vectoriales lorentzianos Grupo de Lorentz Modelo Matem´ atico

Luego 1 M(Id, B ← B ) = √ 1 − v2 0



1 v v 1



Si (t, x), (t 0 , x 0 ) son las coordenadas de R, R 0 , resp.: t= x=

√ 1 (t 0 + vx 0 ) ≡ 1−v 2 √ 1 (vt 0 + x 0 ) ≡ 1−v 2

1 (t 0 + cv2 x 0 ) 1−v 2 /c 2 √ 1 2 2 (vt 0 + x 0 ) 1−v /c

√

Estas son precisamente las transformaciones de Lorentz que hab´ıamos deducido previamente.

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Dilataci´ on del tiempo Contracci´ on de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adici´ on de las velocidades

´ 3. CINEMATICA RELATIVISTA

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Dilataci´ on del tiempo Contracci´ on de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adici´ on de las velocidades

´ DEL TIEMPO DILATACION

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Dilataci´ on del tiempo Contracci´ on de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adici´ on de las velocidades

P R0 R L S

R, R 0 sistemas de referencia inerciales, bajo los convenios anteriores, con velocidad relativa v . S recta descrita por el observador asociado a R 0 . P suceso a lo largo de la recta S. Observemos que P = (T , L) en R y P = (T 0 , 0) en R 0 . Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Dilataci´ on del tiempo Contracci´ on de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adici´ on de las velocidades

De las transformaciones de Lorentz se tiene     0  1 T 1 v T √ = 2 L v 1 0 1−v y, por tanto, se deducen las relaciones T =√

1 T 0, 1 − v2

L= √

1 vT 0 1 − v2

La primera igualdad es la dilataci´ on del tiempo anunciada: “El sistema de referencia R, que mide una coordenada temporal T , aprecia una dilataci´ on del tiempo respecto a la coordenada temporal T 0 medida por R 0 ”

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Dilataci´ on del tiempo Contracci´ on de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adici´ on de las velocidades

´ DE LA LONGITUD CONTRACCION

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Dilataci´ on del tiempo Contracci´ on de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adici´ on de las velocidades

R0 R

P L

R, R 0 sistemas de referencia inerciales con velocidad relativa v . Para R hay una varilla r´ıgida en reposo de longitud L, cuyos extremos tienen asignadas coordenadas (t, 0), (t, L) para cada instante t. Para R 0 la varilla se mueve a velocidad −v , y sus extremos tienen coordenadas (0, 0), P = (0, L0 ) en el instante t 0 = 0. Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Dilataci´ on del tiempo Contracci´ on de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adici´ on de las velocidades

Si P = (T , L) para R, entonces de las transformaciones de Lorentz:      1 T 1 v 0 =√ L v 1 L0 1 − v2 y, por tanto, se deducen las relaciones T =√

1 vL0 , 1 − v2

L= √

1 L0 1 − v2

La segunda igualdad es la contracci´ on de la longitud anunciada: “El sistema R 0 observar´a una contracci´ on de la longitud en la direcci´on del movimiento respecto a la longitud “en reposo” medida por R”

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Dilataci´ on del tiempo Contracci´ on de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adici´ on de las velocidades

PARADOJA DE LOS GEMELOS

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Dilataci´ on del tiempo Contracci´ on de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adici´ on de las velocidades

S e000 Q

Primer Gemelo e00 e0

Segundo Gemelo

P

R, R 0 , R 00 sistemas de referencia inerciales con vectores temporales futuros e0 , e00 , e000 no colineales. P, Q, S puntos de corte de las rectas afines correspondientes. La desigualdad triangular invertida implica: |PS| > |PQ| + |QS| Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Dilataci´ on del tiempo Contracci´ on de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adici´ on de las velocidades

El primer gemelo, que permanece en reposo en R, mide un intervalo de tiempo |PS| mayor que la suma de los tiempos |PQ| + |QS| medido por el segundo gemelo. Sin embargo, el segundo gemelo puede argumentar que en otro sistema de referencia es su hermano quien se va y vuelve, mientras que ´el permanece en reposo, por lo que el tiempo transcurrido debiera ser superior para ´el. ¿Cu´al de los dos gemelos tienes raz´ on? El primero, ya que el sistema de referencia alternativo propuesto por el segundo gemelo no es inercial.

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Dilataci´ on del tiempo Contracci´ on de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adici´ on de las velocidades

´ DE VELOCIDADES: LEY DE ADICION

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Dilataci´ on del tiempo Contracci´ on de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adici´ on de las velocidades

v12 → v23 → B1 R1

B3

B2 R2

v13 →

R3

R1 , R2 , R3 sistemas referencia inerciales con velocidades relativas vij . De las transformaciones de Lorentz sabemos que:   cosh(θij ) sinh(θij ) M(Id, Bi ← Bj ) = donde tanh(θij ) = vij . sinh(θij ) cosh(θij ) Adem´as: M(Id, B1 ← B3 ) = M(Id, B1 ← B2 ) · M(Id, B2 ← B3 ). Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Dilataci´ on del tiempo Contracci´ on de la longitud Paradoja de los gemelos Ley de adici´ on de las velocidades

Sustituyendo las expresiones de las matrices se obtiene:     cosh(θ13 ) sinh(θ13 ) cosh(θ12 + θ23 ) sinh(θ12 + θ23 ) = . sinh(θ13 ) cosh(θ13 ) sinh(θ12 + θ23 ) cosh(θ12 + θ23 ) Luego, θ13 = θ12 + θ23 , y, por tanto, v13 = tanh(θ13 ) = tanh(θ12 + θ23 ) tanh(θ12 )+tanh(θ23 ) = 1+tanh(θ = 12 )·tanh(θ23 ) En conclusi´on: Ley Adici´on Velocidades: v13 =

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v12 +v23 1+v12 ·v23 .

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v12 +v23 1+v12 ·v23

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Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energ´ıa relativista total Equivalencia entre masa y energ´ıa

´ 3. DINAMICA RELATIVISTA

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Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energ´ıa relativista total Equivalencia entre masa y energ´ıa

CONSIDERACIONES PREVIAS: ¿Por qu´ e reformular la din´ amica? Las transformaciones de Lorentz son incompatibles con las siguientes propiedades cl´asicas: - la posibilidad de acelerar los cuerpos m´as all´a de c. - la conservaci´ on del momento en todos los sistemas de referencia.

¿C´ omo puede reformularse? Generalizando el concepto newtoniano de momento de manera que: - Se preserve en todos los sistemas de referencia. - Se asemeje al momento newtoniano a velocidades bajas.

Observaci´ on importante: el car´acter intr´ınseco que exigimos al momento relativista sugiere que ´este deber´ıa estar relacionado con un objeto de cuatro dimensiones.

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Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energ´ıa relativista total Equivalencia entre masa y energ´ıa

Consideremos dos sistemas de referencia inerciales R, R 0 con coordenadas de e00 para R:   vy 1 vx vz √ ,√ ,√ ,√ . 1 − v2 1 − v2 1 − v2 1 − v2 Si interpretamos R 0 como una part´ıcula de masa m, las tres u ´ltimas componentes de me00 deben estar relacionadas con el momento lineal cl´asico respecto a R. Por otra parte, el desarrollo de Taylor de la primera componente es   1 2 1 2 1 2 √ m = (1 + v + · · · )m ≡ mc + mv + · · · , 2 2 1 − v2 lo que sugiere su relaci´ on con la energ´ıa cin´etica cl´asica respecto a R. Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energ´ıa relativista total Equivalencia entre masa y energ´ıa

Postulados 1. A toda part´ıcula f´ısica se le asigna una masa en reposo m ≥ 0. 2. La part´ıcula f´ısica es material si m > 0. En ausencia fuerzas su trayectoria se identifica a la de un observador no acelerado {p + se00 : s ∈ R} y se define su energ´ıa-momento como el vector temporal futuro p = me00 . 3. La part´ıcula f´ısica es luminosa si m = 0. Su trayectoria se identifica con una recta af´ın del tipo {P + su : s ∈ R}, Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

con u luminoso, futuro. RELATIVIDAD ESPECIAL

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Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energ´ıa relativista total Equivalencia entre masa y energ´ıa

Part´ıcula masiva Una part´ıcula de masa m > 0 es una curva temporal ρ : I ⊂ R → A con la normalizaci´on g (ρ0 , ρ0 ) = −m2 (≡ −mc 2 ). Llamamos energ´ıa-momento de la part´ıcula en el instante s ∈ I a la velocidad ρ0 (s). Si la trayectoria de la part´ıcula es una recta af´ın se dir´a que est´a no acelerada, y su energ´ıa-momento se considerara un vector constante de V .

Rayo de luz Un rayo de luz es cualquier recta af´ınmente parametrizada ρ : I ⊂ R → A cuya energ´ıa-momento ρ0 es luminosa y futura.

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Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energ´ıa relativista total Equivalencia entre masa y energ´ıa

Descomposici´on de V inducida por un sistema de referencia inercial: V = he0 iR ⊕ e0⊥ . La energ´ıa-momento en s0 ∈ I de una part´ıcula ρ se escribe: ~ ρ0 (s0 ) = Ee0 + P

~ ∈ e ⊥. donde E = −g (e0 , γ 0 (s0 )) > 0, P 0

Energ´ıa, momento, tri-momento Si se tiene una part´ıcula ρ y un sistema de referencia inercial R, llamamos: Energ´ıa de ρ medida por R a E . ~ Momento de ρ medido por R a P. ~ Tri-momento de ρ medido por R a ~p = mP/E ∈ e0⊥ . Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energ´ıa relativista total Equivalencia entre masa y energ´ıa

Si ~v es la tri-velocidad que mide R se tiene: m E=q 1−

mc 2 (≡ q ), v2 v2 1 − c2 c2

~ = E~v , P

~p = m~v .

Esto indica que incluso una part´ıcula material en reposo v = 0 debe tener un m´ınimo de energ´ıa

E = mc 2

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Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energ´ıa relativista total Equivalencia entre masa y energ´ıa

¡MUCHAS GRACIAS!

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Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energ´ıa relativista total Equivalencia entre masa y energ´ıa

Momento Lineal Relativista El momento lineal relativista de a una part´ıcula de masa en reposo m0 que se mueve a velocidad ~u respecto de un sistema de referencia S es: m0~u ~p = p = m~u , 1 − u 2 /c 2 donde m := √

m0 1−u 2 /c 2

es la masa inercial de la part´ıcula.

Observaciones: As´ı definido ~p se preserva en todos los sistemas de referencia. La expresi´on de ~p se aproxima a la newtoniana a velocidades bajas: ~p ≈ m0~u Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

para u  c. RELATIVIDAD ESPECIAL

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Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energ´ıa relativista total Equivalencia entre masa y energ´ıa

Fuerza, Trabajo, Energ´ıa Cin´etica La fuerza, el trabajo y la energ´ıa cin´etica se definen qa partir del momento de manera an´aloga al caso cl´asico: ~ = d~p , F dt

~ · d~r , dW = F

dT ~ · ~u . =F dt

Integrando la expresi´on del trabajo se obtiene: m0 c 2 T =p − m0 c 2 . 2 2 1 − u /c Si suponemos u  c, entonces: 1 T ≈ m0 c 2 (1 + u 2 /c 2 ) − m0 c 2 ≈ m0 c 2 . 2 Ciclo Conferencias: “Una introducci´ on a la Relatividad...”

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Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energ´ıa relativista total Equivalencia entre masa y energ´ıa

ENERG´IA RELATIVISTA TOTAL: Se define la energ´ıa relativista total de una part´ıcula de masa m0 como: m0 c 2 E = T + m0 c 2 = p 1 − u 2 /c 2 De la conservaci´on del momento se deduce: La energ´ıa relativista total de un sistema de part´ıculas siempre se conserva en cualquier sistema de referencia, independientemente de que el n´ umero de part´ıculas del sistema permanezca invariante.

El momento lineal y la energ´ıa total relativista se relacionan mediante la expresi´on: E 2 = p 2 c 2 + m02 c 4 .

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Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energ´ıa relativista total Equivalencia entre masa y energ´ıa

EQUIVALENCIA ENTRE MASA Y ENERG´IA: Consideremos un cuerpo en reposo de masa m0 que se fractura en dos piezas de masas m01 , m02 y velocidades u1 , u2 , resp. Aplicando la conservaci´ on de energ´ıa se deduce que la suma de las masas de los trozos resultantes es menor que la masa del cuerpo original, siendo: T1 + T2 . ∆m = c2 Se deduce, por tanto, que parte de la masa del cuerpo original se ha transformado en energ´ıa cin´etica de los fragmentos resultantes.

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Momento relativista Otras magnitudes relativistas Energ´ıa relativista total Equivalencia entre masa y energ´ıa

¡MUCHAS GRACIAS!

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