Representación de funciones Ejercicio nº 1.-

Representa una función polinómica f x , de la que sabemos que :  lim f x   ; x 

lim f x   

x 

 Su deriv adaes 0 en 2,  2 y en  0, 2.  Corta a los ej esen 3, 0 , 1, 0 ,  1, 0 y  0, 2.

Ejercicio nº 2.-

Dibuj ala gráfica de la función f x , sabiendo que:  Su deriv adase anula en 0, 0.  Solo corta a los ej esen 0, 0.  Sus asíntotas son: x  2, x  2 e y  0  La posición de la curva respecto a las asíntotas es:

 lim f x   ; x 2

lim f x   ;

x 2 

lim f x   ;

x 2 

lim f x   

x 2 

Ejercicio nº 3.-

Haz la gráfica de una función f x  , sabiendo que :  Es continua.

 lim f x   ; x 

lim f x   

x 

 Su deriv adase anula en 3,  2, en  0, 2 y en  2,  3.  Corta a los ej esen los puntos 4, 0 , 2, 0, 1, 0,  3, 0 y  0, 2. Ejercicio nº 4.Representa una función f(x), de la que sabemos lo siguiente:   

 

La derivada no se anula en ningún punto. La función es decreciente. Corta a los ejes en (1, 0) y en (0, 1)

lim f x    ;

x 2 

lim f x   

x 2 

Tiene una asíntota horizontal en y  1. Además:

1

Ejercicio nº 5.-

Representa gráficamente una función f (x), de la que conocemos lo siguiente :  Su deriv adase anula en 1,  4 y en  1, 4.  No corta a los ejes.

 lim f x   ; x 0

lim f x   

x 0 

 Tiene una asíntota oblicua, que es y  2x. Además:

Ejercicio nº 6.La siguiente gráfica corresponde a la función f (x):

a ¿En qué puntos se anula la derivada? b ¿Cuáles son sus asíntotas? c Indica la posición de la curva respecto a sus asíntotas verticales.

Ejercicio nº 7.La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). A partir de ella, indica:

a Máximos y mínimos. b Puntos de corte con los ejes. c Ramas infinitas. d Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

2

Ejercicio nº 8.A partir de la gráfica de f (x), di cuáles son sus asíntotas, indica la posición de la curva respecto a ellas y halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

Ejercicio nº 9.Dada la gráfica de f(x), di cuáles son sus asíntotas e indica la posición de la curva respecto a ellas. Halla también los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

Ejercicio nº 10.A partir de la gráfica de f (x):

a b c

¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes? Di cuáles son sus asíntotas. Indica la posición de la curva respecto a las asíntotas verticales.

3

Ejercicio nº 11.Representa la siguiente función, estudiando los aspectos que consideres más relevantes:

f x   x 3  12x Ejercicio nº 12.Estudia y representa la siguiente función:

f x   x 3  4 x 2  4 x Ejercicio nº 13.Estudia y representa la siguiente función:

f x   x 3  3x 2 Ejercicio nº 14.Estudia y representa la función:

f x   x 4  2 x 2  1 Ejercicio nº 15.Estudia y representa la función:

f x   x 4  2x 2

Ejercicio nº 16.Representa gráficamente la siguiente función, estudiando previamente los aspectos que consideres más relevantes:

f x  

x2 x 1

Ejercicio nº 17.Estudia y representa la siguiente función:

f x  

x2 x 2

Ejercicio nº 18.Estudia y representa la función: x 3 f x   x 1 Ejercicio nº 19.Dada la función:

f x  

3x x 3

estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.

4

Ejercicio nº 20.Estudia y representa la siguiente función:

f x  

3x x 2

Ejercicio nº 21.Estudia y representa la siguiente función:

x3 x 2

f x   Ejercicio nº 22.Dada la función:

f x  

x3 2 x

estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.

Ejercicio nº 23.Representa gráficamente la siguiente función, estudiando los aspectos que consideres más relevantes:

f x  

x3  2 x

Ejercicio nº 24.Estudia y representa la función:

f x  

x3 x 2

Ejercicio nº 25.Estudia y representa la siguiente función:

f x  

x4 1 x

Ejercicio nº 26.Dada la función

f x  

2x 2  1 x2

estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.

5

Ejercicio nº 27.Estudia y representa la siguiente función:

f x  

2x 2 x2  4

Ejercicio nº 28.Estudia y representa la función:

f x  

x2 x2 1

Ejercicio nº 29.Estudia y representa la siguiente función:

f x  

x2  4 x2 1

Ejercicio nº 30.Representa gráficamente la siguiente función, estudiando previamente los aspectos que consideres más relevantes:

f x  

x2 x2 1

Ejercicio nº 31.Estudia y representa la siguiente función:

f x  

x3 x2 1

Ejercicio nº 32.Dada la función

f x  

x3  4 x2 ,

estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.

Ejercicio nº 33.Estudia y representa la función:

f x  

x3 x 2  2x  1

6

Ejercicio nº 34.Estudia y representa la función:

f x  

x3 x  2x  1 2

Ejercicio nº 35.Representa gráficamente la siguiente función, estudiando previamente los aspectos que consideres más relevantes:

f x  

2x 3 x2  2

Ejercicio nº 36.Representa gráficamente la siguiente función, estudiando previamente los aspectos que consideres más relevantes:

f x  

x4  4 x2 1

Ejercicio nº 37.Estudia y representa la función:

f x  

x4 1 x2

Ejercicio nº 38.Estudia y representa la función:

f x  

x4 x2 1

f x  

x 4  2x 2  1 x2

Ejercicio nº 39.Dada la función

estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.

Ejercicio nº 40.Estudia y representa la siguiente función:

f x  

2x 5 x2 1

7

SOLUCIONES Representación de funciones Ejercicio nº 1.-

Representa una función polinómica f x , de la que sabemos que :  lim f x   ; x 

lim f x   

x 

 Su deriv adaes 0 en 2,  2 y en  0, 2.  Corta a los ej esen 3, 0 , 1, 0 ,  1, 0 y  0, 2.

Solución:

Ejercicio nº 2.-

Dibuj ala gráfica de la función f x , sabiendo que:  Su deriv adase anula en 0, 0.  Solo corta a los ej esen 0, 0.  Sus asíntotas son: x  2, x  2 e y  0  La posición de la curva respecto a las asíntotas es:

 lim f x   ; x 2

lim f x   ;

x 2 

lim f x   ;

x 2 

lim f x   

x 2 

8

Solución:

Ejercicio nº 3.-

Haz la gráfica de una función f x  , sabiendo que :  Es continua.

 lim f x   ; x 

lim f x   

x 

 Su deriv adase anula en 3,  2, en  0, 2 y en  2,  3.  Corta a los ej esen los puntos 4, 0 , 2, 0, 1, 0,  3, 0 y  0, 2.

Solución:

Ejercicio nº 4.Representa una función f(x), de la que sabemos lo siguiente:   

 

La derivada no se anula en ningún punto. La función es decreciente. Corta a los ejes en (1, 0) y en (0, 1)

lim f x    ;

x 2 

lim f x   

x 2 

Tiene una asíntota horizontal en y  1. Además:

9

Solución:

1 1

1

2

Ejercicio nº 5.-

Representa gráficamente una función f (x), de la que conocemos lo siguiente :  Su deriv adase anula en 1,  4 y en  1, 4.  No corta a los ejes.

 lim f x   ; x 0

lim f x   

x 0 

 Tiene una asíntota oblicua, que es y  2x. Además:

Solución:

Ejercicio nº 6.La siguiente gráfica corresponde a la función f (x):

10

a ¿En qué puntos se anula la derivada? b ¿Cuáles son sus asíntotas? c Indica la posición de la curva respecto a sus asíntotas verticales.

Solución:

a) f '  0  0  Hay un máximoen 0,  3 f  0  3  b Asíntotas verticales: x  2, x  2 Asíntota horizontal: y  2

c)

lim f x   ;

x 2 

lim f x   ;

x 2 

lim f x   

x 2 

lim f x   

x 2 

Ejercicio nº 7.La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). A partir de ella, indica:

a Máximos y mínimos. b Puntos de corte con los ejes. c Ramas infinitas. d Intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Solución:

a)

f '  3  0   Hay un mínimoen  3,  3 f  3  3  f '  0  0   Hay un máximoen 0, 3 f  0  3 

b)

4, 0 , 2, 0 ,  3, 0

c)

x 

lim f x   ;

d) Decrece en

y

 0, 3.

lim f x   

x 

,  3 y en  0,  ; crece en 3, 0.

Ejercicio nº 8.A partir de la gráfica de f (x), di cuáles son sus asíntotas, indica la posición de la curva respecto a ellas y halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

11

Solución:  Asíntota vertical: x  1 Posición de la curva: lim f x   ; lim f x    x 1

x 1

 Asíntota horizontal: y  2 Posición de la curva:  Si x  , y  2   Si x  , y  2

 La funciónes crecienteen ,  1 y en 1,  .

Ejercicio nº 9.Dada la gráfica de f(x), di cuáles son sus asíntotas e indica la posición de la curva respecto a ellas. Halla también los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

Solución:  Asíntota vertical: x  0 Posición de la curva:

lim f x   ;

x 0 

lim f x   

x 0 

Asíntota horizontal: y  0 Posición de la curva:

12

 Si   Si

x  ,

y 0

x  ,

y 0

 La funciónes decreciente en , 0 y en  0,  . Ejercicio nº 10.A partir de la gráfica de f (x):

a b c

¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes? Di cuáles son sus asíntotas. Indica la posición de la curva respecto a las asíntotas verticales.

Solución: a b

c)

(0, 0) Asíntotas verticales: x  1, x  1 Asíntota horizontal: y  0

lim f x   ;

lim f x   

x 1

x 1

lim f x   ;

lim f x   

x 1

x 1

Ejercicio nº 11.Representa la siguiente función, estudiando los aspectos que consideres más relevantes:

f x   x 3  12x

Solución:

 





lim x 3  12x  ;

x 





lim x 3  12x  

x 

Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X



 

x   12  Punto  12, 0  x  12x  x x  12  0 x  0  Punto  0, 0 x  12  Punto 12, 0  3



2







Con el eje Y  x = 0  y = 0 

Puntos singulares:

13

f ' x   3 x 2  12  0 



x2  4



  x  2     x2 

Punto  2, 16 Punto  2,  16

Gráfica:

Ejercicio nº 12.Estudia y representa la siguiente función:

f x   x 3  4 x 2  4 x

Solución:

 





lim x 3  4x 2  4x  ;

x 





lim x 3  4x 2  4x  

x 

Puntos de corte con los ejes:

x  0   Con el eje X  x 3  4 x 2  4 x  x ( x 2  4 x  4)  0    x  2 Con el eje Y  x  0  y  0  Punto  0, 0 



Punto

 0, 0



Punto

 2, 0

Puntos singulares:

f ' x   3 x 2  8 x  4  0



x

8

64  48 6



x  2 84  x  4  2 6  6 3 

 2 32  Puntos  2, 0 y  , .  3 27  

Gráfica:

14

Ejercicio nº 13.Estudia y representa la siguiente función:

f x   x 3  3x 2

Solución:

 





lim x 3  3 x 2  ;

x 



Puntos de corte con los ejes:

  x  0  Punto (0, 0) x 2 x  3  0    x  2  Punto ( 2, 4) y  0  Punto  0 , 0

Con el eje X  x 3  3 x 2  0

Con el eje Y : x  0 



lim x 3  3x 2  

x 





Puntos singulares:

  x  0  Punto (0 , 0) f ' x   3 x 2  6 x  3 x x  2  0    x  2  Punto ( 2, 4) 

Gráfica:

Ejercicio nº 14.Estudia y representa la función:

f x   x 4  2 x 2  1

15

Solución:

 





lim x 4  2x 2  1  ;

x 





lim x 4  2x 2  1  

x 

Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X 

x 4  2x 2  1  0. Cambio x 2  z

z 2  2z  1  0 2 44 2 z   1 2 2 No corta al eje X .

Con el eje Y  

x 0



Punto  0, 1

y 1 

Puntos singulares:





f ' x   4x 3  4x  4x x 2  1  0  x  0  

no nos da un valor real para x .

Punto  0 , 1

Gráfica:

Ejercicio nº 15.Estudia y representa la función:

f x   x 4  2x 2

Solución:

 





lim x 4  2x 2  ;

x 



Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X 

x 4  2x 2  0

Con el eje Y  x = 0 



lim x 4  2x 2  

x 





y=0

 x   2  Punto(  2, 0)   x 2 x 2  2  0  x  0  Punto (0, 0)  x   2  Punto(  2, 0)  







Punto (0,0)

Puntos singulares:

16

x   1  Punto ( 1,  1)   f ' x   4 x 3  4 x  4 x x 2  1  0  x  0  Punto (0, 0)    x  1  Punto (1,  1)







Gráfica:

Ejercicio nº 16.Representa gráficamente la siguiente función, estudiando previamente los aspectos que consideres más relevantes:

f x  

x2 x 1

Solución: 

Dominio  R {1}



Puntos de corte con los ejes:



Con el eje X 

y 0



Con el eje Y 

x 0



Punto  0, 0

Asíntotas verticales: x  1

lim f x   ;

x 1



x2 0  x0  x 1 y  0  Punto  0, 0

lim f x   

x 1

Asíntota oblicua:

x2 1  x  1  x 1 x 1

y  x  1 es asíntota oblicua.

1  0  La curva está por encima de la asíntota. x 1 1 Si x   ,  0  La curva está por debajode la asíntota. x 1 Si x   ,



Puntos singulares:

17

f ' x  

2x x  1  x 2

f ' x   0



x  1

2

2x 2  2x  x 2





x  1

2

x  0   x x  2  0   x  2 



x 2  2x

x  1

2



x x  2

x  12

Punto  0, 0 Punto  2,  4

Gráfica:

Ejercicio nº 17.Estudia y representa la siguiente función:

f x  

x2 x 2

Solución: 

Dominio  R {2}



Puntos de corte con los ejes:



Con el eje X 

y 0



x2 0 x 2

Con el eje Y 

x 0



y 0

x0



Punto  0, 0

Punto  0, 0

Asíntota vertical: x  2

lim f x   ;

x 2 

lim f x   

x 2 

Asíntota oblicua: x2 4  x 2 x2 x2









y  x  2 es asíntota oblicua.

Si x  ,

4 0 x 2

 La curva está por encimade la asíntota.

Si x  ,

4 0 x 2

 La curva está por debajode la asíntota.

Puntos singulares:

18

f ' x  

2 x x  2   x 2

x  2 

f ' x   0





2

2x 2  4 x  x 2



x  2

x x  4  0

2



x 2  4x

x  2 

2



x x  4 

x  22

x  0  Punto  0, 0     x  4  Punto 4 , 8

Gráfica:

Ejercicio nº 18.Estudia y representa la función:

f x  

x 3 x 1

Solución: 

Dominio  R {1}



Puntos de corte con los ejes:



Con el eje X 

y0



Con el eje Y 

x 0



Asíntota vertical: x  1

lim f x   ;

x 3  0  x  3  0  x  3  Punto  3, 0 x 1 3 y   3  Punto  0,  3 1

lim f x   

x 1

x 1

Asíntota horizontal: y  1

lim f x   1, con y  1

x  

lim f x   1, con y  1

x  



Puntos singulares:

f ' x  

x  1  x  3

x  1

2



x  1 x  3

x  1

2



4

x  12

0

No tiene puntos singulares. 

Gráfica:

19

Ejercicio nº 19.Dada la función:

f x  

3x x 3

estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.

Solución: 

Dominio  R {3}



Puntos de corte con los ejes:



Con el eje X 

y 0

Con el eje Y 

x 0

3x 0  x 0  x 3  y  0  Punto  0, 0 

Punto  0, 0

Asíntota vertical: x  3

lim

x 3 

3x  ; x 3

lim

x 3 

3x   x 3

Asíntota horizontal: y  3

lim f x   3, con y  3

x  

lim f x   3, con y  3

x  



Puntos singulares:

f ' x 

3x  3  3 x

x  3

2



3x  9  3x

x  3

2



9

x  32

0

No tiene puntos singulares. 

Gráfica:

20

Ejercicio nº 20.Estudia y representa la siguiente función:

f x  

3x x 2

Solución: 

Dominio  R {2}



Puntos de corte con los ejes:



Con el eje X 

y 0



Con el eje Y 

x 0



3x 0  x0  x 2 y  0  Punto  0, 0

Punto  0, 0

Asíntota vertical: x  2

lim f x   

;

x 2

lim f x   

x 2

Asíntota horizontal: y  3

lim

3x  3, con y  3 x2

lim

3x  3, con y  3 x2

x  

x  



Puntos singulares:

f ' x  

3x  2  3 x

x  2

2



3x  6  3x

x  2

2



6

x  2  2

0

No tiene puntos singulares. 

Gráfica:

21

Ejercicio nº 21.Estudia y representa la siguiente función:

f x  

x3 x 2

Solución: 

Dominio  R {2}



Puntos de corte con los ejes:



Con el eje X 

y 0



Con el eje Y 

x 0



x3 0 x 2

y 0





x0



Punto  0, 0

Punto  0, 0

Asíntota vertical: x  2

lim f x   ;

lim f x   

x 2 

x 2 

Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el grado del denominador.

lim f x   ;

lim f x   

x 



Puntos singulares

f ' x  

3 x 2 x  2   x 3

f ' x   0



x 

x  2 2





3x 3  6x 2  x 3

x  22

x  0   2x 2 x  3  0     x  0



2x 3  6 x 2

x  22



2x 2 x  3

x  22

 Punto

 0, 0

 Punto

3, 27

Gráfica:

22

Ejercicio nº 22.Dada la función:

f x  

x3 2 x

estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.

Solución: 

Dominio  R {0}



Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X 

y 0



x3  2  0  x3  2  0 x



 Punto  1, 3; 0

 x  3 2  1, 3

Con el eje Y  No corta al eje Y, pues x  0 no pertenece al dominio. 

Asíntota vertical: x  0

lim f x   ;

lim f x   

x 0 



x 0 

Rama parabólica pues el grado del numerador es de dos unidades mayor que el del denominador.

lim f x   ;

lim f x   

x 



Puntos singulares:

f ' x  



3x 2 x  x 3  2

f ' x   0 

x 

x



2



  3x



2 x3  1  0

3

 x3  2 x

2





2x 3  2 x

x3  1  0

2









2 x3  1 x

2

x 3  1 

x  3  1  1 

Punto  1, 3

Gráfica:

23

Ejercicio nº 23.Representa gráficamente la siguiente función, estudiando los aspectos que consideres más relevantes:

f x  

x3  2 x

Solución: 

Dominio  R {0}



Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X  y  0



x3  2 0 x



x3  2  0



 Punto  1, 3; 0

 x  3  2  1, 3

Con el eje Y  No corta el eje Y, pues x  0 no está en el dominio. 

Asíntota vertical: x  0

lim f x   ;

lim f x   

x 0 

x 0 

Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador.

lim f x   ;

lim f x   

x 



Puntos singulares:

f ' x  



  3x

3





3x 2  x  x 3  2

f ' x   0 

x 

x 

2



2 x3 1  0

 x3  2 x

2



2x 3  2

x3 1  0

x

2









2 x3 1

x

x 3

2

11



Punto  1, 3 

Gráfica:

24

Ejercicio nº 24.Estudia y representa la función:

f x  

x3 x 2

Solución: 

Dominio  R { 2}



Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X  y  0



x3 0 x2

 x 0



y 0

Con el eje Y 

lim f x   ;

lim f x   

Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador.

lim f x   ;

lim f x   

x 

Puntos singulares:

f ' x  

3 x 2 x  2   x 3

f ' x   0



 Punto  0, 0

x 2 

x 



 Punto  0, 0

x0

Asíntota vertical: x  2 x 2 





x  2 2





3x 3  6x 2  x 3

2x 2 x  3  0

x  22

x0       x  3



2x 3  6 x 2

x  22



2x 2 x  3

x  22

 Punto

 0, 0

 Punto

 3, 27

Gráfica:

25

Ejercicio nº 25.Estudia y representa la siguiente función:

f x  

x4 1 x

Solución: 

Dominio  R {0}



Puntos de corte con los ejes:



Con el eje X

y 0

x4 1  0  x4 1 0 x  Puntos  1, 0 y 1, 0





x   4 1  1

Con el eje Y  No corta al eje Y, pues x  0 no está en el dominio. 

Asíntota vertical: x  0

lim f x   ;

lim f x   

x 0 

x 0 

Rama parabólica pues el grado del numerador es tres unidades mayor que el del denominador.

lim f x   ;

lim f x   

x 



x 

Puntos singulares:

f ' x  



  4x

4x 3 x  x 4  1 x

2

4

 x4 1 x

2



3x 4  1 x2

0

No tiene puntos singulares. 

Gráfica:

26

Ejercicio nº 26.Dada la función

f x  

2x 2  1 x2

estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.

Solución: 

Dominio  R {0}



Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X 

y 0

 2x 2  1  0

 No corta al eje X .

Con el eje Y  No corta al eje Y, pues x  0 no pertenece al dominio. 

Asíntota vertical: x  0

lim f x   ;

lim f x   

x 0 



x 0 

Asíntota horizontal: x  2

lim f x   2, con y  2

x  

lim f x   2, con y  2

x  



Puntos singulares:

f ' x  





4 x  x 2  2x 2  1  2x

x 

2 2



4 x 3  4 x 3  2x x

4



 2x x

4



2 x3

0

No tiene puntos singulares. 

Gráfica:

27

Ejercicio nº 27.Estudia y representa la siguiente función:

2x 2 x2  4

f x  

Solución: 

Dominio  R {2, 2}



Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X 

Con el eje Y  

y 0

x 0





2x 2  0  2x 2  0  x  0 x2  4 y  0  Punto  0, 0

 Punto  0, 0

Asíntotas verticales: x  2, x  2

lim f x   ;

lim f x   

x  2 

x  2 

lim f x   ;

lim f x   

x 2 

x 2 

Asíntota horizontal: y  2

lim f x   2, con y  2

x  

lim f x   2, con y  2

x  



Puntos singulares:

f ' x  

f ' x   0 





4 x x 2  4  2x 2  2x



x

2

4



2

 16x  0





4 x 3  16x  4 x 3

x

2

x0

4 



2



x

 16x 2

4



2

Punto  0, 0 

Gráfica:

28

Ejercicio nº 28.Estudia y representa la función:

f x  

x2 x2 1

Solución: 

Dominio  R {1, 1}



Puntos de corte con los ejes:

Con el eje Y  Con el eje X  

x 0 y 0

 

y 0 x

2

x 1 2

 0

Punto  0, 0 

x 0



Punto  0, 0

Asíntotas verticales: x  1, x  1

lim f x   ;

lim f x   

x  1

x  1

lim f x   ;

lim f x   

x 1

x 1

Asíntota horizontal: y  1

lim f x   1, con y  1

x  

lim f 

x  



  1,

Puntos singulares:

f ' x  





2x x 2  1  x 2  2x

f ' x   0 

con y  1

x



2



1

2

 2x  0





2x 3  2x  2x 3

x

2

x0



1

2





x

 2x 2



1

2

Punto  0, 0 

Gráfica:

29

Ejercicio nº 29.Estudia y representa la siguiente función:

f x  

x2  4 x2 1

Solución: 

Dominio  R {1, 1}



Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X 

Con el eje Y 



y 0

x2  4  0  x2  4  0 x2 1  Puntos  2, 0 y  2, 0

x 0





y 4



x  2



Punto  0, 4



Asíntotas verticales: x  1, x  1

lim f x   ;

lim f x   

x  1

x  1

lim f x   ;

lim f x   

x 1

x 1

Asíntota horizontal: y  1

lim f x   10, con y  1

x  

lim f x   1, con y  1

x  



Puntos singulares:

f ' x  



 



2x x 2  1  x 2  4  2x

x

2



1

2



2x 3  2x  2x 3  8 x

x

2



1

2



x

6x 2



1

2

f ' x   0  6 x  0  x  0  Punto  0, 4 

Gráfica:

30

Ejercicio nº 30.Representa gráficamente la siguiente función, estudiando previamente los aspectos que consideres más relevantes:

f x  

x2 x2 1

Solución: 

Dominio  R



Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X 

Con el eje Y  

y 0

x 0





x2 0  x0  x2 1 y  0  Punto  0, 0

Punto  0, 0

No tiene asíntotas verticales. Asíntota horizontal: y  1

lim f x   1, con y  1

x  

lim f x   1, con y  1

x  



Puntos singulares:

f ' x  

f ' x   0 





2x x 2  1  x 2  2x

x



2



1

2

2x  0





2x 3  2x  2x 3

x

x0

2



1 

2



x

2x 2



1

2

Punto  0, 0 

Gráfica:

31

Ejercicio nº 31.Estudia y representa la siguiente función:

f x  

x3 x2 1

Solución: 

Dominio  R



Puntos de corte con los ejes:



Con el eje X 

y 0



Con el eje Y 

x 0



x3 0  x0  x2 1 y  0  Punto  0, 0

Punto  0, 0

Asíntotas verticales: No tiene Asíntota oblicua:

x3 x 1 2

x

x



x2 1

x 0 x2 1 x Si x  , 0 x2 1 Puntos singulares: Si x  ,



f ' x  



 La curva está por debajode la asíntota.  La curva está por encimade la asíntota.

3 x 2  x 2  1  x 3  2x

f ' x   0 



y  x es asíntota oblicua .



x

2



1



2



x2 x2  3  0



3 x 4  3 x 2  2x 4

x



2



1

x0

2





x 4  3x 2

x

2



1

2





x2 x2  3

x

2



1



2

Punto  0, 0 

Gráfica:

32

Ejercicio nº 32.Dada la función

f x  

x3  4 x2 ,

estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.

Solución: 

Dominio  R {0}



Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X 

y 0



x3  4 0 x2



x  3  4  1, 6



x3  4  0 



Punto  1, 6 ; 0

Con el eje Y  No corta el eje Y, pues x  0 no está en el dominio. 

Asíntota vertical: x  0

lim f x   ;

lim f x   

x 0 

x 0 

Asíntota oblicua:

x3  4



x

4

 y  x es asíntota oblicua. x2 4 Si x  ,  0  La curva está por encimade la asíntota. x2 4 Si x  ,  0  La curva está por encimade la asíntota. x2 Puntos singulares: x

2

33

f ' x  

f ' x   0 





3 x 2  x 2  x 3  4  2x

x 



2 2



x3  8  0



3 x 4  2x 4  8 x x4 x3  8



x 4  8x



x

x4

3



8 2



x x3  8 x4



 x

3

8

x3

Punto  2, 3 

Gráfica:

Ejercicio nº 33.Estudia y representa la función:

f x  

x3 x  2x  1 2

Solución: 

Dominio:

x 2  2x  1  0



x

2

44 2

Dominio  R {} 

2  1 2

Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X 

Con el eje Y  



y 0

x 0





x3  0  x3  0 2 x  2x  1 y  0  Punto  0, 0



x0



Punto  0, 0

Asíntota vertical: x  1

x3 x3  ; x  2x  1 x  12 2

lim f x   ;

x  1

Asíntota oblicua: x3 3x  2  x 2 2  2 x  2x  1 x  2x  1

3x  2 0 x 2  2x  1 3x  2 Si x   , 0 2 x  2x  1

Si x   ,

lim f x   

x  1

y  x  2 es asíntota oblicua .

 La curva está por encimade la asíntota.  La curva está por debajode la asíntota.

34



Puntos singulares:

f ' x  







3 x 2 x 2  2 x  1  x 3 2 x  2

x

2

x 4  4x 3  3x 2

x

2



 2x  1



 2x  1

2



2

3 x 4  6 x 3  3 x 2  2x 4  2x 3





x

x 2 x 2  4x  3

x

2



 2x  1

2



 2x  1

2





2

 x 2  0  x  0  Punto  0, 0    4  16  12  4  2 f ' x   0  2  x  4 x  3  0  x  2 2  

 x  3     x  1

x  1 no vale, pues no está en el dominio.

 27   Punto   3, . 4   

Gráfica:

Ejercicio nº 34.Estudia y representa la función:

f x  

x3 x 2  2x  1

Solución: 

Dominio:

x 2  2x  1  0



x

2

Dominio  R {} 

44 2



2  1 2

Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X 

Con el eje Y 

y 0

x 0





x3  0  x3  0 x  2x  1 y  0  Punto  0, 0 2



x0



Punto  0, 0

35



Asíntota vertical: x  1

x3 x3  ; x 2  2x  1 x  12

lim f x   ;

x  1

Asíntota oblicua: x3 3x  2  x 2 2  2 x  2x  1 x  2x  1

3x  2 0 x  2x  1 3x  2 Si x   , 0 2 x  2x  1

Si x   ,



lim f x   

x  1

y  x  2 es asíntota oblicua .

 La curva está por encimade la asíntota.

2

 La curva está por debajode la asíntota.

Puntos singulares:

f ' x  







3 x 2 x 2  2 x  1  x 3 2 x  2

x

2

x 4  4x 3  3x 2

x

2



 2x  1



 2x  1

2



2



3 x 4  6 x 3  3 x 2  2x 4  2x 3



x

x 2 x 2  4x  3

x

2



 2x  1

2



 2x  1

2





2

 x 2  0  x  0  Punto  0, 0    4  16  12  4  2 f ' x   0  2  x  4 x  3  0  x  2 2  

 x  3     x  1

x  1 no vale, pues no está en el dominio.

 27   Punto   3, . 4   

Gráfica:

Ejercicio nº 35.Representa gráficamente la siguiente función, estudiando previamente los aspectos que consideres más relevantes:

f x  

2x 3 x2  2

36

Solución:  

Dominio  R Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X 

y 0

Con el eje Y  

2x 3 0 x2  2  y 0 



x 0



x 0



Punto 0, 0

Punto  0, 0

Asíntotas verticales: No tiene. Asíntota oblicua:

2x 3

 2x 

x 2 2

 4x



x2  2

y  2x es asíntota oblicua.

4 x  0  La curva está por debajode la asíntota. x2  2 4 x Si x   ,  0  La curva está por encimade la asíntota. x2  2 Si x   ,



Puntos singulares:

f ' x  

f ' x   0 





6 x 2 x 2  2  2x 3  2x



x

2

2





2





2x 2 x 2  6  0

6 x 4  12x 2  4 x 4

x



2

2

x 0



2





2x 4  12x 2

x

2

2



2





2x 2 x 2  6

x

2

2





2

Punto  0, 0

Gráfica:

Ejercicio nº 36.Representa gráficamente la siguiente función, estudiando previamente los aspectos que consideres más relevantes:

f x  

x4  4 x2 1

37

Solución: 

Dominio  R {1, 1}



Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X 

y 0

x4  4  0



x   4 4  1, 4 

 Puntos 1, 4; 0 y  1, 4; 0 x  0  y  4  Punto  0, 4

Con el eje Y  



Asíntotas verticales: x  1, x  1

lim f x   ;

lim f x   

x  1

x  1

lim f x   ;

lim f x   

x 1

x 1

Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador.

lim f x   

x 



lim f x   

;

x 

Puntos singulares:

f ' x  





 



4 x 3 x 2  1  x 4  4  2x

x

2



1

2x 5  4 x 3  8 x

x

2



1

2

2







4 x 5  4 x 3  2x 5  8 x

x

2x x 4  2x 2  4

x

2



1

2



1

2





2

2x  0  x  0  Punto  0, 4  f ' x   0   4 2 2 2 2 x  2x  4  0  x  z; z  2z  4  0 ; z   No tiene solución 

4  16 2

Gráfica:

38

Ejercicio nº 37.Estudia y representa la función:

f x  

x4 1 x2

Solución:  

Dominio  R {0} Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X 

y 0



x4 1 0

 no corta al eje X

Con el eje Y  No corta al eje Y, pues x  0 no está en el dominio. 

Asíntota vertical: x  0

lim f x   ;

lim f x   

x 0 

x 0 

Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador.

lim f x   ;

lim f x   

x 



x 

Puntos singulares:

f ' x  





4 x 3  x 2  x 4  1  2x

x 

2 2





4 x 5  2x 5  2x x

4



2x 5  2x x

4





  2x

2x x 4  1 x

4

4

x



1

3



f ' x   0  2 x 4  1  0  x 4  1  0  x 4  1  x   4 1   1  Puntos 1, 2 y  1, 2 

Gráfica:

39

Ejercicio nº 38.Estudia y representa la función:

f x  

x4 x2 1

Solución: 

Dominio = R



Puntos de corte con los ejes:



Con el eje X 

y 0



x4  0

Con el eje Y 

x 0



y 0

lim f x   ;



Punto  0, 0

Punto  0, 0

lim f x   

x 

Puntos singulares:

f x  





4 x 3 x 2  1  x 4  2x

f ' x   0 



x 0

Asíntotas verticales: No tiene. Rama parabólica  pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador .

x 





x

2



1

2







4 x 5  4 x 3  2x 5

 2x 3 x 2  2  0

x



2



1

2

x 0





2x 5  4 x 3

x

2



1

2





2x 3 x 2  2

x

2



1



2

Punto  0, 0

Gráfica

Ejercicio nº 39.Dada la función

f x  

x 4  2x 2  1 x2

estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.

40

Solución: 

Dominio  R {0}



Puntos de corte con los ejes:

Con el eje X 

y 0



Si x 2  z

x 4  2x 2  1  0

 z 2  2z  1  0

x2  1 

x  1



z

2

44 2

Puntos 1, 0 y  1, 0





2 1 2

Con el eje Y  No corta el eje Y porque x  0, no está en el dominio. 

Asíntota vertical: x  0

lim f x   ;

lim f x   

x 0 

x 0 

Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador.

lim f x   ;

lim f x   

x 



Puntos singulares: f ' x  





3 x 2 x 2  2 x  1  x 3 2 x  2



x

2

x

2



 2x  1







 2x  1

x 4  4x 3  3x 2

f ' x   0 

x 

2





2



3 x 4  6 x 3  3 x 2  2x 4  2x 3



x

x 2 x 2  4x  3

2 x4 1  0

x

2





 2x  1

2



 2x  1

2





2

x4  1 

x   4 1  1

 Puntos 1, 0 y  1, 0

Gráfica:

41

Ejercicio nº 40.Estudia y representa la siguiente función:

2x 5 x2 1

f x  

Solución: 

Dominio = R



Puntos de corte con los ejes:



Con el eje X 

x 0

 2x 2  0

Con el eje Y 

x 0



y 0

Punto  0, 0





Punto  0, 0

Asíntotas verticales: No tiene. Rama parabólica (pues el grado del numerador es tres unidades mayor que el del denominador).

lim f x   ;

lim f x   

x 



Puntos singulares:

f ' x  





10x 4 x 2  1  2x 5  2x

f ' x   0 

x 

x

2



1



2





 2x 4 3 x 2  5  0

10x 6  10x 4  4 6

x



2



1

x 0

2





6 x 6  10x 4

x

2



1

2





2x 4 3 x 2  5

x

2



1



2

Punto  0, 0

Gráfica:

42