Resoluciones Celulares Umberto Mart´ınez Pe˜nas Trabajo de Fin de M´aster M´aster en Investigaci´on en Matem´aticas Tutor: Philippe T. Gimenez Universidad de Valladolid, 24 de junio de 2014

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´Indice Introducci´ on

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1. Ideales monomiales y multigraduaciones

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1.1. Multigraduaciones

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.2. Diagramas de Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Invariantes del ideal inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4. Ideales Borel-fixed

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5. Otras condiciones de tipo Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2. Complejos simpliciales y celulares

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2.1. Complejos simpliciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2. Complejos celulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3. La resoluci´on de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4. La resoluci´on de Eliahou-Kervaire . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3. Mapping Cones

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3.1. Planteamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2. La resoluci´on de Taylor v´ıa mapping cones . . . . . . . . . . . 64 3.3. La resoluci´on de Eliahou-Kervaire generalizada . . . . . . . . . 65 3.4. La resoluci´on de Eliahou-Kervaire es celular . . . . . . . . . . 73

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´INDICE

Introducci´ on Esta memoria se enmarca en la realizaci´on de un trabajo de fin de m´aster y tiene como objetivo estudiar ciertos aspectos de las resoluciones de ideales monomiales, centr´andonos en una t´ecnica que ha surgido recientemente, y que es la de estudiar dichas resoluciones desde un punto de vista topol´ogico combinatorio, que da lugar a las resoluciones celulares que aparecen en el t´ıtulo. Dentro de la teor´ıa de las sicigias graduadas, juegan un papel muy importante las resoluciones libres minimales graduadas de ideales monomiales en el anillo de polinomios. La importancia de su estudio fue remarcada por Kaplansky a principios de los a˜ nos sesenta, y ha recibido un fuerte impulso tras ciertas obras que han conectado dichas resoluciones con aspectos combinatorios, como son los libros de Stanley y de Bruns y Herzog ([BH]), aparte de los muchos art´ıculos recientes que han surgido en las u ´ltimas dos d´ecadas, y de los cuales trataremos algunos. Este trabajo constituye una continuaci´on natural del trabajo de fin de grado [Mar]. Tener dicho punto de partida nos permitir´a llegar en breve a resultados de actualidad, y que desarrollaremos en los tres cap´ıtulos. En el primer cap´ıtulo, tras introducir algunos conceptos que no aparec´ıan en [Mar], veremos la relaci´on que hay entre los invariantes de un ideal homog´eneo y su ideal inicial, y que dan otra motivaci´on para estudiar los ideales monomiales. Finalmente, daremos dos ejemplos de familias de ideales monomiales que son bien conocidos en la actualidad, pero que siguen en el punto de mira de la investigaci´on en este campo (como demuestran los art´ıculos [HT], [Mer], [DM] y [Goo]), y que son los ideales estables y estables libres de cuadrados, y de los que los ideales Borel-fixed son un caso particular en caracter´ıstica cero. En el segundo cap´ıtulo, introduciremos los conceptos combinatorios clave en relaci´on a las resoluciones celulares. In5

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´ INTRODUCCION

troduciremos los complejos simpliciales y los celulares, y veremos otras de sus aplicaciones, como la correspondencia de Stanley-Reisner. Finalmente, en el tercer cap´ıtulo, presentamos una t´ecnica que ha sido usada en topolog´ıa algebraica pr´acticamente desde sus comienzos, que es la de mapping cones, y que ha tenido un impulso en la teor´ıa de resoluciones monomiales en la actualidad gracias a varios art´ıculos recientes. En particular, presentamos dos art´ıculos, [HT] y [DM], en los que se da una resoluci´on que generaliza la de Eliahou-Kervaire, y que resulta ser celular.

Cap´ıtulo 1 Ideales monomiales y multigraduaciones Los ideales monomiales del anillo de polinomios S = k[x1 , . . . , xn ] jue´ gan un papel muy importante en Algebra Conmutativa. Esto es debido a varios hechos. Por un lado, a la estrecha relaci´on que hay entre un ideal I y su ideal inicial in(I), pues conocida la resoluci´on libre minimal graduada o algunos invariantes de uno de ellos, se pueden obtener ciertas propiedades para el otro (por ejemplo, cotas para los invariantes). Y por otro lado, recientemente se ha establecido una estrecha relaci´on entre los ideales monomiales y la combinatoria. Esta relaci´on comenz´o con el estudio de la correspondencia que hay entre ideales monomiales libres de cuadrados y complejos simpliciales, debido a Richard Stanley y Gerald Reisner en los a˜ nos setenta. Sin embargo, a finales de los a˜ nos noventa se dio una vuelta de tuerca m´as, y se inici´o el estudio de ideales monomiales a trav´es de complejos celulares, como veremos en el segundo cap´ıtulo. Por otro lado, muchos conceptos, como el de graduaci´ on, se especializan para el caso de ideales monomiales. En este cap´ıtulo estudiaremos varios resultados relativos a ideales monomiales y veremos algunas relaciones entre un ideal y su ideal inicial. Finalmente, veremos c´omo para cierta familia de ideales monomiales, los llamados ideales Borel-fixed (y m´as generalmente, los ideales estables), se conoce expl´ıcitamente su resoluci´on libre minimal graduada y, por tanto, todos sus invariantes. No daremos a´ un la prueba de que el complejo que introducimos es de hecho una resoluci´on (lo veremos en

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8 CAP´ITULO 1. IDEALES MONOMIALES Y MULTIGRADUACIONES el cap´ıtulo tercero), pero veremos cu´ales son sus consecuencias inmediatas. El punto de partida de este primer cap´ıtulo ser´a [Mar], donde aparecen la mayor´ıa de requisitos previos que necesitaremos para esta memoria. Por tanto, citaremos si es necesario, pero sin repetirlos, algunos de los resultados que ah´ı aparecen y que necesitemos. Por otro lado, varias referencias que incluyen los requisitos y muchos de los resultados de este cap´ıtulo son [Eis], [Pee] y [MS]. Notaci´ on. La notaci´on que usaremos a lo largo de toda la memoria ser´a la siguiente: N = {0, 1, 2, 3, . . .}, k ser´a un cuerpo, char(k) su caracter´ıstica, en principio arbitraria, S el anillo de polinomios k[x1 , . . . , xn ] (el contexto nos dir´a cual es n, el n´ umero de indeterminadas), a = (a1 , . . . , an ) los elementos de Nn , |a| = a1 + . . . + an , xa = xa11 · · · xann los monomios de S, P f = λa xa ser´a un polinomio gen´erico de S, m ser´a el ideal maximal homog´eneo de S, es decir, m = hx1 , . . . , xn i, y rank(M ) ser´a el rango de un R-m´odulo libre M , sobre el anillo R. Adem´as, normalmente los elementos de S m se escribir´an en negrita.

1.1.

Multigraduaciones

Como se ve al comienzo de [Mar], una propiedad importante del anillo de polinomios es que admite una graduaci´on natural, denominada graduaci´ on est´ andar. Dicha graduaci´on es la que surge al trabajar con polinomios homog´eneos, entre los cuales est´an los monomios. Sin embargo, para tratar ideales monomiales, es conveniente introducir una graduaci´on m´as refinada. Pero antes, veamos la definici´on general de graduaci´ on sobre un anillo, que

1.1. MULTIGRADUACIONES

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no es m´as que una generalizaci´on de [Mar, definici´on 1.1] (ver tambi´en [Eis, Section 1.5]). Definici´ on 1.1. Sean R un anillo y N un monoide conmutativo (es decir, un semigrupo conmutativo con elemento neutro). Diremos que R es graduado sobre N si existen subgrupos {Rm }m∈N de R tales que 1. R =

L

m∈N

Rm (como grupos), y

2. Rm Rm0 ⊂ Rm+m0 , ∀m, m0 ∈ N. An´alogamente, si M es un R-m´odulo, se dice que es graduado sobre N si existen subgrupos suyos {Mm }m∈N tales que 1. M =

L

m∈N

Mm (como grupos), y

2. Rm Mm0 ⊂ Mm+m0 , ∀m, m0 ∈ N. Rm y Mm se denominan componentes homog´ eneas m-´ esimas de R y M , respectivamente, y a sus elementos, f , elementos homog´ eneos o formas de grado m de R y M , respectivamente. P Si f ∈ R, se escribe de forma u ´nica como f = m fm con fm ∈ Rm y fm = 0 salvo para una cantidad finita. Decimos entonces que fm es la componente homog´ enea m-´esima de f . An´alogamente para m´odulos. Si denotamos por 0 al elemento neutro de N , vemos que de R0 R0 ⊂ R0 se deduce que R0 en realidad es un subanillo de R, y de R0 Rm ⊂ Rm se deduce que cada Rm es un R0 -m´odulo, y la suma directa es suma directa de R0 -m´odulos. An´alogamente para m´odulos. Tomando R = S y N = N, vemos que S es graduado sobre N utilizando la graduaci´on est´andar. Ahora consideremos N = Nn . Entonces, obtenemos una graduaci´ on de S sobre Nn dada por: Sa = {axa /a ∈ k} = hxa ik , o equivalentemente, dada por la asignaci´on de multigrados mdeg(xi ) = ei , donde ei es el vector i-´esimo est´andar de Nn . Esta graduaci´on de S se denomina multigraduaci´ on o Nn -graduaci´ on est´ andar.

10 CAP´ITULO 1. IDEALES MONOMIALES Y MULTIGRADUACIONES Observemos que los elementos homog´eneos de S para esta graduaci´on son precisamente los monomios, y mdeg(xa ) = a. Dado un S-m´odulo multigraduado M y a ∈ Nn , podemos definir igualmente la graduaci´on desplazada o trasladada (shifted) con desfase (shift) a, como M (−a) tal que M (−a)b = Mb−a , donde se define Mc = 0 si c ∈ Zn tiene alguna componente negativa. Es decir, los grados de M (−a) son los mismos que los de M , pero comenzando en grado a. Aunque no sea costumbre, por comodidad utilizaremos a veces una notaci´on monomial para denotar los multigrados. Es decir, en lugar de usar el monoide Nn , pasamos a usar el monoide formado por los monomios de S, {xa /a ∈ Nn }, junto con la operaci´on de multiplicaci´on. Con dicha notaci´on, escribiremos la graduaci´on trasladada como M (xa ) = M (−a). Por ejemplo, S(xa ) ⊕ S(xb ) = S(−a) ⊕ S(−b), y dir´ıamos que e1 tiene multigrado mdeg(e1 ) = xa . Por otro lado, se suele decir que esta Nn -graduaci´on es una graduaci´ on refinada de la est´andar, lo cual es debido a que M M Si = Sa y Mi = Ma . |a|=i

|a|=i

Pasemos ahora a ver c´omo muchos de los conceptos y resultados relativos a la graduaci´on de S sobre N se traducen a la multigraduaci´on. Por brevedad, tratamos conjuntamente el caso de ideales y m´odulos sobre S, y no damos las demostraciones debido a que son las mismas que aparecen en [Mar, Cap´ıtulo 1] para la graduaci´on sobre N. Proposici´ on 1.2. Sea N un subm´odulo de un S-m´odulo multigraduado M = L M . a Son equivalentes: a∈Nn 1. Si m ∈ N , entonces toda componente homog´enea de m est´a en N . L 2. N = a∈Nn Na (como grupos), donde Na = N ∩ Ma . 3. N est´a generado por sus elementos homog´eneos. A todo subm´odulo que cumpla estas propiedades se le denomina subm´ odulo multigraduado de M , y es un m´ o dulo multigraduado con la graduaci´ on L heredada de M , N = a∈Nn Na .

1.1. MULTIGRADUACIONES

11

Vemos, por tanto, que los ideales multigraduados de S son exactamente los ideales monomiales, y los subm´ odulos monomiales de S m (ver [Mar, definici´on 3.8]) son multigraduados, con la graduaci´on dada por mdeg(xa ei ) = a, pero hay subm´odulos multigraduados que no son monomiales. Tambi´en observamos que todo cociente M/N , donde M y N son ambos multigraduados, vuelve a heredar de forma natural una multigraduaci´on (ver [Mar, proposici´on 1.14]). Se definen igualmente los homomorfismos multigraduados, los complejos multigraduados y las resoluciones multigraduadas (ver [Mar, 1.15, 1.25 y 1.32]). Observamos igualmente que n´ ucleos, im´agenes y con´ ucleos de homomorfismos multigraduados son de nuevo m´odulos multigraduados (ver [Mar, proposici´on 1.16]). Se obtiene de nuevo que todo m´odulo multigraduado admite una resoluci´ on libre minimal multigraduada, es decir, una resoluci´on libre multigraduada que verifica que di+1 (Fi+1 ) ⊂ mFi , para i ≥ 0, donde Fi son los m´odulos libres de la resoluci´on y di , las diferenciales. La construcci´on funciona igual debido a que tenemos un lema de Nakayama multigraduado, donde observamos de nuevo que el ideal m = hx1 , . . . , xn i es multigraduado y todo ideal propio multigraduado est´a contenido en ´el. Lema 1.3 (de Nakayama multigraduado). Sean J un ideal propio multigraduado de S y M un S-m´odulo multigraduado. Se cumple que: 1. Si M = JM , entonces M = 0. 2. Si M = JM + N , donde N es un subm´odulo multigraduado de M , entonces M = N . Demostraci´on. Igual que en el caso graduado, basta ver 1, pues para 2 tomamos M/N . La prueba es esencialmente la misma que para el caso graduado, pero ahora necesitamos considerar un orden monomial < en S, que es un orden en el conjunto de multigrados. Si M 6= 0, tomamos m un generador homog´eneo de multigrado m´ınimo (para mdeg(m), para el orden monomial elegido. Y como consecuencia, obtenemos los resultados que hab´ıamos anticipado: Teorema 1.4. Sea M un S-m´odulo multigraduado finitamente generado. Entonces:

12 CAP´ITULO 1. IDEALES MONOMIALES Y MULTIGRADUACIONES 1. Si {m1 , . . . , mp } es una base del k-espacio vectorial M = M/mM , con mi un elemento homog´eneo de M , entonces {m1 , . . . , mp } es un sistema minimal de generadores homog´eneos de M . Adem´as, todo sistema minimal de generadores homog´eneos de M se obtiene de esta forma. 2. Todo sistema minimal de generadores homog´eneos de M tiene p elementos, y de los cuales, dimk (M a ) tienen multigrado a. 3. Si M es libre y {m1 , . . . , mp } es un sistema minimal de generadores homog´eneos, entonces forma una base y, por tanto, existe un isomorfismo multigraduado S(−a1 ) ⊕ . . . ⊕ S(−ap ) ∼ = M. 4. La resoluci´on libre minimal graduada de M coincide con su resoluci´on libre minimal multigraduada y, por tanto, toda resoluci´on libre multigraduada de M es suma directa de la minimal y un complejo multigraduado trivial corto (ver [Mar, 1.37 y 1.38]). Demostraci´on. Los apartados 1, 2 y 3 se demuestran de la misma forma que en el caso graduado (ver [Mar, 1.18 y 1.19]). En cuanto al cuarto apartado, la resoluci´on libre minimal graduada de M se construye tomando en cada paso (en M o en los n´ ucleos sucesivos) un sistema minimal de generadores homog´eneos para la graduaci´on sobre N (ver [Mar, 1.33 y 1.36]). En el caso multigraduado, se pueden tomar dichos generadores multigraduados, de tal manera que la resoluci´on que se obtiene es multigraduada. Dicha resoluci´on cumple igualmente (por [Mar, 1.36]) la condici´on di+1 (Fi+1 ) ⊂ mFi , para i ≥ 0. Observamos que, como caso particular del segundo apartado de este teorema, obtenemos que todo ideal monomial de S (o todo subm´odulo monomial de S m ) admite un u ´nico sistema minimal de generadores monomiales. Este hecho se puede probar tambi´en de forma elemental (ver [Mar, corolario 3.11]) o viendo que un sistema minimal de generadores monomiales no es m´as que una base de Groebner reducida (para cualquier orden monomial, ver [Mar, teorema 3.26]). Por otra parte, los invariantes num´ericos definidos para ideales y m´odulos graduados sobre N (ver [Mar, 1.42 y 4.1]) pueden refinarse para el caso multigraduado:

1.1. MULTIGRADUACIONES

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Definici´ on 1.5. Sean M un S-m´odulo multigraduado finitamente generado y (F, d) su resoluci´on libre minimal multigraduada. Se definen los siguientes invariantes: 1. Los n´ umeros de Betti multigraduados de M (sobre S) son los L ci,a S S (M ) < ∞, (βi,a n´ umeros βi,a (M ) = ci,a , donde Fi = a∈Nn S(−a) pues Fi es finitamente generado). 2. La funci´ on de Hilbert multigraduada de M es la funci´on HilbM : n N −→ Z definida por HilbM (a) = dimk (Ma ). 3. La serie de Hilbert multigraduada de M es la serie X HM (x1 , . . . , xn ) = dimk (Ma )xa ∈ Z[[x1 , . . . , xn ]]. a∈Nn

Observemos que, si M = I es un ideal monomial, las funciones de Hilbert de I y S/I tienen llegada en {0, 1} y lo u ´nico que indican es qu´e monomios est´an en I y S/I. Por tanto, observamos que: X X xa . HI (x1 , . . . , xn ) = xa y HS/I (x1 , . . . , xn ) = xa ∈I

xa ∈I /

En particular, se obtiene f´acilmente por inducci´on en n que X 1 xa = HS (x1 , . . . , xn ) = . (1 − x1 ) · · · (1 − xn ) a∈Nn Por otra parte, el hecho de que la graduaci´on sobre Nn refine a la graduaci´on sobre N se traduce en t´erminos de n´ umeros de Betti y serie de Hilbert en lo siguiente: S βi,p (M )

=

X

S βi,a (M )

y

βiS (M )

=

∞ X p=0

|a|=p

S βi,p (M ) =

X

S βi,a

a∈Nn

y, por otra parte, HM (t) = HM (t, . . . , t), que, aplicado a M = S, proporciona la serie de Hilbert graduada de S (ver [Mar, proposici´on 4.4], donde aparece una demostraci´on diferente): HS (t) =

1 . (1 − t)n

14 CAP´ITULO 1. IDEALES MONOMIALES Y MULTIGRADUACIONES Por u ´ltimo, finalizamos esta secci´on observando que se obtiene igualmente una descripci´on de los n´ umeros de Betti multigraduados en t´erminos del funtor derivado Tor (ver [Mar, proposici´on 2.14]): Proposici´ on 1.6. Sean M y N dos S-m´odulos multigraduados. Entonces: 1. TorSi (M, N ) es un S-m´odulo multigraduado de forma natural. S 2. Si M es finitamente generado, entonces βi,a = dimk (TorSi (M, k)a ).

Demostraci´on. 1. Dada una resoluci´on libre multigraduada (F, d) de M , tenemos que (F ⊗ N, d ⊗ IdN ) es un complejo multigraduado dado por la graduaci´on: M (Fi ⊗ N )a = (Fi,b ⊗ Nc ). b+c=a

TorSi (M, N )

Ahora, como = Hi (F ⊗ N ) es un cociente de m´odulos multigraduados, hereda una multigraduaci´on de forma natural. 2. Sea (F, d) la resoluci´on libre minimal multigraduada de M . Si escribimos Fi,a = S βi,a (M ) , tenemos que (Fi ⊗S k)a = Fi,a ⊗S k = S βi,a (M ) ⊗S k ∼ = k βi,a (M ) . Como F es minimal, se tiene que di+1 (Fi+1 ) ⊂ mFi , por lo que la diferencial del complejo (F ⊗ k, d ⊗ Idk ) es nula y TorSi (M, N )a ∼ =S βi,a (M ) k , de donde se deduce el resultado.

Observaci´ on 1.7. Debido a que el complejo de Koszul es la resoluci´on libre minimal multigraduada de k = S/m (ver [Mar, teorema 2.32]), vemos que: S βi,a (M ) = dimk (TorSi (M, k)a ) = dimk (Hi (K(x1 , . . . , xn ) ⊗ M )a ).

1.2.

Diagramas de Betti

Los n´ umeros de Betti de un S-m´odulo nos proporcionan gran parte de la informaci´on almacenada en su resoluci´on libre minimal graduada, pues a

1.2. DIAGRAMAS DE BETTI

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partir de ellos obtenemos los m´odulos libres de la resoluci´on (faltar´ıa determinar las diferenciales). En el caso multigraduado, los n´ umeros de Betti multigraduados proporcionan m´as informaci´on, pues las diferenciales vendr´an dadas por matrices cuyos coeficientes ser´an monomios, y estos, si son no nulos, vendr´an dados por los multigrados de los elementos de la base de los m´odulos libres de la resoluci´on. En todo caso, para muchos S-m´odulos no se conocen expl´ıcitamente todos sus n´ umeros de Betti, pero s´ı que se pueden obtener cotas. Si M es un S-m´odulo graduado finitamente generado, sabemos (por el teorema de las sicigias de Hilbert, ver [Mar, 1.47, 1.48, 2.33 o´ 3.40]) que su resoluci´on libre minimal graduada tiene longitud finita (la dimensi´on proyectiva de M ) y, por tanto, sus n´ umeros de Betti no graduados βiS (M ) quedan acotados por: βiS (M ) ≤ m´ax{βiS (M )/i ≤ dpS (M )} y βiS (M ) = 0 ⇐⇒ i > dpS (M ). S En cuanto a los n´ umeros de Betti graduados, sabemos que βi,j (M ) = 0 si j < i + c, donde c es el m´ınimo grado de un elemento en un sistema minimal de generadores homog´eneos de M (ver [Mar, proposici´on 1.45]). Es S (M ). decir, fijado un grado homol´ogico i, tenemos una cota inferior de βi,j Para estudiar cu´ales pueden ser cotas superiores, se introduce la noci´on de regularidad:

Definici´ on 1.8. Sea M un S-m´odulo graduado finitamente generado. Se define su regularidad de Castelnuovo-Mumford o, simplemente regularidad, como: S regS (M ) = m´ax{j/βi,i+j (M ) 6= 0 para alg´ un i}. S S La raz´on por la que se estudia βi,i+j (M ) en lugar de βi,j (M ) tiene que ver con la cota inferior que cit´abamos antes, y con la forma tradicional de escribir los n´ umeros de Betti graduados en una tabla. Si denotamos, por simplicidad, βi y βi,j a los n´ umeros de Betti de M , llamamos diagrama de Betti de M sobre S a la siguiente tabla:

0 1 2 3 .. .

β0 β0,0 β0,1 β0,2 β0,3 .. .

β1 β1,1 β1,2 β1,3 β1,4 .. .

β2 β2,2 β2,3 β2,4 β2,5 .. .

r β0,r β1,1+r β2,2+r

... βd . . . βd,d . . . βd,d+1 . . . βd,d+2 . . . βd,d+3 .. .. . . . . . βd,d+r .

16 CAP´ITULO 1. IDEALES MONOMIALES Y MULTIGRADUACIONES Entonces, vemos que podemos introducir todos los n´ umeros de Betti graduados no nulos en una tabla finita como esta, donde, si exigimos que la u ´ltima columna, d, y la u ´ltima fila, r, no tengan todos sus coeficientes nulos, entonces por definici´on vemos que d = dpS (M ) y r = regS (M ). Es decir, la dimensi´on proyectiva y la regularidad nos acotan el diagrama de Betti lo m´aximo posible. Suele ser costumbre utilizar la siguiente nomenclatura a la hora de estudiar casos extremos de diagramas de Betti: Definici´ on 1.9. Sean M un S-m´odulo graduado finitamente generado y (F, d) una resoluci´on libre graduada suya. Se dice que dicha resoluci´on es pura si Fi = S(−pi )ci , y se dice que es q-lineal si Fi = S(−q − i)ci , para i ≥ 0, donde q ∈ N. Se dice simplemente que es lineal si es 0-lineal. Por otra parte, si q es el m´ınimo grado de un generador minimal homog´eneo de M y (F, d) es la resoluci´on libre minimal graduada de M , se define la banda lineal (linear strand en ingl´es) de M como el subcomplejo: d

i S(−q−(i−1))βi−1,i−1+q −→ . . . −→ S(−q)β0,q . L(F) ≡ . . . −→ S(−q−i)βi,i+q −→

Es decir, la resoluci´on libre minimal graduada de M es pura si en el diagrama de Betti s´olo hay un coeficiente no nulo por columna, y es q-lineal si los coeficientes no nulos est´an concentrados en la fila q. Por otro lado, la banda lineal de M refleja los n´ umeros de Betti de la primera fila no nula del diagrama. Un ejemplo cl´asico de resoluci´on lineal es el complejo de Koszul: Ejemplo 1.10. Consideremos el S-m´odulo graduado k = S/m. Sabemos (por [Mar, teorema 2.32]) que el complejo de Koszul K(x1 , . . . , xn ) es la resoluci´on libre minimal graduada de k, donde los elementos ej1 ∧ . . . ∧ eji , con j1 < j2 < . . . < ji , forman una base de Ki , cuya graduaci´on est´a dada por deg(ej1 ∧ . . . ∧ eji ) = i. Por tanto, dicha resoluci´on adquiere la forma 

0 −→ S(−n) −→ S(−n + 1)n −→ . . . −→ S(−1)n −→ S −→ k −→ 0.
S Es decir, βi,i (k) = ni , la resoluci´on es lineal y el diagrama queda: β0 β1 β2 ... βn−1 βn n(n−1) 0 β0,0 = 1 β1,1 = n β2,2 = 2 . . . βn−1,n−1 = n βn,n = 1,

1.2. DIAGRAMAS DE BETTI

17

por lo que dpS (k) = n y regS (k) = 0. Ejemplo 1.11. En general, podr´ıamos proceder como en el ejemplo anterior para cualquier sucesi´ on S-regular de monomios m1 , . . . mr ∈ S. De la misma forma que se demuestra en [Mar, teorema 2.32], se verifica que el complejo de Koszul K(m1 , . . . , mr ) es la resoluci´on libre minimal graduada de S/hm1 , . . . , mr i. Ahora, la graduaci´on estar´ıa dada por deg(ej1 ∧ . . . ∧ eji ) = deg(m1 ) + . . . + deg(mr ). Sin embargo, esta resoluci´on no tiene por qu´e ser necesariamente lineal, pero es f´acil verificar que es lineal si, y s´olo si, los mi son variables, y si deg(mi ) = q para i = 1, . . . , r, entonces la resoluci´on es pura, aunque no es q-lineal, y el diagrama de Betti ser´ıa: 0 .. . q−1 .. . (r − 1)(q − 1) .. . r(q − 1)

β0 β0,0 = 1

β1

... ...

βr−1

βr

... β1,q = r . . . ... . . . βr−1,(r−1)q = r ... ...

βr,rq = 1,

de donde dpS (S/hm1 , . . . , mr i) = r y regS (S/hm1 , . . . , mr i) = r(q − 1), y vemos adem´as que en este caso la banda lineal es un complejo no exacto. Un caso particular es el de las potencias de variables xq1 , . . . , xqn . En general, todas las sucesiones de la forma xa11 , . . . , xar r son S-regulares (ver [Eis, corollary 17.8, exercise 17.5]). Finalizamos la secci´on con una observaci´on sobre resoluciones q-lineales. Sabemos de [Mar, teorema 4.5] que podemos calcular la serie (y la funci´on) de Hilbert de un S-m´odulo finitamente generado a partir de sus n´ umeros de Betti. Ahora bien, en el caso de que la resoluci´on libre minimal graduada de dicho m´odulo sea q-lineal, entonces podemos obtener los n´ umeros de Betti a partir de la serie de Hilbert: Proposici´ on 1.12. Sea M un S-m´odulo graduado finitamente generado. Si su resoluci´on libre minimal graduada es q-lineal para alg´ un q ∈ N, entonces se pueden obtener los n´ umeros de Betti de M a partir de su serie de Hilbert.

18 CAP´ITULO 1. IDEALES MONOMIALES Y MULTIGRADUACIONES Demostraci´on. Por [Mar, teorema 4.5], obtenemos que n

(1 − t) HM (t) =

d X

S (−1)i βi,i+q ti+q ,

i=0

de donde se obtienen los n´ umeros de Betti.

1.3.

Invariantes del ideal inicial

En esta secci´on veremos c´omo se relacionan los invariantes de un ideal de S y su ideal inicial para un cierto orden monomial dado. Primero veremos que ambos tienen la misma funci´on de Hilbert, y despu´es veremos que en general no ocurre lo mismo para los n´ umeros de Betti: los del ideal inicial suelen ser mayores. Para ver esto u ´ltimo, necesitaremos usar varios resultados sobre deformaciones en el anillo de polinomios, de los cuales no demostraremos todos por brevedad (la principal referencia ser´a [Eis, Chapter 15]). Dado un orden monomial λ nr , entonces inλ (I) = in< (I) y {g1 , . . . , gs } es una base de Groebner de I respecto de 1, . . . , xn > 1, vemos que siempre podemos tomar pesos positivos. Por otro lado, dada una funci´on peso λ : Zn −→ Z, podemos considerar el anillo de polinomios con una variable extra Se = S[t] = k[x1 , . . . , xn , t], y e dada por los pesos w e λ, e = (w, 1). extender λ a una funci´on peso en S, Sea ahora f ∈ S, definimos su homogeneizaci´ on en Se como fe(x1 , . . . , xn , t) = tm´ax λ(mi ) f (t−λ(x1 ) x1 , . . . , t−λ(xn ) xn ). Es decir, fe realmente es la homogeneizaci´on en Se para la graduaci´on dada e si son no negativos. por los pesos w,

1.3. INVARIANTES DEL IDEAL INICIAL

21

Dado un ideal I ⊂ S, se define su homogeneizaci´ on en Se como Ie = e h{f /f ∈ I}i. Tenemos entonces morfismos naturales de k-´algebras: 1. ϕ0 : Se −→ S tal que ϕ0 (xi ) = xi y ϕ0 (t) = 0. Verifica obviamente que e = inλ (I). ϕ0 (fe) = inλ (f ) y ϕ0 (I) 2. ϕ1 : Se −→ S tal que ϕ1 (xi ) = xi y ϕ1 (t) = 1. Verifica entonces que e = I. ϕ1 (fe) = f y ϕ1 (I) La principal propiedad que nos interesa de este proceso de homogeneizaci´on en Se es la siguiente: Teorema 1.19. Sean I ⊂ S un ideal y λ : Zn −→ Z una funci´on peso, con e Ie es libre. En particular, es plana y pesos no negativos. La k[t]-´algebra S/ e I-regular, e t − α ∈ k[t] es un elemento S/ para todo α ∈ k. Demostraci´on. La primera parte del teorema se encuentra en [Eis, theorem 15.17]. Ahora, si t − α ∈ k[t], entonces la aplicaci´on k[t] −→ k[t] que consiste e I, e vemos que en multiplicar por t − α, es inyectiva. Tensorizando con S/ e I-regular. e t − α ∈ k[t] es S/ En esta situaci´on, se dice que los ideales I e inλ (I) est´an conectados e Ie por una deformaci´ on en A1k , y que son las fibras de la familia plana S/ sobre 1 y 0, respectivamente. Antes de ver el principal resultado sobre los n´ umeros de Betti del ideal inicial, necesitamos un par de lemas: Lema 1.20. Consideremos en S una graduaci´on dada por pesos no negativos en las variables, y sean I ⊂ S un ideal homog´eneo contenido en m y R = S/I. Sean M un R-m´odulo finitamente generado, y (F, d) una resoluci´on libre suya. Si f ∈ R es un elemento R-regular y M -regular, entonces (F ⊗ R/hf i, d ⊗ Id) es una resoluci´on libre de M/hf iM sobre R/hf i. Si adem´as, M y F son graduados y f homog´eneo, entonces F ⊗ R/hf i es graduada, y si F es minimal y f ∈ m, entonces F ⊗ R/hf i es minimal.

22 CAP´ITULO 1. IDEALES MONOMIALES Y MULTIGRADUACIONES Demostraci´on. Para ver la exactitud de F ⊗ R/hf i, basta tomar la sucesi´on exacta larga en homolog´ıa (ver [Mar, teorema 2.3]) en el siguiente diagrama: ↓

↓

↓

f

0 −→ F1 −→ F1 −→ F1 ⊗ R/hf i −→ 0 ↓ ↓ ↓ f

0 −→ F0 −→ F0 −→ F0 ⊗ R/hf i −→ 0 ↓ ↓ ↓ f

0 −→ M −→ M −→ ↓ ↓ 0 0

M/hf iM ↓ 0

−→ 0.

Por otro lado, si f ∈ m (es decir, si I +hf i ⊂ m), entonces podemos hablar de minimalidad de una resoluci´on sobre el anillo R/hf i, es decir, de la condici´on di+1 (Fi+1 ) ⊂ mFi , para i ≥ 0. Ahora, si los pesos de las variables son positivos y f no es una unidad, obtenemos autom´aticamente que f ∈ m, la condici´on I ⊂ m es superflua y la minimalidad de la resoluci´on coincide con [Mar, definici´on 1.34], por la caracterizaci´on [Mar, lema 1.36]. Lema 1.21. Sean a, b ∈ Nn , con las componentes de b positivas. Consideramos en S las graduaciones dadas por los pesos a y b en las variables. Sean I ⊂ J ⊂ S ideales homog´eneos respecto de a y b. Entonces, existe una resoluci´on libre, F, de S/J sobre el anillo S/I, que es graduada respecto de a y b, y minimal, es decir, di+1 (Fi+1 ) ⊂ mFi , para i ≥ 0. Demostraci´on. Sea R = S/I. Basta observar que si tomamos un R-m´odulo libre graduado por a y b tal que exista una base de elementos que son homog´eneos tanto para a como para b, entonces todo subm´odulo suyo homog´eneo para a y b, admite un sistema minimal de generadores que son homog´eneos tanto para a como para b. Por tanto, podemos realizar la construcci´on descrita en [Mar, teorema 1.33], tomando sistemas minimales de generadores homog´eneos para a y b. Como los pesos de b son positivos, la minimalidad equivale a la condici´on di+1 (Fi+1 ) ⊂ mFi , para i ≥ 0, por [Mar, lema 1.36]. Y, por u ´ltimo, vemos la relaci´on entre los n´ umeros de Betti del ideal inicial y el original:

1.3. INVARIANTES DEL IDEAL INICIAL

23

Teorema 1.22. Sean I ⊂ J ⊂ S ideales homog´eneos para la graduaci´on est´andar, y < un orden monomial en S. Entonces: S/I

S/in(I)

1. βi,j (S/J) ≤ βi,j

(S/in(J)), para todo i, j.

S S (S/in(J)), para todo i, j. (S/J) ≤ βi,j 2. βi,j

Adem´as, los n´ umeros de Betti de la izquierda se obtienen de los de la derecha por cancelaciones sucesivas. Demostraci´on. Sean a = (1, . . . , 1, 0) ∈ Nn+1 , λ una funci´on peso con pesos positivos tal que inλ (I) = in< (I) y inλ (J) = in< (J) (existe por 1.17 y 1.18), w su vector de pesos y b = (w, 1) ∈ Nn+1 . Entonces, Ie y Je son homog´eneos respecto de a y b. Por el lema anterior, e de S/ e Je sobre S/ e I, e graduada respecto de a y b existe una resoluci´on libre F e I-regulares e e J-regulares, e y minimal. Ahora, t, t − 1 ∈ k[t] son S/ y S/ por 1.19. Por tanto, por 1.20, e ⊗ S/hti e 1. F es una resoluci´on libre graduada de S/in(J) sobre S/in(I), que adem´as es minimal porque t ∈ hx1 , . . . , xn , ti. e ⊗ S/ht e − 1i es una resoluci´on libre graduada de S/J sobre S/I, que 2. F no tiene por qu´e ser minimal, ya que t − 1 ∈ / hx1 , . . . , xn , ti. S/in(I) S/I (S/in(J)). Tomando I = 0, Por tanto, βi,j (S/J) ≤ rank(Ff i,j ) = βi,j obtenemos 2, y la u ´ltima afirmaci´on se deduce de [Mar, teorema 1.38].

Esta desigualdad entre los n´ umeros de Betti se verifica en contextos m´as generales, y se demuestra con el mismo procedimiento (ver [MS, section 8.3]). Debido a que lo utilizaremos en una secci´on posterior, enunciamos el teorema para m´odulos y multigraduaciones, que es un caso particular de [MS, theorem 8.29]: Teorema 1.23. Sea M un subm´odulo graduado (resp. multigraduado) de un m´odulo libre sobre S, S r = S(−p1 ) ⊕ . . . ⊕ S(−pr ) (resp. S r = S(−a1 ) ⊕ . . . ⊕ S(−ar )), y sea < un orden monomial en S r . Entonces: S S βi,j (S r /M ) ≤ βi,j (S r /in(M ))

S S (resp. βi,a (S r /M ) ≤ βi,a (S r /in(M ))),

para todos i, j ∈ N (resp. para todo i ∈ N y todo a ∈ Nn ).

24 CAP´ITULO 1. IDEALES MONOMIALES Y MULTIGRADUACIONES

1.4.

Ideales Borel-fixed

Aunque existan m´etodos constructivos para hallar la resoluci´on libre minimal graduada de un ideal homog´eneo cualquiera (ver [Mar, cap´ıtulo 3]), y por tanto obtener tambi´en sus invariantes, en general no se conocen muchas familias de ideales para los cuales exista una descripci´on expl´ıcita de dicha resoluci´on ni sus invariantes. Quiz´a una de las familias m´as importantes de ideales, de hecho monomiales, para la cu´al se conocen todos los invariantes de forma expl´ıcita, son los llamados ideales Borel-fixed, que estudiaremos en esta secci´on. Su resoluci´on libre minimal graduada apareci´o por primera vez en [EK], y por eso se suele denominar resoluci´ on de Eliahou-Kervaire. Los ideales Borel-fixed aparecen de forma natural en geometr´ıa algebraica en el estudio de acciones de grupos sobre el anillo de polinomios S = k[x1 , . . . , xn ], cuando el cuerpo k es de caracter´ıstica cero. En esta secci´on, daremos los principales resultados relacionados con estos ideales. Algunos los demostraremos en cap´ıtulos posteriores, y otros no los demostraremos por brevedad. Definici´ on 1.24. Sea n ∈ N, n > 0. Definimos el n-´esimo grupo lineal general sobre k como el grupo GLn (k), formado por todas las matrices invertibles de tama˜ no n × n con coeficientes en k. Definimos el grupo de Borel, denotado por Bn (k), y el grupo t´ orico, denotado por Tn (k), como los subgrupos de GLn (k) formados por matrices triangulares inferiores y diagonales, respectivamente. Observemos que cualquier subgrupo G de GLn (k) act´ ua sobre el anillo de polinomios, S, de la siguiente manera: ! n n X X a1,j xj , . . . , an,j xj . A · f (x1 , . . . , xn ) = f (A · x) = f j=1

j=1

Ahora, si I ⊂ S es un ideal, podemos definir A·I = {A·f /f ∈ I} (obviamente es un ideal). Diremos que un ideal I es fijo por la acci´on de G si A · I = I, para toda matriz A ∈ G. Observemos que Tn (k) ⊂ Bn (k) ⊂ GLn (k). Los ideales fijos por estos tres grupos admiten caracterizaciones sencillas cuando la caracter´ıstica de k es cero. Ve´amoslo en las tres siguientes proposiciones:

1.4. IDEALES BOREL-FIXED

25

Proposici´ on 1.25. Si char(k) = 0, un ideal I ⊂ S es fijo por la acci´on del grupo t´orico, Tn (k), si, y s´olo si, es monomial. Demostraci´on. Es inmediato ver que los ideales monomiales son fijos por esta acci´on. Veamos la implicaci´on rec´ıproca. Sea I un ideal fijo por la acci´on de Tn (k), tomemos un orden monomial < y la base de Groebner reducida de I respecto de 1). Proposici´ on 1.27. Si char(k) = 0, un ideal I ⊂ S es fijo por la acci´on del grupo de Borel, Bn (k), si, y s´olo si, es monomial y satisface la siguiente condici´on: Si m ∈ I es un monomio tal que xj divide a m e i < j, entonces xi · (m/xj ) ∈ I. Demostraci´on. Supongamos que I es fijo por la acci´on de Bn (k). Como Tn (k) ⊂ Bn (k), por la proposici´on anterior, I es monomial. Sea entonces m = xa ∈ I, con aj > 0 e i < j, y consideremos la matriz A formada por unos en la diagonal y en la posici´on (j, i), y ceros en el resto. Entonces: aj   X aj a1 a −r A·m= x1 · · · xai i · · · (xri · xj j ) · · · xann ∈ I. r r=0
Por tanto, como arj 6= 0, todos los t´erminos pertenecen a I, en particular xi · (m/xj ) pertenece a I.

26 CAP´ITULO 1. IDEALES MONOMIALES Y MULTIGRADUACIONES Supongamos ahora que I es monomial y verifica la condici´on de la proposici´on. Basta ver que para cualquier monomio m ∈ I y cualquier matriz A ∈ Bn (k), se verifica que A · m ∈ I. Utilizando una expresi´on similar a la anterior, vemos que todos los t´erminos de A · m son escalares que multiplican a monomios obtenidos a partir de m mediante transformaciones sucesivas de la forma xi · (m/xj ) ∈ I, con i < j. Corolario 1.28. Si char(k) = 0, entonces un ideal no nulo I ⊂ S es fijo por la acci´on del grupo lineal general, GLn (k), si, y s´olo si, es una potencia del ideal homog´eneo maximal, es decir, si existe d > 0 tal que I = md . Demostraci´on. Si I = md para alg´ un d > 0, es ovbio que A · I ⊂ I, para toda A ∈ GLn (k), pues A · m es un polinomio homog´eneo de grado d si m es un monomio de grado d. Utilizando que A−1 · I ⊂ I, vemos que I es fijo por la acci´on de GLn (k). Rec´ıprocamente, Si I es fijo por la acci´on de GLn (k), debe ser monomial por 1.25, y si m ∈ I es un monomio de grado d > 0, con d m´ınimo posible, vemos entonces que md ⊂ I aplicando transformaciones del tipo anterior, usando la caracterizaci´on de 1.27 para matrices triangulares inferiores, y la respectiva para superiores. Ahora bien, md contiene a todos los monomios de grado mayor o igual que d, por lo que I = md . Ejemplo 1.29. Al igual que en 1.25, en las dos caracterizaciones anteriores, la condici´on char(k) = 0 es necesaria. Consideremos de nuevo k = F2 , por lo que GL2 (F2 ) es:             1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 , , , , , . 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 Entonces es obvio que I = hx2 , y 2 i ⊂ F2 [x, y] es fijo por su acci´on, pues (x + y)2 = x2 + y 2 , pero I no es una potencia del maximal, ni verifica la condici´on de la proposici´on 1.27, ya que deber´ıa verificar xy ∈ I. Aunque estas caracterizaciones no se verifiquen cuando char(k) > 0, s´ı que podemos definir en caracter´ıstica arbitraria una noci´on similar a la de ideal Borel-fixed: Definici´ on 1.30. Decimos que un ideal monomial I ⊂ S es fuertemente estable (strongly stable en ingl´es) si verifica la condici´on de Borel: Si m ∈ I es un monomio tal que xj divide a m e i < j, entonces xi · (m/xj ) ∈ I.

1.4. IDEALES BOREL-FIXED

27

Ejemplo 1.31. Algunos primeros ejemplos sencillos de ideales fuertemente estables pueden ser hx2 , xy, xz 3 i, hx2 , xy, y 3 , xz 2 i o´ el ideal con siete generadores hx2 , y 6 , xy 2 , xyz 2 , xz 6 , xyzt2 , xyt4 i, donde el orden de las variables es el usual. Obviamente, aunque char(k) > 0, se verifica que los ideales del tipo md , con d > 0, son fuertemente estables. Tambi´en observamos que un ideal monomial I ⊂ S verifica la condici´on de Borel si, y s´olo si, verifica dicha condici´on para un sistema de generadores monomiales dado. En particular, podemos tomar el sistema minimal. Aparte de la caracterizaci´on en t´erminos de cierta acci´on de grupo, los ideales Borel-fixed tambi´en aparecen en geometr´ıa algebraica en lo que se denomina el ideal inicial gen´erico. No daremos las demostraciones de los dos siguientes teoremas, las cuales se encuentran en [Eis, theorem 15.18 y theorem 15.20]. Teorema 1.32 (de Galligo, Bayer y Stillman). Sea I ⊂ S un ideal homog´eneo. Dado un orden monomial < que verifica x1 > . . . > xn , existe un abierto de Zariski U de GLn (k), no vac´ıo, tal que in(A · I) no depende de A ∈ U . Adem´as, U ∩ Bn (k) 6= ∅. Dicho ideal se denomina ideal inicial gen´ erico de I respecto de 0, entonces gin< (I) es p-Borel-fixed. Sin embargo, esta clase de ideales a´ un presentan muchos problemas abiertos en la actualidad, como queda expuesto en [Pee, problems 28.16]. No se conoce de forma expl´ıcita su resoluci´on libre minimal graduada, ni siquiera algunos de sus invariantes m´as importantes, como su regularidad o sus n´ umeros de Betti. Otro problema abierto es ver si su resoluci´on e invariantes dependen de la caracter´ıstica, p, al contrario de lo que ocurre para los ideales fuertemente estables.

1.5. OTRAS CONDICIONES DE TIPO BOREL

31

Veamos ahora los ideales conocidos como fuertemente estables libres de cuadrados. Dado un monomio cualquiera m ∈ S, decimos que es libre de cuadrados si x2i no lo divide, para todo i = 1, . . . , n. Es decir, si es un producto de variables no repetidas. Y decimos que un ideal I ⊂ S es libre de cuadrados si est´a generado por monomios libres de cuadrados. Definici´ on 1.41. Decimos que un ideal libre de cuadrados I ⊂ S es fuertemente estable libre de cuadrados si verifica la condici´on de Borel libre de cuadrados: Si m ∈ I es un monomio tal que xj divide a m, i < j y xi · (m/xj ) es libre de cuadrados, entonces xi · (m/xj ) ∈ I. Como antes, decimos que I es estable libre de cuadrados si verifica que xi · (m/xm´ax(m) ) ∈ I, para todo generador monomial minimal m de I, tal que i < m´ax(m) y xi · (m/xm´ax(m) ) es libre de cuadrados. Los ideales libres de cuadrados son, por definici´on, monomiales, y como en los otros casos, basta que la condici´on Borel libre de cuadrados se verifique para el sistema minimal de generadores monomiales. Ejemplo 1.42. Ejemplos sencillos de ideales fuertemente estables libres de cuadrados son hxy, yz, zxi, hx, yzi o´ hx, yz, yti, donde el orden de las variables es el usual. Puede surgir confusi´on entre los ideales fuertemente estables libres de cuadrados y los ideales libres de cuadrados que son fuertemente estables. Sin embargo, es sencillo comprobar que de hecho los ideales libres de cuadrados que son estables son los de la forma hx1 , x2 , . . . , xr i, para 1 ≤ r ≤ n. En este caso, el resultado an´alogo a 1.33 en relaci´on con estos ideales tiene que ver con las a´lgebras exteriores. No entraremos en detalles, simplemente enunciaremos el teorema por completitud (ver [Pee, theorem 56.6]): Teorema 1.43 (de Aramova, Herzog y Hibi). El ideal gen´erico inical de un ideal homog´eneo en una ´algebra exterior es fuertemente estable libre de cuadrados. A diferencia de los ideales p-Borel-fixed, para estos ideales se conoce su resoluci´on libre minimal graduada, denominada en la literatura resoluci´on de Eliahou-Kervaire libre de cuadrados, por analog´ıa a la de los ideales estables. Su descripci´on es similar. Tomemos un ideal estable libre de cuadrados I ⊂ S, de generadores monomiales minimales m1 , . . . , mr . Primero, se verifica un lema similar a 1.35, con la misma demostraci´on:

32 CAP´ITULO 1. IDEALES MONOMIALES Y MULTIGRADUACIONES Lema 1.44. Para todo monomio libre de cuadrados m ∈ I, existe una u ´nica descomposici´on en monomios m = mi n, tal que m´ax(mi ) ≤ m´ın(n). Se denota b(m) = mi y e(m) = n (“principio” y “final” de m respecto de I). g I , ∂), tal que EK g Ip+1 es el S-m´odulo libre Definimos ahora el complejo (EK cuya base denotamos por: {(mi ; j1 , . . . , jp )/1 ≤ j1 < j2 < . . . < jp < m´ax(mi ), 1 ≤ i ≤ r, y mi xj1 · · · xjp es libre de cuadrados}, g I = S. si p ≥ 1, de base {(m1 ; ∅), . . . , (mr ; ∅)} si p = 0, y definimos EK 0 Damos la multigraduaci´on mdeg(mi ; j1 , . . . , jp ) = xj1 xj2 . . . xjp mi , y definimos la diferencial como ∂ = d1 − d2 , donde: p X d1 (mi ; j1 , . . . , jp ) = (−1)q xjq (mi ; j1 , . . . , jbq , . . . , jp ), y q=1

d2 (mi ; j1 , . . . , jp ) =

p X

(−1)q e(mi xjq )(b(mi xjq ); j1 , . . . , jbq , . . . , jp ),

q=1

para p ≥ 1, ∂(mi ; ∅) = mi para p = 0, y ∂ : S −→ S/I, el homomorfismo can´onico. Tambi´en, adoptamos el convenio (mi ; j1 , . . . , jp ) = 0 si m´ax(mi ) ≤ jq para alg´ un 1 ≤ q ≤ p, ´o si p ≥ m´ax(mi ), ´o si xj1 . . . xjp mi no es libre de cuadrados. De nuevo, la u ´nica parte complicada es ver que dicho complejo es exacto, y podemos extraer de ´el los invariantes de I: Proposici´ on 1.45. Dado un ideal estable libre de cuadrados I ⊂ S, y {m1 , . . . , mr } su sistema minimal de generadores monomiales, se verifica que: Xm´ax(mi ) − deg(mi ) S 1. βp,p+q (I) = , sumando para los mi tales que p deg(mi ) = q,  r  X m´ax(mi ) − deg(mi ) S 2. βp (I) = , p i=1 3. dpS (I) = m´ax{m´ax(mi ) − deg(mi )/1 ≤ i ≤ r}, y 4. regS (I) = m´ax{deg(mi )/1 ≤ i ≤ r}.

Cap´ıtulo 2 Complejos simpliciales y celulares Las resoluciones monomiales se han estudiado recientemente desde muchos puntos de vista, gracias a la rica informaci´on combinatoria que guardan. Sin embargo, ha dado especialmente frutos su relaci´on con complejos que surgen en Topolog´ıa Algebraica, debido principalmente a dos trabajos, [BPS] primero y [BStu] despu´es, que a su vez se basan en ideas recogidas en [BH]. La idea principal es construir un objeto topol´ ogico, como los complejos simpliciales, polihedrales o celulares, y obtener a partir de ellos un complejo de m´odulos que acabe proporcionando una resoluci´on de cierto ideal monomial. Quiz´a el ejemplo m´as sencillo de todos sea la resoluci´ on de Taylor, que apareci´o por primera vez en la tesis de D. Taylor en 1960. Dicha resoluci´on constituye una resoluci´on libre multigraduada de un ideal monomial dado, construida simplemente a partir de unos generadores dados. Obviamente, no siempre dicha resoluci´on ser´a minimal. Sin embargo, a partir de los trabajos anteriores sobre resoluciones simpliciales, se observ´o que dicha resoluci´on est´a codificada de forma natural en la estructura combinatoria de un s´ımplice. En este cap´ıtulo veremos los conceptos y resultados b´asicos relativos a las resoluciones celulares, comenzando por las m´as sencillas, es decir, las simpliciales, y terminaremos hallando los n´ umeros de Betti multigraduados de los ideales fuertemente estables. No entraremos en detalles topol´ogicos para no extendernos ni desviarnos de nuestro objetivo. Referencias generales 33

CAP´ITULO 2. COMPLEJOS SIMPLICIALES Y CELULARES

34

para ello son [Rot] y [Mas], aunque ciertas secciones de [MS] o [BH] tambi´en ser´an de gran utilidad.

2.1.

Complejos simpliciales

En esta primera secci´on veremos el tipo m´as sencillo de complejo celular, que son los complejos simpliciales. Antes de utilizar estos objetos para obtener resoluciones monomiales, se utilizaron para explorar la estructura combinatoria de los ideales libres de cuadrados, mediante lo que se denomina la correspondencia de Stanley-Reisner. Comenzamos con las definiciones b´asicas, haciendo la distinci´on, conveniente para la generalizaci´on a complejos celulares, entre complejos simpliciales abstractos y geom´etricos. Recordemos que la clausura convexa de un subconjunto de Rd , para cierto d, es la intersecci´on de todos los subconjuntos convexos que lo contienen, y es por tanto, el menor conjunto convexo de Rd que lo contiene (ver [Rot, chapter 2]). Definici´ on 2.1. Sean r, d ∈ N, r, d > 0. Un s´ımplice geom´ etrico en Rd es la clausura convexa de r puntos v1 , v2 , . . . , vr ∈ Rd , afinmente independientes, denominados v´ ertices del s´ımplice. Llamamos caras de dicho s´ımplice a los s´ımplices cuyos v´ertices son algunos de los vi . Un complejo simplicial geom´ etrico en Rd es una colecci´on ∆ de s´ımplices (llamados caras de ∆), en Rd , tales que: 1. Si σ ∈ ∆ y τ es una cara de σ, entonces τ ∈ ∆. 2. Si σ, τ ∈ ∆, entonces σ ∩ τ es, o bien vac´ıa, o bien una cara com´ un a σ y τ. Denotamos por V (∆) ⊂ Rd al conjunto de v´ertices de todas las caras de ∆, y denotamos por |∆| ⊂ Rd a la uni´on conjuntista de todas las caras de ∆. Por otro lado, un complejo simplicial abstracto en los r v´ertices A = {a1 , a2 , . . . , ar } es una colecci´on ∆ de subconjuntos (llamados caras de ∆) de A tal que {ai } ⊂ ∆, para todo i = 1, 2, . . . , r, y si σ ∈ ∆ y τ ⊂ σ, entonces τ ∈ ∆. Tambi´en denotaremos V (∆) = A.

2.1. COMPLEJOS SIMPLICIALES

35

En ambos casos, se define la dimensi´ on de una cara σ ∈ ∆ como dim(σ) = s − 1, donde s es el n´ umero de v´ertices que lo forman, y se define dim(∆) = m´ax{dim(σ)/σ ∈ ∆}. Observaci´ on 2.2. Es bien conocido que ambos conceptos de complejo simplicial son equivalentes ([Rot, theorem 7.8]). Dado un complejo simplicial e de v´ertices V (∆) y cuyos s´ımplices geom´etrico ∆, obtenemos uno abstracto ∆, son los conjuntos V (σ), donde σ ∈ ∆. Rec´ıprocamente, dado un complejo simplicial abstracto ∆ de v´ertices V (∆) = {a1 , . . . , ar }, consideramos en Rr el complejo simplicial geom´etrico dado por los s´ımplices σ e, donde σ e es la clausura convexa de los vectores can´onicos ei1 , . . . , eis , si σ = {ai1 , . . . , ais } ∈ ∆. Por ejemplo, el complejo abstracto ∆ formado por los subconjuntos de {a, b}, {b, c} y {c, a} se corresponde con el complejo geom´etrico de la figura: c

R3

b a

Figura 2.1: Realizaci´on geom´etrica de ∆. A partir de ahora, llamaremos simplemente complejo simplicial a todo complejo simplicial abstracto. Observaci´ on 2.3. Normalmente y para abreviar, diremos que ∆ es un complejo simplicial en r v´ertices, si es un complejo simplicial abstracto en los v´ertices {1, 2, . . . , r}. Se suele considerar tambi´en como complejo simplicial al complejo vac´ıo, ∆ = ∅, cuya dimensi´on se define como dim(∅) = −∞, que no debe confundirse con el complejo irrelevante {∅}, cuya dimensi´on es −1 (Asumimos por definici´on que el vac´ıo es una cara de todo complejo simplicial). En la secci´on 1.5 vimos qu´e eran los ideales libres de cuadrados. A continuaci´on veremos que estos est´an estrechamente relacionados con los com-

CAP´ITULO 2. COMPLEJOS SIMPLICIALES Y CELULARES

36

plejos simpliciales, hasta el punto de que hay una correspondencia biun´ıvoca entre unos y otros: Definici´ on 2.4. Dado un subconjunto σ ⊂ {1, 2, . . . , n}, definimos: Y xσ = xi y mσ = h{xi /i ∈ σ}i, i∈σ

en S = k[x1 , . . . , xn ]. Por otro lado, dado un complejo simplicial ∆ en n v´ertices, definimos su ideal y anillo de Stanley-Reisner como I∆ = h{xσ /σ ∈ / ∆}i y S∆ = S/I∆ , respectivamente. Llamaremos correspondencia de Stanley-Reisner a la dada por ∆ I∆ . As´ı definidos, observamos que los monomios libres de cuadrados que no se anulan en S/I∆ son exactamente los de la forma xσ , donde σ ∈ ∆. Por esta raz´on, la correspondencia de Stanley-Reisner es inyectiva. Como todo ideal libre de cuadrados se puede expresar en la forma I∆ , vemos que dicha correspondencia es una biyecci´on entre el conjunto de todos los complejos simpliciales en n v´ertices, y el conjunto de ideales libres de cuadrados en S. Ejemplo 2.5. El complejo simplicial ∆ formado por todos los subconjuntos de {1, 2, . . . , n} salvo el total (un “s´ımplice hueco”) se corresponde con el ideal principal I∆ = hx1 x2 · · · xn i, mientras que el ideal maximal m = hx1 , x2 , . . . , xn i se corresponde con el complejo irrelevante {∅}. x1

x1 x3

x4

x3

x4

x2

x2

(a) ∆

I∆ . Figura 2.2: (a) ∆

x5

(b) Γ I∆ , (b) Γ

IΓ .

IΓ .

Un par de ejemplos sencillos no triviales pueden ser los siguientes: un tri´angulo y un punto, ∆, en n = 4 v´ertices, formado por los subconjuntos de {1, 2, 3} y {4}. Se corresponde con el ideal I∆ = hx1 x4 , x2 x4 , x3 x4 i. El otro ejemplo ser´ıa Γ, formado por los subconjuntos de {1, 2, 3}, {3, 4}, {3, 5} y {4, 5}. Se corresponde con el ideal IΓ = hx1 x4 , x1 x5 , x2 x4 , x2 x5 , x3 x4 x5 i. Ver la figura 2.2.

2.1. COMPLEJOS SIMPLICIALES

37

Por otro lado, esta correspondencia tambi´en nos permite expresar mediante complejos simpliciales algunas caracter´ısticas de los ideales libres de cuadrados, como se puede observar en los tres resultados siguientes: Proposici´ on 2.6. Todo ideal libre de cuadrados admite una u ´nica descomposici´on irredundante como intersecci´on de ideales primos de S. Adem´as, para I∆ , dicha descomposici´on se obtiene a partir de: \ I∆ = mσ , σ∈∆

donde σ indica el complementario de σ. Demostraci´on. Primero, es sencillo comprobar que los ideales monomiales radicales y los ideales monomiales primos son justo los libres de cuadrados y los generados por variables, respectivamente. Ahora bien, los ideales radicales admiten una u ´nica descomposici´on irredundante como intersecci´on de ideales primos, pues estos deben coincidir con sus primos asociados (ver [AM, cap´ıtulo 4] o´ [Eis, chapter 3]). / ∆, lo que equivale a τ * σ, para Por otra parte, xτ ∈ I∆ si, y s´olo si, τ ∈ todo σ ∈ ∆, es decir, xτ ∈ mσ , para todo σ ∈ ∆. Teorema 2.7. Dado un complejo simplicial en n v´ertices, ∆, se verifica que: ! X Y xi HS/I∆ (x) = . (1 − xi ) i∈σ σ∈∆ Demostraci´on. Si para cada a ∈ Nn , definimos supp(a) = {i/ai 6= 0}, entonces   X X X X Y xi  HS/I∆ (x) = xa = xa  y xa = , 1 − xi a i∈σ σ∈∆ x ∈I / ∆

supp(a)=σ

supp(a)=σ

de donde se deduce el resultado. Corolario 2.8. Dado un complejo simplicial en n v´ertices, ∆, denotamos por fi al n´ umero de caras de dimensi´on i de ∆, y d = dim(∆) + 1. Entonces: HS/I∆ (t) =

d X 1 fi−1 ti (1 − t)n−i . (1 − t)n i=0

CAP´ITULO 2. COMPLEJOS SIMPLICIALES Y CELULARES

38

Ejemplo 2.9. Volviendo al tri´angulo y un punto, es decir, al complejo ∆ formado por los subconjuntos de {1, 2, 3} y {4}, tenemos la descomposici´on I∆ = hx1 x4 , x2 x4 , x3 x4 i = hx1 , x2 , x3 i ∩ hx4 i, y: HS/I∆ (x1 , x2 , x3 , x4 ) = +

x3 x4 x1 x2 + + + + (1 − x1 ) 1 − x2 1 − x3 1 − x4

x1 x2 x2 x3 x3 x1 + + + (1 − x1 )(1 − x2 ) (1 − x2 )(1 − x3 ) (1 − x3 )(1 − x1 ) +

x1 x2 x3 . (1 − x1 )(1 − x2 )(1 − x3 )

El vector f = (f−1 , f0 , f1 , . . . , fd−1 ) se suele denominar en la literatura f vector. Dicho vector, junto al h-polinomio, que es el que surge al escribir HS/I (t) = h(t)/(1 − t)e , con h(1) 6= 0, juegan un papel combinatorio muy importante, y que ha sido extensamente estudiado por Stanley. Pasemos ahora a construir complejos de m´odulos a partir de complejos simpliciales. En principio, la construcci´on ser´a la est´andar en topolog´ıa algebraica, que se encuentra con todo detalle en [Rot, Chapter 7]. Sin embargo, nosotros seguiremos dos construcciones, la cl´asica para coeficientes en el cuerpo k, y otra adaptada a nuestros prop´ositos, en la que los coeficientes estar´an en el anillo S, como se hace en [MS, Chapter 1], y que consiste en multigraduar u “homogeneizar” el complejo sobre k, como se indica con detalle en [Pee, Section 55]. Esta construcci´on se introdujo en el art´ıculo [BPS]. Para definir los siguientes complejos de m´odulos, es necesario ordenar los v´ertices de un complejo simplicial (es decir, orientar el complejo). Por ello, supondremos siempre que ∆ ser´a un complejo simplicial abstracto de dimensi´on d en los r v´ertices {1, 2, . . . , r}, y consideraremos su orden natural. Definici´ on 2.10. Denotamos por Γi (∆) (´o simplemente Γi si no hay confusi´on) al conjunto de caras de ∆ de dimensi´on i, i ≥ −1, y denotamos por k Γi al k-espacio vectorial de base Γi , donde denotamos simplemente por σ al vector de la base asociado a σ ∈ Γi . Se define entonces el complejo de cadenas (aumentado) de ∆ sobre k como el complejo: ∂1 ∂0 ∂d e C(∆, k) ≡ 0 −→ k Γd −→ k Γd−1 −→ . . . −→ k Γ1 −→ k Γ0 −→ k Γ−1 −→ 0,

2.1. COMPLEJOS SIMPLICIALES

39

donde la diferencial es: ∂i (σ) =

i X

(−1)p (σ \ jp ),

p=0

si σ = {j0 , j1 , . . . , ji }, y donde ∂0 (σ) = 1 = ∅. Y definimos su homolog´ıa e i (∆, k) = ker(∂i )/Im(∂i+1 ). reducida i-´esima como H Por otro lado, dados monomios m1 , . . . , mr ∈ S, definimos el complejo de cadenas etiquetado asociado a ∆ y m1 , . . . , mr , como el complejo: ∂

∂d+1

∂

2 1 F∆ ≡ 0 −→ Fd+1 −→ Fd −→ . . . −→ F2 −→ F1 −→ F0 −→ 0,

donde Fi es el S-m´odulo libre de base Γi−1 , cuyos elementos denotamos igualmente por σ, multigraduado por mdeg(σ) = mcm{mj /j ∈ σ}, y cuya diferencial es: ∂i+1 (σ) =

i X p=0

(−1)p

mcm(mj0 , . . . , mji ) (σ \ jp ), mcm(mj0 , . . . , m d jp , . . . , mji )

si σ = {j0 , j1 , . . . , ji }, y donde ∂1 ({p}) = mp = mp ∅. La comprobaci´on de que ∂i−1 ∂i = 0 en ambos casos es rutinaria, se procede como en el complejo de Koszul ([Mar, proposici´on 2.25]). Si σ = {j0 , j1 , . . . , ji } ∈ Γi , entonces: X fp,s (σ \ {jp , js }), ∂i−1 ∂i (σ) = p6=s

y en ambos casos, al quitar primero jp y despu´es js obtenemos el mismo coeficiente que al quitar primero js y despu´es jp , pero con signo contrario. Es decir, fp,s = −fs,p , de donde la suma anterior es cero. Observaci´ on 2.11. Hemos utilizado un convenio de ´ındices bastante extendido en la literatura (ver [MS] o [Pee]), donde el complejo de cadenas e C(∆, k) tiene base Γi en grado homol´ogico i, mientras que F∆ tiene base Γi−1 en grado homol´ogico i. Esto es debido a que en el primer caso nos interesa representar por i la dimensi´ on de las caras correspondientes, mientras que en el segundo caso, nos interesa representar por i el n´ umero de v´ ertices de los s´ımplices.

40

CAP´ITULO 2. COMPLEJOS SIMPLICIALES Y CELULARES

B´asicamente, lo que hemos hecho es considerar el complejo de cadenas cl´asico sobre k, y etiquetar al complejo simplicial con multigrados, provenientes de ciertos monomios, para formar un complejo multigraduado sobre S. El primero encierra informaci´on puramente topol´ogica de ∆, mientras que el segundo proporciona un complejo sobre el ideal I = hm1 , . . . , mr i. Lo que haremos en un contexto m´as general en la siguiente secci´on ser´a relacionar ambos para saber cu´ando son exactos y obtener as´ı resoluciones de ideales monomiales. Esto motiva la siguiente definici´on: Definici´ on 2.12. Sean I ⊂ S un ideal monomial generado por los monomios m1 , . . . , mr ∈ S y ∆ un complejo simplicial en r v´ertices. Si F∆ es exacto salvo en grado homol´ogico i = 0, se dice que es una resoluci´ on simplicial de S/I. Ejemplo 2.13. Tomemos de nuevo el complejo simplicial ∆ del ejemplo 2.9, que tiene cuatro v´ertices. Consideremos en S = k[x, y, z] el ideal I = hx2 , xy, y 2 , xzi. Con dicho orden, ∆ quedar´ıa etiquetado como en la figura: x2 x2 y

x2 y 2 x2 y 2

y2

xz

xy 2

xy

Figura 2.3: Si ordenamos los s´ımplices de dimensi´on 1 de ∆ de la siguiente forma: {2, 3}, {3, 1}, {1, 2} y el resto en la forma obvia, y escribimos las diferenciales en forma matricial, obtenemos que F∆ es el complejo:  



x      −1    y 2 2 0 −→ S(x y ) −→ S(xy 2 ) ⊕ S(x2 y 2 ) ⊕ S(x2 y) 

−→ S(x2 ) ⊕ S(xy) ⊕ S(y 2 ) ⊕ S(xz)

      

0 y2 y y 0 −x −x −x2 0 0 0 0 −→

x2 xy y 2 xz −→



S −→ 0.

       

2.2. COMPLEJOS CELULARES

41

Vemos que dicho complejo no es exacto, debido a que el elemento (z, 0, 0, −x), en grado homol´ogico 1, tiene imagen nula, y no est´a en la imagen de la diferencial anterior. Por otro lado, vemos que aparece una constante en una de las matrices. Por tanto, incluso si los generadores del ideal son minimales, vemos que un complejo de m´odulos dado por un complejo simplicial no tiene por qu´e ser exacto, ni cumplir la condici´on de minimalidad ∂i (Fi ) ⊂ mFi−1 .

2.2.

Complejos celulares

El punto de partida de las resoluciones celulares, que generalizan el proceso descrito en 2.10, se encuentra en [BStu]. En esta secci´on daremos las definiciones y resultados b´asicos que relacionan los complejos celulares y las resoluciones monomiales. Tradicionalmente en Topolog´ıa Algebraica, se ha intentado buscar un tipo de objeto que generalice a los bien conocidos complejos simpliciales. Un primer paso fueron los politopos y los complejos polihedrales que surgen a partir de ellos. Sin embargo, ciertos problemas requer´ıan un grado de generalizaci´on mayor, para lo cual J.H.C. Whitehead defini´o el concepto de complejo celular o CW. Sin embargo, nosotros nos quedaremos a medio camino entre los complejos polihedrales y los CW, que son los complejos celulares regulares, los cuales denominaremos celulares a secas. Definici´ on 2.14. Llamaremos politopo en Rd a la clausura convexa de una cantidad finita de puntos. Diremos que v1 , . . . , vr ∈ Rd son los v´ ertices del politopo P si este es la clausura convexa de todos ellos, y ninguno est´a en la clausura convexa del resto. Escribiremos V (P) = {v1 , . . . , vr }, y definiremos su dimensi´ on, dim(P), como la dimensi´on del subespacio af´ın generado por sus v´ertices. Llamaremos caras de P a las clausuras convexas de subconjuntos de V (P) que sean de la forma H ∩ P, donde H es un hiperplano de Rd y P est´a contenido en uno de los semiespacios que determina. Convenimos que el vac´ıo es una cara de todo politopo. Un complejo celular polihedral (o simplemente polihedral), X, es una colecci´on de politopos (llamados caras de X) en cierto Rd , que verifican: 1. Si P ∈ X, entonces todas sus caras est´an en X.

42

CAP´ITULO 2. COMPLEJOS SIMPLICIALES Y CELULARES 2. Si P, Q ∈ X, entonces P ∩ Q es una cara de ambos.

Es decir, los conceptos de politopo y complejo polihedral generalizan en su forma geom´etrica los de s´ımplice y complejo simplicial. El t´ermino polihedro se utiliza en la literatura para denotar a los subconjuntos de Rd que son intersecci´on de una cantidad finita de semiespacios, y se puede probar que entonces los politopos son justo los polihedros acotados (ver [BH, section 5.2]). Por otro lado, en la definici´on de cara de un politopo, es superfluo que sean la clausura convexa de un subconjunto de v´ertices: se puede ver que todo subconjunto de un politopo P de la forma H ∩ P, donde P est´a en un semiespacio determinado por H, es la clausura convexa de un subconjunto de V (P). V´ease la figura 2.4. H1

H2

P

Figura 2.4: Caras de un politopo. Una generalizaci´on, no tan abstracta como la de complejo CW, es la siguiente: Definici´ on 2.15. Un complejo celular (regular) es un par X = (|X|, Γ), donde |X| es un espacio topol´ogico de Hausdorff y Γ una colecci´on finita de subconjuntos suyos, llamados caras o c´ elulas abiertas, tales que: 1. |X| =

S

Γ.

2. Si e, e0 ∈ Γ son distintos, entonces e ∩ e0 = ∅. 3. Para todo e ∈ Γ no vac´ıo, existe un homeomorfismo fe : B i −→ e, que se restringe a un homeomorfismo fe : Bi −→ e, donde Bi es la bola

2.2. COMPLEJOS CELULARES

43

eucl´ıdea unidad (en Ri ) de dimensi´on i ≥ 0, y E indica la adherencia de E. 4. ∅ ∈ Γ. Se dice que e ∈ Γ tiene dimensi´ on i, y se escribe dim(e) = i, si e es homeomorfo a Bi . Denotamos por Γi al conjunto de caras de X de dimensi´on i y llamamos v´ ertices de X a las caras de dimensi´on cero, donde escribimos V (X) = Γ0 . Convenimos que Γ−1 = {∅}. Definimos la dimensi´ on de X como dim(X) = m´ax{i/Γi 6= ∅}. Por otro lado, dados e, e0 ∈ Γ, se dice que e es una cara (resp. propia) de e0 si e ⊂ e0 (resp. si adem´as, e 6= e0 ). Se dice que Y = (|Y |, ∆) es un subcomplejo de X si |Y | ⊂ |X| es cerrado y tiene la topolog´ıa inducida, y ∆ ⊂ Γ. Tras estas definiciones, haremos varios comentarios. Primero, la dimensi´ on de una cara de X est´a bien definida, pues Bi ∼ = Bj s´olo si i = j (gracias al teorema de invarianza del dominio [Rot, theorem 6.36] o quitando un punto a ambos y hallando la homolog´ıa singular [Rot, theorem 6.8]). Por otro lado, si e es una cara propia de e0 , debe ser dim(e) < dim(e0 ) (de nuevo por invarianza del dominio, ver [Rot, exercise 6.20]). Adem´as, por convenio definimos R0 = {0} y B0 = {0}, por lo que los v´ertices son conjuntos unipuntuales. Por otra parte, dar un subcomplejo de un complejo X es equivalente a dar una subcolecci´on ∆ ⊂ Γ tal que, siSe ∈ Γ es una cara de e0 ∈ ∆, entonces e ∈ ∆ (en tal caso, se definir´ıa |Y | = ∆). Por u ´ltimo, los complejos polihedrales realmente generalizan a los simpliciales, y a su vez, los celulares a los polihedrales. Dejamos recogidos estos hechos en la siguiente proposici´on, cuya demostraci´on omitimos por sencillez: Proposici´ on 2.16. Todo s´ımplice en Rd es un politopo y, por tanto, todo complejo simplicial geom´etrico es un complejo polihedral. Por S otro lado, todo complejo polihedral X es un complejo celular, donde |X| = X, y sus c´elulas abiertas son los politopos de X, sustrayendo de ellos sus caras propias. Adem´as, los conceptos de v´ertice, cara y dimensi´on, coinciden salvo que una cara de un complejo simplicial o polihedral es la adherencia de una cara del complejo celular correspondiente.

CAP´ITULO 2. COMPLEJOS SIMPLICIALES Y CELULARES

44

Antes de continuar, conviene tener en cuenta las siguientes propiedades, triviales para complejos simpliciales, sencillas para polihedrales, y cuya demostraci´on para complejos celulares requiere de nuevo el uso del teorema de invarianza del dominio (ver [Mas, section IV.6, (1) y (3)]): Lema 2.17. Dado un complejo celular X = (|X|, Γ), e, e0 ∈ Γ, se verifica: 1. Si dim(e) < dim(e0 ) y e ∩ (e0 \ e0 ) 6= ∅, entonces e es una cara de e0 . 2. Si e es una cara de e0 y dim(e0 ) − dim(e) = 2, entonces existen exactamente dos caras e1 , e2 ∈ Γ, tales que e es una cara propia de ambas y ambas son caras propias de e0 . En particular, dim(e1 ) = dim(e2 ) = dim(e) + 1 = dim(e0 ) − 1. En particular, toda cara e ∈ Γ, de dimensi´on dim(e) > 0, tiene al menos dos v´ertices como caras suyas. Este lema nos permite considerar funciones de incidencia, necesarias para definir la homolog´ıa celular: Definici´ on 2.18. Dado un complejo celular X = (|X|, Γ), una funci´ on de incidencia sobre X es una aplicaci´on  : {(e, e0 ) ∈ Γ2 / dim(e0 ) − dim(e) = 1} −→ {0, 1, −1} tal que: 1. (e, e0 ) 6= 0 si, y s´olo si, e es una cara de e0 . 2. (∅, e) = 1, para todo v´ertice e ∈ Γ0 . 3. Si e, e0 ∈ Γ son tales que e es una cara de e0 y dim(e0 ) − dim(e) = 2, entonces (e, e1 )(e1 , e0 ) + (e, e2 )(e2 , e0 ) = 0, para las dos caras propias e1 , e2 de e0 que contienen a e. El concepto de funci´on de incidencia formaliza el de orientaci´ on relativa. Es decir, indica cu´ando una cara lo es de otra (por la propiedad 1), y en caso afirmativo, indica si la orientaci´on de la cara mayor induce la de la cara menor (mediante un signo positivo o negativo). El siguiente lema, que no demostraremos (ver [Mas, section IV.5 y lemma IV.7.1]), es necesario para que la definici´on de homolog´ıa celular sea consistente.

2.2. COMPLEJOS CELULARES

45

Lema 2.19. Para cualquier complejo celular existe al menos una funci´on de incidencia. Definici´ on 2.20. Sea X = (|X|, Γ) un complejo celular de dimensi´on d. Denotamos por k Γi al k-espacio vectorial de base Γi . Se define entonces el complejo de cadenas (aumentado) de X sobre k como el complejo: ∂1 ∂0 ∂d e k Γ0 −→ k Γ−1 −→ 0, C(X, k) ≡ 0 −→ k Γd −→ k Γd−1 −→ . . . −→ k Γ1 −→

donde la diferencial es: ∂i (e) =

X

(e0 , e)e0 ,

e0 ∈Γi−1

e i (X, k) = ker(∂i )/Im(∂i+1 ), y definimos su homolog´ıa reducida i-´esima como H para −1 ≤ i ≤ d. Por otro lado, dados monomios m1 , . . . , mr ∈ S, definimos el complejo de cadenas etiquetado asociado a X y m1 , . . . , mr , como el complejo: ∂

∂d+1

∂

2 1 FX ≡ 0 −→ Fd+1 −→ Fd −→ . . . −→ F2 −→ F1 −→ F0 −→ 0,

donde Fi es el S-m´odulo libre de base Γi−1 , V (X) = {v1 , . . . , vr }, multigraduado por mdeg(e) = me = mcm{mj /vj ∈ e} (tiene sentido por 2.17), y cuya diferencial es: X (e0 , e)(me /me0 )e0 . ∂i+1 (e) = e0 ∈Γi−1

De nuevo, se verifica que ∂i−1 ∂i = 0, donde la demostraci´on es la misma que para el caso de complejos simpliciales, donde ahora se utilizan las propiedades de la funci´on de incidencia. Se observar´a que hemos definido el complejo de cadenas de X utilizando una funci´on de incidencia, sin especificar cu´al. Se puede demostrar que para dos de estas funciones cualesquiera, obtenemos un isomorfismo can´onico entre ambos complejos de cadenas (ver [BH, theorem 6.2.2] y [Mas, theorem IV.7.2]). De nuevo, lo que hemos hecho es considerar dos complejos de m´odulos construidos a partir de X. Uno, no etiquetado, y que guarda la informaci´on topol´ogica de X, y otro, etiquetado, que proporciona un complejo sobre el ideal I = hm1 , . . . , mr i. Esto generaliza la construcci´on 2.10:

46

CAP´ITULO 2. COMPLEJOS SIMPLICIALES Y CELULARES

Proposici´ on 2.21. Dado un complejo simplicial abstracto ∆ en los v´ertices e su realizaci´on geom´etrica en Rr (ver 2.2), y cuyos v´ertices {1, 2, . . . , r}, ∆ {v1 , v2 , . . . , vr } se corresponden en orden con los de ∆, se tiene que la asignaci´on (σ, σ \ jp ) = (−1)p , donde σ = {j0 , j1 , . . . , ji } ∈ ∆, define una funci´on de incidencia para el e y los complejos de cadenas definidos en 2.10 para ∆ complejo celular ∆, e y . coinciden con los definidos en 2.20 para ∆ Definici´ on 2.22. Sean I ⊂ S un ideal monomial generado por los monomios m1 , . . . , mr ∈ S y X = (|X|, Γ) un complejo celular de r v´ertices. Si FX es exacto salvo en grado homol´ogico i = 0, se dice que es una resoluci´ on celular de S/I. Observaci´ on 2.23. Dada esta definici´on, surgen varias preguntas. Por un lado, nos preguntamos si todo ideal monomial admite una resoluci´on celular. La respuesta es afirmativa, y de hecho, la resoluci´on de Taylor, que veremos en la siguiente secci´on, proporciona una resoluci´on simplicial para todo ideal monomial. Por otro lado, nos preguntamos si hay ideales monomiales cuya resoluci´on minimal sea simplicial, celular pero no simplicial, o ninguna de las dos cosas. Los tres casos pueden ocurrir. La resoluci´on minimal del ideal m es el complejo de Koszul K(x1 , . . . , xn ), que, como veremos en el siguiente cap´ıtulo, coincide con la resoluci´on de Taylor y, por tanto, es simplicial. Al final de la secci´on 3.4 veremos un ejemplo de ideal fuertemente estable cuya resoluci´on minimal es polihedral pero no simplicial. Y por u ´ltimo, en [Vel] se dan ejemplos de ideales monomiales cuya resoluci´on minimal no es celular. Dado un complejo celular X = (|X|, Γ) etiquetado por los monomios m1 , . . . , mr ∈ S, y a ∈ Nn tal que xa ∈ I, denotaremos por X≺a y Xa a los subcomplejos celulares dados por las caras con multigrados b ≺ a y b  a, respectivamente, donde a  b si, y s´olo si, ai ≤ bi , para cada i. Obviamente, / I. Un criterio sencillo de ninguna cara de X tiene multigrado  a si xa ∈ exactitud es el siguiente: Lema 2.24. Dado un complejo celular X y unos monomios m1 , . . . , mr ∈ S, FX es una resoluci´on celular de S/I (para I = hm1 , . . . , mr i) si, y s´olo si, Xa es ac´ıclico (su homolog´ıa reducida es nula), para cada a ∈ Nn tal que xa ∈ I.

2.2. COMPLEJOS CELULARES

47

Demostraci´ on. Como FX es multigraduado, su homolog´ıa verifica Hi (FX ) = L a Hi (FX )a , y Hi (FX )a = Hi (FX,a ), donde FX,a es el subcomplejo de kespacios vectoriales de FX formado por los elementos de multigrado a. Por tanto, vemos que FX es exacto en grado homol´ogico i si, y s´olo si, FX,a tambi´en lo es, para cada a ∈ Nn . Ahora bien, se ve f´acilmente que FX,a es un complejo can´onicamente e a , k), cuando xa ∈ I, que siempre tiene homolog´ıa nula isomorfo a C(X en i = 0. Observemos que la homolog´ıa que aparece en FX , para el grado homol´ogico i = 0, proviene precisamente de los multigrados a que verifican que xa ∈ / I. Por otro lado, la informaci´on topol´ogica de los complejos celulares, junto con su etiquetado, proporcionan tambi´en algunos invariantes de los ideales monomiales que resuelven: Teorema 2.25. Sea FX una resoluci´on celular de S/I, para un ideal monomial I ⊂ S. Entonces: e i−1 (X≺a , k)), βi,a (I) = dimk (H si xa ∈ I, y βi,a (I) = 0 en otro caso. Demostraci´on. Si xa ∈ / I, es claro que βi,a (I) = 0. Si xa ∈ I, utilizaremos la caracterizaci´on en t´erminos de Tor (proposici´on 1.6). Se ve f´acilmente que e a , k)i por C(X e ≺a , k)i , es decir, tenemos (FX ⊗S k)i,a es el cociente de C(X la sucesi´on exacta corta: e ≺a , k) −→ C(X e a , k) −→ (FX ⊗S k)a −→ 0. 0 −→ C(X Por el lema anterior, Xa es ac´ıclico, por lo que el resultado se deduce tomando la sucesi´on exacta larga en homolog´ıa (ver [Mar, teorema 2.3]). Y en cuanto a la serie de Hilbert, esta queda determinada por la versi´on multigraduada de la bien conocida caracter´ıstica de Euler de un complejo simplicial o celular: Definici´ on 2.26. Dado un complejo celular X = (|X|, Γ) etiquetado por los monomios m1 , . . . , mr ∈ S, se define su caracter´ıstica de Euler multigraduada como el polinomio: X χ(X; x1 , . . . , xn ) = (−1)1+dim(e) me , e∈Γ

48

CAP´ITULO 2. COMPLEJOS SIMPLICIALES Y CELULARES

donde me = mcm{mj /vj es un v´ertice de e}. Si tomamos la definici´oP n usual de caracter´ıstica de Euler (ver [Rot, p´aginas 145 y 221]), χ(X) = i (−1)i fi (X), donde fi (X) es el n´ umero de caras de X de dimensi´on i, obtenemos que: χ(X) = −χ(X; 1, . . . , 1). Teorema 2.27. Sea X un complejo celular etiquetado por los monomios m1 , . . . , mr ∈ S, y sea I = hm1 , . . . , mr i. Si FX es una resoluci´on celular de S/I, entonces: HS/I (x1 , . . . , xn ) =

χ(X; x1 , . . . , xn ) . (1 − x1 ) · · · (1 − xn )

Demostraci´on. Tenemos que χ(X; x1 , . . . , xn ) = (1 − x1 ) · · · (1 − xn )

! X

(−1)1+dim(e)

e∈Γ

X

me xa .

a∈Nn

Ahora bien, para cada multigrado b, si hallamos dimk ((S/I)b ) mediante una suma alternada para FX,b , obtenemos que: X dimk ((S/I)b ) = (−1)1+dim(e) , para los e ∈ Γ tales que me divide a xb , de donde se deduce el resultado.

2.3.

La resoluci´ on de Taylor

En esta secci´on construiremos la resoluci´ on de Taylor, que consiste en el ejemplo m´as sencillo de resoluci´on celular. De hecho, es una resoluci´on simplicial construida a partir de un s´ımplice, y puede aplicarse a cualquier ideal monomial. Su principal desventaja es que no s´olo no ser´a minimal en la mayor´ıa de los casos, sino que su longitud coincide con el n´ umero de generadores monomiales elegido para el ideal que resuelve, y por tanto puede ser muy grande, alej´andose de la cota que proporciona el teorema de las sicigias de Hilbert y que es el n´ umero de variables, n (ver [Mar, teorema 1.48]).

´ DE TAYLOR 2.3. LA RESOLUCION

49

Por otro lado, el complejo de Koszul ([Mar, secci´on 2.4]) construido a partir de una sucesi´on S-regular de monomios ser´a un caso particular de resoluci´on de Taylor. Esta nueva interpretaci´on del complejo de Koszul sugiere definir un complejo simplicial de Koszul asociado al ideal monomial de partida para hallar sus n´ umeros de Betti de forma similar a 1.7. Definici´ on 2.28. Sea I ⊂ S un ideal monomial generado por los monomios m1 , . . . , mr ∈ S. Definimos la resoluci´ on de Taylor de S/I asociada a los generadores m1 , . . . , mr como TI , el complejo de cadenas etiquetado asociado a ∆ y m1 , . . . , mr , donde ∆ es el complejo simplicial (r − 1)-dimensional formado por todos los subconjuntos de {1, 2, . . . , r} (es decir, un “s´ımplice lleno”). En principio, TI depende del sistema de generadores elegido, pero no haremos referencia a estos a no ser que sea necesario. Podemos describir expl´ıcitamente dicho complejo de forma an´aloga al complejo de Koszul, utilizandoVproductos exteriores, debido a la simple estructura de ∆: Definimos TI,i = i (S r ), y podemos tomar como base multigraduada ej1 ∧ . . . ∧ eji , donde mdeg(ej1 ∧ . . . ∧ eji ) = mcm{mj1 , . . . , mji }, siempre que 1 ≤ j1 < j2 < . . . < ji ≤ r, e i ≤ r. La diferencial de TI en esta base tiene la siguiente expresi´on: ∂i (ej1 ∧. . .∧eji ) =

i X p=1

(−1)p+1

mcm(mj1 , . . . , mji ) (ej1 ∧. . .∧ec jp ∧. . .∧eji ). mcm(mj1 , . . . , m d jp , . . . , mji )

Antes de comprobar su exactitud, veamos que el complejo de Koszul es un caso particular (recordemos de [Mar, secci´on 2.4] la definici´on de sucesi´on regular y complejo de Koszul asociado): Teorema 2.29. Sea m = (m1 , . . . , mr ) una sucesi´on S-regular de monomios de S. Entonces (K(m), d) = (TI , ∂), donde (K(m), d) es el complejo de Koszul asociado a m, e I = hm1 , . . . , mr i. Adem´as, es su resoluci´on libre minimal multigraduada. Demostraci´on. Se deduce de la descripci´on anterior en t´erminos de productos exteriores. Observemos que m es S-regular si, y s´olo si, los monomios mi no comparten variables, lo que equivale a mcm{mj1 , . . . , mji } = mj1 · · · mji , si 1 ≤ j1 < j2 < . . . < ji ≤ r, e i ≤ r. El hecho de que sea minimal es obvio, pues se cumple la condici´on ∂i+1 (TI,i+1 ) ⊂ mTI,i .

50

CAP´ITULO 2. COMPLEJOS SIMPLICIALES Y CELULARES

Observaci´ on 2.30. Podemos decir m´as. Sabemos tambi´en que m es Sregular si, y s´olo si, K(m) es exacto (por [Mar, teorema 2.30]), y como veremos a continuaci´on, TI siempre lo es. Por tanto, vemos que de hecho, K(m) = TI si, y s´olo si, m es S-regular. En cuanto a lo que coment´abamos antes sobre la longitud de TI , sabemos que es justo el n´ umero de generadores escogidos, y la resoluci´on minimal de I tiene longitud a lo sumo n. Ahora bien, si m es S-regular, al no compartir variables, debe ser r ≤ n, por lo que no entramos en ninguna contradicci´on (ver tambi´en el ejemplo 1.11). Ahora, para ver su exactitud, utilizamos el criterio 2.24 y observamos que, para cada a ∈ Nn tal que xa ∈ I, ∆a es el complejo simplicial formado por todos los subconjuntos de {j/mj divide a xa }, por lo que vuelve a ser un “s´ımplice lleno”. Procedemos ahora de dos formas. Un argumento topol´ ogico ser´ıa el siguiente: podemos aplicar directamente [Rot, corollary 7.18], que dice s´ımplemente que estos complejos son ac´ıclicos, o ver que su homolog´ıa reducida coincide con la homolog´ıa singular de |∆| (por [Rot, theorem 7.22], para una realizaci´on geom´etrica cualquiera de ∆), que es un subconjunto convexo de cierto Rd y por tanto tiene homolog´ıa singular nula (por [Rot, theorem 4.19]). Pero tambi´en podemos dar un argumento algebraico: podemos aprovechar lo que conocemos del complejo de Koszul K(x1 , . . . , xn ). Sabemos que es multigraduado y exacto (ver 1.7). Ahora bien, K(x1 , . . . , xn ) = Tm para los generadores x1 , . . . , xn de m, y para cada r ≤ n, ∆x1 ···xr es el complejo simplicial formado por todos los subconjuntos de {1, 2, . . . , r}, y es ac´ıclico por 2.24. Es decir, aunque el complejo K(x1 , . . . , xn ) sea un caso muy particular de resoluci´on de Taylor, conocer su exactitud equivale a conocer la exactitud de todas las resoluciones de Taylor posibles. En el cap´ıtulo 3 veremos otra demostraci´on. Aunque la resoluci´on de Taylor no sea minimal, permite obtener algunas cotas (poco ajustadas en general) para los n´ umeros de Betti. Recogemos estos hechos en la siguiente proposici´on, que se deducen directamente de la propia resoluci´on: Proposici´ on 2.31. Sea I ⊂ S un ideal monomial generado por los monomios m1 , . . . , mr ∈ S. Entonces,

´ DE TAYLOR 2.3. LA RESOLUCION

51

S 1. βi,a (S/I) = 0, si xa no divide a mcm{m1 , . . . , mr }. S 2. Si I es libre de cuadrados, entonces βi,a (S/I) = 0 si xa no es libre de cuadrados.

3. reg(S/I) ≤ deg(mcm{m1 , . . . , mr }). En los apartados 1 y 3, se pueden ajustar las cotas tomando como m1 , . . . , mr el sistema minimal de generadores monomiales de I. Observaci´ on 2.32. El apartado 2 asegura que los n´ umeros de Betti multigraduados no nulos de un ideal libre de cuadrados caen en multigrados que son libres de cuadrados. Observamos que, de la descripci´on de la resoluci´on de Eliahou-Kervaire libre de cuadrados de la secci´on 1.5, los ideales estables libres de cuadrados son un ejemplo no trivial de este hecho. Por u ´ltimo, introduciremos el complejo simplicial de Koszul asociado a un ideal monomial. Dicho complejo simplicial permite calcular los n´ umeros de Betti de dicho ideal, en analog´ıa a c´omo lo permite el complejo de Koszul K(x1 , . . . , xn ) tensorizado con dicho ideal (ver 1.7). Definici´ on 2.33. Sea I ⊂ S un ideal monomial, y sea a ∈ Nn un multigrado. Se define el complejo simplicial de Koszul asociado a I en multigrado a como: K a (I) = {σ ⊂ {1, 2, . . . , n}/xa−σ ∈ I}, Q ai donde xa−σ = i∈σ / xi , como en 2.4. Teorema 2.34. Dado un ideal monomial I ⊂ S y a ∈ Nn , se tiene: e i−1 (K a (I), k)). β S (I) = dimk (H i,a

Demostraci´on. Primero, por 1.7, tenemos que S βi,a (I) = dimk (Hi (K(x1 , . . . , xn ) ⊗ I)a ).

Ahora veamos que los complejos de k-espacios vectoriales (K(x1 , . . . , xn )⊗I)a e a (I), k) son can´onicamente isomorfos, salvo por el correspondiente y C(K desfase en grado homol´ogico (seg´ un 2.11): Primero, una base de (K(x1 , . . . , xn ) ⊗ I)a,i la forman los elementos (ej1 ∧ . . . ∧ eji ) ⊗ xb , donde, si τ = {j1 , . . . , ji }, entonces xb = xa−τ ∈ I. Estos se corresponden con los s´ımplices que aparecen en K a (I). Por otro lado, es claro de sus definiciones, que ambas diferenciales coinciden en dichas bases. Por lo tanto, ambos complejos son isomorfos.

52

2.4.

CAP´ITULO 2. COMPLEJOS SIMPLICIALES Y CELULARES

La resoluci´ on de Eliahou-Kervaire

En esta secci´on no demostraremos que la resoluci´on de Eliahou-Kervaire realmente es un complejo exacto, pero hallaremos los n´ umeros de Betti multigraduados (y por tanto el resto de invariantes que aparecen en 1.36) de un ideal fuertemente estable viendo que coinciden con los del m´odulo inicial del m´odulo de sus primeras sicigias, para ciertos o´rdenes monomiales. Esto da una informaci´on complementaria, ya que indica que el m´odulo de primeras sicigias de un ideal fuertemente estable verifica la igualdad en 1.23. Para llegar a este objetivo, veremos qu´e propiedades verifican los complejos simpliciales de Koszul de un ideal fuertemente estable. Para este estudio necesitamos algunas nociones t´ecnicas sobre complejos simpliciales, que desarrollaremos seg´ un sea necesario para nuestros prop´ositos. Definici´ on 2.35. Sean ∆0 ⊂ ∆ dos complejos simpliciales. Definimos el complejo de cadenas relativo al par (∆0 , ∆) como el complejo: 0 ∂i e 0 , ∆, k) ≡ . . . −→ k Γi (∆)\Γi (∆0 ) −→ k Γi−1 (∆)\Γi−1 (∆ ) −→ . . . , C(∆ 0

es decir, el complejo formado por los cocientes k Γi (∆) /k Γi (∆ ) , con las diferenciales inducidas. Se define entonces la homolog´ıa relativa i-´esima del par e i (∆0 , ∆) = ker(∂ i )/Im(∂ i+1 ). (∆0 , ∆) como H Es sencillo ver que dicho complejo de k-espacios vectoriales est´a bien definido, y de hecho tenemos la sucesi´on exacta corta natural: e 0 , k) −→ C(∆, e e 0 , ∆, k) −→ 0, 0 −→ C(∆ k) −→ C(∆ que induce la sucesi´on exacta larga en homolog´ıa (por [Mar, teorema 2.3]): e i+1 (∆0 , ∆) −→ H e i (∆0 ) −→ H e i (∆) −→ H e i (∆0 , ∆) −→ H e i−1 (∆0 ) −→ . . . . . . −→ H Otro par de conceptos t´ecnicos que necesitaremos son los siguientes: Definici´ on 2.36. Sea ∆ un complejo simplicial en los v´ertices {1, 2, . . . , r}. Decimos que es desfasado o shifted si verifica la siguiente condici´on: Para todos 1 ≤ i < j ≤ r, y para toda cara σ ∈ ∆ con i ∈ σ, se verifica (σ \ i) ∪ j ∈ ∆. Por otro lado, considerando un v´ertice m´as, r + 1, definimos el cono de ∆ desde el v´ertice r + 1 como el complejo simplicial: (r + 1) ∗ ∆ = {σ ∪ {r + 1}/σ ∈ ∆}.

´ DE ELIAHOU-KERVAIRE 2.4. LA RESOLUCION

53

La formaci´on del cono sobre un complejo simplicial es la usual en topolog´ıa. V´ease la figura 2.5. r+1 (r + 1) ∗ ∆

∆

Figura 2.5: Cono sobre ∆. Los complejos simpliciales de Koszul de un ideal fuertemente estable ser´an desfasados, y es por lo que introducimos esta noci´on. Necesitaremos la siguiente propiedad que cumplen este tipo de complejos: Lema 2.37. Sea ∆ un complejo simplicial desfasado en los v´ertices {1, 2, . . . , r}, y sea ∆0 ⊂ ∆ el subcomplejo formado por las caras de ∆ que no tienen a r e i (∆, k)) es el n´ como v´ertice. Entonces, dimk (H umero de caras maximales, σ, 0 de dimensi´on i de ∆ tales que σ ∪ r no es una cara de ∆. Es decir: e i (∆, k)) = #(Γi+1 (r ∗ ∆0 ) \ Γi+1 (∆)). dimk (H Demostraci´on. Obviamente ∆ ⊂ r ∗ ∆0 , por lo que podemos considerar la homolog´ıa relativa de dicho par. Por la sucesi´on exacta larga correspondiente, tenemos para cada i la sucesi´on exacta e i+1 (r ∗ ∆0 ) −→ H e i+1 (r ∗ ∆0 , ∆) −→ H e i (∆) −→ H e i (r ∗ ∆0 ). H Ahora bien, si tomamos la realizaci´on geom´etrica est´andar, vemos que |r ∗∆0 | es un espacio contr´actil, de hecho, es el cono sobre |∆0 | seg´ un la definici´on usual en topolog´ıa, que sabemos que es contr´actil ([Rot, theorem 1.11]), y como ya hab´ıamos comentado, su homolog´ıa reducida coincide con su homolog´ıa singular ([Rot, theorem 7.22]) y esta es nula por ser contr´actil ([Rot, corollary 4.25]). En resumen, juntando esto con la sucesi´on exacta anterior, e i (∆) ∼ e i+1 (r ∗ ∆0 , ∆). obtenemos que H =H

54

CAP´ITULO 2. COMPLEJOS SIMPLICIALES Y CELULARES

Por otro lado, como ∆ es desfasado, se comprueba f´acilmente que, en e 0 , ∆, k), la diferencial es nula, ya que, si σ ∈ ∆0 , el complejo relativo C(∆ entonces todas las caras de σ ∪ r est´an en ∆. Por lo tanto, e i+1 (r ∗ ∆0 , ∆)) = dimk (k Γi+1 (r∗∆0 ) /k Γi+1 (∆) ), dimk (H de donde se deduce el resultado. Ya disponemos de las herramientas combinatorias necesarias para continuar con nuestro estudio. En el resto de la secci´on, fijaremos I ⊂ S un ideal fuertemente estable, {m1 , . . . , mr } su sistema minimal de generadores monomiales y M ⊂ S r el primer m´odulo de sicigias de I, es decir, seg´ un la notaci´on de [Mar, secciones 1.3 y 1.5], M = Sic(m1 , . . . , mr ) = Sic1 (I). Por comodidad, denotaremos ui = m´ax(mi ), y ordenaremos los monomios mi de forma que, si i > j, entonces ui ≤ uj y deguj (mi ) ≤ deguj (mj ), donde degu indica el grado de un monomio respecto de la variable xu . En los siguientes resultados utilizamos la notaci´on de [Mar, cap´ıtulo 3] sobre o´rdenes monomiales y bases de Groebner, y la notaci´on de la secci´on 1.4 sobre ideales fuertemente estables. Teorema 2.38. El conjunto G = {xu ej −e(xu mj )ei /u < uj y mi = b(xu mj )} es la base de Groebner reducida de M , para cualquier orden POT, e2 > . . . > en . En particular: 1. in(M ) =

Lr

i=1 hx1 , x2 , . . . , xuj −1 iej .

S 2. βp,a (in(M )) es el n´ umero de ´ındices i ∈ {1, 2, . . . , r} tales que xa = xσ mi , para cierto σ ⊂ {1, 2, . . . , ui − 1} con #σ = p + 1.

Demostraci´on. Lo primero que debemos tener en cuenta es que M ⊂ S r es un subm´odulo multigraduado para la multigraduaci´on S(m1 ) ⊕ . . . ⊕ S(mr ), pero no tiene por qu´e ser monomial, seg´ un lo visto en la secci´on 1.1. Ahora, sean 1 ≤ j ≤ r y u < uj . Por el lema 1.35, podemos escribir xu mj = m0 mi , con mi = b(xu mj ) y m0 = e(xu mj ), y ui ≤ m´ın(m0 ). En particular vemos que i 6= j, y veamos que de hecho i > j. Claramente, m´ın(m0 ) ≤ uj , y si tenemos que m´ın(m0 ) < uj , entonces no puede ser j > i por c´omo hemos ordenado los mi , ya que tendr´ıamos uj > m´ın(m0 ) ≥ ui y

´ DE ELIAHOU-KERVAIRE 2.4. LA RESOLUCION

55

uj ≤ ui . Y si m´ın(m0 ) = uj , entonces debe ser deguj (mi ) < deguj (mj ), por ser xu mj = m0 mi , por lo que tampoco puede ser j > i. En definitiva, xu ej − e(xu mj )ei ∈ M y es una sicigia no nula, por lo que G ⊂ M . Veamos que es una base de Groebner de M para j. Si G no fuera base de Groebner, por ser I monomial, existir´ıa una sicigia no nula de la forma m00 ej − m0 ei , con m0 , m00 ∈ S monomios, tales que xu el no divide a m0 ei ni a m00 ej para ning´ un l y ning´ un u < ul . Esto implica que 0 00 m´ın(m ) ≥ ui y m´ın(m ) ≥ uj , pero entonces el monomio m = m0 mi = m00 mj admitir´ıa dos descomposiciones distintas como la indicada en el lema 1.35, lo cual es absurdo. Finalmente, para ver que G es reducida, basta observar que si i > j y u < uj , y v < ui , entonces xv ei no divide a e(xu mj )ei , por ser v < ui ≤ m´ın(e(xu mj )). Ahora, el apartado 1 se deduce de que in(xu ej −e(xu mj )ei ) = xu ej , si i > j, u < uj . Por tanto, la resoluci´on libre minimal multigraduada de in(M ) es la suma directa de los correspondientes complejos de Koszul, utilizando en cada uno la multigraduaci´on dada por mdeg(e0j1 ∧ . . . ∧ e0ji ) = xj1 · · · xji mj , si 1 ≤ j1 < . . . ji ≤ uj − 1, para la correspondiente base can´onica {e01 , . . . , e0uj −1 }. Esto es debido a que estamos dando la multigraduaci´on mdeg(ej ) = mj en Sr. Por la expresi´on que hemos obtenido de los n´ umeros de Betti multigraS S duados de in(M ), vemos que si realmente se verifica βp,a (in(M )) = βp,a (M ), y no s´olo la desigualdad en el teorema 1.23, entonces los n´ umeros de Betti que surgir´ıan de la resoluci´on de Eliahou-Kervaire, si fuera realmente una resoluci´on, son los correctos. Veamos entonces que se cumple dicha igualdad: Teorema 2.39. En la situaci´on anterior, para cada a ∈ Nn y cada p ≥ 0, S S βp,a (in(M )) ≤ βp,a (M ) y por tanto, son iguales. S Demostraci´on. Sea a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Nn tal que βp,a (in(M )) 6= 0, y sea S k = m´ax{i/ai 6= 0}. Por el apartado 2 del teorema anterior, βp,a (in(M )) es el n´ umero de ´ındices j ∈ {1, 2, . . . , r} que proporcionan un σ ⊂ {1, 2, . . . , uj − 1} tal que xa = xσ mj y #σ = p + 1. Para cada uno de estos, es claro que degxk (mj ) = ak , por lo que los s´ımplices anteriores verifican que σ ∈ {1, 2, . . . , k − 1}.

56

CAP´ITULO 2. COMPLEJOS SIMPLICIALES Y CELULARES

S S e p (K a (I))). Por otro lado, por 2.34, tenemos βp,a (M ) = βp+1,a (I) = dimk (H Ahora, por ser I fuertemente estable, tenemos que K a (I) es desfasado, y es sencillo ver que es un complejo simplicial en los v´ertices {1, 2, . . . , k}. Por el lema 2.37, tenemos que: S S βp,a (M ) = #(Γp+1 (k ∗ ∆0 ) \ Γp+1 (K a (I))) ≥ βp,a (in(M )),

donde ∆0 es como en 2.37, y la u ´ltima desigualdad se deduce de lo descrito en el p´arrafo anterior.

Cap´ıtulo 3 Mapping Cones La t´ecnica de considerar “conos” sobre un cierto espacio topol´ogico es tradicional en Topolog´ıa Algebraica, pues sirve para reflejar cu´ando una aplicaci´on continua puede ser hom´otopa a una aplicaci´on constante. De forma m´as general, se puede considerar lo que se denomina “mapping cone” de dos espacios topol´ogicos, y que tambi´en refleja propiedades de homotop´ıa (ver [Mas, section X.3]). Pasando a los complejos de m´odulos que surgen en las teor´ıas de ho´ molog´ıa singular, simplicial, celular, etc. se defini´o su versi´on en Algebra Homol´ogica, tambi´en denominada “mapping cone”, y que es la que trataremos en este cap´ıtulo (ver [Wei, pages 19, 20] para un breve comentario). La idea de utilizar esta t´ecnica para obtener resoluciones de ideales monomiales ha ido surgiendo poco despu´es de que apareciera la resoluci´ on de Eliahou-Kervaire y, hasta la fecha, este es quiz´a el ejemplo m´as claro donde ha tenido ´exito. Cinco a˜ nos despu´es de la aparici´on del art´ıculo original [EK], en 1995 el art´ıculo [EC] dio un primer paso en este sentido, definiendo de forma precisa la t´ecnica que se utilizar´ıa m´as adelante, que es la de mapping cones iterados. M´as adelante, en [HT] (y en una versi´on simplificada, en [PS]), se aplic´o esta t´ecnica para ideales monomiales que admiten cocientes lineales y funciones de descomposici´ on regulares, que son precisamente las herramientas que permiten que el proceso de mapping cones iterados funcione. Sin embargo, no existen muchas familias de ideales con propiedades tan fuertes, y es precisamente la de ideales estables (y estables libres de cuadrados) 57

CAP´ITULO 3. MAPPING CONES

58

la que mejor se adapta a estas herramientas. Es por ello que veremos dicho proceso para la resoluci´on de Eliahou-Kervaire, en la forma en que aparece en [HT], que ha sido apodada en otros art´ıculos como resoluci´ on de EliahouKervaire generalizada, y que se ha demostrado que es celular de forma simult´anea en los art´ıculos en [DM] y [Goo]. Veremos tambi´en c´omo la exactitud de la resoluci´on de Taylor se puede obtener con esta t´ecnica.

3.1.

Planteamiento general

En esta primera secci´on daremos la construcci´on general, y que actualmente sigue abierta a nuevas aplicaciones, m´as all´a de situaciones tan espec´ıficas como la de ideales monomiales con cocientes lineales y funciones de descomposici´on. Recordemos las definiciones b´asicas de complejos y morfismos de complejos ([Mar, definiciones 1.25 y 1.27] o´ [Wei, definition 1.1.1]). Definici´ on 3.1. Sean R un anillo cualquiera, (F, d) y (G, ∂) dos complejos de R-m´odulos y ϕ : F −→ G un morfismo entre ellos. Llamamos mapping cone de ϕ al complejo de R-m´odulos MC(ϕ) dado por M Ci = Fi−1 ⊕ Gi , y cuya diferencial es: δi (m, n) = (−di−1 (m), ϕi−1 (m) + ∂i (n)),

∀(m, n) ∈ Fi−1 ⊕ Gi .

Cuando no sea necesario especificar el morfismo ϕ, escribiremos simplemente MC. Conviene recordar c´omo se define la diferencial del mapping cone seg´ un el siguiente diagrama, o mediante una matriz de morfismos: −di−1

Fi−1 −→ Fi−2 δi ≡ ⊕ & ϕi−1 ⊕ Gi

∂i

−→

Gi−1

 o´ δi =

−di−1 0 ϕi−1 ∂i

 .

Expresar morfismos de R-m´odulos entre dos sumas directas como matrices cuyos coeficientes son a su vez morfismos de R-m´odulos puede aligerar la notaci´on, y por tanto la utilizaremos en algunas ocasiones. Las reglas de composici´on de morfismos se traducen en esta notaci´on en el producto de matrices, tal y como se define en su versi´on usual.

3.1. PLANTEAMIENTO GENERAL

59

En los dos siguientes lemas recogemos las principales propiedades de exactitud del mapping cone que utilizaremos m´as adelante: Lema 3.2. Dado un morfismo ϕ : (F, d) −→ (G, ∂), su mapping cone (MC(ϕ), δ) es un complejo de R-m´odulos, y la siguiente sucesi´on es exacta: β

α

0 −→ G −→ MC(ϕ) −→ F(−1) −→ 0, donde αi es el morfismo de inclusi´on, βi el de proyecci´on y en F consideramos la diferencial −d, para cada i ∈ Z. Dicha sucesi´on induce la sucesi´on exacta larga en homolog´ıa: Hi (α)

Hi (β)

Hi−1 (ϕ)

. . . −→ Hi (G) −→ Hi (MC) −→ Hi−1 (F) −→ Hi−1 (G) −→ . . . En particular, ϕ induce un isomorfismo Hi (ϕ) en homolog´ıa si, y s´olo si, el complejo MC(ϕ) es exacto. Demostraci´on. Para ver que realmente MC(ϕ) es un complejo, la notaci´on matricial simplificar´a los c´alculos:      −di−1 0 −di 0 di−1 di 0 δi δi+1 = = = 0. ϕi−1 ∂i ϕi ∂i+1 −ϕi−1 di + ∂i ϕi ∂i ∂i+1 Y, por otro lado, α y β definen morfismos de complejos:        −di−1 0 0 0 0 δi αi = = = ∂i = αi−1 ∂i , y ϕi−1 ∂i Id ∂i Id   −di−1 0 (−di−1 )βi = −di−1 (Id, 0) = (−di−1 , 0) = (Id, 0) = βi−1 δi . ϕi−1 ∂i Ahora, los complejos (F, d) y (F, −d) son can´onicamente isomorfos y sus m´odulos de homolog´ıa son de hecho el mismo. Por tanto, la sucesi´on exacta larga en homolog´ıa se deduce de [Mar, teorema 2.3]. Falta comprobar que el homomorfismo conector, τ , es de hecho Hi (ϕ). Siguiendo la prueba de dicho teorema, tomamos x ∈ Hi (F) y (x, 0) ∈ M Ci+1 , una contraimagen de x. Entonces, (0, ϕi (x)) = δi+1 (x, 0), por lo que τi (x) = ϕi (x), como quer´ıamos demostrar. Ahora utilizaremos este lema para construir resoluciones libres a partir de otras dadas:

CAP´ITULO 3. MAPPING CONES

60

Lema 3.3. Dada una sucesi´on exacta corta de R-m´odulos: ϕ

0 −→ M 0 −→ M −→ M 00 −→ 0, y resoluciones libres (F0 , d0 ) y (F, d) de M 0 y M , respectivamente, si llamamos tambi´en ϕ : F0 −→ F a la u ´nica (salvo homotop´ıa) elevaci´on de ϕ : M 0 −→ M , entonces MC(ϕ) es una resoluci´on libre de M 00 . Demostraci´on. La definici´on, existencia y unicidad (salvo homotop´ıa) de la elevaci´on ϕ : F0 −→ F se encuentra en [Mar, lema 2.5]. Ahora, claramente los m´odulos que aparecen en MC(ϕ) son libres por ser sumas directas de m´odulos libres. Por otro lado, la sucesi´on exacta larga en homolog´ıa del lema anterior implica que Hi (MC(ϕ)) = 0, para i > 1. El final de dicha sucesi´on exacta larga es: ϕ

. . . −→ 0 −→ H1 (MC) −→ M 0 −→ M −→ H0 (MC) −→ 0, pues H0 (F0 ) ∼ = M 0 y H0 (F) ∼ = M (y por ser ϕ : F0 −→ F elevaci´on de 0 ϕ : M −→ M ). Como ϕ es inyectiva, concluimos que H1 (MC) = 0 y H0 (MC) ∼ = M 00 , por lo que MC es una resoluci´on libre de M 00 . Ahora concretamos poco a poco el contexto en el que nos movemos para llegar a las aplicaciones que buscamos. Primero, vemos que si R es un anillo graduado, y (F, d) y (G, ∂) son complejos graduados de R-m´odulos, entonces su mapping cone es de nuevo un complejo graduado. Y en el segundo lema, si M 0 , M , M 00 y ϕ son graduados, y (F0 , d0 ) y (F, d) son resoluciones libres graduadas, entonces MC es una resoluci´ on libre graduada de M 00 . En el caso graduado est´ andar (o multigraduado) sobre R = S, puede 0 0 ser que las resoluciones (F , d ) y (F, d) sean minimales, pero MC no serlo. Ejemplo 3.4. Dados ideales I, J ⊂ S, siempre tenemos la sucesi´on exacta corta natural: ϕ

ψ

0 −→ I ∩ J −→ I ⊕ J −→ I + J −→ 0, donde ϕ(f ) = (f, −f ) y ψ(f, g) = f + g. Podemos aplicar esto a los ideales monomiales I = hx2 , yi y J = hxi en el anillo S = k[x, y]. Tenemos entonces la sucesi´on: 



1    −1 1 1 0 −→ hxy, x2 i −→ hx2 , yi ⊕ hxi −→



hx, yi −→ 0.

3.1. PLANTEAMIENTO GENERAL

61

Ahora, es sencillo comprobar (mediante el algoritmo de Schreyer [Mar, lema 3.29 o´ teorema 3.31], por ejemplo), que las resoluciones libres minimales graduadas de I ∩ J e I ⊕ J son, respectivamente:  

0 −→ S     

0 −→ S



x  −y −→ S 2

y −x2 0 −→





xy x2 −→

hxy, x2 i −→ 0, y

    

 

S3

x2 y 0 0 0 x −→

 

hx2 , yi ⊕ hxi −→ 0.

Por otro lado, la elevaci´on del morfismo ϕ viene dado por las matrices siguientes (indicadas a la derecha de su flecha correspondiente): 0 −→ S

−→

S2 

↓ (−1) 0 −→ S

−→

↓ S3

hxy, x2 i

−→ 

0 1  x 0  ↓ −y −x −→ hx2 , yi ⊕ hxi

−→ 

1 −1 −→

0 

0.

Por tanto, el mapping cone de ϕ nos proporciona la siguiente resoluci´on libre del ideal hx, yi:     

0 −→ S



−x   y   −1 −→ S 3

    

0 1 y x 0 −x2 −y −x 0 −→

    



S3

x2 y −x −→



hx, yi −→ 0.

Vemos que efectivamente es graduada (de hecho multigraduada), pero no es minimal, ya que aparecen t´erminos constantes no nulos (haciendo fallar la condici´on de minimalidad di+1 (Fi+1 ) ⊂ mFi ). Tambi´en sabemos que no es minimal porque la dimensi´on proyectiva de S/hx, yi es 2 y sus n´ umeros de Betti son 1 y 2 (ver [Mar, p´agina 52]). Por otro lado, la descripci´on de la diferencial del mapping cone como una matriz de morfismos nos permite construir sus matrices por cajas, adjuntando las matrices correspondientes. En este ejemplo, en grado homol´ogico i = 1:     0 1 y
−d 0 0 −x2  . δ= = ϕ ∂ = x ϕ ∂ −y −x 0

CAP´ITULO 3. MAPPING CONES

62

Finalmente, pasamos a aplicar el lema anterior al caso de ideales monomiales, para obtener la t´ecnica que llamaremos de mapping cones iterados. Sea I ⊂ S un ideal monomial, cuyo sistema minimal de generadores monomiales es {m1 , . . . , mr }. Consideremos Ij = hm1 , m2 , . . . , mj i, para j = 1, 2, . . . , r, ideales encajados. Entonces, para cada j ≥ 1, la siguiente sucesi´on es exacta: mj+1

0 −→ S/(Ij : mj+1 ) −→ S/Ij −→ S/Ij+1 −→ 0, donde el morfismo de la izquierda es multiplicar por mj+1 y el morfismo de la ´ derecha es el morfismo natural de paso al cociente. Este u ´ltimo es multigraduado (de grado 0), mientras que el de la izquierda es multigraduado, pero de grado mj+1 , por lo que consideraremos la multigraduaci´ on desplazada S/(Ij : mj+1 )(mj+1 ). Observemos que la condici´on de minimalidad sobre el sistema de generadores {m1 , m2 , . . . , mr } implica que la sucesi´on de ideales encajados I1 I2 . . . Ir = I es estrictamente creciente y por tanto en la sucesi´on exacta anterior, S/(Ij : mj+1 ) 6= 0. La t´ecnica de mapping cones iterados consiste entonces en conocer resoluciones libres multigraduadas de S/I1 (que es obvia por ser I1 = hm1 i principal) y de los cocientes S/(Ij : mj+1 ), para j = 1, 2, . . . r − 1, y obtener as´ı una resoluci´on libre multigraduada de S/Ir = S/I, aplicando el lema anterior de forma iterada. Observaci´ on 3.5. En el lema 3.3, no hemos especificado cu´al es el morfismo sobreyectivo  : M C0 −→ M 00 que hace que . . . −→ M C1 −→ M C0 −→ M 00 −→ 0 sea una sucesi´on exacta. Es decir, seg´ un la definici´on [Mar, definici´on 1.25], no hemos dado de forma expl´ıcita el morfismo de aumento de la resoluci´on que proporciona el mapping cone. De hecho, podemos elegir varios (podemos multiplicar uno dado por un escalar de k para obtener otro, por ejemplo). Sin embargo, cuando hacemos mapping cones iterados para ideales monomiales, en el paso j ≥ 1, es natural considerar el morfismo de paso al cociente S −→ S/Ij+1 , ya que la diferencial obtenida a partir de los sucesivos mapping cones en grado homol´ogico i = 1 tiene la siguiente expresi´on: 

S j+1

mj+1 mj . . . m1 −→



S −→ 0,

3.1. PLANTEAMIENTO GENERAL

63

lo cual es obviamente debido a que el morfismo ϕ que escogemos en el paso j es multiplicar por mj+1 . Ejemplo 3.6. Consideremos el anillo S = k[x, y] y el ideal I = hx2 y, y 3 , xy 2 i. Dichos generadores son minimales, en dicho orden los ideales encajados son I1 = hx2 yi, I2 = hx2 y, y 3 i e I3 = I, y los cocientes anteriores son: (x2 y : y 3 ) = hx2 i y (hx2 y, y 3 i : xy 2 ) = hx, yi. Conocemos las resoluciones de dichos cocientes y por tanto podemos aplicar el procedimiento anterior. En el siguiente diagrama aparecen dichas resoluciones junto con el morfismo de elevaci´on, para la primera iteraci´on del procedimiento: x2

−→ S −→ S/hx2 i 0 −→ S 2 3 ↓y ↓y ↓ y3 x2 y

0 −→ S

−→ 0

−→ S/hx2 yi −→ 0.

−→ S

Por tanto, obtenemos la siguiente resoluci´on de S/I2 :  

0 −→ S

−x2 y2 −→

 



S2

y 3 x2 y −→



S −→ S/hx2 y, y 3 i −→ 0.

Ahora, para la segunda iteraci´on, tenemos el morfismo de elevaci´on entre las siguientes resoluciones:  

0 −→ S



y  −x −→

↓1



S 2 ↓

 

0 −→ S

−x2 y2 −→

0 x y 0

x y −→



−→ S/hx, yi

S



↓ xy 2

↓ xy 2

 



S2

y 3 x2 y −→



−→ S/hx2 y, y 3 i.

S

Y finalmente, hallando el mapping cone de este morfismo, obtenemos una resoluci´on de S/I:     

0 −→ S



−y   x   1 −→ S 3

    

−x −y 0 0 x −x2 y 0 y2 −→

    



S3

xy 2 y 3 x2 y −→



S −→ S/I −→ 0,

CAP´ITULO 3. MAPPING CONES

64

que observamos que no es minimal, ya que tiene longitud 3 y la dimensi´on proyectiva de un S-m´odulo graduado es como mucho 2, el n´ umero de variables. Adem´as, aparece un coeficiente constante no nulo en la primera matriz. Este ejemplo nos sirve para ver que el orden en el que tomamos los generadores del ideal monomial es esencial, ya que si los orden´aramos como I = hx2 y, xy 2 , y 3 i, entonces los cocientes ser´ıan: (x2 y : xy 2 ) = hxi y (hx2 y, xy 2 i : y 3 ) = hxi. Y en este caso ambas iteraciones son m´as sencillas y obtenemos la resoluci´on siguiente:     

0 −→ S

2

−x 0 y −x 0 y −→

    



S

3

y 3 xy 2 x2 y −→



S −→ S/I −→ 0,

que s´ı es minimal, ya que los coeficientes no nulos tienen grado positivo. De hecho, el ideal I no es fuertmente estable para el orden usual de las variables, pero s´ı lo es si ponemos x1 = y y x2 = x. En este ejemplo hemos adelantado la prueba de c´omo construir la resoluci´on de Eliahou-Kervaire mediante mapping cones, que veremos en la siguiente secci´on.

3.2.

La resoluci´ on de Taylor v´ıa mapping cones

En esta breve secci´on aplicaremos el m´etodo anterior para demostrar directamente que la resoluciones de Taylor (secci´on 2.3) realmente es un complejo exacto. De hecho, lo que haremos ser´a volver a construir dicha resoluci´on. Teorema 3.7. Dado un ideal monomial I ⊂ S y generadores monomiales suyos m1 , . . . , mr ∈ S, la resoluci´on de Taylor de S/I asociada a dichos generadores, TI , es un complejo exacto. Demostraci´on. Utilizaremos las notaciones de la secci´on 2.3, y denotamos Ij = hm1 , m2 , . . . , mj i, para 1 ≤ j ≤ r, y Qj = (Ij : mj+1 ), para 1 ≤ j ≤ r−1. Procedemos entonces por inducci´on en j. Para j = 1, tenemos TI1 ≡ 0 −→

1 ^

m1

S = S −→

0 ^

S = S −→ S/I1 −→ 0,

´ DE ELIAHOU-KERVAIRE GENERALIZADA 65 3.3. LA RESOLUCION que obviamente es exacto. Supongamos que hemos demostrado que TIj es exacto, para cierto j ≥ 1. Primero, observemos que Qj = hn1 , n2 , . . . , nj i, donde ni = mcm(mi , mj+1 )/mj+1 . Por tanto, por hip´otesis de inducci´on, podemos utilizar las resoluciones TIj y TQj , y obtenemos el diagrama siguiente: ∂0

∂0

0

2 1 . . . −→ TQj ,2 −→ TQj ,1 −→ TQj ,0 −→ S/Qj −→ 0 ↓ ϕ2 ↓ ϕ1 ↓ ϕ0 ↓ϕ ∂2 ∂1  . . . −→ TIj ,2 −→ TIj ,1 −→ TIj ,0 −→ S/Ij −→ 0,

donde ϕ(n) = mj+1 n, {ϕi }i≥0 es su elevaci´on, y  y 0 son los morfismos de paso al cociente. Podemos escoger la elevaci´on de la siguiente forma: ϕi (ej1 ∧ . . . ∧ eji ) =

mcm(mj1 , . . . , mji , mj+1 ) (ej1 ∧ . . . ∧ eji ), mcm(mj1 , . . . , mji )

pues se verifica que ∂i ϕi = ϕi−1 ∂i0 para i ≥ 1, y ϕ0 = ϕ0 , para lo cual basta utilizar que mj+1 mcm(nj1 , . . . , nji ) = mcm(mj1 , . . . , mji , mj+1 ). Por tanto, al hallar el mapping cone de ϕ, obtenemos: ! ! i−1 i i ^ ^ ^ j j ∼ M Ci (ϕ) = TQj ,i−1 ⊕ TIj ,i = S ⊕ S = (S j+1 ) ∼ = TIj+1 ,i , donde los isomorfismos son los naturales, y vemos que la diferencial de dicho mapping cone,   −di−1 0 δi = , ϕi−1 ∂i resulta ser la diferencial TIj+1 ,i −→ TIj+1 ,i−1 . Para ver esto, basta utilizar las expresiones anteriores entre las mi y las ni . Y hemos concluido la demostraci´on.

3.3.

La resoluci´ on de Eliahou-Kervaire generalizada

A continuaci´on, utilizaremos la t´ecnica de mapping cones iterados para obtener la resoluci´on de Eliahou-Kervaire. Aunque la versi´on que aparece en

CAP´ITULO 3. MAPPING CONES

66

[PS] supone una peque˜ na simplificaci´on de la prueba de [HT], seguiremos esta u ´ltima, ya que proporciona una versi´on generalizada, donde se ve que los cocientes lineales y las funciones de descomposici´on son justo las herramientas que necesitamos para obtener la resoluci´on que buscamos. Adem´as, esta versi´on generalizada incluye a la resoluci´on de EliahouKervaire libre de cuadrados y las resoluciones minimales de otros ideales monomiales, como los llamados “idelaes matroidales”, que son los ideales de Stanley-Reisner de complejos simpliciales que verifican cierta propiedad y que se denominan “matroides” (ver [HT, section 1]). En esta secci´on necesitaremos introducir bastante notaci´on, aunque parte de ella no ser´a m´as que una extensi´on de la utilizada en las secciones 1.4 y 1.5. En lo que sigue, fijaremos un ideal monomial I ⊂ S, cuyo conjunto de monomios y sistema minimal de generadores monomiales denotamos por M (I) y G(I), respectivamente. Definici´ on 3.8. Decimos que I tiene cocientes lineales si podemos ordenar los elementos de G(I) = {m1 , m2 , . . . , mr } de forma que los cocientes Qj = (hm1 , . . . , mj i : mj+1 ) est´an generados por variables, para todo j ≥ 1. En tal caso, definimos set(mj ) = {i ∈ {1, 2, . . . , n}/xi ∈ Qj−1 }. Tambi´en definimos set(m1 ) = ∅. Cuando pongamos G(I) = {m1 , m2 , . . . , mr }, supondremos siempre que este es el orden para el cual I tiene cocientes lineales, y escribiremos Ij = hm1 , . . . , mj i. Cuando apliquemos la t´ecnica de mapping cones iterados a estos ideales, supondremos siempre que tomamos como resoluci´on de S/Qj el complejo de Koszul K(set(mj+1 )), que es su resoluci´on libre minimal multigraduada. Veamos ahora que los ideales estables y estables libres de cuadrados tienen cocientes lineales. Daremos dos ´ordenes en G(I), donde revlex mj .

´ DE ELIAHOU-KERVAIRE GENERALIZADA 67 3.3. LA RESOLUCION 2. Si i < j, entonces mi >revlex mj . Ambos o´rdenes servir´an para nuestros prop´ositos, pero con el primero obtenemos la ventaja de que deg(m1 ) ≤ deg(m2 ) ≤ . . . ≤ deg(mr ). Denotamos tambi´en, al igual que en la secci´on 2.4, ui = m´ax(mi ). Lema 3.9. Si I es estable (resp. fuertemente), entonces para todo j, con dichos ´ordenes, el ideal Ij = hm1 , m2 , . . . , mj i tambi´en es estable (resp. fuertemente) y (Ij : mj+1 ) = hx1 , x2 , . . . , xuj+1 −1 i. Lema 3.10. Si I es estable libre de cuadrados (resp. fuertemente), entonces para todo j, con dichos ´ordenes, el ideal Ij = hm1 , m2 , . . . , mj i tambi´en es estable libre de cuadrados (resp. fuertemente) y (Ij : mj+1 ) = h{xi /xi no divide a mj+1 e i < uj+1 }i. Demostraci´on. Haremos simult´aneamente ambas pruebas. Primero, Ij es estable (resp. fuertemente, o´ libre de cuadrados), pues si xk divide a mq e i < k, q ≤ j, (resp. k = m´ax(mq ), o´ adem´as xi (mq /xk ) es libre de cuadrados), entonces existe un ms tal que xi mq = xk ms m, para cierto monomio m ∈ S. Si fuera s > q, como no puede ser deg(mq ) < deg(ms ), tendr´ıamos que mq >revlex ms , por lo que xi mq >revlex xk ms m, lo que es absurdo. Veamos ahora la igualdad indicada. Primero, si i < uj+1 (resp. y xi no divide a mj+1 ), entonces existe un ms tal que xi mj+1 = xuj+1 ms m, para cierto monomio m ∈ S. Se concluye igual que antes que debe ser s < j + 1, por lo que xi ∈ (Ij : mj+1 ). Rec´ıprocamente, si la contenci´on fuera estricta, existir´ıa un monomio m ∈ S tal que mj+1 m ∈ Ij y xi no divide a m, para i < uj+1 (resp. y tal que xi no divide a mj+1 ). En particular, vemos que m´ax(mj+1 ) ≤ m´ın(m). Como Ij es estable (resp. fuertemente, libre de cuadrados), existe un ms con s ≤ j y tal que mj+1 m = ms m0 , para cierto monomio m0 ∈ S con m´ax(ms ) ≤ m´ın(m0 ). Entonces hemos encontrado dos expresiones distintas como la del lema 1.35 (resp. 1.44), lo que es absurdo. Antes de hallar la resoluci´on de forma completa, veamos c´omo obtener sus bases multigraduadas de forma sencilla, lo que ya nos dar´ıa los n´ umeros de Betti y todos los invariantes que aparecen en 1.36 y 1.45:

CAP´ITULO 3. MAPPING CONES

68

Teorema 3.11. Si I admite cocientes lineales con el orden m1 , m2 , . . . , mr y deg(m1 ) ≤ deg(m2 ) ≤ . . . ≤ deg(mr ), entonces la resoluci´on de S/I obtenida por mapping cones iterados es minimal y la base homog´enea en grado homol´ogico p + 1, para p ≥ 1 est´a dada por los siguientes s´ımbolos: {(mj ; j1 , . . . , jp )/{j1 , j2 , . . . , jp } ⊂ set(mj ), 1 ≤ j ≤ r}, en grado homol´ogico i = 1 por (m1 ; ∅), . . . , (mr ; ∅), y con la multigraduaci´on dada por mdeg(mj ; j1 , . . . , jp ) = xj1 xj2 · · · xjp mj . Demostraci´on. Haremos mapping cones iterados, por lo que procedemos por inducci´on en j ≥ 1, donde denotamos por F(j) a la resoluci´on de S/Ij que obtendremos en cada paso. Para j = 1, tenemos I1 = hm1 i, es principal y el teorema es obvio en este caso. Si suponemos que es cierto para j ≥ 1, entonces para construir la resoluci´on de S/Ij+1 , tenemos que hacer el mapping cone de F(j) con la resoluci´on minimal de S/Qj , que es el complejo de Koszul K(j) = K(set(mj+1 )). Ahora, (j+1) (j) (j) Fp+1 = Fp+1 ⊕ Kp , para p ≥ 0, por lo que obtenemos la base deseada, (j) definiendo (mj+1 ; j1 , . . . , jp ) = ej1 ∧ . . . ∧ ejp , en Kp . Por u ´ltimo, si ϕ : K(j) −→ F(j) es el morfismo de elevaci´on, como por hip´otesis K(j) y F(j) son minimales, para ver que F(j+1) tambi´en lo es, basta (j) (j) ver que ϕ(Kp+1 ) ⊂ mFp+1 . Pero esto se deduce de la multigraduaci´on dada a las correspondientes bases, ya que el elemento (mj+1 ; j1 , . . . , jp+1 ) de la base (j) de Kp+1 tiene multigrado xj1 xj2 · · · xjp+1 mj+1 , y el elemento (mk ; j1 , . . . , jp ) de (j) la base de Fp+1 tiene multigrado xj1 xj2 · · · xjp mk , pero deg(mk ) ≤ deg(mj+1 ), para k ≤ j, por lo que hay que multiplicar por cierto monomio no constante para que ϕ sea multigraduada. Ahora, si queremos hallar completamente la resoluci´on, es decir, calcular tambi´en sus diferenciales, necesitamos una herramienta m´as, que son las funciones de descomposici´on: Definici´ on 3.12. Si el ideal I tiene cocientes lineales para el orden G(I) = {m1 , m2 , . . . , mr }, definimos la correspondiente funci´ on de descomposici´ on como b : M (I) −→ G(I) tal que: b(m) = mj ,

donde j = m´ın{k ∈ {1, 2, . . . , r}/m ∈ Ik }.

´ DE ELIAHOU-KERVAIRE GENERALIZADA 69 3.3. LA RESOLUCION Y decimos que dicha funci´on de descomposici´on es regular si verifica que set(b(xi mj )) ⊂ set(mj ), para todo i ∈ set(mj ), y 1 ≤ j ≤ r. De los lemas 3.9 y 3.10 es inmediato que las funciones de descomposici´on de los ideales estables y estables libres de cuadrados son regulares. Por otra parte, necesitaremos las siguientes propiedades b´asicas de las funciones de descomposici´on: Lema 3.13. Sea I un ideal con cocientes lineales para el orden G(I) = {m1 , m2 , . . . , mr }, y sean m, n ∈ M (I). Entonces: 1. m = b(m)e(m), para cierto monomio e(m) que verifica set(b(m)) ∩ supp(e(m)) = ∅. 2. Si m = mj n, y set(mj ) ∩ supp(n) = ∅, entonces b(m) = mj . 3. b(mn) = b(m) si, y s´olo si, set(b(m)) ∩ supp(n) = ∅. 4. Si b : M (I) −→ G(I) es regular, entonces b(xi b(xj mk )) = b(xi xj mk )) = b(xj b(xi mk )), para todos i, j ∈ set(mk ), y 1 ≤ k ≤ r. Demostraci´on. 1. Por definici´on, si b(m) = mj , entonces m ∈ Ij , pero m ∈ / Ij−1 , por lo que debe ser m = mj n, para cierto monomio n. Ahora, si existe un i ∈ set(mj ) ∩ supp(n), entonces poniendo n = xi n0 , tenemos que xi mj ∈ Ij−1 y entonces m = (xi mj )n0 ∈ Ij−1 , lo que ser´ıa absurdo. 2. Primero, es obvio que m ∈ Ij . Si m ∈ Ij−1 , entonces n ∈ Qj−1 , por lo que existir´ıa un i ∈ set(mj ) tal que xi divide a n, lo que ser´ıa absurdo. 3. Si b(mn) = b(m) = mj , entonces mn = mj e(mn) y m = mj e(m), por lo que e(mn) = ne(m) y supp(n) ⊂ supp(e(mn)), y por tanto supp(n) ∩ set(b(m)) = ∅. Rec´ıprocamente, si supp(n) ∩ set(b(m)) = ∅, y mj = b(m), entonces mn = mj ne(m), y supp(ne(m)) ∩ set(mj ) = ∅, por lo que b(mn) = mj . 4. Primero, si i ∈ set(b(xj mk )), entonces set(b(xi b(xj mk ))) ⊂ set(b(xj mk )), por ser b regular, y si i ∈ / set(b(xj mk )), entonces b(xi b(xj mk )) =

CAP´ITULO 3. MAPPING CONES

70

b(xj mk ). Por tanto, siempre set(b(xi b(xj mk ))) ⊂ set(b(xj mk )). Es decir, tenemos que xi xj mk = xi b(xj mk )e(xj mk ) y set(b(xi b(xj mk ))) ∩ supp(e(xj mk )) = ∅, y por el apartado 3, tenemos que b(xi xj mk ) = b(xi b(xj mk )).

Observemos que las propiedades 1 y 2 caracterizan a la funci´on de descomposici´on y dan lugar a su nombre. Adem´as, observamos que, junto con los lemas 3.9 y 3.10, las asignaciones dadas por b y e en dichos apartados coinciden con las dadas en los lemas 1.35 y 1.44. Utilizando estas propiedades, obtenemos la serie de Hilbert (argumentando como en 1.37) y la descripci´on completa de la resoluci´on que buscamos: Proposici´ on 3.14. Sea I un ideal con cocientes lineales para el orden G(I) = {m1 , . . . , mr }. Entonces,   r Y X 1 mi . HI (x) = (1 − x ) j i=1 j ∈set(m / i)

Teorema 3.15. Sea I ⊂ S un ideal monomial con cocientes lineales para el orden G(I) = {m1 , m2 , . . . , mr }, y con funci´on de descomposici´on regular b : M (I) −→ G(I). Entonces, la resoluci´on (F, ∂) de S/I obtenida por mapping cones iterados es minimal, tiene la misma base multigraduada que en 3.11, y la diferencial ∂ est´a dada por la siguiente expresi´on: ∂p+1 (mj ; α) =

p X q=1

(−1)q xjq (mj ; α \ jq ) −

p X

(−1)q e(xjq mj )(b(xjq mj ); α \ jq ),

q=1

donde α = {j1 , j2 , . . . , jp } ⊂ set(mj ), con j1 < j2 < . . . < jp , y donde adoptamos el convenio (mj ; α) = 0 si α * set(mj ). Demostraci´on. Primero, si las diferenciales realmente son as´ı, claramente la resoluci´on es minimal. Volvemos a proceder por inducci´on en j ≥ 1, donde volvemos a denotar por F(j) y K(j) a las resoluciones minimales de S/Ij y S/Qj , respectivamente (de nuevo, K(j) = K(set(mj+1 ))). El caso j = 1 vuelve a ser trivial.

´ DE ELIAHOU-KERVAIRE GENERALIZADA 71 3.3. LA RESOLUCION Supongamos entonces que se verifica para j ≥ 1. De nuevo, la base de vuelve a ser como en 3.11. Como F(j) es un subcomplejo de F(j+1) , basta comprobar la expresi´on de ∂ en los elementos de la base (mj+1 ; α), con α ⊂ set(mj+1 ). Sea ϕ : K(j) −→ F(j) el morfismo de elevaci´on. Entonces, por definici´on de mapping cone, tenemos que ∂(mj+1 ; α) = −d(mj+1 ; α) + ϕ(mj+1 ; α), donde d es la diferencial del complejo de Koszul. Por tanto, vemos que si la siguiente expresi´on (j) Fi

p X (−1)q+1 e(xjq mj+1 )(b(xjq mj+1 ); α \ jq ), ϕ(mj+1 ; α) = q=1

cuando α 6= ∅, y ϕ(mj+1 ; ∅) = mj+1 , define una elevaci´on del morfismo mj+1 S/Qj −→ S/Ij , entonces ya hemos obtenido la expresi´on que buscamos. Para ello, tenemos que verificar (por inducci´on en grado homol´ogico) que ϕd = ∂ϕ, donde d es la diferencial de K(j) y ∂ la de F(j) . Para simplificar la notaci´on, escribiremos m = mj+1 . Primero, ϕ(d(m; ∅)) = m = ∂(ϕ(m; ∅)), y si i ∈ set(m), entonces ϕ(d(m; i)) = ϕ(xi (m; ∅)) = xi m = ∂(e(xi m)(b(xi m); ∅)) = ∂(ϕ(m; i)). Supongamos entonces que α = {j1 , j2 , . . . , jp } ⊂ set(m), j1 < j2 < . . . < jp y p ≥ 2. Por un lado, tenemos que p X ϕ(d(m; α)) = (−1)q+1 xjq ϕ(m; α \ jq ) q=1 p

=

XX (−1)q+s xjq e(xjs m)(b(xjs m); α \ {jq , js }) q=1 sq

Y por otra parte, p X ∂(ϕ(m; α)) = (−1)q+1 e(xjq m)∂(b(xjq m); α \ jq ), y q=1

∂(b(xjq m); α \ jq ) =

X

s xjs (b(xjq m); α \ {jq , js })

s6=q

−

X s6=q

s e(xjs b(xjq m))(b(xjs b(xjq m)); α \ {jq , js }),

CAP´ITULO 3. MAPPING CONES

72

donde s = (−1)s , si s < q, y s = (−1)s+1 , si s > q. Ahora bien, puede ocurrir que α \ jq * set(b(xjq m)), y entonces (b(xjq m); α \ jq ) = 0. En ese caso, si α \ {jq , js } * set(b(xjq m)), entonces α \ {jq , js } * set(b(xjs b(xjq m))), y por tanto, los t´erminos de la derecha son todos nulos. Por otra parte, si α \ {jq , js } ⊂ set(b(xjq m)), entonces js ∈ / set(b(xjq m)), y por tanto, b(xjs b(xjq m)) = b(xjq m) y los t´erminos de la derecha se cancelan unos con otros. Por tanto, dicha igualdad es v´alida, y aplic´andola a la anterior obtenemos: p X X (−1)q+s+1 xjs e(xjq m)(b(xjq m); α \ {jq , js }) ∂(ϕ(m; α)) = q=1 sq p

−

XX

(−1)q+s+1 e(xjs b(xjq m))(b(xjs b(xjq m)); α \ {jq , js })

q=1 sq

Pero los dos u ´ltimos sumandos se cancelan, ya que podemos intercambiar el papel de q y s por el apartado 4 del lema 3.13, y los dos primeros sumandos se corresponden justo con ϕ(d(m; α)), de nuevo intercambiando los papeles de q y s, lo que concluye la demostraci´on. Para finalizar la secci´on, veamos con unos ejemplos que las condiciones que hemos ido imponiendo en cada paso no siempre se verifican: Ejemplo 3.16. Primero, puede ser que I admita cocientes lineales para el orden G(I) = {m1 , m2 , . . . , mr }, y que no se verifique que deg(m1 ) ≤ deg(m2 ) ≤ . . . ≤ deg(mr ). Dos ejemplos son I = hx1 x2 , x2 x3 x4 , x1 x3 i y J = hx1 x22 , xs2 , x21 x2 i, para cualquier s > 3. Por lo que en estos ejemplos no podemos aplicar 3.11. Sin embargo, sus funciones de descomposici´on son regulares y podemos aplicar 3.15. Por otro lado, no toda funci´on de descomposici´on es regular. Dos ejemplos son I = hx1 x2 , x2 x3 , x3 x4 i, pues set(x3 x4 ) = {2} y set(b(x2 (x3 x4 ))) = {1}, y J = hx1 x22 , x22 x3 , x2 x23 i, pues set(x2 x23 ) = {2} y set(b(x2 (x2 x23 ))) = {1}. Sin embargo, en estos ejemplos podemos aplicar 3.11.

´ DE ELIAHOU-KERVAIRE ES CELULAR 3.4. LA RESOLUCION

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Un ejemplo de ideal con cocientes lineales que no verifica las hip´otesis de 3.11 ni de 3.15 es I = hx1 x22 , xs2 , x22 x3 , x2 x23 i, para cualquier s > 3. Por u ´ltimo, la propiedad de intercambio del apartado 4 de 3.13 no es equivalente a la regularidad de la funci´on de descomposici´on. Los ejemplos anteriores I = hx1 x2 , x2 x3 , x3 x4 i y J = hx1 x22 , x22 x3 , x2 x23 i son claros. Otro ejemplo menos sencillo ser´ıa K = hx1 x2 , x2 x3 , x1 x4 , x2 x5 , x4 x5 i.

3.4.

La resoluci´ on de Eliahou-Kervaire es celular

En esta u ´ltima secci´on, veremos c´omo la resuloci´on de Eliahou-Kervaire es celular en el sentido de la definici´on 2.22, es decir, existe un complejo celular X = (|X|, Γ) junto con una funci´ on de incidencia  tales que la resoluci´on de Eliahou-Kervaire coincide con FX . Actualmente existen varias construcciones de estos complejos celulares. El primero en dar una fue J. Mermin en el art´ıculo [Mer], y que funciona para la resoluci´on cl´asica de Eliahou-Kervaire. Sin embargo, muy recientemente, dos art´ıculos casi simult´aneos dieron una construcci´on para la resoluci´on de Eliahou-Kervaire generalizada de [HT] que hemos presentado en la secci´on anterior. Dichas construcciones se deben, por un lado, a A. Goodarzi en el art´ıculo [Goo], y por otro, a A. Dochtermann y F. Mohammadi en el art´ıculo [DM]. En esta secci´on, presentaremos esta u ´ltima construcci´on, ya que la descripci´on es m´as elemental y f´acil de visualizar. De hecho, por primera vez en esta memoria, podremos obtener ejemplos de resoluciones celulares que no son simpliciales, como la de Taylor. Aunque la descripci´on celular se puede hacer a partir de s´ımplices abstractos, comenzamos identificando cada monomio xa = xa11 · · · xann con el vector a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn . Por otra parte, en toda la secci´on, I ⊂ S ser´a un ideal monomial con cocientes lineales para el orden G(I) = {m1 , m2 , . . . , mr } y cuya funci´ on de descomposici´ on, b : M (I) −→ G(I), es regular. Utilizaremos tambi´en las notaciones de la secci´on anterior, es decir, Ij = hm1 , m2 , . . . , mj i y Qj = (Ij : mj+1 ), y adem´as, para prescindir de sub´ındices, escribiremos m1 < m2 < . . . < mr para indicar el orden de los generadores. Comenzamos definiendo los s´ımplices que constituir´an los “ladrillos” de

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CAP´ITULO 3. MAPPING CONES

la construcci´on celular que obtendremos. Definici´ on 3.17. Para cada m ∈ G(I), cada α ⊂ set(m), con #α = p, y cada permutaci´on σ = (σ1 , σ2 , . . . , σp ) de α, definimos inductivamente b(xσi+1 , xσi , . . . , xσ1 , m) = b(xσi+1 b(xσi , . . . , xσ1 , m)). Por otro lado, definimos como s(m, α, σ) al s´ımplice abstracto formado por los elementos m, b(xσ1 m), . . . , b(xσ1 , . . . , xσp , m). Diremos que s(m, α, σ) es no degenerado si estos monomios no se repiten, y en caso contrario, diremos que es degenerado. A posteriori veremos que la clausura convexa en Rn de los puntos de s(m, α, σ) es siempre un s´ımplice, y constitur´a una realizaci´on geom´etrica natural, pero de momento seguiremos consider´andolos como s´ımplices abstractos, y para abreviar utilizaremos la notaci´on de upla ordenada, lo que ya da una orientaci´on de dichos s´ımplices: s(m, α, σ) = (m, b(xσ1 m), . . . , b(xσ1 , . . . , xσp , m)). Para manejar estos conjuntos, necesitaremos algunas propiedades b´asicas que cumplen: Lema 3.18. Sean m ∈ G(I), α ⊂ set(m), con #α = p, y σ una permutaci´on de α, como antes. Denotemos s(m, α, σ) = (w0 = m, w1 , . . . , wp ). Observemos que wi = b(xσi wi−1 ), para todo i ≥ 1. Se verifican las siguientes propiedades: 1. Siempre w0 ≥ w1 ≥ w2 ≥ . . . ≥ wp y s(m, α, σ) es no generado si, y s´olo si, las desigualdades son estrictas, que a su vez es equivalente a σi ∈ set(wi−1 ), para todo i ≥ 1. 2. Siempre se verifica que set(wi ) ⊂ set(wi−1 ), y si s(m, α, σ) es no degenerado, entonces σi , σi+1 , . . . , σp ∈ set(wi−1 ), para todo i ≥ 1. 3. Para cualquier s(m, α, σ), tenemos que b(xσi , . . . , xσ1 , m) = b(xσi · · · xσ1 · m), y por tanto, si σ 0 = (σ10 , σ20 , . . . , σi0 ) es otra permutaci´on de los elementos σ1 , σ2 , . . . , σi , entonces b(xσi , . . . , xσ1 , m) = b(xσi0 , . . . , xσ10 , m).

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4. Si s(m, α, σ) y s(m, α, σ 0 ) = (w00 = m, w10 , . . . , wp0 ) son no degenerados y wj0 = wj , para todo j = 1, 2, . . . , i, entonces σj0 = σj , para todo j = 1, 2, . . . , i. En particular, si s(m, α, σ) = s(m, α, σ 0 ), entonces σ = σ 0 . 5. No pueden existir dos s´ımplices no degenerados de la forma s(m, α, σ) y s(m, α, σ 0 ) = (w00 = m, w10 , . . . , wp0 ) con wj0 = wj para todo j < i, y 0 wi+1 = wi . Demostraci´on. 1. Primero, wi−1 ≥ wi = b(xσi wi−1 ) es obvio por la definici´on de b. Por otra parte, de nuevo por la definici´on de b y set, wi−1 > b(xσi wi−1 ) si, y s´olo si, σi ∈ set(wi−1 ). 2. Por ser b regular, tenemos que set(wi ) ⊂ set(wi−1 ), y lo segundo es consecuencia de esto y del apartado 1. 3. Procedemos por inducci´on en i, donde el caso i = 1 es trivial. Supongamos que b(xσi−1 , . . . , xσ1 , m) = b(xσi−1 · · · xσ1 · m), entonces, por el lema 3.13 y por hip´otesis de inducci´on, tenemos que xσi wi−1 = wi n y xσi−1 · · · xσ1 m = wi−1 n0 , para ciertos monomios n, n0 ∈ S, con supp(n) ∩ set(wi ) = supp(n0 ) ∩ set(wi−1 ) = ∅. Como set(wi ) ⊂ set(wi−1 ), entonces supp(nn0 )∩set(wi ) = ∅, por lo que de la igualdad xσi · · · xσ1 m = wi nn0 , y el lema 3.13, obtenemos el resultado. 4. Supongamos que σj0 = σj para todo j < k ≤ i y que σk0 6= σk . Tenemos que wk = b(xσk wk−1 ) = b(xσk0 wk−1 ), por lo tanto, por el lema 3.13, xσk wk−1 = wk n y xσk0 wk−1 = wk n0 , para ciertos monomios n, n0 ∈ S, con supp(nn0 ) ∩ set(wk ) = ∅. Por tanto, como σk0 6= σk , tenemos que xσk y xσk0 dividen a n y n0 , respectivamente (pues xσk0 n = xσk n0 ). Pero entonces σk0 ∈ / set(wk ), y σk0 = σl para cierto l > k, lo cual contradice el apartado 2. 5. Por el apartado anterior, σj0 = σj para todo j < i. Por otro lado, por el apartado 3 y el lema 3.13, 0 xσi wi−1 = wi n y xσi+1 xσi0 wi−1 = wi n0 ,

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CAP´ITULO 3. MAPPING CONES para ciertos monomios n, n0 ∈ S con supp(nn0 ) ∩ set(wi ) = ∅. Si fuera σi0 6= σi , se llega a un absurdo como en el apartado anterior. Y si σi0 = σi , entonces wi0 = wi y s(m, α, σ 0 ) ser´ıa degenerado.

Estas propiedades nos dan una ligera idea de la combinatoria de los s´ımplices s(m, α, σ), y el cuarto apartado nos garantiza que fijados m y α, no hay dos de ellos iguales no degenerados. Deduciremos tres corolarios sencillos que nos permitir´an conocer mejor la estructura de estos s´ımplices y definir el complejo celular que buscamos: Corolario 3.19. Sean m ∈ G(I), α ⊂ set(m), con #α = p, y σ una permutaci´on de α. Si s(m, α, σ) = (w0 = m, w1 , . . . , wp ) es no degenerado, entonces la clausura convexa en Rn de w0 , w1 , . . . , wp es un s´ımplice geom´etrico de dimensi´on p. Demostraci´on. Denotemos por ai = (ai,1 , ai,2 , . . . , ai,n ) al vector exponente de wi = b(xσi · · · xσ1 m), para 0 ≤ i ≤ p, y veamos que son afinmente independientes. Para ello, demostraremos primero que, si 1 ≤ j ≤ p,  si i < j aj−1,σj , ai,σj = aj−1,σj + 1, si i = j. Si i < j, entonces tenemos que xσi wi−1 = wi n, para cierto monomio n ∈ S con supp(n) ∩ set(wi ) = ∅. Ahora, por el apartado 2 del lema anterior, σj ∈ set(wi ), por lo que el exponente en xσj es igual para wi−1 y wi , y por tanto, ai,σj = aj−1,σj . Por otro lado, xσj wj−1 = wj n0 , para cierto monomio n0 ∈ S con supp(n0 ) ∩ set(wj ) = ∅. Pero xσj no puede dividir a n0 , porque si no, dividiendo y utilizando el apartado 3 de 3.13, tendr´ıamos que wi−1 = wi . Por tanto, vemos que aj,σj = aj−1,σj + 1. Ahora, supongamos que λ0 a0 +λ1 a1 +. . .+λp ap = 0 y λ0 +λ1 +. . .+λp = 0. Entonces, (ap,σp − 1)(λ0 + λ1 + . . . + λp−1 ) + ap,σp λp = 0, de donde obtenemos que λp = 0, y por inducci´on en orden decreciente, vemos que λp−1 = 0, λp−2 = 0, etc. Corolario 3.20. Sean m ∈ G(I), α ⊂ set(m), con #α = p, y σ una permutaci´on de α. Si s(m, α, σ) es degenerado, entonces existe una permutaci´on

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σ 0 de α tal que s(m, α, σ) es una cara de s(m, α, σ 0 ) y este es no degenerado. En particular, la clausura convexa de los elementos de s(m, α, σ) tambi´en forman un s´ımplice. Demostraci´on. Procedemos por inducci´on decreciente en el n´ umero de monomios distintos que aparacen en s(m, α, σ). Pongamos s(m, α, σ) = (w0 = m, w1 , . . . , wp ) y tomemos i el primer ´ındice tal que wi+1 = wi (i ≥ 1). Sea σ 0 = (σ1 , . . . , σi−1 , σi+1 , σi , σi+2 , . . . , σp ). Si b(xσi+1 wi−1 ) 6= wi−1 , entonces s(m, α, σ 0 ) tiene un elemento distinto m´as y concluimos por inducci´on. Si b(xσi+1 wi−1 ) = wi−1 , entonces tomamos la permutaci´on σ 00 = (σ1 , . . . , σi−2 , σi+1 , σi−1 , σi , σi+2 , . . . , σp ), etc. En el peor de los casos, llegamos a la permutaci´on τ = (σi+1 , σ1 , σ2 , . . . , σd i+1 , . . . , σp ), y como m 6= b(xσi+1 m), tenemos que s(m, α, τ ) tiene un elemento distinto m´as. En particular, vemos que para cada α ⊂ set(m), existe una permutaci´on σ de α tal que s(m, α, σ) es no degenerado. Para el siguiente corolario, necesitamos una definici´on: Definici´ on 3.21. Sean m ∈ G(I), α ⊂ set(m), y σ una permutaci´on de α tal que s(m, α, σ) es no degenerado. En esta secci´on, llamamos caras propias de s(m, α, σ) a sus caras F de dimensi´on dim(s(m, α, σ)) − 1. Decimos que F es exterior si no es una cara propia de otro s´ımplice de la forma s(m, α, σ 0 ), para otra permutaci´on σ 0 de α, y en caso contrario, decimos que es interior. La clave de la construcci´on celular posterior ser´a c´omo se disponen las caras propias de unos s´ımplices respecto a otros: Corolario 3.22. Sean m ∈ G(I), α ⊂ set(m), con #α = p, y σ una permutaci´on de α. Pongamos s(m, α, σ) = (w0 = m, w1 , . . . , wp ) y supongamos que es no degenerado. Sea F = {w0 , w1 , . . . , w bi , . . . , wp } una cara propia suya. Entonces:

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CAP´ITULO 3. MAPPING CONES 1. F es interior si, y s´olo si, 1 ≤ i < p y σi ∈ set(b(xσi+1 wi−1 )). En tal caso, F es cara propia de exactamente dos s´ımplices no degenerados: s(m, α, σ) y s(m, α, σ 0 ), donde σ 0 = (σ1 , . . . , σi−1 , σi+1 , σi , . . . , σp ). 2. Supongamos que F es exterior. Entonces, si i = 0, F = s(b(xσ1 m), α \ σ1 , τ ), con τ = (σ2 , σ3 , . . . , σp ). Y si 1 ≤ i ≤ p, entonces F = s(m, α \ σi , τ ), con τ = (σ1 , . . . , σbi , . . . , σp ). En ambos casos, F es no degenerado.

Demostraci´on. Si i = 0, entonces es claro que F = s(b(xσ1 m), α \ σ1 , τ ), con τ = (σ2 , σ3 , . . . , σp ), y no puede ser cara propia de otro s´ımplice no degenerado s(m, α, σ 0 ) por el apartado 4 de 3.18. Y si i = p, entonces F = s(m, α \ σp , τ ), con τ = (σ1 , . . . , σp−1 ) y es exterior, de nuevo por el apartado 4 de 3.18. Supongamos ahora que 1 ≤ i < p y que F es cara propia de un s´ımplice no degenerado s(m, α, σ 00 ) = (w000 = m, w100 , . . . , wp00 ), por los apartados 4 y 5 de 3.18, debe ser wj00 = wj , para todo j 6= i, y σj00 = σj , para todo j < i. Como 00 wi+1 = wi+1 , tenemos que 0 00 xσ 00 wi−1 = wi+1 n , xσi+1 xσi wi−1 = wi+1 n y xσi+1 i

para ciertos monomios n, n0 ∈ S tales que supp(nn0 ) ∩ set(wi+1 ) = ∅. Por 00 00 00 xσ 00 n, y debe ser {σi , σi+1 } = {σ , σ tanto, xσi+1 xσi n0 = xσi+1 i+1 }, pues si no i i llegar´ıamos a que σj ∈ / set(wi+1 ) para cierto j > i + 1, lo que contradir´ıa el apartado 2 de 3.18. Por tanto, σ 00 = σ o´ σ 00 = σ 0 = (σ1 , . . . , σi−1 , σi+1 , σi , . . . , σp ), y tenemos dos casos: 1. Si σi ∈ set(b(xσi+1 wi−1 )), entonces por el apartado 3 de 3.13, s(m, α, σ 0 ) es no degenerado y F es cara propia suya, por lo que F es interior y pertenece solamente a los s´ımplices s(m, α, σ) y s(m, α, σ 0 ). 2. Si σi ∈ / set(b(xσi+1 wi−1 )), entonces s(m, α, σ 0 ) es degenerado, y F es exterior, porque s(m, α, σ) es el u ´nico s´ımplice no degenerado al que pertenece.

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Con estos preliminares, ya podemos definir el complejo celular que buscamos. Dado m ∈ G(I) y α ⊂ set(m), definimos la c´ elula C(m, α) como [ C(m, α) = (s(m, α, σ)), σ

donde podemos tomar la uni´on conjuntista en Rn o´ la uni´on disjunta de dichos s´ımplices geom´etricos e identificar las caras propias comunes. Como cada uno de esos s´ımplices es una cara de otro no degenerado, podemos limitarnos a considerar s´olo estos u ´ltimos. En el siguiente teorema recogemos el hecho de que estas c´elulas realmente proporcionan un complejo celular tal y como los definimos en la secci´on 2.2, aunque nos referiremos al art´ıculo original [DM] para la demostraci´on rigurosa, ya que se necesitan resultados topol´ogicos que omitiremos: Teorema 3.23. Considerando una realizaci´on geom´etrica en Rr , identificando mi ∈ G(I) con el i-´esimo vector de la base can´onica, o la realizaci´on anterior en Rn , tenemos S que X = (|X|, Γ), con Γ = {C(m, α)/m ∈ G(I) y α ⊂ set(m)} y |X| = Γ, constituye un complejo celular en el que los v´ertices son m1 , m2 , . . . , mr , y las caras de C(m, α), si α = {j1 , j2 , . . . , jp }, son de dos tipos: C(m, α \ ji ) y C(b(xji m), α \ ji ), para 1 ≤ i ≤ p. Demostraci´on. Primero, para cada par de s´ımplices S = s(m, α, σ) y G0 = s(m, α, σ 0 ), es obvio que existe una cadena de s´ımplices Gi = s(m, α, σi ), con G0 = G y Gq = G0 (basta considerar transposiciones de ´ındices consecutivos para pasar de una permutaci´on a otra). Seg´ un [DM, theorem 3.10], esto implica que el complejo simplicial obtenido al unir los s´ımplices no degenerados de la forma s(m, α, σ), variando σ, es lo que se suele denominar “shellable”. Un complejo simplicial ∆ se dice que es “shellable” si sus caras maximales se pueden ordenar F1 , F2 , . . . , Fq , de forma que (∪j−1 i=1 Fi ) ∩ Fj es puro de dimensi´on dim(Fj ) − 1, para j = 2, 3, . . . , q, donde “puro” quiere decir que todas sus caras maximales tienen la misma dimensi´on. Por esta propiedad, junto con la forma en que las caras propias de los s´ımplices no degenerados s(m, α, σ) se disponen y [DK, proposition 1.2], obtenemos que C(m, α) son homeomorfos a bolas cerradas de la dimensi´on correspondiente, y X es un complejo celular (para que se corresponda exactamente con la definici´on 2.15, deber´ıamos considerar el interior de las c´elulas C(m, α)). Ahora, las caras de C(m, α) estar´an formadas por caras exteriores F de ciertos s(m, α, σ) no degenerados, pues las interiores “desaparecen” al pegar

CAP´ITULO 3. MAPPING CONES

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los correspondientes s´ımplices. Dichas caras exteriores, por 3.22, deben ser de la forma F = s(m, α \σi , τ ), con τ = (σ1 , . . . , σbi , . . . , σp ), para 1 ≤ i ≤ p, o de la forma F = s(b(xσ1 m), α \ σ1 , τ ), con τ = (σ2 , σ3 , . . . , σp ). Los primeros proporcionan c´elulas de la forma C(m, α \ ji ), y los segundos, c´elulas de la forma C(b(xji m), α \ ji ). Ejemplo 3.24. Veamos con un ejemplo c´omo la propiedad de ser “shellable”, junto con el corolario 3.22, nos permiten concluir que la construcci´on realizada da un complejo celular. Tomemos el ideal I = hx1 x2 , x1 x3 , x1 x5 , x2 x3 , x2 x5 , x3 x5 , x4 x5 i, y denotemos por mi , para 1 ≤ i ≤ 7, a dichos generadores, con este orden. Entonces el ideal I admite cocientes lineales y funci´on de descomposici´on regular, y si tomamos m = m7 y α = set(m7 ) = {1, 2, 3}, se comprueba f´acilmente que los s´ımplices no degenerados que obtenemos son F1 = {1, 2, 3, 7}, F2 = {1, 2, 6, 7}, F3 = {1, 4, 6, 7} y F4 = {1, 4, 5, 7}, donde hemos identificado i = mi : 3

5

7

2

4 1

6

Figura 3.1: Los s´ımplices tridimensionales F1 , F2 , F3 , F4 forman las caras maximales de este complejo simplicial, y con dicho orden vemos que se cumple la propiedad de ser “shellable”. Pegando entonces dichos s´ımplices por las caras interiores obtenemos la c´elula tridimensional C(m7 , set(m7 )), y se puede com-

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probar que, a su vez, las caras exteriores tambi´en se pegan formando las caras de dicha c´elula. Finalmente, s´olo nos queda definir una funci´ on de incidencia para obtener el complejo de cadenas etiquetado FX , donde la forma de etiquetar X es la obvia. Para ello, tenemos dos estrategias. Por un lado, podemos proceder como en [DM, lemmas 3.8 y 3.9] y definir orientaciones en los s´ımplices s(m, α, σ) de forma coherente y definir la diferencial del complejo X de forma intr´ınseca, o podemos directamente dar una f´ormula para la funci´on de incidencia y comprobar que verifica las propiedades de la definici´on 2.18. Procederemos de esta u ´ltima forma, que es m´as directa, aunque perdemos informaci´on topol´ogica intr´ınseca a las c´elulas C(m, α): Definici´ on 3.25. Definimos la funci´ on de incidencia  en X de la siguiente forma: para cada m ∈ G(I) y cada α = {j1 , j2 , . . . , jp } ⊂ set(m), con j1 < j2 < . . . < jp , sean (C(m, α\ji ), C(m, α)) = (−1)i+1

y (C(b(xji m), α\ji ), C(m, α)) = (−1)i ,

y 0 en el resto de casos. Definimos tambi´en (∅, mi ) = 1. La condici´on 1 de la definici´on 2.18 se deduce del teorema anterior, y la condici´on 3 es un c´alculo sencillo que omitimos por brevedad. Ahora, al construir el complejo de cadenas etiquetado FX asociado a X y m1 , m2 , . . . , mr , tenemos que comprobar que la multigraduaci´on dada por la definici´on 2.20 es mdeg(C(m, {j1 , . . . , jp })) = xj1 · · · xjp m. Por un lado, los v´ertices de C(m, α) son, por construcci´on, los de la forma b(xβ m), con β ⊂ α. Ahora, xβ m = m0 n, con set(m0 ) ∩ supp(n) = ∅, por lo que xβ no divide a n, ya que set(m) ⊂ set(m0 ), y por tanto, es claro que el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de todos los b(xβ m) es xα m. Debido a todo lo anterior, obtenemos el teorema que hab´ıamos anunciado: Teorema 3.26. Sea I ⊂ S un ideal monomial con cocientes lineales para el orden G(I) = {m1 , m2 , . . . , mr }, y cuya funci´on de descomposici´on es regular. Entonces, para dicho orden, la resoluci´on de S/I obtenida por mapping cones iterados es minimal y celular, coincidiendo con el complejo de cadenas etiquetado FX asociado al complejo celular anterior X y los monomios m1 , m2 , . . . , mr .

CAP´ITULO 3. MAPPING CONES

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Veamos, para concluir, un par de ejemplos: Ejemplo 3.27. Consideremos, en S = k[x, y, z], los ideales I = hx2 , xy, y 3 , xz 2 i y J = hx2 , xy, y 2 , xz, yzi, con el orden usual de las variables. Dichos ideales son fuertemente estables y el orden de los generadores dado es el que aparece en 3.9. En el caso de I, su resoluci´on minimal es de hecho simplicial, mientras que en el caso de J, es polihedral pero no simplicial. Los complejos que soportan dichas resoluciones son los siguientes: x2 x2 x2 y

x2 z 2

x2 y

x2 yz 2

x2 yz

xy

xy

xz 2

xyz 2

x2 z xz

xyz xy 2 z

xy 2

xy 3

y2

y3

(a) Resoluci´on de I.

y2z

xyz

yz

(b) Resoluci´on de J.

Figura 3.2: Complejos que soportan las resoluciones de I y J. Ejemplo 3.28. Es interesante estudiar la resoluci´on minimal de los ideales de la forma I = md , para cierto d > 0, que como vimos en la secci´on 1.4, son fuertemente estables. En [Mer] y [DM] se afirma que, en dicho caso, la resoluci´on de Eliahou-Kervaire se obtiene como un subcomplejo de un complejo simplicial dilatado y subdividido. El caso a´ un m´as particular de dos variables, I = hx, yid = hxd , xd−1 y, xd−2 y 2 , . . . , xy d−1 , y d i, es particularmente sencillo. En este caso, la resoluci´on est´a soportada por un segmento subdividido en d segmentos: xd

xd−1 y

xd−2 y 2

xd−3 y 3

Figura 3.3:

x2 y d−2

xy d−1

yd

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