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Educación secundaria para personas adultas
Ámbito científico tecnológico Educación a distancia semipresencial
Módulo 4 Unidad didáctica 8
Consumo, intereses y porcentajes
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Índice 1.
Introducción...............................................................................................................3 1.1 1.2 1.3
2.
Descripción de la unidad didáctica................................................................................ 3 Conocimientos previos.................................................................................................. 3 Objetivos didácticos...................................................................................................... 3
Secuencia de contenidos y actividades ..................................................................4 2.1
Adquisición de una vivienda ......................................................................................... 4 2.1.1 2.1.2 2.1.3
2.2
Porcentajes................................................................................................................... 9 2.2.1 2.2.2 2.2.3
2.3
Aproximación decimal de los números irracionales .........................................................................................16
Operaciones con números reales. Representación en la recta real ............................ 18 2.4.1
2.5
Tanto por ciento correspondiente a una proporción.........................................................................................10 Aumentos y disminuciones porcentuales .........................................................................................................11 Otros usos de los porcentajes..........................................................................................................................12
Números irracionales.................................................................................................. 15 2.3.1
2.4
Trámites para la adquisición ..............................................................................................................................4 Financiación de la adquisición ...........................................................................................................................5 Intereses.............................................................................................................................................................6
Descripción de la función exponencial y su gráfica..........................................................................................21
Ahorro energético doméstico ...................................................................................... 24
3.
Resumen de contenidos .........................................................................................28
4.
Actividades complementarias................................................................................29
5.
Autoevaluación........................................................................................................31
6.
Solucionarios...........................................................................................................33 6.1 6.2 6.3
7.
Soluciones de las actividades propuestas................................................................... 33 Soluciones de las actividades complementarias ......................................................... 35 Soluciones de los ejercicios de autoevaluación .......................................................... 38
Bibliografía y recursos............................................................................................40
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1.
Introducción
1.1
Descripción de la unidad didáctica Estudiaremos los trámites para adquirir una vivienda y las formas de financiación, lo que da pie para ver el cálculo de intereses simples y compuestos, la función exponencial y el uso de porcentajes y tasas. Se concluye con los sistemas de ahorro energético e hídrico en las viviendas y la importancia del reciclaje de los residuos urbanos y la depuración de las aguas residuales.
1.2
Conocimientos previos Se deben conocer los conjuntos de números estudiados hasta ahora, así como las operaciones entre ellos. Será necesario realizar cálculos de porcentajes y saber realizar representaciones gráficas de rectas y parábolas.
1.3
Objetivos didácticos Conocer las comprobaciones y los trámites necesarios para la adquisición de una vivienda. Buscar formas de financiación y posibles ayudas para la adquisición de vivienda. Calcular el interés simple y compuesto en créditos y préstamos hipotecarios. Comparar tipos de interés y las respectivas tasas anuales equivalentes. Utilizar el cálculo de porcentajes y tasas en gastos y facturas domésticas. Efectuar cálculos y representar números racionales e irracionales en la recta real. Caracterizar la función exponencial y su gráfica. Representar gráficamente sencillas funciones exponenciales aplicadas a casos concretos. Adoptar y valorar las medidas de ahorro energético e hídrico en casa. Valorar la necesidad y la importancia del reciclaje de los residuos sólidos y la depuración de aguas residuales en viviendas aisladas y núcleos de población. Valorar la importancia de la educación científica de la ciudadanía para el progreso de la sociedad y el futuro sostenible de la humanidad.
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2.
Secuencia de contenidos y actividades
2.1
Adquisición de una vivienda Ante los retos de este siglo, se pretende que los ciudadanos estén informados de los trámites mínimos de adquisición de una vivienda y los derechos que se pueden ejercer a la hora de realizar operaciones bancarias, así como de solicitar información. El conocimiento de los tipos de interés y la valoración que puede hacer de él hace imprescindible su estudio.
2.1.1 Trámites para la adquisición La constitución española reconoce el derecho individual a la vivienda, pero este sigue siendo uno de los problemas de la sociedad actual. La vivienda es en la actualidad un producto de uso ordinario y generalizado, y su compra sigue siendo lo más habitual entre los consumidores gallegos. La ley protege al consumidor en relación a los materiales exigibles, las condiciones económicas de la compra y la documentación exigida. El comprador puede exigir características y condiciones relativas a la construcción de la vivienda, su localización, los servicios y las instalaciones, y los modos de pago, a pesar de no figurar expresamente en el contrato. Nombre o razón social, y datos de la inscripción en el Registro Mercantil del vendedor. Plano de emplazamiento de la vivienda y plano de la propia vivienda, con sus instalaciones completas. Memoria de materias utilizadas en la construcción. Datos de la inscripción del inmueble en el Registro de la Propiedad, o de no estar inscrita en él. Precio de la vivienda, con anexos si los hubiera, y forma de pago. Copias de las autorizaciones legalmente exigidas para la construcción de viviendas.
Documentación exigible por el comprador
En el precio total de la vivienda se incluyen, si es el caso, los honorarios del agente, el IVA, o el correspondiente impuesto de transmisiones patrimoniales y actos jurídicos documentados. También debe incluir los medios de pago (los iniciales y los aplazados, si los hubiera). Si la vivienda está en construcción, la normativa, obliga a poner a disposición del público y de las autoridades competentes los documentos en que se formalizan las garantías de la compra. Cuando ya exista una certeza de la compra y sus condiciones, deberá acudir al Registro de la Propiedad donde esté inscrita la vivienda y comprobar que figure a nombre del vendedor y que esté libre de cargas, sobre todo si se trata de una vivienda de segunda mano. El promotor de la vivienda responde de los defectos existentes en la construcción que no sean apreciables a simple vista, durante seis meses después de la entrega. Si los defectos afectan a la estructura, responderán el constructor o el arquitecto director de obras durante los siguientes diez años, desde la finalización de las obras. El último paso después de comprar la vivienda, una vez realizada la escritura correspondiente, es inscribirla en el Registro de la Propiedad como nuevo propietario.
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Actividades propuestas S1.
Compruebe en una oficina de venta de viviendas, si la información ofrecida es la legalmente exigida.
2.1.2 Financiación de la adquisición Una vez concretado el precio final de la vivienda, es necesario tratar de la financiación para su pago. Hay en el mercado viviendas de precio libre, viviendas de protección oficial (VPO) y viviendas de precio tasado (VPT). Dependiendo del tipo de vivienda, se puede acceder a ayudas oficiales, subvenciones públicas o intereses especiales, según los ingresos familiares. Normalmente se suelen hacer unos pagos iniciales en el momento de la compra y el resto se paga en el momento de hacer la escritura pública ante el notario. Para abordar esta segunda parte, la mayoría de las veces se acude a solicitar un préstamo, ya sea por no disponer del total o por las ventajas fiscales que esto supone, durante la vida del crédito. El préstamo puede ser personal o hipotecario. En este último caso la vivienda es la garantía del crédito. Tendremos en cuenta que la compra del piso lleva aparejada una serie de gastos: el IVA, en caso de vivienda nueva, o el impuesto de transmisiones patrimoniales, en caso de ser de segunda mano, los impuestos jurídicos documentados, los gastos de tramitación, la plusvalía del ayuntamiento, y todos se deben de pagar en el momento de la compra. Tendremos en cuenta, así mismo, que la compra de vivienda nos permite desgravaciones fiscales, en el caso de ser primera vivienda habitual. Las condiciones de las desgravaciones dependen de la legislación y, en el momento de realizar la compra, es necesario informarse de las condiciones legales existentes.
Si tenemos que acudir a una entidad bancaria para solicitar un crédito, tendremos en cuenta las ofertas, comparando los tipos de intereses ofrecidos, para créditos iguales, y teniendo en cuenta las condiciones de amortización anticipada y cancelación que nos ofrecen. Debemos buscar créditos que no penalicen las amortizaciones anticipadas, que son pagos que podemos realizar anticipadamente para disminuir el valor del crédito solicitado. Las condiciones deben ser negociadas directamente con la dirección de la entidad bancaria.
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Actividades propuestas S2.
Acuda a varias oficinas bancarias a solicitar información sobre tipos de interés para la compra de viviendas. Realice con esa información un pequeño trabajo.
2.1.3 Intereses Cálculo del interés simple y compuesto
Para entender el mundo de los préstamos, tan frecuentes hoy en día, es imprescindible entender el concepto de interés simple e interés compuesto. Interés es un índice utilizado para medir la rentabilidad de los ahorros o el coste de un crédito. Se da en porcentaje. A veces, a través de una situación práctica es más fácil entender estos conceptos que parecen complicados mirando las fórmulas. Lo vamos a ver a continuación. Anxo tiene 100 euros y quiere depositarlos en un banco, que le ofrece el 6 % de interés anual; así, cuando termine el año recibe los 100 euros más su 6 %, es decir 106 euros. Cuando termina el año, quiere repetir la operación y vuelve a dejar los 100 euros en el banco, guardando los seis que ganó; al terminar el año volverá a tener 106 euros y así cada año, siempre que recoja los beneficios y no los reinvierta. Estamos hablando de interés simple: lo ganado no pasa a formar parte del capital, este permanece invariable.
María, por el contrario, con 100 euros y en el mismo banco, al 6% anual, decide al final del año dejar las ganancias, y en el segundo año tiene 106 euros, que darán al 6 %, 112,36 ya que:
6 = 6,36 , y así sucesivamente. 100 Estamos hablando de interés compuesto, lo ganado pasa a formar parte del capital, para producir nuevos intereses. 106.
Interés simple
Interés compuesto
Si comparamos en una tabla los resultados obtenidos por Anxo y María en los casos anteriores tendremos lo siguiente: Año
0
1
2
3
4
Anxo
100
106
112
118
124
María
100
106
112,36
119,1016
126,24
Veamos ahora la formula que nos va a permitir hacer los cálculos en cualquier situación. Cálculo del interés simple. – C será el capital a invertir. – t el tiempo en años. – i el tanto por uno anual, la ganancia que produce una unidad en un período, será la centésima parte del tanto por ciento. – I será el interés producido. I=C x t x i Si el tiempo que tenemos el capital produciendo no es el año completo, siempre podemos pasarlo a años. Así, en el caso de pensar en tres meses, siempre podemos poner: Páxina 6 de 40
t=
3 , que será ya el tiempo en años. 12
Igualmente podemos pensar en 25 días, en ese caso tendremos: t=
25 , ya que el año financiero siempre es de 360 días. 360
Podemos hacer una prueba de cuánto producen 25 000 euros invertidos durante cuatro años a una tasa del 6 % anual. Al expresar el 6 % en tanto por uno, obtenemos que i=0.06. Entonces: I = 25 000 x 4 x 0,06 = 6 000 euros. El interés obtenido será de 6 000 euros.
Cálculo del interés compuesto. En este caso, durante el primero año C produce C x i, El capital al finalizar el primero año será: C1 = C + C x i = C (1 + i) Después del segundo año el capital C1, produce: C1 x i = C (1 + i) x i = C (i + i2) El capital al finalizar el segundo año será: C2 = C1 + C (i + i2) = C (1 + i) + C (i + i2) = C (1 + 2i + i2) = C (1 + i)2 Y así sucesivamente, por lo que cuando pasen “n” años tendremos que: Cn = C (1 + i)n Veamos cuánto producen 25 000 euros al 6% anual, durante 4 años con interés compuesto: C4 = 25 000(1 + 0,06)4 = 31 561,924 euros Diferencia entre tipo de interés y TAE
En páginas anteriores tratamos los tipos de interés, simple y compuesto, pero pensamos en capitales que ponemos a ganar en un cierto período. Habitualmente, los pagos se hacen con carácter anual, pero pueden ser trimestrales o mensuales, o bien los períodos acordados con el banco. Cuando somos nosotros los que pedimos el crédito, también hablamos de pagos, y habitualmente son mensuales o trimestrales (rara vez son anuales). Cuando acudimos a pedir un préstamo o queremos solicitar una hipoteca para nuestra vivienda, seguramente escucharemos expresiones como: períodos de capitalización, pago de interés semestral o mensual, TAE, TIN, comisión de cancelación, comisión de amortización, etc. Veamos el significado de cada una. Los intereses se suman al capital cada mes, cada semestre o cada año. A esos intervalos de tiempo los llamamos períodos de capitalización.
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Tipo de interés nominal (TIN). Si, por ejemplo, tenemos un interés nominal TIN del 6 % anual y lo aplicamos una vez al año, cuando se paguen los intereses calcularemos un 6 % sobre el capital. Si se aplicase una vez al mes, en lugar de una vez al año, calcularíamos el 0,5 % del capital ya que, dividiendo el interés entre el número de meses del año: 6 = 0,5 12
TAE. El mes siguiente el TIN se aplica sobre el capital pero el producido por los intereses. De este modo, al final del año obtendríamos un 6,17 % del capital, ese sería el TAE. Un TAE de un 6 % sería igual a un interés nominal del 6 % aplicado una vez al año. Un interés nominal de un 6 % aplicado cada mes daría un 6,17 % TAE. El TAE surge para simplificar la información que el banco nos ofrece. La idea es intentar buscar un interés anual, que sea equivalente al interés nominal que nos ofrece el prestamista. Si contratamos un depósito de 1 000 euros a seis meses con un TIN del 5 % anual, para liquidar cuando terminen los seis meses, cobraremos realmente el 2,5 %, es decir, 25 euros, ya que el TIN era anual y solo lo teníamos durante seis meses. Por el contrario, si el mismo depósito lo tenemos al 5 % TAE, el TIN correspondiente será el 2,47 % y cobraremos 24,7 euros, ya que el TAE es siempre anual. Comisión de cancelación es la penalización que debemos afrontar si adelantamos el final del crédito.
Comisión de amortización es la penalización que debemos afrontar cada vez que adelantamos parte del capital que debemos.
Comisión de cancelación
Comisión de amortización
Actividad resuelta Calcule el beneficio conseguido por un capital de 2 000 euros colocados durante dos años al 5 % de interés compuesto anual. Solución
2 000 x 1,052 = 2 205 EUR Como teníamos 2 000, el beneficio será de 205 euros después de dos años.
Actividades propuestas S3.
Si colocamos en el banco 3 400 euros al 25 % anual, durante tres años, ¿cuánto capital retiraremos?
S4.
¿Cuánto producen 1 200 euros al 6 % anual de interés simple en 25 días?
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2.2
Porcentajes El cálculo de porcentajes, aumentos y disminuciones está bien relacionado con las facturas domésticas. Sabemos que un porcentaje es un modo de expresar un número con una fracción de 100: por ciento significa cada cien. % es un modo de poner los dos ceros, y evolucionó a partir de un símbolo similar, solo que con la línea horizontal en lugar de diagonal, que a su vez proviene de un símbolo que representaba P ciento. El uso de los porcentajes lo podemos encontrar en comisiones, descuentos, aumentos, impuestos e intereses, pero es frecuente errar en su cálculo, debido a veces a un mal entendimiento de su uso. Hablar de una subida o bajada de un 10 % solo es comprensible si tenemos con qué compararla. Un error común en el uso de los porcentajes es imaginar que una subida del 50 % se cancela con una bajada del mismo porcentaje.
Ejemplo. Si partimos de una cantidad fija como, 100, y le incrementamos el 50 % y luego disminuimos el 50 %, ¿cómo quedaría al final? Resultado. Si tenemos 100 y calculamos el 50 %, tendremos 150, pero una bajada del 50 % de 150 son 75, por lo que tendremos 75. Así que partimos de 100 y tenemos ahora 75. Un porcentaje es una fracción o un número decimal, y también un número decimal o fracción representa un porcentaje. La expresión decimal de una fracción resulta ser el tanto
Si este número se multiplica por 100, tendremos el tanto
por cien:
por uno:
6 = 0,3 ( tanto por un) 20
0,3 x 100 = 30%
Actividad resuelta Calcule el incremento que supone pagar el IVA (16 %) de un producto que cuesta 140 euros y luego hacerle un descuento del 16 %. ¿Y si lo hacemos al revés? Si a 140 le calculamos el 16 % resulta 16140/100 =22,40 EUR 140 +22,40 = 162,40 EUR
16162,40/100 = 25,98 EUR 162,40 – 25,98 = 136,4 EUR Solución
Haciendo primero el descuento y luego añadiendo el IVA, sería:
16 140/100 = 22,4 EUR 16117,6/100 =18,81 EUR
140 – 22,4 = 117,6 EUR 117,6 + 18,81 = 136,4 euros
En definitiva , el mismo resultado
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2.2.1 Tanto por ciento correspondiente a una proporción En una población de 5 000 personas, 800 leen el periódico a diario. ¿Qué porcentaje del total representan? Éste es un caso relativamente frecuente de cálculo de porcentajes. Tenemos que calcular, de cada 100 personas, cuántas leen el periódico, para expresar el porcentaje. 800 ·100 = 16 5000 Leyó el periódico el 16 % del total. Actividad resuelta ¿Qué porcentaje representa 10,5 de 70? Solución
Haremos 10,5/70 = 0,15. Será por lo tanto el 15 %. Entonces, 10,5 es el 15 % de 70
Actividades propuestas S5.
En nuestra aula somos 34 personas y 12 son mujeres, ¿qué porcentaje representan?
S6.
Si una pelota cuesta 16 euros y nos hacen un descuento de 2 euros, ¿cuál es el porcentaje descontado?
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2.2.2 Aumentos y disminuciones porcentuales Aumento porcentual
Tendremos un aumento cuando a una cierta cantidad le añadimos un porcentaje de ella misma; este es el caso del IVA (impuesto sobre el valor añadido). Si el precio de una maleta es de 60 euros sin IVA, y queremos saber el precio final, tendremos que añadirle el 16 % de IVA. Maleta: 60 EUR. 16% de 60 =
16 60 = 0,16 x60 = 9,6 EUR 100
Entonces, el precio final de la maleta será 60 + 9, 6 = 69,6 EUR Disminución porcentual
Tendremos una disminución cuando a una cierta cantidad se le resta un porcentaje de ella. El día del libro, siempre nos hacen un descuento del 5 % sobre el valor del libro. Si el libro que quiero mercar cuesta 45 euros, ¿cuánto tengo que pagar por el ese día? Libro: 45 EUR 5 % de 45 =
5 45 = 0,05 x 45 = 2,25 EUR 100
Entonces, el libro finalmente costará 45 – 2,25 = 42,75 EUR Cálculos directos
Podemos realizar estos cálculos directamente, teniendo en cuenta lo siguiente:
En aumentos porcentuales podemos realizar solo una operación, si multiplicamos el número por el índice de variación (1 + el porcentaje de aumento en forma decimal). En disminuciones porcentuales podemos realizar solo una operación, si multiplicamos el número por el índice de variación (1 – el porcentaje disminuido en forma decimal). 60 x 16 % + 60 = 69,6
60 x 1,16 = 69,6
45 - 45 x 5 % = 42,75
45 x 0,95 = 42,75
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Uso de la calculadora 12 % de 1 500
1 500 x 12 % = 30 respecto de 3 000
30: 3000 % = 15 % de aumento de 1 500
1 500 x 15 % + = 25 % de descuento de 1 500
1 500 x 25 % - =
Actividad resuelta Si realizamos un descuento del 12 % sobre 62 euros, ¿cuánto pagamos? Solución
1 – 0,12 = 0,88. Ya que luego, 62 0,88 = 54,56 euros que pagamos
Actividades propuestas S7.
Los espectadores que acuden al cine aumentaron este año en un 8 %. Si había 1 200, ¿cuántos hay en la actualidad?
S8.
El descenso en el consumo de leche supone una disminución del 15 %. Si el consumo era de 25 000 litros, ¿cuánto se consume en la actualidad?
2.2.3 Otros usos de los porcentajes Relacionar una parte con el todo: el 58 % de los aspirantes a entrar en la universidad son mujeres. Necesitamos saber el total, para tener una idea clara del número de aspirantes. Determinar una proporción entre dos cantidades: la proporción entre fermentos y harina en el bizcocho es del 3%. Está relacionando 100g de harina con 3 g de fermentos. Describir una población: el 16 % de la población de Euskadi tiene estudios superiores. Si no tenemos el total, no podemos saber el número de estudiantes. Determinar la variación relativa de una cantidad: el nivel del agua de los embalses gallegos subió el 8 % en el año 2008. Los intereses simples: el 4 % de intereses por un depósito significa que ganaremos 4 de cada 100 euros invertidos. Observe las facturas de agua y luz siguientes:
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Factura de la agua
Factura de la luz
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Actividad resuelta El gráfico de la factura de la luz es un diagrama estudiado en estadística, compruebe en su recibo de qué gráfico se trata. Solución
Seguramente será un diagrama de barras, en el que aparecen los meses en el eje de abscisas y el valor consumido en el eje de ordenadas.
Actividades propuestas S9.
Realice el cálculo del IVA, de la factura del agua anterior.
S10.
Calcule el IVA sobre el consumido en la factura de la luz.
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2.3
Números irracionales Hasta ahora vimos que toda fracción tiene una expresión decimal (exacta o periódica) y que todo número decimal exacto o periódico se puede poner en forma de fracción.
Pero ¿qué sucede en el caso siguiente? Calculemos la diagonal del cuadrado siguiente, de lado 1.
Buscando el valor de la diagonal, tenemos que d=
12 + 11 = 2
Cuando intentamos expresar el valor de 2 , nos encontramos con una expresión no conocida hasta ahora 1,4142135..., expresión que no podemos transformar en una fracción.
Nos encontramos con un nuevo tipo de número, que llamaremos irracional y que no podemos expresar como fracción. Estamos ante otro tipo de número, que junto con los estudiados hasta ahora, forman el conjunto de los números reales, R. Uno de los números irracionales más conocido es el número π , que seguramente asocie a la formula de la longitud de una circunferencia L = 2· π ·r
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Actividad resuelta Clasifique los números siguientes en racionales e irracionales: 1,111 222 333 111 222 333...
Racional
2, 2 20 200 2000 20000 ...
Irracional
3, 1 12 122 1222 12222 122222...
Irracional
4, 123 321 123 321 123 321 ...
Racional
Actividades propuestas S11.
Escriba en forma de fracción los números siguientes. 2,75
S12.
2,474747...
2,08345345....
Escriba el decimal correspondiente a la fracción 4/5. Indique el tipo.
2.3.1 Aproximación decimal de los números irracionales Un número irracional tiene un número ilimitado de cifras; por tanto, su valor exacto es imposible de escribir. Para manejarnos con ellos tenemos que utilizar aproximaciones. Veamos cómo se calculan las aproximaciones decimales de 13 Sabemos que 13. 13 = 13 Aproximación entera: 1, 2, 3, 4, ..... 3·3 = 9 luego 3 < 13 < 4 4·4 = 16 El error cometido es menor que 1, ya que 4 – 3 = 1 Aproximación decimal: 3,1; 3,2; 3,3;.... 3,6·3,6 = 12,96 luego 3,6 < 13 < 3,7 3,7·3,7 = 13,69 El error cometido es menor que 0,01 ya que 3,61 – 3,60 = 0,1 Aproximación centesimal: 3,61; 3,62,.... 3,60·3,60 = 12,96 luego 3,60 < 13 < 3,61 3,61·3,61 = 13,0321 El error cometido es menor que 0,01 ya que 3,61 – 3,60 = 0,01 Siguiendo este proceso, obtendríamos todas las cifras decimales y escribiríamos 13 = 3,6055512....... Este es un número irracional. Resumiremos en la tabla siguiente este proceso. Páxina 16 de 40
Por exceso
4
3,7
3,61
3,606
...
Por defecto
3
3,6
3,60
3,605
...
Diferencia
1
0,1
0,01
0,001
...
1 unidad
1 décima
1 centésima
1 milésima
...
Error <
Historias de
π
En un documento egipcio de hace 1 700 años (el papiro de Rhind) ya se menciona este número y se le da el valor 256/81, o lo que es lo mismo 3,1604, aunque no afina mucho. El matematico chino Tsu Chung-Chih (que vivió hace unos 1 500 años) le dio el valor de 355/113, es decir, 3,1415929. Ya se iba acercando. La idea de designar el número con el simbolo es bastante más reciente (hace unos 300 años) y se le ocurrió al matematico inglés Willian Jones, aunque quien popularizó su uso fue el suízo Leonard Euler, unos cien años más tarde. A lo largo de la historia, los matemáticos de todo el mundo trataron de obtener mayores aproximaciones. Una de las últimas es la que lograron David y Gregory Chudnovsky, de la universidad de Columbia, en Nueva York (EEUU), que encontraron su valor con 1 011 196 691 decimales. Si la tuivésemos que escribir en folios normales, la cifra obtenida ocuparía 260 000 páginas
Actividad resuelta Escriba un número real comprendido entre: 1 e 3 2
e
1,4142
π
2 5
0,34
3
e 1,4143
e
355 113
1,5
1,41425
3,141517
Actividades propuestas S13.
¿Qué cantidad de alambre es necesario para cercar una finca cuadrada de 2 000 m2 si se quieren poner tres vueltas de alambre? Calcule el lado con una aproximación de centésimas.
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2.4
Operaciones con números reales. Representación en la recta real Las operaciones con números reales son las mismas que con números racionales. Las operaciones se realizan con aproximaciones decimales, por defecto o por exceso, con más o menos cifras dependiendo del grado de precisión que deseemos. En la práctica se utilizan aproximaciones por defecto. Las propiedades son las mismas que con los números racionales. Raíz de un número
x3 = 27 3
x=3
27 = 3 , ya que 33 = 27 25 = ±5 , ya que 52 = 25 y (-5)2 = 25
3
− 64 = −4 , ya que (- 4)3 = - 64
169 = ±13 , ya que 169 =( ± 13)2 3
125 = 5 , ya que 53 = 125
En general:
siendo n un número natural, se llama raíz enésima de a en Se llama radical. A se llama radicando. Si n es par a>0 Si n es impar a puede ser cualquier número. Si n = 2 Si n = 3 Si n = 4
raíz cuadrada. raíz cúbica. raíz cuarta.
Ejemplo:
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Operaciones con radicales. Propiedades de los radicales Propiedades de los radicales
1
1.
n
a =a
2.
n
a·b = n a ·n b
3.
n
a = b
n n
3=3
n
3
4
a
4
b
32
1
2 ·3 4 = 3 8 = 2
=4
32 4 = 16 = 2 2
4
( 2)
= 2 = 3 16
3
23 = 3
2
4.
( a)
5.
( a )= a ( 2) =
6.
n
n
p
= a n
p
n
n m
3
3
a = n ·m a
2
3
3
3
Recuerde
a + b ≠ a+b a − b ≠ a−b
4
64 = 6 64 = 6 2 6 = 2
Las raíces con la calculadora 1
Tecla
x
y
Si la calculadora dispone de esta tecla, para calcular que operar del siguiente modo: 1
54
x
y
4
54 , tendrá
4=
Si la calculadora no dispone de esa tecla utilizaremos la tecla luego 54
xy
1
xy
y
x
4
1
x
=
Representación en la recta real. Ordenación de números reales
Para representar los irracionales en la recta real tomamos regla y compás para calcular su valor, por el procedimiento del dibujo. Se trata de calcular el valor de la hipotenusa de un triángulo de lado 1, y trasladarlo con el compás a la recta real. En el segundo caso, de nuevo tenemos la hipotenusa de un triangulo rectángulo de lados 1 y 2 , del que la hipotenusa vale 3 , valor que trasladamos de nuevo a la recta real.
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Con todo, muchos números no se pueden representar por este método, y tendremos que utilizar aproximaciones decimales, como para representar π , o para representar 3 2 .
Para comparar números racionales teníamos que poner las fracciones con el mismo denominador y luego comparar los numeradores, o bien comparar sus expresiones decimales. Actividades resueltas ¿Cuál es menor: ¾ o 6/7? La respuesta no es inmediata; tendremos que reducirlos a común denominador y luego comparar los numeradores: mcm (4,7) = 28
luego tenemos que Solución
3 6 < 4 7 O bien pasarlos a expresión decimal y después hacer la comparación:
6 = 0,85... 7
3 = 0,75 4
Luego:
3 6 < 4 7
Dados los números irracionales
y
, ¿cuál es menor?
10 = 3,16.... e π = 3,14... Solución
Luego
π
<
10
Para comparar números decimales, se pasan previamente a forma decimal y luego se hace la comparación. En la recta real, tenemos que fijar el origen y las unidades deben de ser de la misma medida
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Actividades propuestas S14.
Ordene los números siguientes: -2; 2; -7; 1,432; 0; 1,43; 4/5; 1,403.
S15.
Compare los números
5 7 e . 6 8
2.4.1 Descripción de la función exponencial y su gráfica Analicemos las siguientes situaciones:
Tenemos una hoja de papel y la doblamos por la mitad. Después la plegamos una vez más y otra más, hasta tener el papel doblado cuatro veces. Si este proceso lo repetimos 40 veces, ¿cuánto piensa que tendría de grosor? ¿Menos de un metro, entre 1 y 10 metros, más de 10 metros? Se sorprendería al saber que no es posible realizar 40 dobleces, y que el grosor sería suficiente para llegar de la Tierra a la Luna. Esto supone un crecimiento exponencial, duplicación, reduplicación y de nuevo duplicación. Nuestro pensamiento es lineal y pensar de modo exponencial es muy difícil.
Una colonia de células de fermentos, en la que cada célula se duplica cada 10 minutos, crece de modo exponencial. Por cada célula, cada 10 minutos, habrá dos nuevas células. Después de otros 10 minutos, habrá cuatro células, 10 minutos después habrá ocho células y así sucesivamente; a más células de fermentos, más células nuevas habrá cada 10 minutos. Una leyenda India cuenta que un rey le ofreció al inventor del ajedrez una recompensa por la invención de tan entretenido juego, y el Bramán solicitó que le fuese concedido un grano de arroz por el primero cuadro, dos granos por el segundo, cuatro por el tercero y así doblando la cantidad hasta llegar a la totalidad de los 64 cuadrados que tiene el ajedrez. El rey accedió de inmediato, sin caer en la cuenta de la cantidad que tenía que sacar de sus arcas. Hagamos una estimación, completando la tabla siguiente: Cuadrados
1
2
3
4
5
Granos
2
4=22
8=23
16=24
32=25
6
7
8
9
10
Observemos que por el cuadro 10 tendría que recibir: 210 = 1 024 granos de arroz. Y por el cuadro 30 tendría 230 = 1 073 741 824 granos de arroz. Para sorpresa del rey, fue incapaz de cumplir la promesa, ya que no tenía arroz suficiente en su reino. Estamos ante una función llamada exponencial y tiene por expresión:
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El caso particular anterior es una función exponencial de la expresión y = 2x, y por lo tanto de base 2. Antes de representar gráficamente esta función, debemos saber que:
Su dominio es toda la recta real. Los valores de la variable independiente (x) que podemos usar. Su recorrido son el conjunto de los números reales positivos. Los posibles resultados que obtenemos (y). Su gráfica pasa siempre por el punto (0,1). Es creciente y continua en todo su dominio. Veamos la tabla de la función y =2x y su representación gráfica:
Gráfica de la función exponencial y = 2x
Una cantidad crece exponencialmente cuando su incremento es proporcional al que ya existía. Actividad resuelta Una persona ingresa 10 000 euros en un banco al 7 % anual. Los intereses producidos cada año se acumulan al capital para producir nuevos intereses al año siguiente, y así sucesivamente.
a) ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para duplicar el capital que ingresó? Los intereses producidos al 7 % anual en el primero año son: 10 000 Solución
7 100
= 10 000 0,07 = 700 EUR
Al final del año tendrá: 10 000 de capital + 700 de intereses = 10 700 = 10 000 (1 + 0,07) = 10 000 1,07 Hagamos una tabla:
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Viendo la tabla, deducimos que el capital formado en x años será: C = 10 000 (1,07)x Solución
Podemos utilizar la calculadora, para buscar el valor de x, y descubriremos que será en 10 años aproximadamente.
b) Si en lugar de pagar los intereses al final del año se pagasen al final de cada trimestre, ¿cuánto recibiría en cinco años? Si los intereses son trimestrales, tendremos que utilizar el valor del interés dividido entre cuatro trimestres que tiene cada año Solución
0,07 4
Entonces, en cinco años:
C = 10 000·1 +
0,07 4
5
= 14 417,78 euros.
Actividades propuestas S16.
Busque información de situaciones que tengan un crecimiento exponencial y las gráficas correspondientes. Compruebe que la lectura de la gráfica corresponde al estudio.
S17.
Busque la tabla de valores de la función exponencial y = 3x, para cuatro valores de la variable x.
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2.5
Ahorro energético doméstico En el ahorro de energía nos podemos implicar todos. La colaboración de cualquiera es valiosa para mejorar la salud del planeta. Aprender gestos que favorezcan el desarrollo sostenible del planeta forma parte de nuestra formación. El ahorro de energía con la utilización de las lámparas de bajo consumo es uno de ellos. Las lámparas fluorescentes compactas (CFL), conocidas como de bajo consumo, transforman en luz la mayor parte de la energía que consumen, para lo que están diseñadas, y no en calor, como las tradicionales. Son, por tanto, frías y utilizan entre un 50 % y un 80 % menos de energía que las tradicionales. Su coste es más elevado, pero tienen larga duración, con lo que se descuenta el precio en cinco años de uso.
El uso de electrodomésticos de clase A supone un ahorro energético, para realizar la misma tarea. Los niveles de suficiencia energética de los aparatos se miden por una letra de la A a la G. “A” significa máxima eficiencia y “G” mínima eficiencia. El cálculo de este criterio parte de comparativas hechas en 1993 en Europa. Ningún organismo oficial responde del etiquetaje; son las marcas quienes certifican sus modelos a través de laboratorios homologados.
Arquitectura bioclimática
La arquitectura bioclimática consiste en el diseño de edificaciones teniendo en cuenta las condiciones climáticas, aprovechando los recursos disponibles (sol, vegetación, viento, lluvia, etc.), para disminuir los impactos ambientales y reducir el consumo de energía. Una vivienda bioclimática puede llegar a conseguir un gran ahorro, e incluso llegar a ser sostenible en su totalidad. Aunque los costes de construcción pueden ser mayores, este incremento puede ser compensado por la reducción de los recibos de la energía utilizada. A pesar de poder parecer un concepto nuevo, en realidad se trata de un criterio utilizado desde antiguo, como en Andalucía con la construcción de casas encaladas, o con los tejados orientados al sur en el hemisferio norte, para aprovechar la inclinación de los rayos del Sol. Con la integración de fuentes de energía renovables, es posible que todo el consumo sea de generación propia y no contaminante (edificios 0 emisiones). Y puede llegar a generarse más energía de la consumida, y venderla a la red (edificios energía plus). Las fuentes de energía más utilizadas son la energía solar fotovoltaica, la solar térmica e, incluso, la geotérmica. Uso de energía renovable
Recordemos que se denomina energía renovable a la energía que se obtiene de fuentes naturales, virtualmente inagotables, unas por la inmensa cantidad de energía que contienen y otras por su capacidad de recuperación por medios naturales.
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El girasol, es el símbolo de las energías renovables, por su aprovechamiento del sol, por su contribución a la elaboración de biodiesel y por su parecido con el sol.
Las características del agua de lluvia la hacen perfectamente utilizable para uso domestico. Por este motivo puede ser reutilizada con las instalaciones adecuadas. Consiste básicamente en canalizar las aguas del tejado, utilizar un depósito y canalizarla para usos como las lavadoras, lavavajillas, riego de plantas, etc. Su uso permite ahorrar en detergente, ya que las aguas de la lluvia son menos duras. La substitución de agua potable por agua de lluvia en los hogares nos permitirá colaborar en la sostenibilidad del hábitat. Las aguas residuales son residuos líquidos provenientes de baños, duchas, cocinas, etc.; que se echan a los vertederos o a las cloacas. En muchas áreas, las aguas residuales también incluyen algunas aguas sucias que vienen de las industrias. La división del agua casera drenada en aguas grises y aguas negras es común en el mundo desarrollado. El agua negra es la que procede de inodoros y el agua gris, es la que procede de lavabos y bañeras. El tratamiento de aguas residuales es un proceso de tratamiento de aguas que incorpora al mismo tiempo procesos físicos, químicos y biológicos. Depuradora de Castelar del Vallés
La actividad doméstica y comercial de ciudades y pueblos genera una gran cantidad de residuos sólidos urbanos, RSU, difíciles de eliminar. Como ciudadanos responsables, está en nuestras manos colaborar en la selección de tipos de residuos para su posterior tratamiento y eliminación. La gran cantidad de envases y papel de un solo uso se está convirtiendo en un problema de difícil solución. Los residuos producidos por los habitantes urbanos comprenden la basura, el mobiliario estropeado, electrodomésticos viejos, embalajes y desperdicios de la actividad comercial, restos de los cuidados de los jardines y de la limpieza de las calles, etc. El grupo más voluminoso es el de la basura doméstica y está formado por:
Materia orgánica: restos de la preparación de las comidas, junto con las comidas sobrantes. Papel y cartón: periódicos, revistas, cajas, restos de embalajes... Plásticos: botellas, bolsas, embalajes... Vidrio: botellas, frascos, loza... Metales: latas, botes... Otros.
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Tipos de basura domestica en núcleos urbanos
Para que el tratamiento de los residuos sea eficaz, tenemos que realizar la selección del que enviamos a los contenedores. Por eso, cada residuo tiene su lugar. El Plan Nacional de Residuos Urbanos, adoptó un código de colores para los restos:
Contenedor verde para el vidrio. Contenedor azul para el papel y cartón. Contenedor amarillo para los envases. Contenedor gris o marrón para los restos orgánicos. En la actualidad muchas ciudades y pueblos están instalando contenedores subterráneos. En algunos casos, los contenedores que encontramos no responden a los colores iniciales, pero siempre están rotulados para indicar el contenido adecuado. Es usual la creación de los llamados puntos limpios o ecopuntos, para la recogida de residuos peligrosos, restos de pinturas, ruedas, restos de obras, colchones o cualquier otro resto que no tenga cabida en los contenedores. Aquí tiene dos esquemas de ciclos de reciclaje realizados en la planta de Sogama.
Ciclo de reciclaje del vidrio
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Ciclo de reciclaje del cartón
Para acabar la unidad, pensemos que hablar de ahorro energético está relacionado con consumo responsable. Es necesario reformular el hiperconsumismo de los países desarrollados y de grupos poderosos de la sociedad, que siguen creciendo como si las capacidades de la Tierra fuesen infinitas. Es suficiente señalar que los 20 países más ricos de la Tierra consumieron en este siglo más naturaleza, es decir, más materia prima y recursos naturales no renovables, que toda la humanidad a lo largo de la historia.
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3.
Resumen de contenidos
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4.
Actividades complementarias S18.
¿Cuántos años tardarán 960 euros al 5 % de interés simple en producir 126 euros?
S19.
Si 900 euros en tres años se convierten en 1 200 euros, ¿cuál era el interés simple al que estaban colocados?
S20.
¿Qué capital inicial se convertirá en 558 euros en seis años, prestado al 4 %?
S21.
Calcule el valor de las cuotas de un crédito de 6 000 euros a un TAE de 10,10 % en 5 años, con 12 cuotas al año.
S22.
¿Cuánto devolverá al banco por un préstamo de 14 000 euros al 5,5 % durante siete años?
S23.
El porcentaje de hombres en un pueblo es del 25 %. Calcule el número de hombres si el total de habitantes es de 1000. ¿Y si es de 3 500?
S24.
Si vemos un anuncio de rebajas del 20 %, y el precio del producto es de 1 400 euros, ¿cuánto pagaremos?
S25.
Si me hacen un descuento del 12 %, ¿cuánto me descontarán por un pantalón de 45 euros?
S26.
El precio de un viaje es de 650 euros. Si el incremento por escoger habitación individual es del 8 %, ¿cuánto costará finalmente el viaje?
S27.
Sabemos que 75 de cada 200 encuestas son falsas, ¿qué porcentaje representan del total?
S28.
La tasa del 0,7 % en ayuda al desarrollo es una meta para todos los países de nuestro entorno. Busque a qué se refiere ese 0,7 % y cuánto supone para España.
S29.
Escriba aproximaciones por exceso y por defecto del número 4,2345 cuando se eligen dos cifras decimales.
S30.
Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos; en él se encuentran todos los números reales comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos. Los llamaremos cerrados, si contienen los extremos, y abiertos, en caso contrario. Represéntelos en la recta real.
(2,7) intervalo abierto. [3,8] intervalo cerrado.
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S31.
Queremos construir un depósito de forma cúbica que debe tener una capacidad de 5 000 litros. ¿Cuánto debe medir su lado?
S32.
¿Qué diferencia hay entre la expresión decimal de un número racional y un irracional?
S33.
Calcule: 3
36 S34.
64
10
5
1024
1024
Opere:
32 = 2
3
12 ·3 18
S35.
Supongamos que una determinada planta acuática duplica su área cada día. Si el primer día ocupa una superficie de 1 cm2, ¿cuánto ocupará en un mes?
S36.
La función exponencial y = 2 x está definida para todos los valores reales. Construya una tabla para cinco valores de x y represéntela gráficamente.
S37.
Un ordenador se deprecia de forma gradual y constante a razón de un 25 % anual. Si hoy compramos un ordenador por 1 200 euros:
¿Cuál será su valor dentro de tres años? ¿Cuál será su valor en seis meses? S38.
Busque información sobre la cantidad de residuos urbanos de su lugar de residencia, cantidad de basura que se genera, dónde se traslada, cómo se transforma, para realizar un trabajo individual.
S39.
¿Cómo podemos colaborar para un desarrollo sostenible? Investigue lo que es la Agenda 21; compruebe si en su ayuntamiento se colabora con este proyecto.
S40.
Después de la lectura del artículo siguiente, elabore una lista de acciones que puede realizar una persona para ser una consumidora responsable. Los ciudadanos tienen a su alcance una herramienta fundamental de cambio social: el consumo. Igual que como votantes acudimos a las urnas para elegir representantes, también como consumidores y ahorradores tenemos la oportunidad de utilizar el criterio de decisión de acuerdo con las convicciones propias y promover, a través de patrones de compra e inversión, la construcción de un desarrollo sostenible. Las manifestaciones de la crisis social y ambiental en todo el planeta son cada vez más visibles: todos los días vemos ejemplos próximos o en los medios de comunicación del injusto reparto de la riqueza y el consiguiente aumento de la pobreza o de los efectos que el actual desarrollo insostenible tiene para la naturaleza. Serían innumerables los ejemplos, desde los fenómenos migratorios hasta la deforestación o la desertización, pasando por la explotación laboral, el cambio climático o el efecto invernadero. De acuerdo con la Declaración Oficial de Naciones Unidas con motivo de la Cumbre de la Tierra de 2002, una de las principales causas de que continúe deteriorándose el medio mundial son las modalidades insostenibles de consumo y producción, especialmente en los países industrializados. En este sentido, las Naciones Unidas hacen un llamamiento a revisar estos modelos insostenibles, recurriendo a modelos de consumo responsable. Informe de FACUA Andalucía
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5.
Autoevaluación 1. Los dos tercios de 300 son:
230 200 100
2. El 15 % de 1 500 es:
250 200 275
3. ¿Cuánto producirán 30 000 euros en 90 días a un interés anual del 5 %?
400 130 375
4. Después de un año ingresa en el banco 970 euros producidos por un capital al 2 %. ¿Cuál era el capital?
35 000 48 500 56 000
5. ¿En qué se convierte un capital de 1 200 000 euros al cabo de cinco años, a un interés compuesto del 8 % anual?
1 763 193,6 1 345 678,9 1 500 000
6. Calcule 3 125
No tiene 5 25
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7. Indique de qué fracción procede 9,878787...
979/99 987/100 987/99
8. Indique cuáles son números irracionales.
2 , 4 3.π 16 ,3 4 , 3 8 2 14 , 4, 5 2
9. Coloque el papel en el contenedor correspondiente:
Azul. Verde. Amarillo.
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6.
Solucionarios
6.1
Soluciones de las actividades propuestas S1.
Trabajo personal. S2.
Trabajo personal. S3.
3 400(1+0,25)3 = 6 640,625 EUR. S4.
1 200 x 0,06 x 25/360 = 5 EUR. S5.
12/34 = 0,35. Resulta ser el 35%. S6.
2/16= 0,125. Resulta ser el 12,5%. S7.
1 200 x 1,08 = 1296 espectadores. S8.
25 000 x 0,85 = 21 250 litros. S9.
Consumido 26,02; 7% de 26,02 = 1,82 EUR. S10.
Consumido 98,56; 16% de 98,56 = 15,76 EUR. S11.
2,75 =
275 100
2,474747…=
(247 − 2)
2,08345345 =
99
(208345 − 208) 99900
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S12.
4/5 = 0,8 decimal exacto. S13.
Área 2 000. Lado 44,72. Perímetro 44,72 x 4 = 178,88. Como son tres vueltas será 178,88 x 3 = 536,64 metros de alambre total. S14.
-7< -2 < 0 < 4/5 < 1,403 < 1,43 < 1,432 S15.
5/6 = 0,83 7/8 = 0,87 S16.
a) El número de células de un feto mientras que se desarrolla en el útero materno. b) El número de bacterias que se reproducen por mitosis. S17.
Tabla de valores para y = 3x
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6.2
Soluciones de las actividades complementarias S18.
126 = 960 x 0,05 x t. t = 2,65 años. S19.
En tres años obtuvo 1 200 – 900 = 300 EUR. Cada año serían 100 EUR. Entonces 900 x i x 1 = 100, de donde i = 11, 11%. S20.
558 = C( 1 + 0,04)6, de donde C = 442,85 EUR S21.
127,78 EUR mes durante 60 meses. S22.
16 884 EUR . S23.
25% de 1 000 = 250 hombres. 25% de 3 500 = 875 hombres. S24.
20% de 1 400 = 280; luego pagaremos 1 400 – 280 = 1 120 EUR. S25.
12 % de 45 = 5,4 EUR que descontarán. S26.
650 x 1,08 = 702 EUR que costará el viaje. S27.
75/250 = 0,3 será el 30 % del total. S28.
Se refiere a una ayuda total al desarrollo de los países pobres; es una aportación del Estado, y supone el 0,7 % del producto interior bruto del país.
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S29.
Aproximaciones por exceso de 4,2345 será 4,24, y por defecto será 4,23 S30.
Por ejemplo la representación del (2,7) es:
S31.
Tendremos que hacer la raíz cúbica de 5 000, que será 17,09. Recuerde que lo puede hacer con la calculadora científica 5000 X1/y 3 = 17,09. S32.
El número racional tiene una expresión decimal que puede ser exacta, o periódica, mientras que el irracional siempre tiene una expresión decimal con infinitos decimales distintos. El racional se puede expresar con una fracción y el irracional no. S33. 3
36 6
10
64 4
1024
5
2
1024 4
S34.
32 2
=
32 = 16 = 4 2
3
12·3 18 = 3 12·18 = 3 216 = 3 6 3 = 6
S35.
Sería, 1, 2, 4,8, 16, ……….229 ya que empezamos el día 1 con 1 = 20 S36. Tabla de valores
Representación gráfica
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S37.
Si la depreciación la consideramos del valor inicial, cada año pierde 300 de valor, o sea, el 25 % de 1 200. Luego en tres años valdrá 300 euros. En seis meses, perderá la mitad de 300, o sea, valdrá 1 200- 150 = 1 050 EUR. S38.
Trabajo individual. S39.
Trabajo individual. S40.
Una lista de acciones puede ser la siguiente: hacer un consumo responsable de aquellos bienes que más dañan el medio; reutilizar los materiales que no se pueden eliminar en la naturaleza, ahorrar agua y energía.
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6.3
Soluciones de los ejercicios de autoevaluación 1.
Los dos tercios de 300 son:
2.
El 15 % de 1 500 es:
3.
48 500
¿En qué se convierte un capital de 1 200 000 euros [...], a un interés compuesto del 8 % anual?
6.
375
Después de un año ingresa en el banco 970 euros [...] al 2 %. ¿Cuál era el capital?
5.
225
¿Cuánto producirán 30 000 euros en 90 días a un interés anual del 5 %?
4.
200
1 763 193,6
Calcule
3
125
5
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7.
Indique de qué fracción procede 9,878787...
8.
978/99
Indique cuáles son números irracionales.
2 , 4 3.π
10. Coloque el papel en el contenedor correspondiente:
Azul
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7.
Bibliografía y recursos Bibliografía
Matemáticas 3. Editorial Anaya. Ábaco. Matemáticas 3. Editorial SM. Libros para la educación secundaria a distancia. – Ámbito tecnológico-matemático 2. Unidad didáctica 4: La compra de la vivienda. – Ámbito tecnológico-matemático 4A. Unidad didáctica 2: La organización de la empresa. – Ámbito de la naturaleza 4A. Unidad 5. – Ámbito de naturaleza 2. Unidad 2
Enlaces de Internet
[http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones /indice.htm] [http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Proporcionalidad_lbc/indice.htm] [https://www.facua.org/es] [http://www.greenpeace.org]
Otros recursos
Calculadora y útiles de dibujo para las representaciones gráficas.
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