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Matemáticas 2º (Ver. 3) Unidad 4: Proporcionalidad numérica.

UNIDAD 4. PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA.

Unidad 4: Proporcionalidad numérica. Al final deberás haber aprendido... El examen tratará sobre... •

Diferenciar entre razones y proporciones y aplicar sus propiedades.

•

•

•

Distinguir los distintos tipos de proporcionalidad entre magnitudes directas e inversas.

Saber diferenciar situaciones de proporcionalidad de las que no lo son, distinguiendo cuando hay proporcionalidad si es directa o inversa.

•

Utilizar los procedimientos básicos para resolver problemas de proporcionalidad, regla de tres, porcentajes, repartos, etc.

Resolver problemas de proporcionalidad directa e inversa, aplicando con soltura la regla de tres.

•

Aplicar la proporcionalidad para resolver problemas de repartos proporcionales.

•

Resolver problemas de proporcionalidad compuesta.

•

Aplicar la proporcionalidad en las actividades cotidianas.

•

Usar los instrumentos de cálculo para resolver problemas de proporciones y porcentajes.

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Para vivir en sociedad con tranquilidad hay que ponerse de acuerdo en la mayoría de las ocasiones. En caso contrario siempre se genera un “mal rollo”, no estar satisfechos con lo que tenemos o nos corresponde, intentando quitarle al otro algo que es suyo o engañarlo para quedarnos con parte de lo que tiene o le corresponde. Mientras que si hay unas reglas justas y las respetamos, todas las partes se sentirán satisfechas igualmente. Pues bien, las Matemáticas nos ayudan en multitud de ocasiones en esta tarea. Este tema que ahora empezamos te mostrará cómo.

Razón y proporción.En Matemáticas se conoce como razón entre dos números a y b a su cociente a indicado, . Por tanto, este concepto se puede equiparar al de fracción y por tanto con b todas sus propiedades. Ejemplo: Los números 5 y 30 forman la razón 5/30 y todas sus equivalentes, de las que nos interesa sobre todo la simplificada; es decir, 1/6. Se dice entonces que “la razón entre 5 y 30 es 1/6” o bien que “están en relación de 1 a 6”. Proporción es la igualdad entre dos razones:

a c = . b d

Como vimos cuando estudiamos las fracciones equivalentes, en la unidad 2, sus productos cruzados dan el mismo resultado: a · d = b · c. Ejemplo: las fracciones 2/5 y 8/20 son equivalentes, porque 2 · 20 = 40 y 5 · 8 = 40. Entonces podemos decir que los números 2, 5, 8 y 20 forman una proporción: 2 8 = 5 20

Al igual que ocurría con las fracciones equivalentes, en una proporción es posible encontrar el valor de un término, conocidos los otros tres. Esto lo conseguiremos aplicando la norma que decía que dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados son iguales. Por lo tanto para encontrar un valor en una proporción se hace como en el ejemplo siguiente: 3 x = Como 5 · x debe ser igual que 3 · 20, para averiguar x habrá que hacer: 5 20

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x=

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3⋅20 60 = =12 . 5 5

Comprobemos el resultado: 3 · 20 = 60 5 · 12 = 60 Ambos resultados son iguales, luego es cierto que forman una proporción.

1.- Elige la respuesta acertada: a) La razón equivalente entre 15 y 20 es:

1 ; 2 1 ; 2

b) La razón equivalente entre 5 y 20 es:

2 5

3 4

ó

1 ó 3

1 4

2.- Escribe: a) Tres parejas de números cuya razón sea 2/3. b) Tres pares de números cuya razón sea 1/2. c) Tres parejas de números que estén en relación de tres a uno. d) Tres parejas de números que estén en relación de dos a cinco. 3.- Forma cuatro proporciones diferentes con las siguientes razones: 1 ; 2

2 ; 5

6 ; 15

3 ; 7

1 ; 3

9 ; 21

50 ; 100

5 15

4.- Calcula el valor del término que falta: a)

1 7 = 2 x

;

b)

4 3 = 5 x

;

c)

4 2 = 7 x

;

d)

3 x = 4 2

e)

6 2 = x 5

;

f)

x 10 = 7 2

;

g)

x 9 = 4 x

;

h)

2 x = x 50

;

i)

x 21 = 11 33

j)

26 x = 2 45

k)

6 13 = 42 x

l)

36 45 = 48 x

;

;

;

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;

;

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m)

15 21 = 20 x

;

n)

6 x = 24 21

q)

x 53 = 72 212

;

r)

17 68 = x 372

u)

9 x = x 25

v)

x 54 = 24 x

;

; ;

o)

x 40 = 24 60

s)

14 284 = 35 x

; ;

p)

28 35 = x 55

t)

24 x = x 54

; ;

Estas dos ideas, razón y proporción, son muy utilizadas, aunque sea de forma no muy consciente, aunque no nos demos cuenta. Las proporciones nos sirven para resolver multitud de problemas en la vida diaria cuando se comparan “cosas” (magnitudes) que están relacionadas de manera que si comparamos dos cantidades de ambas magnitudes, se puede escribir una proporción con ellas; por ejemplo el coste de cierta cantidad de naranjas y su peso, o lo veloz que se va en un coche cuando nos dirigimos a un lugar y el tiempo que tardamos en llegar. En el primer ejemplo comparamos las magnitudes peso y precio; en el segundo, la velocidad y el tiempo. Pero fíjate que están relacionadas de una manera concreta: Si compramos el doble de una cantidad de naranjas, nos costará el doble de dinero; si compramos el triple peso de naranjas, nos costará el triple de dinero. En el caso de la velocidad y el tiempo ocurre algo parecido, pero al contrario: Si vamos el doble de rápido, tardamos la mitad de tiempo; mientras que si vamos el triple de rápido, tardamos tres veces menos de tiempo. En estos casos podemos hablar de que son magnitudes proporcionales. Resumiendo: Magnitudes proporcionales son aquellas en las que la relación entre sus cantidades forman proporciones.

5.- Escribe tres proporciones con los valores de esta tabla:

Kilos de almendras Coste en euros 1

9

2

18

5

45

¿Se puede decir que estas dos magnitudes son proporcionales? 6.- Completa la siguiente tabla correspondiente a dos magnitudes proporcionales: a) 1 2,5

2

4 5

8

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k 25

50

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b) 1

2

3

1/2

4

5

1

8

k 3

Hay dos tipos de proporciones: directa e inversa. La proporcionalidad directa se da entre magnitudes en las que si una de ellas aumenta, la otra también; por ejemplo, el precio de una cesta de naranjas y su peso: si pesa el doble (multiplicado por dos), costará el doble (también el precio se verá multiplicado por 2). Estas son las llamadas magnitudes directamente proporcionales. Pero ya hemos visto que existen otras magnitudes, como en el caso de la velocidad y el tiempo, que se comportan de forma diferente. No son como las del ejemplo anterior, en la que si el peso de las naranjas aumenta, el precio sube. Este otro tipo ocurre lo contrario, son las llamadas magnitudes inversamente proporcionales en las que si una de ellas aumenta el doble, la otra disminuye la mitad; o si una aumenta el triple, la otra disminuye la tercera parte. 7.- Indica, entre los siguientes pares de magnitudes, los que son directamente proporcionales, los que son inversamente proporcionales y los que no guardan relación de proporcionalidad alguna (Para ello pregúntate “si la primera aumenta el doble, ¿la segunda ...?): a) La edad de una persona y su peso. b) La cantidad de agua caída en un año y el crecimiento de una planta. c) La cantidad de litros de agua que arroja una fuente y el tiempo transcurrido. d) El número de hojas que contiene un paquete de folios y su peso. e) La velocidad de un coche y el tiempo que dura un viaje. f) La altura de una persona y el número de calzado que usa. g) El precio del kilo de naranjas y el número de kilos que me dan por 10 €.

Regla de Tres.Para resolver problemas con magnitudes directamente proporcionales se hace la Regla de Tres Simple Directa. Aprendamos cómo se hace. La Regla de Tres se llama así porque podemos llegar a conocer lo que se nos pregunta sabiendo tres datos, dos directamente relacionados entre sí y un tercero relacionado con lo que queremos averiguar. La Regla de Tres tiene dos filas. En una de ellas se unen mediante una línea los dos datos relacionados entre sí. La segunda fila se escribe debajo de la primera cuidando de que las unidades en las que vienen expresadas se correspondan, es decir, kg, debajo - Unidad 4. Página 6/11 -

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de kg; euros, debajo de euros; litros, debajo de litros; etc.. Veámos cómo se escribe y resuelve con un ejemplo: Hemos comprado 5 kg de naranjas por 3 €. ¿Cuánto costarán 8 kg? Podemos observar que los 5 kg de naranjas están directamente relacionados con los 3 €, ya que son el precio de aquellos. Por otra parte, los 8 kg están relacionados con el precio que queremos averiguar. Estas dos relaciones formarán las dos filas de la Regla de Tres. Para resolver el problema tendremos que dar tres pasos: 1º Escribiremos la Regla de Tres cuidando que en cada columna se encuentren datos de la misma magnitud (kilogramos debajo de kilogramos y euros debajo de euros) y poniendo una “x” en el lugar de lo que queremos averiguar. 2º A continuación se escriben los datos en forma de proporción, y 3º Se aplica la propiedad de los productos cruzados para averiguar el término que nos falta:

5 kg ---- 3 € 8 kg ---- x

5 3 = 8 x

;

x=

8⋅3 24 = =4,80 € 5 5

8.- Cuatro envases de leche han costado 2,6 €. ¿Cuánto cuesta uno? ¿Y tres? (Observa que hay dos preguntas y, por tanto son dos problemas en uno)

9.- Cuatro bolígrafos cuestan 4,8 €. ¿Cuánto costarán tres bolígrafos? ¿Y diez? 10.- Cien gramos de mortadela cuestan 3,2 €. ¿Cuánto costarán 350 gramos? 11.- Un camión ha recorrido 120 km en hora y media. Si sigue a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá en cinco horas y media? 12.- Una fuente ha tardado 72 segundos en llenar una garrafa de seis litros. ¿Cuánto tardará en llenar un cántaro de 25 litros? 13.- Un corredor de maratón lleva recorridos 15 km en 45 min. Si continúa a la misma velocidad, ¿cuánto tardará en recorrer los próximos 6 km? ¿Y cuánto habrá tardado en hacer la maratón? (La maratón es una carrera de 42 km aproximadamente). 14.- Una máquina embotelladora llena 45 botellas en 5 minutos. ¿Cuántas botellas podrá llenar en una hora? ¿Cuánto tardará en llenar 180 botellas? Para resolver problemas con magnitudes inversamente proporcionales se hace la Regla de Tres Simple Inversa. El primer paso es igual que en la directa; pero en el segundo, al escribir la - Unidad 4. Página 7/11 -

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proporción, se le da la vuelta a los datos de una de las columnas (se escribe la razón inversa). Veamos un ejemplo: Supongamos que somos unos criadores de perros y tenemos comida suficiente para alimentar a 14, durante 6 días. Si compramos siete perros más, ¿para cuántos días habrá comida? Como vemos es una proporción inversa porque al aumentar el número de perros disminuirá el número de días para los que tenemos comida. Se resuelve como verás más adelante, pero fíjate bien que al escribir la proporción, la primera razón tiene los datos al revés de como están escritos en la Regla de Tres:

14 perros ---- 6 días 21 perros ---- x días

21 6 = ; 14 x

x=

14⋅6 84 = =4 días 21 21

15.- Una población ha consumido 30 dam3 de agua en 5 meses. ¿Cuántos decámetros cúbicos consumirá en un año? 16.- La población del problema anterior se abastece de un embalse que contiene 100 dam3 de agua. ¿Para cuánto tiempo tiene reservas, aunque no llueva? 17.- Seis obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tiempo tardarían en hacer el mismo trabajo ocho obreros? 18.- Un ganadero tiene forraje para alimentar a sus 20 vacas durante 60 días. Si compra 10 vacas más, ¿cuántos días podrá alimentarlas con las mismas provisiones? 19.- Un coche tarda tres horas en hacer el trayecto de A a B a una velocidad de 90 km/h. ¿Cuánto tardará en el viaje de regreso si va a 120 km/h? 20.- Una tubería que aporta un caudal de 45 litros por minuto llena un depósito en hora y media. ¿En cuánto tiempo se llenará el depósito si aumenta el caudal hasta los 90 litros por minuto? ¿Y si sólo se aumenta ese caudal hasta los 60 litros por minuto? 21.- Un tren de mercancías, que marcha a una velocidad de 80 km/h, tarda cinco horas en cubrir el trayecto de la población A a la población B. ¿A qué velocidad deberá hacer el viaje de vuelta para recorrer el mismo camino en solo cuatro horas? 22.- Si cuatro entradas para el cine han costado 15,20 €, ¿cuánto costarán cinco entradas? 23.- El dueño de un supermercado ha pagado 180 € por 15 cajas de ajos. ¿Cuánto deberá pagar por un pedido de 13 cajas?

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24.- Un tren ha recorrido 240 km en tres horas. Si mantiene la misma velocidad, ¿cuántos kilómetros recorrerá en las próximas dos horas? 25.- Un grifo, abierto durante 10 minutos, hace que el nivel de un depósito suba 35 cm. ¿Cuánto subirá el nivel si el grifo permanece abierto 18 minutos más? ¿Cuánto tiempo deberá permanecer abierto para que el nivel suba 70 cm? 26.- Ocho obreros construyen una pared en 9 días. ¿Cuánto habrían tardado en hacerla seis obreros? 27.- Un grifo que arroja un caudal de 3 litros por minuto llena un depósito en 20 minutos. ¿Cuánto tardará en llenar otro depósito similar otro grifo cuyo caudal sea de 5 litros por minuto? 28.- Cuatro palas excavadoras hacen un trabajo de movimiento de tierras en 14 días. ¿Cuánto se tardaría en hacer ese mismo trabajo si se dispusiera de 7 palas excavadoras? 29.- Un bidón de dos litros de aceite cuesta 5,8 €. ¿Cuánto costará un bidón de 5 litros de la misma marca y tipo de aceite? 30.- Por 3,5 kg de chirimoyas he pagado 6,3 €. ¿Cuánto pagaré por cinco kilos? 31.- Un coche, a 90 km/h, hace un recorrido en 5 horas. ¿Cuánto tiempo ganaría si aumentara su velocidad en 10 km/h? 32.- Un grifo que arroja un caudal de 25 l/min llena un depósito en hora y media. ¿Cuánto tardaría en llenar ese depósito otro grifo si arrojara 20 l/min? 33.- Virginia mide 1,60 m de altura y, en ese momento, su sombra tiene una longitud de 0,8 m. Si la sombra de un árbol cercano mide 10 m, ¿cuál es su altura? 34.- Ayer compré 10 pegatinas a 0,40 € cada una. He vuelto a ir hoy con el mismo dinero a comprar otra vez 10 pegatinas, pero me encuentro con que las han subido 0,10 € cada una. ¿Cuántas puedo comprar?

Y aún hay otro tipo de problemas: los de proporcionalidad compuesta, que son aquellos en los que hay que hacer corresponder una magnitud con varias al mismo tiempo. Estos se resuelven mediante Regla de Tres Compuesta, en las que se colocan también en dos filas; en la primera aparecerán todos los datos de todas las magnitudes relacionados entre sí; en la segunda fila se escribirán los otros datos, que también se encuentran relacionados entre sí, pero teniendo cuidando de que estén debidamente colocados, es decir, que los de cada magnitud se encuentren en la misma columna y que las unidades sean las mismas. - Unidad 4. Página 9/11 -

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Después habrá que comparar todas las magnitudes con la que contiene la “x”, ya que unas pueden ser directamente proporcionales y otras inversamente proporcionales. Para ello se comparan como si las demás no existieran. Después se escribe la proporción en la que la primera razón está formada por la columna que contiene la incógnita (es decir, la “x”) y la segunda será el producto de las otras columnas pero cambiando las cantidades de arriba y de abajo en aquellas que sean inversas. Veámoslo con un ejemplo: Un taller, trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días para fabricar 1000 cojinetes para ruedas. Ahora debe servir rápidamente un pedido de 3000 cojinetes, por lo que decide hacer turnos de 10 horas diarias. ¿Cuántos días tardará en cubrir el pedido? 8 horas --- 1000 coj. --- 5 días 10 horas --- 3000 coj. --- x días

Como si cada día se trabajan más horas se tardan menos días, la relación entre las horas y los días es inversa. Como a más cojinetes por hacer, se tardan más días, estas dos magnitudes forman una proporción directa.

Entonces habrá que escribir la proporción escribiendo la razón inversa en el caso de las horas trabajadas cada día y la razón directa en los cojinetes a hacer: 5 10 1000 = · ; x 8 3000

x=

5⋅8⋅3000 120000 = =12 días 10·1000 10000

35.- Un granjero gasta diariamente 45 kg de pienso y 105 kg de forraje para alimentar a sus 30 vacas. ¿Qué cantidad de pienso y de forraje necesitaría diariamente si vendiese 10 vacas? 36.- Ocho máquinas tejedoras, en cuatro días, hacen 384 chalecos de punto. ¿Cuántos chalecos fabricarán cinco de esas máquinas en tres días? ¿Y nueve máquinas en dos días? 37.- Un cine, dando dos sesiones diarias, puede dar entrada a 18000 personas en 30 días. ¿A cuántas personas podrá recibir ese local en 45 días si amplía su oferta a tres sesiones diarias? 38.- Ocho máquinas tejedoras, en cuatro días, hacen 384 chalecos de punto. ¿Cuántos días necesitarán cinco de esas máquinas para fabricar 350 chalecos? 39.- Un granjero gasta 750 kg de pienso para alimentar a sus 35 vacas durante 10 días. ¿Durante cuántos días podrá alimentar a 40 vacas con 1800 kilos de pienso? 40.- Cincuenta terneros de engorde consumen 4200 kilos de alfalfa a la semana. a) ¿Cuál es el consumo de alfalfa por ternero y día? - Unidad 4. Página 10/11 -

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Matemáticas 2º (Ver. 3) Unidad 4: Proporcionalidad numérica.

b) ¿Cuántos kilos de alfalfa se necesitarán para alimentar a 20 terneros durante 15 días? c) ¿Durante cuántos días podemos alimentar a 10 terneros si disponemos de 600 kilos de alfalfa? 41.- Por enviar un paquete de 5 kilos de peso a una población que está a 60 km de distancia, una empresa de transporte me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 15 kg a 200 km de distancia? 42.- Una pieza de tela de 2,5 m de larga y 80 cm de ancha cuesta 30 €. ¿Cuánto costará otra pieza de tela de la misma calidad de 3 m de larga y 1,20 m de ancha? 43.- Para llenar un pilón de riego hasta una altura de 80 cm se ha necesitado aportar un caudal de 20 l/min durante 1h 20min. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse ese mismo pilón otros 90 cm más si le añadimos otro grifo más que arroja 15 l/min? 44.- Cinco máquinas embotelladoras envasan 7200 litros de aceite en una hora. ¿Cuántos litros envasarán tres máquinas en dos horas y media? ¿Cuánto tiempo tardarán cuatro máquinas en envasar 12000 litros? 45.- Doce obreros, trabajando 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 días. ¿Cuánto tardarán en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horas diarias?

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