Notas de topolog´ıa

Resumen Notas del curso dictado por la Dr. Beatriz Abadie en la facultad de ciencias en el semestre impar del a˜ no 2003.

´Indice general 1. Numerabilidad

2

2. Espacios m´ etricos

11

3. Espacios topol´ ogicos 3.1. Axiomas de separaci´on . . . . . . . . . . . . 3.2. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Un parentesis para espacios m´etricos 3.4.2. Volviendo a los espacios topol´ogicos

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4. El conjunto de Cantor (C )

15 17 21 24 27 29 31 32

5. Topolog´ıa producto 36 5.1. Topolog´ıa en un producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2. Producto de espacios m´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6. Espacios conexos 6.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . 6.2. Espacios localmente conexos . 6.3. Espacios conexos por caminos 6.4. Espacios homeomorfos . . . .

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7. Espacios m´ etricos completos

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40 40 44 46 48 49

8. Espacios compactos 57 8.1. Definici´ ones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8.2. Espacios m´etricos y topol´ogicos secuencialmente compactos . . . 62 8.3. Espacios localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 9. Espacio cociente

66

1

Cap´ıtulo 1

Numerabilidad En este cap´ıtulo veremos un poco de numerabilidad, definiendo esta como la equipotencia con los naturales. Un resultado bastante interesante de este cap´ıtulo es la no numerabilidad de los n´ umeros reales y, por tanto, de los irracionales mostr´ andonos as´ı que en realidad hay muchos mas irracionales que racionales. Empecemos enunciando las leyes de Morgan. Proposici´ on 1.0.1. Aα ⊂ A ⇒ ∀α ∈ I se tiene que !{ [

Aα

=

α∈I

\

A{α

α∈I

adem´ as !{ \

Aα

=

α∈I

[

A{α

α∈I

Definici´ on 1.1. Una relaci´ on en A es un subconjunto de A × A. Definici´ on 1.2 (Relaci´ on de equivalencia). Sea ∼⊂ A × A, si (a, b) ∈∼ lo denotamos a ∼ b. Decimos entonces que ∼ es una relaci´on de equivalencia si 1. a ∼ a, 2. a ∼ b ⇒ b ∼ a, 3. a ∼ b y b ∼ c ⇒ a ∼ c. Si A es un conjunto y ∼ es una relaci´on de equivalencia en A, entonces la clase de equivalencia de a ∈ A es [a]∼ = {b ∈ A / b ∼ a} y el espacio cociente es A/∼ = {[a]∼ : a ∈ A} 2

CAP´ITULO 1. NUMERABILIDAD

3

Definici´ on 1.3 (Relaci´ on de orden parcial). Sea ≤ una relaci´on en A, decimos que es de orden si 1. a ≤ a, 2. si a ≤ b y b ≤ a ⇒ a = b, 3. si a ≤ b y b ≤ c ⇒ a ≤ c. Decimos que (A, ≤) es un conjunto ordenado. Ejemplos. 1. R con el ≤ usual. 2. Sea A un conjunto, entonces el conjunto potencia de A P(A) = {X : X ⊂ A} con la relci´ on de incluci´on: X ≤ Y ⇔ X ⊂ Y ∀X, Y ∈ P(A) Definici´ on 1.4. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado, S ⊂ A ⇒ a ∈ A es un cota superior de S si s ≤ a∀s ∈ S, m ∈ S es un m´ aximo de S si es cota superior de S. An´ alogamente definimos cota inferior y m´ınimo. Ejemplo. X = {a, b, c}, A = P(X) y sea S = {∅, {a, b}, {a, c}}, una cota superior de S es {a, b, c}, una cota inferior de S es el vacio, que adem´as es m´ınimo, observar que {a, b} no es el mas grande de S pero no hay ninguno mas grande que el, ´esto motiva la siguiente definici´on. Definici´ on 1.5. m ∈ S es maximal si dado s ∈ S tal que m ≤ s ⇒ m = s. Ejemplo. Retomando el ejemplo anterior, {a, b} y {a, c} son elementos maximales. Definici´ on 1.6. Un conjunto ordenado (A, ≤) se dice totalmente ordenado si ≤ adem´ as verifica que dados a, b ∈ A entonces a ≤ b o b ≤ a. Observaci´ on. A finito y totalmente ordenado ⇒ tiene m´aximo y m´ınimo. Demostraci´ on. Inducci´ on en el cardinal (n´ umero de elementos) de A, si vale para conjuntos con cardinal menor o igual que n − 1 y #A = n ⇒ A = {a1 , . . . , an }, sean m = m´ın{a2 , . . . , an } y M = m´ax{a2 , . . . , an }, sea entonces m0 = m´ın{a1 , m} ⇒ m0 es m´ınimo de A y M0 = m´ax{a1 , M } es m´aximo de A. Definici´ on 1.7. Sea (A, ≤) un conjunto ordenado, entonces una cadena en A es un subconjunto de A totalmente ordenado. Sea A = {a, b, c} con el orden definido anteriormente, entonces {a, b} es una cadena en A.

CAP´ITULO 1. NUMERABILIDAD

4

Ejemplo. X = {a, b, c}, A = P(X), una cadena en A es C = {∅, {a}, {a, c}}. Lema 1.0.2 (de Zorn). Sea (A, ≤) un conjunto ordenado tal que toda cadena tiene una cota superior, entonces A tiene un elemento maximal. Ejemplo. PF (N) = {A ⊂ N : A finito}, entonces PF (N) no tiene elementos maximales, pues si A es maximal ⇒ A ∈ PF (N) y B ≤ A ∀B ∈ PF (N) pero como A es finito ∃n ∈ N tal que n ∈ / A ⇒ A ∪ {n} ∈ PF (N) y A ∪ {n}  A ⇒ A Zorn

no es maximal ⇒ (PF (N), ≤) no tiene elementos maximales ⇒ ∃ una cadena C de PF (N) que no est´ a acotada superiormente, por ejemplo C = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, . . . {1 . . . n}, . . . } es una cadena no acotada, pues si A fuera una cota ⇒ A = N ∈ / PF (N). Veamos un aplicaci´ on del pasado lema. Aplicaci´ on: Todo espacio vectorial V tiene una base. Demostraci´ on. Vamos a pensar una base de un espacio vectorial como un subconjunto L.i. maximal, sea entonces ς = {A ⊂ V / ASes L.i.} y sea Aα ⊂ ς una cadena, vamos a provar que est´a acotada, sea A = Aα veremos que es L.i., consideremos x1 , . . . xn ∈ A, entonces xi ∈ Aαi , adem´as {Aα1 , . . . , Aαn } es finito y totalmente ordenado, entonces tiene m´aximo Aα0 , entonces xi ∈ Aα0 ∀i = 1, . . . , n ⇒ {xi } es L.i. ⇒ A ∈ ς ⇒ A es cota superior de Aα , entonces ς tiene un elemento maximal. Concluyendo as´ı que tiene una base Definici´ on 1.8. Sea {Aα }α∈I una familia de conjuntos ⇒ ( ) . Y [ Aα = f : I −→ Aα f (α) ∈ Aα con f funci´on α∈I

α∈I

Axioma de elecci´ on. Si Aα es una familia de conjuntos no vac´ıos entonces Y Aα 6= ∅ Supongamos que tenemos dos conjuntos finitos A y B, y queremos saber si tienen la misma cantidad de elementos, entonces hacemos lo siguiente, tomamos un elemento de A y le asociamos el natural 1, tomamos otro elemento de A, distinto del primero, y le asociamos el natural 2, y as´ı sucesivamente hasta llegar al u ´ltimo elemento de A asociado con el natural n, o sea existe f : A −→ {1, . . . , n} biyectiva. Hacemos lo mismo para B y obtenemos g : B −→ {1, . . . m} biyectiva. Si m = n decimos que A y B tienen la misma cantidad de elementos, podemos prescindir de los naturales, o sea que si m = n f ◦ g −1 : B −→ A es una funci´ on biyectiva entre B y A. Decimos entonces que dos conjuntos finitos tienen la misma cantidad de elementos si existe una funci´on biyectiva entre ellos. Podemos generalizar esta definici´on prescindiendo de que los conjuntos sean finitos. Dos conjuntos A y B se dicen equipotentes (cordinables, tienen mismo cardinal) si existe una biyecci´on entre ellos.

CAP´ITULO 1. NUMERABILIDAD

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Observaci´ on. A es equipotente con A. A es equipotente con B ⇒ B es equipotente con A. A es equipotente con B, B es equipotente con C ⇒ A es equipotente con C. Ejemplo. 1. {0, 1, 2 . . . , n, . . . } es equipotente con {1, 2, . . . , n, . . . } ya que Φ(n) = n+1 es una biyecci´ on entre N y N − {0}. 2. #R = #R+ basta considerar la funci´on f (x) = ex . Definici´ on 1.9. #A ≤ #B si ∃f : A −→ B inyectiva. Proposici´ on 1.0.3. Sean A y B dos conjuntos entonces ∃φ : A −→ B inyectiva ⇔ ψ : B −→ A sobreyectiva. Demostraci´ on. (⇒) φ : A −→ B inyectiva, sea a0 ∈ A, entonces defino ψ : B −→ A de la siguiente manera. Si b ∈ Im(φ) ⇒ ψ(b) = φ−1 (b), si b ∈ / Im(φ) ⇒ ψ(b) = a0 . Obtuvimos as´ı una funci´ on ψ : B −→ A sobreyectiva, veamos el rec´ıproco. (⇐) Si ψ : B −→ A sobreyectiva para cada a ∈ A definimos φ(a) ∈ ψ −1 (a), entonces φ inyectiva pues si φ(a1 ) = φ(a2 ) ⇒ a1 = ψ(φ(a1 )) = ψ(φ(a2 )) = a2 Teorema 1.0.4 (de Cantor). Sea X 6= ∅ ⇒ #X < #P(X) Demostraci´ on. Supongamos ∃φ : X −→ P(X) biyectiva, x 7→ φ(x) ⊂ X, definamos ahora el siguiente conjunto U = {x ∈ X / x ∈ / φ(x)} ⊂ X ⇒ como φ biyectiva ∃u ∈ X tal que φ(u) = U ⇒ u∈ /U ⇔u∈ / φ(u) = U ⇔ u ∈ U Llegando as´ı a un absurdo. Proposici´ on 1.0.5 (Cantor-Bernstein). Si #A ≤ #B y #B ≤ #A ⇒ #A = #B Definici´ on 1.10. A finito si #A = #{1, . . . , n} para alg´ un n. A infinito si no es finito. A infinito numerable si A infinito y #A = #N. A numerable si es finito o es infinito numerable. Ejemplos.

CAP´ITULO 1. NUMERABILIDAD

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1. Z y Q son numerables. Demostraci´ on. Con motivo de hacer mas f´acil de hacer la comprensi´on de las siguientes biyecci´ ones, en vez de dar una f´ormula vamos a describirlas. Z es numerable : ...

4

2

...

? −2

? −1

0

1

3

...

? 0

? 1

? 2

...

De esta forma encontramos una biyecci´on entre Z y N concluyendo que Z es numerable. La demostraci´on de que Q es numerable la veremos mas adelante cuando veamos que el producto cartesiano finito conjuntos numerables es numerable, existe una forma de contarlos an´aloga a la usada para Z. 2. Todo conjunto infinito tiene un subconjunto infinito numerable. Demostraci´ on. Sea A el conjunto infinito del que estamos hablando y sea x0 ∈ A, entonces A−{x0 } infinito, entonces existe x1 ∈ A tal que x1 6= x0 , entonces A−{x0 , x1 } infinito, entonces existe x2 ∈ A / x2 6= xi con i = 0, 1. En general, definidos {x1 , . . . , xk } tenemos que A − {x1 , . . . , xk } infinito as´ı que existe xk+1 ∈ A / xk+1 6= xi con i = 1, . . . , k. Entonces la funci´on f : N −→ {xi } dada por f (i) = xi es una biyecci´on entre N y {xi }, por tanto {xi } es numerable. 3. Si A es infinito y B es numerable entonces A es equipotente con A ∪ B. Demostraci´ on. Por la proposici´on de Cantor-Bernstein, basta encontrar una funci´ on inyectiva de A en A ∪ B y otra inyectiva de A ∪ B en A. La funci´ on Identidad Id : A −→ A ∪ B es claramente inyectiva. Solo faltar´ıa encontrar una funci´ on inyectiva de A∪B en A, para esto tenemos que usar lo visto recientemente. Como A es infinito tiene un subconjunto infinito numerable que llamaremos C. Vamos a usar un resultado que veremos mas adelante que dice que la uni´on de dos conjuntos numerables es numerable, en realidad probaremos un resultado mas general pero para este caso nos es suficiente. En concluci´on, C ∪ B es equipotente con N que es equipotente con C, o sea que existe una funci´ on g0 : C ∪ B −→ C biyectiva. Consideremos ahora la siguiente funci´ on g : A ∪ B −→ A tal que  a si a ∈ / C ∪B g(a) = g0 (a) si a ∈ C ∪ B entonces g es inyectiva, por tanto A y A ∪ B son equipotentes.

CAP´ITULO 1. NUMERABILIDAD

7

4. Todo conjunto infinito entra en biyecci´ on con alg´ un subconjunto propio, entendiendo subconjunto propio de A como un subconjunto distinto de A. Demostraci´ on. Como A es infinito contiene alg´ un subconjunto infinito numerable B. Sea C = A − B entonces, hay dos posibilidades, que C sea finito o infinito. Si C finito entonces A = C ∪ B es numerable, entonces A es equipotente con B. Si C es infinito como B numerable C es equipotente con C ∪ B = A Proposici´ on 1.0.6. A ⊂ N ⇒ A numerable. Demostraci´ on. Si A = ∅ es numerable, si A 6= ∅ entonces sea a1 = m´ın{A} ⇒ si A = a1 es finito, por tanto, numerable. Si A 6= a1 sea a2 = m´ın{A − {a1 }} ⇒ si A = {a1 , a2 } es finito entonces es numerable. En general, si A 6= {a1 , . . . , ak } definimos ak+1 = m´ın{A − {a1 , . . . , ak }}. Sea f : N −→ A donde f (k) = m´ın{A − {a1 , . . . , ak−1 }} entonces f inyectiva ya que f (k) < f (k + 1), adme´as es sobreyectiva: Si a ∈ A sea n = m´ ax{k / ak < a} entonces f (n) = m´ın{A − {a1 , . . . , an−1 }} = a Proposici´ on 1.0.7. A 6= ∅ ⇒ A numerable ⇔ ∃φ : A −→ N inyectiva (⇔ ∃ψ : N −→ A sobreyectiva). Demostraci´ on. Supongamos A numerable, entonces si A es infinito ∃φ : A −→ N biyectiva, por lo tanto, inyectiva. Si A es finito ∃φ : A −→ {1, . . . , n} biyectiva, por tanto φ : A −→ N es inyectiva. Supongamos ahora que existe una funci´on inyectiva φ : A −→ N, entonces φ : A −→ φ(A) es biyectiva, entonces #A = #φ(A) pero como φ(A) ⊂ N φ(A) es numerable, concluyendo asi que A es numerable. Corolario 1.0.8. Si B es numerable y φ : A −→ B es inyectiva ⇒ A numerable. Corolario 1.0.9. B numerable, A ⊂ B ⇒ A numerable. Proposici´ on 1.0.10. N × N es numerable. Demostraci´ on. Basta ver que la funci´on ψ : N × N −→ N dada por ψ(m, n) = 2m 3n es inyectiva, por tanto N × N es numerable. Proposici´ on 1.0.11. N × . . . × N es numerable. | {z } j

CAP´ITULO 1. NUMERABILIDAD

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Demostraci´ on. Sean p1 , . . . , pj primos distintos, entonces ψ : N × . . . × N −→ N n donde ψ(n1 , . . . , nj ) = pn1 1 . . . pj j es inyectiva. Corolario 1.0.12. A1 , . . . , An numerables ⇒ A1 × . . . × An es numerable. Proposici´ on 1.0.13. Sean I numerable y {Ai }i∈I una familia de conjuntos con Ai numerable ∀i ⇒ [ Ai es numerable i∈I

Demostraci´ on. S Sean φ : N −→ I sobreyectiva y ψi : N −→ S Ai sobreyectiva, Sea J : N × N −→ Ai / J(m, n) = ψφ(m) (n) ⇒ sea a ∈ Ai , entonces a ∈ Ai0 , entonces existe m ∈ N tal que φ(m) = i0 , adem´as existe n /Sψi0 (n) = a ⇒ J(m, n) = ψφ(m) (n) = a, entonces J es sobreyectiva, entonces Ai numerable. Ejemplo. Q es numerable. I = {(n, m) ∈ N × N − {0}} ⊂ N × N es numerable, entonces [ n Q= m (n,m)∈I

es numerable. Proposici´ on 1.0.14. Pf (N) = {A ⊂ N : A finito} es numerable. Demostraci´ on. Sea Pn (N) = {A ⊂ N : #A = n} entonces [ Pf (N) = Pn (N) n∈N

Bastaria probar entonces que Pn (N) es numerable ∀n. Sea φn : Pn (N) −→ Nn donde φn (A) = (a1 , . . . , an ) con a1 < a2 < . . . < an donde A = {a1 , an } necesitamos el orden para asegurarnos de que φn sea una funci´on, (si no estubieran ordenados podria pasar que un conjunto tubiera dos imagenes distintas). Sea B = {b1 , . . . , bn } y supongamos que φn (A) = φn (B), entonces (a1 , . . . , an ) = (b1 , . . . , bn ) ⇒ ai = bi ∀i ⇒ A = B, entonces φn inyectiva, por tanto cada Pn (N) es numerable concluyendo as´ı la demostraci´on. Corolario 1.0.15. P∞ (N) = {A ⊂ N : A infinito} no es numerable. Demostraci´ on. De no ser as´ı P(N) = Pf (N) ∪ P∞ (N) seria numerable, contradiciendo el teorema de Cantor. Proposici´ on 1.0.16. Sea t ∈ [0, 1] ⇒ ∃ak donde ak ∈ {0, 1} ∀k / t=

∞ X ak 1

2k

adem´ as si t =

∞ X bk k 2 1

con bk ∈ {0, 1} y {ak } = 6 {bk } se tiene que ∃k1 / ak = bk ∀k ≤ k1 adem´ as bk = 1 y ak = 0 ∀k > k1

CAP´ITULO 1. NUMERABILIDAD

Demostraci´ on. Si 0 < t < casos tenemos que

1 2

9

entonces defino a1 = 0, si

0≤t−

1 4

< t < 1. En ambos

a1 1 < 2 2

0≤t− Si 0 ≤ t − a21 < 14 defino a2 = 0, si casos tenemos que

1 2

< t−

a1 2

<

1 2

defino a2 = 1. En ambos

a2 1 a1 − < 2 4 4

1 En general, definidos los primeros k terminos, si 0 ≤ t− a21 − a42 −· · ·− a2kk < 2k+1 1 defino ak+1 = 0, si 2k+1 < t − a21 − a42 − · · · − a2kk < 21k defino ak+1 = 1. En ambos casos tenemos que

0≤t−

a1 a2 ak ak+1 1 − − · · · − k − k+1 < k+1 2 4 2 2 2

o sea que 0≤t−

n X ak 1

Tomando l´ımite en n tenemos que, como t=

<

2k 1 2n

1 2n

→0⇒

∞ X ak 1

2k

P P Si {ak } 6= {bk } y ak = bk sea, entonces, k1 = m´ın{k / ak 6= bk }, podemos suponer que ak1 = 1 y bk1 = 0 ⇒ ∞ ∞ X 1 1 X 1 1 = = k1 ⇒ 2k 2k1 +1 0 2k 2

k1 +1 =0

z}|{ kX kX kX ∞ ∞ ∞ 1 −1 1 −1 1 −1 X X X bk bk bk 1 bk ak 1 ak 1 = + + ≤ + = + k1 = k k k1 k k k k 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 k1 +1

=

kX 1 −1 1

ak ak + k11 = 2k 2

k1 +1

k1 X 1

ak ≤ 2k

∞ X 1

∞

X bk ak = ⇒ k 2 2k 1

k1 ∞ ∞ ∞ X X X X bk 1 ak ak = y = k k k 2 2 2 2k 1 1

k1 +1

k1 +1

⇒ ak = 0 ∀k < k1 y bk = 1 ∀k > k1 Proposici´ on 1.0.17. #[0, 1] = #P∞ (N)

CAP´ITULO 1. NUMERABILIDAD

10

Demostraci´ on. Si t ∈ [0, 1] existe una u ´nica sucesi´on {ak } tal que {k / ak = 1} es infinito: Hay que probar que siempre existe n X ak

si t =

2k

1

⇒

defino bk = ak ∀k ≤ n y bk = 1 ∀k > n ⇒. n X ak 1

2k

=

∞ X bk k 2 1

Sea φ : [0, 1] −→ P∞ tal que φ(t) = {k / ak = 1} donde {k / ak = 1} es infinito, entonces φ inyectiva, porque si φ(t) = φ(s) entonces defino ak = 1 si k ∈ φ(t) = φ(s) y ak = 0 si k ∈ / φ(t) = φ(s) ⇒ t=

∞ X ak 1

2k

=s

Adem´ as, si A ∈ P∞ (N) entonces defino ak = 1 si k ∈ A y ak = 0 si k ∈ / A, entonces, sea ∞ X ak t= 2k 1 entonces φ(t) = A, entonces φ biyectiva.

Cap´ıtulo 2

Espacios m´ etricos Definici´ on 2.1. Sea E un conjunto no vac´ıo, una m´etrica o distancia en E es una funci´ on d : E × E −→ R que cumple las siguientes propiedades: 1. d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ E 2. d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ E 3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ E (Desigualdad triangular) 4. d(x, y) = 0 ⇔ x = y Al par (E, d) se le llama espacio m´etrico. Ejemplos. 1. Si E = R d(x, y) = |x − y| es una m´etrica. 2. Sea E = Rn , x = (x1 . . . xn ), y = (y1 . . . yn ), x, y ∈ E, entonces podemos definir las siguientes distancias: euclideana

v u n uX d(x, y) = t d(xi , yi )2 i=1

de la suma d1 (x, y) =

n X

d(xi , yi )

i=1

del m´ aximo d∞ (x, y) = m´ax{d(xi , yi )} i

3. Dado E 6= ∅  d(x, y) =

0 si x = y 1 si x 6= y

es una m´etrica llamada m´etrica discreta. 11

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS

12

4. Sea E = CR [0, 1] = {f : [0, 1] → R / f es continua} entonces definimos la distancia infinito o del supremo de la siguiente manera: d∞ (f, g) = sup{|f (x) − g(x)|} x

Podemos tambien definir otra distancia: Z 1 |f (t) − g(t)| d(t) d1 (f, g) = 0

Obsevar que si eliminamos el valor absoluto de la integral deja de ser una m´etrica y pasa a ser una pseudo-m´etrica, es decir que d(f, g) = 0 ; f = g. Definici´ on 2.2. Sean (E, d) un espacio m´etrico (de ahora en mas simplemente e.m.), x ∈ E y ε > 0. La bola abierta de centro x y radio ε es el conjunto Bε (x) = {y ∈ E / d(x, y) < ε} Proposici´ on 2.0.18. (E, d) un e.m., y ∈ Bε (x) ⇒ ∃δ > 0 / Bδ (y) ⊂ Bε (x) Demostraci´ on. Sea δ = ε − d(x, y) > 0 pues y ∈ Bε (x), entonces, sea z ∈ Bδ (y) ⇒ d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + δ = ε ⇒ z ∈ Bε (x) Definici´ on 2.3. Sea (E, d) un espacio m´etrico y F ⊂ E distinto de vac´ıo ⇒ la restricci´ on de d a F × F es una m´etrica en F llamada m´etrica relativa, si x ∈ F y ε > 0 ⇒ BεF (x) es la bola con la m´etrica relativa, y verifica que BεF (x) = BεE (x) ∩ F Definici´ on 2.4. Sea (E, d) un e.m. y A ⊂ E, decimos que A es abierto sii ∀x ∈ A ∃ε > 0 tal que Bε (x) ⊂ A. Ejemplos. 1. Las bolas abiertas son abiertas. 2. Sea (E, d) un espacio m´etrico donde d es la m´etrica discreta, entonces cualquier conjunto es abierto, ya que si x ∈ A {x} = B1 (x) ⊂ A. 3. En CR [0, 1] A = {f ∈ CR [0, 1] : f (0) < 0}. Sea f ∈ A ⇒ sea ε = f (0)/2 y sea g ∈ Bε (f ) ⇒ d(f, g) < ε ⇒ sup{d(f (x), g(x))} < ε ⇒ |f (0) − g(0)| < ε ⇒ −ε < f (0) − g(0) < ε ⇒ f (0) − ε < g(0) < f (0) + ε ⇒ 0 < f (0)/2 < g(0) < 3f (0)/2 ⇒ g(0) > 0 ⇒ Bε (f ) ⊂ A ⇒ A abierto. Proposici´ on 2.0.19. Sea (E, d) un e.m., entonces 1. E y ∅ son abiertos. 2. Aα una familia arbitraria de conjuntos abiertos ⇒

S

α∈I

Aα es abierto.

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS

13

3. Si A1 , . . . , Aj es una familia finita de abiertos ⇒

Tj

i=1

Ai es abierto.

Demostraci´ on. 1. Bε (x) ⊂ E ∀x ∈ E ⇒ E es abierto S 2. Si x ∈ S Aα ⇒ x ∈ Aα0 , como Aα0 es abierto ∃ε > 0 / Bε (x) ⊂ Aα0 ⇒ Bε (x) ⊂ Aα T 3. Si x ∈ Ai ⇒ x ∈ Ai ∀i, entonces, como cada Ai es abierto ∃εi tal que Bεi (x) Sea entonces ε = m´ın{ε1 , . . . , εj } ⇒ Bε (x) ⊂ Ai ∀i ⇒ T ⊂ Ai . T Bε (x) ⊂ Ai ⇒ Ai es abierto. Proposici´ on 2.0.20. (E, d) e.m. A ⊂ E abierto ⇔ A es union de bolas abiertas. Demostraci´ on. (⇒) Si A es abierto entonces ∀x ∈ A ∃εx / Bεx (x) ⊂ A ⇒ [ Bεx (x) = A x∈A

(⇐) La uni´ on de bolas abiertas es abierto. Proposici´ on 2.0.21. Sean (E, d) un e.m. y F ⊂ E, un subconjunto A ⊂ F es abierto con la m´etrica relativa ⇔ A = U ∩ F con U abierto de E. Demostraci´ on. Sabemos que BεF (x) = BεE (x) ∩ F , si A es abierto en F ⇒ ! [ [ [ F E E A= Bεx (x) = Bεx (x) ∩ F = Bεx (x) ∩ F x∈A

entonces si U =

S

x∈A

x∈A

x∈A

BεEx (x) tenemos que U es abierto en E, entonces A = U ∩F

S Si U es abierto en E, entonces U = BεEα (x) ⇒ [  [
[ F U ∩F = BεEα (x) ∩ F = BεEα (x) ∩ F = Bεα (x) que es abierto en F . Definici´ on 2.5. (E, d) e.m. decimos que A ⊂ E es cerrado sii A{ es abierto. Observaci´ on. (E, d) e.m.⇒ 1. E y ∅ son cerrados 2. Si Aα es una familia de cerrados, entonces

T

Aα es cerrado S 3. Si A1 , . . . , An es una familia finita de cerrados ⇒ Ai es cerrado

´ CAP´ITULO 2. ESPACIOS METRICOS

14

La prueba de esta observaci´ on se dejara como ejercicio. Proposici´ on 2.0.22. Sean d1 y d2 dos m´etricas en E, entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones: 1. Todo abierto con d1 es abierto con d2 2. Dados ε > 0 y x ∈ E ∃δ > 0 tal que Bδd2 (x) ⊂ Bεd1 (x) Demostraci´ on. 1→2 Dado ε > 0 y x ∈ E tenemos que Bεd1 (x) es un conjunto abierto con d1 , entonces es abierto con d2 , o sea que ∀y ∈ Bεd1 (x) ∃δ > 0 tal que Bδd2 (y) ⊂ Bεd1 (x), en particular para x existe δ tal que Bδd2 (x) ⊂ Bεd1 (x). 2→1 Si A es abierto con d1 entonces ∀x ∈ A ∃ε > 0 tal que Bεd1 (x) ⊂ A, pero para cada x ∈ A y para cada ε > 0 existe δ > 0 / Bδd2 (x) ⊂ Bεd1 (x) ⊂ A, entonces A es abierto con d2 . Definici´ on 2.6. Dos m´etricas d1 y d2 son equivalentes si A es abierto con d1 ⇔ A es abierto con d2 Ejemplos. 1. Dado un e.m. (E, d) sea d0 : E × E −→ R dada por d0 (x, y) = m´ın{1, d(x, y)} entonces d0 es una m´etrica en E equivalente a d. 2. Las tres m´etricas que definimos en Rn son equivalentes. Dado un espacio m´etrico (E, d) y A ⊂ E definimos di´ am(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}. Un conjunto se dice acotado si su di´ametro es finito, y se dice que es totalmente acotado si dado ε > 0 ∃x1 , . . . , xn / A⊂

n [

Bε (xi )

i

En general se tiene un conjunto totalmente acotado est´a acotado, pero no a la inversa.

Cap´ıtulo 3

Espacios topol´ ogicos En este cap´ıtulo vamos a ver propiedades de los espacios topol´ogicos entremezcladas con algunas propiedades de los espacios m´etricos, hay que tener en cuenta que cualquier resultado que se obtenga para espacios topol´ogicos vale tambien para espacios m´etricos ya que, como veremos m´as adelante, la m´etrica induce una topolog´ıa. Definici´ on 3.1. X 6= ∅, una topolog´ıa τ en X es una familia de subconjuntos τ ⊂ P(X ) que verifica: 1. X y ∅ ∈ τ 2. Si {Aα } ∈ τ ⇒

S

Aα ∈ τ T 3. Si A1 , . . . , An ∈ τ ⇒ Ai ∈ τ Al par (X , τ ) se le llama espacio topol´ogico (o simplemente e.t.). Observaci´ on. Sea (E, d) un espacio m´etrico, entonces τ = {A/A es abierto} es una topolog´ıa en E Demostraci´ on. Para demostrar esto basta recordar una proposici´on que vimos en seguida despues de definir abiertos, mas precisamente la proposici´on 2.0.19. No es casualidad que una m´etrica defina una topolog´ıa ya que la idea es abstraer las propiedades de los espacios m´etricos en espacios donde no hay definida una m´etrica, tratamos de definir un abierto sin tener una distancia, por eso, si decimos que un conjunto es abierto en relidad estamos queriendo decir que est´ a en la topolog´ıa. Una topolog´ıa es metrizable si existe una m´etrica que define la misma topolog´ıa. Ejemplos. 1. La topolog´ıa discreta, τ = P(X ) es un ejemplo de topolog´ıa metrizable, basta tomar la m´etrica discreta. 15

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

16

2. La topolog´ıa indiscreta en X , τ = {X , ∅}, no es metrizable. 3. X 6= ∅, τ = {A ⊂ X : A{ finito } ∪ {∅} es una topolog´ıa en X . S T { { Demostraci´ on. X y ∅ ∈ τ , si {Aα } ∈ τ ( Aα ) = Aα finito, si A1 , . . . , An son abiertos \

Ai

{

=

n [

A{i finito

1

X = 6 ∅, τ = {A ⊂ X : A{ numerable } ∪ {∅} tambien es una topolog´ıa en X. 4. En Z, τ = {A ⊂ Z : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1 ∈ A ∀n ∈ Z} es una topolog´ıa en Z. 5. En R, τ = {∅} ∪ {A ⊂ R : 0 ∈ A} es una topolog´ıa. Observaci´ on. Sea (X , τ ) un e.t. y sea Y ⊂ X , la topolog´ıa relativa en Y es τY = {U ∩ Y : U ∈ τ } tenemos entonces que (Y, τY ) es un subespacio topol´ogico. Si X es un conjunto no vacio entonces la intersecci´on de una familia cualquiera de topolog´ıas es una topolog´ıa. Definici´ on 3.2. Sea (X , τ ) un e.t. y sea x ∈ X ⇒ U ⊂ X es un entorno de x si ∃A ∈ τ tal que x ∈ A ⊂ U Nx = {U ⊂ X / U es entorno de x} Proposici´ on 3.0.23. Sea (X , τ ) un e.t. y x ∈ X ⇒ 1. U ∈ Nx y U ⊂ V ⇒ V ∈ Nx 2. Si U, V ∈ Nx ⇒ U ∩ V ∈ Nx 3. Nx 6= ∅ 4. A ⊂ X , A ∈ τ ⇔ A ∈ Nx ∀x ∈ A Demostraci´ on. 4 (⇒) Si A ∈ τ entonces x ∈ A ⊂ A ∀x ∈ A, entonces A ∈ Nx ∀x ∈ A (⇐) ∀x ∈ A ∃Ax ∈ τ tal que x ∈ Ax ⊂ A, entonces A = Ax ∈ τ , A ∈ τ .

S

Ax , entonces,como ◦

Definici´ on 3.3. Sea (X , τ ) un e.t. A ⊂ X , x ∈ X es interior a A si A ∈ Nx , A es el conjunto de los puntos interiores a A.

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

17 ◦

Proposici´ on 3.0.24. Sea (X , τ ) un e.t. A ⊂ X ⇒ A es el mayor abierto contenido en A. ◦

Demostraci´ on. A∈ τ : ◦

Sea x ∈ A ⇒ ∃B ∈ τ / x ∈ B ⊂ A, entonces ∀b ∈ B se tiene que b ∈ B ⊂ A, ◦ ◦ entonces A es un entorno de b para todo b ∈ B, entonces b ∈ A ∀b ⇒ B ⊂ A, ◦ ◦ ◦ en definitiva tenemos que ∀x ∈ A ∃B ∈ τ / x ∈ B ⊂ A, entonces A∈ τ . ◦

Sea U ∈ τ tal que U ⊂ A, entonces ∀u ∈ U A ∈ Nu , entonces U ⊂ A. Ejemplo. (R, τ ) donde A ∈ τ ⇔ A = ∅ o 0 ∈ A, queremos hallar el interior de ◦

◦

un subconjunto A de R. Si A = {0, 1} ⇒ A= {0, 1}, si A = {1, 2} A= ∅, si ◦ A = {0, 2, 4} A= A ⇒  ◦ ∅ si 0 ∈ /A = A A si 0 ∈ A ◦

Corolario 3.0.25. A abierto ⇔ A = A

3.1.

Axiomas de separaci´ on

Definici´ on 3.4. Un e.t (X , τ ) es T0 si cumple que: Nx = Ny ⇒ x = y Ejemplo. (Z, τ ) N2 = {A ⊂ Z : {1, 2} ⊂ A}, N1 = {A ⊂ Z : {1, 2} ⊂ A} ⇒ N1 = N2 pero 1 6= 2 ⇒ (Z, τ ) no es T0 . Observaci´ on. (X , τ ) es T0 ⇔ dados x e y distintos ∃U ∈ Nx / y ∈ / U o ∃V ∈ Ny /x∈ /V Demostraci´ on. Si ∃U ∈ Nx / y ∈ / U o ∃V ∈ Ny / x ∈ / V se tiene que Nx 6= Ny , entonces X es T0 . Si X es T0 y x 6= y ⇒ Nx 6= Ny ⇒ ∃U ∈ Nx / U ∈ / Ny ⇒ ∃A ∈ τ tal que x ∈ A ⊂ U ⇒ si y ∈ A se tendr´ıa que U ∈ Ny , por tanto y ∈ / A, si ∃V ∈ Ny tal que V ∈ / Nx el razonamiento es analogo. Definici´ on 3.5. Un e.t. es T1 si \

V = {x}

V ∈Nx

Observaci´ on. (X , τ ) es T1 ⇒ dados x e y distintos ∃U ∈ Nx / y ∈ /U T Demostraci´ on. Si @U ∈ Nx tal que y ∈ / U tendriamos que V ∈Nx V = {x, y} absurdo porque X es T1 .

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

18

Ejemplos. 1. (R, τ ) donde A ∈ τ ⇔ A = ∅ o 0 ∈ A, entonces, si x = 1 e y = 2, {0, 1} ∈ N1 y {0, 2} ∈ N2 ⇒ N1 6= N2 . En general, si x 6= y y x, y 6= 0 ⇒ {0, x} ∈ Nx e y ∈ / {0, x}, adem´as {0, y} ∈ Nx y x ∈ / {0, y}. Si x = 0 e y 6= 0 tenemos que N0 = {A / 0 ∈ A}, pero {0} ∈ Nx y y ∈ / {0}, entonces (R, τ ) es T0 , pero \ U = {0, x} U ∈Nx

entonces no es T1 . 2. X con la topolog´ıa de los complementos finitos, sean x e y distintos ⇒ x ∈ {y}{ ∈ τ ⇒ {y}{ ∈ Nx y y ∈ / {y}{ ⇒ (X , τ ) es T1 . Corolario 3.1.1. (X , τ ) es T1 ⇒ (X , τ ) es T0 . Definici´ on 3.6. (X , τ ) es de Hausdorff o T2 si dados x e y distintos existen U ∈ Nx y V ∈ Ny tales que U ∩ V = ∅. Ejemplos. 1. X infinito con la topolog´ıa de los complementos finitos, supongamos que existe dos abiertos A y B tales que A ∩ B = ∅ ⇒ A ⊂ B { que es finito, entonces A es finito ⇒ A{ infinito porque X es infinito ⇒ A ∈ / τ , absurdo, entonces no hay abiertos disjuntos, entonces (X , τ ) no es de Hausdorff, pero ya vimos que era T1 . 2. Todo espacio m´etrico es de Hausdorff. Demostraci´ on. Si x 6= y basta tomar ε < d(x,y) para obtener Bε (x) ∩ 2 Bε (y) = ∅ pues si z ∈ Bε (x) ∩ Bε (y) tenemos que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < ε + ε < d(x, y) absurdo. Corolario 3.1.2. Las topolog´ıa de los complementos finitos no es metrizable, tampoco lo son τ = {A ∈ Z / 2n ∈⇔ 2n − 1 ∈ A} y τ = {A / A = ∅ o 0 ∈ A} Tenemos entonces que un espacio topol´ogico de Haudorff es T1 ya que si \ {x, y} ⊂ U U ∈Nx

tenemos que dado U ∈ Nx , y ∈ U ⇒ ∀V ∈ Ny U ∩ V 6= ∅, absurdo. Por lo tanto T2 ⇒ T1 ⇒ T0 pero, debido a los ejemplos q hemos visto, no tenemos niguna de las implicancias en el sentido contrario. La importancia de los espacios de Hausdorff es que

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

19

en ellos hay convergencia u ´nica ya que podemos separar dos puntos distintos, esto lo veremos m´ as adelante cuando veamos redes en espacios topol´ogicos. Las definiciones de T0 , T1 y de Hausdorff son tambien conocidas como Axiomas de separaci´ on, hay m´ as clasificaciones de espacios segun la separaci´on de sus puntos, veremos esto despues de las siguientes definiciones. Definici´ on 3.7. Sea (X , τ ) un e.t. y sea A ⊂ X , la clausura, o adherencia, de A es A = {x ∈ X / U ∩ A 6= ∅ ∀U ∈ Nx } A cerrado ⇔ A = A Observaci´ on. A ⊂ A, adem´ as, si A ⊂ B ⇒ A ⊂ B Ejemplos. 1. (R, τ ) donde A ∈ τ si A = ∅ o 0 ∈ A, entonces si A = {1} A = {1}, si A = {0, x} ⇒ A = R ⇒  R si 0 ∈ A A= A si 0 ∈ /A 2. Sea (E, d) un espacio m´etrico, la bola cerrada Bε− (x) = {y ∈ E : d(x, y) ≤ ε} es un conjunto cerrado. Demostraci´ on. Sea y ∈ / Bε− (x) ⇒ sea δ < d(x, y) − ε ⇒ si z ∈ Bε− (x) ∩ Bδ (y) ⇒ d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < ε + δ ≤ d(x, y) absurdo, entonces y∈ / Bε− (x) ⇒ Bε− (x) = Bε− (x). Observaci´ on. Bε (x) 6= Bε− (x), basta considerar la m´etrica discreta, B1 (x) = − {x}, B1 (x) = E, como todo subconjunto es abierto tenemos que B1 (x) = {x} = {x} = B1 (x) ⇒ B1 (x) 6= B1− (x). Un espacio topol´ ogico se dice regular si dados un cerrado F y un punto x∈ / F existen abiertos disjuntos V y V 0 tales que F ⊂ V y x ∈ V 0 , veremos ma adelante que un espacio compacto de Hausdorff es regular. Un espacio es normal si dados dos cerrados disjuntos F y F 0 existen abiertos disjuntos V y V 0 tales que F ⊂ V y F 0 ⊂ V 0 . {

◦

Proposici´ on 3.1.3. Sea (X , τ ) un e.t. y sea A ⊂ X ⇒ A = A{ Demostraci´ on. Si x ∈ / A, entonces ∃U ∈ Nx / U ∩ A = ∅ ⇒ U ⊂ A{ . Sabemos ◦

que ∃B ∈ τ tal que x ∈ B ⊂ U ⊂ A{ , entonces A{ ∈ Nx , entonces x ∈ A{ , {

◦

entonces A ⊂ A{ . ◦

Si x ∈ A{ entonces ∃B ∈ τ tal que x ∈ B ⊂ A{ , entonces B ∩ A = ∅, entonces ◦

{

x∈ / A ⇒ A{ ⊂ A , concluyendo as´ı la demostraci´on.

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

20

Corolario 3.1.4. A cerrado ⇔ A{ abierto. Corolario 3.1.5. Un espacio topol´ ogico (X , τ ) es T1 ⇔ los puntos son cerrados. Demostraci´ on. Si X es T1 , sea x ∈ X , entonces tenemos que dado y 6= x ∃U ∈ Ny abierto tal que x ∈ / U ⇒ U ⊂ {x}{ ⇒ {x} es cerrado. Si {x} es cerrado, sea { y 6= x ⇒ {x} ∈ Ny ⇒ dados x 6= y ∃U ∈ Ny tal que x ∈ / U ⇒ X es T1 . Corolario 3.1.6. Sea (X , τ ) un e.t. ⇒ 1. X y ∅ son cerrados. T 2. {Aα } familia de cerrados ⇒ Aα es cerrado. S 3. A1 , . . . , An cerrados ⇒ Ai . Definici´ on 3.8. Sea (X , τ ) un e.t. y sea A ⊂ X 1. x ∈ X es punto de acumulaci´on de A si A ∩ (U − {x}) 6= ∅ ∀U ∈ Nx , al conjunto de los puntos de acumulaci´on suele tambien llamarsele conjunto derivado de A y es A0 = {x tal que x es punto de acumulaci´on de A} 2. x es un punto aislado de A si x ∈ A y no es punto de acumulaci´on. 3. La frontera de A es ∂A = A ∩ A{ Observaci´ on. A cerrado ⇔ A0 ⊂ A Demostraci´ on. Supongamos A cerrado y sea x un punto de acumulaci´on de A, entonces A ∩ (U − {x}) 6= ∅ ∀U ∈ Nx ⇒ x ∈ A = A ⇒ A0 ⊂ A. Si A0 ⊂ A, sea x ∈ A ⇒ A ∩ U 6= ∅ ∀U ∈ Nx ⇒ si x ∈ / A tenemos que A ∩ U − {x} = 6 ∅ ∀U ∈ Nx ⇒ x ∈ A0 ⇒ x ∈ A ⇒ A ⊂ A ⇒ A cerrado. Definici´ on 3.9. Sea (X , τ ) un e.t. Y ⊂ X es denso en X si Y = X , decimos que X es separable si tiene un conjunto denso numerable. Proposici´ on 3.1.7. Sea (X , τ ) un e.t. Y ⊂ X denso ⇔ A ∩ Y 6= ∅ ∀A ∈ τ con A 6= ∅. Demostraci´ on. (⇒) Y ⊂ X denso ⇒ Y = X ⇒ sea a ∈ A ∈ τ ⇒ a ∈ Y y A ∈ Na ⇒ A ∩ Y 6= ∅. (⇐) Sean x ∈ X y V ∈ Nx ⇒ ∃A ∈ τ tal que x ∈ A ⊂ V , entonces, como Y ∩ A 6= ∅ ⇒ Y ∩ U 6= ∅, entonces x ∈ Y , entonces Y = X . Ejemplos. 1. Q es denso en R y como son numerables, tenemos que R es separable. 2. Qn es denso en Rn y es numerable, entonces Rn separable.

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

21

3. (R, τ ) donde τ = {∅} ∪ {A : 0 ∈ A}, como 0 ∈ Q tenemos que Q es denso y adem´ as numerable, entonces (R, τ ) separable. 4. (Z, τ ) donde τ = {A ⊂ Z : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1 ∈ A}, si A = {7} A = {7, 8}, entonces I = {2n − 1 : n ∈ Z} es denso en (Z, τ ) y es numerable, entonces (Z, τ ) es separable. 5. X infinito con la topolog´ıa de los complementos finitos, entonces si Y ⊂ X s infinito Y = X ya que corta a cualquier abierto: dado A abierto A{ finito entonces Y no est´ a contenido en A{ entonces A∩Y 6= ∅. Tomando entonces Y infinito numerable, que sabemos que existe, tenemos un subconjunto denso numerable, as´ı que X es separable. 6. lR∞ = {sucesiones acotadas en R} donde d(x, y) = sup{|xn − yn |} no es separable. Demostraci´ on. Sea Y ⊂ lR∞ formado por las sucesiones que toman valores 0 y 1 ⇒ #Y = P(N) ⇒ Y no es numerable. Sean x, y ∈ Y distintos ⇒ d(x, y) = 1 ⇒ B 21 (x) ∩ B 21 (y) = ∅, B 21 (x) = {z ∈ lR∞ : d(x, z) < 21 } es un conjunto infinito. Sea la familia {B 12 (x) : x ∈ Y }, es una familia no numerable de bolas abiertas disjuntas dos a dos, Si Z fuera denso en lR∞ ⇒ ∀x ∈ Y dado cualquier U ∈ Nx U ∩ Z 6= ∅, en particular B 12 (x) ∩ Z 6= ∅. Sea zx ∈ B 12 (x) ∩ Z entonces zx 6= zy ⇒ Z contiene un subconjunto no numerable, entonces Z no es numerable, entonces lR∞ no es separable.

3.2.

Bases

Definici´ on 3.10. Sea (X , τ ) un e.t. , B ⊂ τ es una base de la topolog´ıa si todo elemento de τ se escribe como uni´on de elementos de B. Ejemplos. 1. (E, d) espacio m´etrico, la familia formada por bolas abiertas es una base. 2. (X , τ ) donde τ es la topolog´ıa discreta B = {{x} : x ∈ X } es una base. 3. (R, τ ), τ = {∅} ∪ {A ⊂ R : 0 ∈ A}, entonces B = {{0, x} : x ∈ X } es una base de τ . Proposici´ on 3.2.1. Sea X = 6 ∅, B ⊂ P(X ), ∃ una topolog´ıa para la cual B es una base ⇔ 1. [

A=X

A∈B

2. A, B ∈ B, x ∈ A ∩ B ⇒ ∃C ∈ B / x ∈ C ⊂ A ∩ B.

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

22

Demostraci´ on. Si B es una base de τ , entonces, como, X ∈ τ tenemos que S X = A∈B A, adem´ aS s, si A y B ∈ B, entonces A y B ∈ τ , entonces A ∩ B ∈ τ , entonces A ∩ B = Cα con Cα ∈ B, entonces si x ∈ A ∩ B se tiene que x ∈ Cα0 ⊂ B Si B verifica 1 y 2 entonces, sea τ la familia de conjuntos que son uni´on de elementos de B, entonces τ es una topolog´ıa: 1. ∅ =

S

Aα ∈B

Aα , X =

S

A∈B

A, entonces ∅ y X ∈ τ

2. Claramente la union de conjuntos de τ est´a en τ . S 3. Si A y B ∈ τ entonces A ∩ B = (Aα ∩ Bα ), si x ∈ A ∩ B entonces x ∈ Aαx ∩ Bαx ⇒ ∃Cx tal que x ∈ Cx ⊂ Aαx ∩ Bαx ⇒ [ [ A∩B ⊂ Cx ⊂ Aαx ∩ Bαx ⊂ A ∩ B x∈A∩B

entonces A ∩ B =

S

x∈A∩B

Cx con Cx ∈ B, entonces A ∩ B ∈ τ

Definici´ on 3.11. Sea (X , τ ) un e.t. , S ⊂ τ es una subbase de τ si B = {A1 ∩ . . . ∩ An : Ai ∈ S , n = 0, 1 . . .} es una base de τ . Observaci´ on. Si X = 6 ∅, y S ⊂ P(X ) / una topolog´ıa τ .

S

A∈S

A = X ⇒ S es una subbase de

Demostraci´ on. Sea B = {A1 ∩ . . . , ∩An / Ai ∈ S, n ∈ N} ⇒ S 1. A∈B A = X obvio. 2. Si A, B ∈ B ⇒ A = A1 ∩ . . . ∩ An y B = B1 ∩ . . . ∩ Bm ⇒ A ∩ B = A1 ∩ . . . ∩ An ∩ B1 ∩ . . . ∩ Bm con Ai y Bj ∈ S, entonces B es una base para alguna topolog´ıa, entonces S es una subbase para alguna topolog´ıa.

Definici´ on 3.12. Sean τ y σ dos topolog´ıas en X ⇒ τ es mas fina que σ si τ ⊂ σ, o sea, todo abierto por τ es abierto por σ. S Observaci´ on. X 6= ∅; S ⊂ P(X ) / A∈S A = X ⇒ la topolog´ıa genereada por la subbase S es la menos fina en X que contiene a S. Definici´ on 3.13. Sea (X , τ ) un e.t. , decimos que verifica el segundo axioma de numerabilidad (N2 ) si tiene una base numerable. Proposici´ on 3.2.2. Sea (X , τ ) un e.t. N2 , entonces es separable.

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

23

Demostraci´ on. Sea {Bn } una base numerable y sea bn ∈ Bn , entonces {bn } es denso en X : S Sea A ∈ τ distinto de vacio ⇒ A = nk ∈N Bnk ⇒ bnk ∈ A ∩ {bn } ⇒ A ∩ {bn } = 6 ∅ ⇒ {bn } denso y numerable ⇒ X separable. Proposici´ on 3.2.3. Si (E, d) es un espacio m´etrico separable, entonces es N2 . Demostraci´ on. Sea {xm }m∈N un conjunto denso y sea B = {B1/m (xn ) : m, n ∈ N} ⇒ B numerable. Sea A abierto y sea x ∈ A, entonces ∃ε / Bε (x) ⊂ A, sea m / 1/m < ε/2 y sea xn ∈ {xm } / d(x, xn ) < 1/m, sabemos que existe porque {xm } es denso, entonces x ∈ B m1 (xn ) ⊂ Bε (x) : Si z ∈ B m1 (xn ) ⇒ d(x, z) ≤ d(x, xn ) + d(xn , z) ≤ 1/m + 1/m < ε ⇒ z ∈ Bε (x) Entonces, ∀x ∈ A∃mx y xnx / x ∈ B1/mx (xnx ) ⊂ A ⇒ [

A=

B m1 (xnx ) x

x∈A

Definici´ on 3.14. Sea S (X , τ ) un e.t. , un cubrimiento abierto de X es una familia {Aα } ⊂ τ tal que Aα = X , un subcubrimiento de {Aα } es una subfamilia {Aβ } ⊂ {Aα } que sigue siendo un cubrimiento. Definici´ on 3.15. Sea (X , τ ) un e.t. decimos que es de Lindel¨of si todo cubrimiento admite un subcubrimiento numerable. Teorema 3.2.4. Si (X , τ ) es N2 entonces es de Lindel¨ of. Demostraci´ on. Sean {Bn } una base numerable y {Aα } un cubrimiento abierto de X . Definamos el conjunto Kn = {Aα / Bn ⊂ Aα }, sea n tal que Kn 6= ∅ y sea Aαn Kn , entonces [ Aαn = X : n/Kn 6=∅

S Sea x ∈ X ⇒ x ∈ Aαe , como {Bn } es base Aαe = nj ∈N Bnj ⇒ para algun j0 x ∈ Bnj0 ⊂ Aαe ⇒ Knj0 6= ∅ y x ∈ Bnj0 ⊂ Aαnj ⇒ 0

x∈

[

Aαn ⇒

[

Aαn = X

n/Kn 6=∅

⇒ {Aαn } es un subcubrimiento numerable. Definici´ on 3.16. Sea (X , τ ) un e.t. y x ∈ X , Bx ⊂ Nx es una base de entornos de x, o una base local si dado U ∈ Nx ∃V ∈ Bx /V ⊂ U . Observaci´ on. (X , τ ) e.t ⇒ B base de τ ⇔ ∀x ∈ X Bx = {B ∈ B / x ∈ B} es una base local

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

24

Demostraci´ on. (⇒) Sea V ∈ Nx ⇒ ∃A ∈ τ tal que x ∈ A ⊂ V ⇒ A = ∃Bα0 / x ∈ Bα0 ⊂ A ⊂ V ⇒ Bx es una base local.

S

Bα con Bα ∈ B ⇒

(⇐) Sea A ∈ τ ⇒ ∀xA ∈ Nx ⇒ ∃Ux ∈ Bx tal que Ux ⊂ A ⇒ [ [ [ A= {x} ⊂ Ux ⊂ A ⇒ A = Ux x∈A

x∈A

x∈A

entonces como Ux ∈ B ∀x B es una base de τ . Definici´ on 3.17. Un espacio topol´ogico (X , τ ) verifica el primer axioma de numerabilidad (N1 ) si todo punto tiene una base local numerable. Observaci´ on. Si (X , τ ) es N2 es N1 . Demostraci´ on. Sea B una base numerable de τ entonces Bx = {B ∈ B / x ∈ B} es una base local y adem´as #Bx ≤ #B, entonces Bx es una base local numerable. Observaci´ on. Si (X , τ ) es un espacio N1 entonces tiene una base local numerable decreciente. Demostraci´ on. Sea {Wn } una base numerable, sea entonces V1 = W1 , V2 = W2 ∩ V1 , . . . , Vn = Wn ∩ Vn−1 ⇒ {Vn } es una base local decreciente.

3.3.

Convergencia

Definici´ on 3.18. Una sucesi´on {xn } en un e.t. (X , τ ) converge a x ∈ X si dado V ∈ Nx ∃n0 / xn ∈ V ∀n > n0 . Ejemplos. 1. (X , τ ) donde τ = {X , ∅}, cualquier sucesi´on converge a cualquier punto. 2. (E, d) espacio m´etrico. {xn } converge a x si ∀B n1 (x)∃n0 /xn ∈ B n1 (x). 3. (X , τ ) donde τ es la topolog´ıa discreta, {xn } converge a x si xn = x a partir de un n0 . 4. Sea X con la topolog´ıa de los complementos finitos y sea {xn } ⊂ X una sucesi´ on, queremos estudiar su convergencia, tenemos 5 casos para estudiar: xn toma una cantidad finita de puntos. • Si xn es constante a partir de un n0 es claramente convergente.

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

25

• Si xn no es constante a partir de un n0 , hay mas de un punto con preimagen infinita, sean {y1 , . . . , ym } esos puntos ⇒ xn no converge, consideremos {y1 , . . . , yj−1 , yj+1 , . . . , ym }{ ∈ Nyj ∀j = 1 . . . m , entonces @n0 tal que xn ∈ {y1 , . . . , yj−1 , yj+1 , . . . , ym }{ ∀n ≥ n0 . xn toma una cantidad infinita de puntos. • Si un u ´nico punto tiene preimagen infinita la sucesi´on converge a ese punto ya que cualquier entorno deja a lo sumo una cantidad finita de elmentos de la sucesi´on fuera. • Si hay mas de un punto con preimagen infinita la sucesi´on no converge, ya que si y y z tiene preimagen infinita entonces {z}{ que es un entorno de y pero no contiene, a partir de un n0 , todos los elementos de la sucesi´on. • Si ning´ un punto tiene preimagen infinita la sucesi´on converge a cualquier punto del espacio. Proposici´ on 3.3.1. Sea (X , τ ) un e.t. N1 y sea A ⊂ X , sea tambien x ∈ X ⇒ x ∈ A ⇔ ∃ una sucesi´ on {xn } ⊂ A / xn converge a x Demostraci´ on. (⇐) Si ∃ una sucesi´ on {xn } ⊂ A convergente a x, sea entonces U ∈ Nx , entonces ∃n0 / ∀n > n0 xn ∈ U , entonces A ∩ U 6= ∅ ∀U ∈ Nx ⇒ x ∈ A (⇒) Si x ∈ A, sea entonces {Vn } una base local decreciente de x ⇒ Vn ∩ A 6= ∅, sea entonces xn ∈ Vn ∩ A ⇒ {xn } ⊂ A y dado W ∈ Nx sea n0 / Vn0 ⊂ W ⇒ ∀n > n0 xn ∈ W , entonces xn converge a x. Las sucesiones son una herramienta poderosa para probar propiedades en espacios m´etricos, el problema es que muchos resultados se tornan falsos al pasar a espacios topol´ ogicos, por ejemplo en un espacio m´etrico un punto x ∈ A si y solo si existe una sucesi´ on contenida en A convergente a x, pero esto no es cierto para espacios topol´ ogicos, necesitamos agregar como hipotesis que sea N1 . Una generalizaci´ on es necesaria, Moore y Smith se encargaron de arreglar esto definiendo conjunto dirijido, tomando propiedades del orden de los naturales pero permitiendo un poco mas de libertad, y definiendo redes cuyo dominio es un conjunto dirigido. Definici´ on 3.19. Un conjunto dirigido (D, ≤) consiste en un conjunto D 6= ∅ y una relaci´ on ≤ que verifica 1. d ≤ d ∀d ∈ D. 2. ≤ es transitiva.

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

26

3. d0 , d1 ∈ D ⇒ ∃d ∈ D tal que d0 ≤ d y d1 ≤ d. Ejemplos. 1. Sea (X , τ ) un e.t. y sea x ∈ X ⇒ (Nx , ≤), siendo ≤ el orden trivial para conjuntos, es un conjunto dirigido. La u ´nica propiedad que puede ser complicada de demostrar es la n´ umero 3 que se demuestra de la siguiente manera. Si U, V ∈ Nx ⇒ U ≤ U ∩ V y V ≤ U ∩ V . 2. D = {a, b, c} tal que x ≤ x ∀x ∈ D y b ≥ a y b ≥ c es un conjunto dirigido. 3. Si (D, ≤D ) y (E, ≤E ) son conjuntos dirigidos ⇒ (D ×E, ≤) es un conjunto dirigido siendo ≤ el orden lexogr´afico, esto es (d, e) ≤ (d0 , e0 ) ⇔ d ≤D d0 o si d = d0 y e ≤E e0 . Definici´ on 3.20. Sea (X , τ ) un e.t. 1. Sea (D, ≤) un conjunto dirigido, una red es una funci´on T : D −→ X y se denota Td . 2. Sea Td una red y sea x ∈ X , decimos que Td converge a x si dado U ∈ Nx ∃d0 ∈ D / Td ∈ U ∀d ≥ d0 . Ejemplos. 1. Ya que N es un conjunto dirigido las sucesiones son redes. 2. En Z con la topolog´ıa A ∈ τ sii 2n ∈ A ⇔ 2n − 1 ∈ A, si Td converge a 6 entonces converge a 5 pues cualquier entorno de 6 contiene al 5 y viceversa. Proposici´ on 3.3.2. Sea (X , τ ) un e.t. y sea A ⊂ X , sea tambien x ∈ X ⇒ x ∈ A ⇔ ∃ una red {Td } ⊂ A / Td converge a x Demostraci´ on. (⇐) An´ alogo a sucesiones. (⇒) Si x ∈ A → sea el conjunto dirigido (Nx , ≤), con U ≥ V si U ⊂ V , y la red T : Nx −→ A tal que TU ∈ U ∩ A 6= ∅ porque x ∈ A. Dado V ∈ Nx si U ≥ V ⇒ TU ∈ U ⊂ V , entonces {TU } converge a x. Corolario 3.3.3. Sea (X , τ ) un e.t. A ⊂ X cerrado sii ∀ red {Td } ⊂ A convergente a x se tiene que x ∈ A. Corolario 3.3.4. Sean τ y σ dos topolog´ıas sobre X ⇒ τ

σ

σ ⊂ τ ⇔ T d → x ⇒ Td → x τ

Demostraci´ on. Si σ ⊂ τ y Td → x entonces si U ∈ Nxσ ⇒ U ∈ Nxτ ya que si τ A ∈ σ ⇒ A ∈ τ . Entonces ∃d0 / ∀d > d0 Td ∈ U ya que Td → x, entonces σ Td → x. τ σ τ σ Sea A ⊂ X es cerrado con σ, si x ∈ A ∃Td → x ⇒ Td → x ⇒ x ∈ A = A ⇒ τ A = A ⇒ A cerrado por τ .

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

27

Proposici´ on 3.3.5. Sea (X , τ ) un e.t. toda red en X converge a lo sumo a un punto sii X es de Hausdorff (T2 ). Demostraci´ on. (⇐) Si X es de Hausdorff y T : D −→ X converge a x y a y distintos, entonces, sea U ∈ Nx ⇒ ∃d0 / ∀d > d0 Td ∈ U . Como X es de Hausdorff ∃V ∈ Ny tal que U ∩ V = ∅, adem´as como Td converge a y ∃d1 tal que ∀d > d1 Td ∈ V , pero como D es un conjunto dirigido ∃d2 tal que d2 ≥ d1 y d2 ≥ d0 ⇒ d2 ∈ U ∩ V , absurdo. (⇒) Supongamos que X no es de Hausdorff, sea entonces D = Nx × Ny con la relaci´ on (U, V ) ≤ (U 0 , V 0 ) si U 0 ⊂ U y V 0 ⊂ V Entonces, si (U, V ) ∈ Nx × Ny T(U,V ) ∈ U ∩ V , ⇒ sea W ∈ Nx ⇒ si (U, V ) ≥ (W, X ) = d0 T(U,V ) ∈ U ⊂ W ⇒ T(U,V ) conerge a x. An´alogamente T(U,V ) converge a y, entonces T converge a dos puntos distintos, absurdo. Definici´ on 3.21. Sea {Td } una red en un e.t. (X , τ ) decimos que x ∈ X es de aglomeraci´ on de T si dados U ∈ Nx y d0 ∈ D ∃d ≥ d0 / Td ∈ U Definici´ on 3.22. Sea {Td } una red en un e.t. (X , τ ), sea (E, ≤E ) un conjunto dirigido y f : E −→ D una funci´on / ∀d0 ∈ D ∃e0 ∈ E / f (e) > d0 ∀e ≥ e0 , decimos entonces que {Tf (e) } es una subred de {Td }. Teorema 3.3.6. Sea {Tα } una red en un e.t. (X , τ ) y x ∈ X , entonces x es punto de aglomeraci´ on ⇔ ∃ una subred de T convergente a x. Demostraci´ on. Si ∃ una subred {Tf (e) } que converge a x ; f : E −→ D ⇒ dados d0 ∈ D y U ∈ Nx , sea e0 / f (e) ≥ d0 ∀e ≥ e0 , sea e1 tal que Tf (e) ∈ U ∀e ≥ e1 y sea e2 / e2 ≥ e1 y e2 ≥ e0 ⇒ Tf (e2 ) ∈ U y f (e2 ) ≥ d0 ⇒ x es de aglomeraci´on de {Td }. Si x es de aglomeraci´ on de T , sea E = Nx × D con la relaci´on (U, d) ≥ (V, d0 ) 0 si U ⊂ V y d ≥ d . Dados (U, d) ∈ Nx × D sea f (U, d) ∈ D / f (U, d) ≥ d y T (f (U, d)) ∈ U con f : Nx × D −→ D. Dado d0 ∈ D sea e0 = (X , d0 ) entonces si (U, d) ≥ (X , d0 ) se tiene que f (U, d) ≥ d ≥ d0 ⇒ {Tf (U,d) } es una subred. {Tf (U,d) } converge a x: Dado V ∈ Nx sean d0 ∈ D y e0 = (V, d0 ) ⇒ si (U, d) ≥ (V, d0 ) Tf (U,d) ∈ U ⊂ V ⇒ {Tf (U,d) } converge a x.

3.4.

Continuidad

Definici´ on 3.23. 1. Sean X e Y dos espacios topol´ogicos y f : X −→ Y una funci´on, decimos que es continua en x ∈ X si dado W ∈ Nf (x) ∃V ∈ Nx / f (V ) ⊂ W . 2. f es continua si es continua ∀x ∈ X . Observaci´ on. Si X e Y son espacios m´etricos, f : X −→ Y es continua en x ∈ X ⇔ dada Bε (f (x)) ∃Bδ (x) / f (Bδ (x)) ⊂ Bε (f (x)).

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

28

Proposici´ on 3.4.1. Sean (X , τX ) e (Y, τY ) dos espacios topol´ ogicos y f : X −→ Y una funci´ on, entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1. f es continua, 2. ∀x ∈ X y W ∈ Nf (x) se tiene que f −1 (W ) ∈ Nx , 3. A ⊂ Y abierto ⇒ f −1 (A) abierto, 4. ∀B base de la topolog´ıa en Y f −1 (A) es abierto ∀A ∈ B, 5. ∀S subbase de la topolog´ıa en Y f −1 (A) es abierto ∀A ∈ S, 6. F ⊂ Y cerrado ⇒ f −1 (F ) cerrado. Demostraci´ on. 1 →2 W ∈ Nf (x) ⇒ ∃V ∈ Nx tal que f (V ) ⊂ W ⇒ V ⊂ f −1 (W ) ⇒ f −1 (W ) ∈ Nx . 2 →3 Sea A abierto de Y y sea x ∈ f −1 (A) ⇒ A ∈ Nf (x) porque es abierto ⇒ por hipotesis f −1 (A) ∈ Nx , en resumen f −1 (A) ∈ Nx ∀x ∈ f −1 (A) ⇒ f −1 (A) abierto. 3 →4 → 5 trivial. S 5 →6 F ⊂ Y cerrado ⇒ F { abierto ⇒ F { = S1α ∩ . . . ∩ Snαα ⇒ !   [ [ −1 { −1 α α f F =f S1 ∩ . . . ∩ Snα = f −1 (S1α ) ∩ . . . ∩ f −1 (Snαα ) α

α

  pero f −1 (Siα ) es abierto por hipotesis, entonces tenemos que f −1 F { es abier { to entonces f −1 (F ) = f −1 F { es cerrado.  { 6 →1 f −1 (F ) cerrado si F cerrado, entonces si A abierto f −1 (A) = f −1 A{ es abierto porque A{ cerrado. Entonces sea x ∈ X y W ∈ Nf (x) y sea A ∈ τY tal que x ∈ A ⊂ W ⇒ f −1 (A) abierto, entonces f −1 (A) ∈ Nx , adem´as f (f −1 (A)) ⊂ A ⊂ W ⇒ f es continua. Proposici´ on 3.4.2. Sean X e Y dos espacios topol´ ogicos; f : X −→ Y y x∈X ⇒ f continua ⇔ ∀ red Td convergente a x se tiene que {f (Td )} converge a f (x) Demostraci´ on. (⇒) Sea Td convergente a x y sea W ∈ Nf (x) ⇒ f −1 (W ) ∈ Nx ⇒ ∃d0 tal que Td ∈ f −1 (W ) ∀d > d0 ⇒ f (Td ) ∈ W ∀d > d0 ⇒ f (Td ) converge a f (x).

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

29

(⇐) Supongamos que f no fuera continua ⇒ ∃W ∈ Nf (x) tal que ∀U ∈ Nx se tiene que f (U ) ∩ W 6= f (U ). Sea D = Nx y T : D −→ X una red donde TU ∈ U / f (TU )) ∈ / W ⇒ {TU } converge a x ya que dado V ∈ Nx si U ≥ V ⇒ Tu ∈ U ⊂ V . Pero f (Td ) no converge a f (x) ya que f (Td ) ∈ / W ∀U ∈ Nx . Ejemplos. 1. Si la topolog´ıa de X es la dicreta f : X −→ Y es continua. 2. Si Y tiene la topolog´ıa indiscreta f : X −→ Y es continua. Observaci´ on. Sean σ y τ dos topolog´ıas en X ⇒ σ ⊂ τ ⇔ Id : (X , τ ) −→ (X , σ) es continua Ejemplos. Sean X e Y dos espacios topol´ogicos y f : X −→ Y continua, entonces 1. A ⊂ X , f |A : A −→ Y donde f |A (a) = f (a). Si consideramos A con la topolog´ıa relativa tenemos que f |A es continua: −1 Sea U ⊂ Y abierto ⇒ f |−1 (U ) ∩ A que es abierto en A. A (U ) = f 2. fe : X −→ f (X ); f (X ) con la topolog´ıa relativa, entonces fe es continua, sea U ⊂ f (X ) abierto con la topolog´ıa relativa, entonces U = f (X ) ∩ W con W ⊂ Y abierto ⇒ fe−1 (U ) = f −1 (W ) abierto porque f es continua.

3.4.1.

Un parentesis para espacios m´ etricos

Definici´ on 3.24. Sean E y F espacios m´etricos, f : E −→ F es uniformemente continua si dado ε > 0 ∃δ > 0 tal que si d(x, y) < δ ⇒ d(f (x), f (y)) < ε Observaci´ on. Si f es uniformemente continua, entonces es continua. Ejemplo. Sean E, F dos espacios m´etricos f : E −→ F es una inmersi´on isom´etrica si d(x, y) = d(f (x), f (y)). Como concluci´on inmediata tenemos que toda inmersi´ on isometrica es uniformemente continua, tenemos adem´as la inyectividad, si f (x) = f (y) ⇒ 0 = d(f (x), f (y)) = d(x, y) ⇒ x = y. Definici´ on 3.25. Una isometria es una inmersi´on isom´etrica sobreyectiva. Definici´ on 3.26. Sea (E, d) un e.m. y sea A ⊂ E distinto de vacio, sea adem´as x∈E⇒ d(x, A) = ´ınf {d(x, a) con a ∈ A} a

Observaci´ on. A = {x / d(x, A) = 0} d(x, A) = 0 ⇔ ∃ una sucesi´on {xn } ⊂ A / d(xn , x) < 1/n ⇔ B n1 (x) ∩ A 6= ∅ ∀n ⇔ x ∈ A.

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

30

dA : E −→ R / dA (x) = d(x, A) es uniformemente continua : dado ε > 0 si d(x, y) < ε/2, sea a ∈ A ⇒ d(y, a) ≤ d(x, a) + d(x, y) d(x, a) ≤ d(y, a) + d(x, y) ⇒ d(x, a) − d(x, y) ≤ d(y, a) ≤ d(x, a) + d(x, y) dA (x) ≤ d(x, a) ⇒ dA (x) − d(x, y) ≤ d(y, a) ∀a ∈ A ⇒ dA (x) ≤ d(y, a) + d(x, y) < d(y, a) + ε/2 ∀a ∈ A ⇒ dA (x) ≤ dA (y) + ε/2, analogamante dA (y) ≤ dA (x) + ε/2 ⇒ |dA (x) − dA (y)| < ε/2. Definici´ on 3.27. Sean E, F espacios m´etricos F = {f : E −→ F acotadas} donde f es acotada si sup{d(f (x), f (y))} = di´am(f (E)) es finito. Observaci´ on. Si f, g ∈ F ⇒ d(f, g) = sup{d(f (x), g(x))} es finito. Demostraci´ on. Sea e ∈ E, ∀x ∈ E se tiene que d(f (x), g(x)) ≤ d(f (x), f (e)) + d(f (e), g(e)) + d(g(e), g(x)) ≤ ≤ diam(f (E)) + d(f (e), g(e)) + diam(g(E)) que es finito.

Observaci´ on. Una red {fd } ⊂ F converge a f sii dado ε > 0 ∃d0 ∈ D / ∀d ≥ d0 y ∀x ∈ E se tiene que d(fd (x), f (x)) < ε. Demostraci´ on. (⇐) Si fd converge a f ⇒ dado ε > 0 ∃d0 / ∀d ≥ d0 d(fd , f ) ≤ ε ⇒ sup{d(fd (x), f (x)} ≤ ε ⇒ d(fd (x), f (x)) ≤ ε ∀x ∈ E. (⇒) Si d(fd (x), f (x)) ≤ ε ∀x ∈ E ⇒ sup{d(fd (x), f (x))} < ε ⇒ d(fd , f ) < ε ⇒ fd converge a f . Observaci´ on. Sea Cb (E, F ) = {f ∈ F/f es continua} ⊂ F ⇒ Cb (E, F ) es cerrado en F. Demostraci´ on. Sea f ∈ Cb (E, F ) ⇒ ∃{fn } ⊂ Cb (E, F ) / fn converge a f . Dados x ∈ E y ε > 0 sea n0 / d(fn , f ) < ε/3 ∀n ≥ n0 y sea δ > 0 / d(fn0 (x), fn0 (y)) < ε/3, sabemos que existe porque las fn son continuas. Entonces si d(x, y) < δ d(f (x), f (y)) ≤ d(f (x), fn0 (x)) + d(fn0 (x), fn0 (y))+ +d(fn0 (y), f (y)) < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε Entonces f es continua ⇒ Cb (E, F ) = Cb (E, F ) ⇒ Cb (E, F ) es cerrado.

´ CAP´ITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

3.4.2.

31

Volviendo a los espacios topol´ ogicos

Definici´ on 3.28. Sean X e Y espacios topol´ogicos, f : X −→ Y es un homeomorfismo si es continua, invertible y con inversa continua. X e Y son homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos. Observaci´ on. La composici´ on de funciones continuas es continua. Demostraci´ on. Sean f : X −→ Y y g : Y −→ Z continua en x y f (x) respectivamente, entonces, sea W ∈ Ng◦f (x) ⇒ g −1 (W ) ∈ Nf (x) ⇒ f −1 ◦ g −1 (W ) ∈ Nx ⇒ f ◦ g continua. Observaci´ on. La composici´ on de homeomorfismos es un homeomorfismo. Definici´ on 3.29. X e Y dos espacios topol´ogicos, decimos que f : X −→ Y es abierta si la imagen de cualquier abierto es abierta, y decimos que es cerrada si la imagen de cualquier cerrado es cerrada. Proposici´ on 3.4.3. Sean X e Y espacios topol´ ogicos, f : X −→ Y invertible, entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1. f es un homeomrfismo, 2. f es continua y abierta, 3. f es continua y cerrada. Demostraci´ on. 1 →2 A ⊂ X abierto ⇒ como f −1 es continua f (A) = f −1 es abierto.


−1

(A)

 { 2 → 3 Sea F ⊂ X cerrado ⇒ f (F ) = f F { cerrado. 3 → 1 tinua.

F ⊂ X cerrado ⇒ f (F ) = f −1


−1

(F ) cerrado, entonces f −1 con-

Cap´ıtulo 4

El conjunto de Cantor (C ) Consideremos el conjunto cuya construcci´on es la siguiente, partimos el intervalo [0, 1] en 3 tercios, eliminamos el segundo tercio y nos quedamos con el primer y tercer tercio, luego repetimos el proceso para estos tercios y as´ı sucesivamente, el l´ımite de esta construcci´on es el conjunto de Cantor. Para entender mas un poco esto vamos primeroi a introducir un poco de notaci´on. Si h S S 2(b−a) I = [a, b] ⇒ I ∗ = [a, b−a ] ∪ a + , b , si I = Ik ⇒ I ∗ = Ik∗ . 3 3 Introducida la notaci´ on comenzemos, sea A0 = [0, 1]; A1 = A∗0 , en general, ∗ An = An−1 ⇒ el conjunto de Cantor es C =

∞ \

An

n=0

An es la uni´ on de 2n intervalos disjuntos n

An =

2 [

[ank , bnk ] y bnk − ank =

k=1

o sea la ”medida”de An =

1 3n


2 n . 3

C es cerrado. Demostraci´ on. An es cerrado ∀n porque es uni´on finita de conjuntos cerrados, entonces como C es intersecci´on de cerrados es cerrados. ◦

C no contiene ning´ un intervalo abierto (⇒ C = ∅). Demostraci´ on. Si (c, d) ⊂ C (c, d) ⊂ An ∀n ⇒ (c, d) ⊂ [ank , bnk ] para algun k ⇒ d − c < 31n ∀n ⇒ d = c. Pn xi {ank } = i 3i : xi ∈ {0, 2} .

32

CAP´ITULO 4. EL CONJUNTO DE CANTOR (C )

33

 Demostraci´ on. Por inducci´on en n, si n = 1 a1k = {0, 2/3}, si ) ( n  n X xi aj para alg´ un j n+1 n : x ∈ {0, 2} ⇒ a {ak } = i 2 k i anj + 3n+1 para alg´ un j 3 i En el que si an+1 = anj xn+1 = 0 y si an+1 = anj + 2/3n+1 xn+1 = 2, entonces k k {ank }

( n X xi

=

i

3i

) : xi ∈ {0, 2}

  P yi P xi m n Si m > n y am ∩ [ank , bnk ] 6= ∅ donde am j , bj j = 3i y ak = 3i ⇒ xi = yi . n Demostraci´ on. En ese caso am ı se tendr´ıa j ≥ ak pues en caso de que no fuera as´ 1 1 1 m n m m m n que aj ≤ ak − 3n y bj = aj + 3n < am absurdo. Entonces 0 ≤ a j − ak ≤ 3n . k +

Sea l tal que xl 6= yl y xi = yi ∀i < l (l < n) ⇒ yl − xl =− 2 ∞ ∞ X 1 X 1 1 1 1 1 1 = = k+1 = 3i 3k+1 0 3i 3 2/3 2 3k

k+1

Si yl − xl = 2 ≥−2 n am j −ak =

n X 1

}| { z n m n X X 2 yi yi − xi X yi yi − xi 2 1 ≥ + = + + −2 > i l i i l i 3i 3 3 3 3 3 3 n+1 n+1 l+1 l+1 | {z } m X

≥0

∞

X 1 2 11 1 1 2 = l −2 l = l ≥ n > l −2 3 3i 3 23 3 3 l+1

n contradiciendo el hecho que am j − ak ≤

1 3n .

Si yl − xl = −2 n

n am j − ak =

m

l+1

∞

<

−2 X 2 −2 11 1 + = l +2 l = l 3l 3i 3 23 3 l+1

absurdo. P∞ C = 1

xi 3i

m

−2 X yi − xi X yi −2 X 2 + + ≤ l + < l i i 3 3 3 3 3i n+1

xi ∈ {0, 2} .

l+1

CAP´ITULO 4. EL CONJUNTO DE CANTOR (C )

Demostraci´ on. (m X xi 1

3i

P∞

Pm

xi 1 3i

xi ∈ {0, 2}, n ∈ N ⊂ An ∀m ≥ n ⇒ (m X xi

) ⊂C ⇒

xi ∈ {0, 2}, n ∈ N

3i

1

)

1

⊂C ⊂C

xi ∈ {0, 2}, n ∈ N

xi ∈ {0, 2} ⊂ C . h i Si t ∈ C ⇒ t ∈ ankn (t) , bnkn (t) y ank(t) − t < i i h h n n m am km (t) , bkm (t) ∩ akn (t) , bkn (t) ⇒ ⇒

34

xi 3i

am km (t) =

m X xi 1

3i

y ankn (t) =

n X xi

3i

1

1 3n

→ 0 ⇒ si m > n t ∈

⇒ t = l´ım ankn (y) = n

∞ X xi 1

3i

Definici´ on 4.1. Un subconjunto de un espacio topol´ogico se dice perfecto sii es igual al conjunto de sus puntos de acumulaci´on. C es un conjunto perfecto. Demostraci´ on. Sabemos, como C es cerrado, que contiene a sus puntos de acumulaci´ on, restar´ıa probar que todo punto de C es de acumulaci´on. Para esto tomemos un t ∈ C ⇒ ∞ X xi t= 3i 1 Entonces si no existe n0 tal que xi = 0 ∀i ≥ n0 las sumas parciales son siempre distintas de t y adem´ as siempre podemos encontrar una a distancia menor que un ε arbitrario. Si ∃n0 tal que xi = 0 ∀i ≥ n0 ⇒ t=

n0 X xi 1

dado ε > 0 sea n > n0 tal que

2 3n

3i

0 sea n0 tal que 1/2n0 < ε ⇒ si

∞ ∞ X xi X yi , ∈C 3i 1 3i 1

CAP´ITULO 4. EL CONJUNTO DE CANTOR (C )

35

y distan menos de 1/3n0 ⇒ xi = yi ∀i ≤ n0 . En ese caso ! !! ∞ ∞ ∞ ∞ 1 X x − y 1 X X X xi − yi xi yi i i d f ,f = ≤ 2i ≤ i i i 2 2 3 3 2 1 1 n +1 n +1 0

≤

∞ ∞ 1 X 1 1 X 1 1 = = n0 < ε 2 i n +1 i 0 2 n +1 2 2 2 2 0 0

⇒ si t, s ∈ C y d(t, s) <

1 3n0

⇒ d(f (t), f (s)) < ε.

Corolario 4.0.4. C no es numerable.

0

Cap´ıtulo 5

Topolog´ıa producto 5.1.

Topolog´ıa en un producto cartesiano

Definici´ on 5.1. Sea X un conjunto y sea Yα una familia de espacios topol´ogicos, fα : X −→ Yα α ∈ I, la topolog´ıa inicial en X es la topolog´ıa generada por {fα−1 (A) donde A es abierto de Yα , α ∈ I} Definici´ on 5.2. Sea {Xα } una familia de espacios topol´ogicos, ( ) Y [ Xα = f : I −→ Xα tal que f (α) ∈ Xα α

α

Q Para cada α ∈ I la proyecci´on pα : α Xα −→ Xα es la funci´on definida como pα (f ) = f (α). La topolog´ıa producto definida en el producto cartesiano es la topolog´ıa inicial segun {pα : α ∈ I}, tenemos entonces que una subbase de la topolog´ıa producto es  −1 pα (A) : A ⊂ Xα abierto entonces una base de la topolog´ıa producto es ( ) \ −1 pα (A) con F ⊂ I finito y A ⊂ Xα abierto α∈F

El espacio producto es el producto cartesiano con la topolog´ıa producto. Proposici´ on 5.1.1. La proyecci´ ones son continuas y abiertas. Demostraci´ on. Como la topolog´ıa producto es la inicial seg´ un las proyecciones deducimos que son continuas. Como las proyecciones son continuas y todo abierto es uni´ on de elementos de la base basta probar solamente que pα (A) es abierto donde A es abierto de la base. Si A es un abierto de la base tenemos que A=

n \

p−1 αi (Aαi )

i=1

36

CAP´ITULO 5. TOPOLOG´IA PRODUCTO

37

donde Aαi ⊂ Xαi abierto, entonces solo basta aplicarle pα ∀α ∈ I, si α ∈ {α1 , . . . , αn } ⇒ pα (A) = Aα abierto y si α ∈ / {α1 , . . . , αn } pα (A) = Xα abierto ⇒ las proyecciones son abiertas. Q Q Proposici´ on 5.1.2. Una red {ad } ⊂ Xα converge a a ∈ Xα sii pα (ad ) converge a pα (a) ∀α ∈ I. Demostraci´ on. Si {ad } converge a a tenemos que, como las proyecciones son continuas, pα (ad ) converge a pα (a). Si tenemos que pα (ad ) converge a pα (a) ∀α ∈ I, tenemos que probar que dado W ∈ Na ∃d0 ∈ D tal queS∀d ≥ d0 ad ∈ W . Como W ∈ Na existe A ∈ τ tal que a ∈ A ⊂ W ⇒ A = Uγ donde Uγ son abiertos de la base. Sea Uγ0 tal que a ∈ Uγ0 ⇒ a ∈ Uγ0 ⊂ A ⊂ W , entonces basta probar que dado un abierto U de la base que contanga a a ∃d0 / ∀d ≥ d0 se tiene que ad ∈ U . Como U es un abierto de la base tenemos que U=

n \

pαi (Aαi ) donde Aαi abierto de Xαi

i

a ∈ U ⇒ pαi (a) ∈ Aαi ∀i = . . . n. Sea di ∈ D tal que ∀d ≥ di pαi (ad ) ∈ Aαi y sea d0 ≥ di ∀i = 1 . . . n ⇒ si d ≥ d0 pαi (ad ) ∈ Aαi ∀i = 1 . . . n ⇒ ad ∈ U ∀d ≥ d0 . Ejemplo. Definici´ on 5.3. Sea X un conjunto e Y un espacio topol´ogico Y YX = Y = {f : X −→ Y} x∈X

Entonces, una red {fd } converge a f sii {fd (x)} converge a f (x) ∀x, o sea, la convergencia en la topolog´ıa producto es la convergencia puntual. El espacio producto tambien nos da otra forma de ver las sucesiones, estas son elementos del espacio X N . Q Proposici´ on 5.1.3. Sean Xα e Y espacios topol´ ogicos y sea f : Y −→ Xα , entonces f es continua sii pα ◦ f : Y −→ Xα es continua ∀α. Demostraci´ on. Si f es continua tenemos que pα ◦ f es contina ∀α ya que pα es continua ∀α. Si pα ◦ f es continua, sea ad una red convergente a a ∈ Y ⇒ pα ◦ f (ad ) converge a pα ◦ f (a) ∀α, pero como pα es continua ∀α f (ad ) converge a f (a) ⇒ f es continua. Q Proposici´ on 5.1.4. Xα es de Hausdorff ⇔ Xα es de Hausdorff ∀α ∈ I. Demostraci´ on. Q (⇐) Xα es de Hausdorff ∀α ∈ I. Sean a, b ∈ Xα distintos ⇒ ∃β ∈ I tal que a(β) 6= b(β) ⇒ ∃U, V ⊂ Xβ abiertos disjuntos tales que a(β) ∈ U y −1 −1 −1 −1 b(β) ∈ V ⇒ Q pβ (U ) y pβ (V ) son abiertos disjuntos y a ∈ pβ (U ) y b ∈ pβ (V ). Entonces Xα es de Hausdorff.

CAP´ITULO 5. TOPOLOG´IA PRODUCTO

38

Q Q (⇒) Si Xα es de Hausdorff. Sean x 6= y ∈ Xα0 y a, b ∈ Xα tales que a(α) = b(α) ∀α 6= α0 y a(α0 ) = x y b(α0 ) = y ⇒ existen UA1 ,...,An =

n [

p−1 αi (Aαi ) y VB1 ,...,Bm

m [

i

p−1 αi (Bβi )

i

abiertos disjuntos tales que a ∈ UA1 ,...,An y b ∈ VB1 ,...,Bm . Entonces a ∈ UA1 ,...,An ⇒ a(αi ) ∈ Aαi ∀i = 1 . . . n, pero b ∈ / UA1 ,...,An ⇒ ∃αj tal que b(αj ) ∈ / Aαj pero b(α) = a(α) ∀α 6= α0 ⇒ αj es α0 ⇒ y = b(α0 ) ∈ / Aα0 = pα0 (UA1 ,...,An ), analogamente x = a(α0 ) ∈ / Bα0 = pα0 (VB1 ,...,Bm ), como adem´as son disjuntos tenemos que Xα0 es de Hausdorff.

5.2.

Producto de espacios m´ etricos

Proposici´ on 5.2.1. Sean E1 , . . . , En espacios m´etricos y d∞ :

n Y

Ei ×

n Y

1

Ei −→ R

1

tal que d∞ ((x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )) = m´ax{di (xi , yi )} ⇒ la topolog´ıa inducida por d∞ es la topolog´ıa producto. Demostraci´ on. Sea Td una red convergente a x con d∞ ⇒ ∀ε > 0 ∃d0 / m´ ax{di (pi (Td ), xi )} < ε ⇔ di (pi (Td ), xi ) < ε ∀i = 1 . . . n ⇔ pi (Td ) converge a xi ∀i = 1 . . . n ⇔ (por una proposici´on anterior) Td convegre a x con la topolog´ıa producto. Proposici´ on 5.2.2. Sea {En }n∈N una familia numerable de espacios m´etricos Q ⇒ En es metrizable. Demostraci´ on. Un espacio m´etrico es acotado si existe un n´ umero k positivo tal que la distancia de cualquiera de sus puntos siempre es menor o igual que k. Tenemos definida una m´etrica en un producto finito de espacios m´etricos, esta es la llamada distancia de la suma y es d(x, y) =

n X

d(xi , yi )

1

tendria sentido generalizar esta m´etrica a un producto numerable de espacios m´etricos de la siguiente manera d(x, y) =

∞ X

d(xi , yi )

1

el problema resultante es que esta serie no tiene porque converger, por eso necesitamos estar trabajando en espacios m´etricos acotados. Ya sabemos que dada

CAP´ITULO 5. TOPOLOG´IA PRODUCTO

39

una m´etrica d, d0 (x, y) = m´ın{1, d(x, y)} tambien es una m´etrica y adem´as es equivalente a d, la ventaja es que el espacio nos queda acotado. Sea di la m´etrica en Ei entonces definimos di (x, y) = m´ın{1, di (x, y)}. Estamos en condiciones de definir una m´etrica en el producto: d:

∞ Y 1

Ei ×

∞ Y

Ei −→ R dada por d(x, y) =

∞ X di (x(i), y(i))

1

1

est´ a bien definida pues d(x, y) ≤

P

1 2i

2i

= 1 < ∞.

d induce la topolog´ıa producto: Si una red Te converge a x con la topolog´ıa producto entonces Te (i) converge a x(i) con la topolog´ıa de Ei , o sea Te (i) converge a x(i) con di . Dado ε > 0 ∃k ∈ N tal que ∞ X ε 1 < 2i 2 k+1

Como Te (i) converge a x(i) con di sea ei / ∀e ≥ ei di (Te (i), x(i)) < ε/2. Tomemos e0 ≥ ei ∀i = 1, . . . , k ⇒ si e ≥ e0 di (Te (i), x(i)) < ε/2 ∀i = 1, . . . , k. Entonces si e ≥ e0 tenemos que d(Te , x) =

∞ X di (Te (i), x(i)) 1

2i

≤

=

k X di (Te (i), x(i))

2i

1 k X ε/2 1

2i

+

+

∞ X di (T − e(i), x(i)) ≤ 2i

k+1

∞ X 1 ε ε < + =ε i 2 2 2

k+1

⇒ Te converge a x con d. Supongamos ahora que Te converge a x con d ⇒ dados ε > 0 y n ∈ N ∃e0 / d(Te , x) < ε/2n entonces 21n dn (Te (n), x(n)) ≤ d(Te , x) < ε/2n ⇒ dn (Te (n), x(n)) < ε ∀n ∈ N ⇒ Te (i) converge a xi con di entonces Te converge a x con la topolog´ıa producto. Q Concluci´ on: Sea {Te } una red en Ei ⇒ Te converge a x con d ⇔ Te converge a x con la topolog´ıa producto.

Cap´ıtulo 6

Espacios conexos 6.1.

Introducci´ on

Un espacio topol´ ogico X es conexo si no es uni´on de dos abiertos disjuntos, es decir, @A, B abiertos / A ∩ B = ∅ y A ∪ B = X . Un subconjunto Y de X es conexo si lo es con la topolog´ıa relativa. Ejemplos. 1. X con la topolog´ıa discreta, si tiene mas de un punto no es conexo. 2. X infinito con la topolog´ıa de los complementos finitos, como no hay abiertos disjuntos concluimos que X es conexo. √  √  3. Q con la topolog´ıa relativa no es conexo, x ∈ Q / x < 2 ∪ x ∈ Q / x > 2 = Q y son dos abiertos disjuntos. Proposici´ on 6.1.1. Sea (X , τ ) un e.t. ⇒ las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. X es conexo, 2. No existen cerrados disjuntos no vacios cuya uni´ on sea todo el espacio, 3. Si A ⊂ X es abierto y cerrado entonces A = X o A = ∅, 4. No existe f : X −→ {0, 1} continua y sobreyectiva, {0, 1} con la topolog´ıa relativa. Demostraci´ on. 1 →2 Si existieran cerrados A y B disjuntos tales que A ∪ B = X entonces A{ y B { son abiertos disjuntos que verifican A{ ∪ B { = X ⇒ X no es conexo. 2 →3 Si A es abierto y cerrado entonces A y A{ son dos cerrados disjuntos cuya union es X , entonces A = X o A = ∅.

40

CAP´ITULO 6. ESPACIOS CONEXOS

41

3 →4 Si existiera f : X  −→{0, 1} continua y sobreyectiva entonces f −1 (1) es abierto y f −1 (1){ = f −1 1{ = f −1 (0) es abierto ⇒ f −1 (1) = X o f −1 (1) = ∅, entonces f no es sobreyectiva. 4 →1 Supongamos que X no es conexo, entonces existen A y B abiertos disjuntos tales que A ∪ B = X ⇒ defino f : X −→ {0, 1} tal que f (A) = 0 y f (B) = 1 ⇒ f es continua y sobreyectiva, absurdo. Ejemplo. Todo conjunto conexo en R es un intervalo. Demostraci´ on. Si A ⊂ R fuera conexo y no fuera un intervalo, es decir que dados a, b ∈ A ∃c ∈ (a, b) tal que c ∈ / A ⇒ (−∞, c) ∩ A y (c, +∞) ∩ A son abiertos disjuntos cuya uni´ on de A. Proposici´ on 6.1.2. [0, 1] es conexo. Demostraci´ on. Supongamos que no lo fuera, entonces existen A y B abiertos disjuntos tales que [0, 1] = A ∪ B ⇒ podemos suponer que 0 ∈ A, sea S = {a ∈ A : a ≤ b∀b ∈ B}, entonces S 6= ∅ pues 0 ∈ S y es acotado por 1, entonces tiene extremo superior α ∈ S ⊂ A = A ⇒ [0, α] ∩ B = ∅. Si ∀ε > 0 se tiene que (α, α + ε) ∩ B 6= ∅ entonces α ∈ B = B ⇒ α ∈ A ∩ B = ∅, absurdo, entonces ∃ε > 0 tal que (α, α + ε) ∩ B = ∅ ⇒ α no es extremo superior, absurdo. Teorema 6.1.3 (de Bolzano). Sea (X , τ ) un e.t. conexo, entonces la imagen de X por una funci´ on continua es un conjunto conexo. Demostraci´ on. f : X −→ Y continua, si f (X ) no fuera conexo existiria una funci´ on g : f (X ) −→ {0, 1} continua y sobreyectiva, entonces g ◦f : X −→ {0, 1} es continua y sobreyectiva, entonces X no es conexo, absurdo. Proposici´ on 6.1.4. Sea (X , τ ) un e.t. y sea C ⊂ X conexo, entonces si C ⊂ D ⊂ C ⇒ D es conexo. Demostraci´ on. Sean A, B abiertos tales que A ∩ D y B ∩ D son disjuntos y A∩D∪B∩D =D ⇒ C =C ∩D =A∩D∩C ∪B∩D∩C =A∩C ∪B∩C A ∩ C y B ∩ C son abiertos disjuntos, entonces alguno de ellos debe ser vacio, por ejemplo A ∩ C. Si a ∈ A entonces A ∈ Na , pero como A ∩ C = ∅ a ∈ /C⇒ a∈ / D ⇒ A ∩ D = ∅, por lo tanto D es conexo. Corolario 6.1.5. C conexo ⇒ C conexo. Proposici´ on 6.1.6. Sea X un e.t., {Yα }α∈I tal que Yα ⊂ X ∀α ∈ I y Yα ∩Yβ 6= S ∅ ∀α, β ∈ I ⇒ Yα es conexo.

CAP´ITULO 6. ESPACIOS CONEXOS

42

S Demostraci´ on. Sea g : Yα −→ {0, 1} continua, entonces g|Yα es continua pero no es sobreyectiva porque S Yα conexo, entonces es constante, podemos suponer g(Yα ) = 0 ⇒ sea a ∈ Yα ⇒ a ∈ Yα0 ⇒ g|Yα0 es continua pero no puede ser sobreyectiva porque Yα0 es conexo, entonces g|Yα0 es constante y como S Yα0 ∩ Yα 6= ∅ tenemos que g(a) = g|Yα0 (a) = 0 ⇒ g constante, entonces Yα es conexo. Proposici´ on 6.1.7. Un espacio topol´ ogico X es conexo sii dados x e y distintos existe C conexo tal que {x, y} ⊂ C. Demostraci´ on. Si X es conexo, dados dos puntos cualesquiera x, y ∈ X tenemos que {x, y} ⊂ X conexo. Reciprocamente, sea y ∈ X entonces para cada x ∈ X ∃Cx ⊂ X conexo tal que {x, y} ⊂ Cx ⇒ [ X = Cx x∈X

y Cx ∩ Cx0 3 y ⇒ por la proposici´on anterior X es conexo. Ejemplos. 1. I ⊂ R es conexo ⇔ I es un intervalo. Demostraci´ on. Ya vimos que todo conjunto conexo de R era un intervalo, falta ver que un intervalo es un conjunto conexo, para esto, dados x, y ∈ Y tenemos que [x, y] es un conexo (porque es homeomorfo a [0, 1]) contenido en I, entonces por la proposici´on anterior I es conexo. 2. Definici´ on 6.1. Sea (X , k k) un espacio normado, un conjunto A es convexo si ∀x, y ∈ A se tiene que tx + (1 − t)y ∈ A ∀t ∈ [0, 1] Observaci´ on. Todo conjunto convexo en un espacio normado es conexo. Demostraci´ on. Si x, y ∈ A sea C = {tx + (1 − t)y, t ∈ [0, 1]} ⇒ sea h : [0, 1] −→ C tal que h(t) = tx + (1 − t)y entonces h es continua y sobreyectiva, entonces C es conexo, entonces, por la proposici´on anterior A es conexo. Proposici´ on 6.1.8. Sea {Xα } una familia de espacios topol´ ogicos ⇒ Y Xα es conexo ⇔ Xα conexo ∀α α

Demostraci´ on.

CAP´ITULO 6. ESPACIOS CONEXOS

(⇒) Si tinua.

Q

43

Q Xα es conexo, entonces Xβ = pβ ( Xα ) es conexo porque pβ es con-

Q (⇐) Sea Xα −→ {0, 1} continua, probaremos que es constante. Para Qf : un a ∈ Xα definimos ( ) Y Aα1 (a) = x ∈ Xα / x(α) = a(α) ∀α 6= α1 α

Entonces pα1 |Aα1 (a) es un homeomorfismo: Es continua, inyectiva y sobreyectiva, faltar´ıa ver que su inversa es continua, Q sea ϕ : Xα1 −→ Xα definida por ϕ(z)(α) = a(α) si α 6= α1 y ϕ(z)(α1 ) = z, claramente ϕ es la inversa de pα1 |Aα1 (a) . Entonces sea zd convergente a z en Xα1 entonces ϕ(zd )(α) = a(α) = ϕ(z)(α), y ϕ(zd )(α1 ) = zd convergente a z = ϕ(z)(α1 ), entonces ϕ es continua. Como Xα1 es conexo y pα1 |Aα1 (a) es un homeomorfismo, tenemos que Aα1 (a) es conexo, entonces f |Aα1 (a) es continua pero no es sobre, entonces es constante. O sea, si x ∈ Aα1 (a) f (x) = f (a). Definimos ( ) Y Aα1 ,α2 (a) = x ∈ Xα / x(α) = a(α) ∀α 6= {α1 , α2 } α

Q Tomemos x ∈ Aα1 ,α2 (a) y sea y ∈ Xα tal que y(α) = a(α) si α = 6 α1 y x(α1 ) = y(α1 ) ⇒ y ∈ Aα1 (a) ⇒ f (y) = f (a), pero x ∈ Aα2 (y) ⇒ f (x) = f (y) = f (a) ⇒ ∀x ∈ Aα1 ,α2 (a) f (x) = f (a). Sea ( ) Y Aα1 ,...,αn (a) = x ∈ Xα /x(α) = a(α) ∀α 6= {α1 , . . . , αn } α

entonces f es constante en Aα1 ,...,αn (a): Probaremos por inducci´ on, para n = 1, 2 ya est´a probado. Si vale para n − 1, sea x ∈ Aα1 ,...,αn−1 (a) ⇒ f (x) = f (a) y sea y ∈ Aα1 ,...,αn (a) entonces y ∈ Aαn (x) ⇒ f (y) = f (x) = f (a). Sea A=

[

n o Y AF (a) con AF (a) = x ∈ Xα / x(α) = a(α) ∀α ∈ / F finito

F ⊂I

A es denso: Tn −1 Veremos que corta a cualquier abierto Q de la base, sea U = 1 pαi (Ui ) con Ui ∈ Xαi abierto, consideremos x ∈ Xα / x(α) = a(α) ∀α 6= {α1 , . . . , αn } y x(αi ) ∈ Ui ⇒ x ∈ U y x ∈ A ⇒ x ∈ U ∩ A. Como A es denso dado x ∈

Q

Xα ∃{xd } ⊂ A / xd converge a x, pero como

CAP´ITULO 6. ESPACIOS CONEXOS

44

{xd } ⊂ A f (xd ) = f (a) como {0, 1} es de Hausdorff y f es continua f (xd ) convergeQ a f (x) ⇒ f (a) converge a f (x) ⇒ f (a) = f (x) ⇒ f es constante y por lo tanto Xα es conexo. Dados dos puntos x, y en un e.t decimos que est´an conectados si existe un conexo que los contiene, ya probamos que un espacio es conexo sii todos sus puntos est´ an conectados, veremos ahora que la relaci´on de estar conectados es una relaci´ on de equivalencia justificando la notaci´on ∼. {x} es conexo, por tanto x ∼ x, si x ∼ y es claro que y ∼ x. Si x ∼ y e y ∼ z entonces como ambos conexos que contienen a y su uni´ on es un conjunto conexo que contiene a x, y, z ⇒ x ∼ z. Una componente conexa de un punto x en un espacio topol´ogico X es la clase de equivalencia de x, o sea, son todos los puntos que est´an conectados con x. La denotamos Cx . Proposici´ on 6.1.9. Cx es el mayor conexo que contiene a x. Demostraci´ on. Si D es un conexo tal que x ∈ D ⇒ ∀y ∈ Dx ∼ y ⇒ y ∈ Cx , resta probar que Cx es conexo. Dados dos puntos cualquiera y, z ∈ Cx ⇒ y ∼ x ∼ z ⇒ y ∼ z ⇒ ∃C conexo tal que {y, z} ⊂ C ⊂ Cx ⇒ por una proposici´on anterior Cx es conexo. Corolario 6.1.10. Cx es cerrado. Demostraci´ on. Como Cx es conexo tenemos que Cx ⊂ Cx ⇒ Cx es cerrado. Ejemplos. 1. Q Cx = {x}, 2. C Cx = {x}.

6.2.

Espacios localmente conexos

Definici´ on 6.2. Sea (X , τ ) un e.t. decimos que es localmente conexo si ∀x ∈ X se tiene una base de entornos conexos. Ejemplos. 1. R es localmente conexo, {(x − ε, x + ε) : ε > 0} es una base de entornos conexos. adem´ as R es conexo. 2. (0, 1) ∪ (2, 3] es localmente conexo pero no es conexo. 3. R × Q es localmente conexo pero no es conexo. 4. R × Q ∪ {(x, x) : x ∈ R} ⊂ R2 no es localmente conexo pero si es conexo. Proposici´ on 6.2.1. Sea (X , τ ) un e.t. . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. X es localmente conexo.

CAP´ITULO 6. ESPACIOS CONEXOS

45

2. Si A ∈ τ las componentes conexas de A son abiertas. 3. Existe una base de τ de miembros conexos. Demostraci´ on. 1 →2 Si A ⊂ X abierto, sea x ∈ A y sea CxA la componente conexa de x en A, como X es localmente conexo existe B una base local de entornos conexos, entonces existe V ∈ B conexo tal que x ∈ V ⊂ A ⇒ como V es conexo x ∈ V ⊂ CxA ⇒ CxA es un entorno de todos sus puntos, entonces es abierto. 2 →3 Sea S B = {A ∈ τ /A es conexo} entonces dado un abierto A tenemos que A = CxA y CxA ∈ B entonces B es una base de miembros conexos. 3 →1 Bx = {V ∈ B / x ∈ V } es una base local de entornos conexos. Ejemplo. Si A ⊂ R abierto ⇒ A es uni´on de intervalos abiertos disjuntos. Demostraci´ on. R es localemente conexo, entonces si A ⊂ R es abierto sus componentes conexas son abiertas, como ya vimos que los u ´nicos cojuntos conexos de R son intervalos tenemos que A es uni´on disjunta de intervalos, pero como sus componentes conexas son abiertas tenemos que A es uni´on disjunta de intervalos abiertos. Proposici´ on 6.2.2. Sea X localmente conexo y sea f : X −→ Y continua y abierta o cerrada ⇒ f (X ) es localmente conexo. Demostraci´ on. f abierta: Dado x ∈ X y dado W ∈ Nf (x) existe un entorno V conexo de x tal que f (V ) ⊂ W ∩ f (X ), adem´as f (V ) es conexo ⇒ {f (V ) : V ∈ Nx conexo} es una base de entornos conexos de f (x). f cerrada: Podemos suponer que f es sobre. Sea A ⊂ Y abierto, vamos a probar que sus componentes conexas son abiertas. Sea D una componente conexa de S A, f −1 (A) = Cα con Cα componentes conexas de f −1 (A). [  [
Cα ∩ f −1 (D) = f −1 (D) = Cα ∩ f −1 (D) si ∃α / Cα ∩ f −1 (D) 6= ∅ ⇒ f (Cα ) ∩ D 6= ∅ como adem´as f (Cα ) conexo tenemos que f (Cα ) ⊂ D pues D es una componente conexa, entonces [ f −1 (D) = Cα que es abierto α / Cα ∩f −1 (D)6=∅

     = D{ cerrado, Entonces como f −1 (D){ = f −1 D{ cerrado ⇒ f f −1 D{ entonces D es abierto.

CAP´ITULO 6. ESPACIOS CONEXOS

6.3.

46

Espacios conexos por caminos

Definici´ on 6.3. Sea (X , τ ) un e.t. y sean x, y ∈ X . Un camino de x a y es una funci´ on f : [0, 1] −→ X continua tal que f (0) = x y f (1) = y, decimos que x e y est´ an conectados por caminos (∼c ) si existe un camino entre ellos. Si x e y est´ an conectados por caminos tambi´en est´an conectados ya que, al ser f continua y [0, 1] conexo, tenemos que {x, y} ⊂ f ([0, 1]) que es conexo. Al igual que estar conectados era una relaci´on de equivalencia, estar conectados por caminos tambi´en es una relaci´on de equivalencia: i x ∼c x basta tomar f (t) = x, ii si x ∼c y ∃f : [0, 1] −→ X continua tal que f (0) = x y f (1) = y, tomando g(t) = f (1 − t) tenemos que y ∼c x, iii si x ∼c y ∃f : [0, 1] −→ X continua tal que f (0) = x y f (1) = y, si y ∼c z ∃g : [0, 1] −→ X continua tal que g(0) = y y g(1) = z ⇒ tenemos que h : [0, 1] −→ X dada por  f (2t) si t ∈ [0, 1/2] h(t) = g(2t − 1) si t ∈ [1/2, 1] es continua ya que h(1/2) = f (1) = g(0) = y, adem´as h(0) = x y h(1) = z ⇒ x ∼c z. La componente conexa por caminos de x es su clase de equivalencia y se denota CCx . Decimos que un espacio es conexo por caminos si todos sus puntos est´an conectados por caminos. O sea, ∀x, y ∈ X x ∼c y. Observaci´ on. X conexo por caminos ⇒ X conexo ya que dos puntos cualesquiera est´ an conectados por caminos y por tanto conectados. Si X es conexo por caminos y f : X −→ Y continua entonces f (X ) es conexo por caminos. Demostraci´ on. Dados f (x) y f (y) en f (X ) sea g un camino entre x e y ⇒ f ◦ g es un camino entre f (x) y f (y) ya que f ◦ g(0) = f (x) y f ◦ g(1) = f (y). Ejemplos. X = {(x, sen(1/x)) : x ∈ (0, 1)} = {0} × [−1, 1] ∪ {(x, sen(1/x)) : x ∈ (0, 1)} es conexo porque x 7→ (x, sen(1/x)) es continua y la adherencia de un conexo es conexa, pero no es conexo por caminos ya que si x ∈ {0} × [−1, 1] e y ∈ {(x, sen(1/x)) : x ∈ (0, 1)} no hay ning´ un camino entre ellos. Sean f, g ∈ C(X , Y) = {f : X → Y : f continua} donde X , Y son espacios topol´ ogicos. Decimos que f y g son homot´opicas si existe una funci´ on continua H : X × [0, 1] → Y tal que H(x, 0) = f (x) ∀x ∈ X y H(x, 1) = g(x) ∀x ∈ X , dotando a X × [0, 1] con la topolog´ıa producto. H

CAP´ITULO 6. ESPACIOS CONEXOS

47

es la homotop´ıa entre f y g. B´asicamente dos funciones son homot´opicas si podemos deformar continuamente una en la otra, sin salir del espacio Y. Por ejemplo, si Y es un espacio vectorial normado entonces la funci´on H(x, t) = tg(x) + (1 − t)f (x) es una homotop´ıa entre f y g. Concluimos que en este caso, cualquier dos funciones continuas son homot´opicas. Supongamos que X = [0, 2π] e Y = R2 − {0}, consideremos la funci´on f : X → Y dada por f (t) = eit o sea, el c´ırculo, entonces f no es homot´opica una funci´ on constante ya que no podemos deformarla continuamente sin pasar por el 0. Si Y es un espacio m´etrico entonces dos funciones son homot´opicas sii est´ an en la misma componente conexa por caminos de (C(X , Y), d∞ ). Definici´ on 6.4. X es localmente conexo por caminos (l.c.c) si todo punto tiene una base de entornos conexos por caminos. Proposici´ on 6.3.1. Sea (X , τ ) un e.t. entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1. X es localmente conexo por caminos, 2. Si A ∈ τ ⇒ las componentes conexas por caminos de A son abiertas, 3. existe una base de τ cuyos miembros son conexos por caminos. Demostraci´ on. (1 →2) Dado A ∈ τ sea a ∈ A ⇒ ∃Va ∈ Na conexo por caminos tal que a ∈ Va ⊂ A pero como Va conexo por caminos Va ⊂ CCaA y eso es ∀a ∈ A ⇒ CCaA ∈ Na ∀a ∈ A ⇒ CCaA abierto. (2 →3) B = {A ∈ τ / A es conexo por caminos } es una base de miembros conexos por caminos. (3 →1) Dada B una base de miembros conexos por caminos Bx = {B ∈ B tal que x ∈ B} es una base de entornos conexos por caminos. Corolario 6.3.2. i Si X es localmente conexo por caminos CCx es abierta ∀x ∈ X , ii Si X es localmente conexo por caminos CCx es cerrada ∀x ∈ X . Demostraci´ on. i ya est´ a.

CAP´ITULO 6. ESPACIOS CONEXOS

48

S ii CCx{ = Dα donde Dα son componentes conexas por caminos que sabemos abiertas. Corolario 6.3.3. Si X es l.c.c ⇒ CCx = Cx ∀x ∈ X . Demostraci´ on. Cx ∩ CCx es abierto y cerrado pero como Cx es conexo CCx ∩ Cx = ∅ o CCx ∩Cx = Cx , pero como {x} ∈ CCx ∩Cx deducimos que CCx ∩Cx = Cx ⇒ Cx ⊂ CCx , pero ya teniamos CCx ⊂ Cx . Corolario 6.3.4. Sea X l.c.c, entonces X conexo ⇔ X es conexo por caminos.

6.4.

Espacios homeomorfos

Dijimos, cuando vimos continuidad, que dos espacios eran homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos, o sea, existe una funci´on continua biyectiva con inversa continua, ahora veremos como la conexi´on nos puede decir si dos espacios no son homeomorfos. Definici´ on 6.5. Sea (X , τ ) un e.t. y sea A ⊂ X , decimos que A es un desconector de X si X − A = A{ no es conexo. Se dice que un desconector es minimal si ning´ un subconjunto propio es desconector. El conjunto {(0, y) : y ∈ R2 } es un desconector minimal de R2 , basta con quitarle un punto a esta recta para que el complemento sea conexo. Si tenemos una funci´ on f : X −→ Y continua y sobreyectiva la preimagen por f de un desconector de Y es un desconector de X . Demostraci´ on. Sea A un
desconector de Y ⇒ f −1 (Y − A) no es conexo porque si lo fuera f f −1 (Y − A) tambi´en lo seria. Entonces f −1 (A) es un desconector de X . Queremos averiguar si la circunferencia S 1 es homeomorfa al intervalo [0, 1], supongamos que lo fuera, entonces existe un homemorfismo ϕ : S 1 −→ [0, 1], entonces, x ∈ (0, 1) es un desconector de [0, 1] ⇒ ϕ−1 (x) es un desconector de S 1 , pero si eliminamos un punto de la circunferencia esta sigue siendo conexa, entonces ϕ−1 (x) es m´ as de un punto, entonces ϕ no es un homeomorfismo. Proposici´ on 6.4.1. Sea f : M −→ N continua, entonces f (M ) tiene, a lo sumo, la misma cantidad de componentes conexas que M . Esta proposici´ on nos da otra forma de ver si dos espacios no son homeomorfos. Si tienen distinta cantidad de componentes conexas entonces no pueden ser homemomorfos.

Cap´ıtulo 7

Espacios m´ etricos completos Definici´ on 7.1. Una sucesi´on {xn } en un espacio m´etrico (E, d) es de Cauchy ⇔ dado ε > 0 ∃n0 / ∀n, m ≥ n0 d(xm , xn ) < ε. Observaci´ on. 1. Toda sucesi´ on convergente es de Cauchy. Demostraci´ on. Si xn → x, dado ε > 0 sea n0 / d(xn , x) < ε ⇒ si n, m ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) ≤ d(xn , x) + d(x, xm ) < ε/2 + ε/2 = ε 2. Una sucesi´ on de Cauchy que tiene una subsucesi´on convergente, es convergente. Demostraci´ on. Sea xnk convergente a x y sea ε > 0 ⇒ sea n0 tal que d(xn , xm ) < ε/2 y sea k0 tal que ∀k > k0 nk ≥ n0 y d(xnk , x) < ε/2 ⇒ d(xn , x) ≤ d(xn , xnk )+d(xnk , x) < ε/2+ε/2 = ε entonces xn converge a x. Definici´ on 7.2. Un espacio m´etrico es completo si toda sucesi´on de Cauchy es convergente. Proposici´ on 7.0.2. (E, d) es completo y F ⊂ E es cerrado ⇒ F completo. Demostraci´ on. Sea {xn } una sucesi´on de Cauchy contenida en F , entonces como E es completo ∃x tal que xn converge a x, pero como {xn } ⊂ F x ∈ F = F , entonces F completo. Proposici´ on 7.0.3. Sea (E, d) un e.m.; F ⊂ E completo, entonces F cerrado. Demostraci´ on. Sea {xn } ⊂ F una sucesi´on convergente a x, entonces {xn } es de Cauchy, entonces, como F es completo x ∈ F , entonces F cerrado. 49

´ CAP´ITULO 7. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS

50

Proposici´ on 7.0.4. (E, d) e.m. {xn } ⊂ E de Cauchy entonces est´ a acotada. Demostraci´ on. Sea n0 / d(xn , xm ) < 1 ∀n, m ≥ n0 y sea M = m´ax{d(xn , xm ) con n, m ≤ n0 } ⇒ si i < n0 y j ≥ n0 d(xi , xj ) ≤ d(xi , xn0 ) + d(xn0 , xj ) ≤ M + 1 ⇒ d(xn , xm ) ≤ M + 1 ∀n, m. Proposici´ on 7.0.5. Sean E y F espacios m´etricos, f : E −→ F uniformemente continua, {xn } ⊂ E de Cauchy ⇒ {f (xn )} ⊂ F de Cauchy. Demostraci´ on. Dado ε > 0 ∃δ > 0 / si d(xn , xm ) < δ ⇒ d(f (xn ), f (xm )) < ε entonces, como ∃n0 tal que ∀n, m ≥ n0 d(xn , xm ) < δ tenemos probada la proposici´ on. Proposici´ on 7.0.6. E y F espacios m´etricos, f : E −→ F continua, biyectiva con inversa uniformemente continua, si E es completo ⇒ F es completo. Demostraci´ on. Sea {xn } una sucesi´on de Cauchy en F , entonces {f −1 (xn )} es de Cauchy en E. Como E es completo tenemos
que {f −1 (xn )} converge a x, entonces como f es continua xn = f f −1 (xn ) converge a f (x), entonces F completo. Proposici´ on 7.0.7. E, F espacios m´etricos completos ⇔ E × F completo con d1 , d2 , d∞ . d1 (x), adem´as Bεd2 (x) ⊂ Demostraci´ on. x ∈ E × F ⇒ Bεd1 (x) ⊂ Bεd∞ (x) ⊂ B2ε d d∞ 2 Bε (x) ⊂ B√2ε (x) ⇒ las funciones Id : (E × f, d∞ ) −→ (E × F, di ) con i = 1, 2 son uniformemente continuas, biyectivas y con inversa uniformemente continua, entonces (E × F, dı ) completo ⇔ (E × F, d∞ ).

Supongamos E × F completo ⇒ sea {xn } ∈ E de Cauchy y sea y ∈ F , entonces {(xn , y)} es de Cauchy en E × F , entonces converge a (x, y), entonces xn converge a x ⇒ E completo. Analogo para F . Si E y F son completos ⇒ sea {(xn , yn )} de Cauchy en (E×F, d∞ ) ⇒ d(xn , xm ) ≤ d((xn , yn ), (xm , ym )) < ε ⇒ {xn } de Cauchy en E entonces xn converge a x. Analogamente yn de Cauchy en F entonces yn converge a y ⇒ (xn , yn ) converge a (x, y) ⇒ E × F completo. Ejemplo. Sean E, F espacios m´etricos con F completo, ⇒ F(E, F ) = {f : E −→ F acotadas} con d∞ (f, g) = sup{d(f (x), g(x))} es completo. Demostraci´ on. Sea {fn } ⊂ F de Cauchy ⇒ ∃n0 tal que dado ε > 0 d(fn (x), fm (x)) < ε ∀x ∈ E ⇒ {fn (x)} de Cauchy en F para todo x ∈ E, entonces como F es completo {fn (x)} converge a cierto f (x), ´este es nuestro candidato a l´ımite, vamos a probar que la funci´on f que lleva x 7→ f (x) pertenece a F, o sea que sup{d(f (x), f (y))} es finito.

´ CAP´ITULO 7. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS

51

Como {fn } ∈ F d(fn (x), fn (y)) < Mn ∀x, y ∈ E, adem´as como fn de Cauchy tenemos que d(fn (x), fm (y)) < K ∀x ∈ E ∀n, m, entonces d(f (x), f (y)) = l´ım d(fn (x), fn (y)) < 2K + M1 n

ya que d(fn (x), fn (y)) ≤ d(fn (x), f1 (x)) + d(f1 (x), f1 (y)) + d(f1 (y), fn (y)) ≤ 2K + M1 . fn converge a f en F: d(fn (x), f (x)) = l´ım d(fn (x), fm (x)) ∀n m

Dado ε > 0 sea n0 tal que ∀n, m > n0 d∞ (fn , fm ) < ε/2, entonces si n ≥ n0 d(fn (x), fm (x)) ≤ d∞ (fn , fm ) ≤ ε/2 ∀m > n0 ∀x ∈ E ⇒ l´ım d(fn (x), fm (x)) ≤ ε/2 < ε ∀x ⇒ m

d(fn (x), f (x)) ≤ ε/2 < ε ∀x ⇒ d∞ (fn , f ) < ε Entonces F es completo. Corolario 7.0.8. C(E, F ) = {f : E −→ F continuas} es completo. Demostraci´ on. C(E, F ) ⊂ F es cerrado con d∞ (f, g) = sup{d(f (x), g(x))} y F(E, F ) es completo. Proposici´ on 7.0.9. Sean M y N espacios m´etricos , N completo, X ⊂ M denso y f : X −→ N uniformemente continua ⇒ existe una u ´nica extenci´ on continua de f a M que llamaremos fe, adem´ as fe es uniformemente continua y si f es una inmersi´ on isom´etrica fe tambien lo es. Demostraci´ on. Dado m ∈ M sea {xn } ⊂ X convergente a m, entonces si existiera una extenci´ on continua tendria que verificar que fe(m) = l´ımn fe(xn ) = l´ımn f (xn ) entonces si existiera ser´ıa u ´nica. f (xn ) converge : Como {xn } converge es de Cauchy, entonces , como f es uniformemente continua, {f (xn )} es de Cauchy, entonces, como N es completo, f (xn ) converge. Si yn converge a m ⇒ l´ım f (yn ) = l´ım f (xn ): Sea ε > 0 y sea δ > 0 tal que si d(x, y) < δ ⇒ d(f (x), f (y)) < ε. Sea entonces n0 tal que d(xn , m) < δ/2 d(yn , m) < δ/2 ∀n > n0 ⇒ d(xn , yn ) ≤ δ ⇒ d(f (xn ), f (yn )) ≤ ε ⇒ l´ım d(f (xn ), f (yn )) ≤ ε ∀n > n0 ⇒ l´ım f (xn ) = l´ım f (yn ). Entonces defino fe : M −→ N donde fe(m) = l´ım f (xn ) con {xn } ⊂ X convergente a m. fe es uniformemente continua:

´ CAP´ITULO 7. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS

52

Dado ε > 0 sea δ > 0 tal que si d(x, y) < δ ⇒ d(f (x), f (y)) < ε, si m0 , m1 ∈ M son tales que d(m0 , m1 ) < δ/3, sean {xn } y {yn } contenidas en X y convergentes a m0 y a m1 respectivamente, sea n0 tal que d(xn , m0 ) < δ/3 y d(yn , m1 ) < δ/3 ∀n ≥ n0 ⇒ d(xn , yn ) ≤ d(xn , m0 ) + d(m0 , m1 ) + d(m1 , yn ) < δ ⇒ d(f (xn ), f (yn )) < ε ⇒ d(fe(m0 ), fe(m1 )) = l´ım d(f (xn ), f (yn )) < ε. Si f es una inmersi´ on isom´etrica, sean m0 , m1 ∈ M y {xn } y {yn } contenidas en X y convergentes a m0 y a m1 respectivamente ⇒ d(fe(m0 ), fe(m1 )) = l´ım d(f (xn ), f (yn )) = l´ım d(xn , yn ) = d(m0 , m1 ) Entonces fe es una inmersi´ on isom´etrica. En general se tiene que f (X) ⊂ fe(M ) ⊂ f (X). Definici´ on 7.3. Sea M un espacio m´etrico. Una completaci´on de M es un par c, i) donde M c es completo e i : M −→ M c con i(M ) = M c es una imersi´on (M isom´etrica. Proposici´ on 7.0.10. M, N espacios m´etricos con N completo, sea f : M −→ c, i) una completaci´ c −→ N uniformemente continua y sea (M on de M ⇒ ∃! fe : M N que conmuta el diagrama M i

f

- N  fe

? c M o sea que i ◦ fe = f . adem´ as, si f es una inmersi´ on isom´etrica, entonces, fe e c tambi´en lo es y f M = f (M ). c y f0 : X −→ N tal que f0 = f ◦ i−1 , coDemostraci´ on. Sean X = i(M ) ⊂ M mo f es uniformemente continua e i−1 tambi´en, f0 es uniformemente continua, c ∃! fe extenci´on continua de f0 que adem´as es uniformeadem´ as, como X = M   mente continua, ⇒ si m ∈ M fe ◦ i (m) = fe(i(m)) = (f ◦i−1 )(i(m)) = f (m) ⇒ el diagrama conmuta. adem´as, si f es una inmersi´on isom´etrica f0 tambi´en lo es y, por tanto, fe tambi´en lo es. c) es cerrado : fe(M Sea fe(mk ) convergente a y ∈ N ⇒ mk es de Cauchy porque f es una inmerc es completo, entonces si´ on isom´etrica, entonces converge a cierto x porque M c). f (x) = y, entonces y ∈ fe(M c) c) ⊂ (f ◦ i−1 )(X) = f (M ) y fe(M Entonces como f (M ) = (f ◦ i−1 )(X) ⊂ fe(M e c es cerrado tenemos que f (M ) = f (M ).

´ CAP´ITULO 7. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS

53

c1 , i1 ) y (M c2 , i2 ) dos completaciones del espacio Proposici´ on 7.0.11. Sean (M c1 −→ M c2 que conmuta el m´etrico (M, d), entonces existe una isometr´ıa j : M diagrama i2 - M c2 M i1

 j

? c M1 Demostraci´ on. Por la proposici´on anterior, tomando f = i2 , N = M2 tenemos c1 ) = i2 (M ) = M c2 , entonces j es una isometr´ıa que que j = fe y adem´ as j(M conmuta el diagrama. Teorema 7.0.12. Todo espacio m´etrico tiene una completaci´ on. Demostraci´ on. Sea M un e.m., vamos a dar una inmersi´on isom´  etrica i: M −→ F(M, R) que es completo porque R es completo. Entonces i(M ), i es una completaci´ on porque i(M ) es cerrado en un completo. Sea m0 ∈ M ⇒ si m ∈ M i(m) : M −→ R dada por i(m)(x) = d(x, m) − d(x, m0 ). i(m) ∈ F(M, R): d(i(m)(x), i(m)(y)) = |i(m)(x) − i(m)(y)| = |d(x, m) − d(x, m0 ) − d(y, m)+ +d(y, m0 )| ≤ |d(x, m) − d(x, m0 )| + |d(y, m0 ) − d(y, m)| ≤ 2d(m, m0 ) ∀x, y. i es una inmersi´ on isom´etrica : d(i(m), i(n)) = sup{d(i(m)(x), i(n)(x))} = = sup {|d(x, m) − d(x, m0 ) + d(x, m0 ) − d(x, n)|} = = sup{|d(x, m) − d(x, n)|} ≤ d(m, n) pero tomando x = n tenemos que |d(x, m)−d(x, n)| = d(m, n) ⇒ sup{|d(x, m)− d(x, n)|} = d(m, n).   ⇒ d(i(m), i(n)) = d(m, n) ⇒ i(M ), i es una completaci´on. Definici´ on 7.4. 1. Sea M un espacio m´etrico y f : M −→ M . x ∈ M es un punto fijo de f si f (x) = x, 2. f es una contracci´ on si ∃c ∈ [0, 1) / d(f (x), f (y)) ≤ cd(x, y) ∀x, y ∈ M . 3. Un punto a ∈ M es atractor si ∀x ∈ M se tiene que f n (x) converge a a, entendiendo el producto como composici´on. Observaci´ on. Una contracci´ on es uniformemente continua.

´ CAP´ITULO 7. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS

54

Teorema 7.0.13 (De la contracci´ on o del punto fijo). Si M es un espacio m´etrico completo y f : M −→ M es una contracci´ on, existe un u ´nico punto fijo que adem´ as es atractor. Demostraci´ on. Sea x ∈ M ⇒ d(f 2 (x), f (x)) < c · d(f (x), x), mas en general n+1 d(f (x), f n (x)) < cn · d(f (x), x), incluso mas general, sean m, n ∈ N con m > n =⇒ d(f m (x), f n (x)) ≤

m−1 X

d(f k (x), f k+1 (x)) <

k=n

= d(f (x), x)·

m−1 X

ck < d(f (x), x)·

k=n

m−1 X

ck · d(f (x), x) =

k=n ∞ X k=n

n

ck → 0 pues

∞ X

ck converge con c ∈ (0, 1)

k=1

Entonces vimos que dado ε > 0 ∃n0 / ∀n, m > n0 d(f m (x), f n (x)) < ε de lo que se deduce que {f n (x)}n∈N es de Cauchy, y como el espacio es completo, {f n (x)}n∈N es convergente a un cierto a ∈ M . Entonces se tiene que f n (x) converge a a y f n+1 (x) = f (f n (x)) converge a f (a) porque f es continua, pero  n+1 n como {f (x)}n∈N = f (x) n∈N f (a) = a. Supongamos que ∃ otro punto fijo b ⇒ d(a, b) = d(f (a), f (b)) < c · d(a, b) con c ∈ (0, 1), que es absurdo, por lo tanto hay un u ´nico punto fijo. Proposici´ on 7.0.14. Sea M un espacio m´etrico completo y f una contracci´ on, (a)) − − (a), en (a)) ⊂ B para cualquier a ∈ M tomamos r ≥ d(a,f , entonces f (B r r 1−c particular el punto fijo est´ a dentro de esta. Demostraci´ on. Si x ∈ Br− (a) ⇒ d(f (x), a) ≤ d(f (x), f (a)) + d(f (a), a) ≤ cd(x, a) + r(1 − c) ≤ cr + (1 − c)r < r

Teorema 7.0.15 (De Cantor). M es un espacio m´etrico completo siiT dados cerrados no vac´ıos Fn ⊂ M / Fn ⊂ Fn−1 y di´amn Fn → 0 ∃a ∈ M / Fn = {a}. Demostraci´ on. (⇒) Si M es completo, sea Fn una sucesi´on de cerrados tales n que Fn ⊂ Fn−1 y di´ am(Fn ) → 0, sea entonces {xn } tal que xn ∈ Fn y sea ε > 0 ⇒ ∃n0 tal que ∀n ≥ n0 di´am(Fn ) < ε ⇒ si m, n ≤ n0 entonces xn ∈ Fn y xm ∈ Fm , podemos suponer Fn ⊂ Fm , entonces xn y xm ∈ Fm y d(xn , xm ) ≤ di´ am(Fm ) < ε ⇒ {xn } es de Cauchy, entonces xn converge a cierto a. T

Fn = a: Dada Bε (a) ∃n0 tal que xn ∈ Bε (a) ⇒ Bε (a) ∩ Fn 6= ∅ ∀ε y ∀n ≥ n0 ⇒ T ∀n ≥ n0 T a ∈ Fn = Fn ⇒ a ∈ Fn . Si b ∈ Fn ⇒ d(a, b) ≤ di´am(Fn ) → 0 ⇒ a = b.

´ CAP´ITULO 7. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS

55

(⇐) Sea {xn } de Cauchy, sea Fn = {xk : k ≥ n}, entonces Fn ⊂ Fn−1 . di´ am(Fn ) → 0: Dado ε > 0 sea n0 tal que d(xn , xm ) < ε/3 ∀n, m ≥ n0 ⇒ sean a, b ∈ Fn con n ≥ n0 , sean xk y xj tales que d(a, xk ) < ε/3 y d(b, xj ) < ε/3 ⇒ d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , xm ) + d(xm , b) < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε ∀a, b ∈ Fn ⇒ di´ am(F am(Fn ) → 0. Tn ) < ε ⇒ di´ Sea a = Fn , entonces dado ε > 0 sea n0 tal que di´am(Fn ) < ε ∀n > n0 ⇒ si xn ∈ Fn d(a, xn ) ≤ di´ am(Fn ) → 0 ⇒ xn converge a a. Teorema 7.0.16 (De Baire). Sea MT completo y sea {Un }n∈N una familia numerable de abiertos densos en M ⇒ Un es denso. T Demostraci´ on. Alcanza con probar que Un ∩ Br (x) 6= ∅∀x ∈ M con r > 0, para esto, sea B1 = Br (x), como U1 es denso tenemos que U1 ∩ B1 6= ∅ ⇒ ∃x2 ∈ U1 ∩ B1 , y como U1 es abierto ∃ε > 0 / Bε (x2 ) ⊂ U1 ∩ B1 ⇒ sea ε2 = m´ın{1/2, ε/2} ⇒ Bε2 (x2 ) ⊂ Bε (x2 ) ⊂ U1 ∩ B1 , sea entonces B2 = Bε2 (x2 ) ⇒ B2 ⊂ U1 ∩ B1 ⊂ B1 . Como U2 es denso, tenemos que ∃x3 ∈ U2 ∩ B2 ⇒ analogamente ∃ε < 1/3 y B3 = Bε3 (x3 ) tales que B3 ⊂ U2 ∩ B2 ⊂ B2 . Obtubimos as´ı {xn } y εn / si Bn = BεTn (xn ) ⇒ Bn ⊂ Un−1 ∩ Bn−1 ⊂ Bn−1 ⇒ Bn ⊂ Bn−1 yTdi´ am(Bn ) < 2/n → 0 ⇒ Bn = {a} ⇒ ∀nTa ∈ Bn+1 ⊂ Un ∩B Tn ⊂ Bn ⇒ a ∈ Un y a ∈ B2 ⊂ U1 ∩ B1 ⊂ B1 ⇒ a ∈ Un ∩ Br (x) ⇒ Un denso. Definici´ on 7.5. Sea M un e.t. y sea X ⊂ M, decimos que X es nunca denso ◦

si X= ∅, X es magro si es uni´on numerable de conjuntos nunca densos. Proposici´ on 7.0.17. Sea (X , τ ) un e.t. ◦

{

1. Si A ⊂ X A = A{ , ◦

2. A nunca denso en X ⇔ A{ es denso en X , 3. A cerrado, A es nunca denso ⇔ A{ denso. Demostraci´ on. 1. Ya est´ a probado. ◦

{

◦

{

2. Sea B = A , entonces A nunca denso ⇔ A= ∅ ⇔ B { = ∅ ⇔ B = ∅ ⇔ B=X ⇔

◦ A{

◦ {

= X ⇔ A denso en X , ◦

3. A cerrado, entonces A nunca denso ⇔ A{ denso ⇔ A{ denso.

´ CAP´ITULO 7. ESPACIOS METRICOS COMPLETOS

56 ◦

Proposici´ on 7.0.18. M un e.m. completo, A magro en M ⇒ A= ∅. S Demostraci´ on. A = An con An nunca densos ⇒ si An cerrado ∀n ⇒ A{n T T abierto y denso en M ∀n ⇒ por Baire A{n denso en M ⇒ A{ = A{n = M ⇒ {

◦

A{ = ∅ ⇒ A= ∅. ◦ ◦ S En general A = An con An nunca densos ⇒ An nunca denso porque A= A= ◦ ◦ S ∅, sea B = An ⇒ An ⊂ B = ∅. Ejemplo. Existe x ∈ R tal que (C + x) ∩ Q = ∅, o sea, existe un real x tal que el conjunto de Cantor trasladado x no contiene ning´ un racional. Demostraci´ on. El teorema de Baire nos dice que la intersecci´on numerable de abiertos densos es denso, o sea que la uni´on numerable de cerrados con interior vac´ıo tiene interior vac´ıo. C + q con q ∈ Q es un cerrado con interior vac´ıo, entonces si cualquier real lo pudi´eramos obtener como C + q con q ∈ Q tendr´ıamos que [ R= C +q q∈Q

entonces R ser´ıa magro, absurdo. Corolario 7.0.19. Si M es un e.m. completo, no es magro en si mismo. Ejemplo. C es magro en R pero no es magro en si mismo.

Cap´ıtulo 8

Espacios compactos 8.1.

Definici´ ones

Definici´ on 8.1. Un espacio topol´ogico X es compacto si cualquier cubrimiento por abiertos admite un subcubrimiento finito. Y ⊂ X es compacto si lo es con la topolog´ıa relativa. Ejemplos. 1. X infinito con la topolog´ıa de los complementos finitos es compacto. Demostraci´ on. Sea {Uα } un cubrimiento por abiertos, sea Uα0 , entonces Uα{0 = {a1 , . . . , an } finito ⇒ sea Uαi tal que ai ∈ Uαi ⇒ {Uαi } para i = 0, 1 . . . n es un subcubrimiento finito. 2. (R, τ ) donde A ∈ τ si A = ∅ o 0 ∈ A no es compacto ya que el cubrimiento {{0, x} : x ∈ R} no admite un subcubrimiento finito. 3. Teorema de Heire − Borel, este teorema estimula la definici´on de compacidad.Todo cubrimiento abierto de un conjunto cerrado y acotado de R admite un subcubrimiento finito. Demostraci´ on. Probaremos algo mas humilde, probaremos que [a, b]S⊂ R es compacto. Sea {Uα } una familia de abiertos de R tal que [a, b] ⊂ Uα , sea ( ) [ S = x ∈ [a, b] / [a, x] ⊂ Uα con F finito α∈F

⇒ S 6= ∅ ya que a S ∈ S, adem´as S acotado S por b ⇒ S tiene extremo superior c ⇒ [a, c] ⊂ α∈F Uα ⇒ [a, c+ε] ⊂ α∈F Uα ∪Uα0 contradiciendo el hecho de que c era extremo superior, entonces c = b ⇒ [a, b − δ] = S α∈F Uα con F finito pero como ∃Uαj tal que (b − δ, b] ⊂ Uαj tenemos que b ∈ S ⇒ [a, b] compacto.

57

CAP´ITULO 8. ESPACIOS COMPACTOS

58

Proposici´ on 8.1.1. Sea (X , τ ) un e.t. compacto, y sea Y ⊂ X cerrado ⇒ Y compacto. Demostraci´ on. Sea {Uα } un cubrimiento abierto de Y , entonces {Uα } ∪ Y { es un cubrimiento abierto de X , entonces tiene un subcubrimiento finito {Uα1 , . . . , Uαn } ∪ Y { (Y { no necesariamente tiene que formar parte del subcubrimiento) ⇒ {Uα1 , . . . , Uαn } cubre Y y es un subcubrimiento de {Uα }, por tanto Y compacto. Ejemplo. A ⊂ R cerrado y acotado ⇒ A compacto. Demostraci´ on. A ⊂ [a, b] y A cerrado. Proposici´ on 8.1.2. Sea (X , τ ) un e.t. de Hausdorff y sea Y ⊂ X compacto ⇒ Y cerrado. Demostraci´ on. Sea a ∈ / Y ⇒ dado x ∈ Y ∃Vx ∈ Nx y Ux ∈ Na tal que Vx ∩ Ux = ∅, podemos supner que Vx y Ux son abiertos ya que cada uno de ellos contiene un abierto. Entonces {Vx }x∈Y es un cubrimiento abierto T de Y ⇒ como Y compacto tiene un subcubrimiento finito {V , . . . , V } ⇒ Uxi ∈ Na x1 xk T S T T y Uxi ∩ Vxi = ∅ ⇒ Uxi ∩ Y = ∅ ⇒ Uxi ∈ Y { ⇒ Y cerrado. En relidad probamos algo mas general: Si X es un espacio de Hausdorff, Y ⊂ X compacto y a ∈ / Y ⇒ existen U y V abiertos disjuntos tales que a ∈ U y Y ⊂ V . Corolario 8.1.3. Sea (X , τ ) un e.t. compacto y de Hausdorff, entonces dado Y ⊂ X cerrado y x ∈ / Y existen U y V abiertos disjuntos tales que Y ⊂ U y x ∈ V , en otras palabras X es un espacio regular. Demostraci´ on. Como X es compacto e Y es cerrado tenemos que Y es compacto, ahora, como X es de Hausdorff, vale el resultado general probado en la proposici´ on anterior. Proposici´ on 8.1.4. Si X es un espacio topol´ ogico compacto de Hausdorff todo punto tiene una base de entornos cerrados. Demostraci´ on. Sea x ∈ X y sea U ∈ Nx , entonces existe A abierto tal que x ∈ A ⊂ U ⇒ A{ cerrado, entonces, como X es de Hausdorff existen V0 y V1 abiertos disjuntos tales que x ∈ V0 y A{ ⊂ V1 ⇒ V0 ⊂ A ⇒ existe V = V0 ∈ Nx cerrado contenido en U . Ejemplos. 1. R con la topolog´ıa A ∈ τ si A = ∅ o 0 ∈ A ⇒ {0} es compacto pero no es cerrado. 2. A ⊂ R compacto ⇔ A cerrado y acotado.

CAP´ITULO 8. ESPACIOS COMPACTOS

59

Demostraci´ on. (⇐) Hecho. (⇒) A compacto ⇒ A cerrado pues R es de Hausdorff y es acotado porque {(−n, n) : n ∈ N} es un cubrimiento. Definici´ on 8.2. Sean X un conjunto y {Sα }α∈I una familia de subconjuntos de X , se dice que {Sα } tiene la propiedad de intersecci´on finita (PIF) si cualquier intersecci´ on de una cantidad finita de ellos es no vacia, o sea \ Sα 6= ∅ con F ⊂ I finito α∈F

Proposici´ on 8.1.5. Sea (X , τ ) un e.t. ⇒ X compacto ⇔ ∀{Fα } familia de cerrados con PIF se tiene que

\

Fα 6= ∅

α

Demostraci´ on. Supongamos que X es compacto y sea {Fnα } una o familia de cerraT S dos con PIF, supongamos α Fα = ∅ ⇒ α Fα{ = X ⇒ Fα{ es un cubrimiento o n abierto de X ⇒ tiene un subcubrimiento finito Fα{1 , . . . , Fα{n ⇒ n [

Fα{i = X ⇒

n \

Fαi = ∅

1

i=1

⇒ {Fα } no cumple PIF, absurdo ⇒

T

α

Fα 6= ∅.

S Para demostrar el reciproco tomemos un cubrimiento abierto {Uα } ⇒ Uα = n o T T X ⇒ Uα{ = ∅ ⇒ Uα{ es una familia de cerrados que no verifica α Uα{ 6= ∅ o n entonces tampoco verifica la PIF, entonces existen Uα{1 , . . . , Uα{n tales que n \ i

Uα{i = ∅ ⇒

n [

Uαi = X

i

Entonces X es compacto. Ejemplo. X = R Sx = [x, +∞), entonces {Sx } tiene la PIF y

T

Sx = ∅.

Proposici´ on 8.1.6. La imagen de un espacio compacto por una funci´ on continua es compacta. Demostraci´ on. Sean X un espacio topol´ogico compacto e Y un espacio topol´ogico y sea f : X −→ Y continua. Sea entonces {Uα } un cubrimiento por abiertos de f (X ) ⇒ {f −1 (Uα )} es un cubrimiento abierto de X porque f es continua, entonces tiene un subcubrimiento finito {f −1 (Uαi )} con i = 1, . . . n. Entonces {Uαi } subcubrimiento de f (X ): Sea y ∈ f (X ) ⇒Sy sea x ∈ X tal que f (x) = y ⇒ x ∈ f −1 (Uαi ) ⇒ y = f (x) ∈ Uαi ⇒ f (X ) ⊂ Uαi .

CAP´ITULO 8. ESPACIOS COMPACTOS

60

Corolario 8.1.7. X un e.t. compacto e Y de Hausdorff , f : X −→ Y continua ⇒ f es cerrada. Demostraci´ on. Ejercicio. Lema 8.1.8 (Alexander). Sea (X , τ ) un e.t. y sea S una subbase de τ , si todo cubrimiento de X por abiertos de S admite un subcubrimiento finito ⇒ X es compacto. Demostraci´ on. Supongamos que X no es compacto, entonces hay que encontrar un cubrimiento por abiertos de le subbase S que no tenga un subcubrimiento finito. Sea F la familia de cubrimientos que no tiene subcubrimiento finito, sabemos que no es vacia porque X no es compacto, ordenamos F con la incluci´on, o sea A, B ∈ F A ≤ B si A ⊂ B. Toda cadena {Aα } en F est´ a acotada: [ Aα ⊂ Aβ ∀α β

S

entonces, si Aβ tuviera un subcubrimiento finito {A1 , . . . ,SAn } con Ai ⊂ Aαi para algun αi ⇒ sea Aα0 = m´ax{Aαi } ⇒ Ai ∈ Aα0 y Ai = X ⇒ Aα0 tiene un subcubrimiento finito, absurdo porque Aα0 ∈ F ⇒ por lema de Zorn ∃ un elemento maximal M de F. Sea A ∈ τ , A ∈ / M ⇔ ∃M1 , . . . , Mn ∈ M / X = A ∪ M 1 ∪ . . . ∪ Mn : (⇒) Si A ∈ / M ⇒ {A} ∪ M ≥ M ⇒ como M es un elemento maximal de F tenemos que {A} ∪ M ∈ / F ⇒ tiene un subcubrimiento finito ⇒ ∃M1 , . . . , Mn / X = A ∪ M1 ∪ . . . ∪ Mn . (⇐) Si X = A ∪ M1 ∪ . . . ∪ Mn ⇒ A ∈ / M porque si estuviera M tendr´ıa un subcubrimiento finito. (a) Sean A, B ∈ τ / A ⊂ B, si A ∈ /M⇒B∈ /M: A∈ / M ⇒ X = A ∪ M1 ∪ . . . ∪ Mn ⇒ X = B ∪ M1 ∪ . . . ∪ Mn ⇒ B ∈ / M. (b) Sean A, B ∈ τ , si A ∈ / MyB ∈ / M ⇒ A∩B ∈ / M: ∃M1 , . . . , Mn , Mn+1 , . . . Mm / X = A ∪ M1 ∪ . . . ∪ Mn y X = B ∪ Mn+1 ∪ . . . ∪ Mm ⇒ X = A ∩ B ∪ M1 ∪ . . . ∪ Mn ∪ Mn+1 ∪ . . . ∪ Mm . Concluyendo la demostraci´on, sea x ∈ X ⇒ x ∈ Mx para alg´ un Mx ∈ M ⇒ (a)

∃S1 , . . . Sn ∈ S / x ∈ S1 ∩ · · · ∩ Sn ⊂ Mx , como Mx ∈ M ⇒ S1 ∩ · · · ∩ Sn ∈ (b)

M ⇒ Si ∈ M para alg´ un i ⇒ para cada x ∈ X ∃Sx ∈ S y Sx ∈ M ⇒ {Sx }x∈X es un cubrimiento por elementos de S que no tiene subcubrimiento finito.

CAP´ITULO 8. ESPACIOS COMPACTOS

61

Teorema 8.1.9 (de Tijonov). Sea {Xα } una familia de espacios topol´ ogicos ⇒ Y Xα es compacto ⇔ Xα compacto ∀α α∈I

Demostraci´ on. Si cada Xα es compacto, sea S = {p−1 α (A) con A abierto de Xα }. Por el lema de Alexander basta probar que si A es un cubrimiento por abiertos de S entonces A tiene un subcubrimiento finito. Si α ∈ I sea Aα = {A ⊂ Xα / p−1 α (A) ∈ A} ⇒ ∃α0 tal que Aα0 es un cubrimiento de Xα0 : De lo contrario sea [ Y xα ∈ Xα  A y sea x ∈ Xα tal que x(α) = xα ∀α A∈Aα

S ⇒x∈ / U ∈A U porque si x ∈ U ⊂ A ⇒ U = p−1 α (A) y pα (x) ∈ A ⇒ xα ∈ A y A ⊂ Aα . Absurdo porque A es un cubrimiento. Si Aα0 es un cubrimiento de Xα0 sea {A1 , . . . , An } un subcubrimiento finito (A1 ), . . . , p−1 ⇒ {p−1 α0 (An )} ⊂ A y es un subcubrimiento finito: α0Q Si x ∈ Xα ⇒ pα0 (x) ∈ Ai para algun i, es decir n [ i=1

Reciprocamente, como Q pα ( Xα ) es compacto.

Q

p−1 α0 (Ai ) =

Y

Xα

α

Xα compacto y pα es continua, tenemos que Xα =

Corolario 8.1.10. X ⊂ Rn es compacto ⇔ es cerrado y acotado. Demostraci´ on. Si X es compacto es cerrado porque Rn esde Hausdorff, adem´as {Bn (0) : n ∈ N} es un cubrimiento, Q asi que est´a acotado. Reciprocamente, si X es acotado tenemos que X ⊂ [ai , bi ] que es compacto por el teorema de Tijonov, y como X es cerrado tenemos que X compacto. Proposici´ on 8.1.11. Un espacio topol´ ogico (X , τ ) es compacto sii toda red en X tiene un punto de aglomeraci´ on. Demostraci´ on. Si X es compacto y {Td } es una red en X , para d ∈ D definimos Fd = {Te : e ≥ d}, entonces Fd es una familia de cerrados con la PIF: Sean Fd1 , . . . , Fdn ⇒ sea e ∈ D tal que e ≥ di ∀i = 1 . . . n ⇒ Fe ⊂ Fd1 ∩. . .∩Fdn . T T Entonces, como X es compacto se tiene que Fd 6= ∅, entoces, sea a ∈ Fd ⇒ dados V ∈ Na y d0 tenemos que a ∈ Fd0 ⇒ V ∩ {Td : d ≥ d0 } 6= ∅ ⇒ ∃d ≥ d0 / Td ∈ V , entonces a es punto de aglomeraci´on de Td . Supongamos ahora que toda red tiene un punto de aglomeraci´on. Sea {Fα } con α ∈ I una familia de cerrados con la PIF y sea D = {subconjuntos finitos de I}

CAP´ITULO 8. ESPACIOS COMPACTOS

62

ordenado con la incluci´ on. Consideremos la red Td donde T si d = {α1 , . . . αn }Td ∈ T F ⇒ sea x un punto de aglomeraci´ o n de T ⇒ x ∈ Fα : d i αi Dado α ∈ I sea d0 = {α} y V ∈ Nx ⇒ ∃d ≥ d0 Td ∈ V ⇒ \ Td ∈ V ∩ Fβ ⊂ V ∩ Fα ⇒ x ∈ Fα = Fα β∈d

⇒ x ∈ Fα ∀α ∈ I ⇒

T

Fα 6= ∅ ⇒ X compacto.

Corolario 8.1.12. X compacto ⇔ toda red tiene una subred convergente.

8.2.

Espacios m´ etricos y topol´ ogicos secuencialmente compactos

Definici´ on 8.3. Un e.t. es secuencialmente compacto sii toda sucesi´on tiene una subsucesi´ on convergente. Ejemplo. Si X es N1 y compacto, entonces es secuencialmente compacto. Demostraci´ on. Sabemos que una sucesi´on {xn } tiene un punto de aglomeraci´on a, sea {Vn } una sucesi´ on decreciente de entornos de a, entonces dado k ∈ N ∃nk / xnk ∈ Vnk ⇒ dado U ∈ Na sea k0 / Vk0 ⊂ U ⇒ si k ≥ k0 xnk ∈ Vnk ⊂ Vnk0 ⊂ U

Corolario 8.2.1. Si X es un espacio m´etrico compacto, es completo. Demostraci´ on. Sea {xn } una sucesi´on de Cauchy, entonces como X es compacto {xn } tiene una subsucesi´ on convergente, pero como es de Cauchy ella misma es convergente, entonces X es completo. Proposici´ on 8.2.2. Si (X , τ ) es secuancialmente compacto y N2 es compacto. Demostraci´ on. Si (X , τ ) es N2 y no es compacto, sea {Uα } un cubrimiento sin subcubrimiento finito. Como (X , τ ) es N2 tenemos que es de Lindel¨of, entonces tiene un subcubrimiento numerable {Un } que tampoco tiene subcubrimSn iento finito. Sea x1 ∈ / U1 ⇒ ∃n1 tal que x1 ∈ Un1 , Ssea A1 = 1 1 Ui ⇒ n2 A1 6= X ⇒ ∃xS / A1 , sea n2 / x2 ∈ Un2 ⇒ A2 = 1 Ui 6= X . En gen2 ∈ n eral, si Ak = 1 k Ui 6= X existen xk+1 y nk+1 tales que xk+1 ∈ Uk+1 y xk+1 ∈ / Ak . Creamos as´ı dos sucesiones {xk } y {nk } esrictamente creciente Sk−1 tal que xk ∈ Unk+1 y xk ∈ / Ak−1 = 1 Ui . {xk } no tiene ning´ un punto de acumulaci´on: Sea x ∈ X ⇒ x ∈ Ui para algun i ⇒ sea k0 tal que nk0 −1 ≤ i < nk0 ⇒ si k > k0 xk ∈ / Ak−1 ⇒ xk ∈ / Ak0 ⇒ xk ∈ / Ui , entonces, Ui ∈ Nx y xk ∈ / Ui ∀k > k0 ⇒ x no es punto de aglomeraci´ on de {xk }, entonces no tiene ninguna subsucesi´on convergnete, absurdo.

CAP´ITULO 8. ESPACIOS COMPACTOS

63

Definici´ on 8.4. Sea (X , τ ) un e.t. decimos que tiene la propiedad de BolzanoWeierstras si todo conjunto infinito tiene un punto de acumulaci´on. Proposici´ on 8.2.3. Sea (X , τ ) un e.t. ⇒ 1. (X , τ ) es secuencialmente compacto ⇒ verifica Bolzano-Weierstras. 2. Si verifica Bolzano-Weierstras, es T1 y N1 es secuencialmente compacto. Demostraci´ on. 1 Sea A ⊂ X infinito, sea entonces {xn } ⊂ A tal que xn 6= xm si n 6= m sabemos que existe porque A tiene un subconjunto numerable ⇒ xn tiene un punto de aglomeraci´ on x. Sea V ∈ Nx ⇒ ∃n0 tal que si n > n0 xn ∈ A ∩ V , pero como xn 6= x tenemos que A ∩ V − {x} = 6 ∅ entonces x es punto de acumulaci´on de A. 2 Sea {xn } una sucsesi´ on, si {xn } es finito hay alguna subsucesi´on constante y, por lo tanto, convergente. Si {xn } es infinito tiene un punto de acumulaci´on x. Como X es N1 tenemos que tiene una base local numerable, sea {Uk } esa sucesi´ on de entornos decreciente, entonces dado k0 sabemos que si k > k0 Uk ⊂ Uk0 y {xn } ∩ Uk − {x} = 6 ∅, sea entonces la subsucesi´on xnk ∈ {xn } ∩ Uk − {x} ⇒ xnk converge a x, ya que dado U ∈ Nx ∃k0 tal que si k > k0 Uk ⊂ Uk0 ⊂ U ⇒ xnk ∈ Uk ⊂ Uk0 ⊂ U ∀k > k0 . Proposici´ on 8.2.4. Si (E, d) es un espacio m´etrico secuencialmente compacto es separable. Demostraci´ on. Si E tiene un solo punto vale. Supongamos #E > 1, si n ∈ N sea En = {A ⊂ E / d(x, y) ≥ 1/n si x, y ∈ A y x 6= y} ⇒ ∃n0 tal que En 6= ∅ ∀n > n0 : Sean x, y ∈ E distintos tales que 1/n0 < d(x, y) ⇒ 1/n ≤ d(x, y) si n ≥ n0 ⇒ {x, y} ∈ En ∀n ≥ n0 . Ordenamos En con la incluci´on ⇒ En est´a en las hip´otesis del lema de Zorn: S S Sea {Aα } una cadena en En , Aα ∈ En ya que si x, y ∈ Aα , x ∈ Aα1 e y ∈ Aα2 ⇒ x, y ∈ m´ ax{Aα1 , Aα2 } ∈ En ⇒ d(x, y) ≥ 1/n. Entonces En tiene un elemento maximal Mn ∀n ≥ n0 , adem´as Mn es finito: Si fuera infinito, como E es secuencialmente compacto, contendria una sucsesi´on convergente no constante, pero d(x, y) ≥ 1/n, absurdo.

Sea M=

∞ [

Mn

n0

⇒ M es numerable , adem´ as M = E: Sea ε > 0 y sea x ∈ E ⇒ si x ∈ Mn para algun n, entonces x ∈ M ⇒ x ∈ M . Si x∈ / Mn ∀n ≥ n0 sea n ≥ n0 tal que 1/n < ε ⇒ Mn ⊆ Mn ∪ {x} ⇒ como Mn es maximal Mn ∪ {x} ∈ / En ⇒ ∃y ∈ Mn / d(x, y) < 1/n < ε ⇒ y ∈ Bε (x) ∩ M .

CAP´ITULO 8. ESPACIOS COMPACTOS

64

Teorema 8.2.5. Sea (E, d) un espacio m´etrico, entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1. E es compacto, 2. E es secuencialmente compacto, 3. E verifica Bolzano-Weierstras. Demostraci´ on. 1 →2 Como E es N1 por ser un espacio m´etrico tenemos, por el ejemplo 8.2, que es compacto. 2 →3 Ya est´ a probado. 3 →1 Como E es un e.m. E es T1 y N1 , como adem´as verifica BolzanoWeierstrass tenemos que E es secuencialmente compacto, como adem´as es N2 , tenemos que es compacto.

8.3.

Espacios localmente compactos

Un espacio es localmente compacto si es de Hausdorff y todo punto tiene un entorno compacto. Tenemos as´ı que R es localmente compacto pero Q no porque un subconjunto de Q compacto tiene que ser completo. Z es localmente compacto ya que un punto es un entorno de si mismo. Como Z y Q son numerables existe una funci´ on biyectiva entre ellos, adem´as la topolog´ıa de Z es la discreta as´ı que culaquier funci´on con diminio Z es continua. Encontramos as´ı una funci´ on continua y biyectiva de un espacio localmente compacto en uno que no lo es. Proposici´ on 8.3.1. Si un espacio es localmente compacto entonces tiene una base de entornos compactos. Lo interesante de esta proposici´on es que basta pedir que un entorno sea compacto para encontar una base de entornos compactos, cosa que no pasaba en espacios localmente conexos. Demostraci´ on. Sea x ∈ X y sea U ∈ Nx compacto. Consideremos el subespacio topol´ ogico U , tenemos que este subespacio es compacto y de Hausdorff, entonces tenemos una base de x de entornos cerrados, pero como U es compacto estos entornos son compactos en U y, por tanto, compactos en X , encontramos de esta forma una base de entornos compactos. Proposici´ on 8.3.2. El producto finito de espacios localmente compactos es localmente compacto. Demostraci´ on. Ya sabemos que el producto de una cantidad cualquiera de espacios de Hausdorff es de Hausdorff. Sea x∈

n Y i=1

Xi

CAP´ITULO 8. ESPACIOS COMPACTOS

65

con Xi localmente compacto ∀i entonces existe Ui ∈ Nx(i) compacto ∀i = . . . n, entonces n Y Ui es compacto 1

pero como es un producto finito tenemos que

Q

Ui ∈ Nx .

Ejemplo. RN = {{xn } ∈ R ∀n ∈ N} no es localmente compacto.

Cap´ıtulo 9

Espacio cociente Definici´ on 9.1. Sea {Xα } una familia de espacios topol´ogicos y sea Y un conjunto, fα : Xα −→ Y para cada α. La topolog´ıa final en Y es τ = {A ⊂ Y tal que fα−1 (A) abiero en Xα ∀α} Observaci´ on. La topolog´ıa final es la mayor topolog´ıa que hace a fα continua. Definici´ on 9.2. Sea (X , τ ) un e.t. y sea ∼ una relaci´on de equivalencia en X , X /∼ es el espacio cociente, sea Π : X −→ X /∼ tal que Π(x) = [x]∼ . La topolog´ıa cociente X /∼ es la topolog´ıa final respecto a Π.
Observaci´ on. A ⊂ X /∼ , Π Π−1 (A) =
A ya que dado a ∈ A se tiene que a = Π(x) ⇒ x ∈ Π−1 (A) ⇒ a ∈ Π Π−1 (A) . No es siempre cierto que Π−1 (Π(B)) = B, en general se tiene que Π−1 (Π(B)) = {x ∈ X / x ∼ b para algun b ∈ B}. Definici´ on 9.3. Se dice que B ⊂ X es saturado si Π−1 (Π(B)) = B, el saturado de C ⊂ X es Π−1 (Π(C)). Observaci´ on. B es saturado sii Π−1 (A) = B para algun A ⊂ X /∼ . Demostraci´ on. (⇒) B es saturado, entonces
B = Π−1 (Π(B)). (⇐) Si B = Π−1 (A) ⇒ Π(B) = Π Π−1 (A) = A ⇒ Π−1 (Π(B)) = Π−1 (A) = B ⇒ B saturado. En general, B saturado ⇔ si b ∈ B y c ∼ b implica c ∈ B. Observaci´ on.  
{ 1. A ⊂ X /∼ es cerrado ⇔ A{ abierto ⇔ Π−1 A{ es abierto ⇔ Π−1 (A) es abierto ⇔ Π−1 (A) cerrado. 2. Π : X −→ X /∼ es continua y sobre ⇒ si X es compacto X /∼ = Π(X ) es compacto. Analogamente si X es conexo. 3. A ⊂ X /∼ es abierto sii A = Π(B) donde B ⊂ X es un abierto saturado. 66

CAP´ITULO 9. ESPACIO COCIENTE

67

Demostraci´ on. Si A es abierto sea B = Π−1 (A) ⇒ B es
abierto y es saturado por una observaci´on anterior y Π(B) = Π Π−1 (A) = A. Reciprocamente si A = Π(B) con B abierto y saturado ⇒ Π−1 (A) = Π−1 (Π(B)) = B abierto ⇒ A abierto. Definici´ on 9.4. Se dice que ∼ es abierta si Π es abierta y decimos que ∼ es cerrada si Π es carrada. Ejemplo. X = R, x ∼ y sii x − y ∈ Z, B ⊂ R Π−1 (Π(B)) = {b + n : b ∈ B, n ∈ Z} B + n es homemorfo a B, por tanto, si B es abierto B + n es abierto entonces [ Π−1 (Π(B)) = B + n es abierto n

Entonces ∼ es abierta. B = {n + 1/n, n ≥ 2} es cerrado, Π−1 (Π(B)) = {n + 1/n + m, n ≥ 2, m ∈ Z}. Tomamos m = −n ⇒ {1/n} ⊂ Π−1 (Π(B)) ⇒ 0 ∈ Π−1 (Π(B))Π−1 (Π(B)) ⇒ Π−1 (Π(B)) no es cerrado ⇒∼ no es cerrada. Observaci´ on. ∼ es abierto (cerrada) si y solo si el saturado de un abierto (cerrado) es abierto (cerrado). Demostraci´ on. Sea B un abierto, entonces Π(B) es abierto ⇔ Π−1 (Π(B)) es abierto ⇔ el saturado de B es abierto. Ejemplo. X = R x ∼ y si x = y o x, y ∈ Z. Si B ⊂ R, el saturado de B es  B si B ∩ Z = ∅ sat(B) = Π−1 (Π(B)) = B ∪ Z si B ∩ Z 6= ∅ Si B es cerrado sat(B) = Π−1 (Π(B)) es cerrado. Entonces ∼ cerrada. 1 1 −1 (Π(B)) = ( −1 Sea B = ( −1 2 , 2 ) ⇒ sat(B) = Π 2 , 2 ) ∪ Z que no es abierto, entonces ∼ no es abierta.

R/∼ no es N1 : Si {Un } es una base local de abiertos numerable decreciente de Π(0), entonces Π−1 (Un ) es abierto y Z ⊂ Π−1 (Un ) ⇒ ∀n ∃an ∈ Π−1 (Un ) / n < an < n + 1. Entonces B = {an : n ∈ N}{ es abierto y saturado pues Z ⊂ B, entonces Π(B) ∈ NΠ(0) pero Un no est´a contenido en Π(B) ∀n, absurdo; ( si Π(an ) ∈ Π(B) ⇒ ∃b ∈ B / b ∼ an , como an ∈ / Z ⇒ b = an y an ∈ / B). Proposici´ on 9.0.3. Sea f : X /∼ −→ Y, siendo X e Y espacios topol´ ogicos y ∼ una relaci´ on de equivalencia, entonces f continua sii f ◦ Π es continua.

CAP´ITULO 9. ESPACIO COCIENTE

68

Demostraci´ on. Si f es continua f ◦Π es continua porque Π
tambi´en es continua. −1 Si f ◦ Π es continua sea U ⊂ Y abierto ⇒ Π−1 f −1 (U ) = (f ◦ Π) (U ) es −1 abierto, f (U ) es abierto. Proposici´ on 9.0.4 (Propiedad Universal del Cociente.). Sean X e Y dos espacios topol´ ogicos, sea ∼ una relaci´ on de equivalencia y sea f : X −→ Y continua tal que f (x) = f (y) si x ∼ y, entonces existe una u ´nica funci´ on fb : X /∼ −→ Y que conmuta el diagrama X Π

? X /∼

f

- Y  fb

o sea f = fb ◦ Π, adem´ as fb es continua y f (X ) = fb(X /∼ ).   Demostraci´ on. Unicidad : Si existiera fb deberia ser fb([x]∼ ) = fb ◦ Π (x) = f (x) esto nos asegura la unicidad ⇒ definamos fb : X /∼ −→ Y como fb([x]∼ ) = f (x), entonces como f (x) = f (y) si x ∼ y , fb est´a bien definida, adem´as fb es continua porque fb ◦ Π = f que es continua, y como Π es sobreyectiva f (X ) = fb(X /∼ ) Ejemplos. 1. Sea I = [0, 1] y sea ∼ donde x ∼ y si x = y o {x, y} = {0, 1} ⇒ I/∼ es homeomorfo a S 1 . Demostraci´ on. Sea Φ : I −→ S 1 tal que Φ(t) = e2πit , si Φ(t) = Φ(s) ⇒ 2πit 2πis e =e ⇔ s − t ∈ Z ⇒ t = s o {t, s} = {0, 1} ⇔ t ∼ S, entonces b : I/∼ −→ S 1 continua tal que Φ b ◦ Π = Φ. Entonces si Φ([t] b ∼) = existe Φ b b Φ([s]∼ ) ⇒ Φ(t) = Φ(s) ⇒ t ∼ s ⇒ [t]∼ = [s]∼ ⇒ Φ inyectiva, y como b es sobre. Φ b tiene dominio compacto e imagen de Hausdorff, Φ sobre Φ b b es un homeomorfismo. entonces Φ cerrada, entonces Φ 2. El toro n-dimensional. T n = Rn /∼ con (x1 , . . . , xn ) ∼ (y1 , . . . , yn ) ⇔ xi − yi ∈ Z ∀i, entonces T n es homeomorfo a S 1 × · · · × S 1 | {z } n

Demostraci´ on. Sea Φ : Rn −→ (S 1 )n tal que Φ(x1 , . . . , xn ) = (e2πix1 , . . . , e2πixn ) b : Rn /∼ −→ (S 1 )n , con argumentos an´alogos ⇒ Φ(x) = Φ(y) sii x ∼ y; Φ n al anterior, ya que R /∼ es compacto porque Rn /∼ = Π ([0, 1]n ), obtenemos el resultado.

CAP´ITULO 9. ESPACIO COCIENTE

69

1 2 3. J = [ −1 on de equivalencia (x, y) ∼ (x0 , y 0 ) ⇔ 2 , 2 ] en J definimos la relaci´ +

(x, y) = (x0 , y 0 ) o x =− cilindro.

1 2,

y = y 0 , entonces J 2 /∼ es homeomorfo al

1 4. Cinta de M¨ obius. En J 2 definimos (x, y) ∼ (x, y) y ( −1 2 , y) ∼ ( 2 , −y), 2 tenemos entonces que J /∼ es homeomorfo a la cinta de M¨obius. 1 5. La botella de Klein. En J 2 definimos (x, y) ∼ (x, y), ( −1 2 , y) ∼ ( 2 , y) y 1 −1 2 (y, 2 ) ∼ (y, 2 ), entonces J /∼ es homeomorfo a la botella de Klein.

Ejemplo. Espacio Proyectivo Real PRn = (Rn+1 {0})/∼ donde x ∼ y ⇔ x = λy para alg´ un λ ∈ R. +

PRn es homeomorfo a S n /∼2 donde x ∼2 y ⇔ x =− y. 1 x, paso a Φ : Rn+1 {0} −→ S n /∼2 Sea Φ : Rn+1 {0} −→ S n con Φ(x) = kxk h i + + y 1 1 , entonces si Φ(x) = Φ(y) ⇒ kxk con Φ(x) = kxk x x =− kyk ⇒ x =− ∼2 h h i i kxk λy λ y = = y ⇒ x ∼ y. Si x ∼ y ⇒ x = λy ⇒ Φ(x) = kyk kλyk |λ| kyk ∼2 ∼2   + y b : PRn −→ S n es − 1 kyk = Φ(y). Entonces Φ(x) = Φ(y) ⇔ x = y ⇒ Φ ∼2

inyectiva, continua y sobre, adem´as PRn es compacto porque PRn = Π(S n ), b es un Π : Rn+1 − {0} −→ Rn+1 − {0}/∼ , y adem´as S n es de Hausdorff ⇒ Φ homeomorfismo.

´Indice alfab´ etico abierto, 12 Axioma de elecci´ on, 4

funci´on uniformemente continua, 29 funci´on continua, 27

base, 21 local, 24 Bola, 12 botella de Klein, 69

homeomorfismo, 31 interior, 16

cerrado, 14 cinta de M¨ obius, 69 clausura, 19 completaci´ on, 52 componente conexa, 44 conjunto dirigido, 25 contracci´ on, 53 convergencia, 24 cubrimiento, 23

Lema de Alexander, 60 de Zorn, 4

desconector, 48 distancia, 11

numerable, 5 nunca denso, 55

entorno, 16 equipotente, 4 espacio cociente, 2 compacto, 57 conexos por caminos, 46 localmente compacto, 64 localmente conexo por caminos, 47 localmente conexos, 44 m´etrico, 11 m´etrico completo, 49 proyectivo, 69 secuencialmente compacto, 62 topol´ ogico de Hausdorff, 18 topolog´ıco, 15 espacios conexos, 40

propiedad de intersecci´on finita, 59 propiedad universal del cociente, 68 punto aislado, 20 de acumulaci´on, 20 de aglomeraci´on, 27

m´etrica relativa, 12 m´etricas equivalentes, 14 magro, 55 maximal, 3

red, 26 relaci´on, 2 de equivalencia, 2 de orden, 2 saturado, 66 subbase, 22 subred, 27 sucesion de Cauchy, 49

70

´INDICE ALFABETICO ´

Teorema de Baire, 55 de Bolzano, 41 de Cantor, 5, 54 de Heire-Borel, 57 de la contracci´ on, 54 de Tijonov, 61 topolog´ıa, 15 cociente, 66 final, 66 inicial, 36 producto, 36 toro, 68

71