Relatividad General Un siglo con las ecuaciones de Einstein
Enrique F. Borja Versi´on: 0.1β
Sevilla, 2015
Al final, todo es geometr´ıa
´Indice general
1. Introducci´ on
7
1.1. ¿Para qui´en? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2. ¿Qu´e voy a encontrar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3. ¿Ejercicios? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4. Errores tipogr´ aficos, ortogr´ aficos y conceptuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.5. ¿Cu´ ando habr´ a m´ as? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Parte Matem´ atica
13
2. Pinceladas de topolog´ıa
15
2.1. Espacio topol´ ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3. Cartas, Atlas y Variedades Diferenciales
21
3.1. Cartas coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.2. Atlas y Variedades Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3
´INDICE GENERAL
4
3.3. Funciones entre variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Vectores y Espacios Tangentes 4.1. Curvas en Variedades
25
29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.2. Vector tangente a M en el punto p - Definici´on geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.3. Vector tangente a la variedad M en el punto p - Definici´on algebraica . . . . . . . . .
34
4.4. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.5. Un vector expresado en dos cartas - Transformaci´on de coordenadas . . . . . . . . . .
46
4.6. ´Indices mudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5. Covectores/1-Formas y Espacios Cotangentes
49
6. Tensores
51
6.1. Operaciones entre tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.2. La versatilidad tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7. M´ etrica
57
7.1. Definici´ on de M´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.2. M´etricas en variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
7.3. Subir y bajar ´ındices de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
7.4. M´ as sobre contracciones de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
7.5. Teorema de planitud local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
8. Derivada Covariante
69
8.1. La derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
8.2. Derivada covariante de una 1-forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
´INDICE GENERAL
5
8.3. Corchete de campos vectoriales y la derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
8.4. Derivada covariante de un tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
8.5. Conexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
8.6. Torsi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
8.7. La conexi´ on m´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
8.8. Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
8.9. Geod´esicas
86
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Curvatura - El tensor de Riemann
89
9.1. Curvatura y curvas cerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
9.2. El tensor de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
9.3. Desviaci´ on geod´esica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
9.4. Las simetr´ıas del tensor de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
9.5. La identidad de Bianchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9.6. Las contracciones del tensor de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9.7. La identidad de Bianchi contraida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Parte F´ısica
103
10.Tensor Energ´ıa-Momento
105
11.La gravedad de Newton
109
11.1. Gravedad Newtoniana y Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 11.2. El principio de equivalencia de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
´INDICE GENERAL
6
12.El principio de equivalencia en manos de Einstein
113
12.1. La idea m´ as feliz de su vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
13.F´ısica y Matem´ aticas: Las ecuaciones de Einstein
119
13.1. La hora de la verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 13.2. Las ecuaciones de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
14.Bibliograf´ıa comentada
125
14.1. Para la matem´ atica pura y dura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 14.2. Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Cap´ıtulo 1
Introducci´ on Aqu´ı tienes un escrito en castellano sobre relatividad general. La idea que ten´ıa en mente desde hace tiempo es la de escribir un libro de relatividad general a mi manera. Un libro donde pudiera poner mi forma de entender la teor´ıa f´ısica y el armaz´on matem´atico. As´ı que lee esto con todas las reservas del mundo. El estilo es el m´ıo, no es el estilo convencional de un libro de texto ni he pretendido que lo sea. La idea es que con el tiempo aqu´ı vayan apareciendo agujeros negros, cosmolog´ıa, ondas gravitacionales, estructura causal del espaciotiempo y fundamentos matem´aticos m´as elevados como formulaci´on variacional, t´etradas, espinores, etc. Como supondr´ as, el libro est´ a incompleto. Se da un paseo por la geometr´ıa diferencial b´asica para poder llegar a las ecuaciones de Einstein de la relatividad general. El motivo de publicarlo en este lamentable estado es el de celebrar el siglo que va a cumplir la publicaci´on de las ecuaciones b´asicas de la relatividad general. Y eso es todo, ni m´as ni menos. 7
´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION
8
1.1.
¿Para qui´ en?
Si te preguntas si este amago de libro est´a a tu alcance has de saber una cosa: Este no es un libro de divulgaci´ on. En ´el vas a encontrar formalismo pero en un estilo informal. No tiene la estructura de teorema-demostraci´ on de muchos libros de los de verdad del tema. Tambi´en es cierto que muchos de los libros que prefiero para estudiar la relatividad general no tienen esa estructura. As´ı que una vez que hemos aclarado que este no es un texto de divulgaci´on puedo decir quien creo yo que puede sacar alg´ un provecho de este texto. En mi opini´ on este libro est´ a pensado para que cualquiera que haya estudiado ´algebra lineal y funciones de varias variables pueda seguir todas las explicaciones. Todos los conceptos se han intentado introducir de una forma amable y sin dramatismos. Si est´as en ese caso y te interesa la relatividad general este puede ser un buen punto de partida.
1.2.
¿Qu´ e voy a encontrar?
En esta versi´ on se ha intentado ir lo m´ as directo y r´apido posible hasta las ecuaciones de Einstein. Seguro que has o´ıdo decir que la relatividad general nos dice que el espaciotiempo se curva por la presencia de energ´ıa y todo eso. Aqu´ı se explica el ‘todo eso’. Se introduce el concepto de variedad diferenciable desde la base, se introducen los vectores y los espacios tangentes, los cotangentes, pasamos a tensores, derivadas covariantes y curvaturas. He intentado que la cosa fluya de la forma m´as suave posible a costa de sacrificar explicaciones de otros conceptos que, aunque interesant´ısimos, no son esenciales para el objetivo marcado. Todo esto en mi opini´ on, estoy seguro de que hay quien opine que esto es un sacrilegio. La cosa es tan laxa que no voy he hablado de formas diferenciales, no he hablado de derivadas
´ VOY A ENCONTRAR? 1.2. ¿QUE
9
de Lie, no he introducido los vectores de Killing, etc. La principal causa es mi prisa por sacar esto a la luz. La secundaria es que no he tenido necesidad imperiosa de usar tales conceptos. Pero no os preocup´eis, aparecer´ an en pr´ oximas versiones y todo ser´a gozo y parabienes. Adem´as, creo que si te zampas estas p´ aginas luego los otros conceptos los considerar´as pan comido. Esto es como todo, el secreto est´ a en acostumbrarse al tema.
Si nunca has estudiado relatividad general o geometr´ıa diferencial descubrir´as un mundo asombroso. Una nueva forma de ver el espacio que nos rodea y del que formamos parte. La relatividad general cambi´ o cr´ıticamente la forma en la que se hac´ıa la f´ısica te´orica. Podemos decir que gracias a la aparici´ on de la relatividad general se pudo llegar a la formulaci´on de las teor´ıas de las interacciones fundamentales no gravitatorias. Esas teor´ıas del electromagnetismo, la interacci´on d´ebil o la fuerte, que se han podido escribir de forma cu´ antica, se basan en muchos de los conceptos aqu´ı presentados. Se puede decir que es una buena forma de acercarse a las formulaciones de tales teor´ıas desde el punto de vista matem´ atico sin perderse en los vericuetos caminos de lo cu´antico.
Una cosilla as´ı sin importancia. No hay numeraci´on en las f´ormulas. No te encontrar´as en ning´ un sitio eso de -seg´ un la f´ ormula 6,1 se deduce-. S´e que los puristas se tirar´an de los pelos por ello pero est´ a hecho a prop´ osito. Las expresiones que van siendo necesarias en distintas partes se ponen en todas ellas y cuando no se ponen es por un motivo. La raz´on es que hay algunas expresiones que uno tiene que tener en la cabeza y si no est´ an ah´ı entonces hay que buscarlas. Una peque˜ na incomodidad agudiza el ingenio y la memoria. Adem´ as, yo siempre he disfrutado de ir de adelante a atr´as y viceversa en un texto.
Pues eso, el texto acaba justo tras deducir las ecuaciones de Einstein. Pero en un futuro no determinado vendr´ a con m´ as y mejor informaci´on. Palabra de gato.
´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION
10
1.3.
¿Ejercicios?
No, no he puesto ning´ un ejercicio, lo siento. Ya sab´eis, la falta de tiempo y las prisas y todo lo que ya os he contado en las l´ıneas anteriores. Eso s´ı, todo el libro este se puede considerar como un ejercicio. Ser´ıa deseable y muy beneficioso para los que se acerquen a este texto que intentaran seguir las explicaciones con l´ apiz y papel. Con ese l´ apiz y ese papel ser´ıa genial que se pudieran reproducir todos los resultados que aqu´ı he puesto. Al principio, sobre todo cuando se empiezan a jugar con los ´ındices de los tensores, hay c´alculos explicados paso a paso. Conforme el texto avanza los c´alculos se dejan indicados. ¿Qui´en soy yo para privar al potencial lector de deducir una f´ ormula?
1.4.
Errores tipogr´ aficos, ortogr´ aficos y conceptuales
Si encuentras alg´ un error o fallo de cualquier tipo no te concedas mucho m´erito. Estoy seguro de que dada mi precipitaci´ on al escribir y al publicar se me han pasado por alto muchos errores y fallos de todo tipo. Eso s´ı, no tengas ning´ un empacho en mostrarme los errores. Para hacerlo m´as ´agil, convendremos en que me envi´ ais un mail con la cabecera - Fallo gordo en Relatividad General - a:
[email protected]
Por supuesto, tambi´en acepto cr´ıticas ´acidas y mordaces. Pero si tienes algo bonito que decir tampoco te cortes.
´ ´ MAS? ´ 1.5. ¿CUANDO HABRA
1.5.
11
¿Cu´ ando habr´ a m´ as?
Si ya est´ as impaciente por leer nuevas versiones solo te puedo decir que las nuevas versiones del texto ir´ an apareciendo conforme vayan apareciendo. Lo que es seguro es que aparecer´an cuando est´en. Y casi seguro estar´ an en alg´ un momento. ¿No s´e si me he explicado?
Parte Matem´ atica
Variedades diferenciales
Cap´ıtulo 2
Pinceladas de topolog´ıa En este primer cap´ıtulo vamos a hablar de topolog´ıa. Podr´ıamos decir que la topolog´ıa es la parte de la matem´ atica que se ocupa de la continuidad de las funciones definidas entre distintos conjuntos. No nos convertiremos en expertos top´ ologos pero necesitamos algunas nociones simples para lo que viene.
2.1.
Espacio topol´ ogico
Vamos a asumir que tenemos un conjunto X y que todos tenemos una idea m´as o menos aproximada de qu´e significa conjunto. El conjunto estar´a formado por una colecci´on de elementos de los que podremos decidir si pertenecen o no al conjunto X, es decir, tendremos clara las relaciones x ∈ X, x∈ / X. Aqu´ı trabajaremos con conjuntos de infinitos elementos que usualmente llamaremos puntos. Por ejemplo, el espaciotiempo ser´ a el conjunto de todos los posibles puntos espaciotemporales. Por otro lado, dado un conjunto X podemos seleccionar algunos elementos que satisfagan alguna 15
CAP´ITULO 2. PINCELADAS DE TOPOLOG´IA
16
propiedad y definir por tanto un conjunto restringido a partir de X, es decir, podemos hablar de subconjuntos de X. ¿Qu´e es una topolog´ıa? Ahora nos proponemos dar la definici´on de topolog´ıa y como tal definici´on no hay que entenderla. Las definiciones no se entienden, las aceptamos, las asumimos y trabajamos con ellas siempre y cuando no se deduzca de las mismas alguna conclusi´on que sea inconsistente con las definiciones establecidas. Definici´ on: Espacio Topol´ ogico Dado un conjunto, X, diremos que T es una topolog´ıa de X si: 1. T es una colecci´ on de subconjuntos de X. T = {Uα }, donde Uα ⊂ X para todo α que toma valores en un conjunto de ´ındices. 2. ∅ y X son elementos de T. 3. Uα ∈ T ⇒
S
Uα ∈ T.
α
4. Para un n´ umero finito de subconjuntos de X, {Ui }ni=1 ∈ T ⇒
T
Ui ∈ T.
i
La definici´ on lo que nos dice es que podemos parchear el conjunto X con subconjuntos. As´ı que hacemos una colecci´ on de subconjuntos, incluyendo el conjunto total y el vac´ıo, y diremos que es una topolog´ıa si cumple dos propiedades importantes. Primero, la uni´on arbitraria de parches nos devuelve un subconjunto que est´ a contenido en la colecci´on inicial. Y segundo, la intersecci´on finita de parches seguro que nos devuelve a su vez un subconjunto contenido en la colecci´on T. Como est´a feo llamar parche a un subconjunto en matem´ atica se emplea la palabra abierto. As´ı que los elementos de una topolog´ıa T se denominan abiertos de la topolog´ıa. Si un conjunto X tiene asignada una topolog´ıa, es decir, existe una colecci´on de abiertos T que verifica la definici´ on, diremos que es un espacio topol´ogico. De hecho, siendo estrictos, el espacio
´ 2.1. ESPACIO TOPOLOGICO
17
topol´ ogico es el par (X, T), pero generalmente la topolog´ıa ser´a conocida y no seremos tan estrictos. Por supuesto, un mismo espacio puede acomodar distintas topolog´ıas, distintas colecciones de subconjuntos que verifiquen la definici´ on, no dudes en recurrir a la bibliograf´ıa para obtener m´as detalles. Una cuesti´ on importante es que para todo x ∈ X existe un abierto de la topolog´ıa que lo contiene x ∈ U ⊆ X. Diremos entonces que U es un entorno de x ∈ X. Esto nos permite pensar en que los puntos contenidos en U son cercanos a x aunque no tengamos ninguna noci´on de distancia definida en el espacio X.
Figura 2.1: U es el entorno del punto x ∈ X en la topolog´ıa definida sobre el conjunto.
Hay un tipo de espacios en los que estamos interesados, son los espacios separables o Hausdorff. Sin entrar en detalle, diremos que un espacio es de Hausdorff cuando dados dos puntos del espacio X siempre podemos encontrar dos abiertos de la topolog´ıa cuya intersecci´on es vac´ıa. En cierto sentido, eso nos permite aislar o separa los puntos del espacio. Aunque esta condici´on nos parezca muy natural no hay problema alguno en definir espacios en los que no se cumple, recomiendo a los interesados buscar ejemplos de espacios no separables.
CAP´ITULO 2. PINCELADAS DE TOPOLOG´IA
18
Figura 2.2: Ejemplo de espacio Hausdorff
2.2.
Funciones continuas
El concepto de continuidad de funciones tiene su expresi´on m´as b´asica y m´as fundamental en topolog´ıa. Hablando con toda la falta de rigor del mundo podemos decir que una funci´on continua es aquella que env´ıa puntos cercanos a puntos cercanos. Como acabamos de ver la relaci´on de cercan´ıa en topolog´ıa se resuelve, sin ayuda de distancias definidas, con los entornos de puntos del espacio en el que estemos trabajando. Por tanto, podemos concluir que una funci´on ser´a continua en el sentido topol´ ogico si aplica entornos abiertos de puntos a entornos abiertos de puntos. Seamos ahora un poco m´ as precisos. Disponemos de X e Y , sendos espacios topol´ogicos. Tenemos definida una funci´ on f : X → Y . Dado un punto x ∈ X, la funci´on f le asociar´a un punto y = f (x) en el espacio Y . As´ı, si aplicamos f sobre un entorno U de x ∈ X su imagen en Y ser´a f (U ).
Figura 2.3: Acci´on de f
2.3. HOMEOMORFISMOS
19
Diremos que la funci´ on f es continua si para cada abierto V en la topolog´ıa de Y se cumple que f −1 (V ) es un elemento de la topolog´ıa de X. Es decir, si la imagen inversa de un abierto siempre es un abierto, cada uno en su topolog´ıa. Es esencial notar que aunque se escriba f −1 esto no hace referencia a la inversa de la funci´on (que no sabemos si es invertible o no, no sabemos si es inyectiva y sobreyectiva). A f −1 se la denomina en este contexto imagen inversa y se define por:
f −1 (V ) = {x ∈ X : f (x) ∈ V ⊂ Y } Como comentario final de esta secci´ on, me gustar´ıa resaltar el hecho de que esta definici´on de continuidad en topolog´ıa es equivalente a la definici´on − δ usual cuando trabajamos con funciones f : Rn → Rm .
2.3.
Homeomorfismos
Trataremos ahora de dar la idea de cuando dos espacios topol´ogicos pueden ser considerados equivalentes. Esta equivalencia se expresar´a a trav´es de un una aplicaci´on entre ambos espacios y su inversa de forma que se preserven las topolog´ıas de los mismos. Ya hemos encontrado que las aplicaciones continuas son aquellas que relacionan los abiertos del espacio de llegada con abiertos del espacio de partida, por lo tanto son ellas las que preservan la estructura topol´ogica. Diremos que una funci´ on entre dos espacios topol´ogicos f : X → Y es un homeomorfismo si cumple que es una biyecci´ on y que tanto ella como su inversa son continuas. En este caso, f es invertible y tiene sentido pensar en f −1 como la funci´ on inversa asociada.
20
CAP´ITULO 2. PINCELADAS DE TOPOLOG´IA
Cap´ıtulo 3
Cartas, Atlas y Variedades Diferenciales
Hasta ahora hemos trabajados con espacios topol´ogicos (X, T). En estos espacios no tenemos a´ un la suficiente estructura matem´ atica como para poder hacer f´ısica en ellos. Un punto x ∈ X es una entidad abstracta, pero para poder hacer f´ısica hemos de ser capaces de dar coordenadas a los puntos. Adem´as, hemos de saber c´ omo hacer derivadas, como definir vectores, como definir distancias y ´angulos, etc. El objetivo de este cap´ıtulo es el de aumentar la estructura de un espacio topol´ogico para que esas esperanzas se puedan hacer realidad.
Para empezar definiremos una variedad M como un espacio topol´ogico que es de tipo Hausdorff y que no se puede considerar uni´ on de dos piezas disjuntas. 21
CAP´ITULO 3. CARTAS, ATLAS Y VARIEDADES DIFERENCIALES
22
3.1.
Cartas coordenadas
Dada una variedad M se dice que el par (U, ϕ) es una carta coordenada n-dimensional cuando U es un abierto de M (elemento de su topolog´ıa) y ϕ es un homeomorfismo de U en un abierto de Rn .
ϕ : U ⊆ M → Rn
Figura 3.1: Carta coordenada
Este punto es importante ya que a trav´es de la carta podemos considerar un abierto de M como un espacio Rn y aplicar todo lo que sabemos hacer en esos espacios en la propia variedad. En este caso diremos que estamos trabajando con una variedad real de dimensi´on n. Estas cartas matem´aticas es lo que en f´ısica denominamos sistemas de coordenadas. Al trabajar en Rn asociamos a cada punto una n-tupla de valores (x1 , x2 , . . . , xn ). Cuando estamos tratando con una variedad y queremos describir uno de sus puntos, p ∈ M , hemos de emplear una carta y as´ı tendremos ϕ(p) ∈ Rn . Es decir,
ϕ(p) = (ϕ1 (p), ϕ2 (p), . . . , ϕn (p)). As´ı que cuando hablemos de las coordenadas de un punto de la variedad escribiremos xa , donde a = 1, 2, . . . , n es un ´ındice que nos indica la coordenada en cuesti´on, pero tendremos en mente que
3.1. CARTAS COORDENADAS
23
eso solo es posible gracias a la existencia de la carta que nos permite ir de un abierto de M a Rn . Un detalle crucial en lo que sigue es que en general no podemos cubrir toda la variedad M con una carta, de ser as´ı M ser´ıa esencialmente Rn . Pero no todos los espacios son homeomorfos a un espacio eucl´ıdeo. ¿Has probado a envolver una pelota con solo una hoja de papel? Este proceso de asignar una aplicaci´ on que nos lleve de un abierto de M a Rn lo podemos extender a cualquier abierto de la variedad. La cosa se pone interesante cuando tenemos dos cartas (U1 , ϕ1 ) y (U2 , ϕ2 ) tales que los abiertos no son disjuntos, es decir, U1 ∩ U2 6= ∅. En la regi´on de intersecci´on podemos llevar los puntos a trav´es de ϕ1 a trav´es de ϕ2 . En este caso podemos definir las funciones de transici´on
n n ϕ2 ◦ ϕ−1 1 : ϕ1 (U1 ∩ U2 ) ⊂ R → ϕ2 (U1 ∩ U2 ) ⊂ R
Como ejercicio, completa el siguiente dibujo identificando los abiertos, y las funciones con sus respectivas composiciones:
Desde el punto de vista f´ısico es muy importante tener claro que lo que acabamos de aprender es
CAP´ITULO 3. CARTAS, ATLAS Y VARIEDADES DIFERENCIALES
24
a cambiar de coordenadas. Si lo pensamos bien, lo que estamos diciendo es que hay dos descripciones de los mismos puntos de la variedad M , donde los abiertos de las cartas tienen intersecci´on, y que le asignamos diferentes coordenadas a los mismos seg´ un los expresemos con una carta o la otra. Las funciones de transici´ on son esenciales para entender como se han de expresar unas coordenadas en funci´ on de las otras y viceversa.
3.2.
Atlas y Variedades Diferenciales
Una vez que hemos visto las cartas el siguiente paso es evidente, formemos un atlas. Un atlas de dimensi´ on n en la variedad M es una familia de cartas (Ua , ϕa )a∈I , es decir que a toma valores en un conjunto de ´ındices I, un contador vamos, de tal forma que:
Se cumple que M =
S
Ua
a∈I
Cada funci´ on de transici´ on ϕa ◦ ϕ−1 on continua con infinitas derivadas continuas. A b es una funci´ este tipo de funciones las denominaremos suaves o de tipo C ∞ . Recordemos que estas funciones de transici´ on son funciones en Rn donde tenemos todas las herramientas necesarias para saber si una funci´ on es derivable infinitas veces y si cada derivada es continua.
Aqu´ı deber´ıamos de interesarnos por el concepto de atlas maximal, aquel atlas que contiene todos los abiertos posibles definidos en M y todas las biyecciones entre los abiertos de M y los abiertos de Rn cuyas funciones de transici´ on son suaves. El concepto es simple pero su construcci´on es ardua cuanto menos, as´ı que asumiremos que siempre trabajamos con este tipo de atlas. Y llegados a este punto podemos dar la definici´on de variedad diferenciable. Definici´ on: Variedad Diferencial
3.3. FUNCIONES ENTRE VARIEDADES
25
Si en un espacio topol´ ogico M que es conexo y Hausdorff construimos un atlas maximal habremos definido una estructura diferenciable sobre M y diremos que M es una variedad diferencial. Dado que todas las variedades con las que vamos a trabajar son variedades diferenciales las denominaremos simplemente como variedades sin posibilidad de confusi´on.
3.3.
Funciones entre variedades
Imaginemos ahora que tenemos dos variedades, M y N . Ambas tienen asociada una estructura diferencial. Las dimensiones de dichas variedades no han de coincidir, por ejemplo supongamos que la variedad M es m-dimensional y la variedad N es n-dimensional. Eso quiere decir que las cartas de M van a Rm y las de N van a Rn . Si ahora definimos una funci´on f : M → N , ¿c´omo podemos decidir si esta funci´ on es suave o no lo es?
La cuesti´ on se resuelve f´ acilmente si nos vamos a los espacios en los que s´ı sabemos responder esa pregunta. As´ı que empleemos las cartas como en la figura 3.2. Gracias a las cartas podemos traducir en cierto sentido la funci´on entre las variedades a funciones entre Rm y Rn , para ello construimos, observa la figura 3.3, el representante local de la funci´on:
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U ) ⊂ Rm → ψ(V ) ⊂ Rn Dado que ya disponemos de una funci´ on entre espacios del tipo Rn podremos decidir si la funci´on es suave o no lo es. La funci´ on ser´ a suave si para todas las cartas de M y N su representante local es C ∞ en el sentido del an´ alisis de varias variables. En realidad, basta mostrar que ese es el caso
CAP´ITULO 3. CARTAS, ATLAS Y VARIEDADES DIFERENCIALES
26
Figura 3.2: Empleando las cartas
Figura 3.3: Representante local
para una pareja de cartas de ambas variedades para poder afirmar que la funci´on es suave debido a la estructura diferencial inherente a una variedad diferencial. Es un buen ejercicio convencerse de esta afirmaci´ on. Una funci´ on f : M → N se llama difeomorfismo entre las variedades si es una biyecci´on y tanto ella como su inversa son suaves. Por lo tanto, las variedades que admiten difeomorfismos entre ellas se llaman difeomorfas ya que sus estructuras diferenciales son id´enticas. Evidentemente siempre podemos definir difeomorfimos de una variedad M en ella misma. El conjunto de todos los difeomorfismos de una variedad conforma un grupo denotado por Dif f (M ). La
3.3. FUNCIONES ENTRE VARIEDADES
comprobaci´ on de que los difeomorfismos de una variedad forman grupo es directa.
27
28
CAP´ITULO 3. CARTAS, ATLAS Y VARIEDADES DIFERENCIALES
Cap´ıtulo 4
Vectores y Espacios Tangentes Una variedad M tiene dos estructuras definidas, una topolog´ıa y una estructura diferencial. Sin embargo, no hay ninguna estructura vectorial asociada y eso supone un problema porque necesitamos vectores para hacer f´ısica. Nuestro trabajo en esta secci´on es estudiar si es posible definir vectores en una variedad. Como veremos, hay una construcci´on muy bella que lo permite y que es consistente con una interpretaci´ on m´ as operativa. Antes de entrar de lleno en el tema que nos ocupa vamos a definir curvas en variedades.
4.1.
Curvas en Variedades
Se llamar´ a curva en la variedad M a una aplicaci´on suave γ : R → M que asigna a cada valor en λ ∈ R, o en un intervalo abierto del mismo, un punto en la variedad dado por γ(λ). Es importante se˜ nalar que la curva es la aplicaci´on γ no el camino de puntos se˜ nalados en la variedad. 29
CAP´ITULO 4. VECTORES Y ESPACIOS TANGENTES
30
Podemos decir que hay dos curvas tangentes entre ellas en el punto p de la variedad si se cumple:
γ1 (0) = γ2 (0) = p En una carta coordenada de M las curvas han de ser tangentes en el sentido de Rn La primera condici´ on establece que las dos curvas toman el mismo valor solo en un punto. Por simplicidad se ha elegido que dicho punto corresponda al valor cero del par´ametro λ.
La segunda condici´ on hace uso de las cartas definidas sobre la variedad M . Con ello podemos llevar la curva a Rn asociando a los puntos γ(λ) de la variedad puntos en Rn del tipo xµ (γ(λ)).
4.1. CURVAS EN VARIEDADES
31
El representante local de la curva en Rn toma la forma:
ϕ ◦ γ : R → Rn As´ı podemos definir la siguiente derivada de la forma usual:
d (ϕ ◦ γ(λ)) dλ Esta notaci´ on es formal pero emplearemos una notaci´on m´as operativa y m´as popular en los textos de f´ısica:
d dxµ (γ(λ)) (ϕ ◦ γ(λ)) = dλ dλ As´ı que lo que indica la segunda condici´on no es m´as que una relaci´on entre las derivadas a las curvas en el punto correspondiente a λ = 0:
dxµ (γ1 (λ)) dxµ (γ2 (λ)) |λ=0 = |λ=0 dλ dλ
CAP´ITULO 4. VECTORES Y ESPACIOS TANGENTES
32
Esta expresi´ on, gracias al car´ acter C ∞ de todas las funciones empleadas y a la estructura diferencial inherente a la variedad, es v´ alida en cualquier sistema de coordenadas.
4.2.
Vector tangente a M en el punto p - Definici´ on geom´ etrica
Gracias a la construcci´ on anterior podemos dar una noci´on de vector tangente a la variedad en uno de sus puntos. Un vector tangente en p ∈ M es una clase de equivalencia de curvas en M tales que la relaci´on de equivalencia es la de ser dos curvas que sean tangentes entre s´ı en el punto p.
v = [γ] Definir as´ı los vectores tangentes a una variedad en un punto puede parecer abstracto y poco operativo. Ciertamente, as´ı es. Sin embargo, hay un punto clave en esta forma de definir los vectores tangentes, tan solo se hace uso de elementos propios de la variedad y de funciones definidas sobre y en ella. Es decir, el concepto de vector tangente a la variedad en un punto es intr´ınseco a la variedad. No necesitamos pensar en nuestra variedad como encerrada en un espacio de dimensi´on superior donde s´ı est´ an definidos los vectores de manera usual, la variedad es todo lo que necesitamos. Vamos a demostrar un teorema. Teorema: El espacio de todo los vectores tangentes a la variedad M en el punto p forman un espacio vectorial. Demostraci´ on: Tenemos una variedad M y en ella tenemos una carta (U, ϕ), el punto p ∈ U ⊂ M la aplicaci´on ϕ env´ıa a p al punto ~0 ∈ Rn .
´ GEOMETRICA ´ 4.2. VECTOR TANGENTE A M EN EL PUNTO P - DEFINICION
33
Tenemos dos clases de equivalencia de curvas diferentes, [γ1 ] y [γ2 ]. Tomamos como representantes de cada clase de equivalencia las curvas γ1 y γ2 . Sin p´erdida de generalidad elegimos las curvas de tal forma que se cumpla γ1 (0) = γ2 (0) = p. Y sus im´agenes por la carta vienen dadas por ϕ ◦ γ1 (λ) y ϕ ◦ γ2 (λ) respectivamente. Es evidente que γ1 + γ2 no tiene sentido en M . Pero podemos aprovechar los representantes locales para efectuar una suma en Rn :
(ϕ ◦ γ1 (λ)) + (ϕ ◦ γ2 (λ)), esto est´ a bien definido y es una nueva curva en Rn . Es inmediato encontrar que esta nueva curva tambi´en pasa por ~0 ∈ Rn cuando el par´ametro λ = 0. Aprovechando que ϕ−1 est´ a definida por la propia definici´on de variedad, podemos llevar esta curva de Rn a la variedad M :
λ 7→ ϕ−1 ◦ (ϕ ◦ γ1 (λ)) + (ϕ ◦ γ2 (λ)) Esta curva en M pasa por p ∈ M para λ = 0. As´ı podemos concluir que siendo v1 = [γ1 ] y v2 = [γ2 ] se cumple que: v1 + v2 := [ϕ−1 ◦ (ϕ ◦ γ1 (λ)) + (ϕ ◦ γ2 (λ))] rv := [ϕ−1 ◦ (rϕ ◦ γ)], para todo r ∈ Rn
Adem´ as, esto es independiente de la carta elegida y de los representantes de las clases de equivalencias que definen los vectores. Desde el punto de vista de Rn las anteriores expresiones toman el siguiente aspecto:
CAP´ITULO 4. VECTORES Y ESPACIOS TANGENTES
34
d µ d µ (x (γ1 (λ)) + xµ (γ2 (λ)))|λ=0 = (x (γ1 (λ)))|λ=0 + dλ dλ
d µ dλ (x (γ2 (λ)))|λ=0
d d (rxµ (γ(λ)))|λ=0 = r (xµ (γ(λ)))|λ=0 dλ dλ As´ı queda demostrado el teorema estableciendo que todos los vectores tangentes a la variedad en un punto, y esto se puede hace para cualquier punto de la variedad, forman un espacio vectorial. Acabamos de definir el espacio tangente a la variedad en el punto p que denotaremos por Tp M .
4.3.
Vector tangente a la variedad M en el punto p - Definici´ on algebraica
Vamos a proporcionar ahora otra definici´on de vector tangente a una variedad en uno de sus puntos. El objetivo ahora es que seamos capaces de llegar a expresiones m´as adecuadas a la hora de hacer c´ alculos reales. Antes de entrar en el mundo de las variedades vamos a concentrarnos en el mundo familiar de Rn . En este tipo de espacio hay una relaci´on directa entre vectores tangentes a curvas y derivadas direccionales. Un punto de Rn vendr´ a dado por sus coordenadas (x1 , . . . , xn ) que denotaremos por xµ . Si tenemos un vector dado por sus componentes en Rn , v = (v 1 , . . . , v n ). Dada una funci´on f : Rn → R la derivada direccional en la direcci´ on indicada por el vector v viene dada por:
vf = v 1
∂f ∂f ∂f + v2 2 + · · · + vn n ∂x1 ∂x ∂x
Evidentemente esto se puede escribir como un sumatorio:
´ ALGEBRAICA35 4.3. VECTOR TANGENTE A LA VARIEDAD M EN EL PUNTO P - DEFINICION
vf =
X
vµ
µ
∂f ∂xµ
Y aqu´ı recurriremos a una genialidad de Albert Einstein, tal vez no es espectacular pero simplifica la vida, que no es poco. La expresi´ on anterior se escribir´a como:
vf = v µ
∂f ∂xµ
Y as´ı llegamos al convenio de suma de Einstein, cada vez que enfrentemos objetos con ´ındices arriba con objetos con ´ındices abajo repetidos entenderemos que hay que hacer la suma de los productos de esos objetos para cada valor de los ´ındices. Para simplificar a´ un m´ as este tipo de expresiones las derivadas parciales
∂f se escriben simple∂xµ
mente como ∂µ . Tras esta revisi´ on de la notaci´on las derivadas direccionales de funciones quedan:
vf = v µ ∂µ f Ahora bien, como esta expresi´ on es v´ alida independientemente de la funci´on que elijamos para calcular la derivada direccional podemos considerar que el vector se puede entender como el siguiente operador:
v = v µ ∂µ Con una simple inspecci´ on visual podemos identificar {∂µ } como la base en la que expresamos los vectores, entendidos como operadores de derivaci´on. Por este motivo, dado que hay n derivadas independientes, una por cada coordenada de Rn , el espacio vectorial que se obtiene a partir de esa base, adaptada a las coordenadas, es de dimensi´on n.
36
CAP´ITULO 4. VECTORES Y ESPACIOS TANGENTES
Volvamos ahora a nuestra variedad M. Intentaremos encontrar de alg´ un modo como identificar los vectores tangentes a la variedad en un punto con derivadas direccionales de funciones. Para lo que sigue es bueno tener organizados los ingredientes indispensables: 1. Tenemos una variedad M de n dimensiones. 2. En esa variedad definimos una de sus cartas con el par (U, ϕ) donde ϕ : M → Rn . 3. Trabajaremos con una curva en la variedad, la funci´on γ : R → M . 4. Tambi´en usaremos una funci´ on suave f : M → R. Empezaremos definiendo la curva γ(λ) en la variedad M
A trav´es de la carta podemos llevar la curva a Rn :
(ϕ ◦ γ)(λ) En esa situaci´ on, como ya hemos visto, se puede calcular la tangente a la curva en cada uno de sus puntos mediante la derivada respecto a λ:
´ ALGEBRAICA37 4.3. VECTOR TANGENTE A LA VARIEDAD M EN EL PUNTO P - DEFINICION
d (ϕ ◦ γ) dλ Pero, ya sab´eis, con la notaci´ on simplificada:
dxn d (ϕ ◦ γ) = (γ(λ)) dλ dλ Que,sinceramente, acostumbramos a escribir tan solo como
dxµ . El hecho de que se derive respecto dλ
a λ aclara que estamos derivando sobre una curva. Si tenemos una funci´ on f : M → R que queremos derivar a lo largo de la curva γ, es decir, hacer la derivada direccional, tenemos una situaci´on complicada: Ciertamente es complicado imaginar c´ omo hacer la derivada direccional a lo largo de la curva γ. Pero es f´ acil que nos demos cuenta que la derivada
df , dλ
CAP´ITULO 4. VECTORES Y ESPACIOS TANGENTES
38
est´ a bien definida si consideramos que eso indica que hemos derivar (f ◦ γ) que es una funci´on de R en R.
As´ı que la siguiente derivada tiene sentido:
df d(f ◦ γ) = dλ dλ A´ un tenemos un problema, ah´ı no aparecen vectores ni derivadas direccionales por ning´ un sitio. Claro, eso est´ a asociado a trabajar en Rn . ¿Podemos expresar esa derivada en Rn ?
´ ALGEBRAICA39 4.3. VECTOR TANGENTE A LA VARIEDAD M EN EL PUNTO P - DEFINICION
Observa esta figura:
Hay un detalle que hemos de considerar, si efectuamos la composici´on de la aplicaci´on de la carta y su inversa obtenemos una identidad. Es como no hacer nada.
ϕ ◦ ϕ−1 = ϕ−1 ◦ ϕ = I
Y aqu´ı viene la magia de la matem´ atica. Transformemos la expresi´on (f ◦ γ) con una identidad, no queremos perturbar esa funci´ on para nada. La cosa quedar´ıa (f ◦ ϕ−1 ◦ ϕ ◦ γ). En realidad no hemos hecho nada, pero hemos hecho mucho. Gracias a la propiedad asociativa esto se puede escribir como:
f ◦ γ = (f ◦ ϕ−1 ◦ ϕ ◦ γ) = (f ◦ ϕ−1 ) ◦ (ϕ ◦ γ)
Ahora s´ı, ahora tenemos una funci´ on que va de R a R pero pasando por Rn . De hecho, desde este punto de vista podemos escribir la derivada anterior del siguiente modo:
CAP´ITULO 4. VECTORES Y ESPACIOS TANGENTES
40
df dλ
= = = =
d (f ◦ ϕ) dλ d (f ◦ ϕ−1 ) ◦ (ϕ ◦ γ) dλ d(ϕ ◦ γ) ∂(f ◦ ϕ−1 ) dλ ∂xµ dxµ ∂µ f dλ
Tan solo hemos tenido que tirar de la regla de la cadena para llegar a ese resultado. Y s´ı, ah´ı tenemos el vector tangente a la curva y actuando como derivaci´on sobre la funci´on. ¡Lo hemos conseguido!
dxµ df = ∂µ f dλ dλ Podemos concluir entonces que cualquier vector v ∈ Tp M puede ser identificado con una derivada direccional. Es cierto que podr´ıas objetar que hemos trabajado con una curva y no con vectores tangentes pero entonces no tendr´ıas en la cabeza la primera caracterizaci´on de dichos vectores que justamente se construyen a partir de curvas en la variedad. Lo que hemos hecho, tal vez no de la forma m´as formal posible, es mostrar que las clases de equivalencia de curvas que definen los vectores v ∈ Tp M act´ uan como operadores de derivaci´ on sobre funciones. As´ı, que llegamos a una de las primeras expresiones a grabar en la cabeza en este tema. Un vector tangente en un punto es un objeto que toma una funci´on en la variedad y devuelve un n´ umero y su definici´ on es:
v = v µ ∂µ As´ı, vf = v µ ∂µ f
´ ALGEBRAICA41 4.3. VECTOR TANGENTE A LA VARIEDAD M EN EL PUNTO P - DEFINICION
Para convencernos de que estamos trabajando con operadores de derivaci´on de pleno derecho que adem´ as conforman un espacio vectorial ser´ıa muy recomendable, como ejercicio, comprobar que los vectores tangentes a la variedad en un punto tienen las siguientes propiedades al actuar sobre funciones: 1. v(f + g) = vf + vg 2. v(rf ) = rvf, 3. v(f g) = f (p)v(g) + g(p)v(f ) 4. (v1 + v2 )f = v1 f + v2 f 5. (rv)f = rvf Aqu´ı v1 , V2 , V ∈ Tp M , f, g son funciones suaves de la variedad en R y r ∈ R. Las dos primeras propiedades nos indican que los vectores act´ uan sobre funciones linealmente, al fin y al cabo son derivadas. Que sean derivadas u operadores de derivaci´on se ve claramente en la tercera propiedad que es conocida como la regla de Leibniz, ya sab´eis, la derivada de la primera por la segunda sin derivar, etc. Esa propiedad caracteriza a los objetos matem´aticos que act´ uan como derivadas en alg´ un sentido. Y las dos u ´ltimas condiciones muestran, de nuevo, que conforman un espacio vectorial. Me gustar´ıa insistir en que aqu´ı no hemos probado formalmente de forma completa la equivalencia de las definiciones de vectores tangentes a una variedad en un punto. Simplemente se ha indicado que tiene toda la pinta de poderse probar, de hecho se puede y cualquiera con inter´es puede ver la hermosa y alambicada construcci´ on en la que se basa la demostraci´on formal. As´ı que dada una carta (U, ϕ) en una variedad M tenemos de forma natural definida una base en cualquier Tp M de todos los puntos p ∈ U ⊂ M . Esta es la base adaptada a las coordenadas que viene dada por las parciales respecto de cada una de las coordenadas que establece la carta, {∂µ }.
CAP´ITULO 4. VECTORES Y ESPACIOS TANGENTES
42
La dimensi´ on por tanto de cualquier Tp M asociado a un punto de la variedad es n. La variedad y cualquiera de sus espacios tangentes en cualquiera de sus puntos tienen la misma dimensi´on. Piensa lo que sigue, hemos ampliado la estructura de una variedad. Ahora, adem´as de la estructura diferenciable la variedad tiene asociado de manera natural un espacio tangente, un espacio vectorial, en cada punto de la misma.
4.4.
Campos vectoriales
Hasta ahora hemos trabajado anclados a un punto p de la variedad M . Pero en M quedan infinitos puntos por ah´ı que explorar. Lo que est´ a claro es que en un punto p podremos definir el espacio tangente en dicho punto Tp M y en un punto q tendremos el espacio tangente Tq M . De hecho, podemos definir el T M como el espacio resultante al hacer la uni´on de todos los espacios tangentes de todos los puntos de la variedad
TM =
[ p∈M
Tp M
4.4. CAMPOS VECTORIALES
43
Pensemos que desde el punto de vista algebraico Tp M y Tq M son isomorfos. Pero hay un detallito inc´ omodo en esta historia, los espacios tangentes definidos en puntos diferentes de una variedad no se pueden comparar entre s´ı. No hay ninguna manera definida de llevar un vector en el Tp M a Tq M . En Rn sabemos trasladar vectores, lo hacemos siguiendo un traslado paralelo, podemos tomar cualquier vector y anclarlo a cualquier punto de Rn . Por desgracia, en una variedad M no hay noci´on definida de paralelismo y por lo tanto no tenemos capacidad de comparar vectores de espacios tangentes asociados a puntos distintos. As´ı que lo que acabamos de exponer aqu´ı se puede definir en: Los espacios tangentes asociados a distintos puntos de una variedad son isomorfos pero distintos. Lo cual no deja de ser ir´onico. En breve veremos como domar este ind´ omito problema. Pero mientras vamos pensando sobre la problem´atica que os acabo de descubrir tambi´en es bueno pensar en como definir campos vectoriales en una variedad M . La cuesti´ on es simple, tomamos T M , la uni´on de todos los espacios tangentes de cada punto de la variedad, y hacemos una asignaci´ on continua y suave de un vector tangente en cada punto. Espero que te hayan saltado todas las alarmas con lo que acabas de leer. Asignar un vector a cada punto est´ a bien, basta con elegir un vector de cada Tp M . ¿Pero como demonios vamos a hacer una asignaci´ on suave si no podemos comparar vectores de espacios tangentes asociados a distintos puntos de la variedad? Ese es un punto caliente, s´ı. La verdad es que s´ı que hay una forma para definir una asignaci´on suave de vectores en cada punto de la variedad para formar un campo vectorial. El punto clave es notar que para una funci´on suave f : M → R tenemos que V |pf es un n´ umero real. Por lo tanto, un campo vectorial nos dar´ıa un n´ umero en cada punto de la variedad. Dicho de otra forma, si el campo vectorial es V , V f es una funci´ on de la variedad M en R. Convendremos en que el campo vectorial es suave si la funci´on que
CAP´ITULO 4. VECTORES Y ESPACIOS TANGENTES
44
define es suave. Hay una forma trivial de construir un campo vectorial nuevo a partir de dos campos V y W . El nuevo campo vectorial aparece como resultado de aplicar el corchete de Lie o conmutador entre ambos campos vectoriales. El corchete de Lie, [˙,]˙ es un operador bilineal que act´ ua del siguiente modo:
[V, W ]f = V (W f ) − W (V f ) El nuevo campo vectorial es: u = [V, W ] = V W − W V Para demostrar que esto se comporta como un campo vectorial hay que comprobar que act´ ua como un operador de derivaci´ on:
u(f g) = (V W − W V )(f g) = u(f )g + f U (g) Lo que mide el conmutador [V, W ] es el grado en el que dos derivadas direccionales mixtas no
4.4. CAMPOS VECTORIALES
45
conmutan.
Como es bien conocido, la base natural coordenada de los campos vectoriales, {∂µ } conmutan entre s´ı.
Este es un hecho gen´erico, en cualquier base vectorial adaptada a las coordenadas que se empleen en cada caso sus elementos conmutan entre s´ı. Este hecho nos ser´a u ´til alguna vez.
CAP´ITULO 4. VECTORES Y ESPACIOS TANGENTES
46
4.5.
Un vector expresado en dos cartas - Transformaci´ on de coordenadas
Supongamos que tenemos un campo vectorial definido en una regi´on de una variedad M . Supongamos que tenemos dos cartas cuyos abiertos abarcan esa regi´on, (U, ϕ) y (U 0 , ψ) tales que U ∩ U 0 6= ∅. El vector v es un objeto geom´etrico que ha sido definido de forma independiente de las cartas de la variedad. El vector es el vector.
Sin embargo, su expresi´ on depender´ a de la carta elegida para describirlo. La carta ϕ definir´ a las coordenadas xµ y la base asociada ser´a ∂µ . 0
Por su parte, la carta ψ definir´ a las coordenadas xµ y la base asociada ser´a ∂µ0 . En la zona de intersecci´ on ha de ser posible expresar unas coordenadas en funci´on de las otras, xµ = xµ (x). As´ı podemos deducir como se expresa una base en funci´on de la otra, en las distintas coordenadas. Eso, si recordamos el ´ algebra lineal, se hace mediante una matriz de cambio de base que en este caso toma la forma:
´ DE COORDENADAS47 4.5. UN VECTOR EXPRESADO EN DOS CARTAS - TRANSFORMACION
∂xµ ∂ ∂ 0 = µ ∂x ∂xµ0 ∂xµ Nosotros utilizaremos la notaci´ on:
∂µ0 =
∂xµ µ ∂x ∂xµ0
Esta es la ley de transformaci´ on de las bases vectoriales naturales bajo la transformaci´on de coordenadas. Aprovechando que hemos determinado esta ley de transformaci´on podemos deducir la transformaci´ on que se produce en las componentes de los vectores. Para conseguir eso hemos de insistir en el hecho que hemos establecido antes, el vector es el vector, da igual su expresi´ on en una carta u otra:
0
v = v µ ∂µ = v µ ∂µ0 Como sabemos como se transforman las bases podemos establecer que:
0
v µ ∂µ = v µ
∂xµ ∂µ ∂xµ0
Por lo tanto acabamos con la relaci´ on para las componentes:
0
vµ = vµ
∂xµ ∂xµ0 0
Dado que
∂xµ ∂xµ as que 0 es una matriz de cambio de base es invertible. La inversa no es m´ µ ∂x ∂xµ
Concluyendo:
CAP´ITULO 4. VECTORES Y ESPACIOS TANGENTES
48
0
v
µ0
∂xµ µ v = ∂xµ
Hemos de apreciar que las componentes del vector se transforman de forma inversa que la base. Este hecho hay que mantenerlo en mente, los objetos con ´ındices arriba se transforman de forma inversa a los objetos con ´ındices abajo.
4.6.
´Indices mudos
Hemos definido y empleado el criterio de suma de Einstein en expresiones del tipo:
v µ ∂µ Se suele decir que el ´ındice µ est´ a contra´ıdo en la expresi´on y que es un ´ındice mudo. Los ´ındices mudos se pueden cambiar alegremente siempre que lo hagamos por igual en las expresiones en las que est´ an contra´ıdos:
v µ ∂µ = v ν ∂ρ ∂ρ Esta regla aplica en todas las expresiones con ´ındices. Cuando veamos ecuaciones tensoriales hemos de estar seguros de que todos los ´ındices que no son mudos, los que no est´ an contra´ıdos, est´ an en las mismas posiciones a ambos lados de la igualdad de la ecuaci´ on. Guardad este consejo en la memoria, nos simplificar´a mucho la vida en el futuro pr´oximo.
Cap´ıtulo 5
Covectores/1-Formas y Espacios Cotangentes
En cuanto disponemos de un espacio vectorial V existe de forma natural otro espacio vectorial, el espacio dual, V ∗ .
El espacio vectorial dual V ∗ est´ a conformado por las aplicaciones lineales que act´ uan sobre los vectores de V y devuelven n´ umeros reales. Los elementos del espacio vectorial dual se denominan covectores o 1-formas.
Nosotros hemos establecido que para una variedad M y una p ∈ M existe un espacio vectorial asociado, el espacio tangente en ese punto, Tp M . Una 1-forma o covector ω en el punto p es una aplicaci´ on lineal definida del siguiente modo: 49
50
CAP´ITULO 5. COVECTORES/1-FORMAS Y ESPACIOS COTANGENTES
ω : Tp M v
→ R 7→ wv
Las aplicaciones lineales conforman un espacio vectorial, por lo tanto, a cada punto p ∈ M podemos asociar tambi´en el espacio vectorial de las mismas, el espacio cotangente a la variedad en el punto p, que denotaremos por Tp∗ M . Tambi´en podemos construir el espacio cotangente de la variedad uniendo todos los espacios cotangentes de todos los puntos de M :
T ∗M =
[
Tp∗ M
p∈M
En t´erminos de Rn , dada una carta (U, ϕ) en la variedad, sabemos que las 1-formas/covectores asociadas a las coordenadas son las diferenciales de las mismas, dxµ . As´ı, por definici´on de base dual:
dxµ ∂ν =
∂xµ = δνµ ∂xν
Una 1-forma/covector general se escribir´a:
ω = ωµ dxµ Bajo cambio de coordenadas podemos deducir, siguiendo la l´ogica aplicada a los vectores, que:
0
0
∂xµ dxµ ∂xµ ∂xµ = ωµ ∂xµ0
dxµ = ωµ0
Como vemos, las 1-formas transforman sus bases y sus componentes de forma inversa a bases y componentes de vectores respectivamente.
Cap´ıtulo 6
Tensores Los tensores, sin duda alguna, est´ an imbuidos de un halo de misticismo a´ un entre los propios estudiantes de f´ısica o matem´ atica. Son objetos con muchos ´ındices, arriba y abajo, y perdemos la capacidad para encontrarles alg´ un sentido tangible. Sin embargo, son objetos cotidianos que hemos manejado desde siempre, al fin y al cabo, vectores y covectores son ejemplos humildes de tensores. Como vamos a explicar, los tensores, de los que vectores y 1-formas son un caso como hemos dicho, son objetos geom´etricos definidos de forma natural en la variedad. Como tales objetos geom´etricos su existencia no est´ a ligada o comprometida a ninguna carta, a ning´ un sistema de coordenadas. Por lo tanto, al expresar la f´ısica en t´erminos tensoriales conseguimos que las relaciones entre las magnitudes f´ısicas definidas tensorialmente sean v´ alidas en cualquier sistema de coordenadas. No habr´a discusi´on al respecto de que este aspecto es muy deseable en f´ısica. ¿Qu´e es un tensor? Un tensor T es una aplicaci´on multilineal que transforma un determinado n´ umero de vectores y covectores en un n´ umero real. 51
CAP´ITULO 6. TENSORES
52
T : Tp M ⊗ Tp M ⊗ · · · ⊗ Tp∗ M ⊗ Tp∗ M ⊗ · · · ⊗ Tp∗ M → R {z } | {z } | r f actores
s f actores
Eso implica que ese tensor act´ ua sobre r covectores y s vectores y devuelve un n´ umero real. Se dice entonces que el vector T tiene rango (r, s). Un tensor se puede expresar en componentes ya que conocemos las bases vectoriales y covectoriales:
T = T µ1 ...µνr1 ...νs ∂µ1 ⊗ · · · ⊗ ∂µr ⊗ dxν1 ⊗ · · · ⊗ dxνs A estas alturas es trivial adivinar como se transforman las componentes de un tensor:
0
T
µ01 ...µ0r ν10 ...νs0
=
0
∂xµr ∂xν1 ∂xνs µ1 ...µr ∂xµ1 · · · µr 0 ··· 0 T ν1 ...νs µ ν 1 ∂x ∂x ∂x 1 ∂xνs
Hemos dado la definici´ on m´ as b´ asica de tensor pero lo que tomaremos como mantra para determinar si un objeto matem´ atico es un tensor o no es lo siguiente:
Es tensor lo que se transforma como tensor.
6.1.
Operaciones entre tensores
En esta secci´ on, mientras no se diga lo contrario, trabajaremos con tensores del mismo tipo (r, s) y en un mismo punto de la variedad. As´ı, en algunos casos, denotaremos los tensores por letras en may´ usculas, T , S, A, B, etc, sin indicar sus ´ındices. Esto es bueno en s´ı mismo porque pone de manifiesto que son objetos geom´etricos que no est´an comprometidos con ning´ un sistema de coordenadas.
1. Los tensores son lineales en todos sus argumentos.
6.1. OPERACIONES ENTRE TENSORES
53
2. La composici´ on de tensores del mismo tipo produce un tensor del mismo tipo: T = aA + bB, donde a, b ∈ R Con esto queda claro que el espacio de tensores de rango (r, s) en el punto p ∈ M , que denotaremos (r,s)
por Tp
(M ), tiene estructura de espacio vectorial.
Simetr´ıa de Tensores Una cuesti´ on de inter´es es el comportamiento de los tensores al permutar sus ´ındices entre s´ı. Para comenzar a estudiar la simetr´ıa de los tensores tomemos un caso simple, un tensor de tipo (0, 2), Xµν . Diremos que el tensor es sim´etrico si cumple: Xµν = Xνµ Por contra, el tensor se dir´a antisim´etrico si cumple: Xµν = −Xνµ Evidentemente podemos tener tensores sin simetr´ıa definida. Estos tensores siempre se podr´an escribir como una combinaci´ on de una parte sim´etrica y una parte antisim´etrica. Para un tensor Xµν , denotaremos su parte sim´etrica por X(µν) y su parte antisim´etrica por X[µν] . Para calcular las partes sim´etrica y antisim´etricas de un tensor de tipo (0, 2) seguiremos las siguientes reglas:
X(µν) =
1 [Xµν + Xνµ ] 2
X[µν] =
1 [Xµν − Xνµ ] 2
Estas reglas se pueden generalizar a cualquier n´ umero de ´ındices, supongamos que tenemos un tensor Xµ1 ,...,µp . Su parte sim´etrica se calcular´a como:
X(µ1 ,...,µp ) =
1 X Xσ(µ1 ,...,µp ) , p! σ
CAP´ITULO 6. TENSORES
54
es decir, sumando todas las posibles permutaciones de los ´ındices. Para la parte antisim´etrica hemos de hacer una suma alternada, para ello introduciremos el signo de la permutaci´ on:
X[µ1 ,...,µp ] = Como ejemplo, X[abc] =
1 X sgn(σ)Xσ(µ1 ,...,µp ) . p! σ
1 (Xabc − Xacb + Xcab − Xcba + Xbca − Xbac ). 6
La simetr´ıa o antisimetria de un tensor no es algo restringido a la permutaci´on entre todos sus ´ındices, podemos perfectamente estudiar la simetr´ıa de alg´ un subconjunto de ´ındices. Es decir, si para un tensor se cumple que Sµνρ = Sνµρ , diremos que es sim´etrico respecto de sus dos primeros ´ındices. Igualmente, si tenemos que Aµνρ = −Aρνµ , es antisim´etrico en el primer y tercer ´ındice. Podemos hacer la misma discusi´ on para tensores con ´ındice arriba. Lo que no podemos hacer es permutar ´ındices arriba con ´ındices abajo. Eso no tiene sentido porque estar´ıamos moviendo elementos de las bases de vectores y de las bases de covectores y esas bases digamos que se ignoran dentro de los tensores. Contraci´ on de ´ındices Otra operaci´ on interesante para los tensores es la contracci´on. La operaci´on de contracci´on la podemos definir de manera abstracta con el s´ımbolo Cont y representa una aplicaci´on de los tensores tipo (r, s) a los tensores de tipo (r − 1, s − 1):
Cont : T (r,s) → T (r−1,s−1) La forma de realizar la operaci´ on es tomar un ´ındice arriba y un ´ındice abajo, es decir, seleccionamos un elemento de la base de vectores y otro de la base de covectores, y forzar a que sean duales entre
6.2. LA VERSATILIDAD TENSORIAL
55
s´ı, lo que equivale a que tomen los mismos valores. Eso en t´erminos en t´erminos de ´ındices para un tensor del tipo T µνρ σγ significa:
T µνρ σγ 7→ Cont(T µνρ σγ ) = T µνρ σν En esa situaci´ on tenemos que el tensor T un ´ındice arriba y un ´ındice abajo repetidos con lo que aplica el critero de suma de Einstein. Por lo que el resultado, al sumar sobre todos los valores del ´ındice repetido este desaparece, queda:
T µνρ σγ 7→ Cont(T µνρ σγ ) = T µνρ σν = T µρσ Esta operaci´ on puede parecer esot´erica pero estoy seguro de que nos hemos enfrentado a ella en alguna ocasi´ on. Piensa en este tensor Tij que puede ser considerado como una matriz. Ahora hagamos la u ´nica contraci´ on posible:
Tjj = T, esto no es m´ as que la traza de la matriz. Como es de supone la operaci´ on de contracci´on se puede realizar entre cualquier pareja de ´ındice arriba y abajo de un tensor por lo que, en general, hay distintas contracciones posibles de un mismo tensor original. Las contracciones entre diferentes parejas de ´ındices dan lugar a diferentes tensores como resultado. Tendremos la oportunidad de ver la contracci´on en acci´on m´as adelante.
6.2.
La versatilidad tensorial
Hemos definido un tensor (r, s) de forma general como:
CAP´ITULO 6. TENSORES
56
T : (Tp M )r ⊗ (Tp∗ M )s → R Esto implica que un tensor se come r covectores y s vectores para dar lugar a un n´ umero real. µ Esto se ve en t´erminos de las coordenadas de la siguiente forma, tomaremos un tensor del tipo Sρν
para el ejemplo:
µ Sρν V ρ V ν ωµ
Eso es un n´ umero real. Esta afirmaci´ on se puede confirmar f´acilmente viendo como se transforma ese objeto bajo cambio de coordenadas, ver´eis que no cambia en absoluto, lo que solo ocurre para los escalares. Sin embargo, los tensores pueden ser mucho m´as vers´atiles que eso. ue el ´ındice inferior. Es decir, solo le enfrentamos Tomemos un tensor Tνµ y hagamos que solo act´ un vector V ν . Como resultado tenemos:
Tνµ V ν = S µ Es decir: Tνµ : Tp M → Tp M si solo actuamos con el ´ındice inferior. Es decir, se comporta como una aplicaci´ on lineal entre espacios vectoriales. Podr´ıamos poner mil y un ejemplos del tipo T µρσ S σρν = Uνµ . Esto ser´ a una poderosa herramienta de trabajo.
Cap´ıtulo 7
M´ etrica En un espacio vectorial V podemos dar la noci´on de norma de vectores, su longitud, y ´angulos introduciendo una nueva estructura, la estructura m´etrica. Para el espacio vectorial m´ as conocido, R3 sabemos que para calcular la longitud de un vector empleamos el producto interno. Para v, w ∈ R3 el producto interno se expresa en t´erminos de las componentes como:
v · w = v 1 w1 + v 2 w2 + v 3 w3 La norma del vector se calcula a trav´es de este producto interno como: ||v||2 = v · v Esto se puede entender como la acci´ on de un tensor de tipo (0, 2) denotado por δ. En t´erminos de componentes ser´ a δ = δij dxi dxj . Por lo que el producto interno se puede entender como la acci´on de la m´etrica sobre pares de vectores:
v · w = δij v i wj 57
´ CAP´ITULO 7. METRICA
58
En coordenadas cartesianas las componentes de esta m´etrica vienen dadas por diag(1, 1, 1). En relatividad especial trabajamos en un espacio vectorial de cuatro dimensiones, el espacio de Minkowski, M 4 . Este espacio no es m´ as que R4 en el que hemos defnido una m´etrica η que en t´erminos de sus componentes ηµν = diag(−1, 1, 1, 1) Por lo que el producto interno para dos vectores en el espacio de Minkowski viene dado por:
ηµν v µ wν = −v 0 w0 + v 1 w1 + v 2 w2 + v 3 w3 , donde las componentes de un vector v en el espacio de Minkowski son (v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ), siendo v 0 la denominada componente temporal y las tres restantes las componentes espaciales. Que en la m´etrica haya una diferencia de signo entre una de sus componentes respecto de las otras es lo que hace que los resultados de la relatividad especial se alejen de nuestra experiencia cotidiana. El motivo matem´ atico, enti´endase.
7.1.
Definici´ on de M´ etrica
Vamos a formalizar el concepto de m´etrica en espacios vectoriales, V . Denominaremos m´etrica a un tensor de tipo (0,2) que define una aplicaci´on del siguiente modo:
g =V ×V →R Esta aplicaciones tiene las siguientes propiedades: La aplicaci´ on es bilineal: g(cv + v, w) = cg(v.w) + g(v 0 , w) g(v, cw + w0 ) = cg(v, w) + g(v, w0 ),
´ 7.2. METRICAS EN VARIEDADES
59
donde v, w, v 0 , w0 ∈ V y c ∈ R
La aplicaci´ on es sim´etrica: g(v, w) = g(w, v)
La aplicaci´ on es no dgenerada. Esto implica que si tenemos g(v, w) = 0 para todo w ∈ V entonces v = 0.
Gracias a una m´etrica podemos decidir si tenemos vectores ortonormales entre s´ı. Supongamos que tenemos los vectores eµ y eν que cuando le aplicamos la m´etrica obtenemos:
ηµν eµ eν =
0 ±1
µ 6= ν
µ=ν
Que aparezcan +1 o −1 como m´ odulo cuadrado de un vector depende de si en la m´etrica hay signos relativos entre sus componentes. Se define la signatura de una m´etrica denotada por sig(g) = (p, q), donde q cuenta los signos positivos en los elementos de la m´etrica y q cuenta los signos negativos de la misma. La m´etrica del espacio eucl´ıdeo R3 tiene signatura (3, 0). Por contra, la m´etrica del espacio de Minkowski tiene signatura (3, 1).
7.2.
M´ etricas en variedades
¿Podemos definir una m´etrica en una variedad M ? Pues depende de si verifica algunas propiedades, pero como os imaginar´eis, las variedades en las que hemos estado trabajando cumplen sobradamente los requisitos que son los que se establecieron cuando introdujimos el concepto de variedad.
´ CAP´ITULO 7. METRICA
60
En una variedad M decimos que tiene definida una m´etrica g en ella cuando en cada p ∈ M el Tp M tenemos asociada una m´etrica g|p . Por lo tanto, la m´etrica es un campo tensorial con una asignaci´on suave en cada punto. Las m´etricas en variedades de dimensi´ on n en las que estamos interesados aqu´ı se clasifican en dos grupos dependiendo de su signatura:
g=
sig(g) = (n, 0) sig(g) = (n − 1, 1)
Riemanniana
Lorenztiana
En una base coordenada la m´etrica toma la forma:
g = gµν dxµ dxν ⊗ dxν Aunque es muy normal encontrar la notaci´on:
ds2 = gµν dxµ dxν dxν Dada una m´etrica en una variedad podemos hablar de normas de vectores, ´angulos, ´areas, vol´ umenes, intervalos de tiempo, etc. Tenemos una poderosa herramienta geom´etrica a nuestra disposici´on.
7.3.
Subir y bajar ´ındices de tensores
Como discutimos en la secci´ on sobre la versatilidad de los tensores, la m´etrica nos sirve para encontrar una forma de relacionar vectores y covectores. Podemos considerar la m´etrica actuando con solo unos de los ´ındices con lo que tomar´ a un vector y nos devolver´a una 1-forma
7.3. SUBIR Y BAJAR ´INDICES DE TENSORES
61
g : Tp M → Tp∗ M Si tenemos el vector v µ podemos enfrentarlo a la m´etrica y obtendremos:
v µ gµν = vν
El efecto visual es que hemos bajado el ´ındice del vector. El efecto geom´etrico es que hemos encontrado una 1-forma asociada al vector a trav´es de la m´etria. ¿Podemos obtener vectores a partir de covectores a trav´es de la m´etrica? ¿Podemos bajar ´ındices con la m´etrica? Pues s´ı, se puede. La raz´ on es que la m´etrica es un tensor sim´etrico no degenerado. La condici´on de que no sea degenerada se traduce en que su determinante, entendiendo la m´etrica como una matriz, es no nulo. Por lo tanto, la m´etrica tiene inversa. La inversa de la m´etrica se denota con los ´ındices arriba g µν .
g µρ gρν = δνµ
Con la inversa de la m´etrica podemos subir ´ındices de covectores y transformarlos en vectores:
g µν ωµ = ων
Esto se puede usar con cualquier tipo de tensores, solo hemos de emplear tantas m´etricas o sus inversas como ´ındices queramos bajar o subir de un determinado tensor.
´ CAP´ITULO 7. METRICA
62
7.4.
M´ as sobre contracciones de tensores
Como hemos discutido con anterioridad la contracci´on de tensores nos lleva de tensores (r, s) a tensores (r − 1, s − 1). Esta operaci´ on es propia de los tensores. Imaginemos que disponemos del siguiente tensor:
Rρ µσν Con ese tensor es posible obtener tres contracciones diferentes. El ´ındice de arriba con cada uno de los ´ındices de abajo. Supongamos que hacemos la siguiente contracci´on:
Rρ µρν = Rµν Llegados a este punto ya no hay m´ as contracciones posibles sobre este tensor que obtenemos como resultado. Recordemos que la contracci´ on necesitan de un ´ındice arriba y otro abajo para tener sentido. ¿Podr´ıamos seguir contrayendo el tensor? Pues s´ı, en el caso de que en nuestra variedad tengamos a nuestra disposici´ on una m´etrica. Con la m´etrica podemos subir un ´ındice y entonces volver´ıa a ser posible una nueva contracci´ on:
g µγ Rγν = Rµ ν ⇒ Rµ µ = R Gracias a la m´etrica y a su capacidad para subir y bajar ´ındices (convertir vectores en covectores) podemos llevar la contracci´ on de un tensor hasta extremos que sin ella no ser´ıan posibles.
7.5.
Teorema de planitud local
Consideremos la siguiente m´etrica:
7.5. TEOREMA DE PLANITUD LOCAL
63
ds2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdφ2 , esta es una forma enrevesada de escribir la m´etrica de R3 , es la m´etrica eucl´ıdea expresada con coordenadas esf´ericas. ¿Quiere decir eso que R3 en coordenadas esf´ericas no es plano? En absoluto, que una variedad, o espacio, sea plana o curvada es una caracter´ıstica intr´ınseca a la misma. La curvatura no aparece o desaparece del todo por un mero cambio de coordenadas. Lo que es determinante es que en una variedad o espacio plano siempre es posible encontrar unas coordenadas en las que la m´etrica tiene forma can´onica, en el caso de R3 , diag(1, 1, 1). En una variedad curva no es posible encontrar tales coordenadas. Con m´ as generalidad, un espacio es plano si existe la posibilidad de escribir la m´etrica de forma can´ onica, solo elementos en la diagonal ±1, gµν=g(−1,−1,...,1,1) . Ahora bien, en cualquier variedad podemos escribir la m´etrica en un punto de forma can´onica. Y lo relevante aqu´ı es -en un punto-. Eso solo ser´a posible, en general, en un punto y no ser´a extensible a ning´ un entorno del mismo. Todo esto se puede enunciar en forma de teorema. Teorema: Teorema de la Planitud local En un punto p de una variedad M siempre es posible encontrar un sistema de coordenadas que cumpla:
1. La m´etrica en dicho punto se puede escribir de forma can´onica.
2. Todas las primeras derivadas de la m´etrica se anulan en dicho punto.
A las coordenadas en las que ocurre esto se denominan coordenadas normales. Demostraci´ on:
´ CAP´ITULO 7. METRICA
64
Antes de empezar, una advertencia. La demostraci´on puede parecer aparatosa, lo es, pero no es m´ as que hacer un Taylor y luego un par de cuentas sobre par´ametros libres (´ındices). Tenemos un sistema de coordenadas arbitrario en un abierto U de la variedad. Tenemos un punto p ∈ U que vendr´ a descrito a trav´es de la carta con las coordenadas {xα }. Adem´ as, en un entorno del punto p definimos las coordenadas normales como ξ µ0 . Las coordenadas del punto p a trav´es de esa carta las denotaremos por ξ0µ 0 . Como tenemos dos sistemas de coordenadas en un entorno del punto p es l´ıcito preguntarnos como se expresan unas coordenadas en funci´ on de las otras. Por ejemplo, para el caso de xα = xα (ξ µ0 ). La matriz de transformaci´ on entre unas y otras vendr´a dada por:
∂xα ∂ξ µ0 Vamos a expandir esta expresi´ on seg´ un Taylor alrededor del punto p en t´erminos de las coordenadas ξ µ0 . Todos los desarrollos los haremos hasta segundo orden:
∂xα ∂xα (x) = µ0 (p) µ0 ∂ξ ∂ξ
∂ 2 xα (p) ∂ξ γ 0 ∂ξ µ0
+
(ξ γ 0 − ξ γ 00 )
+
(ξ λ0 − ξ λ00 )(ξ γ 0 − ξ γ 00 )
∂ 3 xα (p) + . . . ∂ξ λ0 ∂ξ γ 0 ∂ξ µ0
Hagamos ahora la expansi´ on para la m´etrica:
gαβ (x) = gαβ (p)
∂gαβ (p) ∂ξ γ 0
+
(ξ γ 0 − ξ γ 00 )
+
(ξ λ0 − ξ λ00 )(ξ γ 0 − ξ γ 00 )
∂ 2 gαβ (p) + . . . ∂ξ λ0 ∂ξ γ 0
Una vez que tenemos esas expansiones vamos a emplearlas para expresar como cambia la m´etrica bajo el cambio de coordenadas:
7.5. TEOREMA DE PLANITUD LOCAL
65
gµ0 ν 0 =
∂xα ∂xβ gαβ , ∂ξ µ0 ∂ξ ν 0
que con los desarrollos anteriores queda a primer orden:
gµ0 ν 0 (x) =
∂xα ∂xβ (p) (p)gαβ (p) ∂ξ µ0 ∂ξ ν 0
+ + + +
(ξ γ 0 − ξ γ 00 )
∂xβ ∂gαβ ∂xα (p) (p) γ 0 (p) µ0 ν 0 ∂ξ ∂ξ ∂ξ
∂xα ∂ 2 xβ (p)g (p) (p) αβ ∂ξ µ0 ∂ξ γ 0 ∂ξ µ0 ! ∂xβ ∂ 2 xα (p)gαβ (0) γ 0 µ0 (p) ∂ξ µ0 ∂ξ ∂ξ ...
Ahora contemos elementos libres en los objetos que estamos manejando:
1.
∂xα (p) en este objeto tenemos 16 elementos libres. ∂ξ µ0
2.
∂ 2 xα (p) aqu´ı tenemos 40 n´ umeros libres. ∂ξ γ 0 ∂ξ µ0
3.
∂ 3 xα (p) en este caso los elementos libres suben a 80. ∂ξ λ0 ∂ξ γ 0 ∂ξ µ0
4. gαβ (p) en la m´etrica tenemos 10 elementos independientes libres. 5.
∂gαβ (p) en la primera derivada de la m´etrica tenemos 40 n´ umeros libres. ∂ξ γ 0
6.
∂ 2 gαβ (p) para la segunda derivada encontramos 100 n´ umeros libres. ∂ξ γ 0 ∂ξ µ0
Para conseguir que la m´etrica tenga la forma can´onica en el punto p, es decir, que gµ0 ν 0 = ηµ0 ν 0 tendr´ıamos que resolver el siguiente sistema:
ηµ0 ν 0 =
∂xβ ∂xα (p) ν 0 (p)gαβ (p) µ0 ∂ξ ∂ξ
´ CAP´ITULO 7. METRICA
66
Eso son 10 ecuaciones para fijar 10 n´ umeros y las derivadas tienen libertad para fijar 16 n´ umeros. As´ı que es posible convertir la m´etrica a forma can´onica y adem´as en las matrices de transformaci´on quedan libres 6 par´ ametros. Esos son los par´ametros de las transformaciones de Lorentz que dejan invariante la m´etrica de Minkowski que es la que observar´ıa un observador en el punto p. Lo siguiente es comprobar que podemos anular todas las derivadas de la m´etrica. Para ello tendr´ıamos que resolver:
∂gµ0 ν 0 (p) = 0 ∂ξ γ 0 Esas son 40 ecuaciones:
∂xβ ∂gαβ ∂xα ∂ 2 xβ ∂xβ ∂ 2 xα ∂xα (p) ν 0 (p) γ 0 (p) + µ0 (p)gαβ (p) γ 0 µ0 (p) + µ0 (p)gαβ (0) γ 0 µ0 (p) = 0 µ0 ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ Pero tenemos 40 par´ ametros libres en las segundas derivadas involucradas, por lo que podemos hacer que todas las derivadas de la m´etrica sean nulas en las coordenadas normales. Para fijar las segundas derivadas de la m´etrica tendr´ıamos que resolver 100 ecuaciones, pero para ellos necesitar´ıamos hasta las tercera derivada de las coordenadas xα respecto a las normales y ah´ı solo tenemos 80 par´ ametros libres. Lo mejor que podemos hacer es anular 80 derivadas segunda de la m´etrica pero a´ un quedar´ıan 20 que no podr´ıamos anular simult´aneamente. Este resultado nos especialmente u ´til en algunos casos. Dado que las expresiones tensoriales son v´ alidas en todos los sistemas de coordenadas siempre podremos hacer c´alculos en coordenadas normales, obtener como resultados expresiones tensoriales y estaremos seguros de que son v´alidos en cualquier sistema de coordeandas que se nos ocurra.
7.5. TEOREMA DE PLANITUD LOCAL
67
Un u ´ltimo detalle que hay que conocer es que este resultado se puede extender no solo a un punto sino a todos los puntos de una geod´esica. Las coordenadas que consiguen eso se denominan coordenadas de Fermi. Sent´ıos libres de buscar en la bibliograf´ıa.
68
´ CAP´ITULO 7. METRICA
Cap´ıtulo 8
Derivada Covariante Hemos insistido ya en alguna ocasi´ on en que los tensores son objetos geometricos definidos en una variedad y que no est´ an comprometidos con ninguna base coordenada. El tensor es el tensor solo que dependiendo de la carta que empleemos tendr´a una representaci´on coordenada u otra. Lo que sabemos es que al cambiar de carta el tensor se transforma de una determinada manera, la manera en la que se transforma un tensor. La ley de transformaci´ on tensorial es:
0
µ0 ...µ0 T 1 νr0 ...ν 0 s 1
0
∂xνs µ1 ...µr ∂xµr ∂xν1 ∂xµ1 · · · · · · = 0 0 T ν1 ...νs ∂xµ1 ∂xµr ∂xν1 ∂xνs
Con todas estas motivaciones supongo que estar´eis deseando empezar a hacer f´ısica y que tendr´eis en mente escribir las ecuaciones en forma tensorial para no comprometernos con ning´ un sistema de coordenadas. Pero si uno intenta describir una ley f´ısica, por simple que sea, es dif´ıcil no encontrarse con una derivada. Y las derivadas traen los problemas. Resulta que en las variedades la u ´nica forma que tenemos para derivar hasta ahora viene de la mano de las ∂µ . Cuando aplicamos esas derivadas a 69
CAP´ITULO 8. DERIVADA COVARIANTE
70
un tensor lo que esperamos es que el resultado vuelva a ser un tensor. Comprob´emoslo. Tenemos un un campo vectorial V que en una carta alrededor de un punto tiene por componentes V µ que, efectivamente, es un tensor de tipo (1, 0). Ahora vamos a derivar el vector, ∂ν V µ . Esto tiene toda la pinta de que hemos convertido un tensor de tipo (1, 0) en un tensor (1, 1). Pero, desgraciadamente se queda solo en la pinta. Veamos como se comporta ∂ν V µ bajo cambio de coordenadas. Supongamos que ese objeto en unas coordenadas {xα0 } se expresa como ∂α0 V β 0 , la relaci´on de este objeto con estas coordenadas y el mismo objeto con las coordenadas {xµ } viene dado por:
∂α0 V
β0
∂xβ 0 µ V ∂xµ | {z }
= ∂α0
∂xν ∂ = α0 ν |∂x{z }
∂xβ 0 µ V ∂xµ
transf. base
transf. componentes
Ahora calculamos las derivada ∂ν sobre el objeto de su derecha:
∂α0 V β 0
= ∂α0 =
∂xβ 0 µ V ∂xµ
=
∂xν ∂ν ∂xα0
∂xβ 0 µ V ∂xµ
∂xν ∂xβ 0 ∂xν ∂ 2 xβ 0 µ ∂ν V µ + V α0 µ ∂x ∂x ∂xα0 ∂xν ∂xµ
As´ı que la ley de transformaci´ on de la derivada de un vector queda:
∂α0 V β 0 =
∂xν ∂xβ 0 ∂xν ∂ 2 xβ 0 µ ∂ν V µ + V α0 µ α0 ν µ ∂x ∂x |∂x ∂x{z∂x }
transf. no tensorial
Concluimos dos cosas: La primera es que la derivada parcial de un vector no es un tensor (esto ocurre con cualquier tensor) y la segunda, que tenemos un problema. El motivo oculto que hay para que la derivada parcial de un tensor no devuelva otro tensor es que en el concepto de derivada hay que tomar la diferencia de dos tensores en dos puntos distintos de la variedad. Los tensores se construyen a partir de vectores y covectores. Hacer la diferencia de dos tensores en dos puntos distintos implica
8.1. LA DERIVADA COVARIANTE
71
que estamos comparando vectores y covectores anclados a dos puntos distintosde la variedad y eso no est´ a definido ya que viven en espacios diferentes.
8.1.
La derivada covariante
Ante la situaci´ on que se nos plantea parece que hay un horizonte oscuro en lo que respecta a hacer f´ısica con tensores. Pero claro, si est´ as leyendo esto habr´as adivinado que hay una soluci´on porque llegar hasta aqu´ı para descubrir que esto no sirve para lo que nos proponemos ser´ıa un poco raro. La soluci´ on viene de la mano de la derivada covariante. La derivada covariante es una aplicaci´on del espacio de tensores (r, s) en los tensores (r, s + 1). Nada m´ as y nada menos. Denotaremos la derivada covariante por, ∇. Es evidente que ese objeto no aparece de forma natural en las variedades como as´ı lo hacen las derivadas parciales que son las bases de los vectores tangentes a la variedad en cada punto. Lo que vamos a hacer es construir una derivada que transforme tensores en tensores. Como la vamos a construir vamos a ir poni´endole condiciones. Como hemos dicho queremos construir una derivada que haga esto:
∇ : T (r,s) → T (r,s+1)
Y ahora pong´ amonos exigentes con ella. Queremos que nuestra derivada covariante cumpla lo siguiente:
Para dos tensores T y S y n´ umeros reales a y b: ∇(aT + bS) = a∇T + b∇S. Ha de ser lineal como toda buena derivada.
CAP´ITULO 8. DERIVADA COVARIANTE
72
Tambi´en ha de cumplir: ∇(T S) = T ∇S + S∇T . Porque eso es lo que hacen las derivadas, respetar la regla de Leibniz. A la derivada covariante le vamos a exigir que conmute con la contracci´on de ´ındices de los tensores. Puedo derivar de forma covariante y luego contraer el resultado o primero contraer y luego hacer la derivada covariante. Ha de ser consistente con la noci´ on de que los vectores tangentes son derivadas direccionales de funciones suaves de la variedad. Es decir, para un v ∈ Tp M tenemos que: v(f ) = v µ ∂µ f . Nosotros queremos que sea posible cambiar las derivadas parciales de nuestras f´ormulas por derivadas covariantes as´ı que esperamos que v(f ) = v µ ∇µ f exprese la derivada direccional correctamente. Dicho de otro modo, queremos que la derivada covariante sea igual a la derivada parcial cuando act´ ua sobre funciones suaves: ∇µ f = ∂µ f . Por u ´ltimo vamos a exigirle a la derivada covariante que las derivadas mixtas sobre funciones suaves en la variedad conmuten: ∇µ ∇µ f = ∇ν ∇µ f . Esto se suele decir que la derivada covariante sea libre de torsi´ on.
Ya tenemos todo listo para poder construir nuestra nueva forma de derivar en una variedad. Lo que vamos a hacer a partir de ahora es totalmente correcto pero es totalmente informal. La teor´ıa de las derivadas que vamos a trabajar ahora es muy rica y muy importante en f´ısica, no solo en relatividad general si no en el estudio de las teor´ıas gauge. Partimos de un objeto ∇. Claro est´ a, a´ un no sabemos nada de ∇ as´ı que tomamos la lista de propiedades que tiene que tener y tomando las dos primeras podemos hacer la siguiente hip´otesis. La derivada covariante ha de satisfacer la linealidad y la regla de leibniz que satisfacen todos los objetos matem´ aticos que denominamos derivaciones. Podemos pensar que nuestra derivada covariante ser´a la
8.1. LA DERIVADA COVARIANTE
73
derivada parcial conocida, ∂, m´ as una transformaci´on lineal que denotaremos por Γ.
∇=∂+Γ Ahora tenemos que saber qu´e forma tienen la Γ. Para ello vamos a aplicar la derivada covariante a un vector V ν . Como hemos dicho la derivada covariante convierte a tensores de tipo (r, s) en tensores de tipo (r, s + 1), as´ı nuestro vector pasar´ a a ser un objeto con dos ´ındices:
∇µ V ν Ahora pongamos la expresi´ on completa que hemos imaginado para la derivada covariante, recordad que hemos de ser consistentes con los ´ındices en todo momento:
∇µ V ν = ∂µ V ν + Γνµλ V λ Hemos elegido que Γ represente sea una matriz de n×n para cada valor del ´ındice inferior, es decir, ν
(Γµ )λ . El ´ındice el vector se ha de contraer con el ´ındice inferior de Γ como matriz para cada valor del ´ındice inferior, el de la derivada covariante, µ. En t´erminos matem´aticos Γρµν son los coeficientes de una conexi´ on. Ahondaremos m´ as en esto un poco m´as adelante. Una cuesti´ on importante que hemos de dilucidar es la relativa a la transformaci´on de Γ bajo cambio de coordenadas. Para obtener su ley de transformaci´on vamos a recordar que nosotros queremos que la derivada covariante se transforme como un tensor, es decir:
∇µ0 V ν 0 =
∂xα ∂xν 0 ∇α V β ∂xµ0 ∂xβ
La expresi´ on de la derivada covariante en las coordenadas prima ser´a:
CAP´ITULO 8. DERIVADA COVARIANTE
74
0
∇µ0 V ν 0 = ∂µ0 V ν 0 + Γνµ0 λ0 V λ0 Nostros no sabemos como se transforman las Γ pero el resto de objetos de esa expresi´on s´ı sabemos transformarlos:
∇µ0 V ν 0 =
λ0 ∂xα ∂xν 0 ∂xα ∂ 2 xν 0 β β ν 0 ∂x ∂ V + V + Γ Vβ 0 λ0 α µ ∂xµ0 ∂xβ ∂xµ0 ∂xα ∂xβ ∂xβ
Si imponemos que la transformaci´ on sea tensorial el lado de la izquierda se transformar´a tensorialmente:
λ0 ∂xα ∂xν 0 ∂xα ∂xν 0 ∂xα ∂ 2 xν 0 β β β ν 0 ∂x ∇ V = ∂ V + V + Γ Vβ 0 λ0 α α µ ∂xµ0 ∂xβ ∂xµ0 ∂xβ ∂xµ0 ∂xα ∂xβ ∂xβ
Desarrollando la derivada covariante de la parte izquierda de la expresi´on tenemos:
λ0 ∂xα ∂xν 0 β λ ∂xα ∂xν 0 ∂xα ∂ 2 xν 0 β ∂xα ∂xν 0 β β ν 0 ∂x ∂ V + Γ V = ∂ V + V + Γ Vβ 0 λ0 α α µ αλ ∂xµ0 ∂xβ ∂xµ0 ∂xβ ∂xµ0 ∂xβ ∂xµ0 ∂xα ∂xβ ∂xβ
Los dos primeros t´erminos a ambos lados de la igualdad son id´enticos as´ı que cancelan entre s´ı. La cosa, tras reordenar un poco, queda:
0 ∂xα ∂ 2 xν 0 β ∂xλ0 β ∂xα ∂xν 0 β λ V + Γνµ0 λ0 V = Γ V µ0 α β β ∂x ∂x ∂x ∂x ∂xµ0 ∂xβ αλ
Podemos renombrar todos los ´ındices mudos en la expresi´on para que sean el mismo:
0 ∂xα ∂ 2 xν 0 λ ∂xλ0 λ ∂xα ∂xν 0 β λ V + Γνµ0 λ0 V = Γ V µ0 α λ λ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂xµ0 ∂xβ αλ
Esta relaci´ on ha de ser cierta para cualquiera que sea el vector V λ por tanto podemos prescindir de ´el:
8.2. DERIVADA COVARIANTE DE UNA 1-FORMA
75
λ0 ∂xα ∂ 2 xν 0 ∂xα ∂xν 0 β ν 0 ∂x + Γ = Γ 0 0 µλ ∂xµ0 ∂xα ∂xλ ∂xλ ∂xµ0 ∂xβ αλ 0
Ahora procedemos a aislar la Γνµ0 λ0 sin m´as que multiplicar toda la expresi´on por la transformaci´on inversa a la que la acompa˜ na,
0
∂xλ . Tras eso y reordenado t´erminos llegamos a: ∂xλ0
Γνµ0 λ0 =
∂xα ∂xλ ∂xν 0 β ∂xα ∂xλ ∂ 2 xν 0 Γ − 0 αλ ∂xµ0 ∂xλ ∂xβ ∂xµ0 ∂xλ0 ∂xα ∂xλ
Con esto hemos encontrado como se transforman los coeficientes de la conexi´on, los coeficientes Γ. Est´ a claro que la conexi´ on no se transforma tensorialmente, nadie dijo que tuviera que hacerlo, lo que s´ı tiene que hacer es compensar los t´erminos no tensoriales de la transformaci´on de la derivada y eso vaya si lo hace. Hay que tener siempre en mente que uno de los ´ındices de la conexi´on es un contador y que en t´erminos matem´ aticos la conexi´ on no es un tensor, as´ı que no intentemos subir o bajar ´ındices de Γ si no es estrictamente necesario y sabemos muy bien lo que estamos haciendo.
8.2.
Derivada covariante de una 1-forma
Ahora podr´ıamos decidir hacer una derivada covariante de una 1-forma. La forma gen´erica de esta derivada covariante ser´ıa:
˜ λµν ωλ ∇µ ων = ∂µ ωµ + Γ ˜ y Γ no tienen ning´ En principio los coeficientes Γ un motivo para estar relacionados entre s´ı. Las ˜ son un nuevo conjunto de matrices. Eso s´ı, a vista de la expresi´on su ley de transformaci´on ha Γ de ser id´entica que para las Γ empleadas en la derivada covariante de vectores. Recordemos que la
CAP´ITULO 8. DERIVADA COVARIANTE
76
ley de transformaci´ on no depende el vector sobre el que derivamos y que el t´ermino no tensorial de ˜ y Γ est´an la transformaci´ on u ´nicamente involucra coordenadas. Sin embargo, y afortunadamente, Γ relacionadas entre s´ı. Para encontrar la relaci´ on hagamos la derivada covariante de ωλ V λ que es un n´ umero real. Por lo tanto la derivada covariante sobre ese objeto ha de coincidir con la derivada parcial:
∇µ (ωλ V λ ) = ∂µ (ωλ V λ ) = (∂µ ωλ )V λ + ωλ (∂µ V λ ) Empleemos ahora el hecho de que la derivada covariante tambi´en verifica la regla de Leibniz:
∇µ (ωλ V λ ) = (∇µ ωλ )V λ + ωλ (∇µ V λ ) Desarrollemos las derivadas covariantes de la derecha en funci´on de su expresi´on completa, recor˜ cuando actuemos sobre 1-formas y Γ cuando actuemos sobre vectores: demos que hemos de emplear Γ
˜ σµν ωσ V λ + ωλ (∂µ V λ ) + Γσµλ ωσ V λ ∇µ (ωλ V λ ) = (∂µ ωλ )V λ + Γ La u ´nica forma de que eso se reduzca a la aplicaci´on de las parciales, como tiene que ser ya que estamos haciendo la derivada covariante de una funci´on escalar, es que se cumpla:
˜ σµν ωσ V λ + Γσµλ ωσ V λ = 0 Γ Esa expresi´ on ha de ser la misma independientemente de la 1-forma y el vector, con eso llegamos a la relaci´ on que busc´ abamos:
˜ σµν = −Γσµλ Γ
8.3. CORCHETE DE CAMPOS VECTORIALES Y LA DERIVADA COVARIANTE
77
Concluyamos esta secci´ on con la forma definitiva de la derivada covariante sobre 1-formas:
∇µ ων = ∂µ ωµ − Γλµν ωλ
8.3.
Corchete de campos vectoriales y la derivada covariante
Un campo vectorial, como ya sabemos, es una asignaci´on suave de vectores tangentes a cada punto de la variedad M . Con ellos podemos calcular la derivada direcciona en cada punto de una funci´on suave definida sobre la variedad:
v(f ) = v µ ∂µ f Mirando esa expresi´ on nos encontramos con una derivada parcial actuando sobre una funci´on. Como hemos visto eso ha de ser igual a la actuaci´on de la derivada covariante actuando sobre la funci´ on:
v(f ) = v µ ∂µ f = v µ ∇µ f A veces se expresa esa agrupaci´ on, que es un n´ umero real, del siguiente modo:
v(f ) = v µ ∇µ f = ∇v f, donde ∇v f indica que estamos haciendo la derivada covariante en la direci´on indicada por el vector v. Como hab´ıamos visto hay una forma de encontrar un campo vectorial a partir de dos campos conocidos. Dados los campos v y w, podemos formar un nuevo campo a trav´es del corchete de Lie de los mismos:
CAP´ITULO 8. DERIVADA COVARIANTE
78
[v, w] = vw − wv En realidad, lo que tiene sentido es la aplicaci´on del corchete sobre una funci´on suave definida sobre la variedad en la que trabajamos:
[v, w] f = v(wf ) − w(vf ) Desarrollando la parte derecha obtenemos:
[v, w] f = v µ ∂µ (wν ∂ν f ) − wν ∂ν (v µ ∂µ f ) Dado que todos los ´ındices son mudos es l´ıcito escribir:
[v, w] f = v µ ∂µ (wν ∂ν f ) − wµ ∂µ (v ν ∂ν f ) Los u ´nicos t´erminos que sobreviven si realizamos el c´alculo completo son:
[v, w] f = v µ (∂µ wν )(∂ν f ) − wµ (∂µ v ν )(∂ν f ) Aunque las manipulaciones nos distraigan ah´ı solo hay derivadas parciales actuando sobre funciones escalares solo que hemos masajeado un poco la expresi´on para que fuese m´as c´omoda para nosotros. Lo s´e, no lo parece, pero es as´ı. Por lo tanto, es legal cambiar las parciales por derivadas covariantes:
[v, w] f = v µ (∇µ wν )(∇ν f ) − wµ (∇µ v ν )(∇ν f ) = (v µ (∇µ wν ) − wµ (∇µ v ν )) ∇ν f Como el resultado de un corchete de este tipo es un campo vectorial eso nos lleva a pensar que el nuevo campo tiene componentes ν del objeto entre par´entesis en la u ´ltima expresi´on:
8.4. DERIVADA COVARIANTE DE UN TENSOR
79
ν
[v, w] f = (∇v w − ∇w v) ∇ν f As´ı que en t´erminos generales, el corchete entre dos campos vectoriales se puede escribir en t´erminos de la derivada covariante:
[v, w] = ∇v w − ∇w v
8.4.
Derivada covariante de un tensor
Si queremos hacer la derivada covariante de un tensor lo u ´nico que hay que tener en cuenta es que hay que introducir una conexi´ on por cada ´ındice que tenga el tensor. Adem´as, para los ´ındices arriba la conexi´ on entra positiva y para los ´ındices abajo la conexi´on entra negativa. Llegados a este punto solo se me ocurre desearos suerte en la distribuci´on de ´ındices que con el tiempo se vuelve una cosa rutinaria. Valga el siguiente ejemplo:
2 − Γλσν2 T µ1 µ2ν1 λ ∇σ T µ1 µν21 ν2 = ∂σ T µ1 µν21 ν2 + Γµσλ1 T λµ2ν1 ν2 + Γµσλ2 T µ1 λν1 ν2 − Γλσν1 T µ1 µλν 2
8.5.
Conexiones
Hemos definido una derivada cuya actuaci´on sobre tensores nos devuelve un tensor. Eso es muy bueno para poder hacer f´ısica. Y hemos visto que la forma de la derivada que consigue tal maravilla es:
∇=∂+Γ
CAP´ITULO 8. DERIVADA COVARIANTE
80
As´ı que el objeto que consigue hacer de esa derivada una derivada tensorial con todas las de la ley es la Γ que hab´ıamos insinuado por ah´ı que se la suele llamar conexi´on. El nombre est´a bien puesto porque lo que hace es decirnos como hemos de pasar de un Tp M a un Tq M para puntos distintos (infinitesimalmente pr´ oximos) de la variedad. Con esto solucionamos el problema que hac´ıa que la derivada parcial no diera como resultado tensores al ser aplicada sobre tensores. Gracias a las conexiones podemos dar una noci´ on de paralelismo que en principio no era posible.
˜ Γ, ˆ etc. Cada una de ellas En una variedad M se pueden definir muchas (infinitas) conexiones, Γ, Γ, dar´ a una noci´ on de paralelismo distinta.
˜ ρµν , ¿es un tensor? Una pregunta interesante es la siguiente: Si definimos el objeto S ρ µν = Γρµν − Γ La respuesta se ha de encontrar por simple inspecci´on de la ley de transformaci´on de Γ y ha de ser en afirmativo.
´ 8.6. TORSION
8.6.
81
Torsi´ on
Al introducir el concepto de derivada covariante hemos exigido que sea libre de torsi´on, ¿qu´e quiere decir esto? La respuesta la vamos a encontrar en el corchete de dos derivadas covariantes actuando sobre una funci´ on:
[∇µ , ∇ν ] f
Ha de ser inmediato encontrar que esa expresi´on da como resultado:
[∇µ , ∇ν ] f = (Γρνµ − Γρµν )∇ρ f
Vemos que el t´ermino de la derecha involucra una diferencia de dos Γ’s. Esta diferencia entre dos Γ’s se comporta como un tensor. As´ı podremos escribir:
ρ [∇µ , ∇ν ] f = −Tµν ∇ρ f,
ρ donde Tµν = Γρµν − Γρνµ que por su definici´on es antisim´etrico. Este tensor se denomina torsi´on.
Geom´etricamente este tensor nos dice si una referencia sufre rotaciones al ir traslad´andola al seguir una curva en la variedad. Dicho de otro modo, si los espacios tangentes en cada punto se giran unos respecto de otros al seguir una curva en la variedad. La torsi´on es una de las caracter´ısticas invariantes asociadas a las conexiones. La otra caracter´ıstica invariante indisolublemente ligada a una conexi´on es, como veremos, la curvatura.
CAP´ITULO 8. DERIVADA COVARIANTE
82
8.7.
La conexi´ on m´ etrica
Como hemos discutido no hay una u ´nica conexi´on asociada a una variedad M . Sin embargo, si en la variedad tenemos definida una m´etrica se puede encontrar una conexi´on u ´nica que cumple estas dos condiciones: 1. La conexi´ on es sim´etrica: Γρµν = Γρ(µν) . Es decir, la torsi´on es nula. 2. La conexi´ on es compatible con la m´etrica: ∇ρ gµν = 0. Si se cumple la segunda condici´ on es trivial comprobar que tambi´en se cumple ∇ρ g µν = 0. Basta notar que si tenemos gµν g λν = δµλ y que δµλ es igual en todos los sistemas de referencia y constante. Por lo tanto:
∇ρ (gµν g λν ) = 0 Pero esto se puede escribir:
∇ρ (gµν g λν ) = (∇ρ gµν )g λν + gµν ∇ρ (g λν ) = 0 Dado que el primer t´ermino de la derecha es cero por definici´on, el segundo t´ermino tambi´en ha de anularse y, por lo tanto, ∇ρ g µν = 0. Gracias a estas dos propiedades podemos decir que la derivada covariante conmuta con la subida y bajada de ´ındices a trav´es de la m´etrica. Construcci´ on de la conexi´ on m´ etrica Para construir, es decir, para dar la forma concreta de la conexi´on m´etrica haremos uso de las dos condiciones establecidas. Para ello vamos a calcular la derivada covariante ∇ρ gµν y luego lo repetiremos para las permutaciones c´ıclicas de los tres ´ındices.
´ METRICA ´ 8.7. LA CONEXION
83
∇ρ gµν = ∂ρ gµν − Γλρµ gλν − Γλρν gµλ = 0
∇µ gνρ = ∂µ gνρ − Γλµν gλρ − Γλµρ gνλ = 0
∇ν gρµ = ∂ν gρµ − Γλνρ gλµ − Γλνµ gρλ = 0
Ahora, a la primera expresi´ on le restamos las dos siguientes con lo que obtenemos (recordad que exigimos simetr´ıa en los dos ´ındices inferiores de la Γ):
∂ρ gµν − ∂µ gνρ − ∂ν gρµ + 2Γλµν gλρ = 0
De esta u ´ltima expresi´ on podemos aislar la Γ que resulta expresada u ´nicamente en t´erminos de la m´etrica y sus derivadas.
Γσµν =
1 σρ g (∂µ gνρ + ∂ν gρµ − ∂ρ gµν ) 2
´ Pod´eis comprobar, si os lo pide el cuerpo, que este bicho se transforma como una conexi´on. Animo y mis mejores deseos. A esta conexi´ on se la denomina de diversas formas en la bibliograf´ıa. Podr´eis encontrarla como conexi´ on de Levi-Civita, conexi´ on de Christoffel o conexi´on de Riemann. A las expresiones coordenadas de la Γ tambi´en se las denomina en muchas ocasiones s´ımbolos de Crhistoffel. Un aspecto interesante que merece ser comentado es que si empleamos coordenadas normales estos s´ımbolos de Christoffel se anulan. Os dejo que pens´eis el motivo.
CAP´ITULO 8. DERIVADA COVARIANTE
84
8.8.
Transporte paralelo
Una conexi´ on, o una derivada covariante ya que los t´erminos se consideran sin´onimos, nos da una receta para efectuar un transporte paralelo de un vector tangente a la variedad M siguiendo una curva dada. Como ya comentamos distintas conexiones nos dan distintas nociones de paralelismo en t´erminos abstractos. Por ahora vamos a asumir que hemos elegido una conexi´on gen´erica, no necesariamente m´etrica. Supongamos que tenemos una curva en M , (en esta secci´on seremos muy laxos en la notaci´on pero conviene tener en la cabeza el juego de cartas y aplicaciones involucradas en la definici´on de curva en una variedad), cuya expresi´ on coordenada es xµ (λ). El par´ametro λ es el que identifica los puntos de la curva. De la curva xµ (λ) podemos calcular su vector tangente en cada punto que representaremos por tµ :
tµ =
dxµ dλ
Si estuvi´eramos en un espacio vectorial eucl´ıdeo el transporte paralelo de un tensor T de tipo (r, s) ser´ıa identificado por esta ecuaci´ on:
dtµ dxµ = ∂µ T = 0 dλ dλ Es decir, que el tensor no cambia frente a cambios infinitesimales del par´ametro, simplemente se traslada de un punto a otro de forma paralela. Eso no es m´as que la derivada direccional del tensor en la direcci´ on del vector tangente a la curva en cuesti´on como se aprecia de la expresi´on que hemos presentado. Desgraciadamente, en una variedad, las derivadas parciales no llevan tensores a tensores y por lo tanto no nos sirve esa identificaci´ on.
8.8. TRANSPORTE PARALELO
85
Sin embargo, hemos descrito una derivada que se comporta bien cuando act´ ua sobre tensores, es decir, lleva tensores a tensores y eso gracias a la introducci´on de un objeto que nos permite comparar espacios tangentes (y por tanto sus duales) en distintos puntos de la variedad. As´ı que solo tenemos que sustituir la derivada parcial por la derivada covariante. El transporte paralelo a trav´es de la derivada covariante lo denotaremos por:
DT = tµ ∇µT = 0 dλ Concretemos un poco m´ as centr´ andonos en el transporte paralelo de un vector V µ . Seg´ un lo dicho el transporte paralelo ser´ıa descrito por:
t µ ∇µ V ν =
dxµ dxν µ ρ ∂µ V ν + Γ V =0 dλ dλ νρ
Esa expresi´ on se puede reescribir como:
dV µ dxν ρ + Γµνρ V =0 dλ dλ Eso es una ecuaci´ on diferencial de primer orden y sabemos que dada una condici´on inicial tiene una u ´nica soluci´ on. Las cuatro formas de denotar el transporte paralelo de un vector son a lo largo de una curva con tangente tµ son:
DV =0 dλ tµ ∇µV ν = 0 ∇t V = 0
CAP´ITULO 8. DERIVADA COVARIANTE
86
dV µ dxν ρ + Γµνρ V =0 dλ dλ Si nos empe˜ namos en emplear una conexi´on m´etrica, porque en nuestra variedad tenemos la estructura m´etrica definida, tendremos dos consecuencias inmediatas:
tλ ∇λ gµ ν = 0, y eso es f´ acilmente comprobable. Al fin y al cabo la conexi´on m´etrica es compatible con la m´etrica, la hemos construido as´ı. Y aun m´ as, el transporte paralelo preserva la norma de vectores o el ´angulo entre vectores al ser transportados mediantes una conexi´ on m´etrica:
tλ ∇λ (gµ νV µ W ν ) = 0, os dejo esto como ejercicio de reafirmaci´ on. Si tardamos m´as de dos minutos en mostrar esto significar´a que tenemos que volver a empezar a estudiar este tema urgentemente.
8.9.
Geod´ esicas
En el espacio eucl´ıdeo la geod´esica es la l´ınea recta y esta tiene dos particularidades: Es la curva que traslada su vector tangente paralelo a s´ı mismo. Es la l´ınea que tiene la distancia m´ınima entre dos puntos que conecta. Estas dos caracter´ısticas son independientes entre s´ı y de hecho, si carecemos de estructura m´etrica disponible, en una variedad solo podemos definir las geod´esicas como aquellas curvas que cumplen el primer punto.
´ 8.9. GEODESICAS
87
Una geod´ esica es la curva en la que su vector tantente se traslada paralelamente a s´ı mismo. Por lo tanto llamaremos geod´esica a toda curva xµ , cuyo vector tangente es tµ , para la que se cumple que tµ ∇µ tν = 0. Si desarrollamos esta expresi´ on acabamos con:
ρ σ d2 xµ µ dx dx + Γ =0 ρσ dλ2 dλ dλ
Una geod´ esica es la curva que extrema la distancia entre dos puntos que conecta. Esto solo tiene sentido en una variedad con una m´etrica definida ya que solo con la m´etrica podemos definir distancias (espaciales o espaciotemporales). La distancia entre dos puntos de una curva viene dada por la siguiente integral:
Z τ=
−gµν
dxµ dxµ dλ dλ
Hemos de realizar variaciones en esta integral para poder hallar el extremal. Por favor, acudid a la bibliograf´ıa para ver el c´ alculo completo o intentadlo antes. La condici´ on de extremalidad viene dada por:
d2 xρ 1 dxµ dxν + g ρσ (∂µ gνσ + ∂ν gσµ − ∂σ gµν ) =0 2 dτ 2 dτ dτ En esta ocasi´ on el par´ ametro que elegimos para la curva es la propia distancia medida sobre la misma. Adem´ as de eso, nos habr´ an saltados todas las alarmas al ver la expresi´on que involucra a la m´etrica y sus derivadas. S´ı, son los s´ımbolos de Christoffel. De hecho, calcular las geod´esicas en una variedad con m´etrica es una de las formas de encontrar la conexi´on m´etrica.
CAP´ITULO 8. DERIVADA COVARIANTE
88
µ ν d2 xρ µ dx dx + Γ =0 ρσ dτ 2 dτ dτ
Estas son n ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden para determinar n funciones xµ (τ ). Por lo tanto, dada una condici´ on inicial para la posici´on y su velocidad (derivada respecto al par´ ametro) tenemos una u ´nica soluci´ on. Es decir, dado un p ∈ M y cualquier vector tangente V a la variedad en dicho punto existe una u ´nica geod´esica que pasa por el punto p y tiene por tangente a V . Hay un detalle que comentar sobre los par´ametros de las curvas geod´esicas. Si λ es el par´ametro de una curva lo podemos cambiar por otro par´ametro τ . Pero si cambiamos el par´ametro estamos cambiando la curva ya que estamos cambiando la aplicaci´on que nos lleva de R a M aunque se seleccionen los mismos puntos sobre M . Esa es una maldad que hay que tener clara. Resulta que las ecuaciones geod´esicas que hemos derivado solo conservan su forma para cambios de par´ametros de la forma:
τ = aλ + b, donde a y b son constantes que no dependen del punto de la variedad. Estos tipos de par´ametros se denominan par´ ametros afines y las geod´esicas siempre han de estar expresadas en este tipo de par´ ametros. As´ı que una curva que seleccione los mismos puntos que una geod´esica en la variedad M pero cuyo par´ ametro no sea af´ın no se denomina geod´esica.
Cap´ıtulo 9
Curvatura - El tensor de Riemann En este cap´ıtulo vamos a encontrarnos con el objeto que da cuenta de la curvatura de una variedad M en cada punto. Este objeto es el famoso tensor de Riemann. Hay varias formas de definir el tensor de Riemann. Para m´ı la mejor forma es ver que necesitamos de un tensor que tenga en cuenta la curvatura de una variedad. Posteriormente se puede dar una definici´ on m´ as operativa, m´ as algebraica.
9.1.
Curvatura y curvas cerradas
En esta secci´ on vamos, de una forma ligera y poco formal, a ver la necesidad de tener un tensor que de cuenta de la curvatura de una variedad. Para tal cosa hemos de tener en mente que cuando hacemos el transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva cerrada. Resulta que cuando el vector vuelve al punto de partida no coincide con el original, ha sufrido una transformaci´on. Esa transformaci´ on es debida a la curvatura encerrada por el camino cerrado que hemos seguido en el 89
CAP´ITULO 9. CURVATURA - EL TENSOR DE RIEMANN
90
proceso. Este camino o curva cerrada se puede contraer hasta un punto en un proceso de l´ımite y por lo tanto hemos de ser capaces de hablar de la curvatura de la variedad punto a punto. Vamos a dar una serie de pasos que nos llevaran a concluir que la curvatura en una variedad M tiene que venir dada por un tensor.
1. Definimos un camino cerrado infinitesimal del siguiente modo:
En el camino definimos los puntos a, b, c y d tal y como se indica en la figura. 2. Este camino cerrado estar´ a contenido en una subvariedad S ⊂ M de dos dimensiones. 3. En el abierto de S que contiene al camino cerrado disponemos de un sistema de coordenadas (t, s). Es decir, a cada punto p ∈ S, o en uno de sus abiertos que contienen al camino cerrado, le asociamos (t, s) en R2 . 4. Dadas esas coordenadas tenemos una base natural asociada. Supongamos que esa base la representamos por Aµ y B µ . Como es una base coordenada del tangente a un punto de S se cumplir´a [Aν , B µ ] = 0. Expresado de otro modo:
9.1. CURVATURA Y CURVAS CERRADAS
91
Aµ ∇ µ B ν − B µ ∇ µ Aν = 0
5. Disponemos de un vector V en el punto a. Este vector lo vamos a trasladar a c siguiendo dos recorridos distintos. Esto equivale a hacer el traslado paralelo sobre la curva cerrada.
6. Para tener control sobre el c´ alculo introduciremos una 1-forma auxiliar ω y compararemos el valor de V σ ωσ en c tras haber hecho los dos recorridos mencionados.
Estudiemos los transportes paralelos. Aplicaremos la definici´on y las propiedades de la derivada covariante. De a a b Primero trasladamos a lo largo de la direcci´on indicada por Aµ siendo el vector δtAµ .
δtAν ∇ν (V σ ωσ ) = δtAν [(∇ν V σ )ωσ + V σ ∇ν ωσ ] = δt(Aν ∇ν )ωσ + δtAν V σ ∇ν ωσ El primer t´ermino tras la segunda igualdad involucra el transporte paralelo de un vector a lo largo
CAP´ITULO 9. CURVATURA - EL TENSOR DE RIEMANN
92
de una curva por lo que se anula. Entonces nos queda que el resultado de transportar paralelamente hasta b se puede escribir como:
δtAν V σ ∇ν ωσ De b a c Ahora trasladamos a lo largo de la direcci´on de B µ que nos quedar´a:
δtδsB µ ∇µ (Aν V σ ∇ν ωσ )
=
δtδsB µ (∇µ Aν )V σ ∇ν ωσ +δtδsB µ Aν (∇µ V σ )∇ν ωσ +δtδsB µ Aν V σ ∇µ ∇ν ωσ
Los dos primeros t´erminos de la derecha involucran un traslado paralelo de un vector as´ı que cancelan. Por lo que en c tenemos:
δtδsB µ Aν V σ ∇µ ∇ν ωσ A esta expresi´ on la llamaremos (1). Para hacer el otro recorrido podemos aprovechar estos resultados y hacer los cambios ∇ν ↔ νµ , Aν ↔ B µ y δt ↔ δs. Y con eso obtenemos los siguientes resultados: De a a d
δsB µ V σ ∇µ ωσ De d a c
9.2. EL TENSOR DE RIEMANN
93
δtδsAν B µ V σ ∇ν ∇µ ωσ A esta expresi´ on la llamaremos (2). Llegados a este punto podemos calcular la variaci´on producida en el valor de V σ ωσ tomando la diferencia (1) − (2). Es directo encontrar que la expresi´on final tiene la forma:
δtδsAν B µ V σ [∇µ , ∇ν ] ωσ Lo que vemos es que el resultado depende del corchete entre dos derivadas covariantes en dos direcciones. Ese corchete ha de ser un tensor ya que es una diferencia de derivadas covariantes mixtas. Ese tensor ha de tener informaci´ on sobre la curvatura de la variedad debido a que controla el cambio que produce un traslado paralelo de un vector a lo largo de un circuito cerrado.
9.2.
El tensor de Riemann
Como hemos visto en la secci´ on anterior la curvatura de una variedad tiene que estar codificada en un tensor. Para determinar la naturaleza del mismo vamos a hacer unos c´alculos simples. Primero tomamos f ωσ siendo f una funci´on suave y ωσ una 1-forma. Por lo tanto, f ωσ es una 1-forma, es decir, un tensor de tipo (0, 1). Si ahora aplicamos [∇µ , ∇ν ] sobre f ωσ :
[∇µ , ∇ν ] (f ωσ ) = f (∇µ ∇ν − ∇ν ∇µ )ωσ | {z } tensor (0,3)
Dado que [∇µ , ∇ν ] ha de ser un tensor tiene que ser del tipo (1, 3) para que al actuar sobre un tensor de tipo (0, 1) quede el resultado que hemos visto, un tensor de tipo (0, 3).
CAP´ITULO 9. CURVATURA - EL TENSOR DE RIEMANN
94
Por tanto, el conmutador de dos derivadas covariantes actuando sobre una 1-forma ha de poderse expresar del siguiente modo:
[∇µ , ∇ν ]ωσ = Rρσµν ωρ Y ya podemos extraer una propiedad de este tensor, es antisim´etrico en pareja de los dos u ´ltimos ´ındices. La raz´ on proviene de su definici´ on a partir de un corchete.
Rρσµν = −Rρσνµ Este tensor Rρσµν es el tensor de Riemann. Hemos de ser conscientes de que en ning´ un momento del c´alculo hemos requerido que la variedad tenga definida una m´etrica. Es decir, el tensor de Riemann no est´a asociado a una m´etrica de forma indisoluble. Lo que s´ı es cierto es que el tensor de Riemann tiene en cuenta la conexi´on y sus derivadas. Es decir, dada una conexi´ on podremos hablar de curvatura de la variedad en la que la hayamos definido y dicha curvatura, punto a punto, vendr´ a definida por el tensor de Riemann. Para ver la relaci´ on entre el tensor de Riemann y la conexi´on lo mejor es calcular el efecto de aplicar el conmutador de dos derivadas covariantes sobre un vector. Partimos de:
[∇µ , ∇µ ] V ρ = ∇µ ∇ν V ρ − ∇ν ∇µ V ρ Empleando la expresi´ on expl´ıcita de la derivada covariante en t´erminos de la conexi´on y desarrollando el t´ermino de la derecha hemos de ser capaces de llegar a la siguiente expresi´on:
[∇µ , ∇µ ] V ρ = ∂µ Γρνσ − ∂ν Γρµσ + Γρµλ Γλνσ V σ − 2Γλ[µν] ∇λ V ρ
9.2. EL TENSOR DE RIEMANN
95
Como hemos visto antes [∇µ , ∇µ ] ∼ Rρσµν . As´ı que el tensor de Riemann tiene que estar en la expresi´ on anterior, lo que vemos es que el segundo t´ermino del miembro de la derecha tiene un factor Γλ[µν] y eso no es m´ as que la torsi´ on que hab´ıamos definido anteriormente. Por lo que:
[∇µ , ∇µ ] V ρ = ∂µ Γρνσ − ∂ν Γρµσ + Γρµλ Γλνσ V σ − 2 Γλ[µν] ∇λ V ρ | {z } | {z } T ensor de Riemann
Γ on T orsi´
Evidentemente este c´ alculo es v´ alido para cualquier conexi´on. Si exigimos que sea de torsi´on nula el conmutador simplemente nos devuelve el tensor de Riemann.
Rρσµν = ∂µ Γρνσ − ∂ν Γρµσ + Γρµλ Γλνσ Tensor de Riemann en una variedad con una m´ etrica definida Si en una variedad M tenemos definida una m´etrica g podemos seleccionar una conexi´on, de entre todas las posibles, que cumple que es consistente con la m´etrica ∇g = 0 y que tiene torsi´on nula T = 0. Dado que el tensor de Riemann ha de dar cuenta de la curvatura de la variedad podemos preguntarnos: ¿C´ omo podemos identificar una variedad plana? Diremos que una variedad M con m´etrica g es plana si podemos encontrar un sistema de coordenadas para toda la variedad tal que ∂σ gµν = 0 . Si se cumple eso inmediatamente sabemos que tanto Γ como cualquiera de sus parciales ∂Γ se anulan, ya que la conexi´on m´etrica depende de la m´etrica y sus derivadas parciales primeras. Por lo tanto, en ese caso:
Rρσµν = 0, todas las componentes del tensor de Riemann se anulan. Y como es una expresi´on tensorial eso se
CAP´ITULO 9. CURVATURA - EL TENSOR DE RIEMANN
96
verificar´ a en todos los sistemas de coordenadas que elijamos. Se puede verificar que si el tensor de Riemann de una variedad es nulo entonces la variedad es plana. Es decir, la relaci´ on entre ser variedad plana y tener un Riemann nulo se da en las dos direcciones, es condici´ on necesaria y suficiente.
9.3.
Desviaci´ on geod´ esica
Ya hemos visto como calcular geod´esicas en una variedad. En esta secci´on nos vamos a preguntar como se relacionan las geod´esicas entre s´ı. Para ello dispondremos de una familia de geod´esicas {γs (t)}s∈R . Las geod´esicas no se cortan entre s´ı y adem´as en la familia hay una determinada relaci´on entre los vectores tangentes de diferentes geod´esicas de la familia en cada uno de sus puntos. En t´erminos t´ecnicos se dice que esta familia de geod´esicas ha de ser una congruencia de curvas en la variedad. La cuesti´ on es que esta familia de curvas genera una superficie suave de dos dimensiones y por lo tanto podemos asignarle una carta que a cada uno de sus puntos le asocie un par (s, t):
´ GEODESICA ´ 9.3. DESVIACION
97
En esta familia de geod´esicas podemos definir un vector tangente a cada curva:
Tµ =
dxµ dt
Tambi´en podremos encontrar un vector que apunta de una geod´esica a otra y que denominaremos vector de desviaci´ on:
Sµ =
dxµ ds
Estos dos vectores en realidad conforman la base natural definida por las coordenadas (s, t) y por lo tanto su corchete [S, T ] es nulo. Podemos calcular la velocidad relativa entre las geod´esicas. En este contexto entendemos por velocidad relativa al cambio introducido por el traslado paralelo del vector S µ en la direcci´on del vector tangente a la curva considerada, T µ . As´ı que llamaremos a la velocidad relativa entre geod´esicas a lo siguiente:
V µ = T ρ ∇ρ S µ = (∇T S)µ La aceleraci´ on entre las geod´esicas, es decir, la rapidez con la que se acercan entre s´ı se define por lo tanto como:
aµ = T ρ ∇ρ V µ = (∇T V )µ Desarrollemos esta expresi´ on:
aµ =
D 2 xµ = T ρ ∇ρ V µ = T ρ ∇ρ (T σ ∇σ S µ ) dt2
CAP´ITULO 9. CURVATURA - EL TENSOR DE RIEMANN
98
Es interesante que desarroll´eis esta expresi´on, para ello las pistas son: [S, T ] = 0 Las curvas son geod´esicas, as´ı que ya sabemos lo que pasa con el transporte paralelo del vector tangente en la direcci´ on del vector tangente. [∇, ∇] = R, entendiendo que las derivadas covariantes se toman en diferentes direcciones. Con esa ayuda tendr´eis que llegar a:
aρ =
D 2 xρ = Rρσµµ T σ T µ S ν , dt2
he retocado los ´ındices de esta expresi´on final, seguro que t´ u no has encontrado los mismos, c´ ambialos o d´ejalos como quieras siempre que todo est´e bien contra´ıdo. Este resultado quiere decir que si dejamos dos part´ıculas siguiendo dos geod´esicas aparecer´a una aceleraci´ on relativa entre ambas que est´ a controlada por el tensor de Riemann, es decir, por la curvatura.
9.4.
Las simetr´ıas del tensor de Riemann
Es importante conocer las m´ ultiples simetr´ıas que tiene el tensor de Riemann en sus ´ındices. Ya hemos visto que es antisim´etrico en el segundo par de ´ındices:
Rρσµν = −Rρσνµ Para estudiar las otras simetr´ıas es conveniente tener todos los ´ındices del tensor a la misma altura. Empleemos la m´etrica para tal fin:
9.4. LAS SIMETR´IAS DEL TENSOR DE RIEMANN
99
Rρσµν = gρλ Rλσµν Debido a que la expresi´ on del Riemann en t´erminos de los s´ımbolos de Christoffel es muy antip´atica vamos a simplificarnos la vida trabajando en coordenadas normales y centr´andonos en el punto donde g = η, ∂g = 0 y Γ = 0. En ese punto y en coordenadas normales la expresi´on del Riemann pasa de ser:
Rρσµν = ∂µ Γρνσ − ∂ν Γρµσ + Γρµλ Γλνσ , a ser:
Rρσµν = ∂µ Γρνσ − ∂ν Γρµσ La derivada de Γ no se anula porque eso implica segundas derivada en la m´etrica que en coordenadas normales no se pueden hacer todas cero. As´ı podemos dar la expresi´ on del tensor de Riemann con todos los ´ındices abajo en t´erminos exclusivos de la segunda derivada parcial de la m´etrica:
1 Rρσµν = gρλ ∂µ Γλνσ − ∂ν Γλµσ = (∂µ ∂σ gρν − ∂µ ∂ρ gνσ − ∂ν ∂σ gρµ + ∂ν ∂ρ gσµ ) 2 La m´etrica es sim´etrica y las segundas derivadas parciales cruzadas tambi´en. Con eso es f´acil demostrar las siguientes simetr´ıas del tensor de Riemann:
1. Es antisim´etrico en el primer par de ´ındices Rρσµν = −Rσρµν 2. Es sim´etrico si intercambiamos en bloque el primer par de ´ındices por el segundo: Rρσµν = Rµνρσ
CAP´ITULO 9. CURVATURA - EL TENSOR DE RIEMANN
100
3. La suma del tensor de Riemann con las permutaciones c´ıclicas de los tres u ´ltimos ´ındices se anula: Rρσµν + Rρµνσ + Rρνσµ = 0 A esta relaci´ on se la conoce como la primera identidad de Bianchi.
9.5.
La identidad de Bianchi
Vamos a estudiar ahora la identidad de Bianchi que en realidad es la segunda identidad de Bianchi. Se nombra simplemente como identidad de Bianchi porque es fundamental en lo que sigue. Para llegar a esta identidad hemos de trabajar con la derivada covariante del tensor de Riemann con todos los ´ındices abajo. As´ı se puede demostrar que:
∇λ Rρσµν + ∇ρ Rσλµν + ∇σ Rλρµν = 0 El truco para simplificarnos el c´ alculo vuelve a ser trabajar en coordenadas normales en el punto donde la m´etrica y la conexi´ on se anulan. Claro que como siempre podemos poner ese sistema de coordenadas centrado en cualquier punto de la variedad y como esa expresi´on es claramente tensorial ha de ser v´ alida en cualquier sistema de coordenadas.
9.6.
Las contracciones del tensor de Riemann
ρ Dado el tensor de Riemann Rσµν podemos hacer una contracci´on del mismo. En este caso, debido
a las simetr´ıas del tensor solo hay una contracci´on no nula, la que involucra el ´ındice de arriba con el segundo ´ındice de abajo.
9.7. LA IDENTIDAD DE BIANCHI CONTRAIDA
101
ρ Rσρν = Rσν
Este tensor Rµν se denomina tensor de Ricci y es f´acilmente comprobable que es un tensor sim´etrico. Su significado es interesante, en l´ıneas generales nos da el volumen de un sistema de part´ıculas que forman una superficie esf´erica al seguir cada una de ellas una geod´esica. Este volumen en una variedad con curvatura es diferente al que tendr´ıa el mismo sistema en un espacio eucl´ıdeo. Si estamos trabajando en una variedad m´etrica podemos hacer una nueva contracci´on sin m´as que subir un ´ındice del tensor de Ricci con la m´etrica:
Rνµ = g µσ Rσν Siendo la contracci´ on:
R = Rµµ , es decir, la traza del tensor de Ricci. Hemos obtenido el escalar de Ricci o el escalar de curvatura.
9.7.
La identidad de Bianchi contraida
Vamos a contraer la identidad de Bianchi para expresarlas en t´erminos del tensor de Ricci. Recordemos que si estamos en una variedad con una m´etrica la derivada covariante conmuta con la subida y bajada de ´ındices (porque ∇g = 0).
g νσ g µλ (∇λ Rρσµν + ∇ρ Rσλµν + ∇σ Rλρµν ) = 0 Las m´etricas pasan a trav´es de las derivadas covariantes como si nada y obtenemos:
CAP´ITULO 9. CURVATURA - EL TENSOR DE RIEMANN
102
∇µ Rρµ − ∇ρ R + ∇µ Rρµ = 0, s´ı hemos cambido alg´ un ´ındice mudo por ah´ı. Y ∇µ = g µν ∇ν . Esa identidad se puede escribir como:
2∇ν Rµν − ∇µ R = 0 Y yendo un paso m´ as all´ a:
1 ∇µ Rµν − gµν R = 0, 2 otra vez hemos renombrado ´ındices, esto es as´ı. Aqu´ı hemos encontrado una relaci´ on entre el Ricci y el escalar de curvatura que tiene derivada covariante nula. Ese tensor recibe un nombre propio, el tensor de Einstein:
1 Gµν = Rµν − gµν R 2 El tensor de Einstein es sim´etrico y cumple:
∇µ Gµν = 0 Y tambi´en:
g µν ∇ν Gµν = 0 ⇒ ∇µ Gµν = 0, donde hemos renombrado ´ındices y usado la simetr´ıa. Ha llegado el momento de hablar de f´ısica.
Parte F´ısica
Gravedad
Cap´ıtulo 10
Tensor Energ´ıa-Momento Al estudiar los sistemas de part´ıculas o los campos desde un punto de vista variacional a trav´es de una acci´ on encontramos un objeto fundamental, el tensor energ´ıa-momento. Este tensor condensa la informaci´ on de la distribuci´ on de la densidad de energ´ıa as´ı como la de sus flujos, los momentos. Cualquier afirmaci´ on sobre conservaci´ on de energ´ıa o momentos se hace sobre la base del tensor de energ´ıa-momento, Tµν . El tensor energ´ıa-momento es un tensor de dos ´ındices y es sim´etrico: Tµν . En la formulaci´on can´onica solemos obtener tensores energ´ıa-momento que no son sim´etricos pero nos las sabemos apa˜ nar para arreglar ese peque˜ no inconveniente. Si estamos en un espacio de cuatro dimensiones e identificamos la componente temporal por x0 y las espaciales por xi , el significado de las componentes del tensor energ´ıa-momento es como sigue:
T 00 es la densidad de energ´ıa en el punto que hagamos el c´alculo de esa componente del tensor.
T 0i es el flujo de energ´ıa por unidad de tiempo a trav´es de un ´area unidad en la direcci´on i. Por 105
CAP´ITULO 10. TENSOR ENERG´IA-MOMENTO
106
contra, cuando tenemos T i0 acostumbramos a decir que es la densidad de momento. A causa de la simetr´ıa del tensor una u otra interpretaci´on son igual de v´alidas. T ij es el flujo de la componente i del momento por unidad de tiempo y ´area en la direcci´on j. A causa de la simetr´ıa del tensor energ´ıa-momento podr´ıamos describirlo como el flujo de la componente j del momento por unidad de tiempo y ´area en la direcci´on i. A las componentes diagonales espaciales, T ii se las suele llamar presiones.
Esta, sin lugar a dudas, es una versi´ on muy simplificada de la interpretaci´on del tensor energ´ıamomento pero que ser´ a v´ alida para nuestros prop´ositos. El tensor energ´ıa-momento est´ a sujeto a una ley de conservaci´on, que en un espacio plano toma la forma:
∂µ T µν = 0 Esto tiene el aspecto de una ecuaci´ on de continuidad. Si desarrollamos la suma en el ´ındice µ dejando ν = 0 tendr´ıamos algo as´ı:
∂0 T 00 + ∂i T 0i = 0, en el segundo t´ermino de la suma hemos cambiado los ´ındices del tensor energ´ıa-momento aprovechando su simetr´ıa para poder interpretarlos mejor. De esa forma la ecuaci´on recuerda a la ecuaci´on de continuidad electromagn´etica o en un fluido, tenemos la relaci´on entre la derivada temporal de la densidad de energ´ıa y la divergencia del flujo de la misma en las distintas direcciones. Por otro lado, si hacemos la suma en µ tomando ν = i obtendr´ıamos:
107
∂0 T 0i + ∂j T ji = 0 Aqu´ı tenemos una derivada del momento en la direcci´on i lo que nos da una componente de una fuerza y esta est´ a relacionada con la divergencia de una fuerza en la direcci´on i a trav´es de una superficie unidad en la direcci´ on j. Es importante recalcar el hecho de que si estamos en relatividad especial la f´ısica se desarrolla en un espacio de Minkowski M 4 con una m´etrica dada por la m´etrica de Minkowski ηµν y que cualquier campo f´ısico satisface que su tensor de energ´ıa-momento verifica una ley de conservaci´on ∂µ T µν = 0. Eso es lo que tenemos que tener en la cabeza. Como nosotros queremos ir a trabajar a variedades que no han de ser planas en principio hemos de tener cuidado en que no perdamos de vista la conservaci´on de la energ´ıa y el momento en el proceso. Para empezar lo primero que tendr´ıamos que hacer en una variedad gen´erica con una m´etrica definida en ella es transformar la derivada parcial en derivada covariante para que estemos seguros de que el resultado de la derivaci´ on sigue siendo un tensor. As´ı en un punto de una variedad al tener en cuenta todas las contribuciones a la energ´ıa de todos los campos y part´ıculas presentes definir´ıamos el T µν (x) sim´etrico. Que en cada punto debe de verificar ∇µ T µν .
108
CAP´ITULO 10. TENSOR ENERG´IA-MOMENTO
Cap´ıtulo 11
La gravedad de Newton La gravedad newtoniana fue considerada como la joya de la corona de la f´ısica durante mucho tiempo. No hay discusi´ on de que ha sido, y es, una teor´ıa muy potente que ha proporcionado muchas predicciones te´ oricas a m´ ultiples fen´ omenos gravitatorios. Adem´as, se puede decir que la teor´ıa de Newton de la gravedad nos ense˜ n´ o a hacer f´ısica, por primera vez se describ´ıa una interacci´on natural en t´erminos matem´ aticos. La gravedad newtoniana se puede resumir en una ecuaci´on, simplificando mucho, la ecuaci´on de Poisson:
∇2 Φ(r) = 4πGρ(r)
Esta ecuaci´ on nos dice la relaci´ on entre el potencial gravitatorio Φ y la densidad de materia ρ en una determinada regi´ on. Esa ecuaci´ on es la guardiana de los tesoros gravitatorios newtonianos. Su soluci´ on viene dada por la funci´ on de Green: 109
CAP´ITULO 11. LA GRAVEDAD DE NEWTON
110
Z Φ(t, ~x) = −G
d3 ~y
ρ(t, ~y ) |~x − ~y |
Conocer y manejarse con esas expresiones es una de las tareas m´ınimas exigidas a cualquiera que se ponga a estudiar f´ısica de verdad.
11.1.
Gravedad Newtoniana y Relatividad Especial
La relatividad especial se fundamenta en que hay unos observadores, los inerciales, para los que las leyes de la f´ısica son invariantes y que determinan una velocidad tambi´en invariante para todos ellos. Esa velocidad invariante es la velocidad e la luz en el vac´ıo, pero podr´ıa haber sido cualquier otra, lo importante es que existe una velocidad que no var´ıa al cambiar de sistema inercial. Como consecuencia de las bases de la relatividad especial se extrae que ning´ un sistema con energ´ıa en reposo no nula puede moverse a la velocidad de la luz en el vac´ıo. Por lo tanto, toda interacci´on f´ısica se ha de propagar a lo sumo a dicha velocidad de la luz. Aqu´ı empieza la tensi´ on con la gravedad newtoniana. Por un lado, si observamos la ecuaci´on de Poisson:
∇2 Φ(t, r) = 4πGρ(t, r) Vemos que tenemos el Laplaciano actuando sobre el potencial, pero el Laplaciano es simplemente δij ∂i ∂j . Es decir, solo involucra derivadas parciales espaciales. Como sabemos dos observadores inerciales en relatividad especial pasan de las coordenadas de uno a otro a trav´es de transformaciones de Lorentz. Estas transformaciones combinan coordenadas espaciales con la temporal. Por lo tanto, si un observador inercial determina la ecuaci´on de Poisson para el potencial gravitatorio, al cambiar
11.2. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA DE NEWTON
111
de observador inercial se producir´ an mezclas entre las componentes espaciales y temporales de las coordenadas. Eso, como m´ınimo, alterar´ a la forma de la ecuaci´on de Poisson y por lo tanto no ser´a cierto que las leyes de la f´ısica sean las mismas, tengan la misma forma, para todos los observadores inerciales. Ya tenemos un grave conflicto entre gravedad de Newton y relatividad de Einstein. Podemos ver otra raz´ on m´ as de este conflicto. Miremos la soluci´on a la ecuaci´on de Poisson:
Z Φ(t, ~x) = −G
d3 ~y
ρ(t, ~y ) |~x − ~y |
El problema es que si cambiamos la distribuci´on de masa en el punto ~y el potencial cambiar´a instant´ aneamente en todo el espacio. La transmisi´on de la interacci´on se hace a velocidad infinita. El punto clave es ver que en la integral solo se integra en todos los puntos de la regi´on que estemos estudiando y se hace de una vez, no hay noci´on de tiempo involucrado en esa operaci´on. Esta es la explicaci´ on m´ as formal del famoso ejemplo de hacer desaparecer el Sol. Seg´ un Newton la Tierra saldr´ıa disparada instant´ aneamente, para Einstein solo se enterar´ıa ocho minutos despu´es que es lo que tarda la luz en conectar el Sol con la Tierra.
11.2.
El principio de equivalencia de Newton
El principio de equivalencia de Newton o d´ebil establece dos cosas relacionada entre s´ı:
Dos cuerpos en el seno de un campo gravitatorio y en ausencia de rozamiento caen con la misma aceleraci´ on independientemente de su masa y su composici´on.
La masa inercial, la definida a trav´es de la segunda ley de Newton, y la masa gravitatoria de un cuerpo son iguales.
CAP´ITULO 11. LA GRAVEDAD DE NEWTON
112
mi = mg , bastar´ıa con que fueran proporcionales pero entonces podr´ıamos redefinirlas para que fueran iguales. Tanto da.
Cap´ıtulo 12
El principio de equivalencia en manos de Einstein Einstein propuso la relatividad especial en 1905 y ya en 1907 se plante´o encontrar una teor´ıa gravitatoria consistente con esta teor´ıa con la que paliar la tensi´on entre la gravedad de Newton y su relatividad especial. No fue hasta el 25 de noviembre de 1915 que propuso la versi´on definitiva de lo que conocemos como relatividad especial. Por el camino fue ayudado por muchos compa˜ neros entre los que hay que destacar a Marcel Grossmann y a Michele Besso. El uno por identificar la matem´atica que estaba buscando Einstein para su teor´ıa, el otro por plantear dif´ıciles cuestiones conceptuales sobre la f´ısica que ayudaron a dar forma definitiva a la relatividad general. Hay que comentar que la creaci´ on de la relatividad general no fue un camino de rosas, muchos intentos en vano, muchas ideas equivocadas. Por mencionar algo, en los manuscritos de Einstein estaban las ecuaciones de la relatividad general en 1912 que desestim´ o por no considerarlas correctas. 113
CAP´ITULO 12. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA EN MANOS DE EINSTEIN
114
En lo que sigue no pretendo en ning´ un momento ser fiel a la historia. Solo quiero mostrar algunos hechos f´ısicos que ser´ an muy intresantes para determinar las ecuaciones de Einstein de la relatividad general.
12.1.
La idea m´ as feliz de su vida
Einstein cay´ o en la cuenta de lo siguiente: Dada una observadora en un ascensor, aislada totalmente del exterior, que est´a siendo acelerado con una aceleraci´ on igual a la de la gravedad en la Tierra no podr´a determinar si est´a en un campo gravitatorio o en un sistema acelerado.
Y su idea m´ as feliz. Si dejamos caer a esta observadora en el seno de un campo gravitatorio en dicho ascensor, dejar´ a de sentir la gravedad. Y si tiene objetos a su alrededor los ver´a como sistemas
´ FELIZ DE SU VIDA 12.1. LA IDEA MAS
115
inerciales siendo ella misma uno de tales sistemas.
Esto lo podemos formular del siguiente modo: 1. No hay ning´ un experimento f´ısico que, puntualmente, nos ayude a discriminar entre un campo gravitatorio y un sistema acelerado. 2. No hay ning´ un experimento f´ısico que, puntualmente, distinga a un observador inercial de un observador en ca´ıda libre en un campo gravitatorio. Einstein llev´ o esto al extremo diciendo que la f´ısica deber´ıa de ser la misma para todos los observadores. Por supuesto, una observadora estacionaria en un campo gravitatorio determinar´a que tanto el ascensor como todo lo que contiene est´ an sufriendo la interacci´on de la gravedad. Sin embargo, la observadora en ca´ıda libre dir´ a que es una observadora inercial que no siente interacci´on alguna.
116
CAP´ITULO 12. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA EN MANOS DE EINSTEIN
Esto es una novedad, hay una interacci´ on, la gravedad, que desaparece para algunos observadores, los que est´ an en ca´ıda libre. De hecho, si le preguntamos a la observadora en ca´ıda libre nos dir´a que a su alrededor la f´ısica se comporta como si estuviera en un espacio de Minkowski. Se verifican las leyes de la relatividad especial. A esto se le conoce como principio de equivalencia de Einstein o fuerte. Hay un detalle que no puede pasar por alto. En la descripci´on de los dos puntos anteriores aparece la palabra -puntualmente-. Eso es debido a lo siguiente, ¿qu´e pasa si el ascensor es muy grande y est´a en ca´ıda libre hacia la Tierra? ¿C´ omo ver´ a la observadora moverse a los objetos que tiene alrededor? Pensemos un poco, si el ascensor se est´a cayendo hacia la Tierra, todos los objetos del interior sentir´ an una fuerza que los intenta llevar hacia el centro de la Tierra, el centro del campo gravitatorio. Por lo tanto, la observadora ver´ a como los objetos que est´an a su alrededor aceleran unos respecto a
´ FELIZ DE SU VIDA 12.1. LA IDEA MAS
117
otros acerc´ andose.
Este es un hecho indiscutible de la gravedad y recibe el nombre de efecto marea. Las fuerzas que tienden a acercar los objetos en ca´ıda libre en una regi´on amplia en el seno del campo gravitatorio se denominan fuerzas de marea. Por u ´ltimo, Einstein se dio cuenta de que la luz se curvar´ıa en el seno de un campo gravitatorio. Es decir, la gravedad no solo afectar´ıa a masas sino a cualquier forma de energ´ıa.
118
CAP´ITULO 12. EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA EN MANOS DE EINSTEIN
Cap´ıtulo 13
F´ısica y Matem´ aticas: Las ecuaciones de Einstein
Ha llegado el momento de que intentemos unir lo que hemos aprendido de la parte matem´atica con lo que llevamos discutido en la parte f´ısica. Ver´eis que la transici´on es tan natural que parece mentira.
13.1.
La hora de la verdad
Empecemos con la tarea:
119
´ CAP´ITULO 13. F´ISICA Y MATEMATICAS: LAS ECUACIONES DE EINSTEIN
120 F´ısica
La f´ısica ha de ser la misma para todos los
Matem´ aticas
La f´ısica se ha de formular con tensores.
observadores.
En este punto encontramos sentido a todo el trabajo hecho para entender bien la importancia de los tensores como objetos geom´etricos no comprometidos a un sistema de coordenadas elegido por un observador particular. Un observador en ca´ıda libre ve a su alrededor
Dado una familia de geod´esicas tendremos
la actuaci´ on de fuerzas de marea.
una aceleraci´on relativa dada por aµ = Rµνρσ T ν T ρ S σ
Vemos que el efecto de marea ha de ser asociado a que los objetos en ca´ıda libre siguen geod´esicas de una variedad curva y que dicho efecto est´a asociado a la curvatura de dicha variedad que viene controlada por el tensor de Riemann. Un observador en ca´ıda libre determina en un
En un punto podemos utilizar coordenadas
punto que vive en un espacio de Minkowski.
normales para que gµν = ηµν .
Aqu´ı se pone de manifiesto el contenido f´ısico de las coordenadas normales en el contexto gravitatorio. Esas son las coordenadas que puede elegir un observador en ca´ıda libre en cada punto de su trayecto. La luz se curva por efecto de la gravedad.
Para dar cuenta de la relaci´on entre la gravedad con cualquier forma de energ´ıa hemos de emplear el tensor de energ´ıa-momento, T µν .
13.2. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN
13.2.
121
Las ecuaciones de Einstein
Todo lo que hemos discutido nos lleva a la conclusi´on de que la gravedad la hemos de considerar como un efecto de la geometr´ıa del espaciotiempo. Ahora bien, en Newton la gravedad viene determinada, a trav´es de la ecuaci´ on de Poisson, por la densidad de masa. Sin embargo, para Einstein, la masa y la energ´ıa son sin´ onimos y por la curvatura de la luz en presencia de un campo gravitatorio podemos decir que la fuente de la gravedad es cualquier forma de energ´ıa. As´ı que cualquier forma de energ´ıa tendr´ a la capacidad para alterar a su alrededor la geometr´ıa del espaciotiempo. Las ecuaciones que ligan la geometr´ıa del espaciotiempo con la distribuci´on de energ´ıa y sus flujos son las ecuaciones de Einstein. Bien, tenemos que relacionar la curvatura de una variedad con la distribuci´on de energ´ıa en la misma. Para la energ´ıa sabemos que el objeto que controla la densidad de energ´ıa y sus flujos punto a punto es el tensor de energ´ıa-momento. La curvatura est´a controlada por el tensor de Riemann. Pero no podemos hacer una ecuaci´ on que involucre al tensor de Riemann y al tensor de energ´ıa-momento porque sus ´ındices no concuerdan y sus simetr´ıas mucho menos. Afortunadamente podemos obtener un tensor de dos ´ındices sim´etrico a partir del Riemann, el tensor de Ricci. As´ı que podr´ıamos proponer:
Rµν = κTµν
Sin embargo, esto no puede funcionar. La teor´ıa de la relatividad general ha de ser consistente con el hecho de la conservaci´ on del tensor energ´ıa-momento en cada punto de la variedad. As´ı que tomando derivada covariante en la expresi´ on anterior tendr´ıamos:
122
´ CAP´ITULO 13. F´ISICA Y MATEMATICAS: LAS ECUACIONES DE EINSTEIN
∇µ Rµν 6= κ∇µ Tµν Pero que no suenen las alarmas. Nosotros conocemos un tensor de dos ´ındices y sim´etrico construido a partir del Riemann y cuya derivada covariante es nula, el tensor de Einstein. Por lo tanto podemos proponer, y habremos acertado, las ecuaciones de Einstein de la relatividad general:
Gµν = κTµν Para fijar el valor de la constante que aparece en las ecuaciones de Einstein tenemos que hacer una tarea delicada. Hemos de mostrar que en el l´ımite de bajas energ´ıas y bajas velocidades la relatividad general se reduce a la teor´ıa de la gravitaci´ on de Newton. Es una prueba de consistencia por excelencia. La relatividad general no viene a reemplazar a Newton en el r´egimen donde la gravedad newtoniana ha demostrado funcionar realmente bien, viene a dar una generalizaci´on y a dar un esquema que sea consistente con principios muy fundamentales de la f´ısica. As´ı, que si uno hace ese ejercicio encontrar´a que (tomando c=1):
13.2. LAS ECUACIONES DE EINSTEIN
Nos seguimos leyendo. . .
123
124
´ CAP´ITULO 13. F´ISICA Y MATEMATICAS: LAS ECUACIONES DE EINSTEIN
Cap´ıtulo 14
Bibliograf´ıa comentada Los libros que voy a poner aqu´ı los he usado, los he trabajado y los he disfrutado. Si est´an aqu´ı es porque son los m´ as me gustan.
14.1.
Para la matem´ atica pura y dura
Para la parte matem´ atica voy a elegir dos textos espec´ıficos aunque todos los de relatividad general propiamente dicha tratan dichos temas en mayor o menor medida. Un libro que considero que es una delicia en todos los aspectos es: Chris Isham, Modern differential geometry for physicsist - World Scientific Lecture Notes in Physics, vol.61 - 2o edici´ on. (1993) En ese libro ten´eis una presentaci´ on muy buena de la geometr´ıa diferencial con un estilo directo y simple (en su contexto). Un perfecto punto de inicio para adentrarse en este mundo de la geometr´ıa diferencial y enfocado a la f´ısica. En el libro hay mucha m´as informaci´on de la que es necesaria para 125
CAP´ITULO 14. BIBLIOGRAF´IA COMENTADA
126
la relatividad general pero est´ a toda la que s´ı se necesita. Otro libro que cubre los aspectos de los que se aqu´ı tratan y m´as con un estilo peculiar y fresco es: John Baez y Javier P. Muniain, Gauge fields, knots and gravity, World Scientific, Series on knots and everyting, vol. 4. (1994) Como dice el t´ıtulo trata los campos gauge, nudos y gravedad. Introduce todo lo necesario desde el punto de vista matem´ atico para tener control sobre el tema. Y todo con el estilo que transpira Baez y su escuela a la hora de hablar de las cosas m´as abstractas de la matem´atica como si fuera el pan nuestro de cada d´ıa. Totalmente recomendable. Justo y necesario. Y para los que el tema de la topolog´ıa les haya sabido a poco os voy a dejar un texto online que es una obra maestra. Es obra del profesor de la Universidad Aut´onoma de Madrid, Fernando Chamizo: La topolog´ıa de segundo no es tan dif´ıcil https://www.uam.es/personalp di/ciencias/f chamizo/asignaturas/to2009/topologian0305/AP topo.pdf Todo un se˜ nor curso de topolog´ıa general para disfrutarlo de principio a fin. Decir que es genial se queda corto.
14.2.
Relatividad General
Por ahora solo voy a poner el que ha de ser considerado como el libro por excelencia sobre relatividad general. En mi opini´ on, claro est´ a. El Wald. Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, (1984). El libro.