Unidad 5. Proporcionalidad • PROPORCIONALIDAD DE MAGNITUDES. • EXPRESIONES USUALES DE PROPORCIONALIDAD. TANTOS POR ALGO. • ESCALAS. • TANTOS POR CIEN. PORCENTAJES ENCADENADOS. • INTERÉS SIMPLE. APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. • PROPORCIONALIDAD DE MAGNITUDES: • REGLAS DE TRES SIMPLES: a) Regla de tres simple directa. Definición: la regla de tres simple directa es el procedimiento utilizado para conocer una cantidad que forma proporción con otras tres cantidades de dos magnitudes directamente proporcionales. Importante: en la regla de tres simple y directa siempre dividimos por cantidad cruzada de x. Ejemplo: b) Regla de tres simple inversa: Definición: la regla de tres simple inversa es le procedimiento utilizado para conocer una cantidad que forma proporción con otras cantidades conocidas de dos magnitudes inversamente proporcionales. Ejemplo: Un edificio es pintado por 12 obreros en 15 días. ¿Cuántos días emplearán 30 albañiles en pintar el mismo edificio? días. • REGLAS DE TRES COMPUESTAS: • Reglas de tres compuestas directas: Ejemplo: si 5 personas han ido a cenar 8 noches a un restaurante gastándose un total de 600€, ¿cuánto gastarán 10 personas si van a cenar 5 noches al mismo restaurante, suponiendo que siempre comen lo mismo? Pers.− Cenas − Precio (€) Solución: se gastarán 750€. • Reglas de tres compuestas inversas: Intervienen tres o más magnitudes, de las cuáles algunas son inversas. Veamos un ejemplo: En unas fiestas se han gastado 2000€ para colocar 1000 farolillos que están conectados 6 h/día. Si se conectan 10 000 farolillos durante 9 h/día, ¿cuánto dinero se gastarán? Farol.− h/día − precio (€) Solución: gastarán 210.000€ 1

• EXPRESIONES USUALES DE PROPORCIONALIDAD. TANTOS POR ALGO. La proporcionalidad suele expresarse mediante razones o fracciones, por ejemplo: • La mitad de treinta y ocho: • La quinta parte de nueve: • El quince por ciento de cien: • Ochocientos por mil de cuarenta: 800 de 40 TANTOS POR ALGO: Existen dos tipos fundamentales para trabajar en matemáticas de tantos por algo: • Tantos por cien: indica una cantidad sobre 100. Su símbolo es %. Ej.: 2% = 2 de cada 100. Se suelen ver en los comercios en época de rebajas. • Tantos por mil: indica una cantidad sobre 1000. su símbolo es . Ej.: 340% = 340 de cada 1000. Se utilizan con mucha frecuencia en economía y en las cien− cias sociales parta representar índices de mortandad, fecundidad, natalidad, etc. • ESCALAS: Definición: la escala es una proporción de medida que relaciona cantidades en el plano y en la realidad. Por ejemplo, un mapa puede tener escala 1:30 000. Significa que un centímetro en el mapa equivale a treinta mil centímetros (300m.) en la realidad. Ejemplo: si el largo de una habitación es de 5m. y tengo que hacer un plano en una hoja de 30cm. de largo, ¿qué escala debo usar para utilizar 25cm. en el papel? • TANTOS POR ALGO. PORCENTAJES ENCADENADOS. Porcentaje: es n proporción que, como tal, podrá expresarse como una fracción. Esa fracción tiene como denominador cien. Ejemplo: que porcentaje representa 46 de cada 780 alumnos? Cuando aplicamos porcentajes de forma sucesiva, tendremos porcentajes encadenados, por ejemplo: el 15% del 70% del 30% del 20% del 50% del 50% de 30.000: • Método A: • Método B: • INTERÉS SIMPLE: Al ingresar en un banco o caja de ahorros un dinero, nos da un beneficio llamado interés. Este interés puede ser: • Simple: cuando los beneficios obtenidos se retiran al final de un tiempo, sin volver a invertirlos. • Compuesto: el beneficio obtenido se acumula al dinero prestado y se vuelve a ingresar. El interés simple cumple la siguiente fórmula:

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, donde: i es le interés producido al depositar una cantidad de dinero llamada capital, c, durante un tiempo t determinado. C es el capital depositado en la entidad bancaria, r es el rédito (expresado en %) y t es el tiempo que está depositado el capital en la entidad bancaria, siempre en años. Así pues, a partir de esta fórmula obtenemos las demás; sólo se trata de despejar la incógnita oportuna: Además, para t, decimos que un año fiscal son 360 días, ya que el número de días al año que va usted a obtener beneficio si tiene un capital en una entidad bancaria con las reglas del interés simple son 360, y no 365 ó 366 en caso de año bisiesto. Así, la fórmula del interés sufrirá unas pequeñas variaciones en función de la forma de representación del tiempo: • Si t viene dado en años, • Si t viene dado en meses, • Si t viene dado en días, Ejemplo: Alejandro deposita 7000€ durante 3 años en un banco a un interés del 0,4%. ¿Cuánto dinero tendrá al cabo de esos tres años? Solución: tendrá 7084€. Ahora hazlo tú • En la cocina de un restaurante se han pagado 40€ por 70 barras de pan. ¿cuánto tendrán que pagar si hubieran comprado 47 barras? • Para construir una piscina 11 obreros trabajan 17 días. ¿Cuántos obreros trabajaron en su construcción si el nº de días empleados fue de 38? • Tres gatos se comen 10 ratones en 4 horas. ¿cuántos gatos se comerán 4 ratones en media hora? • Una barra de metal de 10 metros de largo y 2 cm² de sección pesa 8kg y 450g. ¿Cuántos cm² de sección tendrá una barra de 5 metros de largo que pese 14,8kg? • un artículo que costaba 50€ se ha rebajado un 20%. En unas segundas rebajas, se ha descontado otro 20%. ¿Cuánto cuesta después de cada rebaja?¿Qué porcentaje total se ha rebajado respecto del precio inicial? • ¿Cuál es la distancia real entre Huesca y Zaragoza si he medido 19cm. en un mapa de escala 1:300 000? • El sueldo de Patro es de 2500€. Se lo aumentan un 10% por su rendimiento en el trabajo, pero Hacienda le retiene un 15% de lo que le aumenta. ¿Cuánto cobra limpio, es decir, neto? • Averigua el capital que invirtió Juan en un banco al 4,5% durante dos años sie n total me han devuelto 1463€. • Manolo prestó a Pepe 2460€ al 3% durante cuatro años. Indica el dinero total que le devolvió Pepe durante ese tiempo. • Julià deposita en la sucursal nº3 de La Caixa de Barcelona un capital al 7,75% durante dos años. De los intereses recibidos, dona el 10% (400€) a una organización benéfica. Calcula los intereses producidos y el capital que se ha depositado. • 3