8

Proporcionalidad y porcentajes CLAVES PARA EMPEZAR

a) 1 · 4  2 · 5 → 4  10 → No son equivalentes. b) 12 · 7  16 · 6 → 84  96 → No son equivalentes. c) 4 · 60  3 · 80 → 240  240 → Sí son equivalentes.

a) 3 · x  2 · 6 → x  12/3 → x  4 b) 8 · 3  6 · x→ x  24/6 → x  4 c) x · 6  12 · 7 → x  84/6 → x  14

a)

b)

a) 0,4

c)

b) 0,32

d)

c) 1,5

e)

d) 0,75

e) 0,045

f) 1,25

VIDA COTIDIANA

El 1,3 % de 1 t es 0,013 t  13 kg El 0,9 % de 1 t es 0,009 t  9 kg La diferencia de carbono entre las dos es de 4 kg.

225

Proporcionalidad y porcentajes

8

RESUELVE EL RETO

Tres gallinas pondrán 6 huevos al día, de modo que para tener una docena hacen falta dos días.

El precio tras el aumento es: 1,10 · 0,9 · precio  0,99 · precio. Es algo más barata al aumentar el precio.

ACTIVIDADES

7,1 · 1  2 · 3,6 → 7,1  7,2

a)

b)

Si para 6 personas son 350 g de carne, para una persona se aconseja: los 15 invitados: 15 ·

226



 875 g de carne para todos los invitados

g de carne, con lo que para

Proporcionalidad y porcentajes

8

a) x 

5

c) x 

 36

e) x 

 40

b) x 

 22,5

d) x 



f) x 

 75

a) x 

 2,55

c) x 

 0,24

e) x 

b) x 

 2,5

d) x 

 0,6

f) x 

 7,2  0,3

con x  18

con x  18

con x  4,5

con x  18

con x  18

con x  4,5

a)

→x



d)

→x

b)

→x

3

e)

→x

c)

→x

a) 2 y 3 →

 18

f)

b) 140 y 0,1 →

→x

 3,2   28

c) 0,06 y 1,1 →

227

Proporcionalidad y porcentajes

8

a) En orden de huecos de izquierda a derecha, los números son: 30, 36, 75, 0,3. b) En orden de huecos de izquierda a derecha, los números son: 12, 18, 175, 0,12.

La proporción que se cumple es

con lo que han recibido alimentos 18 familias.

10

15 20 25 30

Constante de proporcionalidad:

Magnitud A Magnitud B

2,4 1

4,8 2

7,2 3

9,6 4

12 5

No, las magnitudes edad y años están relacionadas, pero no son directamente proporcionales.

228

Proporcionalidad y porcentajes

8

a) Sí son directamente proporcionales. b) No son directamente proporcionales. c) No son directamente proporcionales. d) Sí son directamente proporcionales.

Tabla 1: → A y B son directamente proporcionales. Tabla 2: → A y B no son directamente proporcionales.

8 39,1

11,5

12

4

a)

10,2

b) 25 2,4

60

6 40

10

14,4 166,7

229

Proporcionalidad y porcentajes

a)

→x

b)

→x

8

 24 → Se necesitarán 24 barras de pan  66 → Habrá pan para 66 personas

18 1,5

→x

6

7,5

3,68 y 

1,67 10 11,7

 0,8

La botella de aceite (producto A) sale a 3,68 €, su rebaja es de 92 céntimos, y la tableta de chocolate (producto B) sale a 0,8 €, su rebaja es de 20 céntimos.

Son magnitudes directamente proporcionales. a) 5 entradas → 36,25 € 8 entradas → x € x

230

 58 €

b) 5 entradas → 36,25 € x entradas → 108,75 € x

 15 entradas

Proporcionalidad y porcentajes

8

Son directamente proporcionales. a) 25 km → 3 € 180 km → x € x

b) 25 km → 3 € x km → 15 €

 21,6 €

x

 125 km

Son magnitudes directamente proporcionales. a) 3kg → 20,7 € x kg → 55,2 € x

 8 kg

b) 3 kg → 20,7 € 12,5 kg → x € x

 86,25 €

c) 3 kg → 20,7 € 0,25 kg → x € x

a)

 1,725 €

 22 € al día → 22 · 7  154 € a la semana.

b) 660 · 12  7 920 € al año.

Los minutos que se adelanta y las semanas son magnitudes directamente proporcionales. a) 2 minutos → 1 semana x minutos → 5 semanas x  5 · 2  10 minutos de adelanto b) 2 minutos → 1 semana 18 minutos → x semanas x  18/2  9 semanas

231

Proporcionalidad y porcentajes

a) 22 % de 88 

a)





 19,36

→ 46 %

8

b) 12 % de 124 

b)

a) 24 % de 45 

 10,8

45 % de 24 

b) 27 % de 30 

 8,1

9 % de 90 

c) 35 % de 12 

→P

→P

4,2

28 % de 15 





 14,88

→ 20 %

 10,8 → Sí es lo mismo.  8,1 → Sí es lo mismo. 4,2 → Sí es lo mismo.

 52 lavadoras se dedican a la exportación cada día.

 450 personas quedaron ingresadas.

100  4  96 → Se pondrá a la venta, como máximo, el 96 % de la producción. →P

 2,88 t  2 880 kg de tomates se pondrán a la venta como máximo.

100  40  25  35 → El 35 % de los trabajadores va caminando al trabajo. →P

232

 490 empleados llegan caminando.

Proporcionalidad y porcentajes

8

100  47  38  15 → El 15 % de los habitantes tienen entre 10 y 18 años. →P

 225 habitantes tienen entre 10 y 18 años.

→a

 68 %

→a

 75 %

a) a  10 % de C → a 

→ 2a 



b) a  10 % de C → a 

→ 2a 



→C

c)

Total

→ 2a  10 % de 2C → Es cierta. → 2a  20 % de C → Es cierta.

 10a → Es cierta.

Parte

100 alumnos → 40 alumnos x alumnos → 12 alumnos x

 30 alumnos hay en total

233

Proporcionalidad y porcentajes

100  15  85 → El 85 % de los productos vendidos valía menos de 100 €. Total

Parte

100 productos → 85 productos x productos → 595 productos x

 700 productos

650  208  403  39 → 39 personas no contestaron Total

Parte

100 personas → x contestaron SÍ 650 personas → 208 contestaron SÍ x

 32 % Total

Parte

100 personas → y contestaron NO 650 personas → 403 contestaron NO y

 62 % Total

Parte

100 personas → z no contestaron 650 personas → 39 no contestaron z

 6%

Contestaron SÍ el 32 % de los encuestados; NO, el 62 %, y no contestaron, el 6 %.

a) 100 aviones → 96 han llegado puntuales 850 aviones → x han llegado puntuales x

850  96  816 aviones han llegado a la hora prevista. 100

b) 100 aviones → x de más de 2 h 850 aviones → 765 de más de 2 h x

234

 90 % de los aviones han realizado vuelos de más de 2 horas.

8

Proporcionalidad y porcentajes

a)

Total

8

Parte

Total

Parte

20 mascotas → 9 perros 140 mascotas → x perros

20 mascotas → 4 gatos 140 mascotas → y gatos

x

y

 63 perros

b) Total

 28 gatos

Parte

9 perros → 4 gatos 36 perros → x gatos x

 16 gatos

ACTIVIDADES FINALES

a)

Proporciones:

b)

c)

d)

→ 3 · 124  8 · 50 → 372  400 → No se ha mantenido la proporción.

235

Proporcionalidad y porcentajes

8

Respuesta abierta. Por ejemplo: a)

c)

b)

d)

→ 9 · 8  4 · 18 → 72  72

a)

a) x 

b)

1

a) 30, 36, 50 y 0,3 b) 12, 18, 135 y 1,2 c) 14, 7, 22, 165 y 0,04

236

b) x 

c)

 30

c) x 

3

d) x 

 30

Proporcionalidad y porcentajes

8

a) (x  1) · 8  6 · 4 → 8x  8  24 → 8x  24  8 → x  16/8 → x  2 b) 15 · 7  28 · 2x → 105  56x → x  105/56 → x  1,875 c) 7  (x  2) · 14 → 7  14x  28 → 14x  7  28 → x  35/14 → x  2,5 ̂ d) 22 · (3  x)  5 · 2 → 66  22x  10 → 22x  66  10 → x  56/22 → x  2,54 e) 5 · (x  3)  9 · 10 → 5x  15  90 → 5x  90  15 → x  75/5 → x  15 f) (x  8) · 3  6 · 2 → 3x  24  12 → 3x  24  12 → x  36/3 → x  12

20 litros de aceite valen 61 euros 25 litros de aceite vale 76,25 euros Constante de proporcionalidad 0,328

Proporción: a)

→ x

→ x  480 g de harina

b)

→ x

→ x  62,5 g de azúcar

c)

→ x

→ x  1 800 g de harina

d)

→ x

→x

e)

→ x

→ x  1 140 g de harina

f)

→ x

→x

g de azúcar (133 g aproximadamente)

g de azúcar (321 g aproximadamente)

237

Proporcionalidad y porcentajes

8

1 kg  1 000 g → 1 · 1 000  250 · 4 → 1 000  1 000→ Es una proporción. Constante de proporcionalidad  0,004 Formas de escribir la proporción: → Constante de proporcionalidad  0,004 → Constante de proporcionalidad  250 Las constantes de proporcionalidad son inversas →

 0,004

 250

a) Sí son directamente proporcionales. b) No son directamente proporcionales. c) No son directamente proporcionales. d) Sí son directamente proporcionales.

a) Sí son directamente proporcionales. b) No son directamente proporcionales (no se usa el mismo número de pinzas para cada prenda). c) Sí son directamente proporcionales. d) Sí son directamente proporcionales. e) No son directamente proporcionales (no vive el mismo número de personas en cada vivienda).

238

Proporcionalidad y porcentajes

8

0,125 → Son directamente proporcionales →a →b

→ a 24 € → b  6 kg

a) Constante de proporcionalidad 

 0,008

1 125

375

b) Constante de proporcionalidad 

1,5



3,96

c) Constante de proporcionalidad 

4,5

 10

7

239

Proporcionalidad y porcentajes

8

7,5 24

28

52 10

42

84

210 10

0,75

0,1

2,1

a) MAGNITUD A

1

2

3

4

MAGNITUD B

0,625

1,25

1,875

2,5

MAGNITUD A

1

2

3

4

MAGNITUD B

5

10

15

20

MAGNITUD A

8

10

12

16

MAGNITUD B

2

2,5

3

4

b)

c)

El sofá de 3 plazas cuesta 1 

partes de lo que cuesta el de 4.

→ 2 · 0,75  0,5 · 3 → 1,5  1,5 → Sí, son directamente proporcionales.

240

a)

→x

→ x  20 minutos

b)

→x

→ x  21 km

Proporcionalidad y porcentajes

→x

a)

a) b)

→x

→x

8

→ x  25 días

→ x  87 € de ganancia

b)

→x

→ x  476 € de ventas

→ x  21 €

→x

→ x  9 cajas de 6 litros

→ x  325 · 1,165  378,63 dólares

150 000  20 000  170 000 Las proporciones son:

→ 80 · 170 000  150 000 · 90 → 13 600 000  13 500 000 → No son

directamente proporcionales. →x

→ x  168 750 € debería costar la segunda casa.

241

Proporcionalidad y porcentajes

 1,25

1,25

8

0,75 → No son magnitudes directamente proporcionales.

El precio del frasco de 125 ml no se puede deducir con los datos, pues no son magnitudes directamente proporcionales.

→x

→ x  1 131 cm avanza si recorre 6 vueltas.

→x

c) d)

242

→ x  2 827,5 cm avanza si recorre 15 vueltas.

Ingredientes

Para 5 raciones

Harina

250 g

 400 g

 650 g

Azúcar

200 g

320 g

 520 g

Huevos

3

Leche

100 ml →x

→x

a) Para 8 raciones

 4,8 huevos (5 aprox.)

→ x  7,5 raciones → x  15 raciones

 160 ml

b) Para 13 raciones

 7,8 huevos (8 aprox.)  260 ml

Proporcionalidad y porcentajes

a)

→x

8

→ x  63 días

b) 460  180  280 páginas le quedan →x

→ x  98 días más

Salchichas al kilo: 5,25 €/kg Salchichas por paquete: 2,10 €/0,5 kg  4,20€/1 kg Son más baratas las salchichas en paquetes.

4,5  0,05 litros por km 90

 0,054 litros por km

Consume más gasolina el segundo coche.

Si se lo toma cada 8 h, realiza 24/8  3 tomas al día y toma 20 · 3  60 mg medicina al día.

de

Si se lo toma cada 6 h, realiza 24/6  4 tomas al día → Cada toma debe ser de 60/4  15 mg. Si se lo toma cada 4 h, realiza 24/4  6 tomas al día → Cada toma debe ser de 60/6  10 mg

a) 45 %

b) 28,6 %

c) 3 %

a)

 0,18

c)

0,248

b)

0,056

d)

0,02

d) 90 %

243

Proporcionalidad y porcentajes

a) b)

 1,7  170 %

c)

 0,45  45 %

d)

 2,25  225 %

a)

 0,2 → El 20 % del año son vacaciones.

b)

 0,75 → El 75 % del salario se emplea en gastos domésticos.

c)

 0,375 → El 37,5 % de la población sufre algún tipo de alergia.

a)

244

 0,2  20 %

8

 0,7 → El 70 % de las personas usan el móvil a diario.

b)

 0,6 → El 60 % de los alumnos realizan una actividad deportiva durante el fin de semana.

c)

 0,3̂ → El 33,3̂ % de los encuestados respondieron afirmativamente.

a)

 7,2

c)

b)

 0,72

d)

 72 7,2

e)

 0,072

f)

 0,72

Proporcionalidad y porcentajes

a)

 11,2

c)

b)

 57

d)

 23,92  65,52

 5,04

a)

a) 30 

 536,2412

c)

 3,32428

b)

8

d)

 3,89895

 30  4,2  34,2

b) 260 

 260  36,4  296,4

c) 34,8 

 34,8  4,872  39,672

d) 125,75 

a)



b)



c) 2 % de

125,75  17,605  143,355

→ VERDADERO 







→ VERDADERO

→ FALSO

d) 20 % de





30 % de





→ VERDADERO

245

Proporcionalidad y porcentajes

Total

Parte

100 vecinos → 72 vecinos x vecinos → 18 vecinos x

246

 25 vecinos

60 % de 850 g 

 510 g de algodón contiene la prenda.

2 % de 644 € 

 12,88 € he pagado al banco de comisión.

8

Proporcionalidad y porcentajes

8

100  37,5  62,5 % de las familias han estado menos de 5 días en el hotel. 62,5 % de 1 936 

a) 2 % de 150 000 €  b) 1 

 1 210 familias han estado menos de 5 días en el hotel.

 3 000 € de comisión

de esa comisión la pagará el vendedor →

 2 000 € le pagará el vendedor

c) 3 000  2 000  1 000 € le pagará el comprador.

a) 8 % de 25 alumnos 

 2 alumnos han sacado sobresaliente.

25  2  23 alumnos han sacado una nota inferior a sobresaliente. b) 12 % de 25 alumnos 

 3 alumnos han sacado notable.

25  2  3  20 alumnos han sacado una nota inferior a notable.

247

Proporcionalidad y porcentajes

8

El precio resultante de los artículos tras el descuento equivale al 100  35  65 % del precio actual Camisa: 65 % de 34 €  Zapatos: 65 % de 45 € 

 22,1 €  29,25 €

Pantalón: 65 % de 80 € 

 52 €

Chaqueta: 65 % de 62 € 

 40,3 €

a) El precio final equivale al 100  8  92 % de precio inicial. 92 % de 23 500 € 

 21 620 €

b) El precio final equivale al 100  15  85 % de precio inicial. 85 % de 23 500 € 

 19 975 €

c) El precio final equivale al 100  20,5  79,5 % de precio inicial. 79,5 % de 23 500 € 

 18 682,5 €

d) El precio final equivale al 100  24  76 % de precio inicial. 76 % de 23 500 € 

 17 860 €

OFERTA AMARILLA: Descuenta 5 € por cada 40 € de compra Total

Descuento

Por 40 → 5 € de descuento Por 100 → x x

 12,5 → El descuento es del 12,5 %

OFERTA AZUL: Al comprar 2 unidades, la 2.a a mitad de precio → se paga

 0,75  75 %

El descuento es del 100  75  25 % OFERTA ROJA: Si compras 3 unidades solo pagas 2 → Se paga El descuento es del 100 

248



%





%

Proporcionalidad y porcentajes

8

Como 9 es múltiplo de 3 se aplica el 15 % de descuento a toda la compra, con lo que pagaría el 100  15  85 % del precio de las 9 cajas de galletas: 9 · 2,4  21,6 € → 85 % de 21,6 

a) Total

 18,36 € costarán las 9 cajas.

Descuento

24 → 4,8 100 →  x x

 20 % de descuento

b) Si descuenta 5 € cada 10 €, a 24 € le descontará un total de 10 €, es decir, se pagará 14 €. Total

Descuento

24 → 100 →

10 x

x

 41,67 % de descuento

c) El descuento es de 24  15,6  8,4 € Total

Descuento

24 → 8,4 100 →  x x

 35 % de descuento

Precio total sin descuento: 0,8 · 12  9,6 € Al aplicar el 5 % de descuento se paga el 100  5  95 % del precio inicial. 95 % de 9,6 € 

 9,12 € cuesta la caja de 12 botellas.

249

Proporcionalidad y porcentajes

8

Ha pagado por las camisas 100  12  88 % del precio original. Antes

Ahora

100 → x →

88 72,50

x

72,5  100  82,3864 88

Como ha comprado dos camisas que costaban igual: 82,3864 : 2  41,19 € es el precio de cada camisa.

Ahora la gasolina cuesta un 100  8,8  108,8 % del precio anterior. Antes 100 1,38 x

Ahora → →

108,8 x

 1,50144 €/ℓ de gasolina

Aplicando el IVA, el precio es un 100  21  121 % el precio sin IVA Antes

Ahora

100 → 121 456 € → x

250

342 € →

y

136 € →

z

364 € →

q

x

 551,76 € cuesta la nevera.

y

 413,82 € cuesta la televisión.

z

164,56 € cuesta el microondas.

q

 440,44 € cuesta la lavadora.

Proporcionalidad y porcentajes

8

Coste fabricación Precio venta → →

100 14 € x

120 x

 16,8 € es el precio por el que los venderá

Si la seguridad paga el 60 % del precio, yo tengo que pagar el 100  60  40 % del precio 40 % de 19 € 

 7,6 € es el precio que tengo que pagar por las pastillas

a) Antes Ahora 42 → 46 100 → x x

 109,52… → 109,52  100  9,52 % de aumento

b) Antes Ahora 5 → 6 100 → x x

 120 → 120  100  20 % de aumento

c) Antes Ahora 15 → 20 100 → x x

 133,3̂ → 133,3̂  100  33,3̂ % de aumento

d) Antes Ahora 1 000 → 1 300 100 → x x

 130 → 130  100  30 % de aumento

251

Proporcionalidad y porcentajes

DEBES SABER HACER

a) 4x  8 · 3 → x  24 : 4 → x  6 b) 4 · 30  6x → x  120 : 6 → x  20 c) 7x  5 · 14 → x  70 : 7 → x  10

→ x  1,1 · 5 → x  5,5 € costarán los 5 paquetes. → 3y  1,1 · 27 → y  29,7 : 3 → x  9,9 € costarán 27 botellas.

a) No han suspendido nada el 100  12,5  87,5 % de los alumnos. b) 87,5 % de 56 alumnos 

 49 alumnos han aprobado todo.

Como 6 es múltiplo de 3 me aplican el 10 % de descuento en toda la compra → Pago el 100  10  90 % Los 6 CD cuestan sin el descuento 16 · 6  96 € 90 % de 96 € 

252

 86,4 € me cuestan los 6 CD

8

Proporcionalidad y porcentajes

8

COMPETENCIA MATEMÁTICA. En la vida cotidiana

LENTEJAS: 57 g de lentejas aportan 2 mg de hierro: →x

→ x  313,5 g

→y

 427,5 g

Un chico necesita 313,5 g de lentejas, y una chica, 427,5 g PIPAS: 315 g de pipas aportan 2 mg de hierro: →x

→ x  1 732,5 g

→y

 2 362,5 g

Un chico necesita 1 732,5 g de pipas, y una chica, 2 362,5 g 0,1 % de 300 kg 

 0,3 kg

En 300 kg de hierro dulce hay menos de 0,3 kg de carbono. 2,5 t  2 500 kg 0,1 % de 2 500 kg 

 2,5 kg

2 % de 2 500 kg 

 50 kg

253

Proporcionalidad y porcentajes

8

En 2,5 t de acero puede haber entre 2,5 kg y 50 kg de carbono. 2 % de 900 kg 

 18 kg

5 % de 900 kg 

 45 kg

En 900 kg de fundición puede haber entre 18 kg y 45 kg de carbono.

FORMAS DE PENSAR. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

a) 60  8  150  202 → No se resuelve con esta regla de tres, este problema se resuelve con operaciones de suma y resta. b) Tendrían para más días, puesto que son menos personas → Estas magnitudes no son directamente proporcionales → No se resuelve con esta regla de tres. c)

254

→ 60x  8 · 150 → Sí se resuelve con esta regla de tres, son relaciones equivalentes.

Proporcionalidad y porcentajes

8

PRUEBAS PISA

3 · 7,8  4 · 5,7  2 · 4,1  23,4  22,8  8,2  54,4 g pesan todas las monedas Cobre: 89 % de 7,8 g  Aluminio: 5 % de 7,8  Cinc: 5 % de 7,8 Estaño: 1 % de 7,8 

 6,942 g  0,006942 kg → 0,006942 · 3,14  0,02179788 €  0,39 g  0,00039 kg → 0,00039 · 1,79  0,0006981 € 0,39 g  0,00039 kg → 0,00039 · 1,82  0,0007098 €  0,078 g  0,000078 kg → 0,000078 · 20,14  0,00157092 €

Coste total  0,02179788  0,0006981  0,0007098  0,00157092  0,0247767 €

255

Proporcionalidad y porcentajes

En 1998 emitieron 6 727 millones de toneladas de CO2 y en 1990 emitieron 6 049 6 727  6 049  678 millones de toneladas más de un año al otro Total 6 049

→

678

100

→

x

x

256

Aumento

 11,208 % de aumento

8