II Encuentro Internacional De Meta-Matem´ aticas, Cursillo 1.

Resoluci´on de Problemas sobre el Plano Reticular Jos´e Luis Ram´ırez Ram´ırez Grupo YAGLOM Escuela de Matem´aticas Universidad Sergio Arboleda [email protected] Resumen El objetivo de este cursillo es introducir una serie de problemas relacionados con el plano reticular, con el fin de consolidar una nueva teor´ıa de “Matem´ atica elemental”, la cual pueda ser estudiada con los ni˜ nos y ni˜ nas del proyecto de Talentos en Matem´ aticas de la Universidad Sergio Arboleda.

1.

Introducci´ on

El proyecto de Talentos en Matem´ aticas naci´ o hace 10 a˜ nos, bajo la direcci´on del profesor Jes´ us Hernando P´erez “Pelusa” por la necesidad de crear un espacio para que los ni˜ nos y ni˜ nas con talento para las matem´aticas, pudieran desarrollar, enfocar y fortalecer sus habilidades. Desde ese entonces, el proyecto ha atendido a m´ as de 1200 estudiantes de los colegios p´ ublicos y privados, bajo la modalidad del estudio de teor´ıas de “Matem´ atica Elemental”, en un ambiente universitario. Actualmente el proyecto desarrolla sus investigaciones en el marco del Grupo YAGLOM. La palabra “elemental” es la que gu´ıa todo el trabajo de nuestro grupo y por ello este se llama Grupo Yaglom. Isaac Yaglom fue uno de los grandes animadores del programa Olimpiadas Matem´aticas que en la actualidad tiene ya una cobertura mundial. En un congreso celebrado en homenaje a otro de los grandes de la matem´atica elemental Yaglom present´ o un trabajo cuyo t´ıtulo es bien atractivo: “La Geometr´ıa Elemental Hoy”; en este art´ıculo Yaglom ofrece la siguiente propuesta de definici´on: “Matem´ atica elemental es aquella que se construye trabajando con estudiantes y profesores de las escuelas y colegios”. Esta se caracteriza por los siguientes aspectos, [11] y [12]: En el trabajo elemental hay construcci´ on de conocimiento matem´atico, bien sea conocimiento ya conocido o completamente in´edito. La matem´atica elemental, como toda disciplina acad´emica, se construye en equipo. En los equipos de matem´atica elemental suelen participar por lo menos, dos tipos de personas, en primer lugar, estudiantes de las escuelas o colegios o personas sin formaci´on matem´atica de nivel universitario; y matem´ aticos profesionales en ejercicio. Conviene tambi´en que participen algunos de los profesores de los estudiantes del equipo. Como ya se ha mencionado, el prop´osito fundamental de nuestro grupo es lograr que los estudiantes o las personas sin formaci´ on en matem´aticas de nivel universitario desarrollen su creatividad matem´atica con las actividades que se les proponen. El equipo Yaglom se re´ une una vez a la semana para organizar teor´ıas “elementales” y uno o varios de sus miembros trabajan, con estas teor´ıas o con parte de ellas, en sesiones de cinco horas semanales con grupos de ni˜ nos de edades similares, procurando que ellos o algunos de ellos encuentren regularidades, formulen conjeturas, propongan ejemplos y contraejemplos, formulen argumentos, etc. A continuaci´ on mostramos unos primeros bosquejos por desarrollar una “nueva” teor´ıa de matem´atica elemental. 1

2.

El Plano Reticular

Definici´ on 2.1. Un punto P de coordenadas (x, y) se llama reticular si x, y son n´ umeros enteros, es decir, si x, y ∈ Z. Lo notaremos como P (x, y) o simplemente P o (x, y).

y F

4

A

B

3

Definici´ on 2.2. Un plano reticular es el conjunto de puntos del plano cartesiano que son reticulares.

2

D

1

Ejemplo 2.3. Los puntos A, B, C, D, E, F y O de la figura 1 son puntos reticulares. El punto (0, 0) se denotar´ a con la letra O.

x

O −2

−1

1

2

3

4

−1

Definici´ on 2.4. Sea P (x, y) un punto reticular, entonces el grado de P , denotado por ∂(P ), es la cantidad de puntos reticulares que se encuentran en el segmento con extremos en O y P , sin contar el origen. Adem´ as, se define ∂(O) = 0.

E−2

C

Figura 1: Puntos reticulares, Ejemplo 2.3.

Ejemplo 2.5. Los puntos del ejemplo 2.3 tienen ∂(A) = 1, ∂(B) = 2, ∂(C) = 2, ∂(D) = 1, ∂(E) = 1, ∂(F ) = 4 y ∂(O) = 0.

los

siguientes

grados:

Definici´ on 2.6. Un punto reticular P es un punto visible, si en el segmento con extremos en O y P no existen puntos enteros, salvo los extremos. De lo contrario se dice que el punto P es un punto oculto. Por definici´ on O es visible. Ejemplo 2.7. Los puntos A, D, E y O del ejemplo 2.3 son visibles y los puntos B, C y F son ocultos. Sesi´ on de Problemas 1 1. Calcule el grado de los siguientes puntos. ¿Cu´ ales son visibles y cu´ ales ocultos?. y

A

G

12

M

10 8 E

L

C

6 4 2

F

−16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 −2 H

2

4

6

8

10

N

14

16

D

−6 −8

12

K

−4 B

x

J

I

−10

Figura 2: Plano Reticular, Ejercicio 1. 2. Si un punto es visible, ¿qu´e se puede decir acerca de su grado?. An´ alogamente, si un punto es oculto, ¿qu´e se puede decir acerca de su grado?.

3. Complete la siguiente tabla con la informaci´on pedida. Punto A B C D E F G H I J K L M

∂(P )

Coordenada x

Coordenada y

Cuadro 1: Tabla, Ejercicio 3. Si P (x, y) un punto reticular tal que ∂(P ) = n, ¿qu´e relaci´on hay entre n y x, n y y?. Si el punto P (x, y) es visible ¿qu´e relaci´on hay entre x y y?. Existe otra relaci´on ¿cu´ al?.

4. Definimos la potencia n de un punto reticular P (x, y) como P n (xn , y n ). Considere el punto reticular P (2, 3). Calcule el grado de P, P 2 , P 3 y P 100 . ¿Qu´e puede decir acerca del grado de P n ?.

5. Si P es un punto oculto, ¿qu´e puede concluir de ∂(P n )?. Escriba una conjetura.

6. Si el punto P es visible, ¿la conjetura del ejercicio anterior sigue siendo valida?.

7. ¿Qu´e relaci´on hay entre ∂(P (x, y)) y el m´aximo com´ un denominador de x y y?.

8. Utilice el anterior ejercicio para calcular el m´ aximo com´ un denominador de los n´ umeros 12 y 8. Escriba en general un algoritmo para calcular el m´aximo com´ un divisor con el anterior m´etodo.

3.

Puntos Reticulares de Fibonacci

Los n´ umeros de Fibonacci, descubiertos por Leonardo Fibonacci (1170-1240) se definen por la siguientes condiciones: F1 = 1, F2 = 1 y, Fn+1 = Fn + Fn−1 para n ≥ 2. Por ejemplo F3 = F2 + F1 = 2. umero de Fibonacci y Un punto P es Reticular de Fibonacci si P (Fn , Fm ) donde Fn y Fm son el n-´esimo n´ m-´esimo numero de Fibonacci respectivamente. Sesi´ on de Problemas 2 1. Calcular los n´ umeros de Fibonacci F4 , F5 , F6 y F7 . 2. ¿Cu´ ales de los puntos de la figura 3 son puntos reticulares de Fibonacci?. 9

y C

8

F

7

L

6

E

5

I B

3 1

K

A

4 2

G

J

D

M 1

H

x 2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Figura 3: Plano reticular (N´ umeros de Fibonacci.)

3. Grafique los puntos P (F1 , F2 ), P (F2 , F3 ), P (F3 , F4 ) y P (F4 , F5 ) y calcule sus grados. En general ¿qu´e puede concluir sobre el grado de P (Fn , Fn+1 )?. Escriba una conjetura.

4. ¿Qu´e relaci´on hay entre el grado de un punto Q de coordenadas (n, m) y el grado del punto de Fibonacci P (Fn , Fm )?.

4.

´ Area de Pol´ıgonos Reticulares

Se denotar´a por I y B el n´ umero de puntos reticulares que est´ an en el interior del pol´ıgono y en la frontera del ret´ıculo, respectivamente. Ejemplo 4.1. El pol´ıgono reticular del cuadro 2-a) tiene 20 puntos reticulares en el interior y 10 puntos reticulares en la frontera, es decir I = 20 y B = 2. Adem´ as, el ´ area es 24, una forma de calcular su ´ area es descomponiendo el pol´ıgono en figuras m´ as sencillas, como por ejemplo se muestra en el cuadro 2 -b). Entonces A(T1 ) = 3,5, A(T2 ) = 2, A(T3 ) = 2, A(C1 ) = 4, A(T4 ) = 1, A(T5 ) = 3, A(T6 ) = 2, A(T7 ) = 6,5. as´ı el ´ area es 24.

I

a)

6 5

H A

−4

y

I

b)

G

B

2

C

1

A

E

−2

−1 −1

1

T2 B

2

D

3

T3

4 C1 3

−4

−3

G

1

−2

T4 T5

2

T6

C

x

−3

H

4

F

y

5

T1

3

6

F

E T7

−1 −1

x 1

2

D

3

´ Cuadro 2: Area Pol´ıgono reticular ABCDEF GHI. Sesi´ on de Problemas 3 1. Para cada uno de los pol´ıgonos reticulares del cuadro 3, encuentre I, B y su a´rea. 2. ¿Qu´e relaci´on hay entre el a´rea del pol´ıgono y los valores I y B?. Escriba una conjetura.

3. A continuaci´ on se ilustra lo que es y tambi´en lo que no es un Tri´angulo Primitivo. a) Observe las figuras y escriba las caracter´ısticas esenciales de un tri´ angulo primitivo. Tri´ angulos Primitivos

No Tri´angulos Primitivos

Figura 4: Tri´ angulos Primitivos y No Primitivos.

b) P´ıdale a una persona que dibuje un Tri´angulo Primitivo a partir de las caracter´ısticas del punto anterior. Compare la figura resultante con la descripci´on dada y transforme sus caracter´ısticas si es necesario para asegurar que la representaci´ on sea la figura definida.

Pol´ıgono 1 A

Pol´ıgono 2 E

D

L K

F

J G B

H

C

´ B= Area= Pol´ıgono 3

I=

I

´ B= Area= Pol´ıgono 4

I=

Q

M

S R T

P O

N

W

´ B= Area= Pol´ıgono 5

I=

V

G

U

´ B= Area= Pol´ıgono 6

I=

Z

L

F

J K

A

E

H

C

I=

B=

´ Area=

D

B

I

I=

B=

´ Area=

´ Cuadro 3: Area pol´ıgonos reticulares, Ejercicio 1. 4. Encuentre el a´rea de cada uno de los Tri´angulos Primitivos de la figura del ejercicio 3. Escriba una conjetura.

5. ¿Es posible construir un pol´ıgono reticular de ´area 1/2 que no sea un tri´angulo?. Justifique su respuesta.

I

6

y G

5

H A

6. Un pol´ıgono se puede triangularizar si se puede dividir en tri´ angulos por medio de diagonales que no se cortan, que son interiores al pol´ıgono y cuyos extremos son v´ertices del pol´ıgono. El pol´ıgono ABCDEF GHI de la figura 5 est´a triangularizado en 7 tri´angulos.

F

3 2

B

−4

E

1

C

Triangularice los pol´ıgonos de la figura 6 en tri´angulos primitivos. ¿Es u ´ nica esta triangularizaci´ on?.

4

x

−3

−2

−1 −1

1

2

D

3

Figura 5: Una triangularizaci´ on del pol´ıgono ABCDEF GHI. Pol´ıgono 2

Pol´ıgono 1 A

E

L

M

D

K

F J B

G I

C H

Pol´ıgono 3

Pol´ıgono 4 N

W

V

C

O

B U

P

T

Z

Q S

R

A

Figura 6: Pol´ıgonos para triangularizar 7. Dado un pol´ıgono reticular, denotaremos por I y B al n´ umero de puntos reticulares que est´ an en el interior del pol´ıgono y en la frontera del ret´ıculo, respectivamente. Complete la siguiente tabla con la informaci´on que se pide. ¿Qu´e relaci´ on hay entre el N´ umero de Tri´ angulos Primitivos y los valores I y B? Escriba una conjetura. Si es necesario realice m´as ejemplos.

Pol´ıgono (Ejercicio 1).

N´ umero de Primitivos.

Tri´ angulos

I

B

Pol´ıgono 1 Pol´ıgono 2 Pol´ıgono 3 Pol´ıgono 4 Pol´ıgono 5

8. Utilizando las propiedades de los tri´ angulos primitivos justifique la conjetura del ejercicio 2.

5.

Algunas Aplicaciones

En la secci´ on anterior se estudio una propiedad muy interesante acerca del a´rea de los pol´ıgonos reticulares, conocido como el Teorema de Pick, esta afirma lo siguiente: Teorema 5.1 (Teorema de Pick). El ´ area de todo pol´ıgono reticular es P=I+

B −1 2

donde I es el n´ umero de puntos reticulares interiores y B es el n´ umero de puntos reticulares sobre la frontera del pol´ıgono. En los siguientes ejercicios se estudiaran algunas aplicaciones del Teorema de Pick en la geometr´ıa. Sesi´ on de Problemas 4 1. En el plano reticular de la figura 7 construya un pol´ıgono regular reticular. ¿Cu´ antos pol´ıgonos regulares reticulares diferentes puede construir? Escriba una conjetura.

Figura 7: Plano Reticular, Ejercicio 1

2. A partir del ejercicio anterior ¿es posible construir un tri´angulo equil´atero reticular?. Justifique su respuesta (Sugerencia: Calcule el a´rea del tri´angulo equil´atero de dos formas diferentes).

3. ¿Qu´e pasa si el pol´ıgono regular tiene cinco o m´ as lados?, ¿Es posible construirlo?. Escriba una conjetura.

4. Utilice el Teorema de Pick y el siguiente teorema para justificar la conjetura del punto anterior: Teorema 5.2. tan (π/n) con n ≥ 3 es racional si y s´ olo si n = 4.

6.

1

Teorema de Pick con Agujeros

En este apartado se generalizar´ a el Teorema de Pick para pol´ıgononos con agujeros en el interior. Definici´ on 6.1. Sea R un pol´ıgono reticular, un agujero de R es un pol´ıgono contenido en R, sin puntos de frontera en com´ un. Ejemplo 6.2. El pol´ıgono de la figura 8 tiene 3 agujeros.

Figura 8: Pol´ıgono Reticular con Agujeros Ejercicios 1. Para cada uno de los pol´ıgonos reticulares con agujeros del cuadro 4, encuentre I, B, n, (n es el n´ umero de agujeros) y su ´area. 1 Para

su demostraci´ on ver [10].

Pol´ıgono 1

Pol´ıgono 2

A

D

E

L K

F

J

G C

B

´ B= Area= Pol´ıgono 3

I=

I

H

n=

´ B= Area= Pol´ıgono 4

I=

Q

M

n= S

R T

P O

N

W

´ B= Area= Pol´ıgono 5

I=

V

G

n=

U

´ B= Area= Pol´ıgono 6

I=

Z

L

n=

F

J K

A

E

H

C B

I

I=

B=

´ Area=

n=

I=

B=

´ Area=

D

x n=

´ Cuadro 4: Area Pol´ıgonos con Agujeros, Ejercicio 1. 2. ¿Qu´e relaci´on hay entre el a´rea del pol´ıgono y los valores I, B y n?. Escriba una conjetura.

3. Justifique la anterior conjetura utilizando inducci´ on matem´atica.

7.

Puntos Interiores de una Circunferencia

En esta secci´ on vamos a estudiar el n´ umero de puntos reticulares sobre una circunferencia, con centro en el umero lo vamos a denotar por C(r2 ). origen y radio r, (x2 + y 2 = r2 ). A dicho n´ Sesi´ on de Problemas 5 1. Complete la siguiente tabla a partir de la figura 9.

y 10

8

6

4

2

x

O −10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

10

−2

−4

−6

−8

−10

Figura 9: Puntos Reticulares en una Circunferencia, Ejercicio 1 r C(r2 )

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2. ¿Cu´ al es la cantidad m´ as peque˜ na de puntos reticulares que se pueden tener en la circunferencia x2 + y 2 = r2 ? Justificar la respuesta.

3. Todo entero positivo n se puede descomponer como producto de factores primos de la siguiente forma n = 2a pb11 pb22 · · · pbl l q1c1 q2c2 · · · qscs

(a ≥ 0, bi , cj ≥ 1)

donde los pi son primos de la forma 4k + 1 para alg´ un entero k ≥ 1 y los qj son primos de la forma 4n + 3 para alg´ un entero n ≥ 0. Por ejemplo: 872100 = 22 · 33 · 52 · 17 · 19 donde 3 = 4 · 0 + 3, 5 = 4 · 1 + 1, 17 = 4 · 4 + 1 y 19 = 4 · 4 + 3. Factorice los n´ umero 1170 y 3381 como en el ejemplo anterior y exprese cada primo ya sea de la forma 4k + 1 o 4k + 3.

4. Factorice los n´ umeros 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10, como en el ejercicio anterior. ¿Encuentras alguna relaci´on con el ejercicio 1?.

5. Sea r el radio de una circunferencia centrada en el origen, tal que r = 2a pb11 pb22 · · · pbl l q1c1 q2c2 · · · qscs ¿Qu´e se puede decir acerca de C(r2 )?.

Bibliograf´ıa [1] Bruckheimer, M. Arcavi, A. A Visual Approach to Some Elementary Number Theory, The Mathematical Gazette, Vol. 79, No. 486, pp. 471-478, 1995. [2] Connor, J. Robertson, E. The MacTutor History of Mathematics archive Aparece en: http: www.gapsystem.org/ history/Biographies/Pick.html. [3] Davis, T. Pick’s Theorem, Math-Circle, 2003. Aparece en http://www.geometer.org/mathcircles/pick.pdf. [4] Elduque, A. El Teorema de Pick, Departamento de Matem´aticas. Universidad de Zaragoza, 2007. Aparece en : http: www.unizar.es/matematicas/algebra/elduqe. [5] Funkenbusch, W. From Euler’s Formula to Pick’s Formula Usign and Edge Theorem, The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 6, pp. 647-648, 1974. [6] Gaskell, R.W., Klamkin, M.S., Watson, P. Triangulations and Pick’s Theorem, Mathematics Magazine, Vol. 49, No. 1, pp. 35-37, 1976. [7] Jara, P. Ruiz, C. El Teorema de Pick, ESTALMAT- Andalucia, Granada. 2008. Aparace en: http: www.ugr.es/local/anillos/textos/pick.htm. [8] Kolodziejczyka, K. Reayb, J. Polynomials and spatial Pick-type theorems, Expositiones Mathematicae, Vol. 26, No.1, pp 41-53, 2008. [9] Niven, I. Zuzckerman, H.S. Lattice Points and Polygonal Area, The American Mathematical Monthly, Vol. 74, No. 10, pp. 1195-1200, 1967. [10] O’Loughlin, D. The Scarcity of Regular Polygons on the Integer Lattice, Mathematics Magazine, Vol. 75, No. 1, pp. 47-51, 2002. [11] P´erez, J, et al. Cuatro Propuestas Did´ acticas en Matem´ aticas, Universidad Sergio Arboleda, Bogot´ a, 2005. [12] P´erez, J, et al. La Matem´ atica Elemental, por el grupo Yaglom, Universidad Sergio Arboleda, Bogot´a, 2010. [13] Ram´ırez, J. El Teorema de Pick y Redes de Puntos. MATerials MATematics, Publicaci´o Electronica de Divulgacio del Departament de Matematiques de la Universitat Autonoma de Barcelona. Vol. 2010, No. 5, 41 pp.