REPASO DE ECUACIONES (4º ESO) TIPOS DE ECUACIONES.Existen diversos tipos de ecuaciones, entre ellas estudiaremos: • Polinómicas: En ellas, la incógnita aparece solamente en expresiones polinómicas. El grado de una ecuación polinómica es el grado del término que tenga mayor grado • Racionales: En ellas hay fracciones algebraicas y la incógnita aparece en algún denominador. • Irracionales: La incógnita está dentro de una raíz. • Exponenciales: La incógnita está en el exponente. • Logarítmicas: La incógnita está en el argumento o en la base del logaritmo. ECUACIONES POLINÓMICAS.ECUACIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO Y DE 2º GRADO.Son de nivel básico. ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR A DOS.Son ecuaciones polinómicas en las que el término de mayor grado tiene grado mayor o igual que tres. Se resuelven de la siguiente forma: 1º. Se expresan con el segundo miembro igual a 0: P( x ) = 0

en caso de que no esté expresada así.

2º.Se factoriza el polinomio P( x ) en factores de grado 1 y 2 y se escribe la ecuación factorizada:

(....) ⋅ (....) ⋅ ..... ⋅ (....) = 0 3º. Para que un producto de varios factores sea 0, es necesario que sea 0 cualquiera de ellos

(....) = 0 ;

(....) = 0 ;

………..;

(....) = 0

4º. Se despeja la x de cada uno de los factores, escribiendo todas sus soluciones. Ejemplo:  (x + 1)2 = 0 ⇔ x = −1 (doble)  3  2 4 3 2 10 x + 9 x − 18 x − 23 x − 6 = 0 ⇔( x + 1) ⋅ (2 x − 3) ⋅ (5 x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x − 3 = 0 ⇔ x = 2º 3º 2  2  5 x + 2 = 0 ⇔ x = − 5 ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES DE 2º GRADO.Hay ecuaciones que, sin ser de primer ni de segundo grado, se pueden resolver utilizando los recursos que ya tenemos: ECUACIONES BICUADRADAS Y BICÚBICAS.Son ecuaciones polinómicas que se pueden expresar de la forma: ax 4 + bx 2 + c = 0

(bicuadradas) y

ax 6 + bx 3 + c = 0

Para resolverlas: Se hace un cambio de variable de la forma siguiente:

(bicúbicas)

con a ≠ 0 .

Bicuadradas: x 2 = t , con lo que

( )

2

x4 = x2

= t 2 , quedando:

at 2 + bt + c = 0 (ecuación de

2º grado en t). Se despeja t con el procedimiento que proceda según el tipo de ecuación de2º grado que sea y una vez obtenido t, se deshace el cambio para conseguir los valores de x con:

x=± t . Ejemplo: x 4 − 4 x 2 + 3 = 0 ; hacemos:

x 2 = t , quedando:

t 2 − 4t + 3 = 0 ; despejamos t:

4 + 2 =3 4 ± 16 − 4 ⋅1 ⋅ 3 4 ± 4 4 ± 2  2 t= = = = 2 2 2 4 − 2 = 1  2

deshaciendo el cambio:

t = 3 ⇒ x 2 = 3 ⇒ x = ± 3  t = 1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ± 1 = ±1 Bicúbicas:

x 3 = t , con lo que

( )

x6 = x3

2

= t 2 , quedando:

at 2 + bt + c = 0 (ecuación de

2º grado en t). Se despeja t con el procedimiento que proceda según el tipo de ecuación de2º grado que sea y una vez obtenido t, se deshace el cambio para conseguir los valores de x con:

x=3 t .

Ejemplo: x 6 − 7 x 3 − 8 = 0 ; hacemos:

x 3 = t , quedando:

t 2 − 7t − 8 = 0 ; despejamos t:

7 + 9 =8 7 ± 49 − 4 ⋅1 ⋅ (− 8) 7 ± 81 7 ± 9  2 = = = t= 2 2 2  7 − 9 = −1  2

deshaciendo el cambio:

t = 8 ⇒ x 3 = 8 ⇒ x = 3 8 = 2  t = −1 ⇒ x 3 = −1 ⇒ x = 3 − 1 = −1 ECUACIONES RACIONALES.Las ecuaciones en las que aparecen fracciones algebraicas, se denominan ecuaciones racionales. Para resolver este tipo de ecuaciones, se multiplican sus dos miembros por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. Una vez eliminados los denominadores se resuelve la ecuación polinómica obtenida. Al multiplicar los dos miembros de la ecuación por una misma expresión algebraica, debemos suponer que esta es distinta de 0. Si entre las soluciones obtenidas hay alguna que anule a algún denominador, debemos rechazarla, por eso se debe comprobar que las soluciones obtenidas no anulan a los

denominadores que intervienen en la ecuación.

Ejemplo:

2x 4 2 x ⋅ ( x − 1) 4 2x2 − 2x 4 = 2 ⇔ = ⇔ ( x + 1) ⋅ ( x − 1) ⋅ = ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 1) x +1 x −1 (x + 1) ⋅ (x − 1) (x + 1) ⋅ (x − 1) (x + 1) ⋅ (x − 1) (x + 1) ⋅ (x − 1) 8 =2 2 ± 4 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 4 ) 2 ± 36 2 ± 6  4 2 x = 2 y x = −1/ ⇔ 2x − 2x − 4 = 0 ⇔ x = = = = 2⋅2 4 4 − 4 = −1  4 x = −1 anula a los dos denominadores, así que ha que rechazarla. La solución es: x = 2

ECUACIONES IRRACIONALES.Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita en el radicando (bajo el signo radical) Para resolver una ecuación irracional, se siguen los siguientes pasos:

1º

Si la ecuación tiene un solo radical:

Se aísla el radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos. Si la ecuación tiene dos o más radicales: Se aísla uno cualquiera de ellos en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.

2º Se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación. 3º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.

4º Se resuelve la ecuación obtenida. 5º Es imprescindible, en este tipo de ecuaciones, comprobar si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial, ya que hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación. “Elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación”, no es una transformación que permita pasar de una ecuación a otra equivalente en todos los casos; por ejemplo: La ecuación: x = 2 tiene como solución: x = 2 Al elevar sus dos miembros al cuadrado:

x 2 = 4 que tiene como soluciones:

x = 2   x = −2

Observamos que no tienen exactamente las mismas soluciones; sin embargo, la solución de la primera ecuación ( x = 2 ) se encuentra entre las soluciones de la segunda ( x = 2 y x = −2 ), por eso basta con

resolver la segunda ecuación y rechazar las soluciones de dicha ecuación que no cumplan la ecuación inicial ( x = −2/ ). Ejemplo:

(

)

3 x − 2 x + 4 = 9 ⇔ 3 x − 9 = 2 x + 4 ⇔ (3 x − 9 ) = 2 x + 4 ⇔ 9 x 2 − 54 x + 81 = 4 ⋅ ( x + 4 ) ⇔ 2

1º

2º

5  ⇔ 9 x − 54 x + 81 = 4 x + 16 ⇔ 9 x − 58 x + 65 = 0 ⇔ x = 13 4º 4º 4º  9 2

2

2

4º

4º

(posibles soluciones)

Descartamos las soluciones no válidas (5º): Para x = 5 : Para x =

3⋅5 − 2 ⋅ 5 + 4 = 9

Luego x = 5 es solución de la ecuación inicial.

13 13 13 7 1 13 + 4 = − 2⋅ = − ≠ 9 : 3⋅ − 2 ⋅ 9 9 9 3 3 3

Luego x =

13 no es solución. 9

“En las ecuaciones irracionales, la comprobación de las soluciones forma parte de su resolución” En este tipo de ecuaciones, las soluciones no se comprueban para estar seguros de que no nos hemos equivocado al resolverlas, sino para descartar las soluciones extrañas que se han podido introducir al elevar los dos miembros al cuadrado.

ECUACIONES CON VALOR ABOLUTO

x − a = b  x − a = b ⇔ ó y se despeja x de cada una de ellas.  x − a = −b 

Ejemplo:

2 x − 3 = 5 ⇒ x = 4  2 x − 3 = 5 ⇔ ó  2 x − 3 = −5 ⇒ x = −1 

ECUACIONES EXPONENCIALES Ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita está en el exponente. Para resolver estas ecuaciones se aplican las propiedades de las potencias (leídas en los dos sentidos) y se tiene en cuenta que: ax = ay ⇒ x = y

•

En algunas ecuaciones resulta útil tomar logaritmos en ambos miembros de la ecuación; o aplicar la definición de logaritmo.

•

En otras es conveniente realizar un cambio de incógnita del tipo t = a x , para que simplifique la expresión.

Ejemplos: Resolver las ecuaciones: a) 21− x = 2

2 1 ⇔ 21− x = 2 −3 ⇔ 1 − x 2 = −3 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = ±2 8

b) 2 x−1 + 2 x + 2 x+1 = 7 ⇔

2x + 2x + 2 x ⋅ 2 = 7 2

Hacemos el cambio de variable:

2x = t

t t + 2t + 4t 14 + t + 2t = 7 ⇒ = ⇒ 7t = 14 ⇒ t = 2 2 2 2 Deshacemos el cambio de variable:

t = 2 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1

ECUACIONES LOGARÍTMICAS Ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece en la base o en el argumento de un logaritmo. Para resolverlas se modifican sus dos miembros con la ayuda de las propiedades de los logaritmos, y se tiene en cuenta que: log a M = log a N ⇒ M = N Es necesario comprobar si las soluciones obtenidas son válidas, teniendo en cuenta solo que no están definidos los logaritmos de cero ni de los números negativos, y además la base tiene que ser positiva y distinta de 1. Ejemplo:

log x + log(3x + 5) = 2 ⇔ log[x ⋅ (3x + 5)] = log100 ⇔ x(3x + 5) = 100 ⇒ 3x 2 + 5x − 100 = 0  30 = 5 (válida ) − 5 ± (5) − 4 ⋅ 3 ⋅ (−100) − 5 ± 25 + 1200 − 5 ± 35  6 x= = = = 2⋅3 6 6  − 40 = − 20 (no vale)  6 3 2