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RESUMEN
Esta tesis se basa en la presentación de un libro electrónico de geometría para noveno año de básica, en la misma que se incorpora conceptos básicos y elementales de la geometría como círculo, circunferencia, perímetros y técnicas de construcción de polígonos regulares, con gráficos y fórmulas de fácil aplicación. Contiene sonidos, gifs animados y fotos de alta resolución. En cada tema se desarrollan ejercicios de aplicación; actividades de fácil realización el mismo que servirá como refuerzo del tema, finalmente hay una evaluación, la misma que se recomienda aplicar luego de haber revisado la página Web y hecho las actividades.
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INDICE
AGRADECIMIENTO ............................................... 4 DEDICATORIA ....................................................... 5 PRESENTACIÓN.................................................... 6 BREVE RESEÑA HISTÓRICA………………………8 1.-CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO ....................... 9 ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA: ...... 9 ANGULOS NOTABLES ...................................... 9 LÍNEAS NOTABLES DE LA CIRCUNFERENCIA12 EJERCICIO DE APLICACIÓN 1.1 ..................... 13 PERÍMETRO Y ÁREA........................................ 14 EJERCICIO DE APLICACIÓN 1.2 ..................... 15 ACTIVIDADES 1 ................................................ 16 EVALUACIÓN 1 ................................................. 17 2.-POLÍGONOS .................................................... 19 POLÍGONOS REGULARES .............................. 20 ELEMENTOS DEL POLÍGONO REGULAR ...... 21 NÚMERO DE DIAGONALES............................. 22 POLÍGONOS INSCRITOS REGULARES.......... 22 EJERCICIO DE APLICACIÓN 2.0 ..................... 23 TÉCNICAS DE CONSTRUCCIÓN..................... 24 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 2.1................... 27 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 2.2................... 28 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 2.3................... 31 ACTIVIDADES 2 ................................................ 30 EVALUACIÓN 2 ................................................. 30 RECOMENDACIONES......................................... 33 BIBLIOGRAFÍA ..................................................... 34 INDICE.................................................................. 35
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FACULTAD DE FILISOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN DEPARTAMENTO ESPECIALIZADO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS, FÍSICA Y DE LA NATURALEZA. “LIBRO ELECTRÓNICO DE GEOMETRÍA PARA NOVENO AÑO DE BÁSICA”
TRABAJO ACADÉMICO INTEGADOR PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE LICENCIADA EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN EN LA ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA AUTORA: Ana Ramírez TUTOR: Ing. Lourdes Illescas CUENCA – ECUADOR 2006
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AGRADECIMIENTO
Agradezco infinitamente a mis maestras: Ing. Lourdes Illescas y Dra. Neli Gonzáles, quienes fueron partícipes en mi investigación, dirigiéndome y asesorándome con sus sabios consejos. A mis compañeras: María Augusta y María Magdalena quienes me ayudaron incondicionalmente en todo momento.
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DEDICATORIA Con mucho cariño, a mi madre que con sus 55 años, demuestra y ejemplifica que la vida siempre tiene sentido vivirla. A mis hijos: José, Jimmy y Magdalena, que en todo momento están dispuesto a apoyarme. A mis hermanos y hermana: Jony, Juan, Danilo y Blanca, a quienes admiro y aprecio mucho. A Marcelo Cárdenas, mi compañero incondicional, quien ha sabido apoyarme en todo momento. A mis amigos y amigas que de una u otra forma ofrecieron su contingente apoyo a mi vida profesional. A todos ellos, mil gracias. “Un hombre prudente aprovecha su experiencia personal. Un sabio, la experiencia de los demás” – Joseh Collins –
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PRESENTACIÓN
El deseo de este libro electrónico es hacer fácil y de ser posible motivador y agradable al estudio de la geometría en el Noveno año de Básica. La rica serie de animaciones, mucha de ellas originales, se propone potenciar y fortalecer los conocimientos de los estudiantes, despertando el interés y el deseo de superación de los mismos. Son características de este libro: ﻌLa claridad en su forma, reducida a la expresión más sencilla y motivadora, acompañada de animaciones con propiedad del lenguaje y de precisión científica. ﻌAl poner en relieve las propiedades de las figuras geométricas, las hace más expresivas, facilitando la inmediata comprensión de los conceptos. ﻌFacilitar la intuición, mediante ejemplos traídos del mundo real, la utilización de un software educativo permitirá una motivación en el estudiante saliéndose del texto poco llamativo, fortaleciendo aún más los conocimientos del alumno. ﻌAl final de cada tema se presenta una abundante y variada colección de ejercicios, cuidadosamente elegidos, de modo que los profesores puedan servirse con facilidad de ellos. ﻌEn el trayecto de este libro educativo se encontrará datos históricos sobre los más grandes matemáticos de siglos pasados, con el
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fin de despertar en los estudiantes estimación por los que aportaron grandes cosas por la ciencia.
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BREVE RESEÑA HISTÓRICA Geometría etimológicamente proviene de los vocablos griegos geo = "tierra" y metrein = "medir" ; rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental como es la geometría plana geometría esta se preocupa de problemas métricos como el cálculo de área y diámetro de figuras planas y de la superficie. Esta parte de la geometría también se conoce como geometría euclídea, en honor al matemático griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.c. Su extenso tratado Elementos de geometría se mantuvo como texto autorizado hasta la aparición de las llamadas geometrías no euclideas en el siglo XIX Los primeros problemas geométricos lo introdujeron los griegos en la construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. También estudiaron la familia de curvas; conocidas como cónicas, éstas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del sol son fundamentalmente cónicas. Arquímides, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi (Π) que es el cociente
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entre la longitud de la circunferencia y su diámetro y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71. 1.-CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO Circunferencia: Es una curva cerrada, cuyos puntos equidistan de uno interior fijo, llamado centro. Círculo: Es el plano limitado por la circunferencia
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA: - Centro (O).- es el punto interior fijo del cual equidistan los de la circunferencia. - Radio (r).- es la recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia - Cuerda (AB).-es el segmento que une dos puntos de la circunferencia.
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- Diámetro (CD).-es la cuerda que pasa por el centro. El diámetro es el doble del radio y es la mayor de las cuerdas. - Arco (EF).- es el segmento de circunferencia comprendido entre dos puntos.
ANGULOS NOTABLES Ángulo Central.-Es el que tiene el vértice en el centro (ángulo AOD); los lados son los radios de la circunferencia.
- Ángulo Inscrito.- Tiene el vértice en la circunferencia (ángulo APB), los lados son cuerdas de ella.
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- Ángulo Interior.- Tiene el vértice en un punto interior de la circunferencia.
Ángulo Exterior.-Tiene circunferencia.
el
vértice
fuera
de
la
Ángulo Seminscrito.- Tiene el vértice en la circunferencia; sus lados son una secante y otro tangente a la circunferencia.
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LÍNEAS NOTABLES DE LA CIRCUNFERENCIA -Tangente.- es la recta que tiene un sólo punto común con la circunferencia y la recta que une este punto con el centro forma un ángulo de 90º, es decir, es perpendicular a la tangente - Secante.- es la recta que cruza dos puntos cualesquiera de la circunferencia - Sagita.- es la recta perpendicular a la cuerda, trazada desde el punto medio del arco comprendido entre los dos puntos de la cuerda. -Línea exterior.- es la recta que no le une en un punto a la circunferencia.
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EJERCICIO DE APLICACIÓN 1.1 1.- Ponga los nombres de las líneas de la siguiente figura
SOLUCIÓN: a.- Secante c.- Radio d.- Sagita
e.- Tangente f.- Línea exterior g.- Cuerda
2.- Contesta verdadero (V) o falso (F) a.- Ángulo inscrito es el que está formado por dos cuerdas (V ) b.- Ángulo central es el que está formado por un radio y una cuerda ( F ) c.- Ángulo exterior es el que tiene el vértice dentro de la circunferencia. (F ) d.- Ángulo Seminscrito es el que está formado por una cuerda y una secante. ( F ) e.- Ángulo Seminscrito es el que está formado por una secante y una tangente. ( V)
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f.- Ángulo interior es el que tiene el vértice dentro de la circunferencia. (V) NOTA: para responder debemos recordar o revisar los conceptos de los diferentes ángulos.
PERÍMETRO Y ÁREA Perímetro o longitud de Circunferencia La circunferencia es una línea y por eso se mide su longitud. El cociente entre la longitud L de la circunferencia y su diámetro d es igual al número irracional π (pi), cuyo valor aproximado es 3,1415….
π=
L , d
de donde :
Lcirf . = dπ ⇒ L = 2rπ
La longitud de la circunferencia es igual al producto de su diámetro (2r) por π La circunferencia es el perímetro del círculo Área del círculo. Como el círculo es un plano, podemos calcular su área comparándola con los polígonos. El círculo es un polígono de infinito número de lados; de donde:
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El perímetro del polígono es la longitud de la circunferencia. La apotema del polígono es el radio de la circunferencia, entonces: perímetro * apotema longitud * radio = 2 2 como la longitud de la circunferencia es = 2 r π , tenemos : 2 *π * r * r = πr 2 Área del círculo = 2 Ärea del círculo =
El área del círculo es igual a π por el cuadrado del radio EJERCICIO DE APLICACIÓN 1.2 1.- Sabiendo que área de un círculo es ¿cuánto medirá su radio?
254.34 m 2 ,
SOLUCIÓN: • Sabemos que el área del círculo es π r 2 . • Conocemos el dato del problema y el área, entonces reemplazamos:
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2.- ¿Cuánto mide la longitud de una circunferencia si su diámetro es de 8cm.? SOLUCIÓN: • Sabemos que el diámetro es 2 r, entonces: • Calculamos la longitud (perímetro) de la circunferencia: L = 2π r
L = 2 * 3.14 * 4
L = 25.13 cm
ACTIVIDADES 1 1.- Dibuja en tu cuaderno una circunferencia y en ella pon una cuerda, un diámetro, un radio y dos arcos. 2.- En los siguientes gráficos pon el nombre del ángulo al que corresponde.
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3.- Dibuja en tu cuaderno una circunferencia de radio de 3cm. y traza rectas que pasen a una distancia del centro de 5cm., 3cm. y 2cm., indica cuando son exteriores, tangentes o secantes. 4.- Calcula también el área y perímetro de la circunferencia anterior. EVALUACIÓN 1 1.- Conteste verdadero (V) o falso (F) El diámetro es una cuerda ( ) El radio es el doble del diámetro ( ) El radio es la mitad del diámetro ( ) El ángulo central tiene el vértice en la circunferencia ( ) El numero de radios de la circunferencia es infinito ( ) 2.- Dibuje una circunferencia y en ella trace e identifique: • una tangente • Un ángulo inscrito • 2 sagitas • Un radio • 3.- Complete:
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• El ángulo central tiene el vértice en……………………… y el ángulo inscrito tiene en la………………………………… • En el ángulo central sus lados son…………………………..................... • En el ángulo inscrito los lados son…………………………..................... • Del ángulo seminscrito un lado es ……………..y el otro es ………………….; del ángulo exterior los lados. 4.- En los siguientes gráficos identifica los ángulos notables de la circunferencia y defínalos. a)
d)
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b)
e)
c)
f)
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2.- POLÍGONOS Concepto: es la superficie limitada por una línea poligonal cerrada. Una línea poligonal cerrada es la sucesión de segmentos no alineados donde el extremo del último segmento coincide con el origen del primero
Clasificación Se clasifican en: Regulares e irregulares Polígonos irregulares Son los que no tienen sus lados y sus ángulos iguales
Polígonos regulares Son los que tienen todos sus lados iguales
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POLÍGONOS REGULARES
Son los que tiene todos sus ángulos y lados respectivamente iguales. Además éste es a la vez convexo, equilátero y equiángulo y según el número de lados se llaman: triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, eptágono, octógono, etc. TRIÁNGULO.- es un polígono de tres lados.
CUADRADO.- es un polígono de cuatro lados
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PENTÁGONO.- es polígono de cinco lados
HEXÁGONO.- es polígono de seis lados
ELEMENTOS DEL POLÍGONO REGULAR • Lados.- son los segmentos que forman el polígono. • Vértices.- son los puntos comunes de los lados. • Diagonal.- es el segmento que une dos vértices no consecutivos del polígono. Se representa por d.
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• Ángulos interiores.- son aquellos que están formados por dos lados consecutivos del polígono. • Ángulos exteriores.- Son los adyacentes a cada uno de los ángulos interiores. • Apotema.- es el segmento que va desde el centro del polígono al punto medio de los lados del polígono. Se le representa con ap. NÚMERO DE DIAGONALES De cada vértice de un polígono salen una o más diagonales. El triángulo no tiene diagonales, el cuadrado tiene dos diagonales. En un polígono convexo de cada vértice salen tantas diagonales como lados tiene el polígono menos 3, es decir (n – 3).
Ángulos interiores
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El número de ángulos interiores es igual al número de vértices. El valor de un ángulo interior es igual a 180º menos 360º sobre el número de vértices.
Ángulo exterior Es el suplemento del ángulo interior.
POLÍGONOS INSCRITOS REGULARES Concepto.- Polígono inscrito es un polígono que tiene todos vértices en la circunferencia. Cálculo del Perímetro El perímetro de un polígono se halla sumando los valores de sus lados. En fórmula: Ó
P = l+l+l+l+…+l
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P = nl
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EJERCICIO DE APLICACIÓN 2.0 1.- Determinar el número de diagonales que tiene un dodecágono. SOLUCIÓN: ﻌUn dodecágono es un polígono de doce lados, es decir, n = 12. ﻌAplicamos la fórmula de número de diagonales de un polígono y resolvemos.
2.- Encontrar los ángulos interior y exterior del heptágono SOLUCIÓN: ﻌUn heptágono es un polígono que tiene siete lados, luego n = 7 ﻌAplicamos la fórmula del ángulo interior y del ángulo exterior de un polígono y resolvemos.
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3.- Encuentre el perímetro de un undecágono que tiene de lado 7cm. SOLUCIÓN: ﻌUn undecágono es un polígono que tiene once lados, es decir, n = 11, y l = 7. ﻌAplicamos la fórmula del perímetro de un polígono y resolvemos.
TÉCNICAS DE CONSTRUCCIÓN 1.- Empleando un transportador (Graduador) • Trazar un octógono SOLUCIÓN: a.- Trazamos una circunferencia de radio cualquiera
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b.- A partir del centro ésta señalamos ocho ángulos de 45º c/u, porque
360º = 45º 8
c.- Unimos los extremos uno a continuación del otro y obtenemos el octógono
d.- Borramos la parte de las líneas y nos queda el octógono buscado
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2.- Con regla T, compás o escuadras a) Cuando se conoce el radio del círculo circunscrito. Pentágono I.- Bisecar el radio AB en C
II.- Con C como centro, y CA como radio, trácese el arco DE. Con D como centro, y DE como radio, trácese el arco EF.
III.- Trácese las líneas DF; luego determínense las distancias DF alrededor de la circunferencia del círculo, y dibújense los lados pasando por estos puntos.
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b) Cuando se conoce el radio del círculo inscrito (hexágono) I.-Trazar las líneas horizontal y vertical.
II.- Con la escuadra de 30º x 60º y la regla T, dibújense los seis lados tangentes al círculo.
Este método se usa para el dibujo de cabezas de pernos, tornillos y tuercas. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 2.1 1.- Empleando un transportador (Graduador)
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Trazar un eneágono SOLUCIÓN: a.- Trazamos una circunferencia de radio igual a 6cm.
b.- A partir del centro ésta señalamos ocho ángulos de 40º c/u, porque
360º = 40º 9
c.- Unimos los extremos uno a continuación del otro y obtenemos el octógono
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d.- Borramos la parte de las líneas y nos queda el octógono buscado
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 2.2 2.- Con regla T, compás o escuadras a) Construir un pentágono cuyo radio del círculo circunscrito es 5cm. SOLUCIÓN: I. Bisecar el radio OA en B, es decir a 2.5cm. de O.
II. Con B como centro, y CB = R como radio, trácese el arco DC. Con C como centro, y DC como radio, trácese el arco DE.
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III. Trácese las líneas CF; luego determínense las distancias CF alrededor de la circunferencia del círculo, y dibújense los lados pasando por estos puntos.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 2.3 b) Construir un hexágono cuyo el radio del círculo inscrito es de 6cm. SOLUCIÓN: I. Luego de dibujar la circunferencia de radio 6cm.; trazar las líneas: horizontal AB y vertical. CD
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II. Con la escuadra de 30º x 60º y la regla T, dibújense los seis lados tangentes al círculo.
ACTIVIDADES 2 1.- Divida la circunferencia en partes iguales siguiendo las instrucciones que se dan. a) Pentágono ﻌTrace una circunferencia de 2cm. de radio. ﻌTrace los diámetros perpendiculares AB y CD ﻌPor el punto medio E de AO como centro y con EC de radio describa el arco CF y trace la recta CF, este es el lado del pentágono regular inscrito y OF es del decágono. ﻌ b) Luego trace también el decágono.
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2.- Representa diferentes polígonos y varía para cada uno el tamaño aumentando el radio. ¿En qué polígono coincide el valor del lado y del radio? 3.- Varía el número de lados del polígono y completa la tabla siguiente. Polígono Regular
Triángulo equilátero Cuadrado Pentágono Reg. Hexágono Reg. Heptágono Reg. Octógono Reg. Eneágono Reg. Decágono Reg. Undecágono Reg. Dodecágono Reg.
Número Ángulo de lados interior n 180º-360º/n 3 60º
Divisor de 360 SI
4 5 6
EVALUACIÓN 2 1.- Ponga los elementos de un polígono regular en las líneas. a.- ____________________ b.- ____________________ c.- ____________________ d.- ____________________ e.- ____________________ f.- ____________________ 2.- Complete en los espacios subrayados
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a.- _________________________ es un polígono que tiene todos los vértices en la circunferencia. b.- Lados son _____________________ que forman el polígono. c.Diagonal es el segmento que une _____________________ no ______________ del polígono. Se le representa por ______ d.- __________________ de un polígono es la suma de todos sus lados. 3.- Resuelva los siguientes ejercicios a.- ¿Cuántas diagonales tienen un polígono de 21 lados? b.- El perímetro de un cuadrado es de 64cm. ¿Cuánto mide su lado? c.- ¿Cuánto miden los ángulos interior y exterior de un pentágono? d.- Construya un octógono inscrito en una circunferencia de radio igual a 5cm. siguiendo los pasos de cuando se conoce el radio del círculo circunscrito.
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CONCLUSIONES Después de haber desarrollado éste trabajo “Libro electrónico para Noveno año de Básica”, podemos resumir algunas conclusiones. ¾ Al realizar este trabajo integrador he desarrollado atravez de los programas de computación una secuencia de eventos de geometría en los cuales se ha desarrolado la teoría dentro de una forma práctica ya que los estudiantes tienen la posibilidad de manipular las diferentes relaciones entre concepto y gráficos así como también entre figuras geometricas y formulas. ¾ Este trabajo me permitirá también desarrollarme he investigar otros programas abanzados para dinamisar mejor y encontrar una manera más apropiada y directa de ingresar la información hacia los estudiantes, esta puede ser através de juegos o sistemas de videos dinámicos. ¾ Uno de los objetivos planteados se ha cumplido en su cabalidad ya que este material tiene bajísimo costo a más de ser muy accesible de forma que cualquier estudiante de bajos recursos económicos puede adquirirlo.
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RECOMENDACIONES No puedo concluir el presente trabajo sin llegar a proponer las siguientes recomendaciones: ¾ Se recomienda la utilización de este libro electrónico en el Noveno de Básica en los diferentes planteles, tanto fiscales, particulares, religiosos de la ciudad de Cuenca. ¾ Ya que su presentación es una manera completamente nueva de aprender la geometría, saliéndose del tradicional libro. ¾ Se recomienda su utilización ya que ofrece al alumno integrarse conjuntamente con el estudio de la geometría a la tecnología moderna esto es en el mundo de la computación. ¾ Además que el mismo se encuentra animado mediante sonidos gifs y fotos de alta resolución, despertando de esta forma el interés de los estudiantes por aprender y manejar la geometría. ¾ Se recomienda la utilización de este libro electrónico por parte de los maestros ya que este posibilitara cambiar su rol de constructor del conocimiento a facilitador.
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BIBLIOGRAFÍA Profesores de MATEMÁTICAS DEL COLEGIO DON BOSCO, “Geometría”, Editorial Don Bosco, QuitoEcuador, Marzo 1.966. BALDOR, “Geometría Plana y del Espacio”, Cultura Centroamericana, Madrid, 1.983. ESPINOZA, Alfredo, “Taller de Matemáticas Básicas para 8º, 9º y 10º años”, Guayaquil-Ecuador, Agosto 1999. SANCHEZ, José, “Matemática Básica para 8º, 9º y décimo años”, Nueva Edición, Loja-Ecuador, 2.003. OLIVEROS, Eladio, “Geometría Básica”, Tomo 12, Primera Edición, Ecuador 2.002. COBIAN, Javier, “Manual de Dibujo Técnico”, Editorial Iberoamericana, México 1.986. ZAMBRANO, Armas, “Matemática Moderna de Primer Curso”, Editorial Don Bosco, Quito-Ecuador 1.975. www.softoni.com. www.escalar.com/geometri/05 www.españolsoftpicks.net/software/las www.educarchile.cl/ntg www.acarioja.com www.matematicas.netwww.sectormatematica.cl/pne rvales/trian.htm www.math.online.cl/mate2003/geombasica/geomba sicahtml
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AGRADECIMIENTO ............................................... 4 DEDICATORIA ....................................................... 5 PRESENTACIÓN.................................................... 6 BREVE RESEÑA HISTÓRICA ........... 8 1.-CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO ....................... 9 ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA: ...... 9 ANGULOS NOTABLES ..................................... 10 LÍNEAS NOTABLES DE LA CIRCUNFERENCIA12 EJERCICIO DE APLICACIÓN 1.1 ..................... 13 PERÍMETRO Y ÁREA........................................ 14 EJERCICIO DE APLICACIÓN 1.2 ..................... 15 ACTIVIDADES 1 ................................................ 16 EVALUACIÓN 1 ................................................. 17 2.-POLÍGONOS .................................................... 19 POLÍGONOS REGULARES .............................. 20 ELEMENTOS DEL POLÍGONO REGULAR ...... 21 NÚMERO DE DIAGONALES............................. 22 POLÍGONOS INSCRITOS REGULARES.......... 23 EJERCICIO DE APLICACIÓN 2.0 ..................... 24 TÉCNICAS DE CONSTRUCCIÓN..................... 25 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 2.1................... 28 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 2.2................... 30 EJERCICIOS DE APLICACIÓN 2.3................... 31 ACTIVIDADES 2 ................................................ 32 EVALUACIÓN 2 ................................................. 33 RECOMENDACIONES......................................... 36 BIBLIOGRAFÍA ..................................................... 37 INDICE.................................................................. 38
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