Rentas o Anualidades Patricia Kisbye Profesorado en Matemática Facultad de Matemática, Astronomía y Física

10 de setiembre de 2013

Patricia Kisbye (FaMAF)

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Introducción

Rentas o Anualidades

Asumiremos que la tasa instantánea r (t) es constante e igual a r . Así, la tasa periódica está dada por i = er − 1 . Renta Una renta o anualidad es una sucesión de capitales financieros (C1 , t1 ), (C2 , t2 ), . . . , (Cn , tn ), . . . , con t1 < t2 < · · · < tn . . . .

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Introducción

Elementos de la renta

Se denomina: cuota o término: a cada uno de los pagos Ci , i ≥ 1. Períodos de la renta: [tk , tk +1 ], k ≥ 1. Amplitud del período: tk +1 − tk Las rentas se caracterizan por: momentos de los pagos: cuotas vencidas o cuotas adelantadas. monto de las cuotas: cuotas constantes o cuotas variables. duración de la renta: rentas ciertas o rentas perpetuas tasa de interés en cada período: constante o variable.

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Rentas ciertas

Rentas ciertas

CUOTAS VENCIDAS $500 15/01 t=0

15/02

$500

$500

15/03

15/04 t=T

$500

$500

15/03

15/04

t

15/05

CUOTAS ANTICIPADAS $500 15/01

15/02 t=0

15/05 t=T

t

Figura: Rentas pospagable y prepagable

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Rentas ciertas

Rentas ciertas

Asumiremos que los períodos de tiempo son constantes: tk +1 − tk = 1, para cierta unidad de tiempo. la tasa de interés es constante, e igual a i. Renta prepagable, o de cuotas anticipadas: el origen de la renta es t1 . Renta pospagable, o de cuotas vencidas: el origen de la renta es t0 = t1 − 1. Final de la renta: n períodos posteriores al origen.

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Rentas ciertas

Valoración de rentas ciertas

Valor actual y final de una renta

Definición Dada una renta cierta (C1 , t1 ), (C2 , t2 ), . . . , (Cn , tn ) llamaremos Valor actual de la renta: a la suma de los valores actuales de cada uno de los capitales financieros calculada en el origen de la renta. Valor final de la renta: a la suma de los valores finales de cada uno de los capitales financieros calculada en el final de la renta.

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Rentas ciertas

Valoración de rentas constantes

Rentas constantes Consideremos una renta de n cuotas constantes iguales a C. Cuotas vencidas: origen en t0 = t1 − 1.
Valor actual = C · (1 + i)−1 + (1 + i)−2 + · · · + (1 + i)−n .


Valor final = C · 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + · · · + (1 + i)n−1 .

an i =

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1 − (1 + i)−n i

sn i =

(1 + i)n − 1 i

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Rentas ciertas

Valoración de rentas constantes

Rentas constantes

Valor actual y valor final de una renta pospagable con cuotas constantes Si las cuotas constantes son iguales a C y la tasa efectiva períodica es i, se tiene que el valor actual V0 y el valor final Vn están dados por:

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V0 = C an i = C

1 − (1 + i)−n i

Vn = C sn i = C

(1 + i)n − 1 i

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Rentas ciertas

Valoración de rentas constantes

Rentas constantes

Cuotas anticipadas: origen en t1 .   Valor actual = C · 1 + (1 + i)−1 + (1 + i)−2 + · · · + (1 + i)−(n−1) .


Valor final = C · (1 + i) + (1 + i)2 + · · · + (1 + i)n .

än i = (1 + i) ·

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1 − (1 + i)−n i

s¨ n i = (1 + i) ·

(1 + i)n − 1 i

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Rentas ciertas

Valoración de rentas constantes

Rentas constantes

Valor actual y valor final de una renta prepagable con cuotas constantes Si las cuotas constantes son iguales a C y la tasa efectiva períodica es i, se tiene que el valor actual V1 y el valor final Vn+1 están dados por: V1 = C än i = C (1 + i)

1 − (1 + i)−n i

Vn+1 = C s¨ n i = C (1 + i)

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(1 + i)n − 1 i

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Rentas ciertas

Valoración de rentas constantes

Ejemplo Una renta está conformada por 4 cuotas mensuales de $100, sujetas a una tasa del 3 % mensual, y se desea conocer el capital final obtenido al momento de pagar la cuarta cuota. Solución: Cuota 1 2 3 4

Períodos que capitaliza 3 2 1 ninguno Valor final

Valor final 100 · (1,03)3 = 109,2727 100 · (1,03)2 = 106,09 100 · (1,03) = 103 100 100

(1,03)4 −1 0,03

= 418,3627

Esto es, el valor final de la renta es de $418,3627. Patricia Kisbye (FaMAF)

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Rentas ciertas

Ejemplos

Ejemplo Ejemplo Una renta está conformada por 4 cuotas mensuales de $100, sujetas a una tasa del 3 % mensual, y se desea conocer el valor actual de la misma al momento de pagar la primera cuota. Solución: Cuota 1 2 3 4

Períodos ninguno 1 2 3

Valor actual

Valor final 100 100 · (1,03)−1 = 97,0874 100 · (1,03)−2 = 94,2596 100 · (1,03)−3 = 91,5141 100 ·

1−(1,03)−3 0,03

= 382,8613

Esto es, el valor actual de la renta es de $382.8613. Patricia Kisbye (FaMAF)

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Rentas ciertas

Cálculo del número de cuotas

Cálculo del número de cuotas Ejemplo ¿Cuántas cuotas mensuales iguales y vencidas de $3.000 habrá que abonar para que el valor actual de la renta resulte de $100.000 considerando una tasa del 0.02 mensual? Sea VA el valor actual de la renta, entonces VA = c · an i . n=

log(c) − log(c − V · i) . log(1 + i)

Volviendo a los datos del ejemplo, tenemos que n=

log(3000) − log(3000 − 2000) log(3) = ∼ 55, 48. log(1,02) log(1,02)

Al menos, 56 cuotas. Patricia Kisbye (FaMAF)

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Rentas ciertas

Cálculo del número de cuotas

Cálculo de la tasa de interés

Ejemplo Si una persona deposita mensualmente $300 en una cuenta, y al cabo de 4 años tiene un capital de $15.000, ¿qué rendimiento tuvo su inversión? Es decir, ¿cuál fue la tasa de interés sobre dichos depósitos? para i = 0,05, arroja un valor final de $56.407,6 para i = 0,005 el valor final resulta ser $16229.35, lo que se aproxima bastante más al resultado; para i = 0,0017 se obtiene $14.990.67, y para i = 0,0018 el valor final es de $15.026,28. Así que puede estimarse una tasa de interés entre el 0,17 % y el 0,18 % mensual.

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Rentas ciertas

Cálculo del número de cuotas

Anualidades ciertas con cuotas variables Consideraremos rentas ciertas con cuotas variables, y períodos constantes. En particular, interesan los siguientes casos: Definición Dada una renta (C1 , t1 ), (C2 , t2 ), . . . , (Cn , tn ), diremos que es una renta en progresión aritmética si Ck − Ck −1 = h, para cierta constante h. una renta en progresión geométrica si Ck = q, Ck −1 para cierta constante q > 0.

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Rentas ciertas

Rentas en progresión aritmética

Rentas en progresión aritmética

La sucesión de capitales es de la forma c, c + h, c + 2 · h, . . . , c + (n − 1)h, donde c es el valor de la primera cuota, y h es el término de la progresión aritmética. Observación: h > −

c . n−1

Ejemplo En una renta de cuatro cuotas mensuales en progresión aritmética, con c = 100 y h = 15, las sucesivas cuotas serán 100, 115, 130 y 145.

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Rentas ciertas

Rentas en progresión aritmética

Ejemplo

Una renta en progresión aritmética puede pensarse como una superposición de n rentas con cuotas constantes. Para el ejemplo anterior:

Total

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Mes 1 100

Mes 2 100 15

Mes 3 100 15 15

100

115

130

Mes 4 100 15 15 15 145

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Rentas ciertas

Rentas en progresión aritmética

Caso general

Momentos

RENTA

.. .

3 c h h .. .

... ... ... ... .. .

n−1 c h h .. .

n c h h .. .

c+h

c + 2h

...

c + (n − 2)h

h c + (n − 1)h

1 c

2 c h

.. . c

El valor actual y final de la renta puede calcularse como la suma de los valores actuales y finales de cada una de estas rentas.

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Rentas en progresión aritmética

Cuotas vencidas. Valor de la cuota c h

Número de cuotas n n−1 .. . h 3 h 2 h 1 Valor final

Valor final en t = n c · sn r h · sn−1 r

h + h s1 r

h · s3 r h · s2 r h · s1 r = h + h s2 r + · · · + h sn−1 r + c sn r

Cuadro: Valor final: Renta en progresión aritmética con cuotas vencidas

Vn = c · sn i +

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h · sn i − n . i 10 de setiembre de 2013

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Rentas ciertas

Rentas en progresión aritmética

Cálculo de valores actuales y finales

Cuotas vencidas

c · an i

Valor actual
h + · an i − n (1 + i)−n i

Valor final
h c · sn i + · sn i − n i

Cuotas anticipadas

c · än i

Valor actual
h + · än i − n (1 + i)−(n−1) i

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c · s¨ n i

Valor final
h + · s¨ n i − n (1 + i) i

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Rentas ciertas

Rentas en progresión aritmética

Ejemplo

Ejemplo Un individuo percibirá una renta consistente en pagos anuales cada 1 de enero durante 20 años, siendo el primer pago el 1 de enero de 2010. El primer pago será de $5000, y su renta disminuirá en $150 cada año. Obtener el valor de esta renta al día de hoy, valorando la misma con una tasa de interés efectiva anual del 5 %. Solución. En clase

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Rentas ciertas

Rentas en progresión geométrica

Rentas en progresión geométrica

La sucesión de capitales es de la forma c, c · q, c · q 2 , . . . , c · q n−1 donde c es el valor de la primera cuota, y q es el término de la progresión geométrica. Ejemplo En una renta de cuatro cuotas en progresión geométrica, con c = 1000 y q = 1,1, las sucesivas cuotas serán 1000, 1010, 1121 y 1242,1.

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Rentas ciertas

Rentas en progresión geométrica

Valor final y valor actual

Valor actual

Valor final

Cuotas vencidas q 6= (1 + i)

c·

1 − q n (1 + i)−n 1+i −q

c·

(1 + i)n − q n 1+i −q

q = (1 + i)

c · n · (1 + i)−1

c · n · (1 + i)n−1

Cuotas anticipadas

Valor actual 1 − q n (1 + i)−n c · (1 + i) · 1+i −q

Valor final 1 − q (1 + i)−n c· · (1 + i)n+1 1+i −q

c·n

c · n · (1 + i)n

q 6= (1 + i) q = (1 + i)

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n

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Rentas ciertas

Rentas en progresión geométrica

Ejemplo

Ejemplo Un individuo decide hoy, depositar cada 15 de diciembre un capital equivalente al 10 % de su salario bruto anual en una cuenta que reditúa un 3,5 % anual. Si este individuo estima que su salario bruto en el año 2014 será de $120.000 y que se incrementará un 2 % cada año, ¿cuál será el capital acumulado en dicha cuenta el 1ro. de enero de 2020? ¿Cuál sería ese capital acumulado si su salario bruto se incrementara un 3,5 % por año? Solución. En clase.

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Rentas perpetuas

Rentas perpetuas

Definición Una renta perpetua es una sucesión infinita de capitales financieros: (C1 , t1 ), (C2 , t2 ), . . . , (Cn , tn ), . . . con tk < tk +1 para k ≥ 1. Al igual que en el caso de las rentas ciertas, se tienen rentas perpetuas de cuotas constantes (unitarias) de cuotas variables (en progresión aritmética, geométrica, y otras). de cuotas anticipadas. de cuotas vencidas. Esta clasificación no es exhaustiva.

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Rentas perpetuas

Rentas perpetuas unitarias

Asumiremos que los períodos de la renta equivalen a la unidad de tiempo. La valoración de la renta se hará de acuerdo a una tasa de interés i, correspondiente a esta unidad de tiempo. Denotaremos: a∞ i : valor inicial de una renta perpetua unitaria con cuotas vencidas. ä∞ i : valor inicial de una renta perpetua unitaria con cuotas anticipadas.

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Rentas perpetuas

Cálculo de a∞ i y ä∞ i Recordemos que para una renta cierta, el valor inicial de la renta unitaria es an i =

1 − (1 + i)−n i

än i = (1 + i)

1 − (1 + i)−n i

cuotas vencidas

cuotas anticipadas

Para un número infinito de cuotas, se obtiene entonces que a∞ i =

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1 i

y

ä∞ i =

1+i . i

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Rentas perpetuas

Ejemplo

La mayoría de las empresas al constituirse asumen que su vida será ilimitada. Los poseedores de acciones de la empresa reciben periódicamente dividendos a cuenta de los beneficios. Si una empresa otorga $100 anuales por acción, ¿cuál es el valor actual de la acción si se la valora al 4 %? Solución: 100 a∞ 0,04 =

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100 = 2500 . 0,04

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Rentas perpetuas

Rentas perpetuas en progresión geométrica Estas rentas son de la forma c, c · q, c · q 2 , . . . , c · q n , . . .

q ≥ (1 + i): el valor actual tiende a infinito. q < (1 + i): el valor actual es

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cuotas vencidas

c

1 1+i −q

cuotas anticipadas

c

1+i 1+i −q

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Rentas perpetuas

Ejemplo

Como consecuencia de una herencia, una persona percibirá anualmente una renta perpetua, cuya primer cuota será de $50.000 y se irá incrementando en un 4 % cada año. Calcular el valor actual asumiendo que las cuotas son vencidas y con una valoración del 9 % anual. Solución: C = 50000,

q = 1,04,

i = 0,09

50000 c = = 1 000 000 . 1+i −q 0,05

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Rentas perpetuas

Rentas perpetuas en progresión aritmética Estas rentas son de la forma c, c + h, c + 2h, . . . , c + (n − 1) h, . . . ,

h>0

Para una renta cierta, el valor actual para rentas unitarias con cuotas vencidas está dado por   h n an i − . an i + i (1 + i)n Tomando límite cuando n tiende a infinito, se obtiene que el valor actual para rentas perpetuas en progresión aritmética está dado por V0 = c +

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h
1 · i i

V1 = c +

h
1 + i i i

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