CENTRO CONCERTADO SAGRADA FAMILIA SIERVAS DE SAN JOSÉ Curso 2011-2012
Grupo: Matemáticas en Red (3º ESO B)
Resumen de Proporcionalidad directa e inversa Proporcionalidad directa Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente o razón de las cantidades correspondientes es constante. Esta constante se llama constante de proporcionalidad, k.
Ejemplo: Para hacer 30 litros de limonada empleamos 10 kg de limones. Completa la siguiente tabla e identifica la constante de proporcionalidad. Limonada (litros) Limones (kg)
30 10
45
50 60
Repartos proporcionales directos Si sumamos las cantidades de dos magnitudes directamente proporcionales, las cantidades obtenidas siguen siendo proporcionales a las dadas.
Ejemplo: Para hacer un negocio, tres socios han aportado respectivamente un capital de 3000, 5000 y 10000€ respectivamente. Al cabo de un año, los beneficios netos ascienden a 3600€. ¿Cuánto dinero deberá obtener cada uno?
Porcentajes y proporcionalidad
El tanto por 1 se obtiene expresando la razón en forma decimal. El tanto por 100 se obtiene multiplicando por 100 el tanto por 1.
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Grupo: Matemáticas en Red (3º ESO B) Ejemplo: Expresa en tanto por uno y en tanto por ciento los goles que marcó de pie, de cabeza, de penalti y de falta el jugador que prefieras en la temporada 2009-10. Estos son los datos: Temporada 2009-10
Goles Pie Cabeza Penalti Falta
Messi
34
29
3
1
1
Higuaín
27
25
2
0
0
Cristiano Ronaldo
26
16
3
4
3
Problemas de porcentajes
Si a c se le aplica una disminución del r %, el resultado final será
Si a c se le aplica un aumento del r %, el resultado final será
Para aplicar sobre la misma cantidad dos o más porcentajes encadenados se pasan a tantos por 1 y se aplican sucesivamente.
( (
) )
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Grupo: Matemáticas en Red (3º ESO B) Ejemplo: Después de haber estado ahorrando un año, deseo comprarme un Ipod. Me he dado cuenta que la opción más rentable es por Internet y he visto dos tiendas online. El precio original del Ipod es 150€. En una tienda me ofrecen un descuento del 20%. En la otra me ofrecen un descuento del 12% y otro adicional del 10%, sobre la cantidad ya rebajada, por tener el carnet joven. ¿En qué tienda me sale más rentable la compra? ¿Cuánto me cuesta?
Proporcionalidad inversa Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de las cantidades correspondientes es constante. Esta constante se llama constante de proporcionalidad inversa, k.
Ejemplo: En nuestra visita a la planta potabilizadora vimos que para bombear el agua, una vez tratada, a los depósitos, disponemos de varias bombas iguales. Sabemos que un motor es capaz de llenar un depósito en 25h. Completa la siguiente tabla e identifica la constante de proporcionalidad inversa. Motores funcionando Tiempo de llenado (h)
1 28
4
10 7
Repartos proporcionales inversos Hacer un reparto inversamente proporcional a a, b y c es hacer un reparto directamente proporcional a ,
y .
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Grupo: Matemáticas en Red (3º ESO B) Ejemplo:
Un premio de una carrera está dotado con 165€ que se repartirán inversamente al puesto que ocupan los tres primeros atletas en llegar a la meta. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?
Proporcionalidad compuesta Proporcionalidad compuesta directa --> Método de reducción a la unidad. Ejemplo: En el viaje de fin de curso debemos pagar por tres días alojamiento 480€ entre las 15 personas que participan. ¿Cuánto pagaremos si al final se incorporan tres personas más y reducimos la estancia a dos días?
Proporcionalidad compuesta inversa Ejemplo: Para realizar la decoración de la clase hemos dedicado 2h al diarias durante 4 días y realizando el trabajo entre 10 personas. ¿Cuánto tiempo hubiéramos empleado si en el trabajo hubieran colaborado 12 personas y hubiéramos tenido un día más?
Proporcionalidad compuesta directa-inversa Ejemplo: Para realizar el camino de Santiago el año anterior empleamos 15 días para hacer 525 km andando 8h diarias. Este año tenemos pensado hacer 200 km más ya que disponemos de 22 días. ¿Cuántas horas debemos caminar al día?
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Grupo: Matemáticas en Red (3º ESO B)
Regla de tres compuesta Es una regla práctica para resolver cualquier tipo de problema de proporcionalidad compuesta. 1. Estudiamos el tipo de proporcionalidad entre dos magnitudes cuando el resto quedan fijas. 2. Igualamos la razón que tiene la incógnita con el producto de las razones de las otras magnitudes. Si las magnitudes son inversamente proporcionales, invertimos la razón previamente.
Realiza los tres problemas anteriores mediante la regla de tres compuesta