LECCIÓN

9.5

? ?

Resolver sistemas de desigualdades lineales

A-REI.4.12 Graph the . . . solution set to a system of linear inequalities in two variables as the intersection of the corresponding half-planes. También, A-CED.1.3

PREGUNTA ESENCIAL ¿Cómo resuelves un sistema de desigualdades lineales?

ACTIVIDAD PARA EXPLORAR

A-REI.4.12

y

Representar gráficamente desigualdades lineales en el mismo plano cartesiano

8 6

A Representa gráficamente la desigualdad x + y ≤ 4.

4

¿Sombreaste encima o debajo de la línea de límite?

2 x

B

-2

Representa gráficamente la desigualdad x - y ≥ 2.

O

4

2

6

-2

¿Sombreaste encima o debajo de la línea de límite?

C

Observa la región de tu gráfica donde se superponen las gráficas de las dos desigualdades. Elige tres pares ordenados de esa región. Prueba los pares en las desigualdades.

© Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company

REFLEXIONA

Par ordenado ( ,

)

( ,

)

( ,

)

¿Satisface x + y ≤ 4?

¿Satisface x − y ≥ 2?

1. Si pruebas otro par ordenado de la región donde se superponen las gráficas, ¿piensas que podrá satisfacer una de las desigualdades, ambas desigualdades o ninguna de las desigualdades? Explica tu razonamiento.

2. Saca conclusiones Un par ordenado que hace que una desigualdad lineal sea verdadera es una solución de esa desigualdad lineal. ¿Qué conclusión puedes sacar acerca de los pares ordenados de la región donde se superponen las gráficas?

Lección 9.5

311

Resolver un sistema de desigualdades lineales mediante gráficas Matemáticas al instante

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Un sistema de desigualdades lineales está formado por dos o más desigualdades lineales que tienen las mismas variables. Las soluciones de un sistema de desigualdades lineales son todos los pares ordenados que hacen que todas las desigualdades del sistema sean verdaderas.

EJEMPLO 1

A-REI.4.12

Resuelve el sistema de desigualdades mediante gráficas. Comprueba tu resultado.

{ -xx ++ 2yy ≤>42 My MisNotes notas

PASO 1

y

Representa gráficamente x + 2y > 2.

4

La ecuación de la línea de límite es x + 2y = 2.

2

-x + y ≤ 4

x -4

Intersección con el eje x: 2 Intersección con el eje y: 1

-2

O -2

2

4

x + 2y > 2

-4

El símbolo de desigualdad es >; entonces, usa una línea discontinua. Sombrea encima de la línea de límite porque (0, 0) no es una solución de la desigualdad. PASO 2

Representa gráficamente -x + y ≤ 4. La ecuación de la línea de límite es -x + y = 4. Intersección con el eje x: -4

Intersección con el eje y: 4

Sombrea debajo de la línea de límite porque (0, 0) es una solución de la desigualdad. PASO 3

Identifica las soluciones. Las soluciones son los puntos de la región donde se superponen las gráficas.

PASO 4

Prueba un punto de cada región para comprobar tu resultado.

Par ordenado (0, 0) (2, 3) (-4, 2) (-2, 4)

312

Unidad 2A

¿Satisface x + 2y > 2?

¿Satisface −x + y ≤ 4?

¿En la región donde se superponen las gráficas?

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El símbolo de desigualdad es ≤; entonces, usa una línea continua.

REFLEXIONA 3. Saca conclusiones ¿Cómo puedes probar pares ordenados específicos para determinar que la solución que representaste gráficamente es correcta?

4. ¿El par ordenado (-2, 2) es una solución del sistema de desigualdades? ¿Por qué?

y

ES TU TURNO 5. Resuelve el sistema de desigualdades mediante gráficas. Comprueba tu resultado. x - y ≥ -1 -y > 2

Entrenador personal en matemáticas

x

{

O

2

Evaluación e intervención en línea

-2

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Resolver sistemas de desigualdades cuyas gráficas tienen líneas de límite paralelas © Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company

Las gráficas de las desigualdades lineales de un sistema pueden tener líneas de límite paralelas. A diferencia de los sistemas de ecuaciones que contienen líneas paralelas, esto no siempre significa que el sistema de desigualdades no tenga ninguna solución.

EJEMPLO 2 y

-x + y > 3 { -x + y ≤ -5

4

Las dos regiones no se superponen.

O

El sistema no tiene ninguna solución.

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A-REI.4.12

Representa gráficamente los sistemas de desigualdades lineales. Describe las soluciones. A

Matemáticas al instante

-x + y > 3

2 x -4

-2

2

4

-2 -4 -x + y ≤ -5

Lección 9.5

313

B

-4 { xx ++ yy >> -1

y x + y > -1

Las soluciones son todos los puntos de la región donde se superponen las gráficas. Son todas las soluciones de x + y > -1.

4 2 x

-4

-2

x + y > -4

O

4

2

-2 -4

C

y

-x + 3y ≤ 3 { -x + 3y ≥ -3 4

Las soluciones son todos los puntos de las regiones que están entre las líneas de límite y en las líneas de límite.

-x + 3y ≤ 3

2 x -4

-2

O

4

2

-2 -x + 3y ≥ -3 -4

REFLEXIONA 6. ¿La solución de un sistema de desigualdades lineales puede ser una línea? Si es así, da un ejemplo.

y

ES TU TURNO

Entrenador personal en matemáticas Evaluación e intervención en línea

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314

Unidad 2A

8. Representa gráficamente el sistema de desigualdades lineales. Describe las soluciones. x - y < -1 x-y≥3

{

Descripción:

2 x O -2

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7. ¿El sistema 3x - 2y < 4 y 3x − 2y > 4 tiene solución? Explica tu respuesta.

Hacer modelos con sistemas de desigualdades lineales Usa un sistema de desigualdades lineales y su gráfica para representar muchas situaciones de la vida real.

EJEMPLO 3

En el mundo

Matemáticas al instante

A-REI.4.12, A-CED.1.3

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Rosa compra camisetas y pantalones cortos. Las camisetas cuestan $12 y los pantalones cortos, $20. Rosa no quiere gastar más de $120 y planea comprar por lo menos 4 artículos. Muestra y describe todas las combinaciones posibles del número de camisetas y pantalones cortos que podría comprar. Escribe dos combinaciones posibles. Escribe un sistema de desigualdades lineales. Sea c el número de camisetas y sea p el número de pantalones cortos. Total de artículos: Total gastado: PASO 2

PASO 4

12c + 20p ≤ 120

Quiere comprar por lo menos 4 artículos. No quiere gastar más de $120.

Representa gráficamente el sistema. La gráfica debe estar solo en el primer cuadrante porque el número de camisetas y de pantalones no es negativo. Describe todas las combinaciones posibles. Rosa podría comprar cualquier combinación de camisetas y pantalones representada por un punto de la región donde se superponen las gráficas. Los resultados deben ser números cabales porque no puede comprar parte de una camiseta ni de un par de pantalones.

Opciones de Rosa

s 10 8 6 4 2

t

O

2

6

8 10

Charla matemática Prácticas matemáticas

¿Cómo eliges de qué región debes seleccionar las combinaciones?

Escribe dos combinaciones posibles. Dos combinaciones posibles: 2 cam. y 3 pant. o (2, 3) 1 cam. y 5 pant. o (1, 5)

ES TU TURNO 9.

4

Camisetas

Sergio construye un jardín. Quiere que la longitud mida por lo menos 30 pies y que el perímetro mida como máximo 100 pies. Representa gráficamente todas las dimensiones posibles del jardín. ¿Una longitud de 35 pies y un ancho de 10 pies es una combinación posible?

Opciones de Sergio w

50

Ancho

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PASO 3

c+p≥4

Pantalones cortos

PASO 1

40 30 20 10 O

l 10 20 30 40 50

Longitud

Entrenador personal en matemáticas Evaluación e intervención en línea

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Lección 9.5

315

Práctica con supervisión Resuelve los sistemas de desigualdades lineales mediante gráficas. Describe las soluciones. (Ejemplos 1 y 2) 1.

{ xx -- yy >≤ 3-3

2.

{ -xx ++ yy ≤> -2 1

y

y

4

4

2

2 x

-4

-2

O

2

4

x -4

-2

O

-2

-2

-4

-4

3. Jasón va a comprar uvas para un día de campo. Las uvas verdes cuestan $2 la libra y las uvas rojas cuestan $3 la libra. Planea comprar por lo menos 4 libras de uvas y no quiere gastar más de $20. Escribe dos combinaciones posibles del número de libras de uvas verdes y rojas que podría comprar. (Ejemplo 3)

4

2

Opciones de Jasón

r 10 8 4 2

?

316

ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL 4. ¿Cómo resuelves un sistema de desigualdades lineales?

Unidad 2A

O

g 2

4

6

8 10

© Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company

6

Nombre

Clase

Fecha Entrenador personal en matemáticas

9.5 Práctica independiente

Evaluación e

my.hrw.com intervención en línea

A-REI.4.12, A-CED.1.3

Resuelve los sistemas de desigualdades lineales mediante gráficas. Nombra dos pares ordenados que sean soluciones de los sistemas. y ≥ -2 5. 4x + y ≥ 2

7.

4 { 4x4x ++ yy ≥≥ -4 y

{

4

y

2 x

4

-4 x

-2

2

4

-2

2 -4

O

-2

O

2

-4

4

-2 -4

6.

8. El siguiente sistema de desigualdades define los límites de una región del plano. ¿Qué símbolo o símbolos de desigualdad podrían reemplazar a “?” para hacer que la solución sea una región triangular? y ≤ -x + 1 y ≥ _13x - 3 x ? -4

{ 2x + yx >< 11

{

y 4

© Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company

2 x -4

-2

O

2

4

9. Luego, escribe un sistema posible para las desigualdades representadas gráficamente. y

-2 2

-4

x -2

O

2

-2

Lección 9.5

317

{

10. Razonamiento crítico Describe la solución de x ≥ 3 . y≤4

11. Natalia va a dibujar un rectángulo. Quiere que el ancho mida por lo menos 10 pulgadas y que el perímetro no mida más de 72 pulgadas. a.

Escribe un sistema de desigualdades que se pueda usar para resolver este problema.

b.

Da una longitud y un ancho posibles para el rectángulo.

c.

Da una longitud y un ancho que no se puedan usar para el rectángulo.

12. León trabaja en una tienda de comestibles y gana $8 por hora. También corta el césped y gana $10 por hora. Necesita ganar por lo menos $120 por semana, pero no quiere trabajar más de 20 horas por semana. Usa un sistema de desigualdades para hallar una combinación posible de horas que pueda trabajar en la tienda de comestibles y cortando el césped para lograr su objetivo.

ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO

Área de trabajo

14. Representa gráficamente el sistema de desigualdades lineales. Describe las soluciones del sistema. x + 4y > -4 x+y≤2 x-y≥2

{

© Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company

13. Comunica ideas matemáticas ¿Es posible que un sistema de dos desigualdades lineales tenga como solución todos los puntos del plano? ¿Por qué?

y 4 2 x

-4

-2

O -2 -4

318

Unidad 2A

2

4