UNIDAD 4: CIRCUNFERENCIA – CIRCULO: CONTENIDO: I. CONCEPTO DE CIRCUNFERENCIA: Es una curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de un punto llamado centro. Una circunferencia se denota con la expresión: C O , r  y se lee circunferencia de centro O y radio r . II. CONCEPTO DE CÍRCULO: es el conjunto de puntos formado por la unión de una circunferencia y su interior. Un círculo es una región. III. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA: Los más importantes son: 1. Radio: (r) es el segmento que une el centro y un punto cualquiera de la circunferencia. 2. Cuerda: es un segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia. 3. Diámetro: (d) es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. La medida del diámetro es el doble de la medida del radio. La cuerda de mayor longitud en una circunferencia es el diámetro.  4. Arco: ( a ) es una porción cualquiera de la circunferencia. 5. Sagita o flecha: es el segmento que se levanta perpendicularmente por el punto medio de una cuerda y termina en un arco subtendido. 6. Semicircunferencia: es un arco de circunferencia cuyos extremos son también los extremos de un diámetro. La circunferencia está formada por dos semicircunferencias que tienen en común el mismo diámetro. 7. Semicírculo: Cada una de las dos mitades del círculo separadas por un diámetro. IV. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA: (L) se determina mediante la expresión:

L  2 r

donde r es

  3,14159 ... L  2  r , se realizan los siguientes pasos: a) se traza una circunferencia con cualquier

el radio de la circunferencia y Para deducir la expresión radio.

b) se coloca una cuerda sobre la circunferencia.

C) se mide la longitud de la cuerda.

d) se divide la medida de la cuerda entre el diámetro de la circunferencia.

L  3,14159 . d

Al realizar el mismo procedimiento con circunferencias de diferentes radios se obtiene que la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es siempre la misma. Este valor constante es el número pi caracterizado por ser un número decimal no periódico infinito, es decir, un número irracional. El número pi se simboliza con la letra griega  y su valor aproximado es   3,1415926 ... Como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro es



se escribe:

L  d

. Luego se despeja:

L  d  . Finalmente,

se reemplaza d por 2 r , donde es el radio de la circunferencia y se obtiene: L  2  r . Ejemplo: Se quiere colocar una cinta alrededor de una superficie circular de radio 6 m. ¿Cuántos metros de cinta se

L  2 r , L  37,68 m

necesitan? Se halla la longitud de la circunferencia de radio. operaciones indicadas.

L  2 3,1416  6 m

se reemplaza el radio y se realizan las

V. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA: Según su posición, una recta puede ser exterior, secante o tangente a una circunferencia que se encuentre en el mismo plano. 1. Recta Exterior a una circunferencia: una recta es exterior a una circunferencia cuando no tiene ningún punto en común, es decir, cuando la recta y la circunferencia no se intersecan. Por ejemplo, en la siguiente figura la recta

l es

exterior a la circunferencia de centro C .

2. Recta Secante a una circunferencia: una recta es secante a una circunferencia cuando la interseca en dos puntos. De acuerdo con esto, toda recta que contenga una cuerda de la circunferencia es una recta secante de dicha circunferencia. Por ejemplo, en la siguiente figura,

MN es secante a la circunferencia.

MN

es una cuerda de la circunferencia de centro M

Cy

la recta

N

3. Recta Tangente a una circunferencia: una recta es tangente a una circunferencia cuando entre sí tiene un solo punto en común, es decir, cuando la recta interseca a la circunferencia exactamente en un punto. Por ejemplo, en la siguiente figura la recta m es tangente a la circunferencia de centro C exactamente en el punto B .

VI. POSICIONES RELATIVAS DE UN PUNTO Y UNA CIRCUNFERENCIA: 1. Si el punto pertenece a la circunferencia se dice que el punto está en la circunferencia. En tal caso:

d T , O   r

2. Si el punto pertenece al círculo se dice que el punto esta dentro de la circunferencia. En tal caso:

d T , O   r

3. Si el punto no pertenece a la circunferencia ni al círculo se dice que el punto se encuentra en la parte externa de la circunferencia. En tal caso:

d T , O   r

Sobre las posiciones relativas de una circunferencia y la recta se cumplen los siguientes teoremas: Teorema 1: si una recta es tangente a una circunferencia, es perpendicular al radio trazado al punto de tangencia. Teorema 2: una recta en un plano de una circunferencia que sea perpendicular a un radio en su punto sobre la circunferencia, es tangente a la circunferencia. Teorema 3: los segmentos tangentes trazados desde un punto exterior a una circunferencia son congruentes. Teorema 4: una tangente y una secante paralelas determinan arcos congruentes en una circunferencia.

VII. CUERDAS Y ARCOS: Cuando un arco se encuentra en un lado diferente de un ángulo y los demás puntos del arco están en el interior del ángulo, se denomina un arco interceptado. Por ejemplo:

B

X A

X

B

A El arco interceptado por el El arco interceptado por el

es

.

.

es

B

X

X

A Y D

A

Y

E

Los arcos interceptados por el son

B

y

.

D Los arcos interceptados por el son

y

.

IX. ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA 1. ANGULO CENTRAL: Es el que su vértice es el centro y sus lados son dos radios. La medida del ángulo central es igual a la medida del arco que determina en la circunferencia.

2. ANGULO INSCRITO: Es el que está formado por dos cuerdas y tiene el vértice en la circunferencia. Un ángulo inscrito mide la mitad de la medida del arco que intercepta en la circunferencia.

3. ANGULO SEMI-INSCRITO O DE SEGMENTO: Es el que tiene el vértice en la circunferencia y se forma con una cuerda y una tangente a la circunferencia.

4. ANGULO INSCRITO EN UN SEGMENTO: Es el que tiene el vértice en el arco de dicho segmento, pasando sus lados por los extremos del arco.

5. ANGULO INTERIOR: Es el que tiene el vértice en el punto interior de la circunferencia diferente del centro. Cuando dos cuerdas se intersecan en un punto diferente del centro forman 4 ángulos interiores.

6. ANGULO EXTERIOR: Es el que tiene el vértice exterior de la circunferencia. Puede formarse por 2 secantes, 2 tangentes o una tangente y una secante a la circunferencia.

AREAS FIGURAS CIRCULARES

1. Sector circular: es la intersección de un ángulo central y el círculo. Área del sector circular: donde n° es la medida del ángulo central.

2. Segmento circular: es la intersección de un círculo con uno de los semiplanos determinados por una secante al mismo. Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

B

A

O

3. Zona circular: sección comprendida por dos cuerdas paralelas. Área de la zona circular= a la diferencia de las áreas de los segmentos circulares cuyas cuerdas son las correspondientes a la zona circular.

4. Corona circular: es el complemento del círculo de radio menor respecto al círculo de radio mayor en dos circunferencias concéntricas.

5. Trapecio circular: es la sección de la corona circular limitada por dos radios de la circunferencia mayor en dos circunferencias concéntricas.

trapecio